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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
CÁTEDRA: ESTABILIDAD DE SISTEMAS ELECTRICOS
CATEDRÁTICO: Ing. Torres Mayta Pedro
ALUMNOS: Astete Pérez David
Armas alzamora Daniel
Bonifacio Orihuela Elvis
Clemente huamanlaso Jurasi
Espinoza Quispe José A.
Hinostroza Millán Iván
Llacza Carmelo James E.
Noa meza Cristian
Paccori Pillpa Luther
SEMESTRE: X
2013 – I
ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA 1
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INDICE
Introducción ……………………………….. …………………3
ESTABILIDAD TRANSITORIA MÉTODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN...5
1. El problema de estabilidad …………………………………………………...5
2. Concepto de estabilidad transitoria …………………………………………………...6
3. Método de Runge Kutta …………………………………………………...6
3.1 introducción ……………………………………………………6
3.2 método de runge kutta 1 orden ……………………………………………………7
3.4 método de runge kutta 4 orden ……………………………………………………8
3.4.1 cuando el paso h esta fuera de la función …………………………………….8
3.4.2 cuando el paso h esta fuera de la función …………………………………...9
Ejemplo 1: ……….………………………………………….10
Ejemplo 2: …………………………………………………..15
ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA 2
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INTRODUCCIÓN
A medida que el ser humano y la economía de los países se han desarrollado, la demanda de
energía ha aumentado constantemente, y dentro de este marco se ha producido un
crecimiento importante de la demanda energía eléctrica, que ha llegado a presentar un
porcentaje importante del consumo total de energía en el mundo.
En el Perú para poder satisfacer la creciente demanda, se ha ido fortaleciendo un sistema
eléctrico de potencia que se torna complejo. En los últimos años, la tendencia en la
producción de energía eléctrica ha sido deficitaria frente a la demanda de la misma, por lo
que para poder satisfacer dicha demanda una de las soluciones ha sido la interconexión de
sistemas, con sus ventajas y desventajas, asociando generadores que operan en paralelo y
cargas dentro de un gran sistema integrado.
Los sistemas eléctricos se han ido tornando cada vez más complejos y presentan una
variedad de retos de ingeniería tanto en el planeamiento, y construcción como la
operación del mismo.
El diseño total del sistema eléctrico de potencia debe ser afirmado sobre el control
automático y no sobre la respuesta lenta del operador humano. Para ser viable predecir el
funcionamiento del sistema, las nuevas exigencias han forzado a buscar siempre
herramientas más avanzadas de análisis y de síntesis.
En el presente trabajo, busca solucionar los problemas de la estabilidad transitoria utilizando el
método de Runge-Kutta de cuarto orden.
ESTABILIDAD TRANSITORIA
ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA 3
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METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN
1 EL PR OB LE M A DE ESTABILIDAD
El problema de estabilidad esta concernido con el comportamiento de las máquinas
sincrónicas después de haber sido perturbadas. Si la perturbación no involucra cualquier
cambio neto en la potencia, las máquinas deben retornar a su estado original. Si existe un
desbalance entre la potencia suplida y la carga, creado por un cambio en la carga, en
generación, o en las condiciones de la red, un nuevo estado de operación es necesario.
En cualquier caso todas las máquinas sincrónicas interconectadas deben permanecer en
sincronismo si el sistema es estable; todas ellas deben permanecer operando en paralelo y a la
misma velocidad.
El transitorio que sigue a una perturbación del sistema es oscilatorio por naturaleza; pero si
el sistema es estable, estas oscilaciones serán amortiguadas y llevarán al sistema a una
nueva condición de operación y de equilibrio. Estas oscilaciones, sin embargo, son
reflejadas como fluctuaciones en el flujo de potencia sobre las líneas de transmisión. Si una
interconexión conecta dos grandes grupos de máquinas y experimenta excesivas
fluctuaciones de potencia, esta puede ser disparada por su equipamiento de protecciones, de
tal modo, que desconecta los dos grupos de máquinas. Este problema refleja la estabilidad
de los dos grupos de máquinas, si la interconexión es disparada, los sistemas interconectados
deben operar como áreas independientes ya que tienen independencia operativa.
La estabilidad del sistema eléctrico de potencia es un importante problema en la seguridad de
la operación del sistema, la mayoría de los colapsos causados por inestabilidad ilustran la
importancia de este fenómeno. Históricamente, la inestabilidad transitoria ha sido un
problema de estabilidad dominante en la mayor parte de sistemas, y ha sido la preocupación
de la industria referente a la estabilidad del sistema.
La condición necesaria para la satisfactoria operación del sistema es que todas las
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máquinas sincrónicas, empleadas para la generación de energía eléctrica, permanezcan en
sincronismo. Este aspecto de estabilidad es influenciado por la dinámica del ángulo del
rotor del generador y las relaciones potencia-ángulo.
Las diferentes formas de inestabilidad dependen de la configuración y la operación
de los sistemas eléctricos de potencia por lo que es necesario el entendimiento de la
complejidad de la operación, diseño y el uso de nuevas tecnologías y controles. Así también
el uso consistente de la terminología es requerido para desarrollar el criterio de operación y
diseño del sistema, de igual manera, las herramientas analíticas y procedimientos de estudio.
Los sistemas de potencia son sometidos a un amplio rango de disturbios, pequeños y grandes.
Pequeños disturbios ocurren continuamente en forma de cambios de carga; el sistema puede
ser capaz de ajustarse a las condiciones cambiantes y operar satisfactoriamente. Este
puede también ser capaz de soportar numerosos disturbios de una naturaleza severa,
tal como un corto circuito sobre una línea de transmisión o pérdida de un generador, de una
carga grande o de una interconexión entre dos áreas. Un gran disturbio puede conducir a
cambios estructurales debido al aislamiento de los elementos fallados.
La repuesta del sistema de potencia ante un disturbio puede involucrar a la mayoría del
equipo. Para una instancia, una falla sobre un elemento crítico seguido por el
aislamiento de los relés de protecciones, causará variaciones en flujos de potencia, voltajes
en las barras de la red y velocidades del rotor de las máquinas; debido a las variaciones de
voltaje deberán actuar conjuntamente los reguladores de voltaje de generadores y del sistema
de transmisión; para las variaciones de velocidad del generador deben actuar
los gobernadores (reguladores de velocidad); debido al cambio en la cargabilidad del
sistema actuarán los controles de generación; los cambios en voltaje y frecuencia
afectarán a las cargas en el sistema en niveles que varían dependiendo de sus características
individuales.
Adicionalmente, los dispositivos utilizados para proteger a los equipos individualmente
podrían responder a variaciones en las variables del sistema y causar el disparo del
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equipamiento, debilitando al sistema y posiblemente conduciendo a la inestabilidad del
sistema.
En cualquier situación dada, sin embargo, las respuestas solamente de una cantidad limitada
de equipo pueden ser significativas. Por lo tanto, muchas consideraciones se hacen
generalmente para simplificar el problema y para centrarse en los factores que influencian el
tipo específico de problema de estabilidad.
La inestabilidad de un sistema también puede ocurrir sin pérdida de sincronismo, por
ejemplo puede llegar a ser inestable por colapso del voltaje, mantener el sincronismo no es
el problema en este caso, en su lugar la preocupación radica en la estabilidad y control de
voltaje. Esto ha creado la necesidad de revisar la definición y clasificación de estabilidad de
sistemas de potencia.
2 CONCEPTO DE ESTABILIDAD TRANSITORIA
La estabilidad transitoria es la capacidad del sistema de potencia de mantener el sincronismo
cuando es sometido a severas perturbaciones transitorias.
• Respuesta no lineal frente a perturbaciones severas
• Horizonte de tiempo de varios ciclos
3 METODO DE RUNGE KUTTA
3.1 INTRODUCCION
En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.
3.2 METODO DE RUNGE KUTTA 1 ORDEN
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Todos los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euler, en la que la función pendiente f se remplaza por un promedio ponderado de pendientes en el intervalo xn x xn+1
donde las ponderaciones wi, i = 1, 2, …, m son constantes que satisfacen w1 + w2 + … + wm = 0, y ki es la función evaluada en un punto seleccionado (x, y) para el cual xn x xn+1.
El número m se llama el orden. Si tomamos m = 1, w1 = 1, k1 = f(x, yn), llegamos al método de Euler. Por consiguiente, se dice que el método de Euler es un método de Runge-Kutta de primer orden.
3.3 METODO DE RUNGE KUTTA 2ORDEN
Tratamos de hallar unas constantes de modo que la fórmula
Donde k1= f(xn, yn), k2= f(xn+h, yn+hk1)
Concuerdo con un polinomio de Taylor de grado 2 , las constantes deben satisfacer:
Luego
Donde w2 0.
Ejemplo: escogemos w2 = ½ , de donde w1 = ½ , = 1, = 1, y (2) se transforma en
yn+1= yn+(k1+ k2)h/2
donde k1= f(xn, yn), k2= f(xn+h, yn+hk1).
Puesto que xn + h = xn+1, yn + hk1 = yn + hf(xn, yn), es idéntica al método de Euler mejorado.
ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA 7
yn+1= yn+h(w1 k1+w2k 2+⋯+wmk m)
yn+1= yn+ak1+bk 2
w1+w2=1, w2 α=12
, y w2 β=12
w1=1−w2 , α= 12 w2
, y β= 12 w2
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3.4 METODO DE RUNGE KUTTA 4 ORDEN
Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».
3.4.1 CUANDO EL PASO H ESTA FUERA DE LA FUNCION
Los llamados métodos de Runge-Kutta son una serie de algoritmos para calcular aproximaciones numéricas del valor de la solución de:
dydx
=f (x , y ) ; y ( x0 )= y0
en puntos de la forma siguiente:
x1=x0+h ; x2=x1+h ; etc
con muy buena precisión, sin que, para ello, sea necesario que los h sean muy pequeños.
El procedimiento consta de los siguientes pasos:
Para calcular un valor aproximado de la solución y1 en el punto
x1 = x0 + h, se calculan los siguientes números:
k 1=h f ( x0 , y0 )
k 2=h f ( x0+h2
, y0+k1
2)
k 3=h f ( x0+h2
, y0+k2
2)
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k 4=h f ( x0+h , y0+k3 )
K0=16(k1+2k 2+2 k3+k 4 )
Entonces se toma:
y1= y0+K 0
Procediendo del mismo modo, calcularíamos el valor aproximado de
la solución, y2, en el punto x2 = x1 + h:
k 1=h f ( x1 , y1 )
k 2=h f ( x1+h2
, y1+k1
2)
k 3=h f ( x1+h2
, y1+k 2
2)
k 4=h f ( x1+h , y1+k3 )
K0=16(k1+2k 2+2k3+k 4 )
y2= y1+K0
3.4.2 CUANDO EL PASO H ESTA DENTRO DE LA FUNCION
Definiendo un problema de valor inicial como:
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dydx
=f (x , y ) ; y ( x0 )= y0
Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:
y i+1= y I+116( k1+2k2+2k3+k4 )h
Dónde:
k 1=f ( x1 , y1 )
k 2= f ( x1+h2
, y1+hk 1
2)
k 3=f ( x1+h2
, y1+hk 2
2)
k 4=f ( x1+h , y1+hk 3 )
Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado
de pendientes, donde
k 1
es la pendiente al principio del intervalo,
k 2
es la pendiente en el
punto medio del intervalo, usando
k 1
para determinar el valor de y en el punto xn+h/2 usando el
método de Euler.
k 3
es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando
k 2
para
determinar el valor de y;
k 4
es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y
determinado por
k 3
. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:
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pendiente=16( k1+2 k2+2 k3+k4 )
Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de O(h5), mientras que el error total acumulado tiene el orden O(h4). Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de O(h4), razón por la cual es usado en los métodos computaciones.
EJEMPLO 1:
Determine y (0.5) utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden, en el intervalo de interés [0, 0.5], en 5 intervalos.
y’ =4e0.8x – 0.5y ; y(0) =2 ; y(0.5) =?
h =0.5 – 0 / 5 h =0.1
por lo tanto x0 =0, x1 =0.1, x2 =0.3, x4 =0.4, x5 =0.5
ITERACIÓN I i =0 ; x0 =0 ; y0 =2
K1 =f [0, 2] =4e(0.8*0) – (0.5 * 2)
K1 =3
K2 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3) /2] =f [0.05, 2.15] =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.15)
K2 =3.088243
K3 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3.088243) /2] =f [0.05, 2.154412]
K3 =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.154412)
K3 =3.086037
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K4 =f [0 +0.1, 2 +(0.1 *3.086037)] =f [0.1, 2.308603]
K4 =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308603)
K4 =3.178846
y1(0.1) =2 +{0.1 /6 [3 +(2 *3.088243) +(2 *3.086037) +3.178846]}
y1(0.1) =2.308790
ITERACIÓN II i =1 ; x1 =0.1 ; y1 =2.308790
K1 =f [0.1, 2.308790] =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308790)
K1 =3.178753
K2 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.178753) /2] =f [0.15, 2.467727]
K2 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.467727)
K2 =3.276123
K3 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.276123) /2] =f [0.15, 2.472596]
K3 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.472596)
K3 =3.273689
K4 =f [0.1 +0.1, 2.308790 +(0.1 *3.273689)] =f [0.2, 2.636158]
K4 =4e(0.8*0.2) – (0.5 * 2.636158)
K4 =3.375964
ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA 12
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y2(0.2) =2.308790 +{0.1 /6 [3.178753 +(2 *3.276123) +(2 *3.273689) +3.375964]}
y2(0.2) =2.636362
ITERACIÓN III i =2 ; x2 =0.2 ; y2 =2.636362
K1 =f [0.2, 2.636362] =4e(0.8*0.2) – (0.5 * 2.636362)
K1 =3.375862
K2 =f [0.2 +0.1/2, 2.6366362 +(0.1 *3.375862) /2] =f [0.25, 2.805155]
K2 =4e(0.8*0.25) – (0.5 * 2.805155)
K2 =3.483033
K3 =f [0.2 +0.1/2, 2.636362 +(0.1 *3.483033) /2] =f [0.25, 2.810513]
K3 =4e(0.8*0.25) – (0.5 * 2.810513)
K3 =3.480354
K4 =f [0.2 +0.1, 2.636362 +(0.1 *3.480354)] =f [0.3, 2.984397]
K4 =4e(0.8*0.3) – (0.5 * 2.984397)
K4 =3.592798
y3(0.3) =2.636362 +{0.1 /6 [3.375862 +(2 *3.483033) +(2 *3.480354) +3.592798]}
y2(0.3) =2.984619
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ITERACIÓN IV i =3 ; x3 =0.3 ; y3 =2.984619
K1 =f [0.3, 2.984619] =4e(0.8*0.3) – (0.5 * 2.984619)
K1 =3.592687
K2 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.592687) /2] =f [0.35, 3.164253]
K2 =4e(0.8*0.35) – (0.5 * 3.164253)
K2 =3.710392
K3 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.710392) /2] =f [0.35, 3.170138]
K3 =4e(0.8*0.35) – (0.5 * 3.170138)
K3 =3.707450
K4 =f [0.3 +0.1, 2.984619 +(0.1 *3.707450)] =f [0.4, 3.355364]
K4 =4e(0.8*0.4) – (0.5 * 3.355364)
K4 =3.830829
y4(0.4) =2.984619 +{0.1 /6 [3.592687 +(2 *3.710392) +(2 *3.707450) +3.830829]}
y2(0.4) =3.355606
ITERACIÓN V i =4 ; x4 =0.4 ; y4 =3.355606
K1 =f [0.4, 3.355606] =4e(0.8*0.4) – (0.5 * 3.355606)
K1 =3.830708
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K2 =f [0.4 +0.1/2, 3.355606 +(0.1 *3.830708) /2] =f [0.45, 3.547141]
K2 =4e(0.8*0.45) – (0.5 * 3.547141)
K2 =3.959747
K3 =f [0.4 +0.1/2, 3.355606 +(0.1 *3.959747) /2] =f [0.45, 3.553593]
K3 =4e(0.8*0.45) – (0.5 * 3.553593)
K3 =3.956521
K4 =f [0.4 +0.1, 3.355606 +(0.1 *3.956521)] =f [0.5, 3.751258]
K4 =4e(0.8*0.5) – (0.5 * 3.751258)
K4 =4.091669
y5(0.5) =3.355606 +{0.1 /6 [3.830708 +(2 *3.959747) +(2 *3.956521) +4.091669]}
La solución requerida es y5(0.5) =3.751521
EJEMPLO 2:
En este ejemplo, se analiza la estabilidad transitoria de una central térmica que consta de cuatro estaciones de 555 MVA, 24KV, 60Hz. Unidades que suministran energía a un Bus infinito a través de dos líneas de trasmisión mostradas en la figura 1
Figura 1
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Las reactancias en la red que se muestran en la figura están por unidad con 2220 MVA, 24kV de base. (Referidos en la línea de trasmisión en el lado de alta del transformador). Se asume que las resistencias son insignificantes.
