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7/17/2019 Teoría de La Demanda
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Teoría de la Demanda
Curva de Demanda Individual
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Curva precio-consumo
Co
njunto de canastas optimas (las mejores), cuandovaria el precio de un bien y se mantiene constantela renta y el precio del otro bien.A partir de esta curva se puede obtener la curva dedemanda individual. Se anotan los cambios en losprecios y en las cantidades del alojamiento, con ello
se puede construir la curva de demanda individual.
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Curva de demanda individual
a curva de demanda individual es una relaci!n"ue nos dice cuanto desea consumir y comprar adi#erentes precios el consumidor
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Curva de DemandaSustitutos $er#ectos
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Curva de DemandaComplementarios $er#ectos
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Demanda vs CantidadDemandada
Di#erencia%
• Demanda% #unci!n "ue muestra larelaci!n entre cantidadesdemandadas y precios del bienpara todo $ y &% toda la curva.
• Cantidad Demandada% ' de
unidades "ue se demandan de unbien a precio determinado. *s unpunto sobre la curva de demanda.
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Demanda vs CantidadDemandada• Cambios de Demanda% Cambia
toda la #unci!n, se despla+a lacurva, para todo $ y &, debido al
cambio de otro #actor distinto a $.• Cambios en la Cantidad
Demandada% Cambia el nmero de
unidades consumidas a lo laro dela #unci!n ante un cambio en $.
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n Cambio en la CantidadDemandada
P
Q
demanda
*sto es un despla+amientoA / A01/ de la curva de
demanda
Ramón Castro
http://ramoncastro.es
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Despla+amiento de la Curva deDemandaP
Q
demanda
demanda’
n cambio en la demanda2acia la derec2a (no est3motivado por variaciones enel precio del bien, sino porotras variables (por ejemplo,
un aumento en el inreso delos consumidores)
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Teoría de la Demanda
*#ectos sobre la demanda individual productode cambios en los precios y en el inreso
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urva nresoConsumo
A medida "ue sube el inreso las rectas presupuestarias
se despla+an paralelamente 2acia a#uera. Suponiendo"ue se mantienen constantes los precios y laspre#erencias, la CIC muestra como cambia el consumode vivienda debido a un aumento en el inreso. acurva se obtiene uniendo todos los puntos de tanencia,"ue son las mejores canastas, entre el mapa de curvas
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Curva de *nel
• 0epresenta la relaci!n entre la cantidadconsumida de un bien y el nivel de inresos
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4ienes In#eriores y 'ormales
n bien in#erior es a"uel "ue disminuye su consumosi aumentan los inresos del individuon bien normal es a"uel "ue aumenta su consumocon un aumento de los inresos del consumidor.
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*#ecto Inreso y *#ecto
Sustituci!n• 5ariaciones en el precio de un bien a#ecta a lasdecisiones de compra por dos ra+ones.
• $or una parte la subida del precio de un bienaumenta el atractivo de los sustitutos cercanos al
bien (e#ecto sustituci!n).• $or otra parte, la subida del precio reduce el poder
ad"uisitivo de del consumidor. Cuando el bien esnormal este e#ecto 2ace "ue se consuma menos del
bien, pero cuando el bien es in#erior el e#ecto escontrario. *sta variaci!n de llama e#ecto-renta oe#ecto-inreso.
• *l e#ecto total de un cambio en los precios es lasuma de los dos e#ectos anteriores
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ec o nreso y ec oSustituci!n
63s #ormalmente se puede decir "ue el e#ecto total sedescompone en%• *#ecto sustituci!n "ue es componente del e#ectototal de la variaci!n de un precio provocado por lavariaci!n del atractivo relativo de otros bienes.• *#ecto inreso es el componente del e#ecto total de
la variaci!n de un precio provocado por la variaci!ndel oder ad uisitivo real
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*#ecto Sustituci!n y *#ecto Inreso del cambio en un preciopara un bien normal
a restricci!n 2ipot7tica 48 permitiría"ue consumidor tena su9cienteinreso para volver a alcan+ar elnivel de utilidad "ue tenía antes de lasubida del precio, redujo el consumo
del bien. (*S)*l *#ecto Inreso (*I) se puedeobservar cuando se contrae la rectapresupuestaria producto de lap7rdida de poder ad"uisitivo
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*#ecto Sustituci!n y *#ecto Inreso delcambio en un precio para un bien in#erior
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4ienes 1i:en• n bien 1i:en es a"uel en el "ue el e#ecto total de una
subida del precio provoca un aumento de la cantidaddemandada.
