Post on 02-May-2018
Tema III
Teorías de fallas estáticas
1) Teoría del “Esfuerzo normal” paramateriales frágiles y la teoría del “EsfuerzoNormal Máximo” para materiales dúctilespropuestas por Rankine.
2) Teoría de la “Deformación UnitariaMáxima” para materiales dúctiles propuestapor Saint-Venant.
3) Teoría del “Esfuerzo Cortante Máximo”para materiales dúctiles propuesta porcoulomb en 1773 y por Tresca en 1868.
Teorías fundamentales de falla
Mecánica de materiales – Falla estática
4) Teoría de la “Fricción Interna” paramateriales frágiles establecida por Mohr yCoulomb.
5) Teoría de la “Energía Máxima deDeformación” para materiales dúctilespropuesta por Beltrami.
6) Teoría de la “Energía Máxima deDistorsión” para materiales dúctiles,establecida por Huber, Von mises y Hencky.
7) Teoría del “Esfuerzo Cortante Octaédrico”para materiales dúctiles de Von Mises yHenky.
teorías fundamentales de falla
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo Normal (materiales frágiles) y Normal Máximo
(materiales dúctiles)
“La falla en una muestra, sometida a cualquiercombinación de cargas (biaxial o triaxial), esalcanzada cuando el Esfuerzo Normal o NormalMáximo en un punto cualquiera de la muestra sehace mayor o igual al esfuerzo de falla axial,determinado por una prueba de tensión ocompresión del mismo material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
Esta teoría afirma que la falla paramateriales dúctiles ocurre siempre que:
ffcfft
ffcfft
ffcfft
33
22
11
Y para materiales frágiles:
ucut
ucut
ucut
33
22
11
teoría del esfuerzo normalMecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo Normal para falla por esfuerzos triaxiales (frágil)
ut
uc
uc
ucut
ut
Mecánica de materiales – Falla estática
Superficie deFalla FS=1
Región de nofalla FS>1
Teoría del Esfuerzo Normal Máximo para falla por esfuerzos triaxiales
(dúctil)
f
f
f
f
f
f
Región de falla(exterior) FS<1
Superficie defalla FS=1
Región de no falla(interior) FS>1
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo Normal para falla por esfuerzos biaxiales (frágil)
ut
utuc
uc
Diagonalde corte
Región de falla FS<1
Región de nofalla FS>1
Región de falla FS=1
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo Normal Máximo para falla por esfuerzos biaxiales
(dúctil)Diagonalde corte
Región de falla FS=1
Región de falla FS<1
f
f
f
f
Mecánica de materiales – Falla estática
11
fcft FSFS
Si el criterio de falla es la fluencia se tiene:
Si el criterio de falla es la ruptura
11
ucut FSFS
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría del esfuerzo normal
Teoría de la Deformación Unitaria Máxima (materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquiercombinación de cargas (biaxial o triaxial esalcanzada cuando la deformación unitaria máximaen un punto cualquiera de la muestra se hacemayor o igual a la deformación unitaria de falla(σf/E), determinada por una prueba de tensión ocompresión del mismo material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
Deformación unitaria en el punto de falla
Haciendo una prueba de esfuerzo axial, ladeformación unitaria en el punto de fallasería
Ef
f
Mecánica de materiales – Falla estática
Según esta teoría la falla se produce cuando:
ff
ff
ff
33
22
11
Expresando estas ecuaciones en función de los esfuerzos principales
ff
ff
ff
213323
312312
321321
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría deformación unitaria
Deformación limitadora en la dirección de los ejes (1) y (2)
menterespectiva
dondede
EEEE
ff
ff
1313
132311
1
11
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Deformación Unitaria Máxima para falla por esfuerzos
triaxiales (dúctil)
Región de falla(exterior) FS<1
Región de no falla(interior) FS>1
Superficie defalla FS=1
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Deformación Unitaria Máxima para falla por Esfuerzos
biaxiales (dúctil)f / (1+v) f / (1-v)
f / (1-v)
f / (1+v)
Región defalla FS<1
Superficie defalla FS=1
Región de nofalla FS>1
ff
f
f
Diagonal de corte
Mecánica de materiales – Falla estática
turnoporkjidonde
FSkji
f
3,2,1:
Según esta teoría existe seguridad siempre que:
El esfuerzo de corte límite viene dado por:
1
ff
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad según la teoría de la deformación unitaria máxima
Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo (materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquiercombinación de cargas (biaxial o triaxial) esalcanzada cuando el esfuerzo cortante máximo enun punto cualquiera de la muestra se hace mayoro igual al esfuerzo de corte máximo de falla (f),determinado por una prueba de tensión ocompresión del mismo material”
Mecánica de materiales – Falla estática
Para que la falla por fluencia ocurra según laTeoría del Esfuerzo de Corte Máxima debeocurrir que:
222 321fff
De la misma forma, en función de los esfuerzosprincipales se tiene que:
fff 213132
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría del esfuerzo de corte máximo
Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo para falla por esfuerzos triaxiales
(dúctil)
Superficie de falla FS=1
Región de falla(externa) FS<1
Región de no falla(interna) FS>1
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo para falla por esfuerzos biaxiales
(dúctil)
F
F
F
F F
F
Diagonal de corteRegión de no falla FS>1
Región defalla FS=1
Región de falla FS<1
Mecánica de materiales – Falla estática
σ3-σ1= σf
σ1=-σf
σ3=-σf
σ1=- σ3
σ1-σ3= σf
σ1= σf
σ3=σf
f
ff
f
ff
IVCuadrante
yIIICuadrante
IICuadrante
yICuadrante
31
31
13
31
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría del esfuerzo de corte máximo
Combinación de las teorías del esfuerzo normal máximo y la del
esfuerzo de corte máximo
σf
σf
σf
σf σ1
σ3
σ1
σ3
Mecánica de materiales – Falla estática
31
31
13
31
f
ff
f
ff
FSIVCuadrante
FSyFSIIICuadrante
FSIICuadrante
FSyFSICuadrante
Combinación de teorías normal máximo y corte máximo
Mecánica de materiales – Falla estática
En el caso de corte puro σ1= -σ3, todas lascombinaciones caen sobre la línea diagonala 45º que pasa por el origen. El esfuerzode corte límite ocurre en un punto sobre lasuperficie en el cuadrante II y IV
2f
f
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría del esfuerzo de corte máximo
Teoría de Falla de la Fricción Interna (Mohr-Coulomb) (materiales frágiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquiercombinación de cargas (biaxial o triaxial), esalcanzada cuando el mayor círculo de Mohrasociado con el estado de esfuerzos en un puntocualquiera de la muestra, se hace tangente omayor al contorno de la envolvente de los círculosde prueba, determinado en un ensayo de tensiónaxial, compresión axial y torsión del mismomaterial”.
Mecánica de materiales – Falla estática
Región de falla para la teoría de Mohr-Coulomb (frágil)
Envolvente superior de los círculos
Envolvente inferior de los círculos
uc
u
Mecánica de materiales – Falla estática
El círculo O – σut, se obtiene a partir del ensayode tensión uniaxial; el círculo O – σuc, seobtiene del ensayo de compresión uniaxial y elcírculo O – u se obtiene del ensayo de cortepuro. Con estos círculos se origina unaenvolvente a partir de los tres círculos deprueba, una en la parte superior y otra en laparte inferior. De esta forma la región de fallaesta ubicada en la parte exterior de laenvolvente de los círculos sobre el plano σ - como se muestra en la figura siguiente
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la fricción interna
Región de falla
Región de no falla
ab
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la fricción interna
Para el caso de un estado de esfuerzo biaxial,cuando σ1 es de tensión y σ3 es acompresión, el máximo esfuerzo de corte y elesfuerzo normal están dados por:
2
2
31
31max1
teoría de la fricción internaMecánica de materiales – Falla estática
Si sustituimos la ecuación de la recta = aσ+b con las ecuaciones anteriores obtendríamos:
baa 211 31
00
13
31
cuandocuando
uc
ut
Para evaluar las constantes a y b se deben tomar las siguientes condiciones de borde
teoría de la fricción internaMecánica de materiales – Falla estática
Valores de las constantes a y b
Si resolvemos teniendo en cuenta las condiciones de borde anteriores obtendríamos:
ucut
ucut
ucut
ucut bya
Mecánica de materiales – Falla estática
Si estas constantes son sustituidas se puede determinar completamente la ecuación de la envolvente de falla por fractura
1
1
13
31
utut
utut
IICuadrante
IVCuadrante
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la fricción interna
Para los cuadrantes I y III, estas relaciones se hallan directamente de la figura siguiente
Teoría de falla de Mohr-Coulomb con teoría de falla del Esfuerzo Normal
superpuesta
Diagonal de corte
uc
Región de no falla FS>1
Región de falla FS=1
uc
Región de falla FS<1
f
f
ut
ut
Mecánica de materiales – Falla estática
σ1 = σuc
σ3 = σuc
σ1 = -σ3
No se puede mostrar la imagen en este momento.