La condición inicial del sistema de operación, con cuantificaciones expresadas en por unidad con 2220 MVA, 24kV de base, se muestra de la siguiente manera.
P=0.9 Q=0.436(sobreexitado) Ēt=1.0 28.34 ° ĒB=0.90081 0 °
Los generadores son modelados en un circuito equivalente representado por un generador de modelo clásico con los siguientes parámetros expresados en por unidad con 2220 MVA, 24kV de base:
X dǀ =0.3 H=3.5 MW . s /MVA K D=0
En el circuito dos se muestran una falla trifásica en el punto F, y la falla es eliminada mediante el aislamiento del circuito de falla.
DETERMINAR:
a) Determine el tiempo de despeje de la falla crítica y el ángulo crítico mediante el cálculo de tiempo de respuesta del ángulo del rotor, mediante la integración numérica.
SOLUCIONCon el generador representado con el modelo clásico, el circuito equivalente del sistema se muestra en la siguiente figura.
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Por la condición inicial de la operación, el voltaje en retraso X dǀ es.
Ēǀ=Ēt+ jX dǀ Ī t
Ēǀ=1.028.34 °+ jj0.3 (0.9− j 0.436 )
1.0−28.34 °
Ēǀ=1.1626 28.34 °
En la siguiente figura se muestra el circuito equivalente reducido representado en las tres condiciones del sistema: en la pre falla, durante la falla, y la post falla. También se muestra en la figura también se muestra en la figura son las expresiones correspondientes para la salida de la potencia eléctrica como una función de .
1) En la pre falla
Pe=1.1626 x0.90081
0.7752senδ
Pe=1.1341 senδ
2) Durante la falla
Pe=0
3) Post Falla.
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Pe=1.1626 x0.90081
0.95senδ
Pe=1.1024 senδ
a) El tiempo de respuesta usando la integración numérica.
La ecuación:
2 Hw0
d2
d t 2=Pm−Pmax sin
Puede ser escritos de dos ecuaciones de primer orden:
P( Δwr)=1
2 HPm−Pmax sin
P( Δwr)=1
7.0¿ ……. Ecuación 3
P()=w0(Δ wr)P()=377 (Δw r) …… Ecuación 4
Dónde:
Pmax={ 1.351 antes de la falla0 durante la falla
1.1024 después de la falla
Los valores iniciales de y Δ wr son 41.77° y 0 pu, Respectivamente.
Cualquiera de los métodos de integración numérica se describen pueden ser usados para resolver estas ecuaciones 3 y 4. Para las ilustraciones consideramos el segundo método de Runge-Kutta. La
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fórmula general está dado por los valores de , Δ wr y t para los (n+1 )sI … pasos de integración son
los siguientes:
(Δ wr)n+1=( Δw r)n+K1
I+K2I
2
δ n+1=δn+K1
II +K2II
2
t n+1=t n+∆ t
Dónde:
K1I=[0.1286−
Pmax
7.0sen (δ)n]∆ t
K1II=[377 (∆ wr)n ] ∆ t
K2I=[0.1286−
Pmax
7.0sen (δ n+ K1
II )]∆ t
K2II= {377 [(∆ w r)n+K 1
I ]}∆ t
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