Post on 23-Jan-2016
Trigonometría es una palabra de etimología griega, aunque no es una palabra griega. Se compone de trigonon que significa triángulo y metria que significa medición. Y se habla de ella como matemática práctica.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS
CatetoOpuestoasen
Hipotenusaa
a =Hipotenusa
cosecCatetoOpuesto
CatetoOpuestoatan
CatetoContiguoa
Hipotenusasec
CatetoContiguo
CatetoContiguoa
cosHipotenusa
CATETO
OPUESTO
A
CATETO CONTIGUO A
HIPOTENUSA
SENO COSECANTE
COSENO SECANTE
TANGENTE COTANGENTE
CatetoContiguoacot
CatetoOpuesto
12
35
H2 2 2H 12 35
TEOREMA DE PITÁGORAS
H 1369 37
sen
cos
tan 12373537
1235
cot
sec
csc 3512
37353712
EJEMPLO :
•SISTEMA SEXAGESIMAL• La circunferencia se divide en 360
partes iguales.
• Cada una de ellas es un grado sexagesimal.
• Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.
• En la calculadora aparece con la denominación DEG
Notación:
30 grados, 40 minutos y 15 segundos = 30º 40’ 15’’
MEDIDAS DE ÁNGULOS:
• RADIANES
R
R• Un radián es la medida del ángulo central cuyo arco mide lo mismo que el radio de la circunferencia
• Una circunferencia mide 2p radios y como cada radio da lugar a un radián:
360º equivalen a 2p radianes
¿A cuantos grados sexagesimales equivale un radián?
360º ___________ 2p rad
xº ___________ 1 rad x = 360º/2p = 57,29º
• SISTEMA CENTESIMAL
0º
400º
100º
200º
300º
• Cada cuadrante se divide en 100 partes.
• En la calculadora aparece con la denominación GRA.
• Actualmente apenas se utiliza.
0
0
/6p
/p
Ángulos equivalentes :
Como 360º ____ 2p rad
entonces
180º ____p rad
90º ____ p/2 rad
30º ____ p/6 rad
60º ______2p/6 =p/3 rad
270º ______ 3p/2 rad
Ejemplo: Cuántos radianes son 300º
180º ____p rad
300º ____ x rad
entonces x=300º p /180º = 5p/3 rad
De todos los triángulos rectángulos semejantes, elegimos el de hipotenusa la
unidad.
De esta manera, el seno y el coseno se identifican con la longitud de los catetos:
R = 1
αseny1y
αsen
Circunferencia goniométrica
αcosx1x
αcos
y'αtg1y'
αtgThalesaplicandoxy
αtg
senα=tgα
cosα
:
Observamos que entonces que
Construimos triángulos rectángulos semejantes que
contengan al ángulo a.Según el Teorema de Thales sus lados son proporcionales, por lo
que:
y y' y''
x x' x''
'x''y'
x'y'
xy
αtg
Las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del triángulo en el que se
calculen.
Diremos que las razones trigonométricas son propias de cada ángulo, lo califican y lo
diferencian de los demás ángulos.
SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
X
Y
O 1a
A
sen
a
cos a
sen
b
cos b
sen
g
cos g
sen
d
cos d
b
B
g
C
d
D
-1 0 1
El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores
mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1
1sen1
1cos1 -1
-1
1
++_ _
SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO
__ +
+
TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
X
Y
O 1
A
a
tg a
cotg a
tg
b
cotg b
tg g
cotg g
tg d
cotg d
g
C
d
D
B
b
La tangente y la cotangente de un
ángulo puede tomar cualquier
valor .
