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7/17/2019 Unidad 3 Vibración Libre Con Amortiguamiento
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Unidad 3
Vibración libre con amortiguamiento
m ´ x+e ´ x+kx=0…(1)
La solución de la ecuación número (1) no puede obtenerse tan fácil como la
ecuación para vibración simple sin amortiguamiento pero podemos hacer una
consideración de la siguiente función:
x=est
En donde s es igual a una constante y t igual a tiempo. erivando esta función con
respecto al tiempo! y sustituyendo su valor en la ecuación (1) tenemos lo
siguiente:
m ´ x+e ´ x+kx=0…(1)
x=est
´ x=sest
´ x=s2 est
ms2est +es est +k est =0
(ms2+es+k )est =0… (2 )
"i la ecuación número # se satisface la consideración $ue se ha hecho de la
función x=est
es una solución correcta y por lo tanto
ms2+es+k =0
k e
m x
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s=−e±√ e2−4mk
2m
s1,2=−e2m ±√(
e2m )
2
− k m … (3 )
En donde es1 t y e
s2 t
son las soluciones. La solución más general la obtenemos con la
siguiente expresión
x=c1es1 t +c2e
s2 t … (4 )
En dondeC 1 y C 2 son constantes arbitrarias.
Al aclarar el significado físico de esta ecuación debemos distinguir dos casos depende de
las expresiones de “S” en la ecuación 3 ya sean reales o compleas.
!uando ( e2m )2
sea mayor "uek m
( e2m )2
> k m
La expresión dentro del radical es positi#a siendo por lo tanto reales los #alores de “s” más
sin embargo ambos son negati#os puesto "ue la raí$ cuadrada es menor "ue el t%rmino
e2m .
Así la ecuación n&mero ' describe una solución "ue consiste en la suma de dos cur#as
exponenciales decrecientes como se muestra en la figura.
es1
es2 t
(o#imiento de un sistema con un
solo grado de libertad con
amortiguamiento mayor "ue el
amortiguamiento crítico (C C )
Amortiguamiento crítico
ec=2mwn
¿2m√ k m
1 2
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Se )a dibuado la línea punteada en la figura "ue nos muestra "ue el mo#imiento no es una
#ibración sino más bien un lento regreso a la posición de e"uilibrio. Esto se debe a "ue
cuando
( e2m )2
> k m
El amortiguamiento ! es sumamente grande.
*ara #alores menores de ! "ue concurren a los casos prácticos la ecuación n&mero 3 de
#alores compleos paraS1 al amortiguamiento ! en el "ue ocurre esta transición se le
llama amortiguamiento crítico.
( e2m )2
− k m=0=¿( e2m )
2
= k m y k m=wn
2
( ec2m )2
=wn2
(ec )2=4m
2wn2
ec=2mwn
ec=2m√ k m … (5 )
En el caso en "ue el amortiguamiento sea menor+ la ecuación n&mero 3 se puede escribir
como sigue,
s1,2=−e2m ±i √
k m−( e2m )
2
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si q=√ k m−( e2m )
2
s1,2=−e2m ±i q de donde i=√ −1
Aun"ue el radical resulta a)ora un n&mero real+ los dos #alores de S contienen a i y como
consecuencia la ecuación ' contiene t%rminos de la forma,
ei∝ t
!on la ayuda de la siguiente ecuación y la solución de la ecuación numero ' tenemos lo
siguiente,
ei∝=cos∝+i sin∝
x1=C 1es1 t +C 2e
s2 t
x=C 1e(−e2m ±iq )t +C 2 e
(−e2m ±iq )t =C 1 e−e2m eiqt +C 2e
−e2m e
−iqt
x=e−e2m [C
1eiqt +C
2e−iqt ]
¿e
−e
2m
[C 1 (cos qt +i sinqt )+C 2 (cos qt −isinqt ) ]
¿e−e2m [ (C 1+C 2 )cosqt +(C 1−C 2) isinqt ]
!omoC 1 yC 2 son constantes arbitrarias,
(C 1+C 2 ) y (iC 1−iC 2)
(C 1+C 2 )=C i y (iC 1−i C 2 )=C i
-ambi%n serán arbitrarias.
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x=e−e2m
t
(C 1cosqt +C
2sinqt ) …(7 )
q=√ k
m−( e2m )
2
recuencia natural amortiguada
ec=2mwn∴2m= ecwn
q=√ k m−( eecwn
)2
q=
√ k
m−( e
ec
√ k m )2
q=√ k m−( eec )
2
( k m )
q=√ k m [1−( eec )2
]
q=√ k m √1−( eec )2
q=w n
√
1−
(
e
ec
)
2
Esta es la solución para un amortiguamiento menor "ue el amortiguamiento crítico (C c)
y consta de dos factores,
actor de amortiguamiento
ζ = eec
q=√ 1−ζ 2 (wn )
qwn
=√ 1−ζ 2
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/.0 1na exponencial decreciente.
2.0 1na onda senoidal.
El resultado combinado es una onda senoidal amortiguada descansando en el espacio entre
la cur#a exponencial y su imagen refleada.
!uando más pe"uea sea la constante de amortiguamiento 4!4 más aplastada resultara la
cur#a exponencial+ y por lo tanto más ciclos se re"uerirán para "ue se des#ane$can las
#ibraciones.
La relación de este des#anecimiento puede calcularse considerando dos máximos
consecuti#os cuales"uiera de la cur#a, ya sea de 4A4 a 454+ 454 a 4!4+ etc.
6urante el inter#alo de tiempo entre los dos máximos es decir+ entre,
2 π q seg=T
La amplitud de #ibración disminuye de,
e−e2m
t
a e−e2m (t + 2π
q )
e−e2m (t + 2π
q )=e−e2m
t
=e−2πe2mq
Esta <ima expresión es igual a la primera multiplicada por un factor constante.
e−πcmq <1=e−δ =e−δ ∗wnt
xn
7ibración libre de un sistema
amortiguado menor "ue el
amortiguamiento critico (C c)
1 xn+1
3π π
4 π 2π
−1
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La relación entre dos máximos consecuti#os es constante las amplitudes decrecen en formageom%trica.
7amos "ue si “ xn ” es la en%sima amplitud máxima de #ibración+ “
xn+1 ” será la
siguiente máxima y entonces tenemos,
xn+1= xn e
−πe
mq=e−δ =e−ζ ∗wn t
8 tambi%n
loge ( xn xn+1 )= πc
mq=δ
6ecremento logarítmico
*ara pe"ueos amortiguamientos tenemos,
δ = πe
mq=
2 π e
ec
√1−( eec)2 si
eec→0=¿
δ =2πeec
=2 π ζ tambien
xn+1
xn
=e−ζ =(1−ζ )
xn− xn+1 xn
=ζ 9:a$ón de declinación;
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Ejemplo 1
Se proporciona los siguientes datos para un sistema vibratorio con
amortiguamiento viscoso: =10 lb, k= 30 lib * plg, c=0.12 lb/plg/seg.
Determine el decremento logartmico ! la ra"#n de cual$uiera de dos
amplitudes consecutivas
Datos
%=10 lb
%=30 lb/pulg/seg
&=0.12 lb/pulg/seg
ωn=√ k m=34.3 rad /seg
m=wg=0.025 lb plg/seg2
Amortiguamiento critico
Cc=2mωn
Cc=2 (0.025 ) (34.3 )=1.76 lb plg/seg
Factor de amortiguamiento
ζ = cCc
=0.12
1.76=0.068
Decremento logