Post on 06-Jan-2017
Iván Corral Merino
Jesús Murillo Ramón
Facultad de Letras y de la Educación
Máster universitario en Profesorado de ESO, Bachillerato, FP y Enseñanza de Idiomas
Matemáticas
2014-2015
Título
Director/es
Facultad
Titulación
Departamento
TRABAJO FIN DE ESTUDIOS
Curso Académico
Trigonometría sin papel
Autor/es
© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2015
publicaciones.unirioja.esE-mail: publicaciones@unirioja.es
Trigonometría sin papel, trabajo fin de estudiosde Iván Corral Merino, dirigido por Jesús Murillo Ramón (publicado por la Universidad de
La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.
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Iván Corral Merino
Máster de Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Escuelas Oficiales de Idiomas,
especialidad Matemáticas
Curso 2014/2015
Trabajo Fin de Máster
Iván Corral Merino 1
Índice
1. Introducción ................................................................................................................. 2
2. Marco teórico sobre los procesos de enseñanza-aprendizaje ....................................... 3
a. Desde un punto de vista psicológico .........................................................................................3
b. Desde un punto de vista pedagógico .........................................................................................6
c. El proceso de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas ........................................................9
3. Unidad Didáctica ....................................................................................................... 16
a. Introducción y eje organizador ............................................................................................... 16
b. Objetivos ................................................................................................................................. 17
c. Contribución de la unidad didáctica a las competencias básicas ............................................ 17
d. Contenidos .............................................................................................................................. 18
e. Metodología ............................................................................................................................ 20
f. Actividades ............................................................................................................................. 21
g. Materiales y recursos didácticos ............................................................................................. 23
h. Evaluación .............................................................................................................................. 24
i. Anexos .................................................................................................................................... 27
4. Proyecto de Innovación Docente: “Trigonometría sin papel” ................................... 33
a. Introducción ............................................................................................................................ 33
b. Objetivos ................................................................................................................................. 35
c. Marco teórico .......................................................................................................................... 36
d. Descripción del proyecto ........................................................................................................ 40
e. Criterios y métodos de evaluación .......................................................................................... 48
f. Conclusión .............................................................................................................................. 51
g. Bibliografía y fuentes ............................................................................................................. 52
5. Reflexión final ........................................................................................................... 54
6. Bibliografía y recursos TIC ....................................................................................... 55
Trabajo Fin de Máster
Iván Corral Merino 2
Introducción
El Máster de Profesorado surge con la vocación de formar a los futuros docentes de
Educación Secundaria, Bachillerato, Formación Profesional y Escuelas de Idiomas en la
didáctica más general y específica de su especialidad, capacitándoles para enseñar, dotándoles
de habilidades para formar parte de un equipo docente y desarrollando estrategias para la
orientación de sus alumnos. Así, aquellos que superan su plan de estudios, disponen de un
título habilitante para el ejercicio de la profesión docente.
Es por ello que este Trabajo Fin de Máster debe ser el reflejo de todas las capacidades
adquiridas durante el curso tanto en los aspectos más concretos de la especialidad como en
aquellos referentes a la psicopedagogía.
Con este objetivo, el presente trabajo contiene tres grandes partes:
• Un marco teórico sobre los procesos de enseñanza aprendizaje, a modo de
compendio de los conocimientos adquiridos tanto en las asignaturas del módulo
genérico como en el específico.
• Una unidad didáctica completa, desarrollada durante el periodo de prácticas para
un grupo-clase concreto y real, y que intenta reflejar lo recogido en el marco teórico.
• Un proyecto de innovación, diseñado a partir de las carencias y dificultades
observadas durante el periodo de prácticas para la unidad didáctica anterior.
De esta manera, realizaremos un recorrido por todos los conocimientos teóricos y prácticos
que se han trabajados durante este año académico, intentando poner de manifiesto la conexión
entre todos ellos.
Trabajo Fin de Máster Marco teórico
Iván Corral Merino 3
Marco teórico de los procesos de enseñanza-aprendizaje
En el proceso educativo intervienen dos aspectos tan fuertemente relacionado que en la
mayoría de los casos tienden a ser considerados equivalentes. Estos son la enseñanza y el
aprendizaje. Cuando hablamos de aprendizaje hacemos referencia a lo que se aprende y de qué
forma se aprende, mientras que la enseñanza se centra en los procesos utilizados por un agente
externo al alumno para que el aprendizaje se produzca.
Si se trata de establecer un marco de referencia desde una perspectiva teórica para el análisis
de los procesos de enseñanza-aprendizaje, resulta imprescindible contemplarlos desde el
ámbito de las Ciencias de la Educación, a saber la Psicología y la Pedagogía, y desde el de la
propia materia estudiada, las Matemáticas.
1. Desde un punto de vista psicológico
Teorías del aprendizaje
La Psicología del Desarrollo estudia el desarrollo humano, es decir los cambios que se
producen en el individuo y las características que permanecen estables, y dentro de ella
podemos encontrar dos teorías del aprendizaje, el conductismo y el constructivismo.
En cuanto a la primera de ellas, el conductismo, este defiende que los cambios que se
producen en la conducta de un individuo son debidos al aprendizaje y no tiene en cuenta los
procesos cognitivos. El hombre se presenta como un organismo pasivo, que únicamente
reacciona a los estímulos del entorno. Aunque uno de sus representantes más conocidos es
Paulov, con su condicionamiento clásico, es importante destacar el condicionamiento
instrumental u operante de Skinner, quien afirma que la conducta depende de las consecuencias
que esta provoca y está orientada a la consecución de un resultado. Es interesante por la teoría
de reforzadores que implementa (refuerzos/castigos positivos/negativos), y se utiliza en el aula
de una manera más o menos consciente.
Pero a lo que se pretende aproximarse es a la segunda, el constructivismo. En este caso, se
entiende que las modificaciones de las conductas son provocadas por cambios en el
conocimiento y en la capacidad intelectual de la persona. Tienen en cuenta los procesos
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cognitivos y consideran al hombre como un organismo activo, protagonista de la construcción
de su conocimiento como resultado de la interacción y elaboración de la información que
recibe del entorno. Podemos destacar algunos autores importantes como Piaget, quien
preconiza que el origen de la inteligencia está en la acción; o Vygotski, con su modelo social
y Zona de Desarrollo Próximo (ZDP) en la que se basan las técnicas de andamiaje y tutoría.
Pero si tengo que poner de relieve solo uno, ese es Ausubel, precursor del aprendizaje
significativo. Defiende el hecho de aprender a aprender, y que el alumno sea autónomo y capaz
de autorregularse con el apoyo de la figura del profesor como mediador, siendo consciente de
sus propios procesos cognitivos (metacognición).
El desarrollo cognitivo y la personalidad del adolescente
No debemos olvidar que los alumnos con los que vamos a trabajar se encuentran en plena
adolescencia, etapa en la que producen cambios en múltiples facetas de su vida: físicos,
sociales, emocionales, cognitivos…
Estos cambios dan lugar a diversos desarrollos que se van produciendo en el adolescente de
manera paralela, como son el desarrollo físico (hormonal), cerebral (mielinización y poda
sináptica), de la personalidad (autoconcepto y autoestima) y socio-emocional. En este caso,
vamos a centrarnos en el desarrollo del pensamiento.
El adolescente experimenta cambios intelectuales y adquiere nuevas habilidades cognitivas
como la memoria, la atención, el lenguaje… y comienza a conformar el pensamiento social,
es decir, todo aquello que tiene que ver con la empatía, la identidad y el juicio moral. Además,
empieza a desarrollar procesos metacognitivos y las denominadas funciones ejecutivas
(actualización, inhibición, flexibilidad, planificación y toma de decisiones). Entre los cambios
fundamentales que se producen encontramos:
• Capacidad de pensar en abstracto y despegarse de la realidad.
• Capacidad de formular hipótesis, utilización del método hipotético-deductivo para
evaluar alternativas.
• Capacidad para concebir lo posible, entendiendo la realidad como una opción más.
• Uso de la combinatoria, organizando todos los elementos.
• Uso de la lógica proposicional y desarrollo del lenguaje complejo.
Así mismo, los rasgos cognitivos que predominan en la personalidad adolescente son el
idealismo, la tendencia a discutir y la indecisión, y el egocentrismo, entendiéndose a ellos
mismos como el centro de atención, seres únicos y a salvo de todo riesgo.
Trabajo Fin de Máster Marco teórico
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El control y supervisión de todos estos cambios no resulta banal, ya que podrían derivar en
problemáticas más complejas y graves como los trastornos depresivos, suicidio, trastornos
alimenticios o el consumo de sustancias.
Factores intrapersonales e interpersonales del proceso de enseñanza-aprendizaje
Son muchas las variables personales que influyen en el aprendizaje del alumno. Podemos
agruparlas en las siguientes:
• Cognición: donde estarían incluidas sus capacidades y sus conocimientos previos.
• Conación: el uso que hace de sus capacidades, es decir, sus estilos cognitivos y de
aprendizaje.
• Afecto: teniendo en cuenta la motivación, la emoción y la personalidad.
La conjunción de todas estas variables da como resultado unas determinadas estrategias de
aprendizaje que influyen directamente en su rendimiento escolar.
Analicemos ahora el componente de la motivación. Lo consideramos como la palanca que
mueve toda conducta. Es la que inicia, mantiene, orienta y detiene el comportamiento, y
comprende tres componentes personales: expectativa (autoconcepto y autoeficacia), valor
(metas de aprendizaje) y emoción. Y en este sentido, no podemos obviar la importancia de la
inteligencia emocional, entendiéndola como la capacidad de reconocer nuestros propios
sentimientos y los de los demás, de motivarnos y manejar adecuadamente las relaciones con
los demás y con nosotros mismo. Este término es muy amplio y engloba otros ingredientes.
Entre los intrapersonales (relación con nosotros mismos) encontramos la autoconciencia y la
autorregulación; y entre los interpersonales (relación con los demás), la motivación, la empatía
y otras habilidades sociales.
Atención a la diversidad y necesidades educativas especiales
A la hora de enfrentarse al trabajo diario en el aula, el profesor debe ser consciente de la
amplia diversidad que se presenta ante sus ojos. Los alumnos con necesidades educativas
especiales (ACNEE) son aquellos que por un periodo o toda su vida requieren apoyos y
atenciones educativas específicas a causa de una discapacidad o trastorno grave de conducta.
Esto no debe ser motivo de frustración por parte del profesor quien debe actuar bajo los
principios de calidad, equidad, flexibilidad y no discriminación. Para ello, el sistema educativo
ha desarrollado las medidas de atención a la diversidad que son aquellas actuaciones
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educativas dirigidas a dar respuesta a distintas situaciones de aprendizaje por necesidades
educativas especiales, siempre desde un punto de vista inclusivo.
Dentro de estas necesidades especiales, encontramos:
• La alta capacidad intelectual: superdotación o talentos.
• El trastorno de déficit de atención con hiperactividad (TDAH), caracterizado por
una cierta impulsividad cognitiva y conductual.
• Los trastornos del espectro autista (TEA), con alteraciones en la interacción social,
la comunicación y el comportamiento.
2. Desde un punto de vista pedagógico
La Didáctica
Las Ciencias de la Educación definen la Didáctica como la disciplina científica, técnica y
tecnológica de la educación en los procesos de enseñanza-aprendizaje que tiene lugar en
contextos diversos y a lo largo de la vida. Su finalidad es garantizar una educación y formación
de calidad para todos los estudiantes. Su misión, alcanzar una formación integral a través del
desarrollo de capacidades (poder) para adquirir competencias (saber hacer) y facultades (ser).
