Post on 06-Jan-2017
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Teorıa de juegos en forma normal(repaso)
Microeconomıa III
Leandro Zipitrıa
Facultad de Ciencias Economicas y Administracion
Licenciatura en Economıa
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Objetivos
1. Definir juegos
2. Presentar juegos en forma normal y las nociones de equilibrio
3. Determinar estrategias mixtas
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Objetivos
1. Definir juegos
2. Presentar juegos en forma normal y las nociones de equilibrio
3. Determinar estrategias mixtas
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Objetivos
1. Definir juegos
2. Presentar juegos en forma normal y las nociones de equilibrio
3. Determinar estrategias mixtas
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Indice
IntroduccionRepresentacionSolucion: dominancia
Ejemplo
Estrategias dominantesEstrategias racionalizablesEquilibrio de NashEstrategias mixtas
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Juegos
• Un juego es la representacion formal de una situacionestrategica
Interaccion estrategicael bienestar del agente depende de sus acciones y de la de los otrosjugadores
• Pueden representar rivalidad o problemas de coordinacion• Representacion: en forma normal (o estrategica) o extensiva• Etapas: representacion - solucion
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Juegos
• Un juego es la representacion formal de una situacionestrategica
Interaccion estrategicael bienestar del agente depende de sus acciones y de la de los otrosjugadores
• Pueden representar rivalidad o problemas de coordinacion• Representacion: en forma normal (o estrategica) o extensiva• Etapas: representacion - solucion
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Juegos
• Un juego es la representacion formal de una situacionestrategica
Interaccion estrategicael bienestar del agente depende de sus acciones y de la de los otrosjugadores
• Pueden representar rivalidad o problemas de coordinacion• Representacion: en forma normal (o estrategica) o extensiva• Etapas: representacion - solucion
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Juegos
• Un juego es la representacion formal de una situacionestrategica
Interaccion estrategicael bienestar del agente depende de sus acciones y de la de los otrosjugadores
• Pueden representar rivalidad o problemas de coordinacion• Representacion: en forma normal (o estrategica) o extensiva• Etapas: representacion - solucion
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Juegos
• Un juego es la representacion formal de una situacionestrategica
Interaccion estrategicael bienestar del agente depende de sus acciones y de la de los otrosjugadores
• Pueden representar rivalidad o problemas de coordinacion• Representacion: en forma normal (o estrategica) o extensiva• Etapas: representacion - solucion
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Componentes
1. Jugadores: ¿quien esta involucrado?
2. Reglas: ¿como mueven?; ¿que saben cuando mueven?;¿que pueden hacer?
3. Resultados: para cada conjunto posible de acciones de losjugadores: ¿cuales son los resultados del juego?
4. Pagos: ¿cuales son las preferencias de los jugadores sobre losposibles resultados?
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Componentes
1. Jugadores: ¿quien esta involucrado?
2. Reglas: ¿como mueven?; ¿que saben cuando mueven?;¿que pueden hacer?
3. Resultados: para cada conjunto posible de acciones de losjugadores: ¿cuales son los resultados del juego?
4. Pagos: ¿cuales son las preferencias de los jugadores sobre losposibles resultados?
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Componentes
1. Jugadores: ¿quien esta involucrado?
2. Reglas: ¿como mueven?; ¿que saben cuando mueven?;¿que pueden hacer?
3. Resultados: para cada conjunto posible de acciones de losjugadores: ¿cuales son los resultados del juego?
4. Pagos: ¿cuales son las preferencias de los jugadores sobre losposibles resultados?
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Componentes
1. Jugadores: ¿quien esta involucrado?
2. Reglas: ¿como mueven?; ¿que saben cuando mueven?;¿que pueden hacer?
3. Resultados: para cada conjunto posible de acciones de losjugadores: ¿cuales son los resultados del juego?
4. Pagos: ¿cuales son las preferencias de los jugadores sobre losposibles resultados?
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Informacion
1. Informacion perfecta: cuando todos los jugadores tienen todala informacion relacionada con las acciones previas de losrestantes jugadores que afectan la decision de este sobre laaccion a tomar en un momento particular.
2. Informacion completa: cuando todos los jugadores conocen laestructura del juego y los pagos de los restantes jugadores,pero no necesariamente sus acciones.
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Informacion
1. Informacion perfecta: cuando todos los jugadores tienen todala informacion relacionada con las acciones previas de losrestantes jugadores que afectan la decision de este sobre laaccion a tomar en un momento particular.
2. Informacion completa: cuando todos los jugadores conocen laestructura del juego y los pagos de los restantes jugadores,pero no necesariamente sus acciones.
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Indice
IntroduccionRepresentacionSolucion: dominancia
Ejemplo
Estrategias dominantesEstrategias racionalizablesEquilibrio de NashEstrategias mixtas
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Presentacion
DefinicionUn juego en forma normal es una ternaG = {I; (Si )n
i=1 ; ui (si , s−i )}, donde:I es el conjunto de jugadores; I = 1, ...,nSi que es el espacio de acciones para cada jugador (si ∈ Si )ui es la funcion de utilidad asociada a cada resultado del juegopara cada jugador.
