Transcript of Teoría electromagnetica hayt 7ed
- 1. preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page ii
- 2. Si usted desea ver cmo cobra vida del contenido de
electromagntica, como se muestra en estas ilustraciones, asegrese
de colocar el CD que acompaa a su libro (o visite el sitio web del
mismo en http://www.mhhe.com/haytbuck). Encontrar ilustraciones,
animaciones, ejemplos interactivos y cuestiona- rios, todos en
ingls, que han sido diseados para proporcionarle una expe- riencia
interactiva con los conceptos fundamentales de la electromagntica.
Los conos del CD-ROM se han colocado a lo largo del libro para
indicar cundo es que estos recursos estn disponibles en Media Suite
CD-ROM. Esperamos que utilice Media Suite y que esto fomente su
aprendizaje de la electromagntica! La onda del campo elctrico junto
con la gua de onda metlica: el modo ET10 dominante. preliminares ok
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- 3. preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page ii
- 4. Teora electromagntica preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page
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- 6. Teora electromagntica Sptima edicin William H. Hayt, Jr.
Purdue University John A. Buck Georgia Institute of Technology
Traduccin Carlos Roberto Cordero Pedraza Catedrtico de Ingeniera
electrnica y comunicaciones Secretara de Marina Armada de Mxico,
CESNAV Revisin tcnica Gustavo Prez L. Profesor de Ingeniera
elctrica y electrnica Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores
de Monterrey, CEM MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA
MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL
NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO
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- 7. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos
Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayn Editor sponsor:
Pablo Eduardo Roig Vzquez Editora de desarrollo: Paula Montao
Gonzlez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Teora
electromagntica Sptima edicin Prohibida la reproduccin total o
parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorizacin escrita
del editor. DERECHOS RESERVADOS 2006 respecto a la sptima edicin en
espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A
Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa
Fe Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia
Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D.F.
Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana,
Reg. Nm. 736 ISBN 970-10-5620-5 Traducido de la sptima edicin de:
ENGINEERING ELECTROMAGNETICS Copyright MMVI by The McGraw-Hill
Companies, Inc. All rights reserved. Previous editions 1958, 1967,
1974, 1981, 1989 y 2001. ISBN 0-07-252495-2 1234567890 09875432106
Impreso en Mxico Printed in Mexico preliminares ok 12/28/05 2:43 PM
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- 8. Para Amanda y Olivia preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page
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- 9. A C E R C A D E L O S A U T O R E S viii William H. Hayt Jr.
(R.I.P.) obtuvo los grados de licenciatura y maestra en la Univer-
sidad de Purdue y de doctorado en la Universidad de Illinois.
Despus de trabajar durante cuatro aos en la industria, el profesor
Hayt ingres a la Universidad de Purdue, donde tra- baj como
profesor y director de la Escuela de Ingeniera Elctrica y como
profesor emrito despus de retirarse en 1986. El profesor Hayt fue
miembro de las sociedades profesionales Eta Kappa Nu, Tau Beta Pi,
Sigma Xi, Sigma Delta Chi, y becario del IEEE, ASEE y NAEB. Durante
su estancia en Purdue recibi muchos premios a la enseanza,
incluyendo el premio al mejor profesor universitario. Su nombre
aparece en el Libro de los Mejores Profesores de la Universidad de
Purdue, una pared permanente que se localiza en el Purdue Memorial
Union, a partir del 23 de abril de 1999. En este libro estn
escritos los nombres del grupo inaugural que consta de 225 miembros
del profesorado de todos los tiempos que han dedicado sus vidas a
la excelencia en la enseanza. Estos profesores fueron selecciona-
dos por sus colegas y alumnos como los mejores educadores de la
Universidad de Purdue. John A. Buck naci en Los ngeles, California,
y obtuvo los grados de maestra y doc- torado en ingeniera elctrica
en la Universidad de California en Berkeley en 1977 y 1982,
respectivamente, y la licenciatura en ingeniera en UCLA en 1975. En
1982 ingres a la Escuela de Ingeniera Elctrica y Computacin del
Tecnolgico de Georgia, donde ha tra- bajado por 22 aos. Sus
publicaciones y reas de investigacin se han enfocado en las reas de
conmutacin ultrarrpida, ptica no lineal y comunicaciones va fibras
pticas. El doc- tor Buck es autor del libro Fundamentos de las
fibras pticas (Wiley Interscience), actual- mente en su segunda
edicin. Cuando no est trabajando con su computadora o confinado en
su laboratorio, el doctor Buck pasa su tiempo libre escuchando
msica, caminando por el campo y practicando la fotografa.
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- 10. C O N T E N I D O B R E V E ix Prefacio xiv Visita guiada
xviii 1 Anlisis vectorial 1 2 Ley de Coulomb e intensidad de campo
elctrico 26 3 Densidad de flujo elctrico, ley de Gauss y
divergencia 51 4 Energa y potencial 80 5 Corriente y conductores
114 6 Dielctricos y capacitancia 136 7 Ecuaciones de Poisson y de
Laplace 172 8 El campo magntico estable 210 9 Fuerzas magnticas,
materiales e inductancia 259 10 Campos variantes con el tiempo y
ecuaciones de Maxwell 306 11 Lneas de transmisin 331 12 La onda
plana uniforme 396 13 Reflexin de ondas planas y dispersin 434 14
Ondas guiadas y radiacin 480 Apndice A Anlisis vectorial 542
Apndice B Unidades 546 Apndice C Constantes de materiales 551
Apndice D Orgenes de la permitividad compleja 554 Apndice E
Respuestas a los problemas impares 561 ndice analtico 567
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- 11. C O N T E N I D O x Prefacio xiv Visita guiada xviii
Captulo 1 Anlisis vectorial 1 1.1 Escalares y vectores 1 1.2 lgebra
vectorial 2 1.3 El sistema de coordenadas rectangular 4 1.4
Componentes vectoriales y vectores unitarios 5 1.5 El campo
vectorial 8 1.6 El producto punto 9 1.7 El producto cruz 12 1.8
Otros sistemas de coordenadas: coordenadas cilndricas circulares 14
1.9 El sistema de coordenadas esfricas 19 Lecturas complementarias
22 Problemas 23 Captulo 2 Ley de Coulomb e intensidad de campo
elctrico 26 2.1 La ley experimental de Coulomb 27 2.2 Intensidad de
campo elctrico 30 2.3 Campo debido a una distribucin continua de
carga volumtrica 34 2.4 Campo de una lnea de carga 37 2.5 Campo de
una lmina de carga 43 2.6 Lneas de flujo y esquemas de campos 45
Lecturas complementarias 48 Problemas 48 Captulo 3 Densidad de
flujo elctrico, ley de Gauss y divergencia 51 3.1 Densidad de flujo
elctrico 51 3.2 Ley de Gauss 55 3.3 Aplicacin de la ley de Gauss:
algunas distribuciones de carga simtricas 59 3.4 Aplicaciones de la
ley de Gauss: elemento diferencial de volumen 64 3.5 Divergencia 67
3.6 Primera ecuacin de Maxwell (electrosttica) 70 3.7 El operador
vectorial y el teorema de la divergencia 72 Lecturas
complementarias 75 Problemas 76 Captulo 4 Energa y potencial 80 4.1
Energa para mover una carga puntual en un campo elctrico 81 4.2 La
integral de lnea 82 4.3 Definicin de diferencia de potencial y
potencial 87 4.4 El campo de potencial de una carga puntual 89 4.5
El campo de potencial de un sistema de cargas: propiedad
conservativa 91 4.6 Gradiente de potencial 95 4.7 El dipolo 101 4.8
Densidad de energa en el campo electrosttico 106 Lecturas
complementarias 110 Problemas 110 preliminares ok 12/28/05 2:43 PM
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- 12. Contenido xi Captulo 5 Corriente y conductores 114 5.1
Corriente y densidad de corriente 114 5.2 Continuidad de la
corriente 116 5.3 Conductores metlicos 118 5.4 Propiedades de los
conductores y condiciones de frontera 123 5.5 El mtodo de las
imgenes 128 5.6 Semiconductores 130 Lecturas complementarias 132
Problemas 132 Captulo 6 Dielctricos y capacitancia 136 6.1
Naturaleza de los materiales dielctricos 137 6.2 Condiciones de
frontera para materiales dielctricos perfectos 143 6.3 Capacitancia
149 6.4 Varios ejemplos de capacitancia 152 6.5 Capacitancia de una
lnea de dos hilos 155 6.6 Utilizacin de mapas de campo para la
estimacin de la capacitancia en problemas bidimensionales 160 6.7
Analoga con corrientes 165 Lecturas complementarias 167 Problemas
167 Captulo 7 Ecuaciones de Poisson y de Laplace 172 7.1 Deduccin
de las ecuaciones de Poisson y Laplace 173 7.2 Teorema de unicidad
175 7.3 Ejemplos de la solucin de la ecuacin de Laplace 177 7.4
Ejemplos de la solucin de la ecuacin de Poisson 184 7.5 Solucin
producto de la ecuacin de Laplace 188 7.6 Resolucin de la ecuacin
de Laplace por medio de la iteracin numrica 196 Lecturas
complementarias 202 Problemas 203 Captulo 8 El campo magntico
estable 210 8.1 Ley de Biot-Savart 210 8.2 Ley circuital de Ampre
218 8.3 El rotacional 225 8.4 Teorema de Stokes 232 8.5 Flujo
magntico y densidad de flujo magntico 237 8.6 Potenciales magnticos
escalares y vectoriales 240 8.7 Derivacin de las leyes de campos
magnticos estables 247 Lecturas complementarias 253 Problemas 253
Captulo 9 Fuerzas magnticas, materiales e inductancia 259 9.1
Fuerza sobre una carga en movimiento 260 9.2 Fuerza sobre un
elemento diferencial de corriente 261 9.3 Fuerza entre elementos
diferenciales de corriente 265 9.4 Fuerza y torca sobre un circuito
cerrado 267 9.5 La naturaleza de los materiales magnticos 273 9.6
Magnetizacin y permeabilidad 276 9.7 Condiciones de frontera
magnticas 281 9.8 El circuito magntico 284 9.9 Energa potencial y
fuerzas en materiales magnticos 290 9.10 Inductancia e inductancia
mutua 292 Lecturas complementarias 299 Problemas 299 preliminares
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- 13. xii Contenido Captulo 10 Campos variantes con el tiempo y
ecuaciones de Maxwell 306 10.1 Ley de Faraday 306 10.2 Corriente de
desplazamiento 313 10.3 Ecuaciones de Maxwell en forma puntual 317
10.4 Ecuaciones de Maxwell en forma integral 319 10.5 Los
potenciales retardados 321 Lecturas complementarias 325 Problemas
325 Captulo 11 Lneas de transmisin 331 11.1 Descripcin fsica de la
propagacin en las lneas de transmisin 332 11.2 Ecuaciones de la
lnea de transmisin 334 11.3 Propagacin sin prdidas 336 11.4
Propagacin sin prdidas de voltajes sinusoidales 339 11.5 Anlisis
complejo de seales sinusoidales 341 11.6 Ecuaciones de las lneas de
transmisin y sus soluciones en forma fasorial 343 11.7 Propagacin
sin prdidas y con bajas prdidas 345 11.8 Caracterizacin de la
transmisin de potencia y prdidas 347 11.9 Reflexin de la onda en
las discontinuidades 350 11.10 Relacin de onda estacionaria de
voltaje 353 11.11 Lneas de transmisin de longitud finita 357 11.12
Algunos ejemplos de la lnea de transmisin 360 11.13 Mtodos grficos
364 11.14 Anlisis de transitorios 375 Lecturas complementarias 388
Problemas 388 Captulo 12 La onda plana uniforme 396 12.1 La
propagacin de la onda en el espacio libre 396 12.2 Propagacin de
ondas en dielctricos 404 12.3 El teorema de Poynting y la potencia
de las ondas 413 12.4 Propagacin en buenos conductores: el efecto
piel 416 12.5 Polarizacin de onda 423 Lecturas complementarias 430
Problemas 430 Captulo 13 Reflexin de ondas planas y dispersin 434
13.1 Reflexin de ondas planas uniformes que inciden
perpendicularmente 434 13.2 Razn de onda estacionaria 441 13.3
Reflexin de ondas sobre mltiples interfases 445 13.4 Propagacin de
ondas planas en direcciones generales 453 13.5 Reflexin de ondas
