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Teoría de la decisión
Unidad 03.- Decisiones bajo certidumbre
Método: Proceso analítico de jerarquías (AHP)
1Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Método: Proceso analítico de jerarquías (AHP)
(analytical hierarchy process)
AnalyticalHierarchyProcess
Decisiones: ¿cómo las queremos?
Cuándo y cómo
. Oportunas
. Bien informadas
En qué contexto
. Método estructurado
. Alternativas priorizadas
2Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
. Bien informadas
. Efectivas
. Alternativas priorizadas
. Evaluar funciones de valor
. Aceptable por decisores
. Fácil de implementar
• Problema no estructurado
• Gran complejidad en la situación
AHP permite:
• Una forma de estructurar
el problema
• Una manera de priorizar
AnalyticalHierarchyProcess
El contexto de AHP
3Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
• No hay una métrica clara para medir el problema
• Diversos puntos de vista antagónicos confunden al decisor o decisores
• Una manera de priorizar
alternativas
• Construir una función de
valor para comparar
• Un ambiente cercano al
consenso
AnalyticalHierarchyProcess
¿Cómo es el método?
1. Identificar los criterios más adecuados para la evaluación
2. Construir el árbol de jerarquías
3. Establecer los juicios de preferencia
4Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
3. Establecer los juicios de preferencia
4. Comparar los criterios entre sí y contra las alternativas
5. Priorizar las alternativas
6. Elegir la mejor
OBJETIVO
Criterio 1 Criterio 2 Criterio n
AnalyticalHierarchyProcess
¿Qué es el árbol de decisión?
. Estructuración jerárquica de criterios
. Diversos niveles (en la figura sólo se
representan dos niveles de criterios)
. Se asemeja a un árbol de decisiones
Condicionadas
. Permite visualizar las relaciones
5Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Criterio 1.1 Criterio 1.m
Alternativa 1 Alternativa iAlternativa 2
. Permite visualizar las relaciones
de jerarquía de los diversos
criterios
. Identifica los criterios
necesarios a la decisión
. Resume el consenso del grupo de los
decisores sobre la estructuración del
problema
AnalyticalHierarchyProcess
¿Qué son los juicios de preferencia?
. Representa la preferencia de un decisor sobre un c riterio en relacióna otro
. Relaciona dos elementos con ancestro común en el árbol de decisión
6Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
. El juicio responde a dos cuestiones:. Cuál es mas importante. Qué tan fuerte es la preferencia
. Está sujeto a inconsistencias del decisor
. Tienen una expresión cuantitativa de acuerdo a un a regla:
Importancia1 indiferente3 moderadamente más 5 más importante7 mucho más importante
Recíprocos1/3 moderadamente menos1/5 menos importante1/7 mucho menos imp.1/9 extremadamente menos
AnalyticalHierarchyProcess
¿Cuál es la regla … y su propósito?
7Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
7 mucho más importante9 Extremadamente más
importante
2,4,6,8 para situaciones
intermedias
1/9 extremadamente menos importante
La escala permite expresar cuantitativamente juicios de valor
AnalyticalHierarchyProcess
¿Cómo se comparan los criterios?
•El método se basa en comparaciones pareadas, es decir dos a dos
•Las comparaciones se expresan en matrices
8Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
•Cada celda de la matriz de comparaciones muestra como se comparan
los juicios de preferencia de cada uno de los pares.
•Se pueden presentar inconsistencias en la matriz de preferencias por
juicios mal formulados
AnalyticalHierarchyProcess
¿Cómo se comparan los criterios?
CriteriosVector de
Matriz de comparaciones
Criterios:Fn: FuncionalidadEs: EstiloDsw : Disponibilidad de software
Preferencias:Fn = 5Es ; Fn = 3Dsw ; Dsw = 3Es
9Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Fn Es Dsw
Fn 1/1 5 3
Es 1/5 1/1 1/3
Dsw 1/3 3 1/1
0,605
0,106
0,291
Comparaciones
Vector dePreferencias
AnalyticalHierarchyProcess
¿Qué es la inconsistencia de los juicios?
Hemos establecido estas Preferencias: Fn = 5Es ; Fn = 3Dsw ; Dsw = 3Es
Un análisis de ellas nos evidencia una situación anómala:
Fn= 5Es ; Dsw = 3Es => Es = 1/3 Dsw => Fn= 5/3Dsw ¿qué ha pasado?
Esto es lo que se denomina inconsistencia , la falta de transitividad en las
preferencias sobre los criterios.
10Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
preferencias sobre los criterios.