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Ejemplo
• Ejemplo: Dilema del prisionero• Jugadores: prisionero 1, prisionero 2• Acciones (estrategias): Si = {c, c} , i = 1, 2, donde c es
confesar y c no confesar• Estructura: juegan sin saber lo que hace el otro• Pagos: a- si ambos confiesan tienen una pena de 5 anos; b- si
el prisionero 1 no confiesa pero el 2 si, el primero obtiene unapena de 10 anos y el segundo una pena de 1 ano por colaborarcon la justicia; c- si ninguno confiesa ambos son procesadospor un delito menor y obtienen una pena de 2 anos
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Ejemplo
• Ejemplo: Dilema del prisionero• Jugadores: prisionero 1, prisionero 2• Acciones (estrategias): Si = {c, c} , i = 1, 2, donde c es
confesar y c no confesar• Estructura: juegan sin saber lo que hace el otro• Pagos: a- si ambos confiesan tienen una pena de 5 anos; b- si
el prisionero 1 no confiesa pero el 2 si, el primero obtiene unapena de 10 anos y el segundo una pena de 1 ano por colaborarcon la justicia; c- si ninguno confiesa ambos son procesadospor un delito menor y obtienen una pena de 2 anos
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Ejemplo
• Ejemplo: Dilema del prisionero• Jugadores: prisionero 1, prisionero 2• Acciones (estrategias): Si = {c, c} , i = 1, 2, donde c es
confesar y c no confesar• Estructura: juegan sin saber lo que hace el otro• Pagos: a- si ambos confiesan tienen una pena de 5 anos; b- si
el prisionero 1 no confiesa pero el 2 si, el primero obtiene unapena de 10 anos y el segundo una pena de 1 ano por colaborarcon la justicia; c- si ninguno confiesa ambos son procesadospor un delito menor y obtienen una pena de 2 anos
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Ejemplo
• Ejemplo: Dilema del prisionero• Jugadores: prisionero 1, prisionero 2• Acciones (estrategias): Si = {c, c} , i = 1, 2, donde c es
confesar y c no confesar• Estructura: juegan sin saber lo que hace el otro• Pagos: a- si ambos confiesan tienen una pena de 5 anos; b- si
el prisionero 1 no confiesa pero el 2 si, el primero obtiene unapena de 10 anos y el segundo una pena de 1 ano por colaborarcon la justicia; c- si ninguno confiesa ambos son procesadospor un delito menor y obtienen una pena de 2 anos
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Ejemplo
• Ejemplo: Dilema del prisionero• Jugadores: prisionero 1, prisionero 2• Acciones (estrategias): Si = {c, c} , i = 1, 2, donde c es
confesar y c no confesar• Estructura: juegan sin saber lo que hace el otro• Pagos: a- si ambos confiesan tienen una pena de 5 anos; b- si
el prisionero 1 no confiesa pero el 2 si, el primero obtiene unapena de 10 anos y el segundo una pena de 1 ano por colaborarcon la justicia; c- si ninguno confiesa ambos son procesadospor un delito menor y obtienen una pena de 2 anos
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Representacion
Prisionero 2c c
Prisionero 1c -5, -5 -1, -10c -10, -1 -2, -2
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Indice
IntroduccionRepresentacionSolucion: dominancia
Ejemplo
Estrategias dominantesEstrategias racionalizablesEquilibrio de NashEstrategias mixtas
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Dominancia (I)
DefinicionDecimos que una estrategia s ′i esta estrictamente dominada siindependientemente de la accion que pueda tomar el otro jugador,la utilidad asociada a esta estrategia es estrictamente menor aalguna otra estrategia que pueda jugar el jugador i . Formalmente,si es una estrategia estrictamente dominada si existe s ′′i tal que∀s−i ∈ S−i se cumple que:
ui(s ′′i , s−i
)> ui
(s ′i , s−i
)
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Dominancia (II)
• Un jugador racional no jugarıa nunca una estrategiaestrictamente dominada
• Si la racionalidad es conocimiento comun (o de dominiopublico), se puede proceder a la Eliminacion Iterativa deEstrategias Estrictamente Dominadas
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Dominancia (II)
• Un jugador racional no jugarıa nunca una estrategiaestrictamente dominada
• Si la racionalidad es conocimiento comun (o de dominiopublico), se puede proceder a la Eliminacion Iterativa deEstrategias Estrictamente Dominadas
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Indice
IntroduccionRepresentacionSolucion: dominancia
Ejemplo
Estrategias dominantesEstrategias racionalizablesEquilibrio de NashEstrategias mixtas
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Ejemplo
• ¿Cual serıa el equilibrio por eliminacion iterativa de estrategiasestrictamente dominadas?
Jugador 2Bueno Regular Malo
Jugador 1Alto 1, 1 2, 0 1, 1
Medio 0, 0 0, 1 0, 0Bajo 2, 1 1, 0 2, 2
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Ejemplo (cont.)
• J1: Medio esta estrictamente dominada
Jugador 2Bueno Regular Malo
Jugador1Alto 1, 1 2, 0 1, 1
Medio 0, 0 0, 1 0, 0Bajo 2, 1 1, 0 2, 2
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Ejemplo (cont.)
• J2: Regular esta estrictamente dominada
Jugador 2Bueno Regular Malo
Jugador 1Alto 1, 1 2, 0 1, 1
Medio 0, 0 0, 1 0, 0Bajo 2, 1 1, 0 2, 2
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Ejemplo (cont.)
• J1: Alto esta estrictamente dominada
Jugador 2Bueno Regular Malo
Jugador 1Alto 1, 1 2, 0 1, 1
Medio 0, 0 0, 1 0, 0Bajo 2, 1 1, 0 2, 2
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Ejemplo (cont.)
• J2: Bueno esta estrictamente dominada
Jugador 2Bueno Regular Malo
Jugador 1Alto 1, 1 2, 0 1, 1
Medio 0, 0 0, 1 0, 0Bajo 2, 1 1, 0 2, 2
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Ejemplo (cont.)
