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Transferencia de Momentum
1740-2
2014-02-25 8ª
2014-02-25
Contenido
Sistemas coordenados convencionales…
• Ecuación de continuidad;
• Balance de momentum.
En coordenadas cartesianas: x, y, z
La ecuación de continuidad es escalar; es el balance de masa de un
sistema de un solo componente; por ello, en el EC no puede haber
transporte por difusión ni transformación, pero sí puede haber
acumulación y/o transporte por convección de masa.
Por lo tanto, la ecuación de continuidad en coordenadas cartesianas es:
Ecuación de continuidad, notación vectorial:
=0
z
y x
0vt
; x y zi j k v iv jv kvx y z
x y zv ( v ) ( v ) ( v )x y z
t
x(vx )
y(vy )
z(vz ) 0
cuando ; cuando i j i j 1 i j i j 0
Sistema coordenado cartesiano
x y zv v v 0t x y z
Ecuación de continuidad: 0vt
r z
1 1r v v v 0
t r r r z
Ecuación de continuidad: 0vt
Sistema coordenado cilíndrico
x r cos
y r sin
z z
Coordenadas esféricas
2
r2
1 1 1r v v sin v 0
t r r sin r sinr
Ecuación de continuidad: 0vt
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
r z
1 1rv v v 0
t r t r z
x y z( v ) ( v ) ( v ) 0t x y z
2
r2
1 1 1r v v sin v 0
t t r sin r sinr
BSL Tabla 3.4-1
Ecuación de Continuidad en diferentes sistemas coordenados
(A) Coordenadas rectangulares (x,y,z)
(B) Coordenadas cilíndricas (r,,z)
(C) Coordenadas esféricas (r,,)
Acumulación
Flujo por Convección
Fuerzas de Campo (Gravitación)
Fuerzas Estáticas (Presión)
Fuerzas Dinámicas (Deformación)
¿Donde quedó el transporte de momentum por difusión molecular?
Balance de Momentum
v vv g P 0t
Vector de esfuerzos ( t ) y Tensor de Esfuerzos ( T )
Se asume que ρ, v y t son funciones continuas tanto de las coordenadas
espaciales como del tiempo.
3. El tensor de esfuerzos T es simétrico, por lo tanto:
Además, t esta referida al vector normal n que sale de la superficie del
elemento de control.
El vector de esfuerzos t cumple con las siguientes condiciones:
1. Dos vectores de esfuerzos que: i) actúen sobre una misma superficie;
ii) tengan la misma magnitud; y iii) estén ubicados en lados opuestos de
dicha superficie, satisfacen la siguiente igualdad :
2. El vector de esfuerzos t(n) puede escribirse en términos del tensor de
esfuerzos T de la siguiente manera:
Posteriormente se utilizarán estas propiedades…
t (n) t (n)
( n )t T n
Tik Tki
Balance de Momentum
v vv g P 0t
Como :
tv
v
t v
t
Por la ecuacion de continuidad: v 0t
Por lo tanto: v
v vv v vt t
igualdad: ... (A.4-30) wv w v v w BSL
vv v v v v
v
v vv v v v v vt t t
v
v vv v vt
vt
vt
v vv g P 0t
cuando ; cuando ij ij
ii00
0 j j0 ii j j kk 1 i j 0 i j
00kk
ii00
P 0 j j0 P iiP j jP kkP
00kk
Por otro lado, a delta de Kronecker esta definida como:
Considerando coordenadas cartesianas rectangulares, el operador es:
i j kx y z
Por lo tanto: P i j k iiP j jP kkPx y z
como: P i j k iiP j jP kkPx y z
P P Pi iiP j j jP k kkP i j k P
x y z x y z
P P
P i j k Px y z
v vv g P 0t
como: i j kx y z
Por lo tanto: v
v v
Como no depende de la posición (ni del tiempo) :
v v
Se considera el caso de un fluido Newtoniano, lo cual implica que su
viscosidad es el factor de proporcionalidad entre su tensor de
esfuerzos y su tensor de rapidez de deformación entre sus tensores de
esfuerzos dinámicos y de deformación es la viscosidad del fluido : v
como: v v y: i j kx y z
v i j k i j k vx y z x y z
2 2 2
2
2 2 2v v v
x y z
Por lo tanto, para el fluido Newtoniano: 2 v
i j k i j kx y z x y z x x y y z z
2v vv g P v 0t
Balance de Momentum
Por lo tanto, el balance de momentum para un fluido que tenga un
comportamiento Newtoniano puede expresarse en términos “medibles”:
2 v
P P
v
v vv v vt t
¿Donde quedó el transporte de momentum por difusión molecular?
