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TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 6
GRUPO Nº 301301_247
LUCERO GUTIERREZ AUNCA – 1121839652ERIK YOVANNY LOZANO - 1121894539
HAROLD IVÁN GÓMEZDIANA MARÍA RODRÍGUEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICAABRIL DE 2015
DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS
Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:
Ejercicio 1
Desarrollado por: Lucero Gutiérrez
1. De la siguiente elipse 4x2 + y2 – 8x + 4y – 8 = 0. Determine:
4 x2+ y2−8x+4 y−8=0
f ( x )=4 x2+ y2−8 x+4 y−8=04 (x2−2x+1 )+( y2+4 y+4 )−8−4−4=0
4 (x−1)2+( y+2)2=16
Se divide por 16:
( x−1 )4
2
+( y+2 )16
2
=1
Esta es una elipse con eje vertical principal de forma estándar:
(xh) ^ 2 / b ^ 2 + (yk) ^ 2 / a ^ 2 = 1 (a> b), con (h, k) ser el (x, y) las coordenadas del centro.
a) Centro: (1, -2) a ^ 2 = 16 a = 4 longitud de eje mayor = 2a = 8
b) Vértices: (1, -2 ± a) = (1, -2 ± 4) = (1, -6) y (1,2) b ^ 2 = 4 b = 2 c ^ 2 = a ^ 2-b ^ 2 = 16-4 = 12 c√12
c) Focos: (1, -2 ± c) = ( 1, -2 ± √12) = (1,1.46) y (1, -5,46)
Geogebra
Ejercicio 2
Desarrollado por: Lucero Gutiérrez
2. Deduzca una ecuación canónica de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Vértices en (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud = 6.
Deducimos lo siguiente:
(x-h)^2/b^2 + (y-k) ^2/a^2 = 1
El centro de la elipse es el punto medio entre los vértices: M= (3,1) (3.9) = [(3+3)/2, (9+1)/2]M = (3,5)
El centro está en (3,5)
Eje menor = 2b = 6 b = 3
Eje mayor = d (3,1) (3,9) √ (3-3) ^2 + (9 -1) ^2 = √64=8 2a= 8 a = 4
Ahora reemplazamos en la ecuación:( x−3 )9
2
+( y−5 )16
2
=1
Centro: (3,5) Foco: (3, -8.22876) y (3, 18.2288)Vértice: (3,-11) y (3,21)
Geogebra
Ejercicio 3
Desarrollado por: Diana María Rodríguez
De la siguiente hipérbola 4x2 – 9y2 – 16x – 18y – 29 = 0. Determine: a) Centro: b) Focos: c) Vértice:
Partimos de la ecuación general y separamos los términos en x y en y
4 x2– 9 y2 –16 x –18 y –29=0
4 (x2−4 x )−9 ( y2−2 y )=29
Completamos cuadrados dentro de los paréntesis y adicionamos los mismos valores, multiplicados por el factor, en el lado derecho:
4 (x2−4 x+4 )−9 ( y2+2 y+1 )=29+16−9
Factorizamos los términos dentro de los paréntesis:
4 (x−2)2−9 ( y+1 )2=36
Dividimos cada término de la ecuación por 36:
4 ( x−2 )2
36−9 ( y+1 )2
36=3636
( x−2 )2
9−
( y+1 )2
4=1
De donde:a) Centro: (2 ,−1)
a2=9a=3 b2=4 b=2 c2=a2+b2 c2=9+4=13 c=√13
La hipérbola es horizontal, de manera que los focos tienen la misma coordenada en y que el centro:
b) Focos: (2−√13 ,−1 )(2+√13 ,−1)c) Vértices: (2−3 ,−1 )(2+3 ,−1) es decir (−1 ,−1 )(5 ,−1)
Geogebra
Ejercicio 4.
Desarrollado por: Erik Yovanny Lozano
Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas: V1 (1, 11) y V2 (1, -15), F1 (1,12) y F2 (1, -16).
Solución.