• EEIEED = {bajo, malo}
Jugador 2Bueno Regular Malo
Jugador 1Alto 1, 1 2, 0 1, 1
Medio 0, 0 0, 1 0, 0Bajo 2, 1 1, 0 2, 2
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IntroduccionRepresentacionSolucion: dominancia
Ejemplo
Estrategias dominantesEstrategias racionalizablesEquilibrio de NashEstrategias mixtas
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Estrategias dominantes
DefinicionDecimos que una estrategia si es una estrategia estrictamentedominante para el jugador i en un juego en forma normal G si∀s ′i 6= si , se cumple que:
ui (si , s−i )> ui(s ′i , s−i
)∀s−i ∈ S−i
• Una estrategia dominante para el jugador i maximiza su pagopara cualquier estrategia que el rival pueda jugar.
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Estrategias dominantes
DefinicionDecimos que una estrategia si es una estrategia estrictamentedominante para el jugador i en un juego en forma normal G si∀s ′i 6= si , se cumple que:
ui (si , s−i )> ui(s ′i , s−i
)∀s−i ∈ S−i
• Una estrategia dominante para el jugador i maximiza su pagopara cualquier estrategia que el rival pueda jugar.
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Estrategias dominantes
DefinicionDecimos que una estrategia si es una estrategia estrictamentedominante para el jugador i en un juego en forma normal G si∀s ′i 6= si , se cumple que:
ui (si , s−i )> ui(s ′i , s−i
)∀s−i ∈ S−i
• Una estrategia dominante para el jugador i maximiza su pagopara cualquier estrategia que el rival pueda jugar.
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IntroduccionRepresentacionSolucion: dominancia
Ejemplo
Estrategias dominantesEstrategias racionalizablesEquilibrio de NashEstrategias mixtas
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Mejor respuesta
DefinicionEn el juego en forma normal G , la estrategia si es una mejorrespuesta del jugador i a las estrategias s−i de sus rivales si secumple que:
ui (si , s−i )> ui(s ′i , s−i
), ∀s ′i ∈ Si
DefinicionEn el juego en forma normal G , la estrategia si no es nunca unamejor respuesta si no existe s−i para el cual si sea una mejorrespuesta.
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Mejor respuesta
DefinicionEn el juego en forma normal G , la estrategia si es una mejorrespuesta del jugador i a las estrategias s−i de sus rivales si secumple que:
ui (si , s−i )> ui(s ′i , s−i
), ∀s ′i ∈ Si
DefinicionEn el juego en forma normal G , la estrategia si no es nunca unamejor respuesta si no existe s−i para el cual si sea una mejorrespuesta.
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Estrategias racionalizables
• Un jugador racional no jugarıa nunca una estrategia que no esnunca una mejor respuesta
• Una estrategia estrictamente dominada no es nunca una mejorrespuesta (no se cumple recıproco)
• Si la racionalidad es de conocimiento comun ⇒• Se puede eliminar en forma iterativa las estrategias que no son
nunca una mejor respuesta (por lo anterior)
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Estrategias racionalizables
• Un jugador racional no jugarıa nunca una estrategia que no esnunca una mejor respuesta
• Una estrategia estrictamente dominada no es nunca una mejorrespuesta (no se cumple recıproco)
• Si la racionalidad es de conocimiento comun ⇒• Se puede eliminar en forma iterativa las estrategias que no son
nunca una mejor respuesta (por lo anterior)
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Estrategias racionalizables
• Un jugador racional no jugarıa nunca una estrategia que no esnunca una mejor respuesta
• Una estrategia estrictamente dominada no es nunca una mejorrespuesta (no se cumple recıproco)
• Si la racionalidad es de conocimiento comun ⇒• Se puede eliminar en forma iterativa las estrategias que no son
nunca una mejor respuesta (por lo anterior)
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Estrategias racionalizables
• Un jugador racional no jugarıa nunca una estrategia que no esnunca una mejor respuesta
• Una estrategia estrictamente dominada no es nunca una mejorrespuesta (no se cumple recıproco)
• Si la racionalidad es de conocimiento comun ⇒• Se puede eliminar en forma iterativa las estrategias que no son
nunca una mejor respuesta (por lo anterior)
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Estrategias racionalizables (cont.)
DefinicionEn el juego G en forma normal, las estrategias en Si que sobrevivenla eliminacion de estrategias que no son nunca una mejor respuestason las estrategias del jugador i que son racionalizables
• El conjunto de estrategias racionalizables no puede ser mayorque el conjunto de estrategias que sobrevive la eliminacioniterativa de estrategias estrictamente dominadas
• Una estrategia racionalizable es aquella que el jugador i puedejustificar o racionalizar, en base a las acciones de sus rivales
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Estrategias racionalizables (cont.)
DefinicionEn el juego G en forma normal, las estrategias en Si que sobrevivenla eliminacion de estrategias que no son nunca una mejor respuestason las estrategias del jugador i que son racionalizables
• El conjunto de estrategias racionalizables no puede ser mayorque el conjunto de estrategias que sobrevive la eliminacioniterativa de estrategias estrictamente dominadas
• Una estrategia racionalizable es aquella que el jugador i puedejustificar o racionalizar, en base a las acciones de sus rivales
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Estrategias racionalizables (cont.)
DefinicionEn el juego G en forma normal, las estrategias en Si que sobrevivenla eliminacion de estrategias que no son nunca una mejor respuestason las estrategias del jugador i que son racionalizables
• El conjunto de estrategias racionalizables no puede ser mayorque el conjunto de estrategias que sobrevive la eliminacioniterativa de estrategias estrictamente dominadas
• Una estrategia racionalizable es aquella que el jugador i puedejustificar o racionalizar, en base a las acciones de sus rivales
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Indice
IntroduccionRepresentacionSolucion: dominancia
Ejemplo
Estrategias dominantesEstrategias racionalizablesEquilibrio de NashEstrategias mixtas
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Equilibrio de Nash
DefinicionUn conjunto de estrategias (s∗1 , . . . , s∗n ) es un Equilibrio de Nash(EN) si ∀i = 1, . . . , n, se cumple que
ui(s∗i , s∗−i
)> ui
(si , s∗−i
), ∀si ∈ Si
• De otra forma: s∗i resuelve maxsi∈Si
ui(si , s∗−i
)• En un EN cada jugador esta jugando la mejor respuesta a las
mejor respuesta de sus rivales.
