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7/26/2019 Trabajo de Analisis Estructural - Metodo de Los Tres Momentos
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
INTRODUCCIÓN
En la ingeniería se presentan problemas relacionados con el cálculo, o la
simplifcación del mismo con respecto a los momentos ectores en una viga de
estudio. Con la aplicación de una órmula que relaciona los datos de la
situación del problema, directamente (con una ecuación matemática), se
puede determinar a renglón seguido el comportamiento de la viga.
El problema que enrentan los ingenieros en el cálculo de vigas que tienen más
de dos apoos, reside en la indeterminación de las variables en superioridad de
las ecuaciones aportadas por la Estática la !esistencia de "ateriales. #ue es
el caso particular que se e$plicará en relación con el m%todo de los tres
momentos las vigas continuas.
& trav%s de este traba'o de investigación para fnes e$positivos, se resumirá
con algunos e'emplos básicos, la resolución de problemas de ingeniería, con la
t%cnica matemática el contenido teórico que respalda el desarrollo operativo
del m%todo de los tres momentos para vigas , que no pueden ser analiadas en
otros m%todos, dada su indeterminación o su comportamiento iperestático.
*e paso se resumirán los conceptos precedidos para el análisis compresivo del
m%todo. +e estará en contacto con la defnición de las ases de una viga
continua, los principios de iperestaticidad, diagramas de ueras e$iones
la propia deormación analiada en vigas continuas. uscando signifcados a
los datos recolectados para la ormulación del traba'o, e$iste una relación entre
la palabra eca deormación de una viga. +e e$plica este concepto, con tal
de que no se conunda su signifcado, así como otros.
-as gráfcas que presentan a las vigas en sus condiciones de apoo sumisión
a cargas, revelan que se necesitará previamente desarrollar bosque'os para
indicar el u'o del momento, cortante e$ión sobre la viga. Estos esquemas
gráfcos proporcionarán datos valiosos en la operatividad del m%todo.
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
-a utiliación de vigas continuas en la ingeniería civil es mu recuente, por
e'emplo en puentes, pórticos, or'ados, carriles de errocarril, tuberías, etc. -o
que no le resta importancia en su estudio.
-a viga continua nos dará pie a las defniciones más adelante, pero mientras,
es 'usto que se comprenda que puede tratarse como una tipología particular de
estructura reticulada de plano medio, capa de soportar esueros,
principalmente de e$ión cua característica mas importante es la de
disminuir los momentos en relación con los que se producen en vigas similares
de tramos simplemente apoados. Eso 'ustifca su uso, en este caso, su
estudio.
El teorema general de los tres momentos más que un teorema es una órmula
que relaciona los tres momentos en tres apoos de una viga continua, que nos
es mu /til en el cálculo de momentos en estos apoos.
&demás, este m%todo nos simplifca el proceso de cálculo de los momentos
ectores con los cuales se procede al traado de los a conocidos0 *"1 *1C.
Con la aplicación directa de la órmula, el proceso se simplifca se vuelve un
proceso netamente matemático rápido de desarrollar ácil de interpretar.
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
GENERALIDADES
A) OBJETIVOS
&nálisis de vigas estáticamente indeterminadas ó iperestáticas por
medio de la EC3&C456 *E -7+ 8!E+ "7"E687+, m%todo particular de
e$ibilidad, cuas incógnitas son las ueras, en este caso, los
momentos ectores en los apoos. Calculo de desplaamientos rotaciones en vigas aplicando dico
m%todo. *esarrollar en el estudiante la capacidad de analiar el tipo de
problemas de dee$ión en vigas aplicando el m%todo de los tres
momentos. &prender a utiliar este m%todo para que nos sea más ácil diagramar los
cortantes momentos ectores que se producen en una viga sometida a
cargas e$ternas.
Conocer más de este m%todo, para tener el conocimiento de traba'ar conestructuras iperestáticas.
9oder resolver e'ercicios con vigas de más de dos tramos en poco
tiempo.
