TEOREMA DE GREEN

El “Teorema de Green” es un resultado que permite expresar una integral doble sobre una región “D” en una integral de línea a la largo de la curva cerrada “C” que constituye la frontera de la región “D”.

∮𝐶

❑

𝑃ⅆ 𝑥+𝑄ⅆ 𝑦=∬𝐷

❑

(𝜕𝑄𝜕𝑥 − 𝜕𝑃𝜕 𝑦 )ⅆ 𝑥ⅆ 𝑦

• PARA CONJUNTOS LIMITADOS POR CURVAS CERRADAS SIMPLES

Sea y funciones reales de clase sobre un conjunto abierto . Sea “C” una curva cerrada simple que constituye

la frontera de la región . Entonces:

Ejemplo:

Hallar el valor de la integral:

∮𝐶

❑

( 𝑦2+𝑥3 )ⅆ 𝑥− (𝑥4 )ⅆ 𝑦

Donde “C” es el perímetro de en sentido anti horario.

Corolario: Sea “C” una curva cerrada simple regular a trozos, y sea “D”la región interior a “C”. Entonces su ´área es

𝐷=12∮𝐶

❑

𝑥ⅆ 𝑦− 𝑦ⅆ 𝑥=∮𝐶

❑

𝑥ⅆ 𝑦=−∮𝐶

❑

𝑦ⅆ 𝑥

Ejemplo:Hallar el área encerrada por la hipocicloide de ecuación:

• Condicion necesaria y suficiente para que un campo vectorial de dimensión sea una gradiente sobre conjuntos simples conexos

TEOREMA 1Si es un campo vectorial de clase sobre un conjunto simple conexo D entonces:

𝜕𝑃𝜕 𝑦 =

𝜕𝑄𝜕𝑥

TEOREMA 2Si es un campo vectorial de clase sobre un conjunto simple conexo D entonces para toda curva cerrada simple y seccionalmente regular “C” contenida en “D” :

∮𝐶

❑

𝑃ⅆ 𝑥+𝑄ⅆ 𝑦=0⇔ 𝜕𝑃𝜕 𝑦 =𝜕𝑄

𝜕 𝑥

TEOREMA 3Sean de clase sobre un dominio simple conexo D sean y dos puntos cualesquiera en “D” y sean y dos caminos seccionalmente regulares en “D” que une a com entonces: 𝐶1

𝐶2

D

𝜕𝑃𝜕 𝑦 =𝜕𝑄

𝜕𝑥 ⇔∮𝐶1

❑

𝑃ⅆ 𝑥+𝑄ⅆ 𝑦=∮𝐶2

❑

𝑃 ⅆ 𝑥+𝑄ⅆ 𝑦