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Equilibrio de Nash
DefinicionUn conjunto de estrategias (s∗1 , . . . , s∗n ) es un Equilibrio de Nash(EN) si ∀i = 1, . . . , n, se cumple que
ui(s∗i , s∗−i
)> ui
(si , s∗−i
), ∀si ∈ Si
• De otra forma: s∗i resuelve maxsi∈Si
ui(si , s∗−i
)• En un EN cada jugador esta jugando la mejor respuesta a las
mejor respuesta de sus rivales.
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Equilibrio de Nash
DefinicionUn conjunto de estrategias (s∗1 , . . . , s∗n ) es un Equilibrio de Nash(EN) si ∀i = 1, . . . , n, se cumple que
ui(s∗i , s∗−i
)> ui
(si , s∗−i
), ∀si ∈ Si
• De otra forma: s∗i resuelve maxsi∈Si
ui(si , s∗−i
)• En un EN cada jugador esta jugando la mejor respuesta a las
mejor respuesta de sus rivales.
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Equilibrio de Nash
DefinicionUn conjunto de estrategias (s∗1 , . . . , s∗n ) es un Equilibrio de Nash(EN) si ∀i = 1, . . . , n, se cumple que
ui(s∗i , s∗−i
)> ui
(si , s∗−i
), ∀si ∈ Si
• De otra forma: s∗i resuelve maxsi∈Si
ui(si , s∗−i
)• En un EN cada jugador esta jugando la mejor respuesta a las
mejor respuesta de sus rivales.
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Ejemplo
• En el ejemplo: no confesar es una estrategia estrictamentedominada
• En el ejemplo: confesar es una estrategia estrictamentedominante
• {c, c} es un EN en el Dilema del prisionero.
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Ejemplo
• En el ejemplo: no confesar es una estrategia estrictamentedominada
• En el ejemplo: confesar es una estrategia estrictamentedominante
• {c, c} es un EN en el Dilema del prisionero.
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Ejemplo
• En el ejemplo: no confesar es una estrategia estrictamentedominada
• En el ejemplo: confesar es una estrategia estrictamentedominante
• {c, c} es un EN en el Dilema del prisionero.
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Representacion
Prisionero 2�� ��c c
Prisionero 1�� ��c -5, -5 -1, -10c -10, -1 -2, -2
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Problema: multiples equilibrios
• Juego de “Encontrarse en Montevideo”
Jugador 2P C
Jugador 1P 1, 1 0, 0C 0, 0 1, 1
• Hay dos EN !
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Problema: multiples equilibrios
• Juego de “Encontrarse en Montevideo”
Jugador 2P C
Jugador 1P 1, 1 0, 0C 0, 0 1, 1
• Hay dos EN !
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IntroduccionRepresentacionSolucion: dominancia
Ejemplo
Estrategias dominantesEstrategias racionalizablesEquilibrio de NashEstrategias mixtas
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Presentacion
• No todos los juegos tienen equilibrios en estrategias puras• Jugar una estrategia -pura- implica asignar probabilidad 1 a
esa accion y 0 al resto• Una alternativa es aleatorizar las acciones• Una estrategia mixta asigna una probabilidad a cada
estrategia pura
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Presentacion
• No todos los juegos tienen equilibrios en estrategias puras• Jugar una estrategia -pura- implica asignar probabilidad 1 a
esa accion y 0 al resto• Una alternativa es aleatorizar las acciones• Una estrategia mixta asigna una probabilidad a cada
estrategia pura
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Presentacion
• No todos los juegos tienen equilibrios en estrategias puras• Jugar una estrategia -pura- implica asignar probabilidad 1 a
esa accion y 0 al resto• Una alternativa es aleatorizar las acciones• Una estrategia mixta asigna una probabilidad a cada
estrategia pura
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Presentacion
• No todos los juegos tienen equilibrios en estrategias puras• Jugar una estrategia -pura- implica asignar probabilidad 1 a
esa accion y 0 al resto• Una alternativa es aleatorizar las acciones• Una estrategia mixta asigna una probabilidad a cada
estrategia pura
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Ejemplos
• Piedra, papel y tijera• “Matching pennies” (monedas que se igualan)• Futbol, basquetbol• Caracterıstica: me conviene adivinar la jugada del otro, pero
que el no adivine la mıa ⇒ no existe EN en estrategias puras
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Ejemplos
• Piedra, papel y tijera• “Matching pennies” (monedas que se igualan)• Futbol, basquetbol• Caracterıstica: me conviene adivinar la jugada del otro, pero
que el no adivine la mıa ⇒ no existe EN en estrategias puras
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Ejemplos
• Piedra, papel y tijera• “Matching pennies” (monedas que se igualan)• Futbol, basquetbol• Caracterıstica: me conviene adivinar la jugada del otro, pero
que el no adivine la mıa ⇒ no existe EN en estrategias puras
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Ejemplos
• Piedra, papel y tijera• “Matching pennies” (monedas que se igualan)• Futbol, basquetbol• Caracterıstica: me conviene adivinar la jugada del otro, pero
que el no adivine la mıa ⇒ no existe EN en estrategias puras
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Definiciones
DefinicionSea Si = (si1, ..., siK ) el conjunto de K estrategias puras deljugador i . Definimos a Pi como el simplex de Si que es elconjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre Si .
