0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

INTRODUCCIINTRODUCCIN AL MN AL MTODO TODO DEL ELEMENTO FINITODEL ELEMENTO FINITO

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

El mmtodotodo del del elementoelemento finitofinito es una tcnica numrica para resolver problemas que se pueden describir por ecuaciones diferenciales parciales o que pueden ser formulados por medio de una minimizacin de un funcional (clculo variacional).

El mtodo del elemento finito es una herramienta de anlisis muypoderosa que permite obtener soluciones aproximadas a una ampliavariedad de problemas de mecnica en el continuo.

La premisa bsica es que una regin de solucin puede ser modeladaanalticamente reemplazndola con un arreglo de elementos discretos. Esto permite reducir un nmero infinito de incgnitas del problema a uno con un nmero finito de incgnitas.

Por otro lado, el mtodo tambin permite variar las condiciones (parmetros elsticos, viscosidad, densidad, temperatura, etc.) de los elementos individualmente o en grupos de acuerdo a las ecuaciones constitutivas que se empleen en el problema.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejemplos de visualizacin de resultados.

X

Y

Z

A

A

A

B

B

A

B

C

A

C

A

B

C

D

A

B

D

CA

E

D

B

C

EF

D

A B

E

C

F

D

E

C

G

D

F

E

G

C

DB

A

D

H

E

F

G

E

C

F

D

B

H

A

E G

D

D

H

F

E

D

C

G

C

B

F

G

C

E B

A

D

F

B

C

E

A

D

B

C

E

A

D

A

B C

B

D

A C

A

B

A

AB

CA

B

http://ceaspub.eas.asu.edu/structures/FiniteElementAnalysis.htm

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

El mtodo trabaja dividiendo la regin de solucin en elementos y expresando las variables de campovariables de campo incgnitas en trminos de funcionesfuncionesaproximadasaproximadas dentro de cada elemento.En turno, las funciones aproximadas se expresan en trminos de valores de la variable de campo para ciertos puntos llamados nodosnodos o o puntospuntos nodalesnodales. El conjunto de nodos configura una mallamalla o o rejillarejilla de de solucisolucinn para el problema.Esta malla puede o no seguir la configuracin fsica del campo. Por ejemplo, se puede trasladar el problema al campo de solucin matemtico, cuyasfronteras pueden no coincidir con las orillas del cuerpo fsico.

Pobre discretizacin Discretizacin adecuada

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Existen bsicamente cuatro maneras de formular las ecuaciones del sistema:

1.1.AproximaciAproximacinn directadirecta..

Las ecuaciones del sistema se ensamblan directamente de las ecuacionesque gobiernan el problema.Desventaja: Slo se pueden analizar elementos de formas o geometrassimples.

2. AproximaciAproximacinn VariacionalVariacional..

En esta alternativa, se requieren usar funciones obtenidas del clculovariacional, es decir, encontrando los valores extremos de un funcional(por ej. la Energa Potencial).Ventaja: Se pueden usar formas de elementos tanto simples comocomplejas.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

3. AproximaciAproximacinn de de ResidualesResiduales PesadosPesados (Weighted Residuals).(Weighted Residuals).

En esta forma se traslada el problema del campo de solucin fsico al campo de solucin puramente matemtico.Ventaja: Puede aplicarse en problemas donde no se cuenta con un funcional adecuado.

4. AproximaciAproximacinn de Balance de de Balance de EnergEnergaa..

(Muy empleado en casos de mecnica de slidos)Se basa en el balance de la energa trmica o mecnica del sistema. Ventaja: Igual al anterior.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

En una aproximacin de solucin a los desplazamientos, el error deerror dediscretizacidiscretizacinn introducido al suponer un polinomio como funcin deinterpolacin es del orden de:

donde h es el tamao del elemento y p es el orden del polinomio quese usa en la interpolacin.

