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TRABAJO COLABORATIVO 1
ALGEBRA LINEAL 100408A_44
PRESENTADO A: JUAN GABRIEL CABRERA
PRESENTADO POR: ANDRS CAICEDO ANDRADE Cod: 79.801.712
JOSE ANTONIO SERRANO Cod: 12.202.743 GERMAN ALBERTO VARON FARCIA Cod. 1.110.466.905
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD NEIVA 2015
ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONMICAS Y DE NEGOCIOS
100408A_44 ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO 1
2
INTRODUCCION
Con esta actividad aplicaremos el conocimiento adquirido para realizar operaciones entre vectores, magnitud y ngulo; Operaciones sobre matrices, operaciones entre matrices y clculo de determinantes. en la solucin de los ejercicios propuestos. Igualmente, aprenderemos a trabajar en equipo y a fomentar el aprendizaje por medio de aportes y puntos de vistas de los compaeros del grupo acadmico. Reconociendo el espacio designado para la interaccin con los compaeros de
grupo que se encuentra dispuesto en el foro de trabajo colaborativo construccin
Participando de forma individual y grupal en la planeacin y construccin del
documento de la primera fase del trabajo colaborativo, de acuerdo con las
especificaciones dadas.
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OBJETIVOS Participar activamente con aportes significativos con el fin de lograr entregar un trabajo final bien consolidado. Ello se logra por medio del agrupamiento de las ideas y conclusiones generadas por cada uno Comprender las definiciones y aplicaciones de las integrales definidas, integrales indefinidas y antiderivadas para dar solucin a los problemas propuestos por la actividad. Aprender la utilizacin de herramientas matemticas para el desarrollo problemas en la vida diaria y profesional Comprender y aplicar el conjunto de conocimientos relacionados la Unidad nmero uno de la asignatura Clculo Integral, para que puedan ser aplicados en diferentes escenarios del saber y en la solucin de los ejercicios planteados por la actividad.
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PROBLEMAS
Resolver estos 5 problemas
1) Dados los siguientes vectores dados en forma polar:
= 3
2; = 240
= 3; = 300
REALICE ANALITICAMENTE:
= 3
2 240
= 3
2
1
2
= 3
4
= 3
2 240
= 3
2
3
2
= 3
2
3
2
= 33
4
= 3 300
= 3 1
2
= 3
2
= 3 300
= 3 3
2
= 33
2
1.1) -
= (3
4,
33
4)+ (-) *(
3
2 ,
33
2)
= (3
4,
33
4) + (
3
2,33
2)
= (3
4
3
2 ,
33
4+
33
2)
= (0.75 1.5 , 1.3 + 2.6)
= (2.25 ,1.3)
1.2) -
= (3
4,
33
4)+ (-2) *(
3
2 ,
63
2)
= (3
4,
33
4) + (
6
2,33
2)
= (3
4,
33
4) + (3, 33)
= (3
4 3,
33
4+ 33 )
= (0.75 3 , 1.3 + 5.2)
= (3.75, 3.9)
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1.3) +
= (3
2 ,
33
2) + (
3
4,
33
4)
= (3
2
3
4 ,
33
2
33
4)
= (1.5 0.75 , 2.3 1.3)
= (0.75 , 3.6)
1.4) -
= (3
2 ,
33
2) + (2) (
3
4,
33
4)
= (3
2 ,
33
2) + (
3
2,33
2)
= (3
2+
3
2 ,
33
2+
33
2)
= (1.5 + 1.5 , 2.6 + 2.6)
= (3 , 0)
1.5) 4 -
= (4) (3
4 ,
33
4)
+ (3) (3
2,
33
2)
= (12
4 ,
123
4) + (
9
2,93
2)
= (3 , 33 ) + (9
2,93
2)
= (3 4.5 , 5.2 + 7.8)
= (7.5 , 2.6)
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2. Encuentre el ngulo entre los siguientes vectores:
2.1
= 8^
4^
= 6^
4^
2.2
= ^
+ 3 ^
= ^
5^
2.3
= ^
+ 3 ^
+ 2
= ^
5 ^
^
Respuesta
2.1 =
= 6 4
cos =1 1 + 2 2
12 + 2
2 12 + 2
2
cos
=(8)(6) + (4)(4)
(8)2 + (4)2(6)2 + (4)2
= cos1(0.99)
= 7.12
= 7 730
2.2 = + 3
= 5
cos
=(1)(1) + (3)(5)
(1)2 + (3)2(1) 2 + (5)2
= cos1(0.86)
= 150.2
= 150 15 18.43
2.3
5 = + 3 + 2
= 5
cos
=(1)(1) + (3)(5) + (2)(1)
(1)2 + (3)2 + (2)2(1)2 + (5)2 + (1)2
= cos1(0.82)
= 145.3
= 145 22 52.75
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3. Dada la siguiente matriz, empleando para ello el mtodo Gauss-Jordn
|1 5 107 3 10 4 3
|
Dividimos en dos partes de igual tamao la matriz en la cual en el lado izquierdo rellenamos con los elementos de la matriz original y en el lado derecho rellenamos los elementos de la matriz de identidad para encontrar la matriz inversa.
|1 5 107 3 10 4 3
| |1 0 00 1 00 0 1
|
|1 5 107 3 10 4 3
|1 0 00 1 00 0 1
11
|1 5 107 3 10 4 3
| |1 0 00 1 00 0 1
| 2: 71 + 2
|1 5 100 32 690 4 3
| |1 0 07 1 00 0 1
|2:1
322
|
1 5 10
0 169
320 4 3
| |
1 0 07
32
1
320
0 0 1
| 1: 52 + 1
||1 0
25
32
0 169
320 4 3
|| |
|
3
32
5
320
7
32
1
320
0 0 1
|| 3: 42 + 3
|
|1 0
25
32
0 169
32
0 0 93
8
|
| |
|
3
32
5
320
7
32
1
320
7
8
1
81
|
|3:
8
933
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8
||1 0
25
32
0 169
320 0 1
|| |
|
3
32
5
320
7
32
1
320
7
93
1
93
8
93
|
|2
69
323 + 2
|1 0
25
320 1 00 0 1
| |
|
3
32
5
320
7
124
1
124
23
1247
93
1
93
8
93
|
|1:
25
323 + 1
|1 0 00 1 00 0 1
| |
|
13
372
55
372
25
3727
124
1
124
23
1247
93
1
93
8
93
|
|
La matriz, es:
13
372
55
372
25
3727
124
1
124
23
1247
93
1
93
8
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4. Encuentre el determinante de la siguiente matriz describiendo paso a paso la operacin que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular)
A=
Descomponemos la determinante por su componente ms pequeo
0 -1 -2 1
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0 2 1 5 7 +0 2 1 5 7 +0 0 -1 -2 1 -(4) 0 -1 -2 1 +1 0 -1 -2 1
1 -2 6 -2
1 -2 6 -2
1 -2 6 -2
2 1 5 7
2 1 5 7
0 2 3 4
0 2 3 4
0 2 3 4
0 2 3 4
1 -2 6 -2
Desde la matriz multiplicamos por 0 su determinante es 0
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0+0 2 1 5 7 +0 0 -1 -2 1 +0 0 -1 -2 1 -(4) 0 -1 -2 1 +1 0 -1 -2 1
1 -2 6 -2
1 -2 6 -2
1 -2 6 -2
2 1 5 7
2 1 5 7
0 2 3 4
0 2 3 4
0 2 3 4
0 2 3 4
1 -2 6 -2
Volvemos y multiplicamos desde la matriz por 0 su determinante es 0
0 -1 -2 1
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0+0+0 2 1 5 7 -(4) 0 -1 -2 1 +1 0 -1 -2 1
1 -2 6 -2
2 1 5 7
2 1 5 7
0 2 3 4
0 2 3 4
1 -2 6 -2
Hacemos lo mismo
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0+0+0+(4) 0 -1 -2 1 +1 0 -1 -2 1
2 1 5 7
2 1 5 7
0 2 3 4
1 -2 6 -2
Descomponemos la determinante por su componente ms pequeo
0 0 0 -1
0 0 0 0 -1
0 0 -1 -2 1
0 2 1 5 7
4 1 -2 6 -2
1 0 2 3 4
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10
-1 -2 1
0 0 -1
0 0 -1
0 0 -1 +1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0 1 5 7 +0 1 5 7 +2 -1 -2 1 +0 -1 2 1 ] 2 1 5 7
2 3 4
2 3 4
2 3 4
1 5 7
1 -2 6 -2
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
0 0 0 -1
0 -2 1
0 0 -1
0 0 -1 +1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0 1 5 7 +2 -1 -2 1 +0 -1 -2 1 ] 2 1 5 7
2 3 4
-2 3 4
1 5 7
1 -2 6 -2
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
0 0 0 -1
0 0 -1
0 0 -1 +1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0+2 -1 -2 1 +0 -1 -2 1 ] 2 1 5 7
2 3 4
1 5 7
1 -2 6 -2
Descomponemos la determinante por su componente ms pequeo
0 0 0 -1
0 0 -1 +1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0+2[0 -2 1 -(1) 0 -1 +2 0 -1 +0 -1 -2 1 ] 2 1 5 7
2 4
3 4
-2 1 ] 1 5 7
1 -2 6 -2
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
0 0 0 -1
0 0 -1 1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0+2[0-(-1) 0 -1 +2 0 -1 +0 -1 -2 1
2 1 5 7
3 4
-2 1 ] 1 5 7
1 -2 6 -2
El determinante de una matriz 2x2 se puede encontrar utilizando la frmula
|
| =
0 0 0 -1
0 0 -1 +1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0+2[0-(-1)((0)(4)-(3)(-1))+2 0 -1 +0 -1 -2 1 ] 2 1 5 7
-2 1 ] 1 5 7
1 -2 6 -2
0 0 0 -1
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11
0 0 -1 1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0+2[0+3+2 0 -1 0 -1 -2 1
2 1 5 7
-2 1
1 5 7
1 -2 6 -2
Utilizamos nuevamente la frmula |
| = para desarrollar la
determinante de la matriz 2x2
0 0 0 -1
0 0 -1 +1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0+2[0+3+2((0)(1)-(2)(-1))]+0 -1 -2 1 ] 2 1 5 7
1 5 7
1 -2 6 -2
Simplificamos la expresin
0 0 0 -1
0 0 -1 1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0+2[0+3+4]+0 -1 -2 1
2 1 5 7
1 5 7
1 -2 6 -2
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
0 0 0 -1
0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0-2+0]+1 2 1 5 7
1 -2 6 -2
Simplificamos la expresin
0 0 0 -1
0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[-2]+1 2 1 5 7
1 -2 6 -2
Simplificamos la determinante
0 0 0 -1
0 -1 -2 1
0+0+0+8+1 2 1 5 7
1 -2 6 -2
Descomponemos la determinante por su componente ms pequeo
-1 -2 1
0 0 -1
0 0 -1
0 0 -1
0+0+0+8+0 1 5 7 +0 1 5 7 +2 -1 -2 1 -(1) -1 -2 1
-2 6 -2
-2 6 -2
-2 6 -2
1 5 7
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
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12
0 0 -1
0 0 -1
0 0 -1
0+0+0+8+0+0 1 5 7 2 -1 -2 1 -(1) -1 -2 1
-2 6 -2
-2 6 -2
1 5 7
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
0 0 -1
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2 -1 -2 1 -(1) -1 -2 1
-2 6 -2
1 5 7
Descomponemos la determinante por su componente ms pequeo
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2[0 -2 1 -(-1) 0 -1 -2 0 -1 -(1) -1 -2 1
6 -2
6 -2
-2 1 ] 1 5 7
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2[0-(-1) -0 1 -2 0 -1 -(-1) -1 -2 1
6 -2
-2 1 ] 1 5 7
Utilizamos nuevamente la frmula |
| = para desarrollar la
determinante de la matriz 2x2
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2[0-(-1)((0)(-2)-(6)(-1))-2 0 -1 -(-1) -1 -2 1
-2 1 ] 1 5 7
Simplificamos la determinante
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2[0+6-2 0 -1 -(-1) -1 -2 1
-2 1 ] 1 5 7
Utilizamos nuevamente la frmula |
| = para desarrollar la
determinante de la matriz 2x2
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2[0+6-2((0)(1)-(-2)(-1))]-(1) -1 -2 1
1 5 7
Simplificamos la determinante
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2[0+6+4]-(1) -1 -2 1
1 5 7
Simplificamos la expresin
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TRABAJO COLABORATIVO 1
13
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2[10]-(1) -1 -2 1
1 5 7
Simplificamos la determinante
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+20-(1) -1 -2 1
1 5 7
Descomponemos la determinante por su componente ms pequeo
0+0+0+8+0+0+20-(1)[0 -2 1 -(-1) 0 -1 +1 0 -1
5 7
5 7
-2 1 ]
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
0+0+0+8+0+0+20-(1)[0-(-1) 0 -1 +1 0 -1
5 7
-2 1 ]
Utilizamos nuevamente la frmula |
| = para desarrollar la
determinante de la matriz 2x2
0+0+0+8+0+0+20-(1)[0-(-1)((0)(7)-(5)(-1))+1 0 -1
-2 1 ]
Simplificamos la determinante
0+0+0+8+0+0+20-(1)[0+5+1 0 -1
-2 1 ]
Utilizamos nuevamente la frmula |
| = para desarrollar la
determinante de la matriz 2x2 Simplificamos la determinante y expresin 0+0+0+8+0+0+20-(1)[0+5(0)(1)-(-2)(-1)]
0+0+0+8+0+0+20-(1)[0+5-2]
0+0+0+8+0+0+20-(1)[3]
0+0+0+8+0+0+20-3
0+0+0+8+17
DETERMINANTE DE LA MATRIZ= 25
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TRABAJO COLABORATIVO 1
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5. ENCUENTRE LA INVERSA DE LA SIGUIENTE MATRIZ, EMPLEANDO PARA ELLO
DETERMINANTES
-5 -2 -1 -5 -2
C= 3 0 5 3 0
-8 1 -5 -8 1
Hallamos la determinante:
= (0 + 80 3) (0 25 + 30)
= 80 + 3 + 25 30
= 72
Se pasan filas a columnas para hallar la transpuesta:
5 3 82 0 11 5 5
= 0 15 5
2 11 5
2 01 5
= = 5 11 1025 +17 +223 +21 +6
- 3 85 5
5 81 5
5 31 5
3 80 1
5 82 1
5 32 0
Ahora aplicamos la frmula para hallar la matriz inversa:
= 1
72
5 11 1025 +17 +223 +21 +6
=
5
72
11
72
10
7225
72
+17
72
+11
361
24
+7
24
+1
12
= 1
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TRABAJO COLABORATIVO 1
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CONCLUSIONES
Se ha logrado la comprensin y aplicacin de los principios del algebra lineal y sus teoras con los conceptos bsicos sobre lgebra Lineal. Se explica que es una matriz, los tipos de matrices existentes, las operaciones bsicas (suma y multiplicacin), las operaciones fila, la permutacin de los arreglos matriciales, los sistemas de ecuaciones y otros temas fundamentales que permitirn al estudiante afianzarse en los espacios vectoriales y sus transformaciones lineales..
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TRABAJO COLABORATIVO 1
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BIBLIOGRAFIA
ADICION DE VECTORES DADOS EN COORDENADAS POLARES https://www.youtube.com/watch?v=J4KcdHlbfgA UNICATOLICA - RESTA DE FRACCIONES HETEROGNEAS https://www.youtube.com/watch?v=alKGXlG_TCE PRODUCTO PUNTO DE DOS VECTORES EN EL PLANO https://www.youtube.com/watch?v=OlRvSpunD3I ANGULO ENTRE DOS VECTORES (PRODUCTO CRUZ)
https://www.youtube.com/watch?v=m83U-3VYBbI MATRIZ INVERSA POR GAUSS BACHILLERATO MATEMATICAS
https://www.youtube.com/watch?v=nHEFxcJ-QPM COMO CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ A (PARTE 1)
https://www.youtube.com/watch?v=E0Xr7sTGrHY INVERSA DE UNA MATRIZ 3X3 POR DETERMINANTE
https://www.youtube.com/watch?v=Ki86UAlP4Dg MATRIZ GAUSS-JORDAN REDUCCION POR RENGLONES
https://www.youtube.com/watch?v=P1PQkj0P9SM
GROSSMAN, Stanley I.; SOTO, Fernando Pia. lgebra lineal. Grupo Editorial Iberoamericana, 1983. LAY, David C.; MURRIETA, Jess Murrieta. Algebra lineal y sus aplicaciones. Pearson educacin, 2007. STANLEY, I., et al. Algebra lineal. 1996. FRIEDBERG, Stephen H.; INSEL, Arnold J.; SPENCE, Lawrence E. Algebra lineal. Publicaciones Cultural, 1982.
https://www.youtube.com/watch?v=J4KcdHlbfgAhttps://www.youtube.com/watch?v=alKGXlG_TCEhttps://www.youtube.com/watch?v=OlRvSpunD3Ihttps://www.youtube.com/watch?v=m83U-3VYBbIhttps://www.youtube.com/watch?v=nHEFxcJ-QPMhttps://www.youtube.com/watch?v=E0Xr7sTGrHYhttps://www.youtube.com/watch?v=Ki86UAlP4Dghttps://www.youtube.com/watch?v=P1PQkj0P9SMESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONMICAS Y DE NEGOCIOS
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