Ellos están directamente relacionados entre sí y por tanto debería existir
consistencia numérica entre ellos.
La inconsistencia de las matrices producto de la inconsistencia de los juicios
se resuelve obteniendo el vector propio de la matriz (eigenvector), este
procedimiento produce una matriz consistente que refleja apropiadamente
Las relaciones de preferencia entre todos los criterios
AnalyticalHierarchyProcess
Quiero una Tablet … ¿cuál me conviene?
Dispongo de estas tres opciones
11Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Ipad 2 HP slate 500Galaxy tab 10.1
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 1: Los criterios y su estructuración¿cómo defino los criterios?
Fuentes de información y orientación técnica
1. Lo que deseo que haga la máquina por mí
2. Consulta en revistas especializadas
3. Consulta de foros en internet
12Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
3. Consulta de foros en internet
. Para qué la usan y como se ajustan a ese uso
. Características técnicas
. Características deseables según los usuarios de las máquinas
. Opiniones en los foros, quejas, felicitaciones, trucos
. Accesorios requeridos y deseables
. Precios y disponibilidades
¿y qué busco?
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 1: Los criterios y su estructuraciónLos criterios a usar
1. Funcionalidad: cómo se ajusta a mis necesidades. Con tres subcriterios
1.1 Compatibilidad con windows y ms-office1.2 Conexiones disponibles a pc1.3 Estabilidad del sistema operativo
2. Estilo: diseño, materiales utilizados, calidad del ensamblaje
13Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
2. Estilo: diseño, materiales utilizados, calidad del ensamblaje
3. Disponibilidad de aplicaciones: especialmente de aplicaciones de trabajo y herramientas de productividad personal.
El precio es también un criterio importante, sin embargo, lo dejaremospara el final con el objeto de demostrar una manera alternativa deevaluar y comparar opciones dentro de AHP
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 2: Los criterios y su estructuración(árbol de Jerarquías)
Tablet PreferidaTablet Preferida
Funcionalidad(Fn)
Funcionalidad(Fn)
Estilo(Es)
Estilo(Es)
Disponibilidad S/W(Dsw)
Disponibilidad S/W(Dsw)
Estabilidad S/OEstabilidad S/OConexión PCConexión PCCompatibilidadCompatibilidad
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Estabilidad S/O(Sso)
Estabilidad S/O(Sso)
Conexión PC(Xpc)
Conexión PC(Xpc)
CompatibilidadWindows/Office
(Cwo)
CompatibilidadWindows/Office
(Cwo)
ipad 2ipad 2 galaxygalaxy hp 500hp 500
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 3: Establecer los juicios de preferencias
(*) Entre los criterios (siempre se comparan entre los que tienen ancestro común)
Fn = 5Es ; Fn = 3Dsw ; Dsw = 3Es
Cwo = 4Sso ; Cwo = 3Xpc ; Xpc = 3Sso
(**) Las alternativas considerando los criterios
15Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
(**) Las alternativas considerando los criterios
preferencias considerado Cwo: hp = 3ipad ; ipad = 2galaxy ; hp = 3galaxy
preferencias considerado Xpc: hp = 2ipad ; ipad = 2galaxy ; hp = 3galaxy
preferencias considerado Sso: ipad = 5galaxy ; ipad = 5hp ; galaxy = 3hp
preferencias considerado Es: ipad = 7galaxy ; ipad = 7hp ; galaxy = 5hp
preferencias considerado Dsw: ipad = 7galaxy ; ipad = 7 hp ; galaxy = 2hp
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 4: comparaciones
Tablet PreferidaTablet Preferida
Funcionalidad(Fn)
Funcionalidad(Fn)
Estilo(Es)
Estilo(Es)
Disponibilidad S/W(Dsw)
Disponibilidad S/W(Dsw)
16Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Las preferencias establecidas son: Fn = 5Es ; Fn = 3Dsw ; Dsw = 3Es
Fn Es Dsw
Fn 1/1 5 3
Es 1/5 1/1 1/3
Dsw 1/3 3 1/1
Matriz de comparaciónresultante
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 4: comparacionesCálculo del vector de preferencias
El objeto es convertir la matriz de comparaciones en un vector que reflejelas preferencias entre los criterios. El Dr. Thomas Saaty ha demostrado que el cálculo del VECTOR PROPIO(eigenvector) es la solución que proporciona la mejor aproximación.