planas que inciden en ngulos oblicuos 456 13.6 Reflexin total y
transmisin total de ondas incidentes oblicuas 462 13.7 Propagacin
de ondas en medios dispersivos 465 13.8 Ensanchamiento de pulsos en
medios dispersivos 471 Lecturas complementarias 475 Problemas 476
Captulo 14 Ondas guiadas y radiacin 480 14.1 Campos en las lneas de
transmisin y constantes fundamentales 481 14.2 Operacin de la gua
de onda bsica 490 14.3 Anlisis de las ondas planas en las guas de
ondas de placas paralelas 494 14.4 Anlisis de guas de placas
paralelas utilizando la ecuacin de onda 503 14.5 Guas de onda
rectangulares 506 14.6 Guas de onda dielctricas planas 511 14.7
Fibra ptica 517 14.8 Principios bsicos de las antenas 527 Lecturas
complementarias 537 Problemas 537 preliminares ok 12/28/05 2:43 PM
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- 14. Contenido xiii Apndice A Anlisis vectorial 542 A.1
Coordenadas curvilneas generales 542 A.2 Divergencia, gradiente y
rotacional en coordenadas generales curvilneas 543 A.3 Identidades
vectoriales 545 Apndice B Unidades 546 Apndice C Constantes de
materiales 551 Apndice D Orgenes de la permitividad compleja 554
Apndice E Respuestas a los problemas impares 561 ndice analtico 567
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- 15. xiv P R E F A C I O El proceso de preparacin de la nueva
edicin de un libro es una mezcla muy particular de esfuerzo y
satisfaccin. A lo largo de un gran nmero de horas y pequeos
detalles, las ta- reas de incorporar nuevas ideas que expandan las
ya existentes y quitar las que se han vuel- to tediosas proporciona
momentos muy gratificantes. Durante este proceso se experimenta la
sensacin de que este nuevo libro ser mejor y ms til. En el caso de
la materia de teora electromagntica la parte fundamental nunca
cambia, por lo que se puede pensar que la manera de abordar estos
temas en ediciones anteriores se ha dejado intacta. ste fue mi
enfoque al preparar la sexta edicin de este libro. Sin embar- go,
en la preparacin de esta sptima edicin me he tomado algunas
libertades. Los temas que han estado presentes desde la primera
edicin se volvieron a analizar y algunos se eli- minaron por
completo y otros se reubicaron en otras partes del libro. Estas
modificaciones las llev a cabo muy rara vez, ya que mi objetivo
siempre fue mejorar la continuidad del ma- terial tratando a la vez
de evitar cualquier elemento que pudiera quitarle el atractivo y el
xi- to que ha tenido por casi cincuenta aos la obra original del
doctor Hayt. En aos ms recientes, muchos cursos sobre la materia de
teora electromagntica han resaltado en particular la teora de las
lneas de transmisin de una manera consistente con la popularidad de
la ingeniera en computacin como una materia de primordial importan-
cia dentro del plan de estudios de la carrera de ingeniera
elctrica. Esto ha tenido como con- secuencia el cambio ms
importante en esta nueva edicin: la reescritura de un captulo (e
independiente en esta nueva edicin) sobre lneas de transmisin. Este
nuevo captulo es el nmero 11 (antes captulo 13) y est ubicado antes
de los captulos que tratan el tema de on- das electromagnticas. En
el captulo 11, el tratamiento de las lneas de transmisin se lle- va
a cabo por completo en el contexto de la teora de circuitos; se
presenta el tema del fenmeno ondulatorio y se utiliza
exclusivamente en forma de voltajes y corrientes. Asimis- mo, se
aborda el tema de prdidas en lneas de transmisin junto con un
minucioso trata- miento de la ecuacin de onda. Los conceptos de
inductancia y capacitancia se consideran parmetros conocidos y por
tanto no dependen de otros captulos. Esto permite que, si as se
desea, las lneas de transmisin sea el tema inicial del curso. Los
temas de concepto de campo y clculo paramtrico en lneas se han
conservado; sin embargo, aparecen al comienzo del captulo 14 donde
juegan un papel muy importante pues ayudan a presentar los concep-
tos de gua de ondas a la vez que proporcionan una mejor perspectiva
respecto al problema del guiado de ondas. El tratamiento que se le
administra a las lneas de dos hilos, coaxiales y planas con
diferentes regmenes de frecuencias ha sido el mismo que en
ediciones ante- riores; sin embargo, se ha adicionado una nueva
seccin acerca de lneas de microcinta. Es- te material puede
estudiarse despus del captulo 12 y no requiere del captulo 13. Los
captulos sobre ondas electromagnticas, el 12 y el 13 (antes el 11 y
el 12), conti- nan siendo independientes del tema teora de las
lneas de transmisin en el sentido de que preliminares ok 12/28/05
2:43 PM Page xiv
- 16. Prefacio xv el estudiante puede abordar el captulo 12
inmediatamente despus del captulo 10. De esta forma, el tema del
fenmeno ondulatorio se presenta desde sus principios fundamentales
pe- ro dentro del contexto de las ondas planas uniformes. El
captulo 12 alude al captulo 11 en puntos donde ste pueda
proporcionar una mejor perspectiva y mayores detalles. Sin embar-
go, si el profesor o el estudiante desean proceder en ese orden, en
el captulo 12 se presen- ta todo el material necesario para
aprender el tema de ondas planas sin tener que estudiar el tema de
lneas de transmisin primero. El estudio de los temas de reflexin de
ondas planas y dispersin en el captulo 13 conti- na en el captulo
14; en ste se analizan los fundamentos del guiado de ondas con la
ayuda de los modelos de reflexin de ondas planas, as como mediante
la solucin directa de la ecua- cin de onda. Este captulo conserva
el contenido original de la sexta edicin; sin embargo, ahora
incluye una seccin adicional sobre fibras pticas, adems del tema de
estructura de lneas de transmisin mencionado antes. La ltima parte
del captulo 14 trata sobre los con- ceptos bsicos de radiacin, el
cual es un tema estudiado en las ediciones precedentes. En la
reestructuracin de los captulos anteriores se encuentra la divisin
del captulo 5 (conductores, dielctricos y capacitancia) en dos
captulos (5 y 6) que tratan sobre conduc- tores y capacitores de
forma independiente. El captulo 6 (el cual trataba los temas de
mapeo de campo y tcnicas numricas) se ha suprimido, pero se ha
conservado parte de es- te material en otros captulos. El tema de
mapeo cuadrtico curvilneo y el estudio y el an- lisis de analogas
de corriente son parte del captulo sobre capacitancia (6), y la
seccin sobre la solucin iterativa es ahora parte del desarrollo de
las ecuaciones de Laplace y Pois- son en el captulo 7. Un
suplemento importante en esta edicin es un CD con demostraciones
por computa- dora y programas interactivos desarrollados por
Natalia Nikolova de la Universidad de Mc- Master, y Vikram
Jandhyala e Indranil Chowdhury de la Universidad de Washington. Sus
excelentes contribuciones son muy apropiadas para este texto.
Cuando se presenta un ejer- cicio relacionado con el texto,
aparecen conos de CD en el margen izquierdo. Asimismo, con la
finalidad de servir como ayuda al estudio, el CD contiene pequeos
exmenes. Se presenta tambin un gran nmero de animaciones
(incluyendo algunas creadas por m) que ayudan a visualizar la mayor
parte de los fenmenos que se describen en el texto. Se ha
reemplazado aproximadamente un cuarenta por ciento de los problemas
de la sex- ta edicin. Adems de la gran cantidad de problemas
nuevos, he incluido algunos proble- mas clsicos de Bill Hayt que
aparecen en ediciones anteriores de este libro. He tomado la
decisin de revivir los que, desde mi particular punto de vista,
fueron los mejores y ms relevantes. Los problemas de repaso se han
reconstruido por completo y se les han corregi- do errores.
Adicionalmente a estas modificaciones, el tema medular del texto se
ha conservado desde su primera edicin en 1958. Se ha utilizado un
mtodo inductivo que sea consistente con el desarrollo histrico. En
dicho mtodo se presentan las leyes experimentales como conceptos
independientes que, posteriormente, se unifican en las ecuaciones
de Maxwell. Despus del primer captulo que trata el anlisis
vectorial se presentan herramientas mate- mticas adicionales a
medida que stas se van necesitando. A lo largo de todas las
ediciones anteriores, as como en sta, el objetivo fundamental ha
sido que los estudiantes aprendan de manera independiente. Con la
finalidad de facilitar este proceso se proporciona un gran nmero de
ejemplos, problemas de repaso (que por lo general contienen
mltiples partes), problemas al final de cada captulo y en CD. Se
proporcionan las respuestas a los proble- mas de repaso debajo de
cada uno de ellos. En el apndice E se encuentran las respuestas a
preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xv
- 17. xvi Prefacio los problemas del final del captulo que tienen
nmero impar. En un futuro estar dispo- nible el manual de
respuestas para el profesor, que junto con el contenido del CD y
otros recursos de aprendizaje se encuentran disponibles en la pgina
web de este texto, http://www.mhhe.com/haytbuck. La herramienta
COSMOS (Complete Online Solutions Manual Operating System),
disponible para los instructores en CD-ROM, contiene todos los
problemas del libro, incluyendo el texto y las imgenes a los que se
refieren, as como la so- lucin a todos los problemas del libro.
Este material ayudar al profesor a organizar, distri- buir y
rastrear problemas a medida que los asigne a los estudiantes.
Asimismo, se agradece el apoyo de las compaas ANSOFT y Faustus
Scientific Corp. Este libro contiene material ms que suficiente
para un curso de un semestre. Como es lgico, se destacan los
conceptos sobre esttica y stos se presentan en la primera parte del
texto. En un curso que resalte los conceptos sobre dinmica se puede
estudiar el tema sobre lneas de transmisin primero o en cualquier
otro punto del curso. El material que versa so- bre esttica puede
cubrirse de una forma ms rpida omitiendo el captulo 1 (diseado para
leerse como repaso) y saltndose las secciones 2.6, 5.5, 5.6, 6.5,
6.6, 7.4 hasta la 7.6, 8.6, 8.7 y 9.3 hasta la 9.6, 9.8 y 10.5. Se
puede lograr una presentacin ms directa del tema de ondas planas
omitiendo las secciones 12.5, 13.5 y 13.6. El objetivo del captulo
14 es el es- tudio de temas avanzados en los que el desarrollo de
los conceptos de guas de ondas y an- tenas se presenta por medio de
la aplicacin de los mtodos aprendidos en captulos anteriores, lo
que ayuda al estudiante a afirmar sus conocimientos. Asimismo,
puede servir como un puente entre el curso bsico y cursos ms
avanzados que le precedan. AGRADECIMIENTOS Estoy profundamente
agradecido con un gran nmero de estudiantes y colegas, quienes me
han dado su apoyo y aliento antes y durante la preparacin de esta
nueva edicin. En la re- visin de este texto, un gran nmero de
opiniones y juicios basados en un conocimiento pro- fundo del tema
los proporcionaron Raviraj Sadanand Adve, University of Toronto
Jonathan S. Babgy, Florida Atlantic University Arun V. Bakshi,
College of Engineering, Pimpri, India Shanker Balasubramaniam,
Michigan State University N. Scott Barker, University of Virginia
Vikram Jandhyala, University of Washington Brian A. Lail,
University of Central Florida Sharad R. Laxpati, University of
Illinois-Chicago Reinhold Ludwig, Worcester Polytechnic Institute
Masoud Mostafavi, San Jose State University Natalia K. Nikolova,
McMaster University J. Scott Tyo, University of New Mexico Kathleen
L. Virga, University of Arizona Clive Woods, Iowa State University
Sus invaluables comentarios y sugerencias modificaron muchos
aspectos del producto final. Varios errores e inconsistencias en el
texto y en algunos problemas se identificaron gracias a la ayuda de
William Thompson, Jr. de la Universidad Estatal de Pennsylvania.