Definicionuna estrategia mixta es un elemento pi ∈ Pi tal quepi = (pi1, ..., piK ) en la que pik es la probabilidad de que el jugadori elija la estrategia sik para k = 1, ..., K . Se cumple que 0≤ pik ≤ 1y∑k=K
k=1 pik = 1.
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Definiciones
DefinicionSea Si = (si1, ..., siK ) el conjunto de K estrategias puras deljugador i . Definimos a Pi como el simplex de Si que es elconjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre Si .
Definicionuna estrategia mixta es un elemento pi ∈ Pi tal quepi = (pi1, ..., piK ) en la que pik es la probabilidad de que el jugadori elija la estrategia sik para k = 1, ..., K . Se cumple que 0≤ pik ≤ 1y∑k=K
k=1 pik = 1.
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Definiciones (cont.)
DefinicionUna creencia o conjetura (belief) para el jugador i es unadistribucion de probabilidades πi ∈ P−i sobre las estrategias de suoponente. Escribimos πi (s−i ) a la probabilidad que el jugador iasigna a que su oponente juegue s−i ∈ S−i .
DefinicionLa utilidad esperada del jugador i cuando elije jugar la estrategiapura si ∈ Si y su oponente elije la estrategia mixta p−i ∈ P−i es
vi (si , p−i ) = E [ui (si , p−i )] =∑
s−i∈S−i
p−i (s−i )ui (si , s−i )
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Definiciones (cont.)
DefinicionUna creencia o conjetura (belief) para el jugador i es unadistribucion de probabilidades πi ∈ P−i sobre las estrategias de suoponente. Escribimos πi (s−i ) a la probabilidad que el jugador iasigna a que su oponente juegue s−i ∈ S−i .
DefinicionLa utilidad esperada del jugador i cuando elije jugar la estrategiapura si ∈ Si y su oponente elije la estrategia mixta p−i ∈ P−i es
vi (si , p−i ) = E [ui (si , p−i )] =∑
s−i∈S−i
p−i (s−i )ui (si , s−i )
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Definiciones (cont.)
• La utilidad esperada del jugador i cuando elije jugar laestrategia mixta pi ∈ Pi y su oponente elije p−i ∈ P−i es
vi (pi , p−i ) =∑si∈Si
∑s−i∈S−i
pi (si )p−i (s−i )ui (si , s−i )
DefinicionEl perfil de estrategias p∗ = (p∗1 , ..., p∗n) es un equilibrio de Nashen estrategias mixtas si para cada jugador i , p∗i es la mejorrespuesta a p∗−i . Esto es, si para cada i ∈ I,
vi(p∗i , p∗−i
)≥ vi
(pi , p∗−i
), ∀pi ∈ Pi
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Definiciones (cont.)
• La utilidad esperada del jugador i cuando elije jugar laestrategia mixta pi ∈ Pi y su oponente elije p−i ∈ P−i es
vi (pi , p−i ) =∑si∈Si
∑s−i∈S−i
pi (si )p−i (s−i )ui (si , s−i )
DefinicionEl perfil de estrategias p∗ = (p∗1 , ..., p∗n) es un equilibrio de Nashen estrategias mixtas si para cada jugador i , p∗i es la mejorrespuesta a p∗−i . Esto es, si para cada i ∈ I,
vi(p∗i , p∗−i
)≥ vi
(pi , p∗−i
), ∀pi ∈ Pi
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Ejemplo
• Juego: “Matching pennies” (monedas que se igualan)• Jugadores: {1, 2}• Estrategias: {cara, cruz} de una moneda• Si coinciden ⇒ gana J2 la moneda de J1; si se cruzan ⇒
gana J1 la moneda de J2
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Ejemplo
• Juego: “Matching pennies” (monedas que se igualan)• Jugadores: {1, 2}• Estrategias: {cara, cruz} de una moneda• Si coinciden ⇒ gana J2 la moneda de J1; si se cruzan ⇒
gana J1 la moneda de J2
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Ejemplo
• Juego: “Matching pennies” (monedas que se igualan)• Jugadores: {1, 2}• Estrategias: {cara, cruz} de una moneda• Si coinciden ⇒ gana J2 la moneda de J1; si se cruzan ⇒
gana J1 la moneda de J2
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Ejemplo
• Juego: “Matching pennies” (monedas que se igualan)• Jugadores: {1, 2}• Estrategias: {cara, cruz} de una moneda• Si coinciden ⇒ gana J2 la moneda de J1; si se cruzan ⇒
gana J1 la moneda de J2
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Representacion
Jugador 2Cara Cruz
Jugador 1Cara -1, 1 1, -1Cruz 1, -1 -1, 1
• No hay EN en estrategias puras (verifiquen!)