Aplicaremos el siguiente algoritmo:
17Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Aplicaremos el siguiente algoritmo:
1. Elevar la matriz al cuadrado2. Normalizar la matriz resultante (vector de preferencias)3. Nuevamente elevar la matriz resultante al cuadrado4. Normalizar esta segunda matriz5. Comparar (efectuar la diferencia) los dos vectores obtenidos6. Si las diferencias no son significativas, el último resultado es el
vector propio y por tanto el vector de preferencias.
Si las diferencias son significativas, repetir el procedimiento
0,6397 0,1030 0,2573 1,0000
0,6370 0,1047
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 4: comparacionesCálculo del vector de preferencias
Fn Es DswFn 1,0000 5,0000 3,0000 Es 0,2000 1,0000 0,3333
Dsw 0,3333 3,0000 1,0000
2
=3,0000 19,0000 7,6667 0,5111 3,0000 1,2667 1,2667 7,6667 3,0000
29,6667 4,7778 11,9333 46,3778
Normalización
3,0000 19,0000 7,6667 0,5111 3,0000 1,2667
2
=2421,9511 14730,7946 5973,0448 398,2030 2421,9511 982,0530
23125,7905 3802,2071
18Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
0,1047
0,2583 1,0000
1,2667 7,6667 3,0000 = 398,2030 2421,9511 982,0530
982,0530 5973,0448 2421,9511
3802,2071
9377,0489 36305,0464
Vector 1 - Vector 2Vector Res.
0,6397 - 0,6369 = 0,0027
0,1030 - 0,1048 = -0,0017
0,2573 - 0,2583 = -0,0010
Los resultados están en 10 veces la precisión definidahagamos otra iteración
Comparación
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 4: comparacionesCálculo del vector de preferencias
28,4222 172,7778 70,0667 4,6711 28,4222 11,5185
11,5185 70,0667 28,4222
2
=2421,9511 14730,7946 5973,0448 398,2030 2421,9511 982,0530
982,0530 5973,0448 2421,9511
23125,7905
3802,2071
9377,0489 36305,0464
0,6370 0,1047
0,2583 1,0000
Normalización
19Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Vector 1 - Vector 2Vector Res.
0,6369 - 0,6370 = -0,0000 0,6400 Fn0,1048 - 0,1047 = 0,0000 0,1000 Es0,2583 - 0,2583 = 0,0000 0,2600 Dsw
1,0000
Vector de preferenciasMínima diferencia
Comparación
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 4: comparacionesPreferencias nivel 1
Tablet PreferidaTablet Preferida
Funcionalidad
(Fn) [0,64]Funcionalidad
(Fn) [0,64]Estilo
(Es) [0,10]Estilo
(Es) [0,10]Disponibilidad S/W
(Dsw) [0,26]Disponibilidad S/W
(Dsw) [0,26]
20Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Los números entre corchetes representan los pesos relativos de cada criterio, para efectos de evaluación.
Proceso similar se sigue con el segundo nivel, el correspondiente A los subcriterios de funcionalidad.
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 4: comparacionesPreferencias nivel 2
Funcionalidad(Fn)
Funcionalidad(Fn)
Estabilidad S/O
(Sso) [0,12]Estabilidad S/O
(Sso) [0,12]Conexión PC
(Xpc) [0,27]Conexión PC
(Xpc) [0,27]CompatibilidadWindows/Office
(Cwo) [0,61]
CompatibilidadWindows/Office
(Cwo) [0,61]
21Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Las preferencias establecidas son: Cwo = 4Sso ; Cwo = 3Xpc ; Xpc = 3Sso
Cwo Xpc Sso
Cwo 1/1 3 4
Xpc 1/3 1/1 3
Sso 1/4 1/3 1/1
0,61 Cwo
0,27 Xpc
0,12 Sso
Operando según el procedimiento se obtiene
Vector de Preferencias =
Matriz de comparación
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 5: comparacionesPriorizando las alternativas
El objeto es comparar las alternativas entre sí a la luz de cada uno de loscriterios de decisión. Así por cada criterio se construye una matriz de comparación de juiciosY según el procedimiento de determinación del vector propio se obtienenLos vectores de preferencia por cada criterio
1. Comparación de las opciones considerando la compatibilidad (Cwo)
22Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Juicios de preferencia hp = 3ipad ; ipad = 2galaxy ; hp = 3galaxy
Cwo iPad Galaxy HP 500
iPad 1/1 2 1/3
Galaxy ½ 1/1 1/3
HP 500 3 3 1/1