tg
gcot
+_
+ _
TANGENTE Y COTANGENTE
Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo de hipotenusa la unidad:
IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS
Como consecuencia de la primera igualdad se cumple:
-1 ≤ sen a ≤ 1
-1 ≤ cos a ≤ 1
Dividiendo ambos miembros entre cos2a:
Y dividiendo entre sen2a:
2 2sen α+cos α=1
2 2tg α+1=sec α2 21+cotg α=cosec α
senα=tgα
cosαComo hemos visto antes tenemos que
2
3
2 2cos 1sen
24cos 1
9 2 4 5
cos 19 9
5 5
cos9 3
tancos
sen
2 2 53tan
553
EJEMPLO 1 Sabiendo que es un ángulo agudo tal que sen=2/3 calcula el cos y tan
222
cos 13
22 0,63 1sen
2 1 0,3969 0,6031sen
0,6031 0,777sen
EJEMPLO 2 Sabiendo que α es un ángulo agudo tal que
cos α=0,63 calcula el sen α y tan α
2
0,3969 1sen
2 2
cos
cos 1
sentag
sen
1 1 5cos
5 55
EJEMPLO 3 Sabiendo que α es un ángulo agudo tal que
tagα=2 calcula el sen α y cosα
2 2 15cos 1 cos
5
2 2
2cos
cos 1
sen
sen
2cossen
52·
5sen 2 5
5sen
2 24cos cos 1
RAZONESTRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º y 60º
1
12
32
o30
(
)O60
1
1
2
o45
o45
(
)osen30
12
ocos 30
osen45 1 222
Triángulo rectángulo isósceles
ocos 45 1 222
Triángulo rectángulo mitad de un triángulo equilátero
osen 60
ocos 6012
32
32
otg45 1
otg30 otg6033
3
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
sen
a
cos a
sen
a
sen
a
sen
a
sen
a
1
Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo
tanto
sen 90º = 1A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
cos 90º = 0
Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1.
Es decir,
sen 0º = 0
cos 0º = 1radio=1
1
P(x,y)
O X
Y
a
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 90º, 180º Y 270º
Ángulo coseno seno tangente
0º 1 0 0
90º 0 1 ∞
180º - 1 0 0
270º 0 -1 ∞
(1,0)
(0,1)
(-1,0)
(0,-1)
1) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 1er CUADRANTE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
+ =90a b º
=90b º - a
sen a = cos ( 90º - a )
cos a = sen ( 90º - a )
tg a = ctg ( 90º - a )
FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
+ =180a b º =b180º - a
sen (180º - a ) = sen a
tg (180º - a ) = - tg a
cos (180º - a ) = - cos a
2) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 20 CUADRANTE
b) ÁNGULOS a y p/2 + a
sen ( p/2 + a ) = cos a
cos ( p/2 + a ) = - sen a
tg ( p/2 + a ) = - cotg a
a) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
a) a y 180º + a
sen (180º + a ) = - sen a
cos (180º + a ) = - cos a
tg (180º + a ) = tg a
b) a y 270 - a
sen (270º-a) = - cos a
cos (270º-a) = - sen a
tg (270º-a) = cotg a
3) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 3er CUADRANTE
c 20,88m
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
46o27
CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO
En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 27º y la hipotenusa 46m. Halla los dos catetos
c
b
c
sen27º46
c 46·sen27º
b
cos 27º46
b 46·cos 27º b 40,99m
)
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
40
CASO 2 : DATOS ; LOS DOS CATETOS
17
17
tg 0,42540
arct g 0,425 23º1' 32 ''
Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 17cm y 40cm. Hallar los ángulos del triángulo
90º 23º1' 32 '' 66º58 ' 28 ''
)
PROBLEMA 1. Cuando los rayos del sol forman 40º con el suelo, la sombra de un árbol mide de 18m. ¿Cuál es su altura?
PROBLEMA 2. Una escalera de 3m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forman la escalera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared?
x
tg40º=18
x =18·tg40º
x =15,1m
1,2cosα=
3=0,4 α=arccos0,4
=66º25'19' '
ÁNGULOS VERTICALES
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
HORIZONTAL
VISUAL
VISUAL
))
Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis?
EJEMPLO :
SOLUCIÓN
) ) o37O53
70
h h
) O53x
) o37
+
htg53º=
xh
tg37º=x+70
hx =
tg53º
hx = - 70
tg37º
h h
= - 70tg53º tg37º
h h= - 70
1,33 0,75
0,75h=1,33h- 69,825 0,58h=69,825h=120,39m