• Como el e#ecto sustituci!n es siempre una reducci!nde la cantidad comprada, el bien 1i:en debe ser un
bien in#erior cuyo e#ecto inreso contrarresta el e#ectosustituci!n. *ntonces es un bien muy in#erior.
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*S y *I en 4ienesComplementarios
Cuando los bienes soncomplementariosper#ectos, el *S de unaumento en el precio
de las 9jaciones, semueve de A a C elconsumidor, es cero.
$or lo tanto el *I esiual al *T
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*S y *I en 4ienes Sustitutos
*n el caso de bienes sustitutos per#ectos el *S deun aumento del precio del ca#7 puede ser muyrande
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Teoría de la Demanda
Demanda Compensada(;ic<siana)
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Curva de DemandaCompensada• a curva de demanda compensada es a"uella "ue indica
cuanto comprarían los consumidores a cada precio si seles compensara totalmente los e#ectos inreso decambios en los precios.
• *n la pr3ctica la distinci!n entre la curva de demandaordinaria (6ars2alliana) y la curva de demanda
compensada es especialmente importante en cuestionesrelacionadas con la política 9scal, cuando el e#ectoinreso es muy rande en relaci!n al e#ecto sustituci!n.
• a curva de demanda compensada si es lineal tendr3menos pendiente "ue la demanda 6ars2alliana siestamos en presencia de un bien in#erior.
• Si estamos en presencia de un bien normal y lasdemandas son lineales la curva de demandacompensada tendr3 mas pendiente.
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Demanda compensada de un bienin#erior
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Impuestos a un 4ien
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Teoría de la Demanda
Demanda de 6ercado
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Se suma 2acia el lado a partir de un preciodeterminado las cantidades individuales y seobtiene la demanda de mercado.
/btenci!n de la demanda de mercado de un bienprivado.
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• Ingresos. a cantidad demandada por un bien varía con unaumento (disminuci!n) del inreso. *n el caso de los bienesnormales aumenta (cae) la cantidad demandada, en losbienes in#eriores cae (aumenta) la cantidad demandada.
• Los gustos. Determinan los mapas de curvas de indi#erenciay a#ecta la cantidad demandada de bines.
• Los precios de los sustitutos y los complementarios. naumento de los precios de los bines complementarios a#ectaneativamente la demanda de un bien. n aumento delprecio de un bien sustituto aumenta la demanda por el bien.
• Las expectativas. as e=pectativas sobre niveles de preciose inresos #uturos a#ectan el consumo en el presente.
• La población. *n eneral cuanto mayor es la poblaci!nmayor es la cantidad "ue se compra de un bien o servicio aun precio dado.
Determinantes de laDemanda de 6ercado
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Determinantes de la Demanda de6ercado
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5amos a ocupar la#ormula >
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Teoría de la Demanda
*lasticidad de la Demanda
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*lasticidad $recio de laDemanda• a elasticidad precio de la demanda es la
variaci!n porcentual de la cantidaddemandada de un bien provocada por unavariaci!n de su precio de un ?.
• Si la elasticidad es menor "ue - se dice "ue
la demanda es el3stica, si es mayor a - a lademanda se le denomina inel3stica y si laelasticidad es iual a - se dice "ue lademanda tiene elasticidad unitaria.
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*lasticidad $recio de laDemanda• na interpretaci!n alternativa es el m7todo del
punto y la pendiente%
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Casos e=tremos de elasticidad de la
Demanda
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a pendiente de la curva se ve a#ectada por elcambio de unidades en "ue se mide por ejemplo
asolina, pero no así la elasticidad precio
a elasticidad es independiente de la
unidad en "ue se mida
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*lasticidad $recio y 1asto
Total
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*lasticidad precioy asto total
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Determinantes de la *lasticidad
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Determinantes de la *lasticidad$recio• Las posibilidades de Sustitución. *l e#ecto sustituci!n de
la variaci!n de un precio tiende a ser pe"ue@o cuando los
bines no tienen sustitutos cercanos. *l valor absoluto de laelasticidad precio aumenta si e=isten sustitutos cercanos.