Shannon preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xvi
- 18. Prefacio xvii Madison del Tecnolgico de Georgia, colabor
ampliamente en la revisin de los problemas de repaso, mientras que
Diana Fouts fue responsable del diseo y figuras de la cubierta.
Durante los cuatro aos desde que se imprimi la ltima edicin de este
libro recib una gran cantidad de correos electrnicos con preguntas
y sugerencias acerca de partes del texto que, despus de una
reflexin detallada, pudieron haber sido escritos de una manera ms
cla- ra. Quizs hayan sido estas llamadas de atencin sobre los
detalles las ms valiosas en el me- joramiento del producto final.
Lamento no haber podido responder todos los mensajes que recib, sin
embargo, todos se tomaron en cuenta. Como entonces, estoy abierto a
recibir co- rrespondencia de los lectores. Estoy en el correo
electrnico john.buck@ece.gatech.edu. Por ltimo, agradezco al grupo
de McGraw-Hill que trabaj en este proyecto, cuyo en- tusiasmo,
aliento y ayuda fueron de gran valor. En especial, a Michelle
Flomenhoft y a Car- lise Stembridge, quienes conformaron todo el
material e hicieron posible este libro. Aprecio haber trabajado con
ellas. Como en revisiones anteriores, el tiempo fue muy corto para
ter- minar todo lo que hubiera querido. Estoy seguro de que mi
entusiasmo ser enorme para tra- bajar en una octava edicin, una vez
que haya descansado y que mi esposa y mis hijas se hayan armado de
paciencia. Espero que mis hijas, quienes son an muy jvenes para
com- prender por qu pap se la pasa todo el fin de semana trabajando
en la computadora, hayan madurado lo suficiente para soportar esto.
Les dedico a ellas este libro. John A. Buck Marietta,GA Septiembre
de 2004 preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xvii
- 19. xviii V I S I T A G U I A D A El objetivo principal de este
libro es presentar la teora electromagntica de una forma clara, in-
teresante y fcil de aprender. A continuacin se le presentan al
estudiante algunos consejos ti- les para que le ayuden a estudiar y
tener xito durante el curso. Ejemplos: En cada captulo se presenta
un gran nmero de ejemplos de fcil acceso para que el alumno
refuerce los conceptos estudiados. Problemas de repaso: Cada
captulo contiene un nmero considerable de problemas de re- paso.
Estos problemas, que incluyen su respuesta, sirven para que el
estudiante verifique, de una manera rpida, su comprensin del
material presentado. (69) donde |V0 (z)| = |V0 (0)|ez. En una lnea
de transmisin de 20 m de longitud se presenta una cada de potencia
de 2.0 db de extremo a extremo. a) Qu fraccin de la potencia de
entrada llega a la salida? b) Qu fraccin de la potencia de entrada
llega a la mitad de la lnea? c) Qu coeficiente de ate- nuacin
exponencial, , representa esto? Solucin. a) La fraccin de potencia
ser b) 2 dB en 20 m equivale a una prdida de 0.2 dB/m. As que, en
un tramo de 10 me- tros, la prdida ser de 1.0 dB. Esto representa
una fraccin de potencia de 100.1 = 0.79. c) El coeficiente de
atenuacin exponencial se encuentra a travs de Como punto final se
plantea la pregunta: Por qu utilizar decibeles? La respuesta ine-
ludible es que cuando se evala la potencia acumulada de varias
lneas y dispositivos conec- EJEMPLO 11.4 (dB) = 10 log10 ( ) P(z) =
20 log10 | 0( )| |V0(z)| P(20) P(0) = 100.2 = 0.63 = 2.0 dB (8.69
dB/Np)(20 m) = 0.012 [Np/m] Prdida de potencia D14.3 Los
conductores de una lnea de transmisin bifilar tienen un radio de
0.8 mm cada uno y una conductividad de 3 107 S/m. Se encuentran
separados por una dis- tancia de 0.8 cm entre centros en un medio
para el cual r = 2.5, r = 1 y = 4 109 S/m. Si la lnea opera a 60
Hz, encuntrese: a) ; b) C; c) G; d) L; e) R. Respuesta: 1.2 cm; 30
pF/m; 5.5 nS/m; 1.02 H/m; 0.033 /m preliminares ok 12/28/05 2:43 PM
Page xviii
- 20. Visita guiada xix Problemas al final del captulo: Cada
captulo contiene un gran nmero de problemas, in- cluyendo
respuestas a los problemas seleccionados en el apndice E con el fin
de ofrecer al estudiante la oportunidad de practicar lo aprendido.
CD-ROM del estudiante: Este libro contiene un CD-ROM para mejorar
an ms la com- prensin del estudiante de la teora electromagntica.
(Los detalles sobre el contenido del CD-ROM se presentan en las dos
pginas siguientes.) A lo largo del libro se indica con el cono de
un CD, en el margen izquierdo del texto, cundo se debe utilizar ste
para obtener ayuda adicional con respecto a un determinado tema. g
14.17 Una gua de ondas rectangular tiene como dimensiones, a = 6 cm
y b = 4 cm. a) En qu rango de frecuencias operar la gua en un solo
modo? b) En qu rango de fre- cuencias la gua slo soportar ambos
modos, TE10 y TM01? 14.18 Dos guas de onda rectangulares estn
unidas de extremo a extremo. Las guas tienen dimensiones idnticas,
donde a = 2b. Una gua est llena con aire; la otra est llena con un
dielctrico sin prdidas caracterizado por r. a) Determine el valor
mximo permisible de tal manera que pueda asegurarse una operacin en
un solo modo, si- multneamente, de ambas guas a una frecuencia. b)
Escriba una expresin para el rango de frecuencias en el que ocurrir
la operacin en un solo modo en ambas guas; su respuesta deber estar
escrita en trminos de r, dimensiones de las guas y otras constantes
conocidas. Respuesta: 0; 1.018 mC; 6.28 C 2.4 Campo de una lnea de
carga Hasta el momento se han considerado dos tipos de
distribuciones de carga: la carga puntual y la carga distribuida a
travs de un volumen con densidad C/m3. Si ahora se considera una
distribucin de densidad de carga volumtrica en forma de filamento,
por ejemplo, la de un fino haz de electrones en un tubo de rayos
catdicos o la de un conductor cargado y de radio muy pequeo, es
conveniente tratar la carga como una lnea con densidad de carga L
C/m. En el caso del haz de electrones, las cargas estn en
movimiento y es cierto que no se trata de un problema
electrosttico. Sin embargo, si el movimiento de los electrones se
man- Interactivos preliminares ok 12/29/05 7:08 AM Page xix
- 21. xx Visita guiada El CD-ROM se cre para proporcionarle al
estudiante recursos de aprendizaje adicionales y as pueda
comprender los conceptos complejos de la teora electromagntica.
Esta herra- mienta de autoestudio posee una interfaz en la que es
fcil navegar, lo que permite que el estudiante encuentre el
material de cada captulo. Recurso de aprendizaje # 1:
Ilustraciones: Con la finalidad de ayudar al estudiante a visua-
lizar los conceptos estudiados se incluyen ilus- traciones en
cuatro colores. Recurso de aprendizaje # 2: Animaciones: Un gran
nmero de animaciones va incluso un paso ms all presentando al
estudiante una demostracin de los fen- menos electromagnticos por
medio de animacin Flash. Student Media Suite preliminares ok
12/28/05 2:43 PM Page xx
- 22. Visita guiada xxi Recurso de aprendizaje # 3: Figuras
interactivas: Las figuras interactivas no solamente permiten al
estudiante ver los conceptos, sino tambin ajustar las variables
fsicamente e in- cluso la misma figura para ver los conceptos en
accin. Recurso de aprendizaje # 4: Exmenes rpidos: Para evaluar la
comprensin del estu- diante se incluye una prueba rpida de cada
captulo. El sistema ofrece realimentacin in- mediata para que el
estudiante sepa que ha contestado correctamente las preguntas.
preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xxi
- 23. preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xxii
- 24. C A P T U L O 1 1 Anlisis vectorial E l anlisis vectorial
es un campo de las matemticas que imparten mucho mejor los
matemticos que los ingenieros. Sin embargo, muchos estudiantes de
ingeniera del penltimo y ltimo aos no han tenido el tiempo (o quizs
la inclinacin) de tomar un curso de anlisis vectorial, aunque es
probable que varios de los conceptos elementales de vectores y sus
operaciones les hayan sido presentados en los cursos de clculo.
Estos conceptos fundamentales y sus operaciones se explican en este
captulo, y el tiempo que se les dedique depender de las bases
precedentes. El enfoque de este texto es el de un ingeniero o un
fsico y no el de un matemtico, ya que las demostraciones se
bosquejan en vez de exponerse rigurosamente y se destaca la
interpretacin fsica. Es ms fcil para los ingenieros tomar cursos ms
rigurosos y comple- tos en el departamento de matemticas despus de
haber estudiado algunos esquemas fsi- cos y sus aplicaciones. El
anlisis vectorial es una taquigrafa matemtica. Contiene algunos
smbolos nuevos, algunas reglas nuevas, una que otra trampa y, como
la mayor parte de los nuevos campos de es- tudio, demanda
concentracin, atencin y prctica. Los problemas de repaso, que se
presentan por primera vez al final de la seccin 1.4, deben
considerarse como parte integral del texto. Todos debern
resolverse. No deben presentar dificultad si el material que
acompaa esta sec- cin del texto ha sido comprendido por completo.
Se requiere un poco ms de tiempo para leer de esta manera el
captulo, pero la inversin en tiempo producir buenos dividendos. 1.1
Escalares y vectores El trmino escalar se refiere a una cantidad
cuyo valor puede representarse con un simple nmero real (positivo o
negativo). Las x, y y z usadas en lgebra bsica son escalares, y las
cantidades que representan tambin lo son. Si hablamos de un cuerpo
que cae a una distancia L en un tiempo t, o de la temperatura T en
cualquier punto en un tazn de sopa cuyas coorde- nadas son x, y y
z, entonces L, t, T, x, y y z son escalares. Otras cantidades
escalares son la masa, la densidad, la presin (pero no la fuerza),
el volumen y la resistividad volumtrica. El voltaje tambin es una
cantidad escalar, aunque la representacin compleja en nmeros
complejos de un voltaje sinusoidal (un procedimiento artificial)
produce un escalar comple- jo o fasor, cuya representacin necesita
dos nmeros reales, como la amplitud y el ngulo de fase, o parte
real y parte imaginaria. cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 1
- 25. 2 CAPTULO 1 Anlisis vectorial Una cantidad vectorial tiene
tanto magnitud1 como direccin en el espacio. Slo se- rn de inters
los espacios de dos y tres dimensiones, aunque en aplicaciones ms
avan- zadas los vectores pueden definirse en espacios de n
dimensiones. La fuerza, la velocidad, la aceleracin y una lnea
recta que van de la terminal positiva a la negativa de un acumula-
dor son ejemplos de vectores. A cada cantidad la caracterizan tanto
una magnitud como una direccin. Los campos escalares y vectoriales
sern de mayor importancia. Un campo (escalar o vectorial) puede
definirse matemticamente como la funcin del vector que conecta un
ori- gen arbitrario con un punto cualquiera en el espacio. En
general, es posible asociar algn efecto fsico con un campo, como la
fuerza sobre la aguja de una brjula en el campo mag- ntico de la
Tierra o el movimiento de las partculas de humo en el campo que
define el vec- tor velocidad del aire en alguna regin del espacio.