v v
vx
t vx
vx
x vy
vx
y vz
vx
z
p
x xx
x yx
y zx
z
gx
(A) Componente-x
(B) Componente-y
vy
t vx
vy
x vy
vy
y vz
vy
z
p
y xy
x yy
y zy
z
gy
(C) Componente-z
vz
t vx
vz
x vy
vz
y vz
vz
z
p
z xz
x yz
y zz
z
gz
Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-2
Coordenadas Rectangulares (x,y,z). En términos de
vx
t vx
vx
x vy
vx
y vz
vx
z
p
x
2vx
x22vx
y22vx
z2
gx
(D) Componente-x
(E) Componente-y
vy
t vx
vy
x vy
vy
y vz
vy
z
p
y2vy
x22vy
y22vy
z2
gy
(F) Componente-z
vz
t vx
vz
x vy
vz
y vz
vz
z
p
z2vz
x22vz
y22vz
z2
gz
Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-2
Coordenadas Rectangulares (x,y,z).
En términos de gradientes de velocidad.
Fluido de comportamiento Newtoniano.
Densidad y viscosidad constantes
Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-3
Cilíndricas (r,,z). En términos de
2
r r r rr z
r rzrr r
v vv v v v pv v
t r r r z r
1 1r g
r r r r z
(A) Componente-r
(B) Componente-
rr z
2 zr2
v v v v v v v 1 pv v
t r r r z r
1 1r g
r r zr
(C) Componente-z
z z z zr z
z zzrz z
vv v v v pv v
t r r z z
1 1r g
r r r z
Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-3. Cilíndricas (r,,z).
Gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. y constantes
2
r r r rr z
2 2
r rr r2 2 2 2
v vv v v v pv v
t r r r z r
vv v1 1 2rv g
r r r r r z
(D) Componente-r
(E) Componente-y
rr z
2 2
r
2 2 2 2
v v v v v v v 1 pv v
t r r r z r
v vv1 1 2rv g
r r r r r z
(C) Componente-z
z z z zr z
2 2
z z zz2 2 2
vv v v v pv v
t r r z z
v v v1 1r g
r r r r z
2 2
r r r rr r
r2
rr r2
v v vvv v v v pv g
t r r r sin r r
1 1 1r sin
r r sin r sin rr
A) componente-r
Ecuación de Movimiento
BSL Tabla 3.4-4
. Esféricas (r,,z).
En términos de
Ecuación de Movimiento BSL Tabla 3.4-4
Esféricas (r,,z). En términos de
B) Componente-
2
rr
2 rr2
v v cotv v v v v v v 1 pv g
t r r r sin r r r
1 1 1 cotr sin
r r sin r sin r rr
C) Componente-
r
r
r2
r2
v v v v v v v v vv 1 pv cot
t r r r sin r r r sin z
1 1 1 2cotr g
r r r sin r rr
2 2
r r r rr r
2
r r2 2 2 2
v v vvv v v v pv g
t r r r sin r r
vv2 2 2 2v v v cot
r r r r sin
D) Componente-r
Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-4. Esféricas (r,,).
Gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. y constantes
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1r sin
r rr r sin r sin
Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-4. Esféricas (r,,).
Gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. y constantes
E) Componente-
2
rr
2 r
2 2 2 2 2
v v cotv v v v v v v 1 pv g
t r r r sin r r r
vvv2 2cosv
r r sin r sin
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1r sin
r rr r sin r sin
F) Componente-
r
r
2 r
2 2 2 2 2 2
v v v v v v v v vv 1 pv cot
t r r r sin r r r sin z
v vv2 2cosv g
r sin r sin r sin
2 1
r2
rr2
r
1
r2 sin
sin
1
r2 sin2
2
2
Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-4. Esféricas (r,,).
Gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. y constantes
.
Transferencia de Momentum
1740-2
Fin de 2014-02-25 8ª