Las capacidades son aquellas aptitudes que posee el individuo con un alto componente
genético, que definen un potencial y dan lugar a una gran diversidad. Mediante la intervención
socio-educativa podemos aplicar procedimientos que, mediante la práctica, transformen esas
capacidades en habilidades o destrezas, En otras palabras, pasamos del “poder” al “saber
hacer”. Si además somos capaces de introducir el componente de la autorregulación, estamos
diseñando estrategias que dan lugar a competencias, lo que significa ser capaz de tomar
decisiones de forma consciente en el momento oportuno para resolver un problema.
No debemos olvidar que la educación empieza en la familia y continúa en el ambiente socio-
cultural, y que la formación que lleva a cabo en la escuela. Sin embargo, todo ellos forman
parte del contexto educativo del alumno.
Las competencias
Entendemos por competencias un conjunto de actuaciones conscientes e intencionales que
garantizan respuestas eficaces a los problemas o situaciones que se pueden plantear en
contextos diversos y relevantes para la vida de la persona. Su puesta en práctica requiere saber
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(conocimientos teórico-conceptuales específicos de las materias de aprendizaje), saber hacer
(procedimientos, habilidades, destrezas) y saber convivir (principios, hábitos, normas,
costumbres y valores).
Una persona competente no solo realiza bien su trabajo, sino que también lo hace
demostrando su actitud y sus valores de modo coherente. Los valores, como convicciones
profundas o vitales de las personas, determinan la manera de ser y orientan sus acciones y
comportamientos.
Es por esto, que los currículos oficiales definen ocho competencias básicas:
• Competencia en comunicación lingüística
• Competencia matemática
• Competencia en el conocimiento e interacción con el mundo físico
• Competencia digital
• Competencia social y ciudadana
• Competencia para aprender a aprender
• Autonomía e iniciativa personal
Al contrario de lo que puede parecer, estas ocho competencias básicas pueden y deben
trabajarse, en mayor o menor medida, desde todas las materias del currículo, ya que se
constituyen como elementos transversales dentro del proceso educativo.
Componentes didácticos de los procesos de enseñanza-aprendizaje
Según el modelo 3P de enseñanza-aprendizaje de Biggs, existen tres componentes
principales en este proceso: Pronóstico, Proceso y Producto. Dentro del primero, encontramos
al estudiante (agente central), al profesor (gestor clave) y el contexto (entrada de influencias).
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En cuanto al Proceso, este se refiere a aquellas estrategias o actividades llevadas a cabo por y
para los agentes anteriormente mencionados para la consecución de unos resultados.
La interacción entre todos estos componentes didácticos da lugar al proceso de enseñanza-
aprendizaje.
Educación: rasgos personales del profesorado y su actuación docente
Quedémonos con la siguiente definición de “educación”: proceso permanente a través del
cual cada persona puede llegar a dirigir con sentido su propia vida y alcanzar su plena
realización, considerando cuatro pilares de conocimiento: aprender a conocer, a hacer, a
convivir y a ser.
Anteriormente hemos identificado al profesor como el gestor clave del proceso educativo,
por lo que sus rasgos personales más significativos deberían ser:
• Objetividad, en términos de credibilidad, coherencia y justicia.
• Sensibilidad, con empatía y flexibilidad.
• Entusiasmo por la materia y la docencia.
Y en lo referente a su actuación docente:
• Claridad.
• Organización y orden.
• Variedad de métodos.
• Ritmo adaptado a sus alumnos.
• Evaluación para comprobar y no para sancionar.
La Programación Didáctica
¿Y cómo se concreta toda esta teoría pedagógica? Podemos distinguir tres niveles de
concreción:
• 1º Nivel: Diseño Curricular Base (DCB), ley de educación a nivel estatal y de
comunidad autónoma.
• 2º Nivel: Proyecto Educativo del Centro (PEC), diseñado por el Consejo Escolar.
• 3º Nivel: Programación Didáctica del departamento, confeccionada a nivel de
claustro y equipo docente y que cada profesor desarrolla en el aula mediante
Unidades Didácticas.
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La Programación Didáctica es el plan estratégico diseñado y utilizado como herramienta
por el profesor para la gestión del proceso de enseñanza-aprendizaje, en el que se definen los
objetivos didácticos (elemento clave y del que se derivan el resto de componentes de la
programación), contenidos a impartir, competencias a adquirir, metodología a aplicar, recursos
a utilizar, actividades a realizar y criterios de evaluación a seguir para la comprobación de la
consecución de los objetivos.
Como consecuencia, las características que debemos exigirle a una buena programación
son:
• Coherencia y secuencia, conformando una unidad fundamental.
• Flexibilidad para introducir mejoras sin romper esa unidad.
• Objetividad y realismo.
• Precisión y claridad.
3. El proceso de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas
El currículo de Matemáticas en la E.S.O.
Desde una perspectiva curricular, las matemáticas contribuyen a la formalización de las
ciencias tanto experimentales como sociales y nos ayudan a entender el mundo que nos rodea,
por lo que forman parte de nuestra cultura.
En cuanto al proceso de enseñanza de esta materia, ésta debe realizarse de forma intuitiva
y buscando paulatinamente el rigor matemático, sirviéndonos del uso racional de la tecnología
de la que disponemos y de la posibilidades que ofrece el trabajo en grupo, con el fin de que el
aprendizaje sea inductivo y fomente el desarrollo autónomo de los alumnos y su interés por las
Matemáticas.
La enseñanza de las Matemáticas se entiende como un proceso cíclico y pretende desarrollar
las competencias a través de cinco bloques de contenidos:
• Números: ampliación de los conjuntos de números, comprensión de operaciones y
estimación y cálculo mental.
• Álgebra: uso de los símbolos y expresiones propios del lenguaje matemático.
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• Geometría: cálculo de superficies y volúmenes, clasificar y razonar sobre formas
geométricas.
• Funciones: describir, interpretar, predecir y explicar fenómenos de diversos tipos y
modelizar situaciones reales.
• Estadística: analizar de forma crítica situaciones reales, estudiar fenómenos
aleatorios sencillos y sacar conclusiones.
Todos los bloques de contenidos se han confeccionado con el fin práctico de la resolución
de problemas, lo cual está orientado a facilitar la toma de decisiones en la vida adulta del
alumno, finalidad del proceso de aprendizaje, ya que necesitamos las Matemáticas para tratar
información, establecer y contrastar hipótesis, diseñar estrategias y extrapolar resultados.
Objetivos de la enseñanza de las Matemáticas
La enseñanza de las Matemáticas persigue múltiples y diversos objetivos que podemos
resumir en los siguientes:
• Aplicar adecuadamente herramientas matemáticas en diferentes situaciones de la
vida cotidiana.
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• Dotar a los alumnos de capacidades y estrategias para la resolución de cualquier tipo
de problema de índole matemática.
• Integrar las matemáticas dentro de la cultura del alumno, desde un punto de vista
histórico, y apreciando su papel en el desarrollo de la sociedad actual. Así mismo,
dotarle de herramientas para apreciar el uso de las Matemáticas en el arte, la
arquitectura, etc.
• Incorporar las Matemáticas, su modo de expresión y su razonamiento al lenguaje y
modo de argumentación de la persona, para conseguir dotarle de un pensamiento
crítico y reflexivo.
• Dotar al alumno de un cierto manejo de diferentes recursos informáticos en el
ámbito de las Matemáticas, es decir, en el uso de calculadoras y programas
informáticos útiles para la resolución de problemas.
Contribución de las Matemáticas a las competencias básicas
Las Matemáticas como materia a estudiar dentro del recorrido académico del alumno, no
solo contribuyen a la adquisición de la competencia matemática, sino que desde la asignatura
se pueden trabajar las distintas competencias con la adecuada utilización de conocimientos
transversales. Así, las Matemáticas contribuyen al trabajo del resto de competencias básicas
de la siguiente manera:
• El estudio de formas geométricas y modelización, a la competencia del
conocimiento e interacción con el mundo físico.
• Las herramientas tecnológicas, a la competencia digital.
• La expresión del lenguaje matemático y la resolución de problemas, a la
competencia lingüística.
• La geometría como expresión artística, a la competencia cultural y artística.
• La resolución de problemas, a la competencia de aprender a aprender y autonomía
e iniciativa personal.
• El análisis funcional y la estadística, a la competencia social y ciudadana.
La Transposición Didáctica
Podríamos considerar la transposición didáctica como la raíz de la didáctica de las
Matemáticas. Se trata del proceso de transformación del conocimiento científico, también
conocido como “saber sabio”, en otro conocimiento más comprensible y adecuado para
enseñanza, “saber enseñando”, por parte del profesional docente. Este paso es fundamental y
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conforma la base del proceso de enseñanza-aprendizaje, sobre todo en una disciplina como las
Matemáticas, en la que ciertos conceptos se antojan tan abstractos que resultarían muy difíciles
de aplicar en ciertos niveles educativos.
Es por ello que la principal competencia del profesor de Matemáticas es la planificación
didáctica, es decir, saber qué enseñar y cómo enseñarlo. En cuanto a qué enseñar, la respuesta
son las llamadas “Matemáticas escolares” que son el resultado de la transposición didáctica
del conocimiento técnico que posee el profesor. Por el contrario, para decidir cómo enseñarlo
el docente debe recurrir a sus competencias didácticas para diseñar la unidad didáctica que
intentará aplicar en el aula. Una herramienta de planificación eficaz en este caso es el análisis
didáctico, un procedimiento cíclico que se estructura en cuatro fases:
• Análisis del conocimiento: definir contenidos, objetivos y competencias.
• Análisis cognitivo: anticipar la respuesta de los alumnos.
• Análisis de instrucción: diseño de la acción didáctica.
• Análisis de la actuación: verificación de lo conseguido. Punto de partida del tema
siguiente.
Atención a la diversidad en Matemáticas
Como ya hemos visto anteriormente de manera más teórica, la atención a la diversidad no
solo se refiere a alumnos con problemas para alcanzar los mínimos exigidos, sino que también
existen estudiantes con necesidades especiales debido a su alto desarrollo intelectual. Así
mismo, en el análisis realizado del currículo de la E.S.O., se indica que todos los contenidos y
demás componentes docentes deben estar orientados a la resolución de problemas, como
resultado final y puesta en práctica de la cultura matemática que los alumnos van adquiriendo
en los diferentes niveles educativos. Los estudiantes deben ser capaces de aplicar modelos
matemáticos para la resolución de problemas de la vida real, seleccionando las estrategias más
adecuadas.
Para ello, y teniendo en cuenta estos dos aspectos, podemos atender a esa diversidad a través
de la propuesta de problemas con diferenciación de contenidos. En otras palabras, se trata de
plantear problemas con distintos niveles de contenido y distintos enfoques que el alumno pueda
ir completando de manera gradual según sus capacidades.
A modo de ejemplo, consideremos un problema de optimización de volúmenes:
• Nivel 1: Plantear el estudio de las formas geométricas que intervienen a través de la
descomposición de los cuerpos en otros más sencillos.
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• Nivel 2: Formular y generalizar de manera algebraica las expresiones para el cálculo
de volúmenes y áreas.
• Nivel 3: Obtener el óptimo buscado a través de una tabla de valores obtenidos
mediante fórmulas.
• Nivel 4: Obtener el óptimo buscado utilizando el cálculo diferencial.
O en el caso de un problema probabilístico:
• Nivel 1: Modelizar el problema mediante un experimento real con un dado.
• Nivel 2: Simular resultados aleatorios mediante una aplicación informática.
• Nivel 3: Aplicar la inferencia estadística mediante el análisis de distribuciones de
probabilidad teóricas.
La evaluación matemática
La evaluación de las Matemáticas forma parte de su didáctica. El concepto de evaluación
varía desde ser considerada como una mera valoración de los logros académicos conseguidos
por el alumno, presentados mediante un valor numérico encuadrado dentro de una escala
(métodos cuantitativos), hasta ser considerada una herramienta que además de valorar
académicamente al alumno sirve como medio informativo de los puntos fuertes y débiles del
proceso de enseñanza-aprendizaje en la que apoyarse para poder mejorar el mismo (métodos
cualitativos).
Así durante las primeras etapas, la evaluación únicamente se centraba en la valoración de
los logros de habilidades por parte de los alumnos, olvidándose totalmente del proceso seguido
para conseguir estos logros. En la perspectiva actual, la evaluación deja de centrarse
únicamente en la valoración académica del alumno, y fija cada vez más su atención en las
interacciones que ocurren en el aula, convirtiéndose a su vez en una herramienta de reflexión
sobre el propio proceso de enseñanza-aprendizaje. La evaluación pasa a ser un eje fundamental
en el proceso educativo, que hace de regulador del propio proceso, por lo que es necesario que
tanto docentes como equipo del centro se involucren activamente para adaptar el proceso a las
necesidades que van dictando los resultados de la propia evaluación.
La forma de evaluar también nos muestra la importancia que el profesor da a los diferentes
contenidos del currículo. La elección de las actividades, la metodología utilizada, los
contenidos, etc., estarán determinados por la evaluación que va a llevarse a cabo.
De acuerdo con este nuevo concepto de evaluación, podemos definir las siguientes
funciones de la evaluación matemática:
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• Función social: la evaluación puede llegar a realizar una clasificación social, ya que
supone el reconocimiento de haber adquirido una serie de habilidades al final de la
etapa de cada ciclo educativo, y esto es lo que te clasifica socialmente frente a los
demás. Esta posible función clasificadora, no es compatible con la función
orientadora que debe realizar el profesor.
• Función ética y política: que establece es el derecho al error como vía de acceso al
conocimiento.
• Función pedagógica: La evaluación regula y controla el aprendizaje del alumno y
sus interacciones con el procedimiento educativo utilizado y es una herramienta
muy útil para guiar el proceso pedagógico utilizado por el profesor, acoplando la
metodología utilizada a las necesidades reales de sus alumnos.
• Función profesional: Debe servir para identificar habilidades, errores, regular el
proceso, intervenir en la planificación promoviendo mejoras e influyendo en las
decisiones. Su precisión se controla a través de la definición de formatos y
procedimientos determinados y se adecúa mediante diferentes parámetros.
Es por ello que las exigencias realizadas a la evaluación se hacen en términos de
reproductibilidad, significatividad, información y pertinencia.
La Historia de las Matemáticas como recurso didáctico
Si recordamos los objetivos de la enseñanza de las Matemáticas, uno de ello es la
integración de estas dentro de la cultura del alumno, desde un punto de vista histórico,
considerando su papel en el desarrollo de la sociedad actual.
Pero, ¿cómo podemos incorporar la Historia de las Matemáticas en el aula? He aquí algunas
ideas:
• Hacer descubrir a los alumnos la relación de las Matemáticas con la cultura de la
época y cómo ambas han ido evolucionando y nutriéndose una de la otra, dando
respuesta a los problemas y a las necesidades de la sociedad. Dar a conocer la
Historia a los alumnos puede favorecer el desarrollo de su juicio crítico en los
problemas que se plantean en su vida diaria.
• Utilizar los grandes problemas matemáticos para contextualizar la introducción de
ciertos temas. Resulta fundamental hacer ver a los alumnos que las Matemáticas son
una ciencia en constante evolución y que son creadas por y para la sociedad.
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• Tratar de “humanizar” las Matemáticas a través de la vida de los principales
matemáticos, con el fin de acercar a las personas y jugar en un plano más afectivo.
Es decir, dar a conocer la época en la que vivieron, las vicisitudes que sufrieron, los
problemas de distinta índole a los que tuvieron que hacer frente para desarrollar su
trabajo…
• Abordar la evolución a lo largo de la historia de los conceptos y símbolos que se
utilizan actualmente y que hoy son objeto de estudio.
Recursos TIC para la enseñanza de las Matemáticas
Actualmente existen múltiples recursos tecnológicos que sirven de apoyo al profesor en el
proceso de enseñanza y favorecen muy notablemente el aprendizaje de los alumnos a todos los
niveles desde una perspectiva constructivista. Entre dichas aplicaciones encontramos las
siguientes:
• Cabri Géomètre II Plus: es un software de geometría dinámica de fácil
manipulación y de rápido aprendizaje, que permite a los estudiantes visualizar,
descubrir, conjeturar y comprobar propiedades que se deseen trabajar.
• Xlogo: es un programa interprete del lenguaje LOGO. Es un buen lenguaje para
comenzar a estudiar programación y enseñar lo básico acerca de temas como bucles,
condicionales, procedimientos, etc. El usuario puede mover un objeto llamado
"tortuga" dentro de la pantalla, usando instrucciones (comandos) simples y
realizando gráficos de distinta complejidad con su movimiento.
• GeoGebra: es un software gratuito y de código abierto de matemáticas dinámicas
para todos los niveles educativos que reúne geometría, álgebra, hoja de cálculo,
gráficos, estadística y cálculo en un solo programa fácil de usar con herramientas
muy potentes y de las que el docente puede sacar un gran partido.
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Unidad Didáctica
Como ya hemos comentado en el marco teórico de los procesos de enseñanza-aprendizaje,
el último nivel de concreción de la teoría psicopedagógica es el desarrollo de una unidad
didáctica por parte del profesor, la cual recoge todos los elementos necesarios para llevar a
cabo el proceso educativo en el día a día del aula.
Para ilustrar de modo práctico el apartado teórico precedente, presento a continuación una
unidad didáctica completamente desarrollada y diseñada durante el periodo de prácticas en el
I.E.S. Ciudad de Haro para un grupo-clase concreto y real, 4º ESO (Opc. B).
Se trata de un grupo de 15 alumnos de entre 15 y 16 años. Dado que en este nivel, esta
opción de Matemáticas es de libre elección, los alumnos provienen de otros grupos-clase
originarios de la opción de ciencias, humanidades y tecnología, por lo que no todos están
encaminados a continuar con el estudio de las Matemáticas en profundidad en estudios técnicos
o científicos. Este grupo es también muy heterogéneo, no solo por lo comentado anteriormente,
sino por los resultados que alcanza: existen alumnos con resultados muy altos y otros que se
encuentran lejos del nivel que se exige.
TRIGONOMETRÍA
Introducción y eje organizador
La presente unidad didáctica desarrolla el tópico matemático de la trigonometría. Esta se
enmarca en la asignatura de matemáticas de cuarto curso de E.S.O, opción B, y los contenidos
que recoge se encuentran dentro del bloque de Geometría, precedido del tema de semejanza y
sucedido por el de geometría analítica según la secuenciación de la programación didáctica del
curso en cuestión.
La trigonometría es una herramienta matemática que permite resolver problemas tanto en
el plano como en el espacio. Aunque en este nivel se presenta la trigonometría principalmente
como herramienta para resolver triángulos y calcular áreas y volúmenes, en cursos posteriores
serán muchas las aplicaciones de la trigonometría.
Es importante destacar que es en este curso cuando se aborda por primera vez el tema de la
trigonometría, por lo que los conceptos que se tratarán en esta unidad serán completamente
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nuevo. Es por ello que resultaría conveniente que los alumnos recuerden el concepto de grado
sexagesimal, así como los teoremas de Pitágoras y Tales, tratados anteriormente, así como las
expresiones de las longitudes, áreas y volúmenes de las principales figuras y cuerpos
geométricos vistos a lo largo de todo su recorrido académico.
No debemos perder de vista que la trigonometría es una herramienta de base para los
cálculos en todas las ciencias y algunas disciplinas artísticas, y en concreto en física, química,
astronomía, topografía, arquitectura y artes plásticas.
Objetivos
• Entender las distintas formas de medir ángulos y cómo se transforman de unos sistemas
a otros.
• Comprender las relaciones que existen entre los lados y los ángulos en los triángulos
rectángulos
• Expresar estas relaciones mediante las razones trigonométricas de un ángulo
• Resolver triángulos y problemas de geometría mediante el uso de razones
trigonométricas y sus relaciones.
Contribución de la unidad didáctica a las competencias básicas
Competencia lingüística:
Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es
básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, los problemas con enunciado
contextualizado finales desarrollan la comunicación escrita.
Competencia matemática
Esta competencia abarca todas las secciones y actividades del libro, por lo que se trabaja de
manera completa. En esta unidad se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las
subcompetencias de resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.
Competencia para la interacción con el mundo físico
Se trabaja la subcompetencia de conocimiento y valoración del desarrollo científico y
tecnológico, al estudiar la evolución de los instrumentos de medición a través de la
trigonometría.
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
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Competencia cultural y artística
Esta competencia se trabaja mediante lecturas, notas al margen y actividades sobre el
desarrollo histórico de la trigonometría y su aplicación a la arquitectura.
Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital
La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la
resolución de actividades. Se trabajan la obtención, transformación y comunicación de la
información y de uso de las herramientas tecnológicas asociadas a la geometría. Además, se
incorpora la utilización de aplicaciones informáticas para la explicación de los contenidos
teóricos.
Competencia para aprender a aprender
A partir de las actividades planteadas se pretende que el alumno tome conciencia y control
de sus propias capacidades y conocimiento de su propio proceso de aprendizaje, así como del
manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.
Competencia de autonomía e iniciativa personal
A partir de las actividades propuestas a los alumnos fuera del aula, se fomenta el trabajo
autónomo del alumno desde una perspectiva de aprendizaje constructivista y significativo.
Contenidos
Conceptos
• Medida de ángulos: el grado y el radián. Equivalencia entre ambas medidas.
• Razones trigonométricas de los ángulos agudos: seno, coseno y tangente
• Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo. Ecuación fundamental de
la trigonometría.
• Uso de las funciones trigonométricas en la calculadora. Razones trigonométricas
inversas. Ecuaciones trigonométricas.
• La circunferencia goniométrica: Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
Reducción de un ángulo al primer cuadrante.
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
Iván Corral Merino 19
• Relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios,
suplementarios y que difieren 180º y negativos.
• Teoremas del seno y del coseno
Procedimientos
• Distinguir las razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y tangente, y
calcularlas a partir de datos dados en distintos contextos.
• Utilizar la calculadora para hallar el seno, coseno o tangente de un ángulo dado.
• Reconocer la utilidad de la circunferencia goniométrica y determinar el signo de las
razones trigonométricas de un ángulo en función del cuadrante en el que se encuentre.
• Calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera mediante la reducción a
un ángulo del primer cuadrante.
• Conocer las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos
complementarios, suplementarios y opuestos.
• Resolver triángulos rectángulos, conocidos dos de sus lados, o bien un lado y un ángulo
agudo.
• Resolver triángulos cualesquiera, mediante la aplicación de los teoremas del seno y del
coseno en distintos contextos y según los datos dados, ángulos o lados.
• Utilizar la trigonometría para resolver problemas geométricos reales.
Actitudes
• Reconocer la utilidad de la trigonometría para resolver problemas reales.
• Interés por la resolución razonada, ordenada y cuidadosa de problemas de
trigonometría.
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
Iván Corral Merino 20
Metodología
Con el objeto de lograr los objetivos didácticos propuestos, desarrollar las competencias
básicas y trabajar los contenidos apostamos por una metodología activa y constructiva que
atienda a la diversidad y promueva el aprendizaje significativo. El trabajo en el aula se basará
en las siguientes estrategias metodológicas:
1. Partir del nivel de desarrollo y los conocimientos previos del alumnado
2. Metodología activa y participativa, dónde los protagonistas del proceso de enseñanza
y aprendizaje deben ser los alumnos.
3. Atención personalizada, teniendo presente la atención a la diversidad.
4. Motivación y atención a las competencias básicas, combinando reflexión teórica y
práctica.
5. Trabajo individual y en equipo.
La primera parte de la unidad está dedicada a adquirir los conceptos necesarios para la
resolución de triángulos rectángulos y su aplicación a diferentes situaciones, lo que incluye el
estudio de las unidades de medida de ángulos, las razones trigonométricas en ángulos agudos
y las relaciones entre ellas.
En la segunda parte, se pretende generalizar
los conceptos de razones trigonométricas a un
ángulo cualquiera mediante el estudio de la
circunferencia goniométrica y las relaciones
entre parejas de ángulos (complementarios,
suplementarios…), así como los teoremas del
seno y del coseno. Todo ello orientado a la
resolución de problemas reales mediante la
utilización de las herramientas trigonométricas
adecuadas.
En todas las sesiones, la exposición teórica
debería ir acompañada de la realización de
ejemplos y de ejercicios. Para mejorar la
comprensión de los conceptos teóricos por parte de los alumnos, se utilizará la aplicación
TRIGONOMETRÍA
Medida de ángulos Grado sexagesimal
Radián
Razones
trigonométricas y
sus relaciones
Seno, coseno y tangente
Relaciones fundamentales
Ecuaciones
trigonométricas
Uso de la calculadora
Razones inversas
Razones en ángulos
cualesquiera
Resolución de
triángulos
Triángulos rectángulos
Teoremas del seno y del
coseno
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
Iván Corral Merino 21
informática GeoGebra como herramienta didáctica, material que se adjunta en soporte
informático para su utilización, pretendiéndose ilustrar el estudio de los valores de las razones
trigonométricas mediante una circunferencia goniométrica dinámica, así como las relaciones
entre las razones de ángulos especiales (complementarios, suplementarios…)
Así mismo, los ejercicios y problemas propuestos estarán clasificados según el grado de
dificultad, cumpliendo un doble objetivo: regular el avance de la clase y la atención a la
diversidad.
Por supuesto que el contexto de la clase es
también un factor determinante en cuanto al
número de sesiones necesarias para desarrollar
la unidad.
Esta unidad es amplia y reviste cierta
complejidad, en particular en las
demostraciones de igualdades trigonométricas,
el cálculo de las razones de ángulos mayores de
90º, la resolución de ecuaciones
trigonométricas con más de una solución y la
identificación de la mejor estrategia para
resolver un triángulo cualquiera.
Actividades
A continuación se detallan las actividades de desarrollo que se han diseñado para esta
unidad didáctica teniendo en cuenta los objetivos de aprendizaje que se han especificado al
inicio de la misma. Estas actividades presentan distintos niveles de dificultad, las cuales se irán
planteando de manera acorde al progreso de los alumnos. Con el fin de llevar a cabo una
adecuada atención a la diversidad que se pueda presentar en el aula, se han diseñado una serie
de actividades de refuerzo y de ampliación.
Actividades de desarrollo
Las actividades que se muestran a continuación son un ejemplo de las propuestas a plantear
en el aula. La colección completa de actividades de desarrollo se recoge en el anexo I.
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
Iván Corral Merino 22
Ejercicios de resolución de triángulos rectángulos
• Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:
Ejercicios sobre razones trigonométricas y sus relaciones
• Hallar el resto de razones trigonométricas, sabiendo que:
o sen x = -2/3, x es un ángulo del tercer cuadrante.
o tg x = 3/2, x es un ángulo del primer cuadrante.
o cos x = 1/3, π< x < 2π.
Problemas sobre triángulos rectángulos
• Desde el borde de un acantilado de 50 metros de altura, Ángel observa, bajo un
ángulo de 60º, cómo una embarcación realiza las tareas de pesca. ¿A qué distancia
de la costa se encuentra aproximadamente la embarcación?
Ejercicios y problemas de resolución de triángulos cualesquiera
• Resuelve los siguientes triángulos
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
Iván Corral Merino 23
Actividades de refuerzo
Las actividades de refuerzo de esta unidad se recogen en el anexo II.
Actividades de ampliación
Las actividades de ampliación de esta unidad se recogen en el anexo III.
Materiales y recursos didácticos
Los recursos que utilizaremos para el desarrollo de esta unidad didáctica tienen como
finalidad el correcto aprendizaje por parte de los alumnos del tema de ecuaciones e
inecuaciones. Entre los que se encuentran:
• Libro de texto: Matemáticas – Pitágoras para 4º de ESO Opción B. Editorial SM
• Explicación en pizarra
• Calculadora científica, para calcular las razones trigonométricas y sus inversas.
• GeoGebra: este programa gratuito resulta especialmente útil para hacer construcciones
geométricas de forma sencilla e ilustrar los conceptos de la unidad. Se aportan 5 archivo
en soporte informático pertenecientes a los siguientes aspectos:
o Circunferencia goniométrica
o Ángulos complementarios
o Ángulos suplementarios
o Ángulos que difieren 180º
o Ángulos negativos
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
Iván Corral Merino 24
Evaluación
De acuerdo con los objetivos didácticos y contenido que se recogen en esta unidad didáctica,
se plantean los siguientes criterios de evaluación:
1. Conocer los sistemas de medida de ángulos y cómo operar con ellos.
2. Relacionar los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos mediante las razones
trigonométricas y el teorema de Pitágoras.
3. Conocer y utilizar adecuadamente las relaciones entre las razones trigonométricas de
los ángulos de los triángulos rectángulos.
4. Generalizar la definición de las razones trigonométricas de los ángulos agudos en los
triángulos rectángulos a cualquier ángulo y conocer sus relaciones y aplicaciones.
5. Hallar los lados y ángulos de cualquier tipo de triángulo cuando se conocen un lado y
otros dos elementos del triángulo.
6. Resolución de problemas reales mediante el uso de la trigonometría.
La evaluación de esta unidad didáctica se realizará de manera sumativa. Consiste en la
realización de una prueba escrita propuesta a continuación que consta de 5 ejercicios, cada uno
de ellos con un valor de 2 puntos sobre un total de diez. Dicho examen formará parte de la nota
final de la evaluación, que se obtendrá mediante la media ponderada de la nota de los
exámenes.
De igual manera, se valorarán otros aspectos (no recuperables) como:
• El trabajo del alumno en clase: cuaderno y realización de ejercicios en pizarra
• El trabajo del alumno fuera de clase: realización de ejercicios de manera autónoma
(tarea) y entrega de trabajos puntuales.
• La actitud del alumno en clase: comportamiento, interés, grado de participación,
disposición a ayudar a sus compañeros, a respetar el derecho al error de todos, sus
intervenciones, preguntas, etc.
En cualquier caso, la nota de los exámenes tendrá un valor nunca inferior al 80% de la nota
de evaluación y tendrá un carácter recuperable mediante una prueba escrita similar la prueba
de evaluación propuesta.
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
Iván Corral Merino 25
EXAMEN: TRIGONOMETRIA (4ºESO – Opc.B)
1. (2 puntos) Calcula las tres razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) en los
siguientes casos:
a. sen α = 1/3; α < 90º
b. cos α = -3/5; 90º < α < 180º
c. tg α = 2; π < α < 3π/2
2. (2 puntos) Expresa las siguientes razones trigonométricas como razones
trigonométricas de ángulos del primer cuadrante:
a. sen 60º
b. cos 2π/3
c. tg -30º
3. (2 puntos) Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:
4. (2 puntos) Desde donde me encuentro observo una torre
con un ángulo de elevación de elevación de 32º. Si me
acerco a ella 25m, la observo con un ángulo de 50º. ¿Cuál
es la altura de la torre?
5. (2 puntos) Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y
otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el
globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B,
calcula la distancia entre los pueblos A y B.
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
Iván Corral Merino 26
Análisis de la propuesta de evaluación según los criterios de evaluación
A continuación, vamos a verificar como cada uno de los criterios de evaluación está
evaluado con alguno de los ejercicios propuestos en el modelo de examen:
• Criterio 1: Ejercicios 1 y 2
• Criterio 2 y 3: Ejercicios 3 y 4
• Criterio 4: Ejercicios 1 y 2
• Criterio 5: Ejercicios 3, 4 y 5
• Criterio 6: Ejercicios 4 y 5
De esta manera queda comprobado que la propuesta de evaluación confeccionada cumple
todos los criterios de evaluación y con ello pretende evaluar la asimilación de los contenidos
y la consecución de los objetivos didácticos.
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
Iván Corral Merino 27
Anexos
Anexo I: Unidad Didáctica de Trigonometría (4º ESO): Actividades de desarrollo
Ejercicios de resolución de triángulos rectángulos
• Calcula las medidas de los lados señalados en cada caso:
• Calcula la medida de los ángulos indicados. Da la solución aproximados a los
minutos:
• Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:
• Calculas las medidas de los lados y los ángulos que falta en los siguientes triángulos
rectángulos, considerando Â=90º:
o b=5cm, c=12cm
o c=43cm, �� � 37º
o b=7cm, �� � 49º
o a=5cm, � � 65º
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
Iván Corral Merino 28
Ejercicios sobre razones trigonométricas y sus relaciones
• Sabiendo que sen 25° = 0,42, cos 25° = 0,91 y tg 25° = 0,47, halla las razones
trigonométricas de 155° y de 205°.
• Hallar el resto de razones trigonométricas, sabiendo que:
o sen x = -2/3, x es un ángulo del tercer cuadrante.
o tg x = 3/2, x es un ángulo del primer cuadrante.
o cos x = 1/3, π< x < 2π.
• Calcular x sabiendo que sen x = 1/2 y 90º < x < 270º.
Problemas sobre triángulos rectángulos
• Desde el borde de un acantilado de 50 metros de altura, Ángel observa, bajo un
ángulo de 60º, cómo una embarcación realiza las tareas de pesca. ¿A qué distancia
de la costa se encuentra aproximadamente la embarcación?
• Calcula el ángulo de tiro del futbolista.
• El ángulo de elevación de una cometa sujeta con una cuerda de longitud L1 = 80 m
es a = 30º. El viento tensa la cuerda y la hace chocar con otra cometa cuyo ángulo
de elevación es B = 60º. ¿Cuál es la altura de las cometas en ese instante? ¿Y la
longitud L2 de la cuerda que sujeta la segunda cometa?
• Desde el lugar donde me encuentro la visual de una torre forma un ángulo de 32º
con la horizontal. Si me acerco 15 m, el ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura de la
torre?
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
Iván Corral Merino 29
• Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un
ángulo de 60°. ¿Cuánto mide la altura del paralelogramo? ¿Y su área?
Ejercicios y problemas de resolución de triángulos cualesquiera
• Resuelve los siguientes triángulos
• Resuelve los siguientes triángulos:
o a=25cm, b=71cm, c=78cm
o a=46cm, b=33cm, �� � 39º
o c=40cm, �� � 35º, � � 43º
• Una ambulancia está socorriendo a los heridos de un accidente de tráfico. Observa
el mapa y señala cuál de los dos hospitales se encuentra más cerca del lugar del
accidente.
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
Iván Corral Merino 30
Anexo II: Unidad Didáctica de Trigonometría (4º ESO): Actividades de refuerzo
• Expresa en radianes los siguientes ángulos:
o 316°
o 10°
o 127º
• Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:
o 3 rad
o 2π/5rad.
o 3π/10 rad.
• Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α, sabiendo que:
o cos α = 1/4, 270º <α <360°
o tg α = 2, 180º < α <270°
o sen α = 1/3, 0< α < π/2
• Calcula las razones de los siguientes ángulos, mediante la reducción al primer
cuadrante:
o 215°
o 335°
o 2155°
o −790º
• El lado final del ángulo α corta la circunferencia de la figura en el
punto P de coordenadas (–2, –3). Determina el radio de la
circunferencia y los valores del seno, el coseno y la tangente del
ángulo α.
• En la circunferencia de la figura se han representado cuatro
ángulos, uno de cada cuadrante, y se ha marcado el coseno de
cada uno de ellos, siendo estos iguales u opuestos. Si uno de los
ángulos es de 255º, indica la medida de los otros tres y relaciona
el coseno de los cuatro ángulos, indicando cuándo son iguales y cuándo opuestos.