Es necesario observar que el concepto de campo invariablemente se
relaciona con una regin. Algunas cantidades se definen en ca- da
punto de una regin. Tanto los campos escalares como los vectoriales
tienen una exis- tencia real. La temperatura de un tazn de sopa y
la densidad en cualquier punto de la Tierra son ejemplos de campos
escalares. Los ejemplos de campos vectoriales son los campos gra-
vitacional y magntico de la Tierra, el gradiente de voltaje en un
cable y el gradiente de tem- peratura en la punta de un cautn. En
general, el valor de un campo vara tanto con la posicin como con el
tiempo. En este libro, as como en muchos otros que utilizan la
notacin vectorial, los vectores se indicarn con negritas: A. Los
escalares se escribirn en cursivas: A. Cuando escribimos a mano o
usamos una mquina de escribir es costumbre dibujar una raya o una
flecha sobre la letra que la representa para mostrar el carcter
vectorial de la cantidad. (PRECAUCIN: sta es la primera trampa. Una
notacin incorrecta, como la omisin de la raya o de la flecha para
un vector, es la principal causa de error en el anlisis vectorial.)
1.2 lgebra vectorial Con las definiciones de vectores y campos
vectoriales que se han establecido es posible de- finir las reglas
de la aritmtica vectorial, del lgebra vectorial y, posteriormente,
del clculo vectorial. Ciertas reglas sern similares a las del
lgebra escalar; otras, ligeramente diferen- tes, y otras, por
completo nuevas y extraas. Esto es de esperarse, ya que un vector
presen- ta ms informacin que un escalar, y la multiplicacin de dos
vectores, por ejemplo, ser ms complicada que la multiplicacin de
dos escalares. Las reglas son de una rama de las matemticas que se
encuentra firmemente estableci- da. Todos juegan con las mismas
reglas y nosotros, por supuesto, simplemente observa- remos e
interpretaremos estas reglas. Sin embargo, es ilustrativo
considerarnos pioneros en este campo. Si uno establece sus propias
reglas, es posible establecer cualquiera que se de- see. El nico
requerimiento es que sean autoconsistentes. Claro est, sera
agradable que las reglas concordaran con las del lgebra escalar
hasta donde fuera posible, y sera an mejor si nos habilitaran para
resolver algunos problemas prcticos. La suma vectorial sigue la ley
del paralelogramo, y sta es fcil de realizar en forma grfica,
aunque resulta imprecisa. La figura 1.1 muestra la suma de dos
vectores, A y B. Es 1 Se adopta la convencin de que magnitud
implica valor absoluto; por lo tanto, la magnitud de cualquier can-
tidad es siempre positiva. cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 2
- 26. 1 . 2 lgebra vectorial 3 fcil observar que A + B = B + A,
es decir, que la suma de vectores tiene la propiedad con- mutativa.
La suma vectorial tambin tiene la propiedad asociativa, Obsrvese
que cuando un vector se dibuja como una flecha de longitud finita,
su loca- lizacin la define la cola de la flecha. Los vectores
coplanares o vectores que pertenecen a un plano comn, como los que
muestra la figura 1.1, y que estn sobre el plano del papel, pueden
agregarse tambin expre- sando cada vector en trminos de sus
componentes horizontal y vertical y sumando las componentes
correspondientes. Los vectores en tres dimensiones pueden,
asimismo, sumarse expresando cada uno de ellos en trminos de sus
componentes y sumando stas a los trminos correspondientes. Se
encontrarn ejemplos de estos procesos de adicin despus de estudiar
las componentes vectoriales en la seccin 1.4. La regla para la
sustraccin de vectores se define fcilmente con respecto a la suma,
da- do que siempre se puede expresar A B como A + (B); el signo y
la direccin del se- gundo vector se invierten, y entonces este
vector se suma al primero siguiendo la regla de la adicin
vectorial. Los vectores pueden multiplicarse por escalares. Cuando
el escalar es positivo, la mag- nitud del vector cambia pero no su
direccin. Sin embargo, la direccin se invierte al mul- tiplicarla
por un escalar negativo. La multiplicacin de un vector por un
escalar tambin tie- ne las propiedades asociativa y distributiva
del lgebra, es decir, La divisin de un vector por un escalar es
simplemente la multiplicacin por el recproco de dicho escalar. La
multiplicacin de un vector por un vector se estudiar en las
secciones 1.6 y 1.7. Se dice que dos vectores son iguales si su
diferencia es cero, o A = B si A B = 0. Cuando se utilizan campos
vectoriales se suman o restan siempre que estn definidos en el
mismo punto. Por ejemplo, el campo magntico total alrededor de un
pequeo imn de herradura aparecer como la suma de los campos que
producen la Tierra y el imn per- manente; es decir, el campo total
en cualquier punto es la suma de los campos individuales en dicho
punto. De cualquier manera, si no se est considerando un campo
vectorial se pueden sumar o restar vectores que no estn definidos
en el mismo punto. Por ejemplo, la suma de la fuerza Figura 1.1 Dos
vectores pueden sumarse grficamente dibujndolos desde un origen
comn y completando el paralelogramo o haciendo que el segundo
vector comience en la punta del primero y completando el tringulo;
cada uno de estos mtodos es fcilmente generalizado para el caso de
tres o ms vectores. A + (B + C) = (A + B) + C (r + s)(A + B) = r(A
+ B) + s(A + B) = rA + rB + sA + sB cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page
3
- 27. 4 CAPTULO 1 Anlisis vectorial gravitacional que acta sobre
un hombre de 150 lbf (libras-fuerza) en el Polo Norte y la que acta
sobre un hombre de 175 lbf en el Polo Sur puede obtenerse
trasladando cada vector fuerza al Polo Sur antes de hacer la suma.
La resultante es una fuerza de 25 lbf di- rigida hacia el centro de
la Tierra en el Polo Sur; si se quieren hacer difciles las cosas se
puede describir la fuerza como 25 lbf alejndose del centro de la
Tierra (o hacia arriba), en el Polo Norte.2 1.3 El sistema de
coordenadas rectangular Para describir con precisin un vector deben
darse algunas longitudes especficas, direccio- nes, ngulos,
proyecciones o componentes. Existen tres mtodos sencillos para
hacer esto, y cerca de otros ocho o diez mtodos que resultan tiles
en casos muy especiales. Se utili- zarn nicamente los tres mtodos
sencillos, y el ms sencillo de stos es el del sistema de
coordenadas cartesianas o rectangulares. En el sistema de
coordenadas cartesianas se utilizan tres ejes coordenados
perpendicu- lares entre s, llamados eje x, y y z. Se acostumbra
elegir un sistema de coordenadas de ma- no derecha en el cual una
rotacin (que describe un pequeo ngulo) del eje x hacia el eje y
causara que un tornillo derecho avanzara en la direccin del eje z.
Los dedos de la mano derecha, pulgar, ndice y medio, pueden
entonces identificar los ejes x, y y z, respectivamen- te. La
figura 1.2a muestra un sistema de coordenadas cartesianas de la
mano derecha. La localizacin de un punto se hace por medio de sus
coordenadas x, y y z. stas son, respectivamente, las distancias
desde el origen a cada una de las intersecciones de una pro- yeccin
perpendicular desde el punto de los ejes x, y y z. Un mtodo
opcional para interpre- tar los valores de las coordenadas, y que
corresponde al que debe usarse en todos los dems sistemas de
coordenadas, es considerar el punto como la interseccin de tres
superficies, los planos x = constante, y = constante y z =
constante, siendo las constantes los valores de las coordenadas del
punto. La figura 1.2b muestra los puntos P y Q, cuyas coordenadas
son (1, 2, 3) y (2, 2, 1), respectivamente. Por consiguiente, el
punto P se localiza en la interseccin de los planos x = 1, y = 2 y
z = 3, mientras que el punto Q se localiza en la interseccin de los
planos x = 2, y = 2, z = 1. A medida que aparezcan otros sistemas
de coordenadas en las secciones 1.8 y 1.9, se espera encontrar
puntos que se localicen en la interseccin comn de tres superficies,
no necesariamente planos, pero que sigan siendo mutuamente
perpendiculares en el punto de interseccin. Si se visualiza la
interseccin de tres planos en cualquier punto P, cuyas coordenadas
sean x, y y z, puede incrementarse el valor de cada coordenada por
una cantidad diferencial y obtenerse tres planos ligeramente
desplazados que se intersecten en un punto P, cuyas coordenadas
sern x + dx, y + dy y z + dz. Los seis planos definen un
paraleleppedo rec- tangular cuyo volumen es dv = dxdydz; las
superficies tienen diferenciales de reas dS de dxdy, dydz y dzdx.
Por ltimo, la distancia dL de P a P es la diagonal del
paraleleppedo y 2 Algunos han hecho notar que la fuerza debe
describirse en el ecuador como si siguiera una direccin norte.
Tienen razn, pero sa es una explicacin redundante. cap. 1 ok
12/22/05 4:30 PM Page 4
- 28. 1 . 4 Componentes vectoriales y vectores unitarios 5 tiene
una longitud de El elemento diferencial de volumen lo muestra la
figura 1.2c; el punto P est indicado, pero el punto P se localiza
en la nica es- quina invisible. Todo esto es familiar desde la
perspectiva de la trigonometra o de la geometra del espa- cio, y
hasta ahora involucra nicamente cantidades escalares. En la
siguiente seccin se em- pezar con la descripcin de los vectores en
trminos de un sistema de coordenadas. 1.4 Componentes vectoriales y
vectores unitarios Para describir un vector en un sistema de
coordenadas cartesianas se considera primero un vector r que se
extiende alejndose del origen. Una manera lgica de identificar este
vector es proporcionar los tres componentes vectoriales, que se
encuentran a lo largo de los tres (dx)2 + (dy)2 + (dz)2. Figura 1.2
a) Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha. Si los
dedos doblados de la mano derecha indican la direccin de giro por
medio de la cual el eje x se hara coincidir con el eje y, el pulgar
muestra la direccin del eje z. b) Localizacin de los puntos P(1, 2,
3) y Q(2, 2, 1). c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas
cartesianas; dx, dy y dz son, en general, diferenciales
independientes. Volumen plano plano plano Origen cap. 1 ok 12/22/05
4:30 PM Page 5
- 29. 6 CAPTULO 1 Anlisis vectorial ejes coordenados y cuya suma
vectorial debe ser igual al vector dado. Si las componentes
vectoriales de un vector r son x, y y z, entonces r = x + y + z.
Las componentes vectoria- les se muestran en la figura 1.3a. En vez
de un vector ahora se tienen tres, pero esto signi- fica un paso
hacia adelante porque los tres vectores son de naturaleza muy
sencilla y cada uno se orienta siempre a lo largo de uno de los
ejes coordenados. En otras palabras, las componentes vectoriales
tienen una magnitud que depende del vector dado (tal como el r
citado antes), pero cada una tiene una direccin constante cono-
cida. Esto sugiere el uso de vectores unitarios, los cuales tienen
magnitud unitaria por defi- nicin y se orientan a lo largo de los
ejes coordenados en la direccin en la que crecen los valores de las
coordenadas. Se reservar el smbolo a para un vector unitario y se
identifica su direccin con un subndice apropiado. Entonces ax ay y
az son los vectores unitarios en el sistema de coordenadas
cartesianas.3 Son dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z,
respec- tivamente, como lo muestra la figura 1.3b. Figura 1.3 a)
Componentes vectoriales x, y y z del vector r. b) Los vectores
unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud
unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las
respectivas variables. c) El vector RPQ es igual al vector
diferencia rQ rP. 3 Los smbolos i, j y k tambin se usan comnmente
para los vectores unitarios en coordenadas cartesianas. cap. 1 ok
12/22/05 4:30 PM Page 6
- 30. 1 . 4 Componentes vectoriales y vectores unitarios 7 Si la
componente vectorial y tiene una magnitud de dos unidades y se
dirige hacia donde aumentan los valores de y, se deber escribir
entonces y = 2ay. Un vector rP que apunta desde el origen a un
punto P(1, 2, 3) se escribe como rP = ax + 2ay + 3az. El vector
desde el punto P a Q se puede obtener aplicando la regla de la suma
vectorial. Esta regla muestra que el vector desde el origen a P ms
el vector desde P a Q es igual al vector des- de el origen a Q. El
vector deseado desde P(1, 2, 3) a Q(2, 2, 1) es, por lo tanto, Los
vectores rP, rQ y RPQ se muestran en la figura 1.3c. Este ltimo
vector no empieza en el origen, como lo haca el vector r
considerado al principio. Sin embargo, hemos aprendido que los
vectores que tienen la misma magnitud y apuntan en la misma
direccin son iguales, as que para ayudar al proceso de visualizacin
se tiene la libertad de desplazar cualquier vector hasta el origen,
antes de determinar sus componentes vectoriales. Desde luego, el
paralelismo se debe mantener durante el proceso de desplazamiento.
Si se considera un vector fuerza F en vez de cualquier otro vector,
excepto uno de des- plazamiento tal como el vector r, el problema
radica en proporcionar letras apropiadas pa- ra los tres
componentes vectoriales. No sera apropiado llamarlas x, y y z, pues
representan desplazamientos o distancias dirigidas, medidas en
metros (abreviado m) o alguna otra unidad de longitud. El problema
se evita usando componentes escalares, simplemente llamadas
componentes Fx, Fy y Fz. Las componentes son las magnitudes, con
signo positivo o nega- tivo, de los componentes vectoriales. Se
escribe entonces F = Fxax + Fyay + Fzaz. Los com- ponentes
vectoriales son Fxax, Fyay y Fzaz. Cualquier vector B, entonces, se
puede describir por B = Bxax + Byay + Bzaz. La mag- nitud de B,
denotada por |B| o simplemente B, est dada por (1) Cada uno de los
tres sistemas coordenados que se estudiarn tendr tres vectores
unita- rios fundamentales y mutuamente ortogonales, los cuales se
utilizarn para descomponer cualquier vector en sus componentes
vectoriales. Sin embargo, los vectores unitarios no se limitarn a
esta aplicacin. Es muy necesario saber cmo escribir un vector
unitario que ten- ga una direccin especfica. Esto es muy sencillo,
pues un vector unitario en una direccin dada es simplemente un
vector en esa direccin dividido entre su magnitud. Un vector uni-
tario en la direccin r es r y un vector unitario en la direccin B
es (2) / x2 + y2 + z2, RP Q = rQ rP = (2 1)ax + (2 2)ay + (1 3)az =
ax 4ay 2az |B| = B2 x + B2 y + B2 z aB = B B2 x + B2 y + B2 z = B
|B| cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 7
- 31. 8 CAPTULO 1 Anlisis vectorial Especificar el vector
unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2, 2, 1).
Solucin. Como primer paso se construye un vector que se extienda
desde el origen has- ta el punto G, Entonces se encuentra la
magnitud de G, y, por ltimo, se expresa el vector unitario deseado
como el cociente, Es deseable escoger un smbolo que identifique un
vector unitario de modo que su ca- rcter sea inmediatamente
captado. Los smbolos que se han utilizado son uB, aB, 1B, o in-
cluso b. Se usar consistentemente la letra minscula a con un
subndice apropiado. [NOTA: A lo largo del texto aparecen problemas
de repaso despus de las secciones en las que se presenta un nuevo
principio, as el estudiante examinar por s mismo su com- prensin de
las ideas bsicas. Los problemas son tiles para que se familiaricen
con los nue- vos trminos e ideas, por lo que todos deben
resolverse. Las respuestas a los problemas se dan en el mismo orden
que las partes del problema.] D1.1 Dados los puntos M(1, 2, 1),
N(3, 3, 0) y P(2, 3, 4), encontrar: a) RMN; b) RMN + RMP; c) |rM|;
d) aMP; e) |2rP 3rN| Respuestas: 4ax 5ay az; 3ax 10ay 6az; 2.45;
0.14ax 0.7ay 0.7az; 15.56 1.5 El campo vectorial Se ha definido ya
el campo vectorial como una funcin vectorial de un vector posicin.
En ge- neral, la magnitud y direccin de la funcin cambiarn conforme
se est moviendo a travs de la regin, y el valor de la funcin
vectorial debe determinarse a partir de los valores de las
coordenadas del punto en cuestin. Puesto que se ha considerado
solamente un sistema de coor- denadas cartesianas, se espera que el
vector sea una funcin de las variables x, y y z. Si se presenta
nuevamente el vector posicin como r, entonces el campo vectorial G
se puede expresar en notacin funcional como G(r); un campo escalar
T se escribe T(r). Si se inspecciona la velocidad del agua de mar
en alguna regin cercana a la superficie donde las mareas y las
corrientes son importantes, se las podra representar por medio de
un vector velocidad, que tendra cualquier direccin, incluso hacia
arriba o hacia abajo. Si se es- coge el eje z hacia arriba, el eje
x en direccin norte, el eje y en direccin oeste y el origen en la
superficie, tenemos un sistema de coordenadas de mano derecha y el
vector velocidad se puede escribir como: v = vxax + vyay + vzaz, o
v(r) = vx(r)ax + vy(r)ay + vz(r)az, en don- de cada componente vx,
vy y vz puede ser una funcin de las tres variables x, y y z.
EJEMPLO 1.1 G = 2ax 2ay az |G| = (2)2 + (2)2 + (1)2 = 3 aG = G |G|
= 2 3 ax 2 3 ay 1 3 az = 0.667ax 0.667ay 0.333az cap. 1 ok 12/22/05
4:30 PM Page 8
- 32. 1 . 6 El producto punto 9 Si el problema se simplifica,
suponiendo que se est en alguna porcin de la Corriente del Golfo
donde el agua se mueve slo hacia el norte, entonces vy y vz son
cero. Adems, es po- sible hacer ms suposiciones para simplificar si
declina la velocidad segn la profundidad y cambia muy lentamente
conforme nos movemos al norte, al sur, este u oeste. Una expre- sin
apropiada podra ser v = 2ez/100ax. Con esta expresin se obtiene una
velocidad de 2 m/s en la superficie y una velocidad de 0.368 2, o
0.736 m/s, a una profundidad de 100 m (z = 100), y la velocidad
contina disminuyendo con la profundidad; en este ejemplo el vector
velocidad tiene direccin constante. Mientras que el ejemplo
precedente es bastante sencillo y slo es una burda aproxima- cin a
una situacin fsica, una expresin ms exacta correspondera a una
interpretacin mucho ms compleja y difcil. Se encontrarn, en el
estudio de la electricidad y el magne- tismo, varios campos ms
sencillos que el ejemplo de la velocidad, en el cual slo intervie-
nen una variable y una componente (la componente x y la variable
z). Tambin se estudia- rn campos ms complicados, y los mtodos de
interpretacin fsica de estas expresiones se analizarn en su
momento. D1.2 Un campo vectorial S puede expresarse en coordenadas
rectangulares como S = {125/ [(x 1)2 + (y 2)2 + (z + 1)2]}{(x 1)ax
+ (y 2)ay + (z + 1)az}. a) Evaluar S en P(2, 4, 3). b) Determinar
un vector unitario que proporcione la direccin de S en P. c)
Especificar la superficie f(x, y, z) en la que |S|= 1. Respuesta:
5.95ax + 11.90ay + 23.8az; 0.218ax + 0.436ay + 0.873az; (x 1)2 + (y
2)2 + (z+ 1)2 = 125. 1.6 El producto punto Aqu se considera el
primero de dos tipos de multiplicacin vectorial. El segundo tipo se
es- tudiar en la seccin siguiente. Dados dos vectores A y B, el
producto punto o producto escalar, se define como el pro- ducto de
la magnitud de A, la magnitud de B y el coseno del ngulo entre
ellos, (3) El punto que aparece entre los dos vectores debe
remarcarse para hacer hincapi en l. El producto escalar o producto
punto, que es un escalar, como lo implica uno de sus nombres,
obedece a la ley conmutativa, (4) puesto que el signo del ngulo no
afecta el trmino del coseno. La expresin A B se lee A punto B. Quiz
la aplicacin ms comn del producto punto sea en mecnica, donde una
fuerza constante F aplicada sobre un desplazamiento L produce una
cantidad de trabajo A B = |A| |B| cos AB A B = B A cap. 1 ok
12/22/05 4:30 PM Page 9
- 33. 10 CAPTULO 1 Anlisis vectorial FL cos , que se escribe ms
sencillamente como F L. Puede anticiparse uno de los resul- tados
del captulo 4 sealando que si la fuerza vara a lo largo de la
trayectoria es necesario realizar una integracin para obtener el
trabajo total, y el resultado se convierte en Puede tomarse otro
ejemplo de los campos magnticos, un tema acerca del cual tendre-
mos mucho que decir ms adelante. El flujo total que atraviesa una
superficie de rea S est dado por BS si la densidad de flujo
magntico B es perpendicular a la superficie y uni- forme sobre
ella. Se define el vector de superficie S como aquel cuya magnitud
es el rea geomtrica de la superficie y cuya direccin es normal a la
superficie (por el momento se evitar el problema de cul de las dos
posibles normales debe elegirse). El flujo que atra- viesa la
superficie es por consiguiente B S. Esta expresin es vlida para
cualquier direccin de la densidad de flujo magntico uniforme. Sin
embargo, si la densidad de flujo no es cons- tante sobre la
superficie, el flujo total es = En el captulo 3 se presentan inte-
grales de esta forma cuando estudiemos la densidad de flujo
elctrico. Determinar el ngulo entre dos vectores en un espacio
tridimensional es una tarea que con frecuencia se prefiere evitar.
Por esta razn, la definicin de producto punto en general no se
utiliza en su forma bsica. Se obtiene un resultado ms til al
considerar dos vectores expresados en componentes cartesianos como
A = Axax + Ayay + Azaz y B = Bxax + Byay + Bzaz. El producto punto
tambin obedece la ley distributiva y, por lo tanto, A B produ- ce
la suma de nueve trminos escalares, cada uno de los que involucra
el producto punto de dos vectores unitarios. Puesto que el ngulo
entre dos vectores unitarios diferentes es 90 en el sistema de
coordenadas cartesianas, se tiene: Los tres trminos restantes
incluyen el producto punto de un vector unitario por s mismo, lo
cual da como resultado la unidad. Finalmente, se obtiene: (5) que
es una expresin que no incluye ngulos. Un vector multiplicado por s
mismo en forma punto da como resultado el cuadrado de la magnitud,
es decir: (6) y cualquier vector unitario multiplicado por s mismo
en forma punto da como resultado la unidad, Una de las aplicaciones
ms importantes del producto punto consiste en encontrar la
componente de un vector en una direccin dada. Si se observa la
figura 1.4a, es posible ob- tener la componente escalar de B en la
direccin que especifica el vector unitario a como: El signo de la
componente es positivo si 0 Ba 90 y negativo cuando 90 Ba 180. B
dS. Trabajo = F dL ax ay = ay ax = ax az = az ax = ay az = az ay =
0 A B = Ax Bx + Ay By + Az Bz A A = A2 = |A|2 aA aA = 1 B a = |B|
|a| cos Ba = |B| cos Ba cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 10
- 34. 1 . 6 El producto punto 11 Para obtener la componente
vectorial de B en la direccin de a, simplemente se multi- plica la
componente (escalar) por a, como se ilustra en la figura 1.4b. Por
ejemplo, la com- ponente de B en la direccin de ax es B ax = Bx y
la componente vectorial es Bxax o (B ax)ax. Por lo tanto, el
problema de encontrar la componente de un vector en cualquier
direccin deseada se convierte en el problema de encontrar un vector
unitario en esa direc- cin, y eso siempre se puede hacer. El trmino
geomtrico proyeccin tambin se expresa con el producto punto. De
mane- ra que B a resulta ser la proyeccin de B en la direccin de a.
