¿Tu calculadora sabe sumar?

Introducción.

A lo largo de la historia, el hombre hadesarrollado diversos equipos decomputo.

Abaco RomanoAbaco Japonés

Abaco Ruso

Introducción.

Computadora digital

Algoritmos de multiplicar.

Introducción.Regla de Cálculo

1850 - 1980

Regla de cálculo de 25 cm (Pickett N902-T)

Regla de cálculo circular

Introducción.

Se impartían cursos de manejo de regla de cálculo

Introducción.

Se recurria a la literatura sobre manejo de regla de cálculo

Introducción.

Calculadora mecánica

Introducción.

Sumaba y restaba

Introducción.

Introducción.

Introducción.

Olivetti

Remington

Burroughs

Introducción.

Facit

Introducción.

Olivetti

Burroughs

Introducción.

• Con el desarrollo de económicas yportátiles calculadoras se haincrementado el número de personas queconfiadamente se apoyan en el uso deestas máquinas para realizar sus cálculos.

Introducción.

Introducción.

Burroughs B6700

Introducción.

Burroughs B6700

Introducción.

Burroughs B6700

Introducción.

Burroughs B6700

Introducción.

Burroughs B6700

Introducción.

Introducción.

• Muchos usuarios de computadorasconfían ciegamente en los resultados quela máquina les entrega, y este problemaes compartido por el creciente número deusuarios. Un resultado producido por unacomputadora es aceptado como correcto,esto es más o menos aceptado como unaprueba matemática.

Introducción.

¿Cómo era ?

Introducción.

HP9830A

Introducción.

Apple II

Commodore SX-64

Almacenamiento

• Continuamente el mercado se veinundado por nuevas generaciones decomputadoras Personales. Estasmáquinas frecuentemente superan a lasanteriormente fabricadas, en capacidad yeficiencia.

Introducción.

Introducción.

IBM 5150 (1981)

IBM Personal System/2 Model 55 SX (1987)

IBM Personal System/2 Model 25

IMB Model 80

Introducción.

MacBook

• Los usuarios quedan completamenteatónitos cuando se enfrentan al hecho deque un cálculo numérico simple, con unascuantas operaciones, puede producirresultados incorrectos. Ellos quedan másatónitos al comprender que en cálculos ennotación flotante nada puede serconfiable, dadas las técnicascomputacionales usadas actualmente.

Introducción.

Modernidad

• Ax3 + Bx2 + Cx + D = D + x(C + x(B + xA))

Introducción.

35 15 3510 10 10+ −

GWBASIC

GWBASIC

GWBASIC

GWBASIC

GWBASIC

Borlan C

Borlan C

Excel

Excel

MathCad

MathCad

MathCad

MathCad

Matlab

Matlab

Mathematica

Mathematica

Mathematica

-2237x

8

11340+21473 x

10

56700-24683 x

12

56700+6485153 x

14

17860500-8608231 x

16

35721000+85931369 x

18

642978000-8586380969 x

20

135025380000+

16985903 x22

642978000-65399931389 x

24

6751269000000+43833311 x

26

13891500000-2062210963 x

28

2250423000000+37403225893 x

30

157529610000000-

25893327853 x32

472588830000000+

17663674519 x34

1575296100000000-

13359775033 x36

6616243620000000+

15495397 x38

49009212000000-

106553 x40

2520473760000+

115697 x42

24700642848000-

30353 x44

74101928544000+

127x46

4940128569600-

127x48

145239779946240

Mathematica

Caracteristicas de operación.

• Notación Flotante.• Sistema Binario.• Tamaño finito de palabra.

Notación flotante

700 = 0.7 x 103

Mantisa

Exponente

Sistema binario

0.710 = 0.101100112

= 0.6992187510

0.000000012 = 2-8 = 0.00390625

Sistema binario

0.710 = 0.10110011001100102

= 0.6999969510

0.00000000000000012 = 2-16

=0.0000152588

El error de redondeo

0.00390625 x 1035 = 3.9 x 1032

0.0000152588 x 1035 = 1.52 x 1030

El error de redondeo truncado

10.333333333...

33.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937...

e=2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 ...

π

=

= ββ

El error de truncamiento

0

2 1

0

!

