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7/23/2019 Trabajo Monográfico 50 EDO 1 Orden
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ECUACIONES DIFERENCIALES
1.-Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia
radiactiva. Después de 6 horas su masa disminuyó en un 3.
!i en un instante cual"uiera la rapide# de desintegración es
proporcional a la cantidad de sustancia presente$ determinar
la cantidad "ue "ueda después de %& horas.
RESOLUCIÓN.
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ECUACIONES DIFERENCIALESInicialmente tenemos 100 mg de sustancia radiactia. Si C!t" denota la cantidad desustancia radiactia en el instante t# sa$emos %ue al ca$o de t & ' ( %uedan
( )6 100 3 97C gr = − =
De esta sustancia.
La ra)ide* de desintegraci+n es )ro)orcional a la cantidad de sustancia )resente# estoes,
-
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ECUACIONES DIFERENCIALESdC
KC dt
=
Siendo la constante de )ro)orcionalidad# la soluci+n de la ecuaci+n ser/,
( ) kt C t Ae=
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ECUACIONES DIFERENCIALESDonde A son constantes# de la condici+n inicial tenemos,
0*(0) 100t C Ae= =
100 A→ =
Entonces )ara t&',
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ECUACIONES DIFERENCIALES6(6) 100 97k C e= =
1(0.97)
6k Ln→ =
0.005k → ≈ −
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ECUACIONES DIFERENCIALESNuestra ecuaci+n )ara cual%uier instante de tiem)o t ser/,
0.005( ) 100 t C t e
−
=
Entonces la cantidad )ara -2 (oras ser/,
0.005(24)(24) 100C e−=
'
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ECUACIONES DIFERENCIALES0.12(24) 100 88.5C e mg −→ = ≈
%.-!e sabe "ue un cierto material radioactivo se desintegra
proporcionalmente a la cantidad presente. !i inicialmente hay
'0 miligramos de material presente y después de dos horas seobserva "ue el material ha perdido el 10 de su masa
original$ hallar(
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ECUACIONES DIFERENCIALES
a) una e*presión para la masa de material presente en un
momento t
b) la masa después de cuatro horas
Soluci+n,
a" Llamaremos 5 !t " a la masa del material en un instante t,
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ECUACIONES DIFERENCIALES 7enemos el 89I,
( )
(0) 50
dX KX t
dt
X
= −
=
(2) 45 X =
:
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ECUACIONES DIFERENCIALESSolucionamos la ecuaci+n di;erencial,
( ) kt X t Ce−=
Donde C son constantes del 89I tendremos,
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ECUACIONES DIFERENCIALES0
(0) 50
50
k X Ce
C
−= =
→ =
< )ara t&-,
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ECUACIONES DIFERENCIALES2(2) 50 45
1(0.9)
2
0.05
k X e
K Ln
K
−= =
→ =
→ ≈
La soluci+n del 89I# ser/,
1-
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ECUACIONES DIFERENCIALES0.05(t) 50 t X e−=
$" Luego de cuatro (oras,
0.05(4)(4) 50 X e−=
0.05(4)(4) 50 X e−=
1
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ECUACIONES DIFERENCIALES
3. +ncuentre el valor de la constante a$ de tal ,orma "ue las
,amilias
3
1Y C X =
$
22
2 X aY C + =
sean ortogonales(
SOLUCIÓN,
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ECUACIONES DIFERENCIALESComo a%u= se tienen dos curas# se de$er/n denotar de manera di;erente las deriadasde cada una de ellas> sean,
? la deriada de la )rimera cura
@-? la deriada de la segunda cura
De acuerdo con la denici+n de curas ortogonales# )ara %ue estas curas seanortogonales de$e satis;acerse %ue el )roducto de las deriadas sea igual a B1# esto es,
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ECUACIONES DIFERENCIALES?. @-? & B1 !1"
Deriando im)l=citamente res)ecto de # la cura
3
1Y C X =
!-"
2
13 l Y Y C =
. !"
1'
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ECUACIONES DIFERENCIALESLa constante C1 de$e eliminase del sistema %ue se ;orma con las ecuaciones !-" !"
Sustituendo !" en !-" se tiene,
3 l
Y Y X =
Des)eando ?
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ECUACIONES DIFERENCIALES
3
l Y Y
X =
!2"
Deriando im)l=citamente res)ecto de # la cura
22
2 X aY C + =
. !3"
22 2 0l
X aYY + =
. !'"
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ECUACIONES DIFERENCIALESDes)eando @-? de la ecuaci+n !'"