Con la finalidad de ilustrar estas definiciones y operaciones,
considrese el campo vectorial G = yax 2.5xay + 3az y el punto Q(4,
5, 2). Se desea encontrar: G en Q; la componente escalar de G en Q
en la direccin de aN = (2ax + ay 2az); la componente vectorial de G
en Q en la direccin de aN; y, por ltimo, el ngulo Ga entre G(rQ) y
aN. Solucin. Sustituyendo las coordenadas del punto Q en la
expresin de G, se tiene Posteriormente se encuentra la componente
escalar. Utilizando el producto punto se tiene La componente
vectorial se obtiene multiplicando la componente escalar por el
vector uni- tario en la direccin aN, El ngulo entre G(rQ) y aN se
obtiene de y 1 3 Figura 1.4 a) La componente (escalar) de B en la
direccin del vector unitario a es B a. b) La componente vectorial
de B en la direccin del vector unitario a es (B a)a. EJEMPLO 1.2
G(rQ) = 5ax 10ay + 3az G aN = (5ax 10ay + 3az) 1 3 (2ax + ay 2az) =
1 3 (10 10 6) = 2 (G aN )aN = (2)1 3 (2ax + ay 2az) = 1.333ax
0.667ay + 1.333az G aN = |G| cos Ga 2 = 25 + 100 + 9 cos Ga Ga =
cos1 2 134 = 99.9 cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 11
- 35. 12 CAPTULO 1 Anlisis vectorial D1.3 Los tres vrtices de un
tringulo se encuentran en A(6, 1, 2), B(2, 3, 4) y C(3, 1, 5).
Encontrar: a) RAB; b) RAC; c) el ngulo BAC en el vrtice A; d) la
proyec- cin (vectorial) de RAB en RAC. Respuesta: 8ax + 4ay 6az;
9ax + 2ay + 3az; 53.6; 5.94ax + 1.319ay + 1.979az 1.7 El producto
cruz Dados dos vectores A y B, se define el producto cruz o
producto vectorial de A y B, que se indica por medio de una cruz
entre estos vectores como A B y se lee A cruz B. El pro- ducto cruz
A B es un vector; la magnitud de A B es igual al producto de las
magnitu- des de A, B y el seno del ngulo ms pequeo entre A y B; la
direccin de A B es per- pendicular al plano que contiene a A y a B,
y de las dos posibles perpendiculares, est a lo largo de aquella
que apunta en la direccin en la que avanzara un tornillo derecho si
A se girara hacia B. Esta direccin se ilustra en la figura 1.5.
Recurdese que cada vector puede ser desplazado a voluntad,
manteniendo una direccin constante, hasta que los dos vectores
tengan un origen comn. Esto determina al plano que contiene a
ambos. Sin embargo, en la mayor parte de las aplicaciones se
trabajar con vectores definidos en el mismo punto. Como ecuacin, se
puede escribir: (7) donde una explicacin adicional, semejante a la
que se dio antes, an se requiere para de- terminar la direccin del
vector unitario aN. El subndice significa la normal. Figura 1.5 La
direccin de A B est en la direccin de un tornillo de rosca derecha
cuando A se gira hacia B. A B = aN AB|A| |B| sen cap. 1 ok 12/22/05
4:30 PM Page 12
- 36. 1 . 7 El producto cruz 13 Si se invierte el orden de los
vectores A y B resulta un vector en la direccin opuesta a la del
vector unitario, y se ve que el producto cruz no es conmutativo
puesto que B A = (A B). Si la definicin del producto cruz se aplica
a los vectores unitarios ax y ay, se en- cuentra que ax ay = az,
pues cada vector tiene una magnitud unitaria, los dos vectores son
perpendiculares, y la rotacin de ax hacia ay indica la direccin
positiva de z por la defini- cin del sistema de coordenadas de la
mano derecha. De manera similar ay az = ax y az ax = ay. Observe la
simetra alfabtica. En tanto los tres vectores ax, ay y az se
escriban en orden (y suponiendo que ax le sigue az, como tres
elefantes en crculo, agarrados de sus colas, de modo que tambin se
pueda escribir ay, az, ax o az, ax, ay), entonces la cruz y el
signo igual se pueden colocar en uno u otro de los dos espacios
vacantes. En realidad, aho- ra es ms fcil definir un sistema de
coordenadas cartesianas de la mano derecha diciendo que ax ay = az.
Un ejemplo sencillo del uso del producto cruz se puede tomar de la
geometra o la tri- gonometra. Encontrar el rea de un paralelogramo
requiere multiplicar el producto de las longitudes de los lados
adyacentes por el seno del ngulo entre ellos. Cuando se usa la no-
tacin vectorial para los dos lados, entonces se puede expresar el
rea (escalar) como la magnitud de A B o |A B|. El producto cruz se
puede usar como reemplazo de la regla de la mano derecha, fami-
liar para todos los ingenieros elctricos. Considrese la fuerza
sobre un conductor recto de longitud L, donde la direccin asignada
a L corresponde a la direccin de la corriente esta- ble I, en
presencia de un campo magntico uniforme de densidad de flujo B. Por
medio de la notacin vectorial se puede escribir sencillamente el
resultado como F = IL B. Esta relacin se obtendr posteriormente en
el captulo 9. La evaluacin del producto cruz por medio de su
definicin resulta ms laboriosa que la evaluacin del producto punto
por medio de su definicin, pues no slo se debe encon- trar el ngulo
entre los vectores, sino tambin una expresin para el vector
unitario aN. Es- ta tarea se puede evitar usando componentes
cartesianos para los dos vectores A y B y de- sarrollando el
producto cruz como una suma de nueve productos cruz simples, donde
cada uno involucra dos vectores unitarios, Ya se ha demostrado que
ax ay = az, ay az = ax y az ax = ay. Los tres trminos restantes son
cero, pues el producto cruz de cualquier vector a s mismo es cero,
dado que el ngulo entre ellos es cero. Estos resultados se pueden
combinar para dar: (8) o pueden escribirse en forma de un
determinante que resulta mucho ms fcil de recordar: (9) A B = Ax Bx
ax ax + Ax Byax ay + Ax Bzax az + Ay Bx ay ax + Ay Byay ay + Ay
Bzay az + Az Bx az ax + Az Byaz ay + Az Bzaz az A B = (Ay Bz Az
By)ax + (Az Bx Ax Bz)ay + (Ax By Ay Bx )az A B = ax ay az Ax Ay Az
Bx By Bz cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 13
- 37. 14 CAPTULO 1 Anlisis vectorial Entonces, si A = 2ax 3ay +
az y B = 4ax 2ay + 5az, se tiene que D1.4 Un tringulo se define por
tres puntos: A(6, 1, 2), B(2, 3, 4) y C(3, 1, 5). Encuntrese: a)
RAB RAC; b) el rea del tringulo; c) un vector unitario perpendi-
cular al plano en el cual se localiza el tringulo. Respuesta: 24ax
+ 78ay + 20az; 42.0; 0.286ax + 0.928ay + 0.238az 1.8 Otros sistemas
de coordenadas: coordenadas cilndricas circulares En general, el
sistema de coordenadas cartesianas es el que ms prefieren los
estudiantes pa- ra resolver todos los problemas. Esto implica con
frecuencia un mayor trabajo, ya que mu- chos problemas poseen un
tipo de simetra que requiere un tratamiento ms lgico. Es ms fcil
esforzarse de una vez por todas para familiarizarse con las
coordenadas esfricas y ci- lndricas en vez de aplicar despus un
esfuerzo igual o mayor en cada problema que inclu- ya simetra
cilndrica y esfrica. Teniendo en mente que se ahorrar trabajo, se
estudiarn con cuidado y sin prisas las coordenadas cilndricas y
esfricas. El sistema de coordenadas cilndricas es una versin en
tres dimensiones de las coor- denadas polares de la geometra
analtica plana. En las coordenadas polares de dos dimen- siones se
localizaba un punto en un plano dando su distancia al origen y el
ngulo entre la lnea desde el punto al origen y un eje radial
arbitrario, en el que se toma = 0.4 Un sis- tema tridimensional de
coordenadas cilndricas circulares se obtiene en forma similar espe-
cificando la distancia z del punto con respecto a un plano de
referencia z = 0 arbitrario, en donde es perpendicular a la lnea =
0. Por comodidad, generalmente se hace referencia a las coordenadas
cilndricas circulares sencillamente como coordenadas cilndricas.
Esto no debe causar confusin a lo largo de este libro, pero es
razonable sealar que existen otros sistemas de coordenadas, por
ejemplo: las coordenadas cilndricas hiperblicas, las coorde- nadas
cilndricas parablicas y otras. 4 Las dos variables de las
coordenadas polares comnmente se llaman r y . Con tres coordenadas,
sin embargo, es ms comn usar para la variable radial de las
coordenadas cilndricas y r para la variable radial (diferente) de
las coordenadas esfricas. Tambin se acostumbra llamar a la variable
angular de las coordenadas cilndricas, dado que se usa para un
ngulo distinto en coordenadas esfricas. El ngulo es el mismo tanto
en las coorde- nadas esfricas como en las cilndricas. A B = ax ay
az 2 3 1 4 2 5 = [(3)(5) (1(2)]ax [(2)(5) (1)(4)]ay + [(2)(2)
(3)(4)]az = 13ax 14ay 16az cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 14
- 38. 1 . 8 Otros sistemas de coordenadas: coordenadas cilndricas
circulares 15 Ya no se utilizarn tres ejes como en las coordenadas
cartesianas, sino que cada punto debe considerarse como la
interseccin de tres superficies mutuamente perpendiculares. Es- tas
superficies son: un cilindro circular ( = constante), un plano ( =
constante) y otro plano (z = constante). Esto correspondera a la
localizacin de un punto en un sistema de coordenadas cartesianas
por la interseccin de tres planos (x = constante, y = constante y z
= constante). Las tres superficies de las coordenadas cilndricas
circulares se muestran en la figura 1.6a. Obsrvese que las tres
superficies pueden hacerse pasar por cualquier punto, a menos que
ste se encuentre sobre el eje z, en cuyo caso es suficiente un
plano. Tendrn que definirse tambin tres vectores unitarios, pero ya
no se dirigirn siguien- do los ejes coordenados, ya que stos
existen slo en las coordenadas cartesianas. En su lugar, se tomarn
en cuenta caractersticas ms generales de los tres vectores
unitarios en las coordenadas cartesianas, y se entender que se
dirigen hacia donde aumentan los valores de las coordenadas y que
son perpendiculares a la superficie sobre la cual ese valor de la
coor- Figura 1.6 a) Las tres superficies mutuamente perpendiculares
de un sistema de coordenadas cilndricas circulares. b) Los tres
vectores unitarios de un sistema cilndrico circular. c) Elemento
diferencial de volumen en un sistema de coordenadas cilndricas
circulares; d, d y dz son elementos de longitud. una constante una
constante una constante cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 15
- 39. 16 CAPTULO 1 Anlisis vectorial denada es constante; por
ejemplo, el vector unitario ax es normal al plano x = constante y
apunta hacia valores crecientes de x. En forma similar, se definen
ahora tres vectores unita- rios en coordenadas cilndricas, a, a y
az. El vector unitario a es un punto P(1, 1, z1) y se dirige
radialmente hacia fuera y es normal a la superficie cilndrica = 1.
