Post on 22-Oct-2019
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————56—
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
Las teorías de campo:
FuerteElectromagnéticaDébilGravitacional
Cada campo tiene una Fuerza Fundamental asociada:
Fuerte: — Magnitud relativa = 1— Cohesión nuclear— Rango de acción reducido— Partícula mediadora: Mesón
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————57—
Electromagnética — Magnitud relativa = 1/137— Mayoría de las interacciones— Rango de acción infinito— Partícula mediadora: Fotón
Débil: — Magnitud relativa = 10-13
— Decaimiento de neutrón libre— Rango de acción reducido— Partícula mediadora: Bosón Int.
Gravitacional: — Magnitud relativa = 10-42
— Atracción de masas— Rango de acción infinito— Partícula mediadora: Gravitón
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————58—
Propiedades de la carga eléctrica:
— Positiva y negativa; en igual cantidad; se cancelan(carga neta igual a cero).
— Fuerza entre cargas del mismo signo: repulsiva, entrecargas de signo distinto: atractiva.
F ∝ q1q2
r1−22
— Está cuantizada: múltiplos enteros de una unidadfundamental de carga, e = - 1.602X10-19 Coulombs.
— La carga neta se conserva.
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————59—
Los distintos aspectos del electromagnetismo:
Partícula fuente: Genera el campo eléctrico.Partícula de prueba: Detecta el campo eléctrico sinalterarlo.
QFUENTE >> QPRUEBA
Analogía gravitacional:
masaTierra >> masamanzana
Electrostática: Partícula fuente en reposo.Magnetostática Partícula fuente en movimiento no
acelerado (velocidad constante).Electrodinámica Partícula fuente en movimiento
acelerado (velocidad variable).
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————60—
Sistemas de unidades:
MKSMetro-Kilogramo-Segundo
Newton (N)Kilogramo (Kg)Joule (J)Watt (W)Coulomb (C)
CGS (Gaussiano)Centímetro-Gramo-Seg.
dina (D)gramo (g)erg (e)erg/seg (e/s)statcoulomb (sC)
MKS: también conocido como el “SistemaInternacional de Unidades”
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————57—
CAPÍTULO 2 ELECTROSTÁTICA
Introducción:
Ecuaciones de Movimiento
⇑
Suma de Fuerzas
⇑
Campos
⇑
Potenciales
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————58—
Fuerza eléctrica: Ley de Coulomb
F =
1
4πεo
q1q2
ξ122
ˆ ξ 12
εo=8.85X10-12
C2
Nm2
Ejemplo 1.- Fuerza entre protón y electrón en el átomode hidrógeno.
Fuerza eléctrica; atractiva
FE = − 1
4πεo
e2
ro2
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————59—
FE = −1.602X10−19C( )2
4π 8.85X10−12C2 / Nm2( ) 5.29X10−11m( )2
FE = −8.25X10−8 N
Fuerza gravitacional; atractiva
FG = Gmemp
ro2
FG =6.67X10−11Nm2 / kg2( ) 9.11X10−31kg( ) 1.67X10−27 kg( )
5.29X10−11m( )2
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————60—
FG = 3.63X10−47 N
FE
FG=
8.25X10−8 N
3.63X10 −47 N= 2.27X10 +39
Principio de Superposición:
F = Fi
i=1
n
∑
(suma vectorial: componente por componente)
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————61—
Ejemplo 2.- Fuerza sobre Q debida a q1 y q2.
z
y
x
q1 q2
QF1HF2H
F2F2V F1V F1
α α
y=by=-b
z=d
Fi =
1
4πεo
q iQ
ξ iQ2
ˆ ξ iQ
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————62—
ξ=(b2+ d2)1/2
ˆ ξ 1Q = cos(α)ˆ j + sen(α)ˆ k
ˆ ξ 2Q = −cos(α)ˆ j + sen(α)ˆ k
cos α( ) = b
ξ= b
b2 + d2( )1/ 2
sen α( ) = d
ξ= d
b2 + d2( )1/ 2
F1H = F1 cos α( ) = 1
4πεo
q1Q
b2 + d2( )
b
b2 + d2( )1/ 2
F1H = 1
4πεo
bq1Q
b2 +d2( )3/ 2
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————63—
F1V = F1sen α( ) = 1
4πεo
q1Q
b2 + d2( )
d
b2 + d2( )1/ 2
F1V = 1
4πεo
dq1Q
b2 +d2( )3/ 2
F2H = − bq2Q
4πεo b2 + d2( )3/ 2
F2V = + dq2Q
4πeo b2 + d2( )3/ 2
FH = F1H + F2H = bq1Q
4πεo b2 + d2( )3/ 2− bq2Q
4πεo b2 + d2( )3/ 2
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————64—
FH =bQ q1 − q2( )
4πεo b2 + d2( )3/ 2
FV = F1V + F2V =dq1Q
4πεo b2 + d2( )3/ 2+
dq2Q
4πεo b2 + d 2( )3/ 2
FV =dQ q1 + q2( )
4πεo b 2 + d2( )3/ 2
F = F = FH2 + FV
2
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————65—
F = b2Q2
4πεo b2 + d2( )3/ 2
2q1 − q2( )2
+ d2Q2
4πεo b2 + d2( )3/ 2
2q1 + q2( )2
1/ 2
F =Q
4πε o b2 + d2( )3/ 2
b2 q1 − q2( )2+ d2 q 1 + q2( )2
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————66—
Campo eléctrico:
FQ = Fi
i
n
∑ Fi =
1
4πεo
q iQ
ξ iQ2
ˆ ξ iQ
FQ = Q1
4πεo
q i
ξ iQ2
ˆ ξ iQ
i
n
∑
E =
lim
Q→ 0
FQ
Q
unidades: N/C = Volts/m
F = QE
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————67—
E =
1
4πεo
q
ξ2ˆ ξ
Ejemplo 3.- q1, q2, y q3, en vértices triángulo equilátero,lado b.
z
y
x
q1 q3
q2
E1HE3H
E3 E1
y=b/2y=-b/2
E3V E1V
E2V
z=0.866b
Centro en (0, 0, 0.288b)
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————68—
E i =
1
4πεo
q
ξ i2
ˆ ξ i
c =
3
6b
ξ1 = ξ2 = ξ3 =
b2
4+ c2 =
1
4b2 +
1
12b2 = b
1
3
ξ i
2 =b2
3
E i =
3
4πεo
q
b2ˆ ξ i
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————69—
E1H = +
3
4πεo
q1
b2cos
π6
= +
3
4πεo
q1
b2
3
2
= +
3 3
8πεo
q1
b2
E1V = +
3
4πεo
q1
b2sen
π6
= +
3
4πεo
q 1
b 2
1
2
= +
3
8πεo
q1
b2
E3H = −
3
4πεo
q3
b2cos
π6
= −
3 3
8πεo
q3
b2
E3V = +
3
4πε o
q3
b2sen
π6
= +
3
8πεo
q3
b2
E2H = 0 E2V = − 3
4πεo
q2
b2
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————70—
EH = E1H + E2H + E3H = 3 3
8πεo
q1
b2+ 0 − 3 3
8πεo
q3
b2
EH = 3 3
8πεob2q1 − q3[ ]
EV = E1V + E2V + E3V =
3
8πεo
q1
b2−
3
4πεo
q2
b2+
3
8πεo
q3
b2
EV =
3
8πεo b2q1 − 2q2 + q3[ ]
E = EH
ˆ j + EVˆ k = 3
8πεob23 q1 − q3[ ]ˆ j + q1 − 2q2 +q3[ ]ˆ k { }
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————71—
Ejemplo 4.- (Dipolo Eléctrico)
z
y
x
q—
E+HE—H
E—
E—V E+VE+
α
z=aq+
z=-a
E
P
ξ=(a2+ y2)1/2
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————72—
E+ =1
4πεo
q
a 2 + y2( )
E+H = + 1
4πεo
q
a2 + y2( )cos α( )ˆ j
E+V = − 1
4πεo
q
a2 + y2( )sen α( )ˆ k
E− = 1
4πεo
q
a2 + y2( )
E−H = − 1
4πεo
q
a2 + y2( )cos α( )ˆ j
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————73—
E−V = − 1
4πεo
q
a2 + y2( )sen α( )ˆ k
E = E+V + E−V = −21
4πεo
q
a2 + y2( )sen α( )ˆ k
sen α( ) = a
a2 + y2( )1/ 2
E y( ) = − 2aq
4πεo a 2 + y2( )3/ 2ˆ k
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————74—
Campo en el origen:
E y = 0( ) = − 2aq
4πεo a2( )3/ 2ˆ k = − 2q
4πεoa2ˆ k
Si y >> a:
1
a2 + y2( )3/ 2≈ 1
y2( )3/ 2= 1
y3
E y( ) = − 2aq
4πεoy3ˆ k = − p
4πεoy3
p=2qa Momento Dipolar Eléctrico
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————75—
Líneas de campo:
-
+
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————76—
Campo eléctrico para distribuciones continuas de carga:
Densidad lineal de carga:
λ ≡
lim
l→0
Q
l= carga
longitud⇒ coulomb
metro
Densidad superficial de carga:
σ ≡lim
A→0
Q
A= carg a
área⇒ coulomb
metro( )2
Densidad volumétrica de carga:
ρ ≡lim
τ→0
Q
τ= carg a
volumen⇒ coulomb
metro( )3
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————77—
dE = 1
4πεo
dq
ξ2ˆ ξ
z
y
x
(x,y,z)
(x',y',z')ξ
r'
r
ξ vector del elemento de integración a punto deevaluación
ξ = r − r, = x − x,( )ˆ i + y − y,( )ˆ j + z − z,( ) ˆ k
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————78—
dq =λdl
σda
ρdτ
dl = diferencial de longitud
da = diferencial de área
dτ = diferencial de volumen
E = 1
4πεo
ˆ ξ ξ2
λdl∫ E = 1
4πεo
ˆ ξ ξ2
σda∫ E = 1
4πεo
ˆ ξ ξ2
ρdτ∫
E x, y, z( ) = 1
4πεo
ρ x ' , y ' , z '( )dx 'dy 'dz'
ξ x,y, z, x ' , y ' , z'( )[ ]2ˆ ξ ∫∫∫
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————79—
Metodología:
— Definir el sistema coordenado más apropiado y lalocalización del origen.
— Expresar ξ en términos de las coordenadas del sistemaque estemos usando, o alternativamente, expresaralgunas de las coordenadas en términos de ξ.
— Analizar la simetría del problema para evitar calcularlas componentes del campo que se anularán en laintegración.
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————80—
Ejemplo 5.- Alambre cargado con densidad uniforme λ.
z
y
x
EH
EV
αEV
E
β
dz'
λ
ˆ ξ = sen(α)ˆ j − cos(α)ˆ k = cos(β)ˆ j − sen(β)ˆ k
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————81—
dE = λdz,
4πεoξ2cos(β)ˆ j − sen(β)ˆ k [ ]
ξ = y
cos(β)= y sec(β) ⇒ ξ
2 = y2 sec2(β)
z’ = y tan(β) ⇒ dz, = y sec2(β)dβ
dE = λ4πεo
y sec2(β)dβ[ ]y2 sec2(β)[ ] cos(β)ˆ j − sen(β)ˆ k [ ]
= λ
4πεoycos(β)ˆ j − sen(β) ˆ k [ ]dβ
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————82—
E(y) = 2λ
4πεoycos(β)dβˆ j
0
β
∫ = λ2πεoy
sen(β)ˆ j
E(r) = λ
2πεorsen(β)ˆ r ⇒
E(r) = λL
πεor L2 + 4r2ˆ r
Alambre infinito: β→π/2
E(r) = λ
2πεorˆ r
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————83—
Ejemplo 7.- Disco de radio R, densidad uniforme σ. z
y
x
σ
R
EV
EH
E
ξ
da
α
rφ
dE = σ
4πεo
ˆ ξ ξ2
da
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————84—
da=rdrdφ dE = σ
4πεo
ˆ ξ ξ2
rdrdφ
ξ2 = z2 + r2
cos(α) = z
z2 + r2( )1/ 2
dE = σ4πεo
rdrdφz2 + r2( )cos(α) = σ
4πεo
zrdrdφ
z2 + r2( )3/ 2
E = 4σ
4πεo
zdφ
z2 + r2( )3/ 2
rdr
0
π / 2
∫0
R
∫ ˆ k
= σ2εo
z
z2 + r2( )3/ 2rdrˆ k
0
R
∫
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————85—
E = σ2εo
−z
z2 + r2( )1/ 2
R
0
ˆ k = σ
2εo− z
z2 + R2( )1/ 2+1
ˆ k
E(z) = σ2εo
1− z
z2 + R2( )1/ 2
ˆ k
Si R → ∞ :
E = σ2εo
1− z
z2 + ∞2( )1/ 2
ˆ k ≈ σ
2εo
ˆ k
¡Campo constante!
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————86—
Ejemplo 8.- Esfera sólida de radio R; densidaduniforme ρ.
z
y
x
ξ
θ
α
ρ
dτ
EV
EH
E
R
r
z
dE = 1
4πεo
ρξ2
dτ = 1
4πεo
ρξ2
r2senθdrdθdφ
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————87—
dEz = dEcosα = 1
4πεo
ρξ2
r2senθdrdθdφcosα
ξ2 = r2 + z2 − 2rzcosθ r
2 = ξ2 + z2 − 2ξzcosα
cosα = z − r cosθ
r2 + z2 − 2rz cosθ
dEz =ρr2senθdrdθdφ
4πεo
1
r2 + z2 − 2rzcosθ( )z − r cosθ( )
r2 + z2 − 2rzcosθ
dEz =ρr2 z − r cosθ( )senθdrdθdφ
4πεo r2 + z2 − 2rzcosθ( )3/ 2
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————88—
Ez = dEz∫ =ρr2 z − r cosθ( )senθ
4πεo r2 + z2 − 2rzcosθ( )3/2
0
2π
∫0
π
∫0
R
∫ drdθdφ
Ez = 2π ρr2
4πεodr
z − r cosθ( )senθ
r2 + z2 − 2rzcosθ( )3/ 2
0
π
∫0
R
∫ dθ
Ez = 2π ρr2
4πεodr
r − zcosθ( )z2 r2 + z2 − 2rzcosθ( )1/ 2
π
0
0
R
∫
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————89—
= 2π ρr2
4πεo
drr + z( )
z2 r + z( )2
1/ 2−
r − z( )z2 z − r( )2
1/2
0
R
∫AFUERA: z ≥ R; z ≥ r
−r − z( )
z2 z − r( )2
1/ 2= −
r − z( )z2 z − r( )
= + 1
z2
Ez = 2π ρr2
4πεodr
2
z2
=
0
R
∫ 4πz2
ρr2
4πεodr
0
R
∫
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————90—
Ez = ρ
εoz2
1
3R3
EEXT(r) = ρR3
3εo
1
r2ˆ r
Q = ρ 4
3πR3
EEXT(r) = Q
4πεor2ˆ r
ADENTRO: z ≤ R
0 ≤ r ≤ z; z ≥ r
−r − z( )
z2 z − r( )2
1/ 2= −
r − z( )z2 z − r( )
= + 1
z2
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————91—
z ≤ r ≤ R; r ≥ z
−r − z( )
z2 z − r( )2
1/ 2= −
r − z( )z2 r − z( )
= − 1
z2
Ez = 2π ρr2
4πεo
dr1
z2+ 1
z2
+ρr2
4πεo
dr1
z2− 1
z2
z
R
∫0
z
∫
= ρεoz2
r2dr =
0
z
∫ ρεoz 2
z3
3
EINT(r) = ρ
3εorˆ r
EINT(r) = Q
4πεo
r
R3
r
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————92—
La Ley de Gauss:
Vector Desplazamiento:
D =t ε E
unidades: C/m2
Espacio libre: D=εoE
ΦE = D • da∫ = εoE • da∫ = Qenc
E • da∫ = E • daˆ n ∫ = Qenc
εo
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————93—
Condiciones para usar la Ley de Gauss:
1) E (o D) es o normal o tangencial a la superficie encualquier punto. Esta condición implica que debemosconocer la dirección de E (o D) a priori.
2) E (o D) debe ser constante en la superficie usada. Estacondición se cumple para líneas y planos infinitos condistribución de carga constante, y para distribucionesvolumétricas donde r es constante o sólo depende de lacoordenada radial (en coordenadas esféricas).
Qenc = q i∑ ;
Qenc = λdl∫ ;
Qenc = σda∫ ;
Qenc = ρdτ∫
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————94—
Ejemplo 9.- Línea de carga infinita con densidaduniforme λ.
Superficie gaussiana
l
λr
da
da
da
E
E • da∫ = E 2πr( )dl
0
l
∫ = E 2πrl( )
Qenc = λdl∫ = λl
E = λ
2πεorˆ r
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————95—
Ejemplo 10.- Plano infinito con densidad uniforme σ.
Superficie gaussiana
σ
da
da
da
E
E
E • da∫ = 2E da∫
Qenc = σda∫ = σ da∫
2E da∫ = σεo
da∫ E = σ
2εoˆ n
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————96—
Ejemplo 11.- Distribución uniforme ρ; radio R.
R
r
z
y
x
r
Superficie gaussiana para cálculo en el interior
Superficie gaussiana para cálculo en el exterior
ρ
E • da∫ = E 4πr2( )
Qenc = ρdτ∫ = ρr2senθdrdθdφ∫
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————97—
ADENTRO: r ≤ R; r = 0 a r = r
Qenc = 4π ρr2dr
0
r
∫ = 4
3πρr3
EINT(r) = ρ
3εorˆ r
AFUERA: r ≥ R; r = 0 a r = R
Qenc = 4π ρr2dr
0
R
∫ = 4
3πρR3
EEXT(r) = ρ
3εo
R3
r2ˆ r = Q
4πεor2ˆ r
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————98—
Ejemplo 12.- Distribución volumétrica de carga nouniforme:
ρ(r) = ρo 1− r
R
2
E • da∫ = E 4πr2( )
Qenc = ρ(r)dτ∫ = ρo 1− r
R
2
r2senθdrdθdφ∫
= 4πρo 1− r
R
2
r2dr∫
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————99—
ADENTRO: r ≤ R
Qenc = 4πρo 1− r
R
2
r2dr
0
r
∫ = 4πρo1
3r3 − 1
5
r5
R2
EINT(r) = ρo
εo
1
3r − 1
5
r3
R2
r
AFUERA: r ≥ R
Qenc = 4πρo 1− r
R
2
r2dr
0
R
∫ = 4πρo2
15R3
EEXT(r) = 2ρoR3
15εor2ˆ r
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————100—
La divergencia del campo eléctrico:
z
y
x
1.- Anterior2.- Posterior3.- Derecha4.- Izquierda5.- Superior6.- Inferior
da2
da1
da3
da4
da5
da6
P
Campo eléctrico en el centro (arbitrario):
E = Eo = Eox i + Eoy j + Eoz k
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————101—
E• da∫ = E• da1∫ + E• da2∫ + E• da3∫
+ E• da4∫ + E• da5∫ + E• da6∫
E • dai∫ ≈ E • ∆A i
Para la cara anterior: Para la cara posterior:
Ex = Eox + ∆x
2
∂
∂xEox
Ex = Eox − ∆x
2
∂
∂xEox
∆A1 = ∆y∆zˆ i ∆A2 = −∆y∆zˆ i
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————102—
E • da1∫ ≈ Eox + ∆x
2
∂
∂xEox
∆y∆z
E • da2∫ ≈ −Eox + ∆x
2
∂
∂xEox
∆y∆z
E • da1∫ + E • da2∫ ≈
2
∆x
2
∂
∂xEox
∆y∆z = ∂∂x
Eox
∆x∆y∆z
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————103—
E • da3∫ + E • da4∫ ≈
2
∆y
2
∂
∂yEoy
∆x∆z = ∂∂y
Eoy
∆x∆y∆z
E • da5∫ + E • da6∫ ≈
2
∆z
2
∂
∂zEoz
∆x∆y = ∂∂z
Eoz
∆x∆y∆z
Flujo total:
E • da∫ ≈ ∂
∂xEox + ∂
∂yEoy + ∂
∂zEoz
∆x∆y∆z
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————104—
E • da∫ = Qenc
εo≈ ∂
∂xEox + ∂
∂yEoy + ∂
∂zEoz
∆τ
∂∂x
Eox + ∂∂y
Eoy + ∂∂z
Eoz
=
lim
∆τ→0
Qenc
εo∆τ
Reconocemos:
ρ =
lim
∆τ→0
Qenc
∆τ ∇ • E = ∂
∂xEox + ∂
∂yEoy + ∂
∂zEoz
Divergencia del campo eléctrico:
∇ • E = ρ
εo
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————105—
Directamente del Teorema de la Divergencia:
E • da∫ = ∇ • E( )∫ dτ
Qenc = ρdτ∫
∇ • E( )∫ dτ = ρ
εodτ∫
∇ • E = ρ
εo
Ejemplo 13.- Campo eléctrico dado por:
E(x,y,z) = 3x2y i + 2xyz j - 4y2x k
ρ(x, y, z) = εo ∇ •E( ) = 2εox(3y + z)
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————106—
Ley de Gauss; Recapitulación:
E • da∫ = Qenc
εo
E • da∫ = 0
∇ •E = 0
∇ •E =ρεo
ρ
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————107—
Divergencia del Campo de una Carga Puntual:
E(r) = q
4πεor2ˆ r
∇ • E(r) = 1
r2
d
drr2 q
4πεor2
=
1
r2
d
dr
q
4πεo
= 0
E • da∫ = q
4πεor2
∫ r2senθdθdφ
= q
4πεosenθdθdφ∫ = q
εo
∇ • E(ξ) = ρ
εoδ(ξ) ξ = r - ro
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————108—
El rotacional del campo eléctrico:
Teorema de Helmholtz: Un campo vectorial que tiendea cero en el infinito está totalmente definido si seconoce su divergencia y su rotacional.
E • dl
a
b
∫ = q
4πεor2ˆ r • drˆ r
a
b
∫ = q
4πεor2dr
a
b
∫ = − q
4πεor
b
a
E • dl
a
b
∫ = − q
4πεor
1
b− 1
a
Independiente de trayectoria
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————109—
E • dl∫ = 0
El campo electrostático es conservativo(energía potencial ⇔ energía cinética)
∇ × E( )∫ •da = E •dl∫
∇ × E( )∫ •da = 0 ⇒ ∇ × E = 0
Las líneas del campo eléctrico nunca se cruzan nigiran alrededor de ningún punto
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————110—
El potencial escalar:
E • dl
a
b
∫ = −∇V( ) • dl
a
b
∫ = − V(b) − V(a)[ ]
V ⇒ Potencial Escalar
Unidades:
Nm
C= J
C≡ V
El potencial no es una realidad física; es un conceptomatemático que representa indirectamente al campo
eléctrico.
E = −∇V
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————111—
El potencial está indefinido hasta una constante:
V' = V + C
E = −∇V E' = −∇(V + C) = −∇V
Referencia de potencial arbitraria: cero en el infinito;cero en “tierra”; etc.
Para una carga puntual: V(P) = q
4πεoξ
Superposición:
VTOT = Vi ξi( )i=1
n
∑
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————112—
Ejemplo 14.- Tres cargas de igual magnitud, dosnegativas y una positiva, en tres esquinas de un cuadradode lado S.
+q -q
-q
S
S
V− = − q
4πεoS− q
4πεoS= −2
q
4πεoS V+ = q
4πεo 2S
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————113—
VTOT = V+ + V− = q
4πεo 2S− 2
q
4πεoS
2
2− 2
= q
4πεoS
1
2− 2
Ejemplo 15.- Potencial dentro y fuera de cascarónesférico de radio R, cargado con carga total Q.
EEXT(r) = Q
4πεor2ˆ r EINT(r) = 0
Conociendo el campo, el potencial se encuentra de laintegral de línea de éste. Si el cero de referenciaestá en el infinito, hay que integrar desde allí.
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————114—
AFUERA: r > R
VEXT(r) = − E• dl
∞
r
∫ = − EEXT • dl
∞
r
∫
= −Q
4πεor2ˆ r • drˆ r
∞
r
∫ =Q
4πεor
r
∞=
Q
4πεor
VEXT(r) = Q
4πεor
ADENTRO: r < R
VINT(r) = − E •dl
∞
r
∫ = − EEXT • dl
∞
R
∫ − EINT • dl
R
r
∫
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————115—
VINT(r) = − Q
4πεor2dr
∞
R
∫ − 0( )dr
R
r
∫ = Q
4πεor
R
∞= Q
4πεoR
VINT(r) = Q
4πεoR=constante
El potencial es continuo:
VINT(r = R) = VEXT(r = R)
El campo eléctrico es discontinuo:
EEXT − EINT = Q
4πεoR 2ˆ r − 0 =
σ 4πR2( )4πεoR 2
ˆ r = σεo
ˆ r
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————116—
En general:
EnEXT − EnINT( )superficie
= σεo
∂∂n
VEXT − ∂∂n
VINT
superficie
= − σεo
Potencial para distribuciones continuas:
V(P) = 1
4πεo
λξ∫ dl
V(P) = 1
4πεo
σξ∫ da
V(P) = 1
4πεo
ρξ∫ dτ
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————117—
Las ecuaciones de Poisson y Laplace:
∇ • E = ∇ • −∇V( ) = −∇2V = ρ
εo
Ecuación de Poisson: ∇2V = − ρ
εo
Ecuación de Laplace: ∇2V = 0
Ecuaciones diferenciales de segundo orden:
Solución General + Condiciones de Frontera
= Solución Particular
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————118—
Energía y trabajo:
El campo eléctrico es conservativo
W = −Q E • dl
a
b
∫ = +Q V(b) − V(a)[ ]
Cero de potencial en el infinito:
W = −Q E • dl
∞
P
∫ = +Q V(P) − 0[ ]
U = W = QV(P)
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————119—
Ejemplo 16.- Trabajo necesario para formar átomo de H.
W = −eVP (ro ) = −e
e
4πεoro
= − e2
4πεoro
ro = 0.529X10-10 m
VP(ro ) = e
4πεoro= 27.23V
W = −eVP (ro ) = −1.602X10−19C( ) 27.23V( )
= −4.363X10−18J = −27.23eV
1eV = 1.602X10−19J
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————120—
Trabajo necesario para formar una distribución decarga:
Distribución discreta de 4 cargas:
W1=0
W2 = q2V(P2 ) = q2
q1
4πεor12
W3 = q3V(P3) = q3
q1
4πεor13+ q2
4πεor23
W4 = q4V(P4 ) = q4
q1
4πεor14+ q2
4πεor24+ q3
4πεor34
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————121—
WTOT = W1 + W2 + W3 + W4 = W2 + W3 + W4
WTOT = 1
4πεo
q1q2
r12+ q1q3
r13+ q1q4
r14+ q2q3
r23+ q2q4
r24+ q3q4
r34
WTOT = 1
4πεo
q iq j
rijj> i
n
∑
i=1
n
∑
= 1
8πεo
q iq j
rijj≠ i
n
∑
i=1
n
∑
WTOT = 1
2q i
q j
4πεorijj≠ i
n
∑
i=1
n
∑
= 1
2q iV(Pi )
i=1
n
∑
W = 1
2λV∫ dl
W = 1
2σV∫ da
W = 1
2ρV∫ dτ
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————122—
Ejemplo 17.- Trabajo necesario para formar unadistribución volumétrica de carga ρ de radio R.
AFUERA: r ≥ R
VEXT(r) = − E • dl
∞
r
∫ = − EEXT • dl
∞
r
∫ = − ρR3
3εor 2ˆ r • drˆ r
∞
r
∫ = ρR3
3εor
r
∞= ρR3
3εor
ADENTRO: r ≤ R
VINT(r) = − E• dl
∞
r
∫ = − EEXT • dl
∞
R
∫ − EINT •dl
R
r
∫
= − ρR3
3εor2ˆ r • drˆ r
∞
R
∫ − ρ3εo
rˆ r •drˆ r
R
r
∫
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————123—
VINT(r) = ρR3
3εor
R
∞− ρ
6εor2
r
R
= ρ3εo
R2 − ρ6εo
r2 + ρ6εo
R 2
VINT(r) = ρ
2εoR 2 − 1
3r2
W = 1
2ρV∫ dτ = 1
2ρVINT (r)dτ∫ = 1
2ρ ρ
2εoR 2 − 1
3r2
r2senθdrdθdφ∫
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————124—
W = πρ2
εoR2r2 − 1
3r4
dr
0
R
∫ = πρ2
εo
R 2
3r3 − 1
15r5
R
0
W = πρ2
εo
1
3R5 − 1
15R5
= 4πρ2
15εoR5 = 3Q2
20πεo
1
R
Si R → 0 (carga puntual), W → ∞
La energía se almacena en el campo eléctrico.
Las ondas electromagnéticas transportan energía.
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————125—
Para una distribución arbitraria de carga:
ρ = εo∇• E
W = εo
2∇ •E( )V∫ dτ
∇• EV( ) = ∇ •E( )V + E • ∇V( )
∇• EV( ) = ∇ •E( )V + E • −E( ) = ∇• E( )V − E2
∇•E( )V = ∇ • EV( ) + E2
W = εo
2∇ • EV( ) + E2[ ]∫ dτ
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————126—
W = εo
2EV •da + E2dτ∫∫
W = εo
2E2dτ
Todo elEspacio
∫
u ≡
lim
τ→0
εo
2E2dτ∫
τ= 1
2εoE2
Densidad de energía: u = 1
2εoE2 (J/m3)
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————127—
Ejemplo 18.- El Cinescopio.
z
y
x
Acelerador
Placas de deflección
Pantalla
z1
h
vy
d
e
S
a
z2
F = −eE = (−e) −E ˆ k ( ) = eE ˆ k
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————128—
m
d2z
dt2= eE
z(t) = eE
2m
t2
vz(t) = eE
m
t
vz(t=0) = 0 t1 = S
vy
z1 = z(t = t1) = eE
2m
t1
2 = eE
2m
S
vy
2
vz1 = vz(t = t1) = eE
m
t1 = eE
m
S
vy
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————129—
v(y,z) = vy
ˆ j + vz1ˆ k = vy
ˆ j + eE
m
S
vy
ˆ k
h = z1 + z2
t2 = d
vy⇒
z2 = vz1t 2 = eE
m
S
vy
d
vy
=
eESd
mvy2
h = z1 + z2 = eE
2m
S
vy
2
+ eE
m
S
vy
d
vy
= eE
mvy2
1
2S2 +Sd
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————130—
V = Ea
h = eV
amvy2
1
2S2 +Sd
Para potenciales variables:
m
d2z
dt2= eE(t) = e
V(t)
a
La energía no obedece superposición:
E1 + E2( )2= E1
2 + 2 E1 •E2( ) + E22 ≠ E1
2 + E22
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————131—
Campo eléctrico en medios conductores:
+++++
+-----
- Distribución de carga inducida
EEXTERNO
EINDUCIDO
EINTERNO=0
En la superficie del conductor:
E = σ
εoˆ n
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————132—
R=0
a
b
σa
σb
Va (r = a) = q
4πεoa=
σa 4πa 2( )4πεoa
= σa
εoa
Vb(r = b) = q
4πεob=
σb 4πb2( )4πεob
= σb
εob
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————133—
Va (r = a) = σa
εoa = σb
εob = Vb(r = b)
σb
σa= a
b
Ea (r = a ) = σa
εo Eb(r = b) = σb
εo
σb
σa= Eb(r = b)
Ea (r = a )
Eb(r = b)
Ea (r = a )= a
b
Mientras más afilada la superficie, mayor es E.
Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————
—————————————————————————————————————————134—
Campo eléctrico dentro de conductores:
a) El campo eléctrico dentro de un conductor es siemprecero.
b) ρ=0 dentro de un conductor (la carga se distribuye a lasuperficie).
c) En un conductor, toda la carga libre reside en lasuperficie.
d) Un conductor es un equipotencial (está todo al mismopotencial, o el potencial es constante en el conductor).
e) El campo eléctrico evaluado en la superficie essiempre perpendicular a la misma y de magnitudE=(σ/εo).
f) El campo eléctrico en la superficie de un conductorserá más intenso mientras más pequeño sea el radio decurvatura.