Post on 13-Jul-2015
TRIGONOMETRÍA
(Parte I)
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo
2
INTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura
NOCIONES PREVIAS
SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO
AGUDO.
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.
3
NOCIONES PREVIAS
1. a. Proporcionalidad de segmentos y
semejanza
b.TEOREMA DE TALES
2. TEOREMA DE PITÁGORAS
1.a. Proporcionalidad de
segmentos y semejanza
5
Sombra del árbol grande (S)
S. árbol
pequeño (s)
H
h
Las sombras de los dos árboles son proporcionales a
las respectivas alturas
H
h
S
sOA’
A
B’
B
)alidadproporcionderazón(k'AA
'BB
'OA
'OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.)
en uno de sus viajes a Egipto
midió la altura de una pirámide
aprovechando el momento en
que su propia sombra medía
tanto como su estatura
1.b. TEOREMA DE TALES
6
Si varias paralelas determinan
segmentos iguales sobre una
recta r, determinan también
segmentos iguales sobre
cualquier otra recta r’ a la que
corten
TEOREMA DE TALES:
Los segmentos determinados por
rectas paralelas en dos rectas
concurrentes son proporcionales.
O
A’A
B’
B
'OB
'B'A
OB
ABtambieno
'OB
'OA
OB
OA
O
A’
A
B’
B
C’
D’
E’
EDC
B’’
C’’
D’’
E’’
r
r’
Medida de ángulos
7
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)
Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)
Ángulo
completo
Ángulo
llano
Ángulo
recto
Un
grado
Un
minuto
SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2 /2
Expresa los siguientes ángulos en los tres
sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 210º
S. centesimal 50g 60g 100g
Radianes 2π/3 5π/6
S.sexagesimal 140º 240º
S. centesimal 350g 90g 25g
Radianes 7π/8 3
8
Ángulos en los tres sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º
S. centesimal66g 66m
66s 50g 133g 33m
33s 60g 233g 33m
33s 100g 166g 66m
66s
Radianes
S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’171º
53’14”
S. centesimal155g
55m 55s 350g 175g 90g 266g 66m
66s 25g 190g 98m
59s
Radianes 3
9
3 4 10
3
6
7
23
26
5
8
718
14
4
7
20
9
3
4
8
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
(R.T.)
CsenC"B
"B"A
C'B
'B'A
BC
AB
Cgcot"B"A
C"A
'B'A
C'A
AB
AC
Ceccos"B"A
C"B
'B'A
C'B
AB
BC
CsecC"A
C"B
C'A
C'B
AC
BC
10
CcosC"B
C"A
C'B
C'A
BC
AC
CtgC"A
"B"A
C'A
'B'A
AC
AB
Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son
CA”
B”
A
B
A`
B` semejantes
porque tienen los ángulos iguales.
En consecuencia los lados son proporcionales :
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
DE UN ÁNGULO AGUDO
a
c
hipotenusa
opuestocatetoCsen
a
b
hipotenusa
adyacentecatetoCcos
c
a
opuestocateto
hipotenusaCeccos
b
a
adyacentecateto
hipotenusaCsec
11
b
c
adyacentecateto
opuestocatetoCtg
c
b
opuestocateto
adyacentecatetoCgcot
Ccos
1Csec
Csen
1Ceccos
Ctg
1Cgcot
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
Se definen seis razones trigonométricas
CA
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
12
a
cCsen
a
bCcos
Csen
1
a
ca
a
c
aCeccos
Ccos
1
a
ba
a
b
aCsec
Ccos
Csen
a
ba
c
b
cCtg
Csen
Ccos
a
ca
b
c
bCgcot
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
CA
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C
Ccos
1Csec
Csen
1Ceccos
Ctg
1Cgcot
Ccos
CsenCtg
Csen
CcosCgcot
13
VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
B
CA
a
b
C
1a
cCsen0
1a
bCcos0 1
c
aCeccos
1b
aCsec
b
cCtg0
c
bCgcot0
En todo triángulo rectángulo los catetos son
menores que la hipotenusa.
Es decir: 0 < c < a 0 < b < a
En consecuencia:
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE 30º,
45º y 60º
1. R.T. DE 30º y 60º
2. R.T. DE 45º
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)
15
A B
C
Sea ABC un triángulo equilátero
H
ll
l
l/2
x
B
C
H
l
60º
30º
Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide
En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide
Trazamos una altura CH
60º
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
2
2
2 l2
lx
Tª de Pitágoras
4
llx
222
4
ll4x
222
4
l3x
22
4
l3x
2
2
3lx
60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide l/2
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)
16
B
C
H
l
l/2
2
3l
60º
30º
2
3
l2
3l
l2
3l
º60sen
2º60cos
1º60sec
3
2
º60sen
1º60eccos
3
3
3
1
º60tg
1º60gcot
2
1
l2
l
l2
l
º60cos
32
32
2
12
3
º60cos
º60senº60tg
2
1
l2
l
l2
l
º30sen
2
3
l2
3l
l2
3l
º30cos
3
3
3
1
32
2
2
3
2
1
º30tg
2º30sen
1º30eccos
3
2
º30cos
1º30sec
33
33
3
3
º30tg
1º30gcot
Observa que:
sen 60º = cos 30º
cos 60º = sen 30º
tg 60º = cotg 30º
cotg60º = tg 30º
sec 60º =cosec30º
Cosec 60º =sec30º
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)
17
Sea ABCD un cuadrado
l
l
x45º
Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide
En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide
Trazamos la diagonal AC
90º
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
222 llx
Tª de Pitágoras
22 l2x
2l2x
2lx
45º y el ángulo C mide 45º
A B
CD
lA B
C
l
45º
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)
18
2
2
2
1
2l
lº45sen
22
22
2
2
º45cos
1º45sec
11
1
º45tg
1º45gcot
1l
lº45tg
45º
lA B
C
l
45º
2l2
2
2
1
2l
lº45cos
22
2
º45sen
1º45eccos
Observa que:
sen 45º = cos 45º
tg 45º = cotg 45º
sec 45º =cosec45º
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
19
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
α
Si el ángulo B mide α grados,
el ángulo C mide º90
º90y
º90
AB
C
ba
c
cosa
c)º90(sen
sena
bº90cos
gcotb
cº90tg
eccossen
1
º90cos
1º90sec
seccos
1
º90sen
1º90eccos
tggcot
1
º90tg
1º90gcot
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
20
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide α radianes,
el ángulo C mide
2y
2α
AB
C
ba
c
2
cosa
c)
2(sen
sena
b
2cos
gcotb
c
2tg
eccossen
1
2cos
1
2sec
seccos
1
2sen
1
2eccos
tggcot
1
2tg
1
2gcot
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE
TRIGONOMETRÍA
21
α
AB
C
ba
c
222 acb
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
Si dividimos la expresión anterior por a2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
c
a
b
Expresándolo de otra forma:
1a
c
a
b22
1cossen22O lo que es lo mismo:
1cossen 22
1cossen 22
Que normalmente expresaremos
de la forma:
22
Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
c
b
b
Expresándolo de otra forma:
22eccosgcot1
22 sectg1
α
AB
C
ba
c
222 acb
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
2
2
2
2
2
2
c
a
c
c
c
b
22sectg1
22 eccosgcot1
OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
23
se
n
cos
se
n
se
n
se
n
se
n
Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno
va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto
sen 90º = 1
A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
cos 90º = 0
Observa que al ir disminuyendo el
ángulo hasta 0º el seno va
disminuyendo, hasta llegar a ser 0,
mientras que el coseno va
aumentando hasta valer 1. Es decir,
sen 0º = 0
cos 0º = 1radio=1
P(x,y)
O X
Y
Circunferencia goniométrica1. R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA
2. VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN
ÁNGULO
3. VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA
COTANGENTE
4. R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
5. R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
6. R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
7. R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS
CIRCUNFERENCIA
GONIOMÉTRICA
25
Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un
sistema de coordenadas
X
Y
O
a
Uno de los lados del ángulo
deberá coincidir con el
semieje positivo de las x, el
vértice en el origen de
coordenadas y el otro lado
donde corresponda
A esta circunferencia donde
situaremos los ángulos la
llamaremos circunferencia
goniométrica.
1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO CUALQUIERA
y1
y
r
'y
radio
ordenadasen
x1
x
r
'x
radio
abscisacos
26
x
y
'x
'y
abscisa
ordenadatg
X
Y
O
a1
P(x,y)Q(x’,y’)
r
A partir de ahora trabajaremos
con la circunferencia de radio 1
(Circunferencia goniométrica)
SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
27
X
Y
O 1
a
A
se
n
cos
se
n
cos
se
n
cos
se
n
cos
b
B
g
C
d
D
-1 0 1
El seno y el coseno de cualquier
ángulo toma valores mayores o
iguales a –1 y menores o iguales a 1
1sen1
1cos1-1
-1
1
++_ _
SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO
__ +
+
TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
28
X
Y
O 1
A
a tg
cotg
tg
cotg
tg
cotg
tg
cotg
g
C
d
D
B
b
La tangente y la
cotangente de un
ángulo puede tomar
cualquier valor .
tg
gcot
+_
+_
TANGENTE Y
COTANGENTE
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º
29
A
60º
120º
-1
-1
1
X
Y
O 1
En la circunferencia goniométrica dibujamos
120º (quitamos 60º a 180º)A’
60º
x
y
-x
yyº120sen º60sen
xº120cos º60cos
x
yº120tg
x
yº60tg
2
3
2
1
3
2º120sec3
32º120eccos
3
3º120gcot
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 135º
30
A
45º
135º
-1
-1
1
X
Y
O 1
En la circunferencia goniométrica dibujamos
135º (quitamos 45º a 180º)
A’
45º
x
y
-x
y yº135sen º45sen
xº135cos º45cos
x
yº135tg
x
yº45tg
2
2
2
2
1
2º135sec 2º135eccos 1º135gcot
Dibujamos el ángulo de 45º y las
líneas que representan sus razones trigonométricas.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 150º
31
150º
-1
-1
1
X
Y
O 1
En la circunferencia goniométrica dibujamos
150º (quitamos 30º a 180º)
A
30º
x
y
A’
30º-x
y yº150sen º30sen
xº150cos º30cos
x
yº150tg
x
yº30tg
2
1
2
3
3
3
3
32º150sec 2º150eccos 3º150gcot
Dibujamos el ángulo de 30º y las
líneas que representan sus razones trigonométricas.
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
SUPLEMENTARIOS
32
a
A
180º-a
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y 180º- a
a y p-a
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º- a
A’
ax
y
-x
y
yº180sen sen
xº180cos cos
x
yº180tg
x
ytg
sensen coscos tgº180tg
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º
33
-1
-1
1
X
Y
O 1
210º
30º
A
x
y
A’
30º-x
-y
yº210sen º30sen
xº210cos º30cos
x
yº210tg
x
yº30tg
En la circunferencia goniométrica dibujamos
210º (añadimos 30º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
2
1
2
3
3
3
3
32º210sec 2º210eccos 3º210gcot
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 225º
34
-1
-1
1
X
Y
O 1
225º
45º
45º-x
-y
En la circunferencia goniométrica dibujamos
225º (añadimos 45º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
yº225sen º45sen
xº225cos º45cos
x
yº225tg
x
yº45tg
2
2
2
2
1
2º225sec 2º225eccos 1º225gcot
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 240º
35
-1
-1
1
X
Y
O 1
240º
En la circunferencia goniométrica dibujamos
240º (añadimos 60º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
º240sen º60sen
º240cos º60cos
º240tg º60tg
2
3
2
1
3
2º240sec3
32º240eccos
3
3º240gcot
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
QUE DIFIEREN EN 180º
36
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y 180º+ a
a y p+a
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 180º+a
A’
180º+a
a x
y
-x
-y
yº180sen sen
xº180cos cos
x
yº180tg
x
ytg
sensen coscos tgtg
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 300º
37
-1
-1
1
X
Y
O 1
300º
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º).