Est contenido en los planos = 1 y z = z1. El vector unitario a es
normal al plano = 1, apunta en la direccin en que crece el valor de
, pertenece al plano z = z1 y es tangente a la superficie cilndrica
= 1. El vector unita- rio az es el mismo que el vector unitario az
del sistema de coordenadas cartesianas. La figura 1.6b muestra los
tres vectores unitarios en coordenadas cilndricas. En coordenadas
cartesianas, los vectores unitarios no estn en funcin de las
coordena- das. Sin embargo, dos de los vectores unitarios en
coordenadas cilndricas, a y a, varan segn la coordenada , puesto
que cambian sus direcciones. Entonces, la integracin o di-
ferenciacin con respecto a , a y a no deben tratarse como
constantes. De nuevo, los vectores unitarios son perpendiculares
entre s, ya que cada uno es nor- mal a una de las tres superficies
mutuamente perpendiculares; puede definirse un sistema coordenado
cilndrico de mano derecha como aquel en el cual a a = az, o (para
quie- nes tienen dedos flexibles) como aquel en el cual el pulgar,
el ndice y el dedo medio indi- can la direccin de crecimiento de ,
y z, respectivamente. Un elemento diferencial de volumen en
coordenadas cilndricas se puede obtener au- mentando los valores de
, y z por medio de incrementos diferenciales d, d y dz. Los dos
cilindros de radios y + d, los dos planos radiales con ngulos y + d
y los dos planos horizontales con elevaciones z y z + dz encierran
un volumen pequeo, como lo muestra la figura 1.6c, que tiene la
forma de una cua truncada. A medida que el elemento diferencial de
volumen empequeece, su forma se aproxima a la de un paraleleppedo
rec- tangular cuyos lados son de longitud d, d y dz. Debe notarse
que d y dz son dimensio- nalmente longitudes, pero d no lo es; en
cambio, d s tiene dimensiones de longitud. Las superficies tienen
reas de d d, d dz y ddz, y el volumen es d d dz. Las variables de
los sistemas de coordenadas cilndricas y rectangulares se
relacionan fcilmente unas con otras. Con respecto a la figura 1.7
se observa que (10) Desde otro punto de vista, las variables
cilndricas pueden expresarse en trminos de x, y y z: (11) Se
considerar que la variable es positiva o cero, y por lo tanto se
usa slo el signo posi- tivo para el radical en (11). El valor
correcto del ngulo se determina por inspeccin de los signos de x y
y. Por ejemplo, si x = 3 y y = 4, se encuentra que el punto est en
el se- gundo cuadrante en = 5 y = 126.9. Para x = 3 y y = 4, se
tiene = 53.1 o 306.9, escogindose el valor que sea ms conveniente.
x = cos z = z y = sen = x2 + y2 ( 0) = tan1 y x z = z cap. 1 ok
12/22/05 4:30 PM Page 16
- 40. 1 . 8 Otros sistemas de coordenadas: coordenadas cilndricas
circulares 17 Cuando se utiliza (10) u (11), las funciones
escalares dadas en un sistema de coordena- das se transforman con
facilidad a otro sistema. No obstante, una funcin vectorial en un
sistema de coordenadas requiere dos pasos pa- ra transformarla a
otro sistema de coordenadas, porque generalmente se necesita un
conjun- to distinto de componentes vectoriales. Esto es, se puede
dar un vector cartesiano para el cual cada componente se escribe
como funcin de x, y y z, y se necesita un vector en coordenadas
cilndricas en la cual cada componente se da como funcin de , y z.
Para encontrar cualquier componente deseada de un vector, recurdese
como se estudi en el producto punto, que una componente en cierta
direccin deseada puede obtenerse to- mando el producto punto del
vector con un vector unitario en la direccin deseada. De aqu, Al
desarrollar estos productos punto se tiene (12) (13) y (14) puesto
que az a y az a son cero. Figura 1.7 Relacin entre las variables
cartesianas x, y, z y las variables cilndricas , , z. No existe
diferencia en la variable z entre los dos sistemas. sen A = Ax ax +
Ayay + Azaz A = Aa + Aa + Azaz A = A a A = A ay A = (Ax ax + Ayay +
Azaz) a = Ax ax a + Ayay a A = (Ax ax + Ayay + Azaz) a = Ax ax a +
Ayay a Az = (Ax ax + Ayay + Azaz) az = Azaz az = Az cap. 1 ok
12/22/05 4:30 PM Page 17
- 41. 18 CAPTULO 1 Anlisis vectorial Completar la transformacin
de las componentes requiere conocer los productos punto ax a, ay a,
ax a y ay a. Por medio de la definicin de producto punto se observa
que, dado que se trabaja con vectores unitarios, el resultado es
simplemente el coseno del ngulo entre los dos vectores unitarios
implicados. Con respecto a la figura 1.7, y si se pien- sa con
ahnco, se identifica el ngulo entre ax y a como , y entonces ax a =
cos , pe- ro el ngulo entre ay y a es 90 y ay a = cos (90 ) = sen .
Los restantes pro- ductos punto de los vectores unitarios se
encuentran de manera similar, y los resultados se tabulan como
funciones de en la tabla 1.1. La transformacin de vectores de
coordenadas cartesianas a cilndricas y viceversa se realiza
empleando (10) u (11) para cambiar variables, y empleando los
productos punto de los vectores unitarios dados en la tabla 1.1
para cambiar componentes. Los dos pasos pue- den efectuarse en
cualquier orden. Transformar el vector B = yax xay + zaz en
coordenadas cilndricas. Solucin. Las nuevas componentes son: De
esta manera, D1.5 a) D las coordenadas cartesianas del punto C( =
4.4, = 115, z = 2). b) D las coordenadas cilndricas del punto D(x =
3.1, y = 2.6, z = 3). c) Espe- cifique la distancia de C a D.
Respuesta: C(x = 1.860, y = 3.99, z = 2); D( = 4.05, = 140.0, z =
3); 8.36 EJEMPLO 1.3 Tabla 1.1 Producto punto de vectores unitarios
del sistema de coordenadas cilndricas y del sistema cartesiano a a
az ax. cos sen 0 ay. sen cos 0 az. 0 0 1 B = B a = y(ax a) x(ay a)
B = B a = y(ax a) x(ay a) 2 cos2 = = y cos x sen = sen cos cos sen
= 0 = y sen x cos = sen B = a + zaz cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page
18
- 42. 1 . 9 El sistema de coordenadas esfricas 19 D1.6
Transformar a coordenadas cilndricas: a) F = 10ax 8ay + 6az, en el
punto P(10, 8, 6); b) G = (2x + y)ax (y 4x)ay en el punto Q(, , z).
c) Dar las com- ponentes cartesianas del vector H = 20a 10a + 3az
en el punto P(x = 5, y = 2, z = 1). Respuesta: 12.81a + 6az; (2
cos2 sen2 + 5 sen cos )a + (4 cos2 sen2 3 sen cos )a; Hx = 22.3, Hy
= 1.857, Hz = 3 1.9 El sistema de coordenadas esfricas A diferencia
del caso del sistema de coordenadas cilndricas, no existe un
sistema de coor- denadas bidimensional que pueda ayudarnos a
entender el sistema de coordenadas esfricas en tres dimensiones.
Pero en cierto modo pueden aplicarse los conocimientos con respecto
al sistema latitud y longitud para localizar un lugar sobre la
superficie, y no puntos internos o externos a ella. Se empezar
construyendo un sistema de coordenadas esfricas tomando como
referen- cia tres ejes cartesianos (figura 1.8a). Se define primero
la distancia r desde el origen a cual- quier punto. La superficie r
= constante es una esfera. La segunda coordenada es un ngulo entre
el eje z y la lnea trazada desde el origen hasta el punto
considerado. La superficie = constante es un cono, y las dos
superficies, cono y esfera, son perpendiculares en todas partes a
lo largo de su interseccin, la cual es un crculo de radio r sen .
La coordenada corresponde a la latitud, excepto que la latitud se
mide desde el ecuador y se mide desde el Polo Norte. La tercera
coordenada tambin es un ngulo y es exactamente igual que el ngulo
de las coordenadas cilndricas. ste es un ngulo entre el eje x y la
proyeccin en el plano z = 0 de la lnea trazada desde el origen
hasta el punto. ste corresponde al ngulo de lon- gitud, slo que el
ngulo aumenta hacia el este. La superficie = constante es un pla-
no que pasa a travs de la lnea = 0 (o el eje z). Nuevamente se
considera cualquier punto como la interseccin de tres superficies
mu- tuamente perpendiculares una esfera, un cono y un plano, cada
una orientada en la for- ma descrita previamente. Las tres
superficies se muestran en la figura 1.8b. Pueden definirse otra
vez tres vectores unitarios en cualquier punto. Cada vector unita-
rio es perpendicular a una de las tres superficies mutuamente
perpendiculares y se orienta en la direccin en la cual la
coordenada aumenta. El vector unitario ar apunta radialmente hacia
fuera, es normal a la esfera r = constante y est contenido en el
cono = constante y el plano = constante. El vector unitario a es
normal a la superficie cnica, est conteni- do en el plano y es
tangente a la esfera. Se dirige a lo largo de una lnea de longitud
y apunta hacia el sur. El tercer vector unitario a es el mismo de
las coordenadas cilndri- cas, es normal al plano y tangente al cono
y a la esfera. ste se dirige hacia el este. Los tres vectores
unitarios los muestra la figura 1.8c. Desde luego, son mutuamente
perpendiculares y definen un sistema de coordenadas de la mano
derecha en el cual ar a = a. Este sistema es derecho, como lo
demostrar una inspeccin de la figura 1.8c cuando se aplica la
definicin de producto cruz. La regla de la mano derecha sirve para
identificar cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 19
- 43. 20 CAPTULO 1 Anlisis vectorial el pulgar, el ndice y el
medio con la direccin de crecimiento de r, y , respectivamente.
(Obsrvese que esta identificacin en las coordenadas cilndricas se
haca con , y z, y en las coordenadas cartesianas con x, y y z.) Un
elemento diferencial de volumen se puede cons- truir en coordenadas
esfricas aumentando r, y por dr, d y d, respectivamente, como lo
muestra la figura 1.8d. La distancia entre dos superficies esfricas
de radios r y r + dr es dr; la distancia entre los dos conos
generados por los ngulos y + d es rd; y la distan- cia entre los
dos planos radiales con ngulos y + d es r sen d, despus de razo-
nar un poco con los conceptos de trigonometra. Las reas de las
superficies son r dr d, r sen dr d, y r2 sen d d, y el volumen es
r2 sen dr d d. Figura 1.8 a) Las tres coordenadas esfricas. b) Las
tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de
coordenadas esfricas. c) Los tres vectores unitarios de unas
coordenadas esfricas: ar a = a. d) Elemento diferencial de volumen
en un sistema de coordenadas esfricas. una constante (cono) una
constante (plano) una constante (esfera) sen cap. 1 ok 12/22/05
4:30 PM Page 20
- 44. 1 . 9 El sistema de coordenadas esfricas 21 La
transformacin de escalares de un sistema de coordenadas cartesianas
a esfricas se hace fcilmente utilizando la figura 1.8a para
relacionar los dos conjuntos de variables: (15) La transformacin en
la direccin opuesta se lleva a cabo con la ayuda de: (16) La
variable radial r no es negativa, y est restringida al rango de 0 a
180, inclusive. Los ngulos se colocan en los cuadrantes adecuados
inspeccionando los signos de x, y y z. La transformacin de vectores
requiere la determinacin de los productos de los vectores unitarios
en coordenadas cartesianas y esfricas. Estos productos se resuelven
a partir de la fi- gura 1.8c y con un poco de trigonometra. Puesto
que el producto punto de cualquier vector unitario esfrico por
cualquier vector unitario cartesiano es igual a la componente del
vec- tor esfrico en la direccin del vector cartesiano, los
productos punto con az son: Los productos punto con ax y ay
requieren primero la proyeccin del vector unitario es- frico sobre
el plano xy y luego la proyeccin sobre el eje deseado. Por ejemplo,
ar ax se obtiene proyectando ar sobre el plano xy, dando sen , y
proyectando despus sen sobre el eje x, lo cual produce sen cos .
Los otros productos punto se encuentran de manera simi- lar, y se
muestran en la tabla 1.2. Tabla 1.2 Productos punto de vectores
unitarios en sistemas de coordenadas esfricas y cartesianas ar a a
ax. sen cos cos cos sen ay. sen sen cos sen cos az. cos sen 0 z = r
cos x = r sen cos y = r sen sen r = x2 + y2 + z2 (r 0) = cos1 z x2
+ y2 + z2 (0 180 ) = tan1 y x az ar = cos az a az a = 0 = sen cap.