• Proporción del Presupuesto. *l e#ecto renta de la variaci!nde un precio es m3s importante cuanto mayor es laproporci!n "ue representa el producto dentro del asto total.
*n eneral cuanto menos peso tiene un bien en el asto totalmenos el3stica es la demanda.
• Sentido del Efecto Ingreso. 6uy relacionado con el puntoanterior es si el e#ecto inreso es positivo o neativo. aproporci!n nos dice si el *I es rande o pe"ue@o pero susentido nos indica si re#uer+a o combate el *S. *n eneral unbien normal tender3 a tener una mayor elasticidad "ue unbien in#erior.
• El Tiempo. a demanda es m3s el3stica a laro pla+o "ue acorto pla+o.
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*lasticidad Inreso de laDemanda• a elasticidad inreso es la variaci!n porcentual de la
cantidad demandada por una cambio en el inreso de un?.
• os bienes, como los alimentos, "ue varían en unaproporci!n menor al inreso, tienen una elasticidad inresomenor "ue y mayor a , se les llama necesarios.
• Si tiene una elasticidad inreso menor a son bienesin#eriores.
• Si tienen una elasticidad inreso mayor a son bienes delujo
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Curvas de *nel y *lasticidadInreso
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*lasticidad $recio Cru+ada
• a elasticidad precio cru+ada de la demanda esla variaci!n porcentual de la cantidaddemandada de un bien provocada por unavariaci!n del precio del otro bien en un ?.
• Si la elasticidad precio cru+ada es neativa losbines son complementarios .
• Si la elasticidad precio cru+ada es positiva losbienes son sustitutos.
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Teoría de la Demanda
6edidas de 4ienestar
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6idiendo en t7rminos monetarios,
los bene9cios del intercambio
• d. $uede comprar tanta asolina como"uiera al precio de peso el al!n una ve+
"ue se encuentra dentro del mercado.
• $reunta% BCu3nto es lo m3=imo "ue est3dispuesto a paar para entrar al mercado
• 0espuesta% *staría dispuesto a paar 2astael valor de las anancias "ue podríadis#rutar por el intercambio sea mayor "ueel precio de mercado.
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• BC!mo se pueden medir estasanancias por el intercambio
• *=isten tres #ormas de medir los
bene9cios del intercambio% – *l e=cedente del Consumidor
– a variaci!n e"uivalente, y
– a variaci!n compensada.• S!lo en una circunstancia muy
especial estas medidas coinciden.
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• Suponamos "ue la asolina puede sercomprada s!lo en unidades de al!n.
• r nos indica la cantidad m3=ima "ueun consumidor est3 dispuesto a paarpor el primer al!n a esta cantidad lellamamos el precio de reserva por el
primer al!n.• r es el e"uivalente en pesos de la
utilidad marinal del primer al!n para
el consumidor.
*"uivalente en E de la utilidad
resultante del intercambio
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• A2ora "ue tiene un al!n de asolina,emplearemos la notaci!n rF para mostrar la
cantidad m3=ima "ue estamos dispuestos apaar por el seundo al!n es decir el preciode reserva del seundo al!n.
• rF es el e"uivalente en pesos de la utilidad
marinal del seundo al!n de asolina parael consumidor.
• Si ya tiene n- alones, entonces rn es la
cantidad m3=ima "ue est3 dispuesto a paar
por el n-7simo al!n de asolina.• rn es el e"uivalente en pesos de la utilidad
marinal del n-7simo al!n.
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• r G H G rn es, entonces, el e"uivalente en
d!lares del cambio total en la utilidadresultante de ad"uirir n alones de asolina alprecio de E.
• Así r G H G rn - p1n ser3 el e"uivalente en
d!lares del cambio total en la utilidadresultante de ad"uirir n allones de asolina alprecio Ep1 por cada al!n.
• *l r39co de r, rF, H , rn, H en t7rminos de
alones de asolina, se conoce como la curvade precios de reserva. *sta curva no es iual ala curva de demanda del consumidor.
