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M. Sc. Samuel Canchaya Moya
scanchaya@pucp.pe
Facultad de Ciencias e Ingeniería
Especialidad: Ingeniería Geológica
Curso: GEM322 Geoestadística
Semestre 2015-2
Introducción a la Geoestadística
2
M. Sc. Samuel Canchaya Moya
Facultad de Ciencias e Ingeniería
Especialidad: Ingeniería Geológica
Curso: GEM322 Geoestadística
Semestre 2015-2
2
52 años de
Geoestadística
3
George F. P. M. Matheron Fuente: en.wikipedia.org
1963
4
Curso Internacional de Geoestadística
2008-2009
MODULO I: 5 al 8 de Noviembre 2008. Miguel Zulueta (Consultor
en Geoestadística) Introducción a la Geoestadística. Las variables regionalizadas. El variograma. Varianzas: de extensión, estimación y dispersión. El krigeage: puntual y de bloques. La varianza de krigeage. Introducción a la estimación de recursos. Entregables en una estimación de recursos.
MODULO II: 8 al 10 de Diciembre 2008. Daniel Guibal (Director Técnico de SRK Consulting-Australia) Muestreo y base de datos. Modelamiento geológico 3D. Variografía avanzada. Anisotropía a través de mapas de variogramas, variogramas de indicadores. Optimización del muestreo. Optimización del krigeage. Introducción a métodos no-lineales. El efecto del soporte.
Clasificación de recursos: códigos internacionales.
MODULO III: 16 al 17 de Marzo del 2009. André Journel (Catedrático de la Univ. de Stanford USA) Simulación Condicionada aplicada a Minería. Simulación de variables continuas: simulación gaussiana secuencial, simulación por bandas rotantes. Simulación
de variables categóricas. Aplicaciones prácticas.
André Journel
Miguel Zulueta
Daniel Guibal
3
5
Daniel Guibal
Grado de Ing. Civil de Minas Escuela Nacional Superior de Minas
de Nancy-Francia y Master en Ciencias, en Matemáticas y Geo-
estadística en Centro de Geoestadística de Fontainebleau-Francia.
25 años experiencia, especialista en: Geoestadística, Estimación
de Reservas y Simulación; Geoestadística No-Lineal, Optimización de Tajos Abiertos,
Simulación Condicional. Ha trabajado en: Centro de Geoestadística de Fontainebleau -
Francia (1972-1982), Empresa Estatal Minero Perú (1974-1976) y como consultor en
Australia desde 1983 (Siromines y Geoval); actualmente es Director Técnico de SRK
Consulting – Australia.
Ha realizado diversos trabajos y estudios para empresas y consorcios mineros en:
Australia, Sudamérica, Europa y Japón. Sus más recientes trabajos incluyen: Simulación
multivariable del yacimiento de Fe Pilbara (Hamersley); Revisión de los Recursos de Cu
en la División Norte de Codelco (Chile); Revisión detallada de la práctica de la
Geoestadística en Olimpic Dam (Australia); Evaluación y Due diligences de: Inco,
Newcrest, Worsley Alumina, Alcoa, etc.
Miembro activo de la Aus. I. M. M. y de la Asociación de Geoestadística de Australasia.
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Dr. Dominique François Boungarçon
1974 Grado de Ing. Civil de Minas Escuela Nacional Superior de Minas
de Nancy-Francia
1978 Doctor en Mining Science and Techniques en la Escuela de Minas de Paris y la
Universidad de Nancy.
1976: Inició sus actividades profesionales en MINERO PERU, como experto extranjero
voluntario.
1978 a 1984 Investigador en el Centro de Geoestadística de Fontainebleau-Francia
Famoso por las correcciones que realizó a la famosa fórmula de Pierre Gy:
Solucionando sus dificultades de aplicación, sobre todo para el caso del oro. Ha
publicado con Pierre Gy las modificaciones propuestas. Se dice que Gy lo ha designado
públicamente como su sucesor científico.
Consultor Internacional de Geoestadística, con notables trabajos en INCO Ltd. Copper
Cliff Ontario Canadá. Vicepresidente de Geoestadística de Mineral Resource
Development Inc. San Mateo-California por 7 años.
Actualmente es Presidente de AGORATEK INTERNATIONAL
Vicepresidente de la 6ta. Conferencia Mundial de Muestreo y Mezclas que se realizó en
Lima-Perú, 19 al 22 de Noviembre del 2013; Hotel Marriot.