º300sen º60sen2
3
º300cos º60cos2
1
º300tg º60tg 3
2º300sec3
32º300eccos
3
3º300gcot
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º
38
-1
-1
1
X
Y
O 1
315º
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 315º (quitamos 45º a
360º).
º315tg 1º45tg
º315sen º45sen2
2
º315cos º45cos2
2
2º315sec 2º315eccos 1º315gcot
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 330º
(las mismas que las de –30º)
39
-1
-1
1
X
Y
O 1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 330º (quitamos 30º a
360º).
º330cos º30cos
º330sen º30sen2
1
2
3
º330tg º30tg3
3
3
32º330sec 2º330eccos 3º330gcot
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
QUE SUMAN 360º
40
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y 360º-a
a y 2 p-a
En la circunferencia goniométricadibujamos a y 360º- a
A’
360º-a
a x
y
-y
yº360sen sen
xº360cos cos
x
yº360tg
x
ytg
sen2sen cos2cos tg2tg
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS
41
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y - a
En la circunferencia
goniométrica dibujamos a y - a
A’
-a x
y
-y
ysen sen
xcos cos
x
ytg
x
ytg
sensen coscos tgtg
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO MAYOR DE UNA
CIRCUNFERENCIA
42
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
Las razones trigonométricas de un
ángulo mayor que una circunferencia
( a+360ºk, donde k es un número
entero) son las mismas que las del ángulo a
x
y
2sen sen
2cos cos
2tg tg
senº360sen cosº360cos tgº360tg
k,k2
k,kº360
2p+
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
QUE DIFIEREN EN 270º
43
-1
-1
1
X
Y
O 1
a
A
a y 270º+a
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 270º+ a
A’
270º+a
x
y
xº270sen cos
yº270cos sen
y
xº270tg
y
xgcot
2
3y
y
-x
cos2
3sen sen
2
3cos gcot
2
3tg
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
COMPLEMENTARIOS
44
-1
-1
1
X
Y
O 1
a
A
a y 90º - a
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 90º- a
A’
90º-a
x
y
xº90sen cos
yº90cos sen
y
xº90tg gcot
2y
y
x
cos2
sen sen2
cos gcot2
tg
SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
45
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno
va creciendo, de 0 a 1.
sen 0º = 0 sen 90º = 1
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno
va decreciendo, de 1 a 0.
sen 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno
va decreciendo, de 0 a -1.
sen 270º = -1
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.
sen 360º = 0
COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
46
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º
el coseno va decreciendo, de 1 a 0.
cosen 0º = 1 cosen 90º = 0
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el
coseno va decreciendo, de 0 a -1.
cosen 180º = -1
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el
coseno va creciendo, de -1 a 0.
cosen 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1.
cosen 360º = 1
TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y
360º
47
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º
a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞.
tg 0º = 0 tg 90º + ∞.
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la
tangente va creciendo, de - ∞. a 0.
tg 90º - ∞ tg 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el
tangente va creciendo, de 0 a +∞. .
tg 270º + ∞.
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el
coseno va creciendo, de - ∞ a 0.