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r
rF
r
rJ
rK
rL
1alones de 1asolina
Curva de $recios de 0eserva
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• BCu3l es el valor monetario de nuestraanancia por intercambio en el mercadode asolina al precio Ep1
• a utilidad neta e"uivalente en pesos porel intercambio del primer al!n es E(r - p1)
• M es E(rF - p1) por el seundo al!n,
• M así sucesivamente% E(r - p
1) G E(r
F - p
1)
G H2asta rn - p1 N .
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1alones de 1asolina
Curva de $recios de 0eservaReservation Price Curve for Gasoline
0
2
4
6
8
10
Gasoline (gallons)
($) Res.
Values
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Curva de $recios de 0eserva
1alones de 1asolina
Reservation Price Curve for Gasoline
0
2
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Gasoline (gallons)
($) Res.
Values
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p1
E valor de la utilidad neta por las anancias del intercambi
Curva de $recios de 0eserva
1alones de 1asolina
Reservation Price Curve for Gasoline
0
2
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10
Gasoline (gallons)
($) Res.
Values
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(E)
Curva de precios de reserva
A2ora suponamos "ue la
asolina se puede comprar enunidades de cual"uier manitud,entonces ...
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(E) Curva de precios de reserva
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(E)Curva precios de reserva
E valor de la utilidad neta por las anancias delintercambio
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• Desa#ortunadamente, la estimaci!nde la curva de precios de reserva delconsumidor es di#ícil.
• *n consecuencia, y como unaapro=imaci!n, la curva de precios dereserva es reempla+ada con la curva
de demanda ordinaria delconsumidor.
*=cedente del Consumidor
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• a curva de precios de reserva del consumidorno es la curva de demanda ordinaria. B$or "u7
• a curva de precios de reserva describesecuencialmente los valores de unidadesadicionales sucesivas de un bien.
• a curva de demanda ordinaria describe lo
m3=imo "ue estamos dispuestos a paar por "unidades de un bien compradossimult3neamente.
• *l 3rea bajo la curva de precios de reserva es,apro=imadamente, el 3rea bajo la curva dedemanda ordinaria y nos permite obtener ele=cedente del consumidor como la medida dela utilidad neta en d!lares resultante delintercambio.
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(E)
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Curva de precios de reserva
Curva de demanda ordinaria
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(E)
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Curva de precios de reserva
Curva de demanda ordinaria
E valor de la utilidad neta por lasanancias del intercambio
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*=cedente del Consumidor
(E)
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Curva de precios de reserva
Curva de demanda ordinaria
E valor de la utilidad neta por lasanancias del intercambio
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(E)
*=cedente del Consumidor
1asolina
Curva de precios de reserva
Curva de demanda ordinaria
E valor de la utilidad neta por lasanancias del intercambio
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• a di#erencia entre la curva deprecios de reserva del consumidory la curva de demanda ordinaria sedebe al e#ecto inreso.
• $ero si la #unci!n de utilidad delconsumidor es cuasilineal en elinreso entonces no 2ay e#ecto
inreso y el e=cedente delconsumidor es una medida e=actade las anancias del intercambio.
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a #unci!n de utilidad del
consumidores cuasilineal en =F.
Tomemos pF O . *ntonces elproblema de optimi+aci!n parael consumidor es ma=imi+ar
Sujeta a
2121 )(),( x xv x xU +=
2121 )(),( x xv x xU +=
.211 m x x p =+
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http://slidepdf.com/reader/full/teoria-de-la-demanda-568c3d94b0fe8 66/104
Sujeta a
2121 )(),( x xv x xU +=
.211 m x x p =+
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ntonces podemos despejar = para ma=imi+
a condici!n de pimer orden es
*s decir,
*sta es la ecuaci!n de demanda ordinariadel consumidor para el bien .
.)( 111 x pm xv −+
0)(' 11 =− p xv
).(' 11 xv p =
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• *l e=cedente del consumidor es lamedida e=acta de la utilidad obtenidapor el consumidor al consumir
unidades del bien cuando la #unci!nde utilidad es cuasilineal en el bien F.
• *l cambio en la utilidad total del
consumidor resultante de un cambioen p es, apro=imadamente, el cambioen el e=cedente del consumidor.
