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7/25/2019 Totales Permutaciones Carrasco
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Ejercicios de Permutaciones
1. De cuntas maneras pueden hacer cola 7 amigos que estnesperando para entrar al cine? Tenemos que formar grupos con los 7amigos.
Res. !"!
#. Tenemos que formar grupos de elementos donde el primero se repite# $eces % el segundo & $ecesRes. 1!
&. De cuntas maneras se pueden sentar 1! personas en una mesacircular?Res. &'#((!
". )untos n*meros distintos se pueden formar con las cifras
#11"""(++?Res. 11#!!
. En una parada de auto,*s estn esperando tres amigas % dos personasma%ores. De cuntas maneras pueden sentarse estas cinco personassi las tres amigas quieren estar siempre juntas para poder ha,lar entreellas?Res.&'
'. De cuntas formas distintas se pueden sentar tres chicos % dos chicasen una -la de ,utacas de cine si no pueden estar juntos ni dos chicos ni
dos chicas?)onsideremos la siguiente notacin/
a. 0/ chicob. / chica
Res.1#
7. En una estanter2a ca,en 1( li,ros. 3a% 7 li,ros de lge,ra4 & de clculo% ' de pro,a,ilidad. De cuntas maneras se pueden colocar estos 1(li,ros? 56os li,ros del mismo tipo se consideran indistingui,les entre s2.Res. #+"!&7'!
(. )on las cifras #4 #4 #4 &4 &4 &4 &4 "4 "8 cuntos n*meros de nue$e cifrasse pueden formar?Res. 1#'!
+. De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo def*t,ol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicindistinta que la porter2a?Res.1!9
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1!. )untas maneras diferentes ha% de asignarlas posiciones de salida de ( autos que participan en una carrera defrmula uno? 5)onsidere que las posiciones de salida de los autosparticipantes en la carrera son dadas totalmente al a:ar ,. )untas
maneras diferentes ha% de asignar los primeros tres premios de estacarrera de frmula uno?Res.a. "!4! manerasb. &&' manerasc.
11. ;n $endedor quiere $isitar ciudades 5porejemplo l,acete4 isten cuando quitamos losque tienen todas sus cifras iguales?Res. (+1
1&. En una carrera de maratn inter$ienen &espaoles4 # ingleses4 1 italiano4 & alemanes4 # franceses % 1 ,elga. =iun pdium consiste en & personas situadas en & puestos distintos4cuntos pdiums distintos pueden darse al aca,ar la carrera?Res. 1!
1". )untos n*meros de cifras son di$isi,lespor ?Res. (!!! n*meros de cifras di$isi,les por .
1. De cuntas formas podemos contestar une>amen de 1# preguntas de opcin m*ltiple4 si cada pregunta tiene alternati$as de respuesta8 pero no sa,emos cul es la com,inacincorrecta?4 cul es el n*mero m>imo de intentos que podemosreali:ar antes de encontrar las doce preguntas correctas?
Res.
1'. )untos n*meros de tres cifras conrepeticin se pueden formar usando todos los siguientes d2gitos 74 "4 (44 &?
Res.
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17. @ueremos a,rir un candado de com,inacinde " anillos4 cada uno marcado con los d2gitos 14 #4 &4 "4 8 pero nosa,emos cul es la com,inacin correcta.Res. '#"
1(. =upongamos que tenemos #! nios de ungrupo de Preescolar % 1! sa,ores de helados disponi,les. De cuntasformas diferentes podemos ser$ir un helado a #! nios?
Res.
1+. En una urna ha% + ,olas4 & ,lancas4 # rojas %" negras. De cuantas formas distintas se pueden e>traer las ,olas dela urna?Res. 1#'!
#!. En una competicin deporti$a participan "equipos de & atletas cada uno. De cuntas formas diferentes puedenllegar los equipos?Res. &'+'!!
#1. El $endedor puede elegir la primera ciudadque $isitar de entre las . Elegir la segunda ciudad que $isitar deentre las " restantes. Para la tercera ciudad tiene & opciones. Para lacuarta4 #. A para la *ltima4 1.Res. 1#!
##. )untos n*meros de & cifras 5donde laprimera por la i:quierda no es un cero e>isten cuando quitamos losque tienen todas sus cifras iguales?Res. (+1
#&. En una carrera de maratn inter$ienen &espaoles4 # ingleses4 1 italiano4 & alemanes4 # franceses % 1 ,elga. =iun pdium consiste en & personas situadas en & puestos distintos4cuntos pdiums distintos pueden darse al aca,ar la carrera?Res. 1!
#". )untos n*meros de cifras son di$isi,lespor ?Res. 1(!!!
#. De cuantas formas diferentes puedecontestar un alumno " preguntas de falso % $erdadero?Res. &'
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#'. De cuantos formas distintas se puedencolocar ( personas en una -la para tomar una fotoRes. (
#7. =e tiene ,anderas de diferentes colores )uantas seales
diferentes se pueden en$iar usando las al mismo tiempo?Res. 1#!
#(. De cuantas maneras se pueden repartirse &premios a un conjunto de ( personas4 suponiendo que cada una nopuede reci,ir ms de un premioRes. &&'
#+. )uantos mensajes pueden en$iar con 1#,anderas utili:adas todas si son " amarillas & $erdes % # rojasRes. 1''!!
&!. De un grupo de ' economistas + ingenieros se $a a formar unacomisin. En cuantas formas distintas pueden seleccionarse si lacomisin de,e estar formada por " personas % de,en ser economistas% # ingenierosRes. #1'!
&1. De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas enuna -la de ,utacas?Res. "!!
. )untos n*meros de cifras diferentes se puede formar con losd2gitos/ 14 #4 &4 "4 .Res. 1#!
&&. )untos n*meros de tres cifras se puede formar con los d2gitos/!4 14 #4 &4 "4 ?Res. 1(!
&". De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personasalrededor de una mesa redonda?Res. !"!
&. )untas quinielas de una columna han de rellenarse paraasegurarse el acierto de los 1 resultados?Res. 1"&"(+!7
&'. )on las letras de la pala,ra li,ro4 )untas ordenaciones distintasse pueden hacer que empiecen por $ocal?Res. "(
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&7. )untos n*meros de cinco cifras distintas se pueden formar conlas cifras impares?Res. 1#!
&(. En el palo de seales de un ,arco se pueden i:ar tres ,anderasrojas4 dos a:ules % cuatro $erdes. )untas seales distintas puedenindicarse con la colocacin de las nue$e ,anderas?Res. 1#'!
&+. ;na mesa presidencial est formada por ocho personas4 decuantas formas distintas se pueden sentar4 si el presidente % elsecretario siempre $an juntos?Res. 1!!(!
"!. =e ordenan en una -la ,olas rojas4 # ,olas ,lancas % & ,olas
a:ules. =i las ,olas de igual color no se distinguen entre s24 de cuantasformas posi,les pueden ordenarse?Res. ##!
"1. De cuantas formas diferentes se pueden cu,rir los puestos depresidente4 $icepresidente % tesorero de un clu, de fut,ol sa,iendo queha% 1# posi,les candidatos?Res. 1!
"#. )uatro li,ros distintos de matemticas4 seis diferentes de f2sica %dos diferentes de qu2mica se colocan en un estante. De cuantas formas
distintas es posi,le ordenarlos si/a. 6os li,ros de cada asignatura de,en estar todos juntos.b. =olamente los li,ros de matemticas de,en estar juntos.
Res. a. #!7&'! ,. (7!+1#!
"&. ;na helader2a tiene 1' sa,ores disponi,les. De cuantas formasse pueden pedir ' helados si/
a. Bo se elige el mismo sa,or ms de una sola $e:?b. =e puede pedir un mismo sa,or hasta ' $eces?c. ;n sa,or no se puede pedir ms de $eces?d. 6a mitad de,e ser de fresa?
Res. a. (!!( ,. 1'777#1' c. 17#('"+ d. &&7
"". En un lenguaje de computacin un identi-cador consta de unaletra o de una letra seguida de hasta siete s2m,olos que pueden serletra o d2gitos. 5En este lenguaje son indistingui,les las letrasma%*sculas % min*sculas. 3a% #' letras % 1! d2gitos. )untosidenti-cadores diferentes se pueden utili:ar en el lenguaje de lacomputacin?
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Res. 2.09571012
". En cualquier set de un partido de tenis el oponente C puede$encer al oponente A de siete maneras. 5)on el marcador ' ' sejuega un desempate/ tie ,reaer. El primer tenista que gane tres setso,tiene la $ictoria. De cuantas maneras se pueden registrar losresultados si/
a. C gana en sets?b. Para ganar el partido se necesita jugar como m2nimo tres sets?
Res. a. '7##( ,. 7"77"
"'. )on las letras de la pala,ra FG0;=EF )untas pala,ras distintasse pueden formar?Res. 1#!
"7. )on los d2gitos impares4 )uantos nueros de " cifras distintaspuede formar?Res. #"
"(. @ueremos ordenar los 7 li,ros que tenemos/ " son deGatemticas4 # de 6egua % 1 de f2sica5los de una misma materia soniguales De cuantas formas podemos ordenarlos en el estante?Res. 1#'!
"+. De cuntos partidos consta una liguilla formada por cuatroequipos?Res. 1#
!. De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de unequipo de f*t,ol teniendo en cuenta que el portero no puede ocuparotra posicin distinta que la porter2a? Disponemos de 1! jugadores quepueden ocupar 1! posiciones distintas.Res. "&'#((!!
1. =e ,usca las diferentes ternas 5 H & que se pueden formar conlos 1! atletas 5n H 1!Res. 7#!
#. De cuntas maneras diferentes se podrn u,icar las cifras del 1al 7 en la siguiente -gura?
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Res. ("!
&. 6a mesa de in$itados en una ,oda est formada por ochoser$icios4 De cuntas formas distintas se pueden sentar los in$itados?Res. !"!
". En una asam,lea de accionistas4 ha% ' personas que hansolicitado hacer uso de la pala,ra En cuntas rdenes diferentespueden ha,lar4 si es que no se ha esta,lecido un orden de prioridades?Res. 7#!
. En un proceso de manufactura ha% seis operaciones distintas4que se indican con 4 iste una secuencia-ja para las operaciones4 con la sal$edad de que de,e efectuarse alprincipio % I al -nal. )untas secuencias diferentes pueden ocurrir?Res. #"
'. E>isten 7 candidatos para desempear & tareas4 si todos loscandidatos son igualmente e-cientes4 De cuntas maneras se puedenefectuar la asignacin?Res. #1!
7. )untas maneras ha% de asignar las posiciones de juego de unequipo de ,squet,ol4 si el equipo consta de 1# integrantes?4 ,.)untas maneras ha% de asignar las posiciones de juego si una deellas solo puede ser ocupada por ;riel JosK Espar:a?4 c. )untasmaneras ha% de que se ocupen las posiciones de juego si es necesarioque en una de ellas este ;riel JosK Espar:a % en otra 0mar 6una?Res. +!"!
(. 0,tenga todas las seales posi,les que se pueden disear conseis ,anderines4 dos de los cuales son rojos4 tres son $erdes % uno
morado.Res. '!
+. El n*mero uno inicial nos indica que e>iste una sola manera deseleccionar el n*mero dos que $a en la primera posicin del arreglo4mientras que el n*mero uno -nal nos indica que ha% una sola manerade seleccionar el n*mero tres que $a al -nal del arreglo a*n % cuandoha%a cuatro n*meros tres4 como estos son iguales al disear una
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permutacin es indistinto cul n*mero tres se ponga4 %a que siemprese tendr el mismo arreglo % la e>presin intermedia nos indica todoslos arreglos posi,les a reali:ar con los n*meros restantes. De cuntasmaneras es posi,le plantar en una l2nea di$isoria de un terreno dosnogales4 cuatro man:anos % tres ciruelos? =olucin/
Res. 1#'!
'!. ;n equipo de f*t,ol soccer femenil participa en 1# juegos en unatemporada4 cuntas maneras ha% de que entre esos doce juegos enque participa4 o,tenga 7 $ictorias4 & empates % # juegos perdidos?Res. 7+#!
'1. a )untas cla$es de acceso a una computadora ser posi,ledisear con los n*meros 14 14 14 #4 &4 &4 &4&?4 , cuntas de las cla$esanteriores empie:an por un n*mero uno seguido de un dos?4 ccuntas de las cla$es del inciso a empie:an por el n*mero dos %
terminan por el n*mero tres?Res. a. #(! ,. 1 c. #!
EJER)L)L0= RE=;E6T0=1. De cuntas maneras pueden hacer cola 7 amigos que estn
esperando para entrar al cine? Tenemos que formar grupos con los 7
amigos.
=e $eri-ca que en cada grupo/=2 entran todos los elementos.=2 importa el orden.Bo se repiten los elementos.El n*mero de permutaciones sin repeticin de 7 elementos es/
#. Tenemos que formar grupos de elementos donde el primero se repite# $eces % el segundo & $eces.
Tenemos que formar grupos de elementos donde el primero se repite# $eces % el segundo & $eces. Tenemos que formar grupos de elementos donde el primero se repite # $eces % el segundo & $eces.=e $eri-ca que en cada grupo/=2 entran todos los elementos.=2 importa el orden.=2 se repiten los elementos.
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El n*mero de permutaciones con repeticin de elementos donde unose repite dos $eces % otras tres $eces es/
&. De cuntas maneras se pueden sentar 1! personas en una mesa
circular?)omo las personas estn colocadas alrededor de una circunferencia4 sitrasladamos a todas las personas un asiento4 o,tenemos una posicinque es e>actamente igual que la anterior. =e trata entonces depermutaciones circulares de 1! elementos.
". )untos n*meros distintos se pueden formar con las cifras#11"""(++?
Tenemos que formar grupos de 1! elementos donde el primero se
repite dos $eces4 el segundo una $e:4 el tercero tres $eces4 el cuartouna $e:4 el quinto una $e: % el se>to dos $eces.=e $eri-ca que en cada grupo/=2 entran todos los elementos.=2 importa el orden.=2 se repiten los elementos.El n*mero de permutaciones con repeticin de 1! elementos dondetres de ellos se repiten una $e:4 dos de ellos se repiten dos $eces % unotres $eces es/
. En una parada de auto,*s estn esperando tres amigas % dos personasma%ores. De cuntas maneras pueden sentarse estas cinco personassi las tres amigas quieren estar siempre juntas para poder ha,lar entreellas?
6as tres amigas $an siempre juntas4 as2 que tenemos que formargrupos con estas tres amigas.=e $eri-ca que en cada grupo/=2 entran todos los elementos.
=2 importa el orden.Bo se repiten los elementos.El n*mero de permutaciones sin repeticin de & elementos es/
hora ha% que tener en cuenta la manera en la que se sientan las tresamigas % las dos personas ma%ores. =i consideramos al grupo de lasamigas como una unidad4 tenemos el grupo de las amigas4 una
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persona ma%or % otra persona ma%or4 es decir4 & elementos. s2 quetenemos que $ol$er a hallar el n*mero de permutaciones sin repeticinde & elementos.
'. De cuntas formas distintas se pueden sentar tres chicos % dos chicasen una -la de ,utacas de cine si no pueden estar juntos ni dos chicos nidos chicas?)onsideremos la siguiente notacin/
a. 0/ chico,. / chica
)omo no pueden sentarse ni dos chicos ni dos chicas juntos4 la maneraen la que se sentarn es/000Es decir4 la -la tiene que empe:ar % aca,ar por chico necesariamente.
;n chico puede ocupar entonces las posiciones 14 & % . Entonces parasa,er de cuantas maneras se pueden sentar los chicos tenemos queformar grupos con los & chicos.=e $eri-ca que en cada grupo/=2 entran todos los elementos.=2 importa el orden.Bo se repiten los elementos.El n*mero de permutaciones sin repeticin de & elementos es/
De manera anloga4 las chicas pueden ocupar las posiciones # % ".
Entonces para sa,er de cuntas maneras se pueden sentar las chicastenemos que formar grupos con las dos chicas.s2 que el n*mero de permutaciones sin repeticin de # elementos es/
7. En una estanter2a ca,en 1( li,ros. 3a% 7 li,ros de lge,ra4 & de clculo% ' de pro,a,ilidad. De cuntas maneras se pueden colocar estos 1(li,ros? 56os li,ros del mismo tipo se consideran indistingui,les entre s2.
Tenemos que formar grupos de 1( elementos donde uno se repite 7
$eces4 otras & $eces % otras ' $eces. )omo no nos dicen nada acercade los dos restantes4 suponemos que ha% uno de cada tipo distintos alos tipos anteriores.=e $eri-ca que en cada grupo/=2 entran todos los elementos.=2 importa el orden.=2 se repiten los elementos.
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El n*mero de permutaciones con repeticin de 1( elementos dondeuno se repite 7 $eces4 otro &4 otras ' $eces4 % los dos *ltimos una $e:es/
(. )on las cifras #4 #4 #4 &4 &4 &4 &4 "4 "8 cuntos n*meros de nue$e cifrasse pueden formar?
m H + a H & , H " c H # a M , M c H +=2 entran todos los elementos.=2 importa el orden.=2 se repiten los elementos.
+. De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de
f*t,ol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicindistinta que la porter2a?
Disponemos de 1! jugadores que pueden ocupar 1! posicionesdistintas.=2 entran todos los elementos.=2 importa el orden.Bo se repiten los elementos.
1!. )untas maneras diferentes ha% de asignar
las posiciones de salida de ( autos que participan en una carrera defrmula uno? 5)onsidere que las posiciones de salida de los autosparticipantes en la carrera son dadas totalmente al a:ar ,. )untasmaneras diferentes ha% de asignar los primeros tres premios de estacarrera de frmula uno?
a n H (4 r H ((P(H (9 H ( > 7 > ' > > " >......> 1H "!4! maneras de asignar lasposiciones de salida
, n H(4 r H &
P 5(4& H (9 N 5( &9 H (9 N 9 H 5( > 7 > ' > >O>1N 5 > " > & >O >1H &&' maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera
11. ;n $endedor quiere $isitar ciudades 5porejemplo l,acete4
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El $endedor puede elegir la primera ciudad que $isitar de entre las .Elegir la segunda ciudad que $isitar de entre las " restantes. Para latercera ciudad tiene & opciones. Para la cuarta4 #. A para la *ltima4 1.s2 que puede ela,orar " & # 1 H 1#! rutas distintas.Podemos utili:ar tam,iKn la frmula de las permutaciones % decir que/
1#. )untos n*meros de & cifras 5donde laprimera por la i:quierda no es un cero e>isten cuando quitamos losque tienen todas sus cifras iguales?
Qamos a calcular cuntos n*meros e>isten de & cifras4 % luegorestaremos la cantidad de los que tienen las & cifras iguales.Podemos elegir la primera cifra de entre + posi,ilidades 514 #4 &4 "4 4 '474 (4 +. 6as siguientes dos cifras podemos elegirlas deentre 1! posi,ilidades cada una 5los 1! guarismos.
s2 que e>isten + 1! 1! H +!! n*meros de & cifras.De Kstos4 un total de + tienen todas su cifras repetidas 51114 ###4 &&&4"""4 4 '''4 7774 (((4 +++. s2 que la cantidad de n*meros pedidaes de +!! + H (+1
1&. En una carrera de maratn inter$ienen & espaoles4 # ingleses4 1italiano4 & alemanes4 # franceses % 1 ,elga. =i un pdium consiste en &personas situadas en & puestos distintos4 cuntos pdiums distintospueden darse al aca,ar la carrera?
Tenemos un total de & M # M 1 M & M # M 1 H 1# corredor. El primer
puesto lo puede alcan:ar cualquiera de los 1# corredores. El segundoest al alcance de 11 corredores4 % el tercero puede ser para cualquierade los 1! restantes.s2 que e>isten 1# 11 1! H 1! distintos pdiums posi,les.Tam,iKn podemos utili:ar la frmula de las $ariaciones sin repeticin
1". )untos n*meros de cifras son di$isi,les por ?
Para que un n*mero sea di$isi,le por cinco de,e aca,ar en ! o 4 as2
que/Podemos elegir la primera cifra de entre + 514 #4 &4 "4 4 '4 74 (4 +4 si laprimera cifra es ! no cuenta como n*mero de cifras. Podemos elegirla segunda cifra de entre 1! 5nos $ale cualquier guarismo. Tam,iKnpodemos elegir de entre 1! la tercera % la cuarta cifra. 6a *ltima cifrasolo puede ser ! 4 lo que nos da solo # posi,ilidades.s2 que e>iste un total de + 1! 1! 1! # H 1(!!! n*meros de cifras di$isi,les por .
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1. De cuntas formas podemos contestar une>amen de 1# preguntas de opcin m*ltiple4 si cada pregunta tiene alternati$as de respuesta8 pero no sa,emos cul es la com,inacincorrecta?4 cul es el n*mero m>imo de intentos que podemos
reali:ar antes de encontrar las doce preguntas correctas?
Para responder cada una de las preguntas del e>amen4 tenemos alternati$as4 % son 1# preguntas4 por lo que
1'. )untos n*meros de tres cifras conrepeticin se pueden formar usando todos los siguientes d2gitos 74 "4 (44 &?
)omo se pueden repetir los d2gitos % son de ellos4 podemos colocar
en la posicin de las centenas cualquiera de los cinco % en la posicinde las decenas tam,iKn d2gitos al igual que en la posicin de lasunidades4 por lo tanto4 el resultado es
17. @ueremos a,rir un candado de com,inacinde " anillos4 cada uno marcado con los d2gitos 14 #4 &4 "4 8 pero nosa,emos cul es la com,inacin correcta.
En cada uno de los " anillos pueden ponerse los d2gitos. s2que n=5% r=44 por lo que el n*mero total de posiciones es/
Pero como una de estas '# es la correcta4 el n*mero m>imo deincorrectos es '#".
1(. =upongamos que tenemos #! nios de ungrupo de Preescolar % 1! sa,ores de helados disponi,les. De cuntasformas diferentes podemos ser$ir un helado a #! nios?
l primer nio le podemos ser$ir uno de los 1! sa,ores4 al segundonio tam,iKn le podemos ser$ir los 1! sa,ores4 al tercero tam,iKn4 %
as2 sucesi$amente. cada uno de los #! nios le podemos ser$ir de los1! sa,ores4 por lo que es una permutacin repetida.
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1+. En una urna ha% + ,olas4 & ,lancas4 # rojas %" negras. De cuantas formas distintas se pueden e>traer las ,olas dela urna?
l tener tres ,olas ,lancas4 a efectos de ordenacin se consideran
iguales4 lo mismo ocurre con las rojas % las negras.6as posi,les ordenaciones son/
#!. En una competicin deporti$a participan "equipos de & atletas cada uno. De cuntas formas diferentes puedenllegar los equipos?
la hora de ela,orar la clasi-cacin por equipos los atletas seconsideran idKnticos.
El n*mero de posi,les clasi-caciones es/
#1. El $endedor puede elegir la primera ciudadque $isitar de entre las . Elegir la segunda ciudad que $isitar deentre las " restantes. Para la tercera ciudad tiene & opciones. Para lacuarta4 #. A para la *ltima4 1.
s2 que puede ela,orar " & # 1 H 1#! rutas distintas.Podemos utili:ar tam,iKn la frmula de las permutaciones % decir que/
##. )untos n*meros de & cifras 5donde laprimera por la i:quierda no es un cero e>isten cuando quitamos losque tienen todas sus cifras iguales?
Qamos a calcular cuntos n*meros e>isten de & cifras4 % luegorestaremos la cantidad de los que tienen las & cifras iguales.Podemos elegir la primera cifra de entre + posi,ilidades 514 #4 &4 "4 4 '474 (4 +. 6as siguientes dos cifras podemos elegirlas de entre 1!posi,ilidades cada una 5los 1! guarismos.s2 que e>isten + 1! 1! H +!! n*meros de & cifras.
De Kstos4 un total de + tienen todas su cifras repetidas 51114 ###4 &&&4"""4 4 '''4 7774 (((4 +++. s2 que la cantidad de n*meros pedidaes de +!! + H (+1
#&. En una carrera de maratn inter$ienen &espaoles4 # ingleses4 1 italiano4 & alemanes4 # franceses % 1 ,elga. =iun pdium consiste en & personas situadas en & puestos distintos4cuntos pdiums distintos pueden darse al aca,ar la carrera?
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Tenemos un total de & M # M 1 M & M # M 1 H 1# corredores. El primerpuesto lo puede alcan:ar cualquiera de los 1# corredores. El segundoest al alcance de 11 corredores4 % el tercero puede ser para cualquierade los 1! restantes.
s2 que e>isten 1# 11 1! H 1! distintos pdiums posi,les.Tam,iKn podemos utili:ar la frmula de las $ariaciones sin repeticin.
#". )untos n*meros de cifras son di$isi,lespor ?
Para que un n*mero sea di$isi,le por cinco de,e aca,ar en ! 4 as2que/
Podemos elegir la primera cifra de entre + 514 #4 &4 "4 4 '4 74 (4 +4 si laprimera cifra es ! no cuenta como n*mero de cifras. Podemos elegirla segunda cifra de entre 1! 5nos $ale cualquier guarismo. Tam,iKnpodemos elegir de entre 1! la tercera % la cuarta cifra. 6a *ltima cifrasolo puede ser ! 4 lo que nos da solo # posi,ilidades.
s2 que e>iste un total de+ 1! 1! 1! # H 1(!!!
#. De cuantas formas diferentes puedecontestar un alumno " preguntas de falso % $erdadero?
P 5"4"H 5".&.#.1 H &'
#'. De cuantos formas distintas se puedencolocar ( personas en una -la para tomar una foto
P 5(41H(
#7. =e tiene ,anderas de diferentes colores
)uantas seales diferentes se pueden en$iar usando las al mismotiempo?
P 54H 5.".&.#.1H1#!#(. De cuantas maneras se pueden repartirse &
premios a un conjunto de ( personas4 suponiendo que cada una nopuede reci,ir ms de un premio
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n5n5
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P5=5 !=120
&(. En el palo de seales de un ,arco se pueden i:ar tres ,anderasrojas4 dos a:ules % cuatro $erdes. )untas seales distintas puedenindicarse con la colocacin de las nue$e ,anderas?
n=9Rojas=3azules=2verdes=2 ;rojas+azules+verdes=9
deopciones= 9!
3!4 !2!=1260 5Permutacin con repeticin
&+. ;na mesa presidencial est formada por ocho personas4 decuantas formas distintas se pueden sentar4 si el presidente % elsecretario siempre $an juntos?
Presidente % secretario siempre juntosP=
P2
P7
=2!4 !=27654321=10080
"!. =e ordenan en una -la ,olas rojas4 # ,olas ,lancas % & ,olasa:ules. =i las ,olas de igual color no se distinguen entre s24 de cuantasformas posi,les pueden ordenarse?
n=10Rojas=5blancas=2azules=3 ;rojas+azules+verdes=9
deopciones= 10 !
5 !2 !3 !=2520 5Permutacin con repeticin
"1. De cuantas formas diferentes se pueden cu,rir los puestos depresidente4 $icepresidente % tesorero de un clu, de fut,ol sa,iendo queha% 1# posi,les candidatos?
V(12,3 )=12 !
9 !=121110=1320
"#. )uatro li,ros distintos de matemticas4 seis diferentes de f2sica %dos diferentes de qu2mica se colocan en un estante. De cuantas formasdistintas es posi,le ordenarlos si/
a. 6os li,ros de cada asignatura de,en estar todos juntos.
GGGG IIIIII @@
&P
4P
6P
2P
3=4 !6 !2!3 !=207360
,. =olamente los li,ros de matemticas de,en estar juntos.GGGG I I I I I I @ @
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" +P
4P
9=4 !9 !=8709120
"&. ;na helader2a tiene 1' sa,ores disponi,les. De cuantas formasse pueden pedir ' helados si/a) Bo se elige el mismo sa,or ms de una sola $e:?b) =e puede pedir un mismo sa,or hasta ' $eces?c) ;n sa,or no se puede pedir ms de $eces?d) 6a mitad de,e ser de fresa?a 1' sa,ores8 ' helados
(16,6 )= 16 !
6 ! (166 ) !=8008
, 1' sa,ores8 ' helados
(16,6 )=166=16777216
c 1 sa,ores en un helado8 1' sa,ores en helados
deopciones=151
165
=15728649d& helados solo de fresa
(15,3 )=153=3375
"". En un lenguaje de computacin un identi-cador consta de unaletra o de una letra seguida de hasta siete s2m,olos que pueden serletra o d2gitos. 5En este lenguaje son indistingui,les las letrasma%*sculas % min*sculas. 3a% #' letras % 1! d2gitos. )untosidenti-cadores diferentes se pueden utili:ar en el lenguaje de lacomputacin?Espacio muestral H &'8 hasta 7 s2m,olos.
26x=0
7
(36x )=2.09571012
". En cualquier set de un partido de tenis el oponente C puede$encer al oponente A de siete maneras. 5)on el marcador ' ' sejuega un desempate/ tie ,reaer. El primer tenista que gane tres setso,tiene la $ictoria. De cuantas maneras se pueden registrar losresultados si/
a. C gana en sets?,. Para ganar el partido se necesita jugar como m2nimo tres sets?aU7 maneras de $encer8
deopciones=475=67228
,Ugana en tres sets.
deopciones=73+(374 )+(475 )=74774
"'. )on las letras de la pala,ra VG0;=EW )untas pala,ras distintasse pueden formar?
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19/23
P5=5 !=54321
P5=120palarbras distintas
"7. )on los d2gitos impares4 )uantos nueros de " cifras distintaspuede formar?
Vmm=Pn=n !
V44=P4=4 !
P4=4 !=24 numeros distintos .
"(. @ueremos ordenar los 7 li,ros que tenemos/ " son deGatemticas4 # de 6egua % 1 de f2sica 5los de una misma materia sonigualesDe cuantas formas podemos ordenarlos en el estante?
Pna,b ,c=
n!
a !b !c !
P94,3,2=
7 !
4 !2!1 !
7654 !4 !3 !2 !
210
2=1260 formasde ordenar
"+. De cuntos partidos consta una l igui lla formada porcuatro equipos?
P42=43
P42=12
!. De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de unequipo de f*t,ol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar
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otra posicin distinta que la porter2a? Disponemos de 1! jugadoresque pueden ocupar 1! posiciones distintas.
P10=10 !
P10=43628800
1. =e ,usca las diferentes ternas 5 H & que se pueden formar conlos 1! atletas 5n H 1!
P310=
10 !
7 !
P310=
7 !
7 !8910
P310=720
#. De cuntas maneras diferentes se podrn u,icar las cifras del 1al 7 en la siguiente -gura?
demaneras=75 !=720=840
&. 6a mesa de in$itados en una ,oda est formada por ocho ser$iUcios4 De cuntas formas distintas se pueden sentar los in$itados?
PC8=(81 ) !
PC8=7 !
PC8=5040
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". En una asam,lea de accionistas4 ha% ' personas que hansolicitado hacer uso de la pala,ra En cuntas rdenes diferentespueden ha,lar4 si es que no se ha esta,lecido un orden de prioridades?
P6=6 !
P6=654321
P5=720
. En un proceso de manufactura ha% seis operaciones distintas4que se indican con 4 iste una secuencia-ja para las operaciones4 con la sal$edad de que de,e efectuarse alprincipio % I al -nal. )untas secuencias diferentes pueden ocurrir?
P4=4 !
P4=4321
P5=24
'. E>isten 7 candidatos para desempear & tareas4 si todos loscandidatos son igualmente e-cientes4 De cuntas maneras se puedenefectuar la asignacin?
P37= 7 !(73)!
P3
7=7 !
4 !
P3
7=7654 !
4 !
P37
=210
7. )untas maneras ha% de asignar las posiciones de juego de unequipo de ,squet,ol4 si el equipo consta de 1# integrantes?4 ,.)untas maneras ha% de asignar las posiciones de juego si una deellas solo puede ser ocupada por ;riel JosK Espar:a?4 c. )untas
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maneras ha% de que se ocupen las posiciones de juego si es necesarioque en una de ellas este ;riel JosK Espar:a % en otra 0mar 6una?
P512=
12!
(125)!
P5
12=12 !
7 !
P5
12=121110897 !
7 !
P512=95040
(. 0,tenga todas las seales posi,les que se pueden disear conseis ,anderines4 dos de los cuales son rojos4 tres son $erdes % unomorado.n H ' ,anderines>1H # ,anderines rojos># H & ,anderines $erdes>&H 1 ,ander2n morado
P62,3,1=
6 !
2 !3!1 !
P62,3,1=60sealesdiferentes.
+. El n*mero uno inicial nos indica que e>iste una sola manera deseleccionar el n*mero dos que $a en la primera posicin del arreglo4mientras que el n*mero uno -nal nos indica que ha% una sola manerade seleccionar el n*mero tres que $a al -nal del arreglo a*n % cuandoha%a cuatro n*meros tres4 como estos son iguales al disear unapermutacin es indistinto cul n*mero tres se ponga4 %a que siemprese tendr el mismo arreglo % la e>presin intermedia nos indica todos
los arreglos posi,les a reali:ar con los n*meros restantes. De cuntasmaneras es posi,le plantar en una l2nea di$isoria de un terreno dosnogales4 cuatro man:anos % tres ciruelos? =olucin/n H + r,oles>1H # nogales>#H " man:anos>&H & ciruelos
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P9
2,4,3= 9 !
2 !4 !3 !
P92,4,3=1260maneras de plantar los rboles
'!. ;n equipo de f*t,ol soccer femenil participa en 1# juegos en unatemporada4 cuntas maneras ha% de que entre esos doce juegos enque participa4 o,tenga 7 $ictorias4 & empates % # juegos perdidos?
=olucin/n H 1# juegos>1H 7 $ictorias># H & empates>&H # juegos perdidos
P12
7,3,2= 12!
7 !3 !2!
P127,3,2=7920manerasde ueen latemporada este
'1. )untas cla$es de acceso a una computadora ser posi,ledisear con los n*meros 14 14 14 #4 &4 &4 &4&?4 , cuntas de las cla$esanteriores empie:an por un n*mero uno seguido de un dos?4 ccuntas de las cla$es del inciso a empie:an por el n*mero dos %terminan por el n*mero tres?a n H ( n*meros
>1H & n*meros uno>#H 1 n*mero dos>&H " n*meros cuatro(P5&414"H(9N5&919"9 H#(! cla$es de acceso
, n H ' 5se e>clu%e un n*mero uno % un dos >1H # n*meros uno >#H " n*meros tres 1 1 ' P5#4" H 1 1 5'9 N 5#9"9 H 1 cla$es de acceso c n H ' 5se e>clu%e un n*mero dos % un tres >1H & n*meros uno