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
Iván Corral Merino 31
• Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, sabiendo que:
o La hipotenusa a = 8 cm y el ángulo C = 47º 16’ 34’’
o Los catetos b = 9,3 cm y c = 4,1 cm
o La hipotenusa a = 6,4 cm y el cateto c = 3,8 cm
o Un cateto b = 10,5 cm y el ángulo B = 60º
• Una torre de 40 m de alto proyecta una sombra de 55 m de larga. Encontrar el ángulo
de elevación del sol en ese momento.
• Un avión que está volando a 750 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de
depresión de 25°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
• Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y
la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A
y B?
Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica
Iván Corral Merino 32
Anexo III: Unidad Didáctica de Trigonometría (4º ESO): Actividades de ampliación
• El seno de un ángulo α del segundo cuadrante es el doble del valor absoluto del
coseno de dicho ángulo. Determina:
o La tangente del ángulo α.
o El seno y el coseno del ángulo α.
o El valor aproximado del ángulo α expresado en radianes y en el sistema
sexagesimal.
• Las medidas de un campo de fútbol son 106 x 70 metros, y la portería mide 7,32
metros de ancha. El punto C es el centro del campo, y el
punto P está en el centro de la línea de banda. ¿Desde cuál
de los dos puntos marcados en la figura se verá la portería
más ancha?
• La Torre Inclinada de Pisa fue cerrada al público para tratar de rectificar su
inclinación, consiguiendo reducir 46 centímetros su desplazamiento respecto de la
vertical. La altura de la torre es de 55,7 metros desde la base, y la inclinación actual
es de aproximadamente 4,5 metros respecto de la vertical.
o El ángulo de inclinación actual de la torre.
o El ángulo de inclinación que tenía antes de repararla.
o El ángulo de inclinación que se consiguió rectificar.
• Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo
superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo
de 40°. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del
cable?
• Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura.
Calcula la altura del árbol y la distancia a la que está Pablo del árbol.
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
Iván Corral Merino 33
Proyecto de Innovación Docente: “Trigonometría sin papel”
Considerando como punto de partida la experiencia vivida en durante el periodo de
prácticas y tomando como referencia la unidad didáctica dedicada a la Trigonometría para el
curso de 4º ESO (Opc. B), presento el siguiente proyecto de innovación educativa como
complemento y cierre posteriores a dichas prácticas y a los conocimientos adquiridos durante
el curso.
1. Introducción
Es indudable que hoy en día las tecnologías de la información y de la comunicación (TIC)
son parte esencial de nuestra vida cotidiana. La posibilidad de disponer de cualquier tipo de
información en cualquier momento y lugar facilita notablemente el desarrollo de las tareas del
día a día. Consultar el correo electrónico en el teléfono móvil, estar conectado con personas de
nuestro entorno gracias a las redes sociales, acceder a información de forma instantánea…, son
solo algunos ejemplos de lo que el desarrollo de las TIC ha supuesto en nuestra sociedad.
Es por ello que el sistema educativo no puede ni debe quedarse al margen. En otras palabras,
la institución escolar se encuentra afectada, tanto en sus aspectos organizativos como en los
curriculares, de cambios y transformaciones debidos a la evolución de la sociedad de la
información y del conocimiento.
Datos empíricos demuestran que en los últimos años han aumentado las experiencias y
proyectos relacionados con el uso de las TIC en las escuelas de todo el mundo. Del mismo
modo, han aumentado los recursos tecnológicos a disposición de alumnos y profesores, hasta
el punto de decir que el uso de internet se ha convertido casi en imprescindible en las aulas.
Este proyecto de innovación tiene como finalidad principal solventar o mitigar algunos de
los problemas y necesidades que los profesores de matemáticas detectan en las aulas de
secundaria y bachillerato. Los más señalados por el conjunto docente se enumeran a
continuación:
● Falta de motivación. Es el principal problema que destacan todos los agentes de la
actividad educativa. Esto es debido a que los alumnos no aprecian una utilidad
inmediata en los contenidos y conocimientos que tratan en las aulas.
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
Iván Corral Merino 34
● Desvinculación de las matemáticas con su entorno. Este problema está muy
relacionado con el anterior. De este modo, lo que pretendemos con este proyecto es
acercar las matemáticas a la cotidianidad de los alumnos para conseguir así una
mayor implicación por parte de los mismos con el trabajo aquí desarrollado y
alcanzar finalmente la motivación necesaria para el correcto estudio de las
matemáticas.
● Uso excesivo, por parte de los alumnos, de las TIC en un ámbito no educativo.
Muchos sociólogos han tratado este problema a lo largo de los últimos años,
(Echeburúa y De Corral, 2010).
Con este proyecto, pretendemos utilizar la afición de los adolescentes por las TIC para
mitigar los problemas enumerados anteriormente y alcanzar los objetivos que se exponen más
adelante.
A continuación, procedemos a realizar una revisión sobre el modelo de innovación en el
que se podría encuadrar este proyecto.
En cuanto al ámbito o dimensión desde la que se lleva a cabo, este proyecto se implementa
desde la perspectiva del uso de las tecnologías de la información y de la comunicación, ya que
él mismo se presenta como el uso de las TIC en las aulas. Con ello, propone una nueva
modalidad de enseñanza-aprendizaje, aportando nuevos enfoques y estrategias sobre el
proceso educativo e introduciendo a su vez cambios en las creencias y presupuestos
pedagógicos, dado que desarrolla un modelo metodológico distinto al tradicional.
Si centramos ahora nuestra atención en la intención educativa del proyecto de innovación,
la cual se desprende de los objetivos del propio proyecto, podemos decir que pretende en
primera instancia despertar el interés por el aprendizaje de las matemáticas en los alumnos, así
como tratar de potenciar determinadas habilidades o estrategias, competencia comunicativa,
razonamiento, reflexión creativa, etc. Del mismo modo, pretendemos con este proyecto
enseñar a aprender a los alumnos, haciéndoles ver la importancia que tendrá en su futuro el
uso de las TIC y mostrándoles que no solo poseen una finalidad lúdica.
Por último, y en lo referente al modelo procesual de la innovación, el proyecto se encuadra
en la resolución de problemas. Teniendo en cuenta los objetivos del mismo y las necesidades
expuestos anteriormente afirmamos que el desarrollo de este proyecto mejorará estos
problemas.
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
Iván Corral Merino 35
2. Objetivos
El objetivo de la aplicación de las TIC en educación, no consiste únicamente en
proporcionar a los alumnos un correo electrónico o conectarlos entre sí, ni siquiera consiste en
lograr que usen Internet para realizar sus deberes, sino que va más allá:
● Integrar el uso de las TIC en la asignatura de matemáticas como recurso habitual
favoreciendo el aprendizaje significativo.
● Potenciar un uso racional de las tecnologías que actualmente tienen a su alcance.
● Generar estrategias de trabajo colaborativo, utilizando las TIC para realizar trabajos
en grupos.
● Utilizar las TIC como plataforma para compartir recursos, trabajos,
conocimientos…
● Mejorar la relación entre profesor y alumno.
● Estimular la atención de los alumnos hacia la asignatura.
● Hacer que el alumno sea más creativo y comunicativo.
● Fomentar la iniciativa por parte de los alumnos y su implicación en la tarea del
aprendizaje, reforzando la individualidad de cada uno y la importancia del trabajo
autónomo.
En definitiva, lo que se pretende es dotar de un nuevo enfoque al proceso de enseñanza-
aprendizaje, en este caso, de las Matemáticas. Se tratará de promover la iniciativa de los
alumnos, fomentando su autonomía y su autorregulación, de modo que sean capaces de
desarrollar estrategias útiles para su vida escolar y personal. Además, el trabajo se abordará
desde la perspectiva del trabajo colaborativo, y siempre que sea posible, sobre tareas reales,
con el fin de desarrollar esa competencia social que en ocasiones se descuida y enriquecer así
el trabajo.
Así mismo, se tratará de reorganizar el currículo y la enseñanza en un escenario de
aprendizaje más abierto, donde se fomente la creatividad y los pensamientos laterales desde
una perspectiva constructivista. Este tipo de enseñanza deberá adaptarse a los ritmos
particulares de los alumnos, considerando trayectos flexibles y alternativos. A su vez, se
requiere que alumnos y profesores estén en contacto constante para poder actualizar
continuamente la información sobre sus progresos, actitudes y dudas. Todas estas cuestiones,
pueden ser resueltas de manera satisfactoria con la correcta utilización de las TIC.
Como consecuencia, la evaluación deberá estar en consonancia con el tipo de enseñanza,
considerando la formación integral del alumno, que abarca el saber, el saber hacer y el ser.
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
Iván Corral Merino 36
3. Marco teórico
Actualmente, la actuación del docente ha dejado de ser una actividad desarrollada en el
aula, como lugar físico, y limitada a la enseñanza de contenidos curriculares y a las
tradicionales actividades de clase. Hoy, la labor docente está cada vez más inmersa en nuevas
tendencia que buscan integrar el aprendizaje “clásico” en la escuela con el que se genera fuera
de ella.
En este sentido uno de los cambios de mayor impacto en el ámbito educativo es la
aplicación de las TIC, las cuales se han convertido en un factor de desarrollo importante y
profundas repercusiones en diversos sectores (UNESCO 2005), lo que se traduce en
responsabilidades, compromisos, retos y cambios por parte de los docentes.
Podemos encontrar un gran número de definiciones de TIC, pero quedémonos con la
siguiente: tecnologías que facilitan, a través de medios electrónicos, la adquisición,
almacenaje, procesamiento, transmisión y diseminación de información en todas las formas
las cuales incluyen voz, texto, información, gráficos y video (Michaels, y Van Crowder, 2001).
A estas alturas del siglo XXI, la integración de las TIC en el ámbito escolar ha sido
ampliamente estudiada. Existen diversas posturas al respecto y acerca de lo que supone dicha
integración. Sin embargo, podemos encontrar un punto en común: integrar las TIC es hacerlas
parte del currículo, enlazarlas armónicamente con los demás componentes del mismo. Es
utilizarlas como parte integral del currículo y no como un apéndice, no como un recurso
periférico (Sánchez, 2002).
La actividad docente
La tarea del profesor es compleja ya que en ella convergen diferentes ámbitos como el
administrativo, pedagógico, social y político. La sociedad espera que el docente responda a las
necesidades de cada uno de estos ámbitos y que esté preparado para dar respuesta a las
problemáticas que se presentan así como a los cambios que se generan en la sociedad.
Es por ello que el docente ha dejado de lado el rol tradicional centrado en la transmisión
del conocimiento a sus alumnos, es decir, es responsabilidad del profesor comunicar su
conocimiento y es cuestión del estudiante recibir o absorber dicho conocimiento (Kirkwood y
Price, 2006), para dar paso a una función docente más compleja y multidisciplinar. Cabría
añadir un aspecto más en la función docente y es en referencia al uso de las TIC y las
implicaciones educativas que esto acarrea. Los docentes en la actualidad se encuentran
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
Iván Corral Merino 37
inmersos, ya sea porque así lo impone la política educativa o por interés personal, en una
dinámica de integración de las TIC en su práctica cotidiana.
La importancia de las TIC en la educación
Por supuesto que el uso de las TIC no es la solución a todos los problemas educativos, ya
que depende de la capacidad que los diferentes agentes puedan tener para vincular
orgánicamente estas herramientas con la dinámica social, institucional y personal de las
escuelas (Pérez Maya, 2007). Es aquí donde el docente juega un papel estratégico, ya que él
es una pieza clave para establecer el ambiente adecuado así como propiciar oportunidades de
aprendizaje que faciliten al estudiante el uso de la tecnología para aprender y comunicarse
(UNESCO 2008).