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p
p(=), es la curva inversa de
demanda del bien
x1*
x1'
1'
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p
*C antes
p(=)
x1*
x1'
1'
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p
*C despu7s
p(=)
x1*
x1'
1"
x1"
1'
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p
$erdida de *C
p(=), es la curva inversa de
demanda del bien
x1*
x1'
x1"
1"
1'
*
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p
$erdida*C
=P(p), es la curva de demanda
ordinaria del bien .
6ide la perdida dee=cedente del consumidor.
x1*
x1'
x1"
∫ =∆"1
'1
11
*
1 )( p
pdp p x EC
1"
1'
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• p se incrementa.
• $reunta% BCu3l es el menor inreso
adicional "ue, a los nuevos precios,restablece e=actamente los nivelesoriinales de utilidad al consumidor
• 0espuesta % a 5ariaci!nCompensada
5ariaci!n Compensada
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=F
=
u
p
Op
8 pF
es 9jo.
x1'
x2'
'
22
'
1
'
11 x p x pm +=
7/17/2019 Teoría de La Demanda
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-de-la-demanda-568c3d94b0fe8 76/104
=F
=
u
uF
p
Op
8
pOpQ
pF
es 9jo.
x1'
x2'
x1"
x2"
'
22
'
1
'
11 x p x pm +="22
"1
"1 x p x p +=
7/17/2019 Teoría de La Demanda
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-de-la-demanda-568c3d94b0fe8 77/104
=F
=
u
uF
p
Op
8
pOpQ
pF
es 9jo.
x1'
x1"
x2"
x2'
x2'"
x1'"
'
22
'
1
'
11 x p x pm +=
"
22
"
1
"
1 x p x p +='"
22
'"
1
"
12 x p x pm +=
7/17/2019 Teoría de La Demanda
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-de-la-demanda-568c3d94b0fe8 78/104
=F
=
u
uF
p
Op
8
pOpQ
pF
es 9jo.
x1'
x1"
x2"
x2'
x2'"
x1'"
'
22
'
1
'
11 x p x pm +=
"
22
"
1
"
1 x p x p +='"
22
'"
1
"
12 x p x pm +=
( )''2'''
22
''
1
'''
1
''
112 )( x x p x x pmmVC −+−=−=
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• p se incrementa.
• preunta% Bcu3l es el menor inresoadicional "ue, a los precios iniciales,restablece e=actamente el nivel deutilidad del consumidor
• 0espuesta% la 5ariaci!n *"uivalente.
5ariaci!n *"uivalente
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=F
=
u
p
Op
8 pF
es 9jo.
x1'
x2'
'
22
'
1
'
11 x p x pm +=
7/17/2019 Teoría de La Demanda
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=F
=
u
uF
pOp8
pOpQ
pF es 9jo.
x1'
x2'
x1"
x2"
'
22
'
1
'
11 x p x pm +=
"
22
"
1
"
1 x p x p +=
7/17/2019 Teoría de La Demanda
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=F
=
u
uF
pOp8
pOpQ
pF es 9jo.
x1'
x1"
x2"
x2'
x2'"
x1'"
'
22
'
1
'
11 x p x pm +="
22
"
1
"
1 x p x p +=
'"
22
'"
1
'
12 x p x pm +=
7/17/2019 Teoría de La Demanda
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-de-la-demanda-568c3d94b0fe8 83/104
=F
=
u
uF
pOp8
pOpQ
pF es 9jo
x1'
x1"
x2"
x2'
x2'"
x1'"
'
22
'
1
'
11 x p x pm +="
22
"
1
"
1 x p x p +=
'"
22
'"
1
'
12 x p x pm +=
( ) ( )''2'''
22
''
1
'''
1
'
121 x x p x x pmmVE −+−=−=
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. Cuando las pre#erencias del consumidorson cuasilineales las tres medidas son la
misma.F. Consideremos el cambio en el e=cedente
del consumidor en una demanda de otrotipo cuando p
se incrementa de p
8 a p
Q y
el bien es normal entonces 5* R ∆*C R 5C.