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Solucion: jugador 1
• Creencias: J1 cree que J2: p2 (cara) = q y p2 (cruz) = 1−q ⇒J2 juega mixta (q, 1−q)
• v1 (cara, q) = p2 (cara)u (cara, cara) + p2 (cruz)u (cara, cruz)= q (−1) + (1−q)1 = 1−2q
• v1 (cruz , q) = p2 (cara)u (cruz , cara) + p2 (cruz)u (cruz , cruz)= q1 + (1−q)(−1) = 2q−1
• ⇒ elije cara si 1−2q > 2q−1 ⇐⇒ 4q < 2 ⇐⇒ q < 1/2 ⇒elije cruz ⇐⇒ q > 1/2
• Si q = 1/2 es indiferente entre cara y cruz
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Solucion: jugador 1
• Creencias: J1 cree que J2: p2 (cara) = q y p2 (cruz) = 1−q ⇒J2 juega mixta (q, 1−q)
• v1 (cara, q) = p2 (cara)u (cara, cara) + p2 (cruz)u (cara, cruz)= q (−1) + (1−q)1 = 1−2q
• v1 (cruz , q) = p2 (cara)u (cruz , cara) + p2 (cruz)u (cruz , cruz)= q1 + (1−q)(−1) = 2q−1
• ⇒ elije cara si 1−2q > 2q−1 ⇐⇒ 4q < 2 ⇐⇒ q < 1/2 ⇒elije cruz ⇐⇒ q > 1/2
• Si q = 1/2 es indiferente entre cara y cruz
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Solucion: jugador 1
• Creencias: J1 cree que J2: p2 (cara) = q y p2 (cruz) = 1−q ⇒J2 juega mixta (q, 1−q)
• v1 (cara, q) = p2 (cara)u (cara, cara) + p2 (cruz)u (cara, cruz)= q (−1) + (1−q)1 = 1−2q
• v1 (cruz , q) = p2 (cara)u (cruz , cara) + p2 (cruz)u (cruz , cruz)= q1 + (1−q)(−1) = 2q−1
• ⇒ elije cara si 1−2q > 2q−1 ⇐⇒ 4q < 2 ⇐⇒ q < 1/2 ⇒elije cruz ⇐⇒ q > 1/2
• Si q = 1/2 es indiferente entre cara y cruz
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Solucion: jugador 1
• Creencias: J1 cree que J2: p2 (cara) = q y p2 (cruz) = 1−q ⇒J2 juega mixta (q, 1−q)
• v1 (cara, q) = p2 (cara)u (cara, cara) + p2 (cruz)u (cara, cruz)= q (−1) + (1−q)1 = 1−2q
• v1 (cruz , q) = p2 (cara)u (cruz , cara) + p2 (cruz)u (cruz , cruz)= q1 + (1−q)(−1) = 2q−1
• ⇒ elije cara si 1−2q > 2q−1 ⇐⇒ 4q < 2 ⇐⇒ q < 1/2 ⇒elije cruz ⇐⇒ q > 1/2
• Si q = 1/2 es indiferente entre cara y cruz
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Solucion: jugador 1
• Creencias: J1 cree que J2: p2 (cara) = q y p2 (cruz) = 1−q ⇒J2 juega mixta (q, 1−q)
• v1 (cara, q) = p2 (cara)u (cara, cara) + p2 (cruz)u (cara, cruz)= q (−1) + (1−q)1 = 1−2q
• v1 (cruz , q) = p2 (cara)u (cruz , cara) + p2 (cruz)u (cruz , cruz)= q1 + (1−q)(−1) = 2q−1
• ⇒ elije cara si 1−2q > 2q−1 ⇐⇒ 4q < 2 ⇐⇒ q < 1/2 ⇒elije cruz ⇐⇒ q > 1/2
• Si q = 1/2 es indiferente entre cara y cruz
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Solucion: jugador 1 (cont.)
• Ahora el J1: p1 (cara) = r y p1 (cruz) = 1− r ⇒ J1 juegamixta (r , 1− r)
• ⇒ Utilidad J1 juegue mixta (p1) = (r , 1− r) a mixta de J2(p2) = (q, 1−q)
• v1 (p1, p2) =p1 (cara) [p2 (cara)u (cara, cara) + p2 (cruz)u (cara, cruz)]+p1 (cruz) [p2 (cara)u (cruz , cara) + p2 (cruz)u (cruz , cruz)]
• = r [q (−1) + (1−q)1] + (1− r) [q1 + (1−q)(−1)]• = r [1−2q] + (1− r) [2q−1] = (2q−1) + r (2−4q)
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Solucion: jugador 1 (cont.)
• Ahora el J1: p1 (cara) = r y p1 (cruz) = 1− r ⇒ J1 juegamixta (r , 1− r)
• ⇒ Utilidad J1 juegue mixta (p1) = (r , 1− r) a mixta de J2(p2) = (q, 1−q)
• v1 (p1, p2) =p1 (cara) [p2 (cara)u (cara, cara) + p2 (cruz)u (cara, cruz)]+p1 (cruz) [p2 (cara)u (cruz , cara) + p2 (cruz)u (cruz , cruz)]
• = r [q (−1) + (1−q)1] + (1− r) [q1 + (1−q)(−1)]• = r [1−2q] + (1− r) [2q−1] = (2q−1) + r (2−4q)
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Solucion: jugador 1 (cont.)
• Ahora el J1: p1 (cara) = r y p1 (cruz) = 1− r ⇒ J1 juegamixta (r , 1− r)
• ⇒ Utilidad J1 juegue mixta (p1) = (r , 1− r) a mixta de J2(p2) = (q, 1−q)
• v1 (p1, p2) =p1 (cara) [p2 (cara)u (cara, cara) + p2 (cruz)u (cara, cruz)]+p1 (cruz) [p2 (cara)u (cruz , cara) + p2 (cruz)u (cruz , cruz)]
• = r [q (−1) + (1−q)1] + (1− r) [q1 + (1−q)(−1)]• = r [1−2q] + (1− r) [2q−1] = (2q−1) + r (2−4q)
Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas
Solucion: jugador 1 (cont.)