Tomando la información dada de los vértices:V 1(1 ,11) y V 2(1 ,−15)
Se halla las coordenadas del centro:
h=1; k=11−152
=−2
C (1 ,−2)
Ahora con la información de los focos:F1 (1,12 ) y F2(1 ,−16)
Se calcula la distancia focal:f=Dist (F1 ,C )=12−(−2 )=14
Por tanto la longitud del semieje mayor:b=Dist (V 1,C )=11−(−2 )=13
b2=169
La longitud del semieje menor:
a2=f 2−b2=142−132=27
De lo anterior se deduce la siguiente ecuación canónica de la hipérbola:
( y−k )2
b2−
( x−h )2
a2=1
Reemplazando valores:
( y+2 )2
169−
( x−1 )2
27=1
Comprobando con geogebra con ayuda del comando Hipérbola [F, G, a], Centro [<Cónica>], Foco [<Cónica> ] y Vértices[ <Cónica> ] nos arroja los siguientes resultados
Geogebra.
Ejercicio 5
Desarrollado por: Erik Yovanny Lozano
Demostrar que la ecuación x2+ y2– 8 x−6 y=0es una circunferencia. Determinar:
a. Centro
b. Radio
SOLUCION
x2+ y2– 8 x−6 y=0
Completando los cuadrados
x2– 8 x+16+ y2−6 y+9=16+9
( x−4 )2+( y−3 )2=25
( x−4 )2+( y−3 )2=52
Luego el centro de la circunferencia se encuentra en:
C :(4,3)
Y el radio es:
r=5
Geogebra
Ejercicio 6
Desarrollado por: Erik Yovanny Lozano
De la siguiente parábola – y2+12 x+10 y – 61=0. Determine:
a. Vértice
b. Foco
c. Directriz
SOLUCION
– y2+12 x+10 y – 61=0
Ordenando y completando el cuadrado
12 x – 61+25= y2−10 y+25
12 x –36=( y−5 )2
12(x – 3)=( y−5 )2
Esto nos indica que es una parábola que tiene por eje de simetría el eje x=3 y que es una parábola abierta hacia el lado positivo del eje x.
a)
Como es una parábola con vértice (h,k) su vértice está en (3, 5)
V=(3,5)
b)
Para determinar el foco se sabe que
4p=12 → p=3
Por lo que el foco será: (3+3, 5)= (6,5)
F=(6,5)
c)
Y la directriz será D=h-p=3-3=0
x=0
Geogebra
Ejercicio 7
Desarrollado por: Diana María Rodríguez
Determine la ecuación de la recta que cumple las condiciones dadas: pasa por (1 ,7); paralela a la recta que pasa por (2 ,5) y (−2 ,1).
Primero debemos determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2 ,5) y (−2 ,1) ya que al ser la otra recta paralela, tendrá la misma pendiente
m=y2− y1x2−x1
m= 1−5−2−2
m=−4−4
m=1
Con la pendiente obtenida aplicamos la ecuación punto pendiente con el otro punto dado:
y− y1=m(x−x1)
y−7=1(x−1)
y−7=x−1
y=x−1+7
La ecuación de la recta que cumple las condiciones dadas es:
y=x+6
Geogebra
Ejercicio 8
Desarrollado por: Harold Iván Gómez
8. Calcular las siguientes sumatorias.
A) ∑i=1
300
2 i= 2∑i=1
300
i=2[ 300(301)2 ]=90300
B) ∑i=1
3
(2 i+1)2= ∑i=1
3
¿¿¿
4[3 (4)(7)6 ]+4[ 3(4 )2 ]+356+24+3=83
Geogebra
Ejercicio 9
Desarrollado por: Diana María Rodríguez
Calcular las siguientes productorias:a)
∏i=−1
4
3 i+7
Realizando la expansión:
∏i=−1
4
3 i+7= [3 (−1 )+7 ]∗[3 (0 )+7 ]∗[3 (1 )+7 ]∗[3 (2 )+7 ]∗[3 (3 )+7 ]∗[3 (4 )+7 ]
∏i=−1
4
3 i+7= (−3+7 )∗(0+7 )∗(3+7 )∗(6+7 )∗(9+7 )∗(12+7 )
∏i=−1
4
3 i+7= (4 )∗(7 )∗(10 )∗(13 )∗(16 )∗(19)
∏i=−1
4
3 i+7=1106560
Geogebra