En el estudio realizado por Pérez Maya, se pone de manifiesto que los docentes legitiman
la importancia del uso de las TIC en el contexto educativo al mismo tiempo que reconocen que
el uso de la tecnología les significa un reto importante que comprende acciones transversales
a las ya establecidas por la administración educativa.
El uso que los profesores dan a las TIC varía dependiendo de diversos factores tales como
su nivel de preparación con respecto a la tecnología, sus intereses y hasta su significado en el
proceso de enseñanza-aprendizaje. Para Kirkwood y Price (2006) los docentes relacionan el
uso de la tecnología primordialmente con el contenido curricular o lo ven como un material.
Según una investigación realizada por ellos, los profesores ven las TIC como un medio para
guardar materiales, es decir priorizan la capacidad de la tecnología para almacenar materiales
que pueden usar posteriormente en la clase o consideran a la tecnología como una herramienta
importante para acceder a otras fuentes de información. Por otro lado, algunos profesores
priorizan la facilidad de la tecnología para promover la comunicación y el diálogo.
Roblyer y Edwards (2000) establecen que existen cinco razones por las cuales los docentes
hacen uso de la tecnología en la educación:
● motivación
● habilidades instruccionales distintivas
● alta productividad por parte de los docentes
● habilidades esenciales para la era de la información
● apoyo para la implementación de nuevas técnicas de enseñanza.
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
Iván Corral Merino 38
Cualquiera que sea la razón para el uso de las TIC, está claro que los docentes en la
actualidad recurren a ellas a pesar de que esto les representa un reto, ya que el uso de la
tecnología en las aulas debe estar subordinado a un diseño pedagógico bien definido, a las
características individuales de los estudiantes, a sus necesidades educativas y a su experiencia
previa con el uso de la tecnología. El profesor no puede ni debe omitir estos detalles y es que
como lo establece Bates (1995) una buena enseñanza puede superar a una mala decisión en el
uso de la tecnología, pero la tecnología nunca puede salvar a una enseñanza pobre;
normalmente la empeora.
Un nuevo modelo de conocimiento docente
Es evidente que el uso de las TIC en la educación, además de los beneficios que aporta,
también representa un elemento de cambio en los docentes, quienes de manera consciente o
inconsciente experimentan una transformación asociada a dichos cambios en cualquiera de las
siguientes dimensiones (Fullan y Stiegelbauer, 1991):
● Creencias, actitudes o ideologías pedagógicas
● Conocimiento de los contenidos curriculares
● Conocimiento pedagógico de las prácticas instruccionales, métodos, enfoques o
estrategias
● Recursos instruccionales novedosos, tecnología o materiales.
Mishra y Koehler (2006) proponen un modelo del conocimiento docente; en él
encontramos tres componentes del conocimiento docente: conocimiento sobre el contenido, la
pedagogía y la tecnología; y analiza las interacciones entre estos elementos.
Figura 1. Gráfico que muestra el modelo del contenido docente de Mishra y Koehler (2006)
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
Iván Corral Merino 39
La interacción del conocimiento de la pedagogía y el contenido generará un conocimiento
pedagógico del contenido. Este modelo agrega un elemento más: el conocimiento tecnológico.
Lo cual nos lleva al concepto desarrollado por estos autores, Technological Content
Knowledge (TCK). Este tipo de conocimiento contempla la forma en que la tecnología influye
y apoya al contenido, es decir, el docente necesita ser capaz de entender qué tecnologías son
las adecuadas para mejorar y aprovechar dichos contenidos.
En cuanto al conocimiento pedagógico y su interacción con el conocimiento tecnológico,
Technological Pedagogical Knowledge (TPK), determina cómo el proceso de enseñanza-
aprendizaje puede cambiar cuando es utilizada una determinada herramienta tecnológica. Es
así que de la intersección de estos tres conocimientos nace el Technological Pedagogical
Content Knowledge (TPCK).
Para lograr un equilibrado desarrollo y aplicación de cada uno de estos componentes del
modelo, los docentes deben desarrollar un cierto dominio no solo del conocimiento (contenido,
pedagogía y tecnología) sino de la manera en que cada uno de estos tipos de conocimiento se
puede combinar para dar una solución efectiva.
La falta de motivación
Según Vicenç Font (1994), si enseñamos matemáticas con una metodología basada en la
memorización, estamos generando una visión de la materia de tipo mecánico, es decir, el
alumno tienen la percepción de que las matemáticas no son más que la mera aplicación de
procedimientos algorítmicos fomentando una serie de falsas creencias como que la
comprensión de las matemáticas no está al alcance de todos y que solo existe una respuesta y
procedimiento correcto para cada problema. En palabras de Font:
“Si el patrón motivacional del alumno es positivo, este, frente a una dificultad reaccionará
analizándola, buscará una nueva estrategia, preguntará al profesor… Si el alumno presenta
un patrón motivacional negativo, aumentará su ansiedad y hasta se angustiará pensando que
la causa de la dificultad es su incapacidad y, por tanto adoptará una actitud defensiva.”
De ahí la importancia de atajar este problema cuya solución se encuentra, en una medida
importante, en manos del profesor.
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
Iván Corral Merino 40
4. Descripción del proyecto
Este proyecto, “Trigonometría sin papel”, está diseñado para un grupo de cuarto curso de
E.S.O. de Matemáticas Opción B, aplicado a la unidad didáctica de Trigonometría. Una idea
más global de proyecto podría tener como destinatarios finales a todos los alumnos de la
educación secundaria obligatoria y el bachillerato, y como objeto, cualquier tópico
matemático.
Al trabajar un tema totalmente nuevo para los alumnos, ya que aparece por primera vez en
este curso, hemos planteado un proyecto de innovación con el que pretendemos ser más
ambiciosos y trabajar más competencias que las que se alcanzan desarrollándolo de una forma
más tradicional.
El objetivo principal es conseguir un aprendizaje significativo de los alumnos, y para ello
lo desarrollaremos en dos grandes fases que exponemos a continuación.
Para el correcto desarrollo del proyecto utilizaremos una página web1 diseñada a tal efecto
y con la que controlaremos entre otras cosas el contenido del que disponen los alumnos y los
accesos a las wikis en las que deberán trabajar.
Esta web incluye:
● E-book2 de la unidad. Se trata de un libro electrónico e interactivo que recoge tanto el
contenido teórico como práctico de este tema, cuyo índice es el siguiente:
1http://trigonometria4eso.jimdo.com/ 2 http://ggbtu.be/bs5O1naeg
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
Iván Corral Merino 41
1. Introducción a la trigonometría 1. Orígenes y aplicaciones 2. Medidas de ángulos 3. Razones trigonométricas de un ángulo agudo 4. Relación fundamental de la trigonometría 5. Uso de la calculadora 6. Ejercicios y problemas de resolución de triángulos rectángulos
2. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera 1. Circunferencia goniométrica
3. Relaciones de ángulos especiales 1. Ángulos complementarios 2. Ángulos suplementarios 3. Ángulos que difieren 180º 4. Ángulos negativos
4. Teoremas del seno y del coseno 1. Teorema del seno 2. Teorema del coseno 3. Ejercicios y problemas de resolución de triángulos cualesquiera
● Las propuestas de trabajo que debe desarrollar cada grupo.
● Los enlaces de acceso a las wikis de trabajo. Una wiki es un sitio web cuyas páginas
pueden ser editadas directamente desde el navegador, donde los usuarios crean,
modifican o eliminan contenidos que comparten.
● Un apartado referente a la evaluación donde estará publicada la rúbrica de evaluación
de los alumnos para que estos lo conozcan, así como una encuesta3 para que los
alumnos evalúen al profesor y la experiencia.
● Datos de contacto del profesor y un formulario para establecer una conexión constante
profesor-alumno.
Este proyecto está diseñado para llevarse a cabo en dos grandes fases, y desarrollándolas
correctamente podremos alcanzar satisfactoriamente todos los objetivos que nos habíamos
marcado al inicio del proyecto.
Primera Fase:
Está dedicada a la adquisición de los conceptos básicos sobre trigonometría (apartados 1
del libro electrónico) y se llevará a cabo bajo la metodología Flipped-Classroom. Es decir, con
los recursos incluidos en el e-book publicado en la web, los alumnos trabajarán en casa los
contenidos teóricos y los ejercicios y problemas propuestos para en clase tratar de resolver
dudas y corregirlos.
3 https://docs.google.com/forms/d/1tH4OkZMr0XqUCwygcH_nVEkSt0JEHuRgbPeRs8OF7IE/viewform?usp=send_form
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
Iván Corral Merino 42
● 1ª parte: Antes de comenzar debemos dar algunas nociones a los alumnos de cómo
vamos a trabajar, ya que con total seguridad estarán acostumbrados a navegar en
internet pero pueden no estar acostumbrados a utilizar recursos educativos como los
que hemos diseñado y que explicaremos más adelante, como el libro electrónico y las
wikis.
● 2ª parte: Los alumnos deberán trabajar en primera instancia de forma individual, en
casa, pues la primera parte del proyecto ha sido desarrollada para trabajar según la
metodología Flipped-Classroom, fomentando de estaba forma el trabajo autónomo del
alumno. En ella adquirirán los conocimientos teóricos correspondientes a la primera
parte del tema (apartado 1 del e-book) correspondiente a la “Introducción a la
Trigonometría” con los conceptos básicos y necesarios para la fase posterior. Además,
en clase desarrollaremos ejercicios propuestos en el e-book, que los alumnos deberán
resolver en grupos reducidos o que se solucionarán de forma colectiva como grupo-
clase.
Segunda Fase:
Una vez adquiridos los conocimientos necesarios sobre trigonometría, los alumnos
profundizarán en la segunda parte del tema (apartados 2, 3 y 4 del libro electrónico) bajo la
técnica del puzzle a nivel de clase. Cada grupo de trabajo tendrá asignado un subapartado que
deberá trabajar de forma colaborativa en las wikis para posteriormente exponerlo a sus
compañeros en clase (tanto teoría o como cuestiones prácticas).
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
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● 1ª Parte: Separados en los grupos reducidos ya formados en la fase anterior, los
alumnos deberán trabajar de forma colaborativa en una wiki. En ella tendrán que
profundizar en distintos aspectos teóricos de la segunda parte del tema (apartados 2, 3
y 4 del e-book), relativas a la generalización de las razones trigonométricas a cualquier
ángulo y resolución de triángulos cualesquiera, y resolver las propuestas y ejercicios
diseñados a tal efecto y que estarán incluidas en el libro electrónico. Podrán utilizar y/o
incluir en la wiki todo tipo de recursos, tanto aportados en clase como externos, con el
fin de enriquecer el propio trabajo y el aprendizaje. De esta forma, fomentamos el
trabajo colaborativo y proponiendo los ejercicios adecuados conseguiremos acercar las
matemáticas a su vida cotidiana.
● 2ª Parte: Los alumnos, por grupos, deberán exponer ante sus compañeros las
conclusiones de su trabajo centrándose en las cuestiones teóricas y prácticas que han
aprendido y las implicaciones que tienen los resultados obtenidos, aplicando la técnica
del puzzle. De esta forma esperamos que los alumnos desarrollen un aprendizaje
significativo pues al ser ellos mismos quienes expliquen parte de los contenidos lo
harán con un lenguaje y unos ejemplos que sean más comprensibles para el resto de
sus compañeros.
Metodología
A continuación trataremos de explicar claramente en qué consiste el proyecto de innovación
y cuál es el método de trabajo.
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
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La primera fase del desarrollo del proyecto tiene un carácter más individual que la segunda,
dado que está enfocada a promover el trabajo autónomo del alumno, por eso, y para alcanzar
los objetivos propuestos, trabajaremos esta fase utilizando la metodología Flipped-Classroom.
Esta metodología está adquiriendo más y más notoriedad con el paso del tiempo y a grandes
rasgos consiste en que los alumnos, mediante el correcto uso de las TIC aprendan los
contenidos, al menos buena parte de ellos, en casa y podamos dedicar así las horas de trabajo
en clase a resolver dudas, realizar actividades de profundización, etc. Por este motivo, en la
página web creada para el desarrollo del proyecto, hay a disposición de los alumnos un libro
electrónico e interactivo creado con GeoGebra que contiene todos los contenidos teóricos y
prácticos necesarios para el desarrollo completo de la unidad. Todos los ejercicios que se
proponen intentarán presentar una fundamentación real, con el fin de cumplir otro objetivo del
proyecto que es el de acercar las Matemáticas a la cotidianidad de los alumnos.
La innovación docente que pretendemos conseguir busca fomentar también el trabajo
colaborativo, otro de los objetivos propuestos anteriormente. Lo alcanzaremos tras la
realización de la segunda fase expuesta anteriormente. Para ello el profesor tendrá que dividir
a los alumnos en grupos homogéneos, según su criterio, asumiendo que ya conoce a los
estudiantes, pues este proyecto ha sido diseñado para un tema que se desarrolla en una fase
avanzada del curso.
El profesor deberá abrir tantas wikis como grupos haya en su clase y tras asignar una a cada
grupo deberá controlar, pero no corregir por el momento, el trabajo que van realizando los
alumnos. Estos, por su parte, deberán realizar las tareas propuestas, que serán distintas para
cada grupo, y plasmar los resultados obtenidos y las conclusiones de lo estudiado en la wiki,
que finalmente aprovecharán para presentar su trabajo frente a los compañeros de clase. El
porqué de esta distribución de los alumnos es que, de esta manera, podemos aplicar la técnica
del puzzle a nivel del grupo-clase. Esta metodología consiste en que cada grupo en que se ha
dividido la clase trabaje un determinado aspecto, se haga experto en él y se lo explique al resto
de grupos para que todos conozcan todos los contenidos. Así, hacemos que cada alumno tome
consciencia de su responsabilidad en su propio aprendizaje y en el de sus compañeros.
El papel del docente en este proyecto es el de orientador y supervisor, controlando, guiando,
apoyando y reconduciendo cuando lo considere oportuno y siempre a la disposición de sus
alumnos.
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Secuenciación
La secuenciación que se propone a continuación es meramente orientativa, cada docente
elegirá en función del tiempo del que disponga y quiera dedicar a este tema, una propia.
Comentamos detalladamente a continuación mi propuesta, en total dedicaremos unas 9 o
10 horas de clase y un trabajo individual por parte del alumno de 3 horas en casa (entre ambas
fases) para la correcta realización del proyecto y la consecución de los objetivos propuestos.
● 1h: para enseñar a los alumnos la forma en que vamos a trabajar y lo que pueden hacer
con cada herramienta. Empezando por la página web, mostrando los recursos, las wikis,
el libro electrónico, etc.
● 1h 30’: los alumnos dedicarán este tiempo de trabajo en casa para trabajar la teoría con
el e-book y comenzarán a realizar los ejercicios propuestos, relativos al apartado 1 del
e-book “Introducción a la trigonometría”.
● 1h: al día siguiente, en clase, nos dedicaremos a resolver las posibles dudas surgidas y
a completar los conocimientos existentes. Además podremos dedicar el resto del
tiempo a realizar actividades de profundización.
● A criterio del profesor, si considera que el aprendizaje alcanzado no es el esperado,
dedicaremos otra hora en clase para repasar algún concepto y realizar más ejercicios o
prácticas.
● 1h: para formar grupos de tres o cuatro alumnos. Estos grupos comenzarán a organizar
el trabajo a desarrollar, correspondiente en esta fase a los apartados 2, 3 y 4 que tratan
los aspectos de la circunferencia goniométrica, relaciones entre ángulos especiales y
los teoremas del seno y el coseno, respectivamente.
● 3h: para que los alumnos trabajen en grupos de forma autónoma y colaborativa. La
tarea propuesta no les debería costar más que eso, sin embargo podrán hacer desde casa
lo que consideren oportuno.
● 1h-2h: por último y para terminar con el proyecto, los alumnos deberán realizar una
exposición de sus resultados que no durará más de veinte minutos. A esta fase del
proyecto le dedicaremos entre una y dos horas, según el número de grupos que
tengamos y la duración de las sesiones.
● 1h: última clase a modo de resumen y recopilación de contenidos dirigida por el
profesor de cara al examen escrito.
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Recursos
Detallamos a continuación los recursos necesarios para el desarrollo de este proyecto de
innovación.
Primero, en el aula debe haber un ordenador con conexión a internet y un cañón o proyector.
Además, aunque no es imprescindible, una pizarra digital, pues de este modo podremos
realizar en clase ejercicios interactivos mucho más fácilmente.
La página web de este proyecto ha sido diseñada con Jimdo, una herramienta gratuita, que
nos permite construir y publicar sitios web fácilmente. Los recursos para este tipo de trabajo
son muchos, por eso cada docente podrá elegir aquel que más fácil le resulte.
Los applets o actividades interactivas han sido creadas con GeoGebra, una aplicación
gratuita ampliamente utilizada como recurso didáctico para las Matemáticas, ya que se
presenta como una herramienta muy completa y fácil de usar tanto para alumnos como para
profesores. El libro electrónico o e-book ha sido creado con GeoGebraTube, plataforma para
materiales de GeoGebra donde se pueden subir archivos para compartirlos con docentes y
estudiantes o para conservarlos exclusivamente y acceder desde cualquier punto con conexión
a internet.
Las wikis han sido creadas con Wikispaces, un recurso que permite al docente controlar el
trabajo que cada grupo está realizando en su wiki. Es una herramienta potente y gratuita, que
encaja perfectamente con el propósito de la última fase del proyecto dado que permite la
modificación de la misma por todos los miembros de grupo, guardándose un registro de
actividad con los cambios que cada usuario ha realizado.
El cuestionario para la evaluación del proyecto ha sido creado como un formulario de
Google Drive, ya que es una herramienta gratuita muy útil y sencilla de recogida de datos que
nos permite comprobar el grado de satisfacción de los alumnos con el proyecto.
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
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Por último, sería recomendable, aunque no imprescindible, que todos los alumnos tuvieran
conexión a internet en casa. Si no, habría que dedicar horas de clase al trabajo que según la
metodología Flipped-Classroom habría que realizar en casa; esto únicamente, supondría un
cambio en la secuenciación.
Hay que destacar también que el grueso del trabajo colaborativo en la wiki debe hacerse en
las horas de clase, por eso debemos contar también con una sala de informática del centro o
con ordenadores portátiles que servirá para desarrollar tanto este trabajo como el expuesto
anteriormente si procede.
Contenido
Los contenidos que tratamos en este proyecto se enmarcan dentro del currículo de
Matemáticas de cuarto de la E.S.O., en el tema de Trigonometría, y separados en conceptuales,
procedimentales y actitudinales son los siguientes:
● Conceptos
○ Medida de ángulos: el grado y el radián. Equivalencia entre ambas medidas.
○ Razones trigonométricas de los ángulos agudos: seno, coseno y tangente
○ Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo. Ecuación fundamental
de la trigonometría.
○ Uso de las funciones trigonométricas en la calculadora. Razones trigonométricas
inversas. Ecuaciones trigonométricas.
○ La circunferencia goniométrica: Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
Reducción de un ángulo al primer cuadrante.
○ Relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios,
suplementarios y que difieren 180º y negativos.
○ Teoremas del seno y del coseno
● Procedimientos
○ Distinguir las razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y
tangente, y calcularlas a partir de datos dados en distintos contextos.
○ Utilizar la calculadora para hallar el seno, coseno o tangente de un ángulo dado.
○ Reconocer la utilidad de la circunferencia goniométrica y determinar el signo de
las razones trigonométricas de un ángulo en función del cuadrante en el que se
encuentre.
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○ Calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera mediante la
reducción a un ángulo del primer cuadrante.
○ Conocer las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos
complementarios, suplementarios y opuestos.
○ Resolver triángulos rectángulos, conocidos dos de sus lados, o bien un lado y un
ángulo agudo.
○ Resolver triángulos cualesquiera, mediante la aplicación de los teoremas del seno
y del coseno en distintos contextos y según los datos dados, ángulos o lados.
○ Utilizar la trigonometría para resolver problemas geométricos reales.
● Actitudes
○ Reconocer la utilidad de la trigonometría para resolver problemas reales.
○ Interés por la resolución razonada, ordenada y cuidadosa de problemas de
trigonometría.
5. Criterios y métodos de evaluación
Evaluación de los alumnos
Evaluar es una actividad compleja y fundamental para el aprendizaje. Es el instrumento del
que se sirve el profesor para comprobar la consecución de los objetivos marcados al inicio de
una unidad didáctica. Es tarea del profesor crear una herramienta de evaluación eficaz y
objetiva para garantizar que, por un lado se están teniendo en cuenta todos los aspectos a
evaluar, y por otro que este proceso se realice en términos de calidad y equidad para todos los
alumnos respetando su posible diversidad.
Evaluaremos el proyecto mediante el uso de una rúbrica que nos permitirá tanto analizar el
trabajo expuesto en la wiki como el momento de la exposición de las mismas. Esta rúbrica se
encuentra en la página web de tal manera que los alumnos podrán ver qué criterios se van a
evaluar, facilitando así que cumplan con los objetivos pedidos.
Los elementos que se van a tener en consideración a la hora de evaluar son los siguientes:
● Presentación: La wiki debe ser a simple vista un elemento atractivo y que sea fácil de
localizar todos los elementos en ella.
● Organización: Los contenidos están organizados y la construcción está perfectamente
realizada.
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● Uso del lenguaje: No existen errores gramaticales y uso de un vocabulario adecuado.
● Puntualidad: La wiki está terminada y lista para ser presentada el día indicado para
ello.
● Trabajo en equipo: Se valorará el trabajo en equipo, todos los alumnos deben aportar
algo al trabajo en la wiki.
● Contenido: Desarrollo en profundidad del tema asignado. Aportes originales.
● Exposición: Debe existir una evidencia de comprensión total sobre el tema. Resuelven
las preguntas propuestas por sus compañeros y por el docente.
La rúbrica propuesta para evaluar es la siguiente:
Categoría Excelente (5) Buena (4) Regular (2) Necesita mejorar (1)
Presentación
La Wiki tiene una apariencia excepcional y una presentación útil y sencilla. Todos los elementos son fáciles de localizar en ella.
La Wiki tiene una apariencia adecuada y una presentación útil. Todos los elementos importantes son fáciles de localizar.
La Wiki tiene una presentación útil, pero puede parecer estar llena de información innecesaria. La mayoría de los elementos son fáciles de localizar.
La Wiki se ve llena de información innecesaria a simple vista o confusa. Es difícil de localizar los elementos importantes.
Organización
La información está muy bien organizada, con buena construcción de títulos, párrafos y elementos gráficos.
La información está organizada con buena construcción de los ejercicios propuestos
La información no está suficiente organizada. No existe diferenciación clara entre ejercicios.
La información está desorganizada. No existe diferenciación entre ejercicios.
Uso de lenguaje
No hay errores gramaticales o de puntuación.
Existen algunos errores gramaticales, ortografía o de puntuación.
Existen bastantes errores gramaticales, ortográficos o de puntuación.
Existen muchos errores gramaticales, ortográficos, o de puntuación.
Puntualidad
La Wiki es entregada antes de la fecha de entrega.
La Wiki es entregada en la fecha de entrega.
La Wiki es entregada durante la exposición de la misma.
La Wiki no está preparada para la presentación de la misma.
Trabajo en equipo
El trabajo en equipo queda reflejado e indica la colaboración, discusión y contribuciones compartidas.