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Prof. André Journel
7
Ingeniero de Minas (1967) en la Escuela Nacional Superior de Minas
de Nancy – Francia y Dr. Ing. (1974) y Dr. en Cienc. Mats. Aplicadas
(1977) en Univ de Geoestadística de Nancy – Francia. Ing. de Proys.
mineros en el Centro de Morfología Matemática de Francia
(1969-1973); Centro de Geoestadística de la Escuela de Minas de
Paris (1973-1978). Univ. de Stanford - USA: Prof. Asociado (1978-1972): Prof. Principal (1992-
2010) del Departamento de Ciencias de la Tierra de Ing. de Petróleo e Investigador y Director
(1986-2010) del Centro Stanford de Predicción de Reservorios del Centro Stanford.
Entre 1998 y 2010 recibió más de 30 disertaciones de Ph. D. y M.Sc.. Desde 1980 a la fecha:
miembro del Comité Científico del Congreso Mundial de Geoestadística. Ha dictado decenas
de cursos y seminarios especializados sobre Geoestadística y temas afines.
35 años de experiencia profesional: Especialista en Planeamiento, Simulación y Evaluación de
Recursos Mineros; Modelamiento de Reservorios de Petróleo; Control y remediación de la
Polución; Predicción Bayesiana: Análisis de riesgo, Modelos de incertidumbre, etc; Estadística
no-paramétrica y espacial Gaussiana. Co-autor del famoso libro: Mining Geostatistics. Mas de
80 publicaciones especializadas. Premios: 1989: Medalla de Krumbein, 1995: “Teaching
Award” (Esc. de Cienc. de la Tierra, Stanford), 1998: Medalla de Oro Lucas (AIME/SPE), etc.
8
Dos tendencias de la Geoestadística actual
La Geoestadística académica:
Básicamente Estacionaria
La Geoestadística Aplicada:
Básicamente No-Estacionaria
Francia, Europa,
Australia,
Univ. de Chile,
etc.
Univ. Stanford – USA
Univ. Alberta – Canadá
CAIG - Perú
André Journel Clayton Deutch Daniel Guibal
Xavier Emery
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Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Geológica y Metalúrgica
Escuela de Geología
A I G
MISIÓN:
Promover la Investigación y Enseñanza de las
Matemáticas Aplicadas a la Geología.
VISIÓN:
Ser Líderes en Matemática Aplicada a la Geología
CAIG: Principales Líneas de Investigación
Análisis de Riesgo con Simulación Condicional - Abel Puerta
Efecto Proporcional (y Geoestadística No Lineal) - S. Canchaya
Fractales – Miguel Zulueta
Clasificación de Recursos con Varianzas – Heller Bernabé
Training Images y Estadística Multipoint (?)
Etc.
10
PRINCIPALES ACTIVIDADES RELACIONADAS: o Intercambio Académico y Científico con Referentes mundiales relacionados con los temas de investigación. o Promover cursos, talleres, conferencias y congresos relacionados con los temas de investigación. o Ser semillero de nuevos especialistas y científicos en Matemática Aplicada a Geología. o Promoción y Asesoría de Tesis de Grado, Postgrado, etc. o Publicaciones científicas, edición de manuales, textos, etc.
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Introducción a la Teoría de las
Variables Regionalizadas
11
M. Sc. Samuel Canchaya Moya
Facultad de Ciencias e Ingeniería
Especialidad: Ingeniería Geológica
Curso: GEM322 Geoestadística
Semestre 2015-2
El concepto de autocorrelación
Es de esperar que dos valores contiguos Z(xi) y Z(xi+h),
separados una distancia (o vector) h, estén relacionados
entre sí: a esto se denomina: Autocorrelación.
Lo cual quiere decir que sus valores serán dependientes
el uno del otro; esto debido a que casi siempre toda
variable tiene un patrón de distribución (o estructura,
como se le llama en geoestadística), ya que nada es al
azar en la naturaleza.
La herramienta geoestadística para reconocer este patrón
de distribución es el VARIOGRAMA 12
7
COMPARACIÓN ENTRE UNA DATA ESTRUCTURADA
(Tramo A) Y OTRA AL AZAR (Tramo B)
s2
)(hf(x)
x h
HISTOGRAMA VARIOGRAMA
1 2 3 4
6 5
5 4 3
1
2 1
3.08 2.75
2 4 6
1
1
1 2
2 4
5
3 6
3
4
5
TRAMO A
TRAMO B 3.08 2.75
2 4 6 x h
f(x) )(h
x
Diagrama de variación de leyes
Profundidad
Ley
x + h
x A
B
Tendencia
Gran variabilidad local: “diente de sierra”
14
8
Variable Regionalizada: (V.R.)
Toda variable que fluctúa en:
el espacio (coordenadas) y/o en el tiempo.
Tiene dos características fundamentales:
Gran variabilidad local.- Dientes de sierra
Presenta una “estructura” o tendencia a mayor escala
Ejemplos típicos:
Leyes de Au, Ag, Cu (CuT, CuSAc, CuSCN), Fe, As, etc.
