Post on 21-Dec-2015
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO
Maestría en Ciencias Nanotecnología
Matemáticas Avanzadas
Profesor:
Dra. María
Alumnos:
Yolanda Jesús Martínez PimentelJorge Rosas Flores
TRANSFORMADA DE FOURIER
Toda señalperiódica, sin importar
cuan complicadaparezca, puede ser
reconstruida a partir desinusoides cuyasfrecuencias son
múltiplos enteros deuna frecuencia
fundamental, eligiendolas amplitudes y fases
adecuadas.
Matemático francés Joseph Fourier(1768-1830)
Es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería.
¿Qué es la Transformada de Fourier?
PARES DE TRANSFORMACIÓN DE FOURIER
𝓕 {𝒇 (𝒙 ) }=∫−∞
∞
𝒇 (𝒙 )𝒆𝒊𝜶 𝒙𝒅𝒙=¿𝑭 (𝜶 )¿
𝓕−𝟏 {𝑭 (∝) }= 𝟏𝟐𝝅 ∫
−∞
∞
𝑭 (∝ )𝒆𝒊𝜶 𝒙𝒅∝=¿ 𝒇 (𝒙 )¿
𝓕𝒔 {𝑭 (𝒙 ) }=∫𝟎
∞
𝒇 (𝒙 )𝒔𝒆𝒏∝𝒙 𝒅𝒙=¿𝑭 (𝜶)¿
𝓕𝒔−𝟏 {𝑭 (∝) }=𝟐
𝝅∫𝟎
∞
𝑭 (∝ ) 𝒔𝒆𝒏∝ 𝒙𝒅∝=¿ 𝒇 (𝒙)¿
𝓕𝒄 {𝑭 (𝒙 ) }=∫𝟎
∞
𝒇 (𝒙 )𝒄𝒐𝒔∝ 𝒙 𝒅𝒙=¿𝑭 (𝜶 )¿
𝓕𝒄−𝟏 {𝑭 (∝) }=𝟐
𝝅∫𝟎
∞
𝑭 (∝ )𝒄𝒐𝒔∝𝒙 𝒅∝=¿ 𝒇 (𝒙)¿
1) Transformada de Fourier :
1.1) Transformada inversa de Fourier :
2) Transformada seno de Fourier :
2.1) Transformada seno inversa de Fourier :
3) Transformada coseno de Fourier :
3.1) Transformada coseno inversa de Fourier :
EXISTENCIA
∫−∞
∞
¿ 𝑥 (𝑡 )∨¿𝑑𝑡<∞ ¿
x(t) posee un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo finit.
Para que la transformada de Fourier de una señal x(t) exista (en forma ordinaria no como función generalizada, x debe satisfacer lo siguiente:
x(t) es absolutamente integrable, esto es
Aplicación de las transformadas seno y coseno
Son apropiadas para transformar la primera derivada o para cualquier derivada de orden impar.
El dominio de al menos una de las variables del problema debe ser [ 0 , ∞ )
LINEALIDAD
Si f(x) y g(x) admiten transformada de Fourier, entonces tambien la admiten.
Propiedades de las transformadas de Fourier
TRASLACIÓN EN EL PRIMER EJE
Si (x) admite transformada de Fourier, entonces para cualquier también la admite.
Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):
La Transformada de Fourier es la base del análisis y síntesis expectral
Filtros y Convolución
Transformada Corta de Fourier
Espectrogramas
Síntesis sinusoidal
Procesamiento de señales
Aplicaciones
CONCLUSIÓN
La transformada de Fourier tiene muchas aplicaciones en la ingeniería, especialmente
para la caracterización frecuencial de señales y sistemas lineales. Es decir, la transformada
de Fourier se utiliza para conocer las características frecuenciales de las señales y el comportamiento de los sistemas lineales
ante estas señales.