0,25 iPad
0,16 Galaxy
0,59 HP 500
Vector de Preferencias Matriz de comparación
2. Comparación de las opciones considerando las Conexiones (Xpc)
Juicios de preferencia: hp = 2ipad ; ipad = 3galaxy ; hp = 3galaxy
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 5: comparacionesPriorizando las alternativas
23Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Xpc iPad Galaxy HP 500
iPad 1/1 3 1/2
Galaxy 1/3 1/1 1/3
HP 500 2 3 1/1
0,33 iPad
0,14 Galaxy
0,53 HP 500
Vector de Preferencias Matriz de comparación
3. Comparación de las opciones considerando la Estabilidad del s/o (Sso)
Juicios de preferencia: ipad = 5galaxy ; ipad = 5hp ; galaxy = 3hp
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 5: comparacionesPriorizando las alternativas
24Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Sso iPad Galaxy HP 500
iPad 1/1 5 5
Galaxy 1/5 1/1 3
HP 500 1/5 1/3 1/1
0,70 iPad
0,20 Galaxy
0,53 HP 500
Vector de Preferencias Matriz de comparación
4. Comparación de las opciones considerando el Estilo (Es)
Juicios de preferencia: ipad = 7galaxy ; ipad = 7hp ; galaxy = 5hp
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 5: comparacionesPriorizando las alternativas
25Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Sso iPad Galaxy HP 500
iPad 1/1 7 7
Galaxy 1/7 1/1 5
HP 500 1/7 1/5 1/1
0,75 iPad
0,19 Galaxy
0,06 HP 500
Vector de Preferencias Matriz de comparación
5. Comparación de las opciones considerando la disponibilidad deaplicaciones (Dsw)
Juicios de preferencia: ipad = ipad = 7galaxy ; ipad = 7 hp ; galaxy = 2hp
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 5: comparacionesPriorizando las alternativas
26Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Sso iPad Galaxy HP 500
iPad 1/1 7 7
Galaxy 1/7 1/1 2
HP 500 1/7 1/2 1/1
0,77 iPad
0,14 Galaxy
0,09 HP 500
Vector de Preferencias Matriz de comparación
AnalyticalHierarchyProcess
Cada opción recibe un peso, que indica cuál es la preferencia relativaque el decisor le ha asignado
Ahora es necesario relacionar esa ponderación con los criterios de decisión adoptados.
Al incluir las diversas ponderaciones que han resultado en cada
Paso 6: determinar la mejor opción
27Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Al incluir las diversas ponderaciones que han resultado en cada comparación a cada uno de los nodos y ramas del árbol podemos veruna cadena de ponderaciones cuyos valores podemos relacionar multiplicando las ponderaciones en cada rama que lleva a cada opcióny acumulando (suma) los valores resultantes para cada rama.
Tal sumatoria representa el peso relativo de cada opción.
Veamos ……
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 6: determinar la mejor opción
Tablet PreferidaTablet Preferida
Funcionalidad(Fn) [0,64]
Funcionalidad(Fn) [0,64]
Estilo(Es) [0,10]
Estilo(Es) [0,10]
Disponibilidad S/W(Dsw) [0,26]
Disponibilidad S/W(Dsw) [0,26]
Estabilidad S/OEstabilidad S/OConexión PCConexión PCCompatibilidadCompatibilidad0,770,75
28Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Estabilidad S/O(Sso) [0,12]
Estabilidad S/O(Sso) [0,12]
Conexión PC(Xpc) 0,27]Conexión PC(Xpc) 0,27]
CompatibilidadWindows/Office(Cwo) [0,61]
CompatibilidadWindows/Office(Cwo) [0,61]
ipad 2ipad 2
0,770,75
0,700,330,25
{[(0,25*0,61)+(0,33*0,27)+(0,70*0,12)]*0,64}+(0,75* 0,10)+(0,77*0,26) = 0,48
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 6: determinar la mejor opción
Tablet PreferidaTablet Preferida
Funcionalidad(Fn) [0,64]
Funcionalidad(Fn) [0,64]
Estilo(Es) [0,10]
Estilo(Es) [0,10]
Disponibilidad S/W(Dsw) [0,26]
Disponibilidad S/W(Dsw) [0,26]
Estabilidad S/OEstabilidad S/OConexión PCConexión PCCompatibilidadCompatibilidad 0,140,19
29Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Estabilidad S/O(Sso) [0,12]
Estabilidad S/O(Sso) [0,12]
Conexión PC(Xpc) 0,27]Conexión PC(Xpc) 0,27]