. Si a2ora baja p entonces 5CR∆*CR5*
*=cedente del Consumidor, 5ariaci!nCompensada y 5ariaci!n *"uivalente
T í d l D d
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Teoría de la Demanda
6a=imi+aci!n% *n#o"ues $rimal yDual
T í d l D d
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Teoría de la Demanda
$roblema $rimal e Identidad de0oy
P i l
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PrimalComo ya 2abíamos visto al ma=imi+ar la tilidad delconsumidor sujeto a la restricci!n presupuestaria
"ue tiene el consumidor se tiene "ue%
[ ]
y p x p I p
Umg
p
Umg
d
dL
dy
dL
dx
dL
y p x p I y xU L
y p x p I
a s
y xU Max
y x
y
y
x
x
y x
y x
+=∧==
===
−−++=
λ
λ
λ
0
),(:
..
),(.
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De () y (F) obtenemos las *cuaciones deDemanda 6ars2aliana.
Si lueo reempla+amos = e y en la#unci!n objetivo((=,y)) obtenemos la
#unci!n de utilidad indirecta%
),,(
),,(
),,(
I p p
I p p y y
I p p x x
y xmm
y xmm
y xmm
λ λ =
=
=
)),,(),,,((),,( I p p y I p p xU I p pV y xm y xm y x =
a Identidad de 0oy nos sirve para encontrar las ecuaciones de!
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Demanda 6ars2alliana, si conocemos la #unci!n de tilidad Indirecta
( ) ( )
( ) ( )
I V
pV
x Entonces
I
V
I y p x p I
I
y pUmg
I
x pUmg
I
V
Además
x p
V
x p
y p x p I p
y pUmg
p
x pUmg
p
V
y p x p I y xU I p pV
xm
m
mm
m ym xm
ym ym
xm x
mm x
mm
x
mm ym x
y
m ym y
x
m xm x
x
m ym xmmm y x
∂∂
∂∂
−=
=∂∂
+∂∂
−−+∂∂
−+∂∂
−=∂∂
−=∂
∂
−∂∂
−−+∂∂
−+∂∂
−=∂∂
−−+=
:
)(
)(
)(),(),,(
λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ
Teoría de la Demanda
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Teoría de la Demanda
$roblema Dual y ema de S2epard
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* DA del problema de ma=imi+aci!ndel bienestar del consumidor consiste en
alcan+ar un determinado nivel de utilidad(u) con el menor asto posible
a canasta Aconsi-ue el nivel deutilidad al menor
-asto, la 4 tambi7nconsi-ue ese nivel de utilidad pero con unnivel de -asto mayor.
a canasta C tiene un-asto menor pero noconsi-ue el nivel de utilidad deseado.
*l C id i i i t ( )
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*l Consumidor minimi+a asto s.a. (=,y)[ ]
y
x
y
x
y
y
x
x
y y
x x
y x
Umg
Umg
p
p
Umg
p
Umg
p
y xU U L
Umg p y
L
Umg p x
L
CPO
y xU U y p x p L
=⇒==
=−∂
∂
=−∂∂
=−∂∂
−++
λ
λ
λ
λ
λ
0),(:
0*:
0*:
:
),(:
0
0
Al reempla+ar en la restricci!n de utilidad se
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ueo e M se reempla+a en la #unci!n
objetivo%
LEMA E S!EPA"$ermite recuperar la demandacompensada a partir del astomínimo.
#unción de $asto % del consumidor muestra el astomínimos necesario para alcan+ar un determinadonivel de utilidad con un determinado conjunto deprecios
Al reempla+ar en la restricci!n de utilidad seobtienen las demandas 2ic<sianas de losbienes
h
i
i
x p
e=
∂
∂
( )
( )U p p y y
U p p x x
y xhh
y xhh
,,
,,
=
=
( ) ( )
( )U p pe E
U p p y pU p p x peGasto
y x
y xh y y xh x
,,
,,,,
=
+==
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%onclusiones
• a teoría de la dualidad en el consumoes clara al permitir obtener en #ormasimple la #unciones de demanda tanto
6ars2allianas como compensadas• Se demuestra la semejan+a entre el
planteamiento del problema de ma=.
y de min. 1, al permitir de #ormainmediata conocer el e#ecto sustituci!n.
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L. S!EPA"
$. $rimal% $. Dual%
I. "&'
E. SL(TS)'
I*+E"SA
%.P.&., P.".
#..(.
%.P.&., #..(.
".P.