( 1)( )pO h +

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Lo anterior se debe a que mientras mayor sea el nmero de elementosempleado (reduciendo, por tanto, el tamao de los mismos) tendremosuna mejor aproximacin a la solucin exacta del problema.Por ejemplo, en el caso de problemas de elasticidad plana (podra un casoser deformacin plana), donde se puede suponer una expansin lineal, porlo tanto una interpolacin lineal (p = 1) podemos esperar una convergenciadel orden de:

es decir, el error en desplazamiento se reducirreduciraa a 1/4a 1/4 , si reducimos el espacio entre nodos a la a la mitadmitad (1/2)(1/2).

2( )O h

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Por otro lado, los esfuerzos y las deformaciones, los cualescorresponden a la msima derivada del desplazamiento, convergencon un error del orden de:

( 1 )( )p mO h +

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Pasos a seguir (de manera general y a manera de receta) para encontrarla solucin a un problema del continuo usando el MEF.

1. 1. DiscretizarDiscretizar el continuoel continuo2. 2. SeleccionarSeleccionar funcionesfunciones de de interpolaciinterpolacinn apropiadasapropiadas3. 3. EncontrarEncontrar laslas propiedadespropiedades de los de los elementoselementos ((ecuacionesecuaciones quequerelacionanrelacionanlaslas condicionescondiciones de los de los elementoselementos con la con la solucisolucinn buscadabuscada, , p.ejp.ej..ecuacionesecuaciones fuerzafuerza--desplazamientodesplazamiento en en casocaso de de elasticidadelasticidad), se ), se empleaempleaunouno de los de los cuatrocuatro procedimientosprocedimientos..4. 4. EnsamblarEnsamblar laslas propiedadespropiedades de los de los elementoselementos parapara formarformar laslasecuacionesecuacionesdel del sistemasistema ((trasladartrasladar laslas ecuacionesecuaciones del del esquemaesquema local, local, porpor elementoelemento,,al al esquemaesquema global, del global, del sistemasistema))5. 5. ModificarModificar laslas ecuacionesecuaciones del del sistemasistema parapara tomartomar en en cuentacuenta laslascondicionescondiciones de de fronterafrontera..6. 6. ResolverResolver el el sistemasistema de de ecuacionesecuaciones..7. Desplegar los resultados en manera gr7. Desplegar los resultados en manera grfica convenientefica conveniente

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

En ocasiones el modelo fsico est directamente relacionado (idealizado) por el modelo matemtico, pero no tiene que ser siempre as.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Veamos un ejemplo del Mtodo de Galerkin usando un elemento sencillo. Supongamos que necesitamos resolver numricamente la siguiente ecuacin diferencial (u es desplazamiento):

y condiciones de frontera:

u es nuestra incgnita.

Ref: INTRODUCTION TO THE FINITE ELEMENT METHOD, Notas del Prof. G. P. Nikishkov, Universidad de Aizu, Japn

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Usaremos dos elementos unidimensionales como los de la figura:

Primero, consideremos el elemento finito de la derecha. Este elemento tiene dos nodos. Una aproximacin de la funcin u(x) puede efectuarse de la siguiente manera:

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

donde Ni son conocidas como funciones de interpolacin o forma (shapefunctions)

Las cuales se emplean para interpolar u(x) usando sus valores nodales. Los valores nodales u1 y u2 son incgnitas que deben ser determinadaspor la discretizacin global del sistema.

Despus de sustituir u expresada por medio de sus valores nodales y funciones de forma, la ecuacin diferencial nos queda:

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

donde es un residual diferente de cero debido a la representacin aproximada de la funcin dentro del elemento. El mtodo de Galerkinminimiza el residual por medio de multiplicar los trminos de la ecuacin anterior por las funciones de forma, integrar sobre el elemento e igualar con cero:

Si integramos por partes nos lleva a la la siguiente solucin:

Aqu ya se empieza a notar la formulacin tpica del elemento finito.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

La relacin anterior puede ser escrita como:

En mecnica de slidos a [ k ] le llamamos la matriz de dureza o resistencia (stiffness matrix) y { f } se le llama el vector de cargas (load vector). Se usa la misma terminologa en elemento finito. De esta forma tenemos:

[ ]{ } { }k u f=

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

En el sencillo ejemplo considerado para dos elementos de longitud L las matrices de resistencia y vectores de carga pueden ser calculados de manera simple:

La relaciones anteriores proporciononan las ecuaciones de cadaelemento. Para obtener la ecuacin global del sistema de dos elementosunidos, tendremos el caso de un dominio de dos elementos con 3 nodos(uno es compartido), para lo que necesitamos ensamblar las ecuacionesde los elementos individuales.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

En nuestro ejemplo el sistema queda de la siguiente forma:

Despus de aplicar las condiciones de frontera u(x = 0) = 0 el sistemaglobal de ecuaciones nos queda as:

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Los valores nodales ui se obtienen como resultado de la solucin del sistema lineal de ecuaciones algebraicas.

El valor de u para cualquier punto dentro de un elemento puede ser calculado por medio de las funciones de interpolacin o de forma.

La solucin exacta es una funcin cuadrtica. La solucin de elementofinito con la ayuda de los elementos ms simples es lineal pieza a pieza. Una solucin ms precisa puede ser obtenida aumentando el nmero de elementos sencillos o por medio de elementos con funciones de interpolacin ms complicadas. Para nuestro ejemplo se puede notar que en los nodos el mtodo de elemento finito proporciona los valores exactos de u.

Elementos finitos con funciones lineales de interpolacin producen valoresexactos en los nodos si la solucin que se busca es cuadrtica. Elementoscon funciones de interpolacin cuadrticas dan una solucin nodal exacta para una solucin cbica, etc.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

La solucin de la ecuacin diferencial se muestra en la siguiente figura. para a = 1, b = 1, L = 1 y R = 1.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

EJEMPLOSEJEMPLOS

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

http://element.ess.ucla.edu/guide/home.htm

Programa Shellspor Peter Bird

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Verificacin de la convergencia hacia una buena solucin

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Salidas del modelo

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Simulacin del Temblor de Kalapana, Hawaii, de 1975 (Ms = 7.2).

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

ReferenciasReferencias parapara programasprogramas y y ligasligas interesantesinteresantes::

11. . ProgramaPrograma shells shells parapara modelarmodelar casoscasos de de tecttectnicanica porpor elementoselementos finitosfinitos::http://http://peterbird.namepeterbird.name//((verver la parte la parte dondedonde dice Library of Finite Element Codes)dice Library of Finite Element Codes)

22. . ProgramaPrograma FELIPE (FELIPE (ahoraahora tienetiene un un costocosto peropero hay hay uneune versiversinn de prueba)de prueba): : http://www.maths.bath.ac.uk/~mbr20/felipe/http://www.maths.bath.ac.uk/~mbr20/felipe/

33. . PPginagina del Prof. del Prof. NikishkovNikishkov, Universidad de , Universidad de AizuAizu, Jap, Japnn::http://www.uhttp://www.u--aizu.ac.jp/~niki/feminstr/introfem/introfem.htmlaizu.ac.jp/~niki/feminstr/introfem/introfem.html

44. . PPginagina The Finite Element SiteThe Finite Element Site del Prof. del Prof. DattarajDattaraj Rao:Rao:http://http://dattaraj_rao.tripod.comdattaraj_rao.tripod.com/FEM//FEM/

5. 5. FreeFemFreeFem ++ de la ++ de la UniversitUniversit Pierre et Marie CuriePierre et Marie Curiehttp://www.freefem.org/ff++/http://www.freefem.org/ff++/

66. DiscretizadorDiscretizador de elementos del Prof. de elementos del Prof. NikishkovNikishkovhttp://http://www.uwww.u--aizu.ac.jpaizu.ac.jp//~niki~niki//javaappljavaappl/jmbr3d//jmbr3d/jmbr3djmbr3d..htmlhtml