Potencia de una veta o manto
Densidad, Humedad, Porosidad y Permeabilidad
Toneladas procesadas en Molinos o Chancadoras (“Throughput”)
Contenido mineralógico (% qz, ser, ARCs, cac, bt, calcopirita, pirita, etc.)
% de elementos u óxidos mayores (SiO2, TiO2, K2O, CaO, MgO, Fe2O3, etc.)
Recuperación de Au, de Cu, etc.
Densidad de fracturamiento
BWI, RQD, Resistencia Mecánica (MPa), etc.
Consumo de ácido (Kg/TM), etc.
15
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37
Va
rio
gra
ma
Distancia
El Variograma:
Definición, estimación, ploteo y ajuste a
funciones teóricas.
16
M. Sc. Samuel Canchaya Moya
9
Las tres hipótesis plausibles de la Geoestadística:
La Hipótesis de Estacionariedad.- Dominios donde la media y la varianza son
probabilísticamente similares; así como la varianza y la covarianza sólo dependen
de la separación entre datos.
La Hipótesis Intrínseca.- En aplicaciones prácticas necesitamos introducir la
denominada hipótesis intrínseca, la cual establece que la function variograma
2(x,h) depende sólo del vector de separación h y no de la ubicación x. Entonces
es posible estimar el variogram 2(x,h) a partir de la data disponible usando el
estimator 2*(h) que se define como:
La Hipótesis del Kriging Universal.- Asume que las funciones aleatorias se
pueden descomponer en una combinación lineal de funciones determinísticas y un
componente aleatorio residual. Por lo tanto es la menos resttrictiva de las
hipótesis.
2)(
1
* ])()([)(
1)(2
hn
i
ii hxZxZhn
h
La hipótesis de
estacionariedad
La aplicación de la geoestadística
tradicional será válida, sólo si se cumple con
la denominada Hipótesis de Estacionariedad.
Se dice que un dominio cumple con la Hipótesis de Estacionariedad, cuando dentro de él la media y la varianza son las mismas cualquiera sea la muestra que se tome para estimarlas.
En un dominio donde se cumpla la Hipótesis de Estacionariedad, el variograma y la covarianza sólo dependerán de la separación entre datos.
Los dominios con el denominado EFECTO PROPORCIONAL son el extremo opuesto a la condición de estacionariedad.
Cuando no se cumple la mencionada hipótesis, hay que apelar al Concepto de Krigeage Universal; así como a otras herramientas de la Geoestadística No- Estacionaria.
18
M1 M2
M3 M4
D
10
FUNCION VARIOGRAMA:
Forma de cálculo
Es la función probabilística
que representa el patrón de
distribución de una variable
regionalizada
OMNIDIRECCIONAL
x + h
x
h
2
2
1 ( ) h
Xi + h i
n h
n h
Z Z
Xi
FUNCION VARIOGRAMA – Representación gráfica
h : paso entre las muestras
C0 : efecto de pepita
a : alcance
C : sill
C + C0 : meseta
s2 : varianza estadística
DEPENDENCIA
ESTRUCTURA
INDEPENDENCIA
ALEATORIEDAD
C0
a
C
h
( )h
meseta s2
GEO ESTADISTICA
11
Ejemplo de cálculo manual
de un variograma 1D
( )( )
h x hZ xZ
n h
2
2
[d1]2
[d2]2
[d3]2
[d4]2
[d5]2
[d6]2
[d7]2
[d8]2
0.64
1.44 0.16
0.16 0.64 0.00
0.04 0.04 1.00 0.04
0.36 0.16 0.64 0.16 0.16
2.56 1.00 1.44 0.64 4.00 1.44
6.25 0.81 2.25 1.69 2.89 0.25 1.69
4.00 0.25 1.21 0.25 0.49 0.09 2.25 0.49
7.29 0.49 10.24 2.56 4.84 4.00 5.76 1.44
8.41 0.04 4.84 0.09 1.69 0.49 0.16 0.25
0.25 5.76 0.09 2.89 0.64 0.64 0.81 0.16
0.36 0.01 9.00 0.09 5.29 0.04 0.04 0.64
3.61 1.69 3.24 1.21 2.56 0.16 1.96 0.25
1.21 9.00 5.76 8.41 0.00 7.29 4.41 10.24
9.61 17.64 37.21 30.25 36.00 9.61 33.64 14.44
4.84 0.81 4.00 15.21 10.9 14.4 0.81 12.96