JUSTIFICACIÓN
-a ecuación de los tres momentos e$presan una relación entre los momentos
ectores en tres puntos cuales quiera de una viga cualquiera.
B) LIMITACIONES
Estructuras iperestáticas comple'as de varios tramos, donde se
requieren más ecuaciones para poder resolverlas. Cálculo de los diagramas de ueras internas.
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
cálculo de la eca se emplea el módulo de elasticidad del acero el
momento de inercia del perfl, la eca má$ima se compara con los
valores admisibles para estructuras de acero.
F&er-a #ortante$ 9ara mantener el equilibrio sobre el segmento de la
viga, se debe incluir la uera ?, que act/a perpendicular al e'e se
denomina uera cortante. -a uera cortante es igual a la suma de todas
las ueras verticales que act/an en la porción aislada ubicada en el lado
iquierdo.
Momento .e#tor$ &sí como la uera cortante equilibra las ueras
verticales, tambi%n se debe establecer un equilibrio en los momentos
asta la sección evaluada de las ueras aplicadas sobre la viga en el
segmento analiado. Este momento interno se denomina momentoector la magnitud es igual a la suma de los momentos sobre la
sección de corte, producidos por las ueras aplicadas en la porción de la
iquierda.
MARCO TEÓRICO
@
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
El ingeniero ranc%s Claperon en =@AB enunció por primera ve la
ecuación undamental de los tres momentos. -a ecuación de los tres
momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga, siempre que
no aa discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la
estructuraD. Entonces, este m%todo sirve para allar los momentos enlos apoos de una viga iperestática, o en puntos característicos o
notables de la viga. &l aplicar la ecuación undamental de los tres
momentos, a tres puntos de apoo consecutivos i, ', , los t%rminos del
corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a
movimientos conocidos de los puntos de apooB obteniendo de esta
manera una ecuación que contiene, como /nicas incógnitas, a los
momentos en los apoos. Esto signifca, que podemos escribir una
ecuación en orma independiente, para tres puntos de apooconsecutivos en una viga continua. *e esta manera, se llega a un
sistema compatible nD ecuaciones independientes con nD incógnitas
que son los movimientos en los apoos, los cuales se allan resolviendo
el sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoo
e$tremo empotrado, la orma de salvarlo lo veremos en los e'ercicios de
aplicación.
CONCE/TUALI0ACIÓN /RECEDENTE 1VIGAS CONTINUAS)
+iempre, antes de enrentar el análisis de alg/n m%todo es
recomendable valerse de los signifcados de los t%rminos que se usarán.
En la tesis de la investigación, se encontró que el "%todo de los 8res
"omentos, no es el /nico que da soluciones a los problemas de cálculo
en vigas continuas. +in embargo, el
problema gen%rico parte de
condición estática de la viga.Una +i%a #ontin&a puede defnirse
como una estructura iperestática
ormada por varias pieas rectas
alineadas, unidas entre si por nudos
rígidos apoados, determinándose
F
Recordando que una estructurahiperestática es aquella quenecesita más elementos de losnecesarios para mantenerse
estable; la supresión de uno de ellosno conduce al colapso, peromodifca sus condiciones de
uncionamiento estático. Tambiénllamada estructura estáticamenteindeterminada. Y que estascondiciones se reejan en el cálculo,
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
vano, o tramo, al segmento comprendido entre dos apoos sucesivos de
la viga. Esta tipología es apreciable en la fgura .En el estudio de las vigas continuas sólo consideramos la acción de
ueras verticales de momentos, con lo que las reacciones en los
apoos tambi%n serán verticales. *e actuar alguna uera oriontal,como, por e'emplo, de renado en puentes de carretera o de errocarril,
supondremos
que uno de los
apoos es f'o ,
por tanto, que
soporta to(a"
a" a##ione"
2ori-ontae"3Con esta disposición de los apoos, los cambios t%rmicos uniormes a
trav%s del espesor de las pieas no producen ning/n tipo de esuero.Como la viga sobre dos apoos simples es un sistema isostático, en una
viga de más de un tramo cada apoo intermedio introduce un vínculo
redundante , en general, una viga continua sobre n apoos, constitue
un sistema nG2 veces iperestático. 9or tanto, en la resolución de una
viga continua pueden tomarse como incógnitas iperestáticas las
reacciones de los apoos intermedios.