tg 270º - ∞ tg 360º = 0
COTANGENTE DE 0º , 90º,180º,
270º y 360º
48
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º
la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 0º + ∞ cotg 90º =0
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la
cotangente va creciendo, de 0 a - ∞
cotg 180º - ∞
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º
la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 180º + ∞ cotg 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de
0 a - ∞ cotg 360º - ∞
49
VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO
1sen1
1cos11sec
tg gcot
1sec
1eccos1eccos
++_ _
SIGNO DEL SENO Y
DE LA COSECANTE
SIGNO DEL COSENO
Y DE LA SECANTE
__ +
++
_
+_
SIGNO DE LA
TANGENTE Y
COTANGENTE
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
1. FUNCIÓN SENO
2. FUNCIÓN COSENO
3. FUNCIÓN TANGENTE
4. FUNCIÓN COTANGENTE
5. FUNCIÓN SECANTE
6. FUNCIÓN COSECANTE
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
f(x)=sen x
51
6 3 2 3
2
6
5
6
7
3
4
2
3
3
5
3
11 24 4
3
4
5
4
7
2
1
2
1
2
3
2
3
1
1
2
2
2
2
0
a
sen a2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
2
3
2
30 1 0 01
6 4 3 2 3
2
6
5
6
7
3
4
2
33
5
3
112
4
3
4
5
4
70
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
f(x)=sen x
52
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
f(x)=cos x
53
23462
3
11
4
7
3
5
3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
2
1
2
1
2
3
2
3
1
1
2
2
2
2
02
3
a
COS a2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
2
3
2
301 0 11
6 4 3 2 3
2
6
5
6
7
3
4
2
33
5
3
112
4
3
4
5
4
70
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
f(x)=cos x
54
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
f(x)=tg x
55
3
3
1
1
6 3 2 3
2
6
5
6
7
3
4
2
3
3
5
3
11 24 4
3
4
5
4
70
3
3
3
3
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
f(x)=tg x
56
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
f(x)=cotg x
57
3
3
1
1
6 3 2 3
2
6
5
6
7
3
4
2
3
3
5
3
11 24 4
3
4
5
4
70
3
3
3
3
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
f(x)=cotg x
58
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE
f(x)=sec x
59
1
1
6 3 2 3
2
6
5
6
7
3
4
2
3
3
5
3
11 24 4
3
4
5
4
70
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE
f(x)=sec x
60
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
f(x)=cosec x
61
1
1
6 3 2 3
2
6
5
6
7
3
4
2
3
3
5
3
11 24 4
3
4
5
4
70
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
f(x)=cosec x
62
TRIGONOMETRÍA
(Parte II)
Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés
64
INTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura
1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA
Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS
2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.
3. R.T. DEL ÁNGULO MITAD
4. TEOREMA DEL SENO
5. TEOREMA DEL COSENO
6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE
HERON
SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
66
A
O X
Y
N
M
P
BDibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB.
Trazamos MN y BM.
OB
BPsen
OB
sencosOBcossenOB
OB
senOAcosAB
sencoscossensen
Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el
triángulo rectángulo OAB.
OB
ANAM
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
67
A
O X
Y
N
M
P
B Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.
Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el
triángulo rectángulo OAB.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB.
Trazamos MN y BM.
OB
BMON
OB
NPON
OB
OPcos
OB
sensenOBcoscosOB
OB
senABcosOA
sensencoscoscos
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
(otra forma de deducir la fórmula)
68
cos
sensencoscos
2sen
2sen
2sen
sen2
coscos2
sen
sensencoscos
sensencoscoscos
TANGENTE DE LA SUMA DE DOS
ÁNGULOS
69
tgsensencoscos
sencoscossen
coscos
sensen
coscos
coscos
coscos
sencos
coscos
cossen
tgtg1
tgtg
sencoscossensen
sensencoscoscos
tgtg1
tgtgtg
Si dividimos numerador
y denominador por
cosa.cosb
Simplifi-
cando
cos
sen
70
R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
sensen sencoscossen
1
sencoscossen
sencoscossen
coscos sensencoscos
sensencoscos
sensencoscos
tgtgtg1
tgtg
tgtg1
tgtgtg
tgtg1
tgtg
71
R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS
ÁNGULOS
sen
cos
tg
sen sencoscossen
cos sensencoscos
tgtgtg1
tgtg
sencoscossen
sensencoscos
tgtg1
tgtg
72
R.T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
sen
cos
tg
2sen sencoscossen
sensencoscos
tgtg1
tgtg
cossen2
2cos 22 sencos
2tg2tg1
tg2
2sen cossen2
2cos22 sencos
2tg2tg1
tg2
73
R.T. DEL ÁNGULO MITAD
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)
2cos22 sencos
tg
22 sensen1 2sen21
2sen2 2cos1
2sen2
2cos12
2cos1sen
2cos22 sencos 22 cos1cos 1cos2 2
2cos2 2cos1
2cos2
2cos12
2cos1cos
2cos1
2cos12
cos1
2sen
2
cos1
2cos
cos1
cos1
2tg
1. Teorema del seno
2. Teorema del coseno
TEOREMA
DEL SENO
75
Los lados de un triángulo son proporcionales a
los senos de los
ángulos opuestos. Csen
c
Bsen
b
Asen
a
El Teorema del seno sirve para relacionar los
lados de un triángulo con los ángulos opuestos.