4.41 18.49 1.44 0.01 3.24 1.44 2.89 1.44
1.96 12.25 32.49 6.76 2.25 0.16 0.04 0.09
0.81 0.25 6.76 23.04 2.89 0.36 1.69 0.49
S[dh] 2
57.57 69.49 121.6 93.30 77.83 40.41 56.15 42.89
2(n-h) 36 32 28 26 22 16 10 8(h) 1.60 2.17 4.34 3.59 3.54 2.53 5.62 5.36
h=1 h=2 h=3 h=4 h=5 h=6
3.2
4.0
2.8
3.2
3.0
3.6
2.0
4.5
2.5
5.2
2.3
2.8
2.2
4.1
5.2
8.3
6.1
4.0
2.6
3.5
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
experimental
ajuste
h
(h)
a = alcance
C0=0.25
meseta
Ajuste del Variograma Experimental
a Funciones Teóricas
h
( ) ;h ph 1
( ) ;h ph 1
0exp1)( C
a
hCh
(h) = C
(h) = C + Co h > a
h * a + Co
3h h3
2a 2a3
)(h (h) = Co + mh
12
DIRECCION
E-W
(2-2)2 + (2-4)2 + (4-5)2
(1-1)2 + (1-1)2 + (1-1)2 + (1-6)2
(2-2)2 + (2-1)2 + (1-3)2 + (3-6)2
(3-1)2 + (1-2)2 + (2-3)2 + (3-4)2
(4-7)2 + (7-3)2 + (3-2)2 + (2-5)2
(5-2)2 + (2-3)2 + (3-4)2
(2-4)2 + (2-5)2
(1-1)2 + (1-6)2
(2-1)2 + (2-3)2 + (1-6)2
(3-2)2 + (1-3)2 + (2-4)2
(4-3)2 + (7-2)2 + (3-5)2
(5-3)2 + (2-4)2
( ) .800112
2 153 73
20.244
97)400(
972
ZZ hxx(2-5)2
(1-6)2
(2-3)2 + (2-6)2
(3-3)2 + (1-4)2
(4-2)2 + (7-5)2
( ) .1200
69
2 93 83
( ) .1600
11
2 3
183
(2-6)2
(3-4)2
(4-5)2
DIRECCION: N - S
2 2 4 5
1 1 1 6
2 2 1 3 6
3 1 2 3 4
4 7 3 2 5
5 2 3 4
( ) . ( ) .
( ) . ( ) .
( ) .
40082
2 22186 1600
49
2 73 50
80078
2 172 29 2000
17
2 32 83
120071
2 122 29
Ajuste del Variograma
experimental a funciones
teóricas
Parámetro Lineal Expo-
nencial
C0 0.783 0.673
C0 + C 1.281 1.347
a 345.9 193.4
r2 0.845 0.900
RSS 0.061 0.040
C/[C0+C] 0.389 0.500
13
Combinación lineal de variogramas:
25
hhn
i
i i
1
Para modelar y/o ajustar estructuras imbricadas (“nested structures”)
Permite modelar la anisotropía zonal
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 1.2 2.4 3.6 4.8 6 7.2 8.4 9.6 10.8 12 13.2 14.4 15.6 16.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1.2 2.4 3.6 4.8 6 7.2 8.4 9.6 10.8 12 13.2 14.4 15.6 16.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9
Ejemplo de Variogramas
)(h
)(h
h 25 75 50
15
0
30
Au (gr/TM)2
h
Cu (%) 2
10
20
160 80
0.4
0.8
1.2
1.6
100 200 0
Potencia (m)2
Pórfido de Cu-Au
)(h
Yacimiento epitermal de
Au de alta sulfuración
Veta polimetálica
h
Variograma
experimental
Ajuste teórico
14
27
Ejemplo de variogramas de gangas y
minerales de alteración:
Ejemplo de variogramas de Gangas 28
15
El cálculo automatizado
de los variogramas
29
M. Sc. Samuel Canchaya Moya
puntos descartados
puntos aceptados
Para cada dirección se define una tolerancia
y se utilizan únicamente los puntos que se
encuentran entre las direcciones: y
Parámetros para el
cálculo automatizado de
variogramas 2D
16
puntos aceptados
puntos descartados
b
b = ancho de banda
Combinación de sector con banda
31
Aplicación de los pasos h
clase de distancia h
clase de distancia 2h
clase de distancia 3h
17
Aplicación de la configuración de cálculo
en el dominio establecido
34
Cálculo de Variogramas 3D:
Búsqueda cónica de pares
h = Ángulo horizontal v = Ángulo vertical t = Ángulo de tolerancia
Sección transversal del cono debe ser elíptica para involucrar anisotropía
18
35
Cálculo Variogramas 3D:
Búsqueda cilíndrica de pares
h = Ángulo horizontal v = Ángulo vertical t = Ángulo de tolerancia
Sección transversal del cilindro debe ser elíptica para involucrar anisotropía
36
Cálculo de Variogramas 3D:
Búsqueda de pares por capas
h = Tolerancia en dirección Z