• Ahora el J1: p1 (cara) = r y p1 (cruz) = 1− r ⇒ J1 juegamixta (r , 1− r)
• ⇒ Utilidad J1 juegue mixta (p1) = (r , 1− r) a mixta de J2(p2) = (q, 1−q)
• v1 (p1, p2) =p1 (cara) [p2 (cara)u (cara, cara) + p2 (cruz)u (cara, cruz)]+p1 (cruz) [p2 (cara)u (cruz , cara) + p2 (cruz)u (cruz , cruz)]
• = r [q (−1) + (1−q)1] + (1− r) [q1 + (1−q)(−1)]• = r [1−2q] + (1− r) [2q−1] = (2q−1) + r (2−4q)
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Solucion: jugador 1 (cont.)
• Ahora el J1: p1 (cara) = r y p1 (cruz) = 1− r ⇒ J1 juegamixta (r , 1− r)
• ⇒ Utilidad J1 juegue mixta (p1) = (r , 1− r) a mixta de J2(p2) = (q, 1−q)
• v1 (p1, p2) =p1 (cara) [p2 (cara)u (cara, cara) + p2 (cruz)u (cara, cruz)]+p1 (cruz) [p2 (cara)u (cruz , cara) + p2 (cruz)u (cruz , cruz)]
• = r [q (−1) + (1−q)1] + (1− r) [q1 + (1−q)(−1)]• = r [1−2q] + (1− r) [2q−1] = (2q−1) + r (2−4q)
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Solucion: jugador 1 (cont.)
• v1 (p1, p2) = (2q−1) + r (2−4q) ⇒
∂v1 (p1, p2)∂r =
> 0 si 2−4q > 0
< 0 si 2−4q < 0
• ⇒ si 2−4q > 0 ⇐⇒ q < 1/2 ⇒ r = 1 (utilidad crece con r)⇒ J1 juega cara
• ⇒ si 2−4q < 0 ⇐⇒ q > 1/2 ⇒ r = 0 (utilidad cae con r)⇒ J1 juega cruz
• ⇒ si 2−4q = 0 ⇐⇒ q = 1/2 ⇒ r esta indeterminado ⇒ J1juega cualquier cosa
• Graficamente
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Solucion: jugador 1 (cont.)
• v1 (p1, p2) = (2q−1) + r (2−4q) ⇒
∂v1 (p1, p2)∂r =
> 0 si 2−4q > 0
< 0 si 2−4q < 0
• ⇒ si 2−4q > 0 ⇐⇒ q < 1/2 ⇒ r = 1 (utilidad crece con r)⇒ J1 juega cara
• ⇒ si 2−4q < 0 ⇐⇒ q > 1/2 ⇒ r = 0 (utilidad cae con r)⇒ J1 juega cruz
• ⇒ si 2−4q = 0 ⇐⇒ q = 1/2 ⇒ r esta indeterminado ⇒ J1juega cualquier cosa
• Graficamente
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Solucion: jugador 1 (cont.)
• v1 (p1, p2) = (2q−1) + r (2−4q) ⇒
∂v1 (p1, p2)∂r =
> 0 si 2−4q > 0
< 0 si 2−4q < 0
• ⇒ si 2−4q > 0 ⇐⇒ q < 1/2 ⇒ r = 1 (utilidad crece con r)⇒ J1 juega cara
• ⇒ si 2−4q < 0 ⇐⇒ q > 1/2 ⇒ r = 0 (utilidad cae con r)⇒ J1 juega cruz
• ⇒ si 2−4q = 0 ⇐⇒ q = 1/2 ⇒ r esta indeterminado ⇒ J1juega cualquier cosa
• Graficamente
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Solucion: jugador 1 (cont.)
• v1 (p1, p2) = (2q−1) + r (2−4q) ⇒
∂v1 (p1, p2)∂r =
> 0 si 2−4q > 0
< 0 si 2−4q < 0
• ⇒ si 2−4q > 0 ⇐⇒ q < 1/2 ⇒ r = 1 (utilidad crece con r)⇒ J1 juega cara
• ⇒ si 2−4q < 0 ⇐⇒ q > 1/2 ⇒ r = 0 (utilidad cae con r)⇒ J1 juega cruz
• ⇒ si 2−4q = 0 ⇐⇒ q = 1/2 ⇒ r esta indeterminado ⇒ J1juega cualquier cosa
• Graficamente
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Solucion: jugador 1 (cont.)
• v1 (p1, p2) = (2q−1) + r (2−4q) ⇒
∂v1 (p1, p2)∂r =
> 0 si 2−4q > 0
< 0 si 2−4q < 0
• ⇒ si 2−4q > 0 ⇐⇒ q < 1/2 ⇒ r = 1 (utilidad crece con r)⇒ J1 juega cara
• ⇒ si 2−4q < 0 ⇐⇒ q > 1/2 ⇒ r = 0 (utilidad cae con r)⇒ J1 juega cruz
• ⇒ si 2−4q = 0 ⇐⇒ q = 1/2 ⇒ r esta indeterminado ⇒ J1juega cualquier cosa
• Graficamente
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Solucion: jugador 1 (grafica)
r
q
1Cara
0Cruz
r*(q)
0Cruz
1Cara
1/ 2
Figura: Reaccion de J1.