Como alternativa a dierentes m%todos para resolver vigas continuas seeliminan los enlaces entre los diversos tramos se eligen como
incógnitas iperestáticas los momentos ectores sobre los apoos
intermedios. Eso equivale a suprimir la continuidad de los tramos
considerar la viga como una sucesión de vigas biapoadas isostáticas
que interaccionan entre sí a trav%s de momentos de e$tremidad de valor
desconocido al momento del cálculo.
LOS TRES MOMENTOS
Este m%todo toma como incógnitas iperestáticas los momentos
ectores0 "2, ":, "mG que act/an en las secciones transversales
correspondientes a los mG2 apoos intermedios.
"%todo de cálculo0 se sustitue la viga continua por mG vigas
isostáticas equivalentes, simplemente apoadas, en cuos e$tremos se
A
Fi%&ra 4 Vi%a #ontin&a3 +e observa que losnudos intermedios son rígidos, lo cual implica lacontinuidad de los giros los momentos
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
sit/an las ligaduras internas con los tramos contiguos de los que las
emos liberado, es decir, las resultantes los momentos resultantes de
las cargas que quedan a un lado de dicos e$tremos.0 12, "2, 1:, ":,
*es
arrollemos pues a continuación estas ecuaciones de deormación para
ello tomemos dos vigas isostáticas equivalentes, correspondientes a dos
tramos consecutivos n nH de la viga continua0
=
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Calculemos a continuación cada uno de estos valores0
<
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I
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La ecuación se irá aplicando cada tres apoyos sucesivos de la viga
continua.
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS
En el diseJo de elementos mecánicos se cuenta con pieas elementos
que se pueden analiar como vigas que tienen más de dos apoos, entre
estos se pueden mencionar las tuberías, algunas armaduras algunos
marcos. -a determinación de las reacciones en los apoos no se pueden
establecer mediante la estática, por lo que se denominan iperestáticos,
como a se mencionó, se recurre a la mecánica de materiales para su
análisis.
uscando determinar la ecuación que se utiliará para el desarrollo del
m%todo, se toma en cuenta que se tiene una viga continua infnita con
dierentes tipos de cargas en cada uno delos e$tremos se toma de la misma, en el ipot%tico caso, dos tramos,
los cuales tienen
longitud - -2,como se observa
en la fgura 2.
1igura 2
+eparación de dos tramos de una viga continua infnita desarrollo de
los diagramas de cortante *1? *1".
:
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+eparando por tramos la viga aciendo la similitud estática de las
cargas en las secciones de corte, construimos los diagramas de cortante
momento, seJalando las áreas centroides de las fguras compuestas
en lasiguiente
orma0&l dividir la
estructura
por tramos,
es decir,
entre cada
apoo, un
corte, se
generan
momentos
compensados de signos contrarios. -os ángulos de giro son seJalados
con relación a la pendiente de la deormación, en la división de los
tramos. &l realiar el corte sobre los e$tremos infnitos, se generanmomentos que tambi%n son seJalados sobre ambos tramos.En estas raones se puede establecer0
+i se toma por separado cada uno de estos tramos
se observa que las cargas e$ternas producen un
diagrama de momentos pero tambi%n aparecen
momentos iperestáticos al separar cada tramo de la viga. -os dos
tramos tienen un punto com/n en el cuál se ubica el apoo 6o. 2, en
cual se sabe que θ=0 .
El ángulo que se genera en este punto debe ser igual a cero. 8ambi%n se
observa que cada uno de los tramos es aectado por las cargas los
>
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
momentos. 8omando en consideración el teorema de área momentos, la
contribución de las cargas e$ternas del tramo a θ2
' es la siguiente0
θ2
' =
A1a1
ElL1
9odemos e$presar el ángulo θ2
'
como una contribución de los
momentos iperestáticos
En el tramo dos, igualmente está e$presado como sigue0
4gualando con la ecuación determinada antes donde θ2
' =θ2
' '
, tenemos0
*onde0
M45 M65 M7 0 "omento ectores en los apoos , 2 :.