1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 21
- 45. 22 CAPTULO 1 Anlisis vectorial Se ilustra este
procedimiento transformando el vector G = (xz/y)ax en sus
componentes es- fricas y variables. Solucin. Se encuentran las tres
componentes esfricas aplicando el producto punto de G con el vector
unitario apropiado y cambiando las variables durante el
procedimiento: Se recopilan estos datos y se tiene: El apndice A
describe el sistema general de coordenadas curvilneas del cual los
sis- temas de coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas son
casos especiales. La primera seccin de este apndice podra
estudiarse en este momento. D1.7 Dados los puntos, C(3, 2, 1) y D(r
= 5, = 20, = 70), encontrar: a) las coordenadas esfricas de C; b)
las coordenadas cartesianas de D; c) la distancia desde C hasta D.
Respuesta: C(r = 3.74, = 74.5, = 146.3); D(x = 0.585, y = 1.607, z
= 4.70); 6.29 D1.8 Convierta los vectores siguientes a coordenadas
esfricas en los puntos dados: a) 10ax en el punto P(x = 3, y = 2, z
= 4); b) 10ay en el punto Q( = 5, = 30, z = 4); c) 10az en el punto
M(r = 4, = 110, = 120). Respuesta: 5.57ar 6.18a 5.55a; 3.90ar +
3.12a + 8.66a; 3.42ar 9.40a Lecturas complementarias 1. Grossman,
S. I., Calculus, 3a. ed., Academic Press and Harcourt Brace
Jovanovich, Orlando, 1984. El lgebra vectorial y las coordenadas
esfricas y cilndricas aparecen en el captulo 17, y el clculo
vectorial se presenta en el captulo 20. EJEMPLO 1.4 Gr = G ar = xz
y ax ar = xz y cos2 G = G a = xz y ax a = xz y cos cos = r cos2
cos2 G = G a = xz y ax a = xz y = r cos cos sen cos = r sen cos sen
(sen ) sen r + cos cot a a)G = r cos cos (sen cot a cap. 1 ok
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- 46. Problemas 23 2. Spiegel, M. R., Vector Analysis, Schaum
Outline Series, McGraw-Hill Book Company, Nueva York, 1959.
Numerosos ejemplos y problemas con respuestas se dan en este libro
conciso y poco costoso de la serie Schaum. 3. Swokowski, E. W.,
Calculus with Analytic Geometry, 3a. ed., Prindle, Weber &
Schmidt, Boston, 1984. El lgebra vectorial y los sistemas de
coordenadas cilndricas y esfricas se estudian en el captulo 14, y
el clculo vectorial aparece en el captulo 18. 4. Thomas, G. B. Jr.
y R. L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 6a. ed.,
Addison-Wesley Pu- blishing Company, Reading, Mass., 1984. El
lgebra vectorial y los tres sistemas de coordenadas que se
utilizaron se analizan en el captulo 13. Otras operaciones
vectoriales se estudian en los captulos 15 y 17. Problemas 1.1
Dados los vectores M = 10ax + 4ay 8az y N = 8ax + 7ay 2az,
encontrar: a) un vector unitario en la direccin de M + 2N; b) la
magnitud de 5ax + N 3M; c) |M| |2N| (M + N). 1.2 Los vrtices de un
tringulo estn en A(1, 2, 5), B(4, 2, 3) y C(1, 3, 2). a) Encontrar
el permetro del tringulo. b) Encontrar un vector unitario dirigido
des- de el punto medio del lado AB al punto medio del lado BC. c)
Demostrar que este vector unitario multiplicado por un escalar es
igual al vector de A a C y que, por lo tanto, el vector unitario es
paralelo al lado AC. 1.3 Un vector desde el origen hasta el punto A
est dado por (6, 2, 4), y un vector uni- tario dirigido desde el
origen hasta el punto B est dado por (2, 2, 1)/3. Si los puntos A y
B se encuentran a diez unidades entre s, encontrar las coordenadas
del punto B. 1.4 Un crculo con centro en el origen y un radio de 2
unidades est en el plano xy. De- terminar el vector unitario en
coordenadas cartesianas que est en el plano xy, es tangente al
crculo en el punto (3, 1, 0) y est en la direccin positiva del eje
y. 1.5 Un campo vectorial est dado por G = 24xyax + 12(x2 + 2)ay +
18z2az. Dados dos puntos, P(1, 2, 1) y Q(2, 1, 3), encontrar: a) G
en P; b) un vector unitario en la direccin de G en Q; c) un vector
unitario de Q a P; d) la ecuacin de la superficie en la que |G| =
60. 1.6 Si a es un vector unitario en una determinada direccin, B
es un escalar constante y r = xax + yay + zaz, describir la
superficie r a = B. Cul es la relacin entre el vector unitario a y
el escalar B en esta superficie? (PISTA: Considerar un ejemplo sen-
cillo donde a = ax y B = 1 y, posteriormente, cualquier a y B.) 1.7
Dado el campo vectorial E = 4zy2 cos 2xax + 2zy sen 2xay + y2 sen
2xaz en la regin |x|, |y| y |z| menor a 2, encontrar: a) las
superficies en las que Ey = 0; b) la regin en la que Ey = Ez; c) la
regin en la que E = 0. 1.8 Demostrar la ambigedad que se produce
cuando se utiliza el producto cruz para en- contrar el ngulo entre
dos vectores y se obtiene el ngulo formado entre A = 3ax 2ay + 4az
y B = 2ax + ay 2az. Se presenta esta ambigedad cuando se utiliza el
producto punto? 1.9 Dado el campo G = [25/(x2 + y2)](xax + yay),
encontrar: a) un vector unitario en la direccin de G en P(3, 4, 2);
b) el ngulo entre G y ax en P; c) el valor de la doble integral en
el plano y = 7. Exmenes cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 23
- 47. 24 CAPTULO 1 Anlisis vectorial 1.10 Utilizando la definicin
del producto punto y expresando diagonales como vectores, encontrar
el ngulo ms pequeo entre cualquier par de diagonales de un cubo,
don- de cada diagonal conecte dos esquinas diametralmente opuestas
y pase por el centro del cubo. 1.11 Dados los puntos M (0.1, 0.2,
0.1), N(0.2, 0.1, 0.3) y P(0.4, 0, 0.1), encontrar: a) el vector
RMN; b) el producto punto RMN RMP; c) la proyeccin escalar de RMN
sobre RMP; d) el ngulo entre RMN y RMP. 1.12 Demostrar que los
campos vectoriales A = cos a + sen a + az y B = cos a + sen a az
son ortogonales entre s en cualquier punto. 1.13 a) Encontrar la
componente vectorial de F = 10ax 6ay + 5az que es paralelo a G =
0.1ax + 0.2ay + 0.3az. b) Encontrar la componente vectorial de F
perpendicu- lar a G. c) Encontrar la componente vectorial de G
perpendicular a F. 1.14 Demostrar que los campos vectoriales A =
ar(sen 2)/r2 + 2a(sen )/r2 y B = r cos ar + ra son paralelos entre
s en cualquier punto. 1.15 Tres vectores que se extienden desde el
origen estn dados por r1 = (7, 3, 2), r2 = (2, 7, 3) y r3 = (0, 2,
3,). Encontrar: a) un vector unitario ortogonal a r1 y r2; b) un
vector unitario perpendicular a los vectores r1 r2 y r2 r3; c) el
rea del trin- gulo formado por r1 y r2; d) el rea del tringulo que
forman las puntas de los vec- tores r1, r2 y r3. 1.16 El campo
vectorial E = (B/)a donde B es constante se desplazar de tal forma
que su origen estar en la lnea x = 2, y = 0. Escribir el
desplazamiento de E en coorde- nadas cartesianas. 1.17 Un tringulo
lo definen el punto A(4, 2, 5) y los vectores RAM = (20, 18, 10) y
RAN = (10, 8, 15). a) Encontrar un vector unitario perpendicular al
tringulo, b) en- contrar un vector unitario coplanar al tringulo y
perpendicular a RAN, c) encontrar un vector unitario coplanar al
tringulo que bisecta al ngulo interior en A. 1.18 Convertir de
coordenadas cilndricas a esfricas el campo vectorial H = (A/)a,
donde A es constante. 1.19 a) Expresar con componentes y variables
cilndricas el campo D = (x2 + y2)1 (xax + yay); b) evaluar D en el
punto donde = 2, = 0.2 y z = 5, expresando el re- sultado en
componentes cilndricas y cartesianas. 1.20 Un cilindro de radio a y
centro sobre el eje z, gira con respecto al eje z con una ve-
locidad angular de rad/s. El sentido de rotacin es opuesto al de
las manecillas del reloj respecto a la direccin positiva del eje z.
a) Utilizando componentes cilndricas, obtener una expresin para el
campo de velocidad v, el cual proporcione la velocidad tangencial
en cualquier punto del cilindro; b) convertir a componentes
esfricas el re- sultado del inciso anterior; c) convertirlo a
componentes cartesianas. 1.21 Expresar en componentes cilndricas:
a) el vector desde C(3, 2, 7) hasta D(1, 4, 2); b) un vector
unitario en D dirigido hacia C; c) un vector unitario en D dirigido
ha- cia el origen. 1.22 Una esfera con centro en el origen y radio
a, gira con respecto al eje z a una veloci- dad angular de rad/s en
direccin opuesta a las manecillas del reloj en la direccin positiva
del eje z. a) Escribir una expresin, utilizando componentes
esfricas, del campo de velocidad v, que proporciona la velocidad
tangencial en cualquier punto de la esfera; b) convertirla a
componentes cartesianas. cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 24
- 48. Problemas 25 1.23 Una superficie cerrada est definida por
las superficies = 3, = 5, = 100, = 130, z = 3 y z = 4.5. a)
Encontrar el volumen encerrado; b) hallar el rea total de la
superficie encerrada; c) encontrar la longitud total de las doce
esquinas de las super- ficies; d) encontrar la longitud de la lnea
recta ms larga que est encerrada dentro del volumen. 1.24 Expresar
el campo E = Aar /r2 en a) coordenadas cartesianas; b) coordenadas
ciln- dricas. 1.25 Dado el punto P(r = 0.8, = 30, = 45) y E = 1/r2
(cos ar + sen /sen a), a) encontrar E en P; b) encontrar |E| en P;
c) hallar un vector unitario en la direccin de E en P. 1.26
Expresar el campo vectorial uniforme F = 5ax en a) componentes
cilndricas; b) com- ponentes esfricas. 1.27 Una superficie cerrada
est definida por las superficies r = 2 y 4, = 30 y 50 y = 20 y 60.
a) Encontrar el volumen encerrado; b) hallar el rea de la superfi-
cie encerrada; c) encontrar la longitud total de las doce orillas
de la superficie; d) ha- llar la longitud de la lnea recta ms larga
que se encuentra dentro de la superficie. 1.28 Expresar el campo
vectorial G = 8 sen a en a) componentes cartesianas; b) com-
ponentes cilndricas. 1.29 Expresar el vector unitario ax en
componentes esfricas en el punto: a) r = 2, =1 rad, = 0.8 rad; b) x
= 3, y = 2, z = 1; c) = 2.5, = 0.7 rad, z = 1.5. 1.30 Un campo
vectorial tiene el valor A = 12ar 5a + 15a en el punto B(5, 120,
75). Encontrar la componente vectorial de A que: a) es
perpendicular a la superficie r = 5; b) tangente a la superficie r
= 5; c) tangente al cono = 120. d) Encontrar un vector unitario que
sea perpendicular a A y tangente al cono = 120. cap. 1 ok 12/22/05
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- 49. 2 C A P T U L O 26 Ley de Coulomb e intensidad de campo
elctrico A hora que se ha formulado un nuevo lenguaje en el captulo
1, se establecern unos cuantos principios bsicos de electricidad y
se procurar describirlos en esos trmi- nos. Despus de haber
utilizado el clculo vectorial durante varios aos y teniendo algunas
ideas correctas acerca de la electricidad y el magnetismo, sera
posible dar un gran salto y de una vez presentar un puado de
ecuaciones, incluyendo las de Maxwell y algu- nas otras auxiliares,
y proceder a su descripcin fsica en virtud del conocimiento
adquiri- do del anlisis vectorial. Quiz sea ste el camino ideal:
comenzar con los resultados ms generales y entonces mostrar que las
leyes de Ohm, Gauss, Coulom