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Solucion: jugador 2
• Repetimos el mismo procedimiento para el J2• Creencias: el J2 cree que J1: p1 (cara) = r y p1 (cruz) = 1− r⇒ J1 juega mixta (r , 1− r)
• J2: p2 (cara) = q y p2 (cruz) = 1−q ⇒ J1 juega mixta(q, 1−q)
• v2 (p2,p1) = q [r1 + (1− r)(−1)] + (1−q) [r (−1) + (1− r)1]= (1−2r) + q (4r −2)
• ⇒ creciente en q ⇐⇒ r > 1/2; decreciente en q⇐⇒ r < 1/2
• Graficamente
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Solucion: jugador 2
• Repetimos el mismo procedimiento para el J2• Creencias: el J2 cree que J1: p1 (cara) = r y p1 (cruz) = 1− r⇒ J1 juega mixta (r , 1− r)
• J2: p2 (cara) = q y p2 (cruz) = 1−q ⇒ J1 juega mixta(q, 1−q)
• v2 (p2,p1) = q [r1 + (1− r)(−1)] + (1−q) [r (−1) + (1− r)1]= (1−2r) + q (4r −2)
• ⇒ creciente en q ⇐⇒ r > 1/2; decreciente en q⇐⇒ r < 1/2
• Graficamente
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Solucion: jugador 2
• Repetimos el mismo procedimiento para el J2• Creencias: el J2 cree que J1: p1 (cara) = r y p1 (cruz) = 1− r⇒ J1 juega mixta (r , 1− r)
• J2: p2 (cara) = q y p2 (cruz) = 1−q ⇒ J1 juega mixta(q, 1−q)
• v2 (p2,p1) = q [r1 + (1− r)(−1)] + (1−q) [r (−1) + (1− r)1]= (1−2r) + q (4r −2)
• ⇒ creciente en q ⇐⇒ r > 1/2; decreciente en q⇐⇒ r < 1/2
• Graficamente
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Solucion: jugador 2
• Repetimos el mismo procedimiento para el J2• Creencias: el J2 cree que J1: p1 (cara) = r y p1 (cruz) = 1− r⇒ J1 juega mixta (r , 1− r)
• J2: p2 (cara) = q y p2 (cruz) = 1−q ⇒ J1 juega mixta(q, 1−q)
• v2 (p2,p1) = q [r1 + (1− r)(−1)] + (1−q) [r (−1) + (1− r)1]= (1−2r) + q (4r −2)
• ⇒ creciente en q ⇐⇒ r > 1/2; decreciente en q⇐⇒ r < 1/2
• Graficamente
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Solucion: jugador 2
• Repetimos el mismo procedimiento para el J2• Creencias: el J2 cree que J1: p1 (cara) = r y p1 (cruz) = 1− r⇒ J1 juega mixta (r , 1− r)
• J2: p2 (cara) = q y p2 (cruz) = 1−q ⇒ J1 juega mixta(q, 1−q)
• v2 (p2,p1) = q [r1 + (1− r)(−1)] + (1−q) [r (−1) + (1− r)1]= (1−2r) + q (4r −2)
• ⇒ creciente en q ⇐⇒ r > 1/2; decreciente en q⇐⇒ r < 1/2
• Graficamente
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Solucion: jugador 2
• Repetimos el mismo procedimiento para el J2• Creencias: el J2 cree que J1: p1 (cara) = r y p1 (cruz) = 1− r⇒ J1 juega mixta (r , 1− r)
• J2: p2 (cara) = q y p2 (cruz) = 1−q ⇒ J1 juega mixta(q, 1−q)
• v2 (p2,p1) = q [r1 + (1− r)(−1)] + (1−q) [r (−1) + (1− r)1]= (1−2r) + q (4r −2)
• ⇒ creciente en q ⇐⇒ r > 1/2; decreciente en q⇐⇒ r < 1/2
• Graficamente
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Solucion: jugador 2 (grafica)
r
q
1Cara
0Cruz
q*(r )
0Cruz
1Cara
1/ 2
Figura: Reaccion de J2.
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Solucion: EN
r
q
1Cara
0Cruz
q*(r )
0Cruz
1Cara
1/ 2
r*(q)
1/ 2
Figura: Equilibrio de Nash en estrategias mixtas.
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Solucion: EN
• El unico EN en estrategias mixtas es (p∗1 , p∗2) =(
12 ,
12
)• Notas:
• la estrategia mixta del jugador j es una representacion de laincertidumbre del jugador i respecto a la estrategia pura de j
• es como si j tuviera informacion privada que determina queestrategia pura elija, pero i no conoce esa informacion y, portanto, la estrategia mixta representa su incertidumbre (de i)
• Mas sobre el tema en “Juegos bayesianos”
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Solucion: EN
• El unico EN en estrategias mixtas es (p∗1 , p∗2) =(
12 ,
12
)• Notas:
• la estrategia mixta del jugador j es una representacion de laincertidumbre del jugador i respecto a la estrategia pura de j
• es como si j tuviera informacion privada que determina queestrategia pura elija, pero i no conoce esa informacion y, portanto, la estrategia mixta representa su incertidumbre (de i)
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Solucion: EN
• El unico EN en estrategias mixtas es (p∗1 , p∗2) =(
12 ,
12
)• Notas:
• la estrategia mixta del jugador j es una representacion de laincertidumbre del jugador i respecto a la estrategia pura de j
• es como si j tuviera informacion privada que determina queestrategia pura elija, pero i no conoce esa informacion y, portanto, la estrategia mixta representa su incertidumbre (de i)
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Solucion: EN
• El unico EN en estrategias mixtas es (p∗1 , p∗2) =(
12 ,
12
)• Notas:
• la estrategia mixta del jugador j es una representacion de laincertidumbre del jugador i respecto a la estrategia pura de j
• es como si j tuviera informacion privada que determina queestrategia pura elija, pero i no conoce esa informacion y, portanto, la estrategia mixta representa su incertidumbre (de i)
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Solucion: EN
• El unico EN en estrategias mixtas es (p∗1 , p∗2) =(
12 ,
12
)• Notas:
• la estrategia mixta del jugador j es una representacion de laincertidumbre del jugador i respecto a la estrategia pura de j
• es como si j tuviera informacion privada que determina queestrategia pura elija, pero i no conoce esa informacion y, portanto, la estrategia mixta representa su incertidumbre (de i)
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