Consideremos un triángulo ABC.
Bsenah
Asenbh
C
C BsenaAsenb
Bsen
b
Asen
a
Del mismo modo, si trazamos la altura
correspondiente al vértice A:
Bsench
Csenbh
A
A BsencCsenbCsen
c
Bsen
b
hC
hA
C
BA
ab
c H
Trazamos la altura correspondiente al vértice C.
Los triángulos AHC y BHC son rectángulos.
Entonces:
76
Medida de los ángulos en una
circunferencia
Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente
A
B
C
180º- 180º-
360º-(180º- 180º-
360º - 360º +
77
Medida de los ángulos en una
circunferencia
Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia,
son iguales
180º
90º
Todos los ángulos
inscritos que abarcan
un diámetro, son
rectos.
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
78
La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo
y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
R2Csen
c
Bsen
b
Asen
a
Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
Asen
a
Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan
el mismo arco son iguales). Luego:
A
a
C
B
A’
R21
R2
º90sen
R2
'Asen
a
Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con
B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo
ángulo que abarca un diámetro es recto).
R2'Asen
a
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
Área de un triángulo
79
hC
C
BA
ab
c H
La superficie del triángulo ABC es:chc
2
1S
En el triángulo AHC :
b
hAsen C AsenbhC
Sustituyendo en la primera expresión:
Asenbc2
1S
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
Área de un triángulo
80
Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.
La superficie del triángulo ABC es:
Por el Teorema del seno :
Sustituyendo en la primera expresión:
Asenbc2
1S
C
BA
ab
c
R
R2Asen
a
R2
aAsen
R2
abc
2
1S
R4
cbaS
TEOREMA DEL
COSENO
81
h
C
BA
ab
c H
m c-m
222 mcha
Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:
222 mcm2ch
2222 mcm2cmb
(en AHC)
2222 mcm2cmb
cm2cb 22
(Como en AHC m = b . cos A) Acoscb2cba 222
Bcosca2cab 222
Ccosba2bac 222
Análogamente (trazando las
otras alturas) obtendríamos:
El cuadrado de un lado es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados
menos el doble producto de estos lados por
el coseno del ángulo correspondiente
82
A
C
cB
ba
C
B A
ba
c
222 cba
222 cba
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Clasificación de triángulos
En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: Acoscb2cba 222
Si A < 90º cos A >0
222 cbaSi A = 90º cos A = 0
Si A > 90º cos A < 0
ab
c BA
C
( Teorema de Pitágoras )
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Área de un triángulo. Fórmula de Herón
83
Por el Tª del coseno
La superficie del triángulo ABC es: Asenbc2
1S
AsenbcS2
AsenbcS4 2222 Acos1bc 222
Acosbcbc 22222
cb2
acbAcos
222
22
22222222
cb4
acbbcbc
4
acbbc4222222
4
acbbc2acbbc2 222222
4
cbaacb2222
hC
C
BA
ab
c H
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Área de un triángulo. Fórmula de Herón
84
Si a+b+c=2p
La superficie del triángulo ABC es: Asenbc2
1S
AsenbcS2
AsenbcS4 2222
4
cbacbaacbacb
...
b+c-a=2p-2a=2(p-a) ....
4
bp2cp2ap2p2
bpcpapp4
2S bpcpapp cpbpappS
(p será el semiperímetro)
FÓRMULA
DE HERÓN
hC
C
BA
ab
c H
4
cbaacb2222
85
Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones
entre los lados y los ángulos de un triángulo.
La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se
puede acceder directamente.
Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene
aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el
estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el
flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y
se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir
del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los
conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.
La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en
Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el
escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac
Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.