. dedemandaordinaria
. dedemanda
compensada
. indirecta deutilidad . de asto
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e(p, v(p, m)) O I
*l asto mínimo necesario para alcan+ar lautilidad v( p, m) es I.
5(p, e(p, u))O
a utilidad m3=ima enerada por el inresoe(p, u) es
(p, m)O2(p, v(p, I))a demanda mars2alliana correspondiente alnivel de inreso m es id7ntica a la demanda2ic<isana correspondiente al nivel de
utilidad 5( p, I)
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2( p, u) O (p, e( p, u))
a demanda 2ic<sianacorrespondiente al nivel de utilidad es id7ntica a la demanda
mars2alliana correspondiente al nivelde inreso e( p, u)
*jemplo
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*jemplo
Con la siuiente #unci!n de utilidad%
;allar%a)unci!n demanda ordinaria, la #unci!n
de utilidad indirecta y la #unci!n de astomínimo
b);alle la #unci!n de Demandacompensada 1 ;. ..I
c);alle el valor de la tilidad directa eindirecta para un inreso de IO J yprecios% $=O U $yO K
d) 5eri9"ue la valide+ de la identidad de
0oy.
2
1
2
1
4 y xU =
$rimal% Consumidor ma=imi+autilidad sujeto a la recta de
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presupuesto.[ ]
[ ]
2
*2
224
:esindirectautilidaddefuncionLa
22/
0:
02:
02:
4:
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
y x
y x y x
y
m
x
m y x y x
y x
y
x
y
x
y x
p pV e
p p
I
p
I
p
I V
p
I Y
p
I X p x p p x p I
y p x p I L
p
p
x
y
p y x
y
L
p y x x
L
y p x p I y x L
=⇒=
=
=∧=⇒+=⇒
=−−∂∂
=
=−
∂
∂
=−∂∂
−−+
−
−
λ
λ
λ
λ
$roblema Dual
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$roblema Dual Tomando en cuenta la siuiente #unci!n deutilidad
amos a resolver el problema dual en la teoría del consumid
"eempla-ando /0 en 10tenemos2
21
21
4 y xU =
21
21
0 4. Y X U a sY P X P Min
Y X =+
−++= 21
21
4 Y X U Y P X P Z Y X λ
)2(04
02
02
21
21
21
21
21
21
=−=∂
∂
=−=∂
∂
=−=∂
∂
−
−
Y X U Z
Y X P Y
Z
Y X P X
Z
Y
X
λ
λ
λ
)1(Y
X
Y
X
P
X P Y
X
Y
P
P =→=
21
21
4
=
Y
X
P
X P X U
D j bt l # i! d D d
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Despejamos y obtenemos la #unci!n de DemandaCompensada para el bien %
manera an3loa la #unci!n de demanda compensadara el bien M es%
0eempla+ando las #unciones de demanda compensada
en la #unci!n objetivo obtenemos la unci!n de 1astomínimo%
#unción de $asto m3nimo
4
21
21 U P P y X Y h
−
=
42
12
1 U P P y Y X h
−
=
21
21
21
21
21
21
2
44
Y X
Y X Y X Y X
P P V
e
V U haciendo
U P P P
U P P P e
=
=
+
=
−−
Con la #unci!n inversa del asto mínimo y
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tomando en cuenta "ue eOI obtenemos launci!n de tilidad Indirecta
5eri9cando la valide+ del lema de S2epard
Teniendo en cuenta "ue%
Aplicando el lema de S2epard obtenemos%
2121
2
Y X P P
I
V =
X
P
e X
∂
∂=
21
21
2 Y X P P
V e =
21
21
4 Y X P P
V X
−=
c) O 5O
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c) O 5O
Si I4 5667 Px4 /67 Py4 8
28025
800
50
400*22
2801280040*20*4
4010
400
2
2020
400
2
0
0
0
====
===
===
===
y x
y
x
p p
I V
U
p
I
y
p
I x
01.4005102
14.113 21
21
==e
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d) Identidad de 0oy
2
204
14.113
105 2
12
1
==
−
h x
40
4
14.113510 2
12
1
== −
h y
x
y x
yx
y x x
p
I p p
p p
I p p
I
IV
pV
22*
2
21
21
21
23
21
2
3
===∂
∂∂∂