2
l X Y
aY
−=
!4"
Sustituendo las ecuaciones !2" !4" en la ecuaci+n !1"
* 13
Y X
X aY
−= −
1:
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Sim)licando des)eando la constante !a"
1
3a =
&.-+ncuentre las trayectorias ortogonales de la ,amilia
3 2Y CX =
SOLUCIÓN,
Se de$e comen*ar )or determinar la ecuaci+n di;erencial asociada a la ;amilia de curas
-0
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ECUACIONES DIFERENCIALES3 2Y CX =
!1"
Dic(o (a* )osee una sola constante ar$itraria# )or lo tanto# la ecuaci+n se deria solo unae*.
Deriando im)l=citamente la ecuaci+n !1" res)ecto de resulta
23 2l
Y Y CX = !-"
-1
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ECUACIONES DIFERENCIALESComo la ecuaci+n !-" an contiene la constante ar$itraria C# dic(a ecuaci+n nore)resenta la ecuaci+n di;erencial asociada. 8or lo tanto# la constante ar$itraria C de$eeliminarse a )artir del sistema %ue se ;orma con las ecuaciones !1" !-".
A%u= $asta con des)ear C de la ecuaci+n !-" sustituir en la ecuaci+n !1"# resultando
3
2
l
XY Y =
!"
--
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ECUACIONES DIFERENCIALESLa ecuaci+n !" re)resenta la ecuaci+n di;erencial asociada a la ;amilia
3 2Y CX =
-
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ECUACIONES DIFERENCIALES
-2
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ECUACIONES DIFERENCIALES
'.- !e lan#a un cuerpo de masa m hacia arriba de la tierra con
velocidad inicial v0. !uponiendo "ue no hay resistencia delaire$ pero tomando en cuenta la variación del campo
gravitacional con la altura$ encontrar la menor velocidad
-3
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ECUACIONES DIFERENCIALES
inicial v0 "ue necesita el cuerpo para "ue no regrese a la
tierra. +sta velocidad inicial v0 se le llama velocidad de
escape.
-'
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ECUACIONES DIFERENCIALES
SOLUCIÓN,
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ECUACIONES DIFERENCIALES
2
2( )
( )
dv mgRm w x
dt x R= − = −
+
Donde el signo menos indica %ue la direcci+n de la ;uer*a es (acia el centro de la tierra.
Cancelando m# resoliendo la ecuaci+n di;erencial resultante )oniendo comocondiciones iniciales# en t & 0# & 0 & 0# se llega a,
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ECUACIONES DIFERENCIALES2
2 2
0
22 0
( )
gRv v gR
x R= − + ≥
+
8or lo tanto,
2
0 2v gR≥
De a%u= concluimos %ue la elocidad de esca)e,
-:
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ECUACIONES DIFERENCIALES
0 2v gR=
0
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ECUACIONES DIFERENCIALES
6. a ,uer#a resistente del agua "ue opera sobre un bote es
proporcional a su velocidad instantnea y es tal "ue cuando la
velocidad es de %0 la resistencia es de &0 constantes de '0
/eton una masa de &%0 g. y el pasa2ero de 0 g
a) Determine la distancia recorrida y la velocidad en l
cual"uier instante suponiendo "ue el bote parte del reposo.
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ECUACIONES DIFERENCIALES. A)licando la segunda le de neGton# tenemos,
x F ma=∑
Fm, Fuer*a del motor& 30N
Fr, Fuer*a de resistencia del agua&
<a %ue la elocidad es de -0 la ;uer*a 20# entonces,
-
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ECUACIONES DIFERENCIALES40
220
2
k
K
= =
→ =
7enemos,
x F ma=∑
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ECUACIONES DIFERENCIALES Fm Fr ma− =
420 80 500m = + =
50 500 , 2dvkv k dt
− = =
2
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ECUACIONES DIFERENCIALES
500 50 2dv
vdt
= −
50 2 500
dv dt
v
=
−
3
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ECUACIONES DIFERENCIALES
2( 25) 500
dv dt
v= −
−
( 25) 250
dv dt C
v= − +
−∫ ∫ | 25 |250
t Ln v C − = − +
25025t
v ke−
→ = +
'
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ECUACIONES DIFERENCIALES <a %ue )arte del re)oso,
9 !0"& 0
0 25
25
k
k
= +
→ = −
La ecuaci+n de la elocidad,
4
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ECUACIONES DIFERENCIALES
250
250250
25 25
( ) (25 25 ) 25 25(250)
t
t t
v e
x t e dt t e
= −
= − = +∫
<a %ue )arte del re)oso
6