L45 L6 $ -ongitudes de los tramos 2.
A45 A6 0 Krea del diagrama de "omentos 1lectores de las
Cargas sobre los tramos 2.
a4 0 *istancia del centro del diagrama de "omentos 1lectores
del tramo al apoo .
86 0 *istancia del centro del diagrama de "omentos 1lectores
del tramo 2 al apoo :.
Consideraciones del m%todo+i se va a traba'ar con más de dos tramos, deben escribirse una
ecuación de 8res "omentos por cada par de tramos consecutivos.
@
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
Tramo 496$
"- H 2"2(- H -2) H ":-2 H (F&a)L- H (F&2b2)L-2 M I
Tramo 697$
"2-2 H 2":(-2 H -:) H ">-: H (F&2a2)L-2 H (F&:b:)L-: M I
Tramo 79:$":-: H 2">(-: H ->) H "@-> H (F&:a:)L-: H (F&>b>)L-> M I
+i tenemos un apoo simple, el momento en dico e$tremo será igual a
cero. +i tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuaciónadicional de 8res "omentos, creando un tramo virtual en el que todos los
valores sean iguales a cero. +i tenemos un voladio, el momento en tal
e$tremo seguirá valiendo cero.
EL MÉTODO /OR /ASOS
Separar la viga en tramos tomándolos de dos en dos.
Superponer las cargas en cada tramo sin violar los principios de
la estática. Calculando y ubicando las reacciones de los apoyos.
Construir diagrama de cortante y momento fector, calculando y
ubicando áreas y sus respectivos centroides.
Aplicar la ecuación de los Tres Momentos en los tramos, de dos
en dos. Obteniendo un sistema de ecuación de dos ecuaciones y
dos incógnitas por cada tramo. Sustituir y resolver.
F
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
Considerando las condiciones de borde, donde los momentos
son cero.
Con el valor de los momentos calculados, sustituir en las
ecuaciones de uera, calculando las ueras en los tramos con
los valores encontrados para obtener las reacciones reales delos apoyos. !Opcional"
Construir el diagrama de momento y cortante total de la
estructura !Opcional"
#ste m$todo ue idealiado por%
Benoit /a& Émie Cape;ron (2F de ebrero, A<< G 2= de enero,
=F>) ue un ingeniero ísico ranc%s, padre
(entre otros) de la teoría termodinámica. 6acido
en 9arís, Claperon estudió en la Ncole
poltecnique la Ncole des "ines, antes de
mudarse a +an 9etesburgo en =2I para enseJar
en la Ncole des 8ravau$ 9ublics. 8ras la !evolución
de =:I volvió a 9arís, donde supervisó la
construcción de la primera vía de errocarril de
1rancia, que comunicaba 9arís con ?ersalles +aintGOermainGenG-ae.
EJERCICIOS DE A/LICACIÓN
A
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
4)
Construendo el esquema de análisis del problema0
En el siguiente paso construimos el diagrama de cortante momento,
superponiendo las cargas dividiendo la estructura en tramos. El primer tramo
contiene la carga puntal de la primera columna de contención con su
magnitud respectiva. El segundo tramo asume el peso del camión como carga
=
Encuentre los momentos iperestáticos en la estructura de supervisión deequilibrio para camiones que se muestra en la fgura articulado en , simplemente apoado en 2, : >. Considere el peso de las columnas decontención de acero galvaniado como cargas puntuales en las distanciasc%ntricas correspondientes. &suma el peso del camión como carga
I6 I6 >6Lm2I6
2m
>m
Fm
20KN
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distribuida entre el punto 2 :. El tercer tramo asume el peso de dos columnas
en cargas puntualmente aplicadas conclue con una articulación.
