Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Límites infinitos

   Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.

 Crecimiento infinito:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Decrecimiento infinito:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Teorema de límite13:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Teorema de límite14:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Teorema de límite15:

 Teorema de límite16:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Teorema de lìmite 17:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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     Una asíntota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente. Trazar las asíntotas, tanto verticales como horizontales (más adelante nos ocuparemos de estas últimas), es de gran ayuda para dibujar la gráfica de una función.

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Asíntota vertical:Una asíntota vertical es una recta paralela al eje y.Se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función  f  si por lo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Ejercicios resueltos

  En los ejercicios 1 a 7, determine el límite. En los ejercicios 9 a 11. encuentre la(s) asíntota(s) vertical(es) de la gráfica de la función y trácela(s).

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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S o l u c i o n e s

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 1. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 2. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 3. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 4. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 5. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 6. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Teoremas de límites

  Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.

 Teorema de límite1:Si  k es una constante y a un número cualquiera, entonces

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Teorema de límite2:Para cualquier número dado a,

 Teorema de límite3:Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Teorema de límite4:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Teorema de límite5:

 Teorema de límite6:Si  f es un polinomio y a es un número real, entonces

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Teorema de límite7:Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

 Teorema de límite8:

 

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Procedimiento para calcular límites     Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4  implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racional y la propiedad 4 (III) también.     Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indeterminada 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que, una vez hecha la simplificación pertinente, se pueda evitar la división por cero: para

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc.

 Ejercicios resueltos          Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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S o l u c i o n e s

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 1. Solución

 2. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 3. Solución:

 4. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 5. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 6. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1:

 7. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL7 o el TL4(III):

 8. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma indeterminada 0/0;por lo que, se debe factoriazar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del TL6:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 9. Solución:No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el límite:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 10. Solución:Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7  y  TL8:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 11. Solución:El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límite mediante los TL7  y  TL6:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 12. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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eorema de estricción

 El llamado teorema de estricción, de intercalación, o del "sandwiche" es importante para la demostración de otros teoremas. También se utiliza el teorema de estricción para calcular cierta clase de límites. Teorema de estricción (TL9):

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Demostración:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Teorema de límite10:

 Teorema de límite11:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estricción para encontrar el límite. En los ejercicios 5a 14, determine el límite, si es que existe.

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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S o l u c i o n e s

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 1. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 2. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 3. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 4. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

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 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

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 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

 

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

Límites unilaterales

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

 Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido.Ejemplo:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Límite unilateral por la derecha:Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Límite unilateral por la izquierda:Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Teorema de límite12:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

 Ejercicios resueltos          En los ejercicios 1 a 4, trace la gráfica y determine el límite indicado si existe; si no existe, dé la razón:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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S o l u c i o n e s 1. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 2. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

 3. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 4. Solución:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Límites en el infinito

 Teorema de límite18:

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Asíntota horizontal:Una asíntota horizontal es una recta paralela al eje x.

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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 Teorema de límite19:

 Ejercicios resueltos

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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S o l u c i o n e s

 

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

 

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

 

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d a d

Funciones continuas

Continuidad de una función

 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

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