( 1)( )

(2 1)!

ix

i

i i

i

xe

i

xsen x

i

∞

=

+∞

=

=

−=+

∑

∑β β

Error absoluto

( )( ) ( )

( )!1

)(

1

2

11

1

1

+−=

×−=

×=

++

−−

−−

n

axfe

e

e

nn

t

t

rt

t

r

ε

ββ

ββ

Error relativo

( )( ) ( )

( )( )

∑=

++

−

−

−+

−

=

×−=

×=

n

i

ii

nn

t

t

rt

t

r

i

axaf

n

axf

r

r

r

0

)(

11

!

)(

!1

)(

1

2

ε

ββ

ββ

Errores inherentesFabricación

Errores inherentesMedición

Errores inherentesMedición

Errores inherentesMedición

Errores inherentes

Errores inherentesMedición

Cifras significativasCifra significativa es cada uno de los dígitos que

resultan de hacer una medición, cuando la máxima

incertidumbre no es mayor que la mitad de la mínima

unidad que puede ser medida con el instrumento de

medición utilizado.

El ancho de una hoja de papel, tamaño carta, es 21.63294 cm y el largo de ella es 27.92569823 cm.

El exceso de decimales es un error

Cifras significativas

Se utilizó una regla graduada en milímetros. Con esteinstrumento de medida sólo es posible determinar milímetros,por lo que los últimos dígitos reportados para el ancho y largode la hoja carecen de sentido. Las dimensiones reportadasdeben ser entonces, 21.6 cm de ancho y 27.9 cm de largo. Esdecir los datos tienen 3 cifras significativas.

Ahora expresemos estas dimensiones en otras unidades, el ancho de la hoja es:216000 µm = 216 mm =21.6 cm = 0.216 m = 0.000 216 Km.

En todos los casos se tienen sólo 3 cifras significativas, al escribirla en µm, los tres últimos ceros no son confiables,

Ahora calculemos el área de la hoja tamaño carta, unamultiplicación simple nos da el resultado:

Área = 21.6 cm X 27.9 cm = 602.64 cm2.

Observemos que cada una de las dimensiones tieneun decimal y el área cuenta con dos, lo cual también es unaimprecisión. Cuando se sumen, resten, multipliquen o dividancantidades con diferente número de decimales el resultadodebe expresarse con un número de decimales igual al delfactor que menos tenga. Así el área debe ser expresadacomo 602.6 cm2.

Cifras significativas

La palabra precisión se usa para referirse a laincertidumbre en una medida, una medida tiene muchaprecisión cuando su incertidumbre es pequeña y tiene pocaprecisión cuando la incertidumbre es grande.

La exactitud indica la cercanía de dicha medida alvalor real de la magnitud que se mide.

Exactitud y Precisión.

Excel

• Cuando se van a sumar y/o restarnúmeros, trabajar con los números máspequeños primero.

• De ser posible, evitar la substracción dede dos números aproximadamenteiguales.

Recomendaciones.

• Una expresión del tipo a(b - c) puedereescribirse ab – ac y (a-b)/c puedereescribirse a/c – b/c. Si hay númerosaproximadamente iguales en el paréntesis,ejecutar la resta antes de la multiplicación.

• Cuando no se aplique ninguna de las reglasanteriores, minimizar el número de operacionesaritméticas.

Recomendaciones.

Polinomios.

3/ 2 3 5/ 2 5 7 / 2 7 9/ 2 91 7 127 4369

2 24 960 80640 11612160

yE y y y y

π π π π π= + + + +

2 2 2 21 1 1 127 43691 1 7

2 12 40 12 7 1008

yE y y y y

π π π π π = + + + +

Conclusión.

Para evitarnos problemas y/o errores, debemoshacerle la vida fácil a la computadora.

2

43

2

2

11

11

11

a

nnana

n

ann

a

−+−−

−−+

−

n

nn 12 ++

Conclusión.

Referencias.

S. M. Rump, Wie zurerlássig sind die Ergebrisse unsererRechenanlagen? Jahrbuch Überblicke Mathematik 163 –168 (1983)

Antología de Matemáticas, Serie: Lecturas Universitarias,vol. 7, Universidad Nacional Autónoma de México,Segunda edición 1983, pp 134-137

Panteleeva, O., González Cardel M. F., “MétodosNuméricos” Instituto de Investigaciones en TecnologíaEducativa de la Universidad Tecnológica de México,México, 2002.

Referencias.

McCracken, D. y D. Dorn, W. S., Métodos Numéricos y

programación fortran, Limusa México, 1986.

Burden L. R. y Faires J. D., Análisis Numérico, ThomsonLearning. México, 2002.

Rivalidades modernas