DIAGRAMAS DE ESFUER0O CORTANTE < MOMENTO FLECTOR DE
LA ESTRUCTURA
&naliando el primer tramo de a 2, se construe nuestra primera ecuación0
&naliando el segundo tramo de 2 a :, se construe la segunda ecuación0
<
20KN
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
Con el valor de los momentos calculados, sustituimos en las ecuaciones de uera,
calculando las ueras en los tramos con los valores encontrados para obtener las
reacciones reales de los apoos.
2I
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Construendo el diagrama de momento total con las reacciones totales a
calculadas.
2
20KN
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
6)
22
En la siguiente viga vamos a analiar los momentos que se generanen los apoos, mediante el m%todo de los tres momentos.
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2:
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
7)
2>
*eterminar los momentos iperestáticos que se generan en los apoos,usar la ecuación de los tres momentos realiar los diagramas
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2@
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
CONCLUSIONES
En la parte fnal de la investigación se alinean los aspectos
generales del tema de vigas continuas la oerta de solución que
brinda el m%todo matemático, para problemas de aplicación en
ingeniería. +e resumirá brevemente en conclusiones puntuales los
conocimientos concretos adquiridos, con'untamente, al análisis
del mismo con respecto a los sistemas de cálculo de momentos
ectores, conocidos previamente.
Comprendiendo el m%todo, podríamos decir, que se trata de una
ecuación que relaciona a las vigas los momentos sobre losapoos con un comportamiento matemático creciente, que a su
ve no es limitado por la orma iperestática de la estructura.
!esulta benefcioso un m%todo que nos proporcione soluciones en
problemas de vigas indeterminadas, o continuas, como suele
suceder en la ingeniería. 9or lo regular en grandes estructuras del
campo de estudio mecánico la propia construcción civil, un
m%todo que e$prese el comportamiento conteniendo a las cargas
los momentos, relacionándose al mismo tiempo con losdiagramas que ree'an los esueros de corte má$imos , los
momentos ectores, le agrega fdelidad a los resultados.
Eso es lo que difere con respecto a los demás m%todos. El
teorema de los tres momentos, a'usta por tramos de ecuaciones
conocidas a los esquemas de análisis que contienen la situación
de la estructura de estudio. Cada paso es fdedigno no requiere
de cálculos avanados de derivadas o integraciones m/ltiples. El
comportamiento es creciente, una unción relacionada a la
e$pansión de una línea, donde por lo conocido en resistencia de
materiales, el momento aectado sobre una viga guarda relación
con su centroide, su área de sección la distancia desde el punto
de reerencia.
2F
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
Es menester reconocer, que en el intento de presentar un e'ercicio
de aplicación donde se demostrase la utilidad de la ecuación de
los tres momentos idealiada por Claperon, nos dirigimos al caso
práctico de un puente, con ciertas condiciones de carga sobre la
plataorma. El problema le'anamente puede ser considerado comocomplicado. Pemos querido presentarlo de esa orma, para darle
la versatilidad al campo real de los problemas ingenieriles ligado
a la continuidad la indeterminación de las vigas de análisis.
En comparación con otros m%todos conocidos, para la resolución
de cargas vigas determinadas, aunque no est% al mismo nivel de
cálculo, el asunto indeterminado se corrige con una ecuación que
no trasciende ronteras algebraicas. -as unciones están
ordenadas en grados con respecto a los sistemas que dan solución
no más de dos sustituciones. Eso, sencillamente es /til
aprovecable.-os mismos m%todos para determinar la deormación de las vigas
son válidos para la resolución de vigas iperestáticas, a que las
ecuaciones adicionales para acer un sistema matemáticamente
determinado son tomadas de la elástica de la viga.
Cuando e$ista un empotramiento en el e$tremo de una viga
continua, para aplicar el teorema de los tres momentos se aJade
un tramo fcticio sin carga sin longitud en ese e$tremo, de
manera que pueda plantearse una nueva ecuación para resolver
ese momento de empotramiento.
2A
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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
BIBLIOGRAF=A