uc
ut
ut
ucuc
uc
ut
ut
utut
FSIVCuadrante
FSyFSIIICuadrante
FSIICuadrante
FSyFSICuadrante
31
31
13
31
Mecánica de materiales – Falla estáticateoría de la fricción interna con teoría del esfuerzo normal
La resistencia última al corte se obtiene como sigue:
uc
ut
utu
1
teoría de la fricción interna con teoría del esfuerzo normal
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de falla de la Energía Máxima de Deformación (materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquiercombinación de cargas (triaxial o biaxial), esalacanzada cuando la energía de deformación porunidad de volumen en un punto cualquiera de lamuestra, se hace mayor o igual a la energía dedeformación por unidad de volumen de falla,determinada por una prueba de tensión ocompresión del mismo material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de deformación
Para expresar matemáticamente la teoría, esnecesario desarrollar una expresión para la energíaelástica total de deformación por unidad de volumenen un estado general de esfuerzos. Esta energía esigual al área situada debajo de la curva esfuerzo-deformación.
FU21
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de deformación en el cubo elemental
En un cubo elemental que esté sometido sóloa esfuerzo de tracción a lo largo del eje X, laenergía de deformación viene dada por:
dAdxU xx21
Mecánica de materiales – Falla estática
La ecuación anterior describe la energía elásticatotal absorbida por el elemento. Puesto que elvolumen del elemento es (dAdx), la energía dedeformación por unidad de volumen está dadapor:
EdAdxUU x
xxT
2
21
21
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la energía de deformación
Energía de deformación para un elemento sometido a corte
De igual manera, la energía de deformaciónpor unidad de volumen de un elementosometido a corte puro está dada por:
GU xy
xyxyT
2
21
21
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de deformación para un estado general de esfuerzos
Las relaciones de la deformación uniaxial pura yde corte puro se pueden combinar por el principiode superposición para dar la energía dedeformación elástica en una distribución generalde un estado de esfuerzo en tres dimensiones.
yzyzxzxzxyxyzzyyxxTU 21
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de deformación en función de los esfuerzos principales
13322123
22
21 2
21 E
UT
En función de los esfuerzos y deformaciones principales tendríamos:
33221121 TU
Mecánica de materiales – Falla estática
Para una prueba de tensión uniaxial, el únicoesfuerzo principal que no es cero, es aquel quese hace igual a la resistencia a la fluencia σf enel punto de fluencia, y la energía total dedeformación por unidad de volumen que lecorresponde es:
ff TTfT UUE
U 2
21
Mecánica de materiales – Falla estática
energía de deformación
Teoría de la Energía Máxima de Deformación para falla por esfuerzos
triaxiales (dúctil)
Superficie defalla FS=1
Región de falla(exterior) FS<1
Región de no falla(interior) FS>1
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad para estado de esfuerzo triaxial según teoría de la
energía de deformación
13322123
22
21 2
fFS
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Energía Máxima de Deformación para esfuerzos biaxiales
(dúctil)
Región de nofalla FS>1
Región de falla FS=1
F Diagonal de co
F
F
Región de falla FS<1
F
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad para estado de esfuerzo biaxial según teoría de
energía de deformación
2331
21 2
fFS
La resistencia límite al corte sería:
12
ff
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de falla de la Energía de distorsión (materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquiercombinación de cargas (triaxial o biaxial), esalcanzada cuando la energía de distorsión por unidadde volumeb en un punto cualquiera de la muestra, sehace igual o mayor a la energía de distorsión porunidad de volumen de falla, determinada por unaprueba de tensión o compresión axial del mismomaterial”.
Mecánica de materiales – Falla estática
La teoría de la energía de distorsión se originó apartir de observación de que los materialespueden soportar presiones hidrostáticas muyelevadas sin producir ningún efecto sobre lafluencia. Así se postuló que la fluencia no era deninguna manera, un fenómeno de tensión o decompresión simple, sino, mas bien que estabarelacionada de algún modo con la distorsión delelemento esforzado. Debido a esto, en eldesarrollo de esta teoría, la energía total dedeformación elástica puede ser dividida en doscomponentes:
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la energía de distorsión
La energía de distorsión o de cambio de forma.
