Un modelo de depredación con densidad umbral de presas en el predador

Héctor Meneses Alcay y Eduardo González Olivares Grupo Ecologia Matemática, Instituto de Matemáticas Pontificia Universidad

Católica de Valparaíso hmeneses@ucv.cl, ejgonzal@ucv.cl ;http://ima.ucv.cl

En este trabajo analizamos un modelo predador – presa del tipo Gause con respuesta funcional de los depredadores del tipo Holling II y efecto Allee sobre los predadores. También consideramos la población de presas afectada por la inmigración o emigración.

El comportamiento del sistema es altamente dependiente de este efecto y además mostramos la existencia de un único ciclo límite.

Hacemos un estudio del modelo propuesto por Kent, el cual asume el efecto Allee sobre la población de depredadores y su comporta-miento está descrito por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

y

Qhx

xPQ

td

yd

Qhx

yxQ

K

xxr

td

xd

1

11

y,P,h,Q,K,r donde 6

El sistema está definido en el primer cuadrante

22 }0y ,0 x/ )y,x( {

y los parámetros tienen los siguientes significados biológicos.

r es la tasa intrinseca de crecimiento de las presas

K capacidad de soporte del medio

es la tasa de inmigración o emigración

Q tasa de conversion en nuevos depredadores por consumo de presas

h tiempo de captura por cada presa encontrada

P promedio de busqueda del depredador

a = 1 / Qh es la cantidad de presas para alcanzar

la mitad de Q ( tasa de saturación media )

Los puntos de equilibrio del sistema son :

0;P

0;

1P Qh Qh

0;KP K

QhKQh

ry

eyxP

e

eee

11

xdonde; e

K sisóloysi0y Entonces e

El sistema no es del tipo Kolmogorov, excepto

cuando = 0

ycax

xp

td

yd

ax

yxq

K

x1r

td

xd

x

yc

ax

n-xp

td

yd

ax

yxq

K

x1r

td

xd

1

1

x

El sistema es topologicamente a :

y

LEMA 1

En orden a analizar el sistema y simplificar los calculos hacemos una reparametrización dada por la función

:

t,y,xr

K

au

,vq

rK,Ku,,

vu

donde

0K

au,v,uDdet

q

K

y se tiene

Es decir , es un difeomorfismo y el campo vectorial en el nuevo sistema de coordenadas es topologicamente equivalente al campo vectorial Y = o X y tiene

asociado un polinomio de tercer grado al sistema de ecuaciones diferenciales

vC-uBtd

vd

vuuu1Eutd

ud

:YE

A

donde,E yB,C,Aνcon 3

p

cK

a

p

c

p

cA

K

1Cand-1

r

pB;1

K

a;E

0,P E E 0,1P 1 0,P A A

CACC

Cvu ee

1EC

v

yu donde;P

e

ee

y los puntos de equilibrio son :

EA-v-EAuA-E-12u3a

cCuBvB

uav,uYD

211

11

on

La matriz Jacobiana es

Considerando en el sistema E > 0 , se tienen los siguientes resultados

LEMA 2

Principales resultados

invarianteregión una es

0;10/v,u conjunto El) a 2 vu

b ) Las soluciones son acotadas

LEMA 3

El punto P1=(1 , 0 ) es

a ) Un pun to silla si C < 1

b ) Un nodo atractor si C > 1, e implica la no existencia de un punto de equilibrio en el primer cuadrante

En lo que sigue consideraremos que C < 1 , y para simplificar haremos E = A > 0, esto quiere decir que la interacción entre las especies está afectada por el fenómeno de la inmigración

vC-uBdv

uvAuu1dt

du 2

dt

Y

C-uBBv

u-A-v-2AuA2-12u3v,uYD

es jacobiana matriz la22

Entonces tenemos el caso particular, con dos parámetros

Dados por el sistema

3C-14C,C y0,A-

:son equilibrio de puntos losy

LEMA 4 :e0, P punto El A sA

a ) Un punto de equilibrio atractor si y sólo si C > A > 1/ 2

b) Un punto de equilibrio repulsor si y sólo si C > A > 1 / 2

c ) Es un punto silla si y sólo si, A < 1 / 2 y A < C

o bien A > 1 / 2 y A > C

LEMA 5

La singularidad ( C , 4C( 1 – C ) 3) es un punto de equilibrio atractor si y sólo si A + 2 C2 – C > 0

LEMA 6

a ) Si ( C , 4C ( 1- C ) 3 es un punto de equilibrio repulsor no puede coexistir con ( - A , 0 ) repulsor , atractor o bien punto silla cuando A > C y A > 1 / 2

b ) Un punto de equilibrio repulsor rodeado de un

ciclo límite si y sólo si A + 2 C 2 – C < 0

LEMA 7

b ) ( - A , 0 ) es silla si A < C y A > 1 / 2 , entonces puede coexistir con

( C , ( 1 – C ) 3 ) cuando es un punto de equilibrio atractor

Cuando el punto ( - A , 0 ) es un punto silla , esto es , si A < C y A < 1 / 2 , la variedad estable W s de este punto determina una curva separatríz en el plano de fase que divide el comportamiento de las trayectorias

A = 0.6 ; C= 0.7

2

3

2 , si sóloy si

orden primer de débil focoun esC-14C,C punto El

CCA

TEOREMA 8

Consideremos ahora cuando hay emigración, es decir, si E < 0, y el sistema de ecuaciones diferenciales es :

vC-uBtd

vd

vuuu1Eutd

ud

:YE

A

donde,E yB,C,Aνcon 3

p

cK

a

p

c

p

cA

K

1Cand-1

r

pB;1

K

a;E

y los puntos de equilibrio son :

Es decir < 0, y graficamente se tiene:Isoclina predador

-0.2

-0.10

0.1

0.2

0.3

Predador

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1PresasEA

Pe= ( ue , ve )

C

Isoclina presas

Consideraremos - E < C < 1, en los otros casos el punto no trivial queda en el IV cuadrante

Principales resultados

LEMA 9

Los puntos de equilibrio P1( 1 , 0 ) y PE ( - E , 0 ) son puntos silla

LEMA 10 Sea um donde la isoclina de las presas tiene un máximo relativo, entonces :

a ) Si - E < C < um entonces Pe= ( ue , ve ) es repulsor

A=0.5 ; E=- 0.4 ; C = 0.5

A = 0.3 ; E = - 0.4 ; C = 0.65

A = 0.3 ; E = - 0.4 ; C = 0.7

b ) Si um < C < 1 entonces Pe= ( ue , ve ) es un

atractor local

c ) Si C = um, entonces Pe(ue, ve) es un foco débil de

primer orden.

A = 0.3 ; E = - 0.4 ; C = 0.67982 = um