El trabajo en equipo refleja e indica únicamente contribuciones compartidas.
El trabajo en equipo refleja poca colaboración.
No hay evidencia de trabajo en equipo.
Contenido
Desarrollo en profundidad de la propuesta. Aportes originales, ideas claras y concisas.
Desarrollo adecuado de la propuesta. Aportes simplistas.
Desarrollo adecuado de la propuesta asignada. Resolución correcta sin aportes.
Desarrollo incompleto de la propuesta.
Exposición Evidencia de comprensión total sobre el tema. Son capaces de resolver dudas y preguntas formuladas por sus compañeros o profesor
Evidencia de comprensión del tema. Son capaces de resolver las cuestiones de los compañeros existiendo alguna dificultad.
No existe evidencia clara de que dominen el tema propuesto. Responden con dificultad las cuestiones de sus compañeros
No hay evidencia de comprensión del tema. No resuelven las dudas realizadas por sus compañeros y por el profesor.
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De esta manera, el profesor obtendrá un máximo de 35 puntos (35%), que formará parte de
la calificación total de esta unidad didáctica.
Por otra parte se propondrá al resto de los grupos que evalúen también el trabajo de sus
compañeros utilizando la misma rúbrica. Para ello cada grupo deberá evaluar las Wikis
realizadas por los alumnos de los otros grupos, evaluación que ha de ser justificada y razonada,
pudiendo el profesor a su vez evaluarla de forma negativa o positiva. Con esto el profesor
obtendrá un máximo de otros 35 puntos, que surgirán de la media aritmética de los resultados
de todos los grupos.
Para evaluar el otro 30% restante, se realizará un examen de conocimientos que demostrará
si efectivamente han quedado claros los conocimientos de estadística.
Los criterios de evaluación que seguiremos para comprobar los conocimientos adquiridos
por los alumnos se enumeran a continuación.
● Conocer los sistemas de medida de ángulos y cómo operar con ellos.
● Relacionar los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos mediante las razones
trigonométricas y el teorema de Pitágoras.
● Conocer y utilizar adecuadamente las relaciones entre las razones trigonométricas de
los ángulos de los triángulos rectángulos.
● Generalizar la definición de las razones trigonométricas de los ángulos agudos en los
triángulos rectángulos a cualquier ángulo y conocer sus relaciones y aplicaciones.
● Hallar los lados y ángulos de cualquier tipo de triángulo cuando se conocen un lado y
otros dos elementos del triángulo.
● Resolución de problemas reales mediante el uso de la trigonometría.
Evaluación del profesor
Una vez que el proyecto haya sido llevado a cabo, se tendrán en cuenta los siguientes
indicadores para la evaluación de la actuación del profesor:
● Control sobre el avance del trabajo de los alumnos en las wikis
● Atención adecuada a sus dudas y demandas de ayuda, mediante correo electrónico o
comentarios en la web
● Grado de satisfacción global sobre el papel del profesor mediante una encuesta
anónima a través de la web.
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
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Evaluación del proyecto
Al igual que se ha planteado para el caso del
profesor, planteamos los siguientes indicadores para
la evaluación del proyecto:
● Grado de satisfacción de los alumnos en el
desarrollo de la iniciativa mediante una
encuesta anónima a través de la web.
● Grado de utilización de los recursos en la web
mediante el contador incluido en la misma.
● Grado de participación en el trabajo
colaborativo en las wikis (registro de
actividad de las mismas) y la interacción con
el resto de compañeros y el profesor
(comentarios en la web).
6. Conclusión
Ha quedado probado en la realidad del aula que el conocimiento de los docentes, que en el
pasado bastaba con el dominio de los contenidos y las técnicas de enseñanza, en la actualidad
resulta insuficiente. El docente que domina el contenido, el que conoce los materiales de
estudio y que atiende rigurosamente al cumplimiento de planes y programas de estudio pero
que no se atreve a interactuar con los recursos tecnológicos disponibles ahora resulta ser un
profesor obsoleto.
En la actualidad el conocimiento del docente se ha transformado en un proceso de
actualización constante especialmente en materia de tecnología, es decir, el profesor debe
aprender el uso de la herramienta y las posibilidades de esta para la enseñanza. El conocimiento
de los docentes debe incluir el saber cómo utilizar la tecnología, las redes sociales, los
softwares, los gadgets, etc., con fines pedagógicos.
Nuestros objetivo principal a la hora de realizar este proyecto de innovación es cambiar el
enfoque con el que se venía trabajando en esta asignatura desde hace ya demasiado tiempo, de
tal manera que el profesor ya no sea el actor principal sino que el alumno sea centro del proceso
de enseñanza-aprendizaje.
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
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En cuanto a la enseñanza, buscamos plantear unas clases interactivas, donde el papel del
docente como enseñante desaparezca y adopte el papel de guía de los alumnos en el aprendizaje
de nuevos conceptos. Por otro lado, y en lo que al aprendizaje se refiere, queremos dotar al
alumno de nuevas estrategias de trabajo y darle la oportunidad de que profundice en el tema
de forma autónoma, de tal manera que sea capaz de explicar lo estudiado al resto de la clase,
y desarrollar ese espíritu crítico que le permita evaluar su propio trabajo y el de sus
compañeros.
En definitiva, lo que se pretende con la utilización de las TIC y metodologías como Flipped-
Classroom y otras técnicas, es que el alumno lleve a cabo un aprendizaje significativo, siempre
desde una perspectiva constructivista del mismo, siendo el alumno el protagonista de su propio
aprendizaje.
7. Bibliografía y fuentes Bates, A.W. (1995). Technological open learning and distance education. London. New York
Routledge.
Díaz Barriga, F. (2007). La innovación en la enseñanza soportada en TIC. Una mirada al futuro
desde las condiciones actuales. Universidad Nacional Autónoma de México.
Echeburúa E. y De Corral P. (2010). Adicción a las nuevas tecnologías y a las redes sociales en
jóvenes: un nuevo reto.
Font, V. (1994). Motivación y dificultades de aprendizaje en Matemáticas. Revista SUMA.
Fullan, M. y Stiegelbahuere, S. (1991). The new meaning of educational change. New York. Teacher
College Press.
González Pareja, A.; Calderón Montero, S.; Galache Laza, T. y Torrico González, A. Usos de las
wikis para la realización de trabajos colaborativos en el aula. Departamento de Economía
Aplicada (Matemáticas). Universidad de Málaga.
Kirkwood, A. y Price, L. (2006). Adaptation for a changing environment: Developing learning and
teaching with information and communication technologies. International Review of Research
in Open and Distance Learning. 7 (2), pp 1-14
Michaels, S. I. y Van Crowder, L. (2001). Discovering the magic box. Local appropriation of
information and communication technologies. Sustainable development Department, food and
agriculture Organization of the United Nations (FAO)
Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación
Iván Corral Merino 53
Mishra, P. y Koehler, M. J. (2006). Technological Pedagogical Content Knowledge: A Framework
for Teacher Knowledge. Michigan State University.
Pérez Maya, C. J. (2007). Reseñas de Investigación en Educación Básica. La educación secundaria
frente al dinamismo de la globalización: uso de las nuevas tecnologías, participación docente
y calidad educativa. México D.F. SEP.
Roblyer, M. D. y Edwards, J. (2000). Integrating Educational Technology Into Teaching.
Sánchez, J. H. (2002). Integración curricular de las TIC: conceptos e ideas. Congreso
iberoamericano de Informática Educativa, RIBIE 2002, Vigo
UNESCO (2005). Relación entre las iniciativas globales en educación. Paris. UNESCO.
UNESCO (2008). ICT Competency Standards for Teachers. Competency Standards Modules.
United Kingdom. UNESCO.
Trabajo Fin de Máster
Iván Corral Merino 54
Reflexión final Una vez finalizado este Máster y con el convencimiento y la voluntad de dedicar mi vida
profesional a la labor docente, me planteo la siguiente reflexión.
Está fuera de toda duda que las Matemáticas son una materia imprescindible para cualquier
persona, pues estamos rodeados de ellas y las utilizamos en nuestra vida cotidiana, aunque no
seamos conscientes de ello. Esto entra en contraposición con el hecho de que sea una de las
materias más denostadas por los alumnos y con un mayor índice de fracaso escolar. Si tenemos
en cuenta que saber enseñado no equivale a saber aprendido, quizá los profesores de
Matemáticas deberíamos hacer autocrítica y preguntarnos qué parte de responsabilidad
tenemos en esta realidad.
El profesor, y en gran medida el de Matemáticas, trabaja en tierra hostil: una desmotivación
generalizada frente a la asignatura, una diversidad tanto académica como personal en ocasiones
ingestionable en grupos tan numerosos… Nuestro reto es darle la vuelta a esta situación, o por
lo menos intentarlo. Las Matemáticas son mucho más que la ejecución de algoritmos de
manera sistemática. Transmitamos el entusiasmo que sentimos por esta disciplina (o
deberíamos sentir); mostremos el origen de los conceptos, cómo se ha llegado a los resultados,
qué aplicaciones tienen; enseñemos a pensar y a razonar; demos respuesta a los “por qué” y
“para qué” de nuestro alumnos. Ellos lo agradecerán. Todos tenemos en mente el recuerdo de
aquel mal profesor (generalmente de Matemáticas) que nos obligaba a aprender conceptos de
memoria y a resolver problemas de forma mecánica. No permitamos que los alumnos que
pasen por nuestras manos tengan esa imagen de nosotros.
Durante el periodo de prácticas he podido comprobar que esta profesión es en ocasiones tan
difícil como gratificante en otras. Tal vez esa satisfacción provenga precisamente de la
superación de un reto complejo. Si bien es cierto que la labor del profesor tiene un componente
vocacional importante, esta debe estar fundamentada en una formación sólida. El docente debe
ser capaz de combinar los conocimientos técnicos con los pedagógicos y hacer llegar el
mensaje, sin perder de vista que él no es el protagonista del proceso, sino el alumno.
Me gustaría terminar esta reflexión, y con ella este trabajo que pone fin a un año clave para
mí en muchos sentidos, con una cita de un profesor de los que más he aprendido a lo largo de
todo mi recorrido académico: “Si el alumno no supera al maestro, el proceso no ha servido
para nada”.
Trabajo Fin de Máster
Iván Corral Merino 55
Bibliografía
• Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE), por la que se regula la
estructura y organización del sistema educativo en sus niveles no universitarios en el
Estado Español.
• Decreto 5/2011, de 28 de enero, por el que se establece el Currículo de la Educación
Secundaria Obligatoria de la Comunidad Autónoma de La Rioja (BOR de 4 de febrero
de 2011).
• Decreto 54/2008, de 19 de septiembre, por el que se aprueba el Reglamento Orgánico
de los Institutos de Educación Secundaria en la Comunidad Autónoma de La Rioja.
• Programación didáctica del Dpto. de Matemáticas del I.E.S. Ciudad de Haro.
• Apuntes de las asignaturas del Bloque Genérico del Máster de Profesorado:
“Aprendizaje y desarrollo de la personalidad” y “Procesos y contextos educativos”.
• Apuntes de las asignaturas del Bloque Específico del Máster de Profesorado:
“Aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas”, “Complementos para la formación
disciplinar” e “Innovación docente e introducción a la investigación”.
• Matemáticas – Pitágoras para 3º de ESO. Editorial SM.
• Guía didáctica Matemáticas para 3º de ESO. Editorial SM.
• Matemáticas – Pitágoras para 4º de ESO Opción B. Editorial SM.
• Guía didáctica Matemáticas para 4º de ESO Opción B. Editorial SM.
Recursos TIC • Jimdo: http://es.jimdo.com/
• GeoGebraTube: https://tube.geogebra.org/?lang=es
• Wikispaces: https://www.wikispaces.com/
• Google Drive: http://google.es/