TEMA

Procesos Aleatorios

Densidad Espectral de Potencia

CURSO

Señales y Sistemas

Facultad de Ingeniería

Carrera de Ingeniería Electrónica Carrera de Telecomunicaciones y Redes

PROFESOR

Ing. Christian del Carpio Damián

PROCESOS

ALEATORIOS

2

CONCEPTO DEL PROCESO ALEATORIO

3

Una variable aleatoria “X” es, por definición, una función de

los resultados posibles “s de un experimento, ahora será

función tanto de s como del tiempo.

Se asigna a cada resultado s, de acuerdo con algún tipo de

regla, una función del tiempo.

),( stx

El conjunto de todas las funciones, designada por X(t,s), se

denomina proceso aleatorio.

4

• Un proceso aleatorio X(t,s) representa un conjunto de

funciones temporales cuando t y s son variables.

• Cada función temporal se denomina función muestra.

• Un proceso aleatorio también representa una sola función

temporal cuando t es una variable y s se fija en un valor

específico.

• Un proceso aleatorio también representa una variable

aleatoria cuando se fija t y s se considera una variable.

CONCEPTO DEL PROCESO ALEATORIO

5

Un proceso aleatorio se dice que es estacionario si todas sus

propiedades estadísticas no cambian con el tiempo.

Estacionaridad de primer orden

Un proceso aleatorio estacionario de primer orden implica

que:

1 1 1 1( ; ) ( ; )X Xf x t f x t

ESTACIONARIEDAD

6

Estacionariedad de segundo orden y en sentido amplio

Un proceso aleatorio estacionario de segundo orden implica

que:

1 2 1 2 1 2 1 2( , ; , ) ( , ; , )X Xf x x t t f x x t t

Por lo tanto las medidas estadísticas de segundo orden

permanecen invariantes en el tiempo si el intervalo de

separación entre las variables permanecen constantes.

ESTACIONARIEDAD

7

Para estacionaridad de segundo orden se tiene

1 2 1 2 1 21 2 1 1( , ) ( , ) ( )X X X X X XR t t R t t R

En forma general

ESTACIONARIEDAD

( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )XXR E X t X t X t X t

8

En un proceso aleatorio estacionario en el sentido amplio

(WS) se cumple que:

[ ( )] constante

[ ( ) ( )] ( )XX

E X t X

E X t X t R

ESTACIONARIEDAD

Un proceso aleatorio estacionario de segundo orden es un

proceso estacionario en el sentido amplio.

9

Ejemplo 1

Demostrar que el proceso aleatorio

es estacionario en sentido amplio si suponemos que A y ωo

son constantes y Θ es variable aleatoriamente

uniformemente distribuida en el intervalo (0, 2π).

0( ) cos( )X t A t

ESTACIONARIEDAD

10

La función de autocorrelación de un proceso aleatorio X(t) es

la correlación E[X1X2] de dos variables aleatorias X1=X(t1) y

X2=X(t2) definidas para el proceso en los instantes t1 y t2

LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN

1 2 1 2( , ) [ ( ) ( )]XXR t t E X t X t

( , ) [ ( ) ( )]XXR t t E X t X t

( ) [ ( ) ( )]XXR E X t X t

11

Propiedades de la autocorrelación

Para procesos WS, se tiene que:

2

(1) | ( ) | (0)

(2) ( ) ( )

(3) (0) [ ( )]

XX XX

XX XX

XX

R R

R R

R E X t

LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN

2

| |

(4) Si E[X(t)]=X 0 ( ) es ergódico

con componentes no periódicos entonces

( ) [ ]XX

y X t

lim R E x

12

Propiedades de la autocorrelación

Para procesos WS, se tiene que:

XX(5) Si X(t) tiene una componente periódica entonces R ( )

tendrá una componente periódica con el mismo periodo

| |

(6) Si X(t) es un proceso ergódico con valor medio igual a cero y

no tiene componentes periódicas entonces

lim ( ) 0

(7) ( ) no puede tener

XX

XX

R

R

forma arbitraria

LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN

13

Se define el coeficiente de autocorrelación como:

( ) ( ) , 1 ( ) 1

(0)

XXXX XX

XX

R

R

LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN

14

Ejemplo 2

Un proceso estacionario WS X(t) presente una función de

autocorrelación de la siguiente figura. Si la varianza del

proceso es igual a 0.25. Se pide graficar la media E[X(t)] en

el tiempo.

LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN

RXX

()

2

15

Ejemplo 3

Dada la siguiente función de autocorrelación para un proceso

ergódico estacionario con componentes no periódicas

Halle la varianza del proceso.

2

4( ) 25

1 6XXR

ESTACIONARIEDAD

16

CORRELACIÓN CRUZADA

( , ) [ ( ) ( )]XYR t t E X t Y t

( ) [ ( ) ( )] XYR E X t Y t

Si X(t) e Y(t) son al menos conjuntamente estacionarios en

sentido amplio, entonces

17

CORRELACIÓN CRUZADA

Propiedades de la correlacion cruzada:

(1) Si ( , ) 0

entonces X(t) e Y(t) se dice que son procesos ortogonales

XYR t t

(2) Si dos procesos son estadísticamente independientes, entonces

( , ) [ ( )] [ ( )]

Si, además de ser independientes X(t) e Y(t) son al menos

estac

XYR t t E X t E Y t

ionarios en sentido amplio, entonces ( ) XY

XYR

18

PROCESOS ERGÓDICOS

Media Temporal

• Sea X(t) un proceso aleatorio

• Se define la media temporal como

1lim ( )

2

T

TT

x x t dtT

1

0

1( )

N: número de muestras

N

n

x x nN

19

PROCESOS ERGÓDICOS

Valor cuadrático medio Temporal

• Sea X(t) un proceso aleatorio

• Se define el valor cuadrático medio temporal como

2 21lim ( )

2

T

TT

x x t dtT

12 2

0

1( )

N: número de muestras

N

n

x x nN

20

PROCESOS ERGÓDICOS

Autocorrelación temporal

• Sea X(t) un proceso aleatorio

• Se define la función temporal de autocorrelación como

1( ) lim ( ) ( )

2

T

TT

x t x t dtT

1

0

1( ) ( ) ( )

N

n

m x n x n mN

21

PROCESOS ERGÓDICOS

Todos los promedios temporales son iguales a los

correspondientes promedios estadísticos

[ ]

[ ( )] ( )XX

E x X

E R

22

PROCESOS ERGÓDICOS

Ejemplo 4

Si se tiene la siguiente figura, hallar la autocorrelación

temporal RXX(m)

( )x n

n1

1

0 2

3

2

23

PROCESOS ERGÓDICOS

Ejemplo 5

Una señal X(t) es modelada como un proceso aleatorio

ergódico de distribución uniforme en el rango [-5 15]. De

acuerdo a ello se pide determinar la potencia media del

proceso.

24

EL PROCESO ALEATORIO GAUSSIANO

11[ ] [ ] [ ]

2

1 2 1 2( , ,...., ; , ,...., )(2 ) | [ ] |

TXx x C x x

X N NN

X

ef x x x t t t

C

1 1 2 1

2 1 2

1 2

2

2

2

N

N N N

X X X X X

X X X

X

X X X X X

C C

CC

C C

11

22X.

Nn

x X

x Xx

x X

25

EL PROCESO ALEATORIO GAUSSIANO

Varianza: si es alta, el proceso se despega mucho de la

media.

Covarianza: alta correlación entre muestras representa alta

covarianza

26

PROCESOS DETERMINÍSTICOS

Un proceso es determinístico si valores futuros de una

función muestra pueden ser predecidos por valores

pasados.

27

PROCESOS DETERMINÍSTICOS

Ejemplo 6

El proceso aleatorio

Ejemplo 7

Sea x(t)=A donde A es una v.a. con fA(A) de finido como:

0( ) cos( )X t A t

( )Af A

-5 5

1/10

DENSIDAD

ESPECTRAL DE

POTENCIA

28

29

DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

t

-T T

x(t)

( ) ( )

0 en otro caso T

x t T t Tx t

30

DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

( ) ( ) ( )T T

j t j t

T TT T

X x t e dt x t e dt

2 2( ) ( ) ( )T T

TT T

E T x t dt x t dt

La energía contenida en x(t) en el intervalo (-T, T)

2 21( ) ( ) | ( ) |

2

T

TT

E T x t dt X d

Por el teorema de Parseval se tiene:

La transformada de Fourier de xT(t) será

31

DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

22 | ( ) |1 1

( ) ( )2 2 2

TT

T

XP T x t dt d

T T

La potencia media P(T) de x(t) en el intervalo (-T, T) será

La función anterior no representa la potencia de una función

muestra completa

32

DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

Potencia media

22 | ( ) |1 1

lim ( ) lim2 2 2

T

TXX

T TT

XP x t dt d

T T

2| ( ) |1lim

2 2

TXX

T

XP d

T

2| ( ) |( ) lim

2

TXX

T

XS

T

33

DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

Para procesos aleatorios, se tiene que:

22 [| ( ) | ]1 1

lim [ ( )] lim2 2 2

T

TXX

T TT

E XP E x t dt dt

T T

Por tanto se tiene que:

2[| ( ) | ]( ) lim

2

TXX

T

E XS

T

34

DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

Propiedades de la DEP

2

2

(1) ( ) 0

(2) S ( ) ( ) X(t) real

(3) S ( )

1(4) ( ) [ ( )] (0)

2

1 1(5) ( ) lim [ ( )]

2 2

XX

XX XX

XX

XX XX XX

T

XX XXT

T

S

S

es real

S d E X t R P

P S d E x t dtT

35

DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

Para procesos WS, se tiene

( ) ( )

( ) ( )

1( ) ( )

2

F

XX XX

j

XX XX

j

XX

R S

S R e d

R S e d

2 21 ( ) ( ) (0)

2XX XX XXP S d E x t x R

36

Ejemplo 8

Para

Donde Θ es variable aleatoriamente uniformemente

distribuida en el intervalo (0, 2π). Determinar la DEP del

proceso

0( ) cos( )X t A t

DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

37

PROCESO ALEATORIO BLANCO

Una función muestra n(t) de un proceso aleatorio de ruido

estacionario en sentido amplio N(t) se denomina ruido

blanco si la DEP de N(t) es una constante a todas las frecuencias. Por tanto se tiene

0 ( ) / 2NNS N

38

PROCESO ALEATORIO BLANCO – pasa bajas

0

0

42 P

2nn

NB

N B

0

2 R ( )

2nn

sen BN B

B

B es el ancho de banda en Hz

39

PROCESO ALEATORIO BLANCO – pasa banda

0 Pnn N B

0 R ( ) cos( )nn

sen BN B

B

B es el ancho de banda en Hz

40

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

ENTRADA/SALIDA

( )H

Sistema Lineal

X( )t Y( )t

Proceso Aleatorio

entrada

Proceso Aleatorio

salida

( )YYS ( )XXS ( )H

Sistema Lineal

41

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

ENTRADA/SALIDA

2 ( ) ( ) ( )YY XXS H S

42

Additive White Gaussian Noise (AWGN)

y( ) ( ) ( )t x t n t

Se asume en la mayoría de los casos como siendo WS

+ y( ) ( ) ( )t x t n t ( )x t

( )n t

AWGN

SEÑAL

43

Relación Señal / Ruido

SNR (Signal to Noise Ratio)

10log10 XXdB

nn

PSNR

P

:

:

XX

nn

P Potencia de la señal

P Potencia del Ruido

44

Relación Señal / Ruido

SNR (Signal to Noise Ratio)

Receptor

FILTRO

H(w) z( )t+

y( )t( )x t

( )n tAWGN

z( ) '( ) '( )t x t n t

45

FUENTE:

PEYTON Z. PEEBLES, Jr. “Principios de probabilidad,

variables aleatorias y señales aleatorias” McGraw-

Hill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, 4ª ed., 2006