CompatibilidadWindows/Office(Cwo) [0,61]
CompatibilidadWindows/Office(Cwo) [0,61]
galaxygalaxy
0,16
0,14
0,200,14
{[(0,16*0,61)+(0,14*0,27)+(0,20*0,12)]*0,64}+(0,19* 0,10)+(0,14*0,26) = 0,16
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 6: determinar la mejor opción
Tablet PreferidaTablet Preferida
Funcionalidad(Fn) [0,64]
Funcionalidad(Fn) [0,64]
Estilo(Es) [0,10]
Estilo(Es) [0,10]
Disponibilidad S/W(Dsw) [0,26]
Disponibilidad S/W(Dsw) [0,26]
Estabilidad S/OEstabilidad S/OConexión PCConexión PCCompatibilidadCompatibilidad0,090,06
30Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Estabilidad S/O(Sso) [0,12]
Estabilidad S/O(Sso) [0,12]
Conexión PC(Xpc) 0,27]Conexión PC(Xpc) 0,27]
CompatibilidadWindows/Office(Cwo) [0,61]
CompatibilidadWindows/Office(Cwo) [0,61]
hp 500hp 500
0,59
0,09
0,100,53
{[(0,59*0,61)+(0,53*0,27)+(0,10*0,12)]*0,64}+(0,06* 0,10)+(0,09*0,26) = 0,36
AnalyticalHierarchyProcess
Paso 6: determinar la mejor opción
El vector de preferencia correspondiente a las opciones es:
iPad 0,48HP Slate 500 0,36
Galaxy tab 0,16
31Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Galaxy tab 0,16
Por lo que la preferencia favorece al iPad 2
Esta ponderación puede también interpretarse como el beneficio Que brinda cada opción.
Si lo relaciono con los costos, dato que no habíamos incluido …
AnalyticalHierarchyProcess
Análisis beneficio / costo
Costo (€)Costo
NormalizadoBeneficios Beneficio/costo
iPad 629,0 0,32 0,4800 1,4942
32Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
HP 500 725,0 0,37 0,3600 0,9722
Galaxy tab 604,0 0,31 0,1600 0,5187
Con esta información se considera terminado el proceso de análisis
La decisión lógica es adquirir un iPad 2
AnalyticalHierarchyProcess
Ejemplo de Arbol de Jerarquías
Predicción de la elección presidencialBasado en: Saaty, Thomas L. Toma de decisiones para líderes. RWS Publication. 1.997
Candidato Ganador
Izquierda Centro Derecha
Cualidades Medios Imagen Fallas Temas Apoyo
33Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
Cualidades Medios Imagen Fallas Temas Apoyo externo
Publicidad
Experiencia
Carisma
Prof,s.
Personales
Físicas
Editoriales
Debates
Economía
Defensa
Energía
Política Exterior
Incumbencia
Campaña
Región
Afiliación
Respaldos
Candidato CCandidato BCandidato A
Agenda Social
AnalyticalHierarchyProcess
Ejemplo de Arbol de Jerarquías
Planificación de políticas económicasBasado en: Saaty, Thomas L. Toma de decisiones para líderes. RWS Publication. 1.997
Desarrollo económico en sectores no tradicionales según la balanza comercial – año 2025
Requisito mínimode divisas
Disponibilidad máximade divisas
Agriculturadesarrollada
Bienes de capitale intermedios
Bienes de consumoy servicios
Turismodesarrollado
34Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
desarrollada e intermediosdesarrollados
y serviciosdesarrollados
desarrollado
Distribucióndel ingreso
más igualitaria
Más plenoempleo de m/o
y capital
Asignación de recursosmás racional
Nueva inversiónmás productiva
Status quo(políticas de
sustitución deImportaciones)
Atracción de inversión
extranjera
Fomento a laexportación
Expansión de labase industrial
AnalyticalHierarchyProcess
Ejemplo de Arbol de Jerarquías
Estructuración para análisis beneficio/costosBasado en: Saaty, Thomas L. Toma de decisiones para líderes. RWS Publication. 1.997
Sistema óptimo de calentamiento
Costo combustible Costo instalación Costo Mantenimiento Restricciones ambientales
Gas natural Gasolina Resistenciaeléctrica
Bombade calor
Otros
Costos
35Teoría de la DecisiónGB Alfredo A. Carneiro Campos UNEFA ZULIA
eléctrica de caloreléctrica
Sistema óptimo de calentamiento
Costo combustible Costo instalación Costo Mantenimiento Restricciones ambientales
Gas natural Gasolina Resistenciaeléctrica
Bombade caloreléctrica
Otros
Beneficios