La energía de variación de volumen.
UT=U’T+U’’T
teoría de la energía de deformación
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía asociada con la variación de volumen
2161''
21''
2321
EU
VU
T
mT
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de distorsión
2132
322
21'
61
E
UT
21612
21''
'''
2321313221
23
22
21
.
EEU
UUU
T
TTT
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de distorsión para un estado de esfuerzo uniaxial
''
31' 2
f
f
TT
fT
UU
EU
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Energía de Distorsión para falla por esfuerzos triaxiales
(dúctil)
Región de falla(exterior) FS<1
Región de no falla(interior) FS>1
Superficie defalla FS=1
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad para un estado de esfuerzo triaxial según teoría de
energía de distorsión
2132
322
2121
fFS
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Energía de Distorsión para falla por esfuerzos biaxiales
(dúctil)
F
Diagonal de co
F
F
Región de falla FS=1
Región de nofalla FS>1
F F
F
Región de falla FS<1
Mecánica de materiales – Falla estática
σ1 = -σ3
Factor de seguridad para un estado de esfuerzo biaxial según teoría de
energía de distorsión
2331
21
fFS
El límite a la fluencia por corte puro viene dada por:
ff
f
577,03
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de falla del Esfuerzo Cortante Octaédrico de Von Mises y Hencky
(materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquiercombinación de cargas (triaxial o biaxial), esalcanzada cuando el esfuerzo de corte octaédricoen un punto cualquiera de la mustra, se hace igualo mayor al esfuerzo octaédrico de falla,determinada por un prueba de tensión ocompresión axial del mismo material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
foct
oct
oct
32
31
3
213
232
221
321
Mecánica de materiales – Falla estática
Esfuerzos octaédricos
Planos de corte octaédricos guiados a la teoría de falla de Mises-Hencky
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad para un estado de esfuerzo triaxial según teoría del
esfuerzo octaédrico
2132
322
2121
fFS
Mecánica de materiales – Falla estática
Comparación de las teorías de falla para un estado de esfuerzo biaxial
Dos planteamientos pueden ser empleados para comparar las teorías de falla, uno de ellos es el siguiente:
Teoría de esfuerzo de corte máximo. f=1,00 σf
Teoría de la deformación unitaria máxima f=0,74 σf
Teoría de la energía de deformación. f=0,608 σf
Teoría de la energía de distorsión f=0,577 σf
Teoría del esfuerzo cortante máximo f=0,50 σf
Mecánica de materiales – Falla estática
Comparación de las teorías de falla gráficamente sobre un sistema
coordenado normalizado:
Mecánica de materiales – Falla estática
La evaluación de las teorías de falla, con claraevidencia experimental llevan a las observacionessiguientes:
Para materiales isotrópicos que fallan por fracturafrágil, la mejor teoría a usar es la teoría delEsfuerzo Normal.
Para materiales que fallan por fractura frágil peroque presentan una resistencia última encompresión, la mejor teoría a usar es la de Mohr-Coulomb.
Mecánica de materiales – Falla estática
Observaciones acerca de las teorías de falla
Para materiales isotrópicos que fallen por fluenciao ruptura dúctil, la mejor teoría a usar es la teoríade la Energía de Distorsión.
Para materiales isotrópicos que fallen por fluenciao ruptura dúctil, la teoría del esfuerzo de cortemáximo es tan valida como la teoría de la energíade distorsión.
observaciones acerca de las teorías de falla
Mecánica de materiales – Falla estática
Como un método práctico, puede ser usada lateoría de Mohr-Coulomb en aquellos materialesisotrópicos que presenten una ductilidad menoral 5% de elongación sobre una longitudcalibrada de 2 pulgadas.
Como un método práctico, puede ser usada lateoría de la energía de distorsión o la delesfuerzo de corte máximo en aquellosmateriales isotrópicos que presenten unductilidad de 5% o mas en 2 pulgadas de sulongitud calibrada.
Donde sea posible debe ser llevado a cabo unanálisis de mecánica de la fractura.
Mecánica de materiales – Falla estáticaobservaciones acerca de las teorías de falla
Comparación de las teorías para una variedad de materiales dúctiles
Mecánica de materiales – Falla estática
Comparación de las teorías para una variedad de materiales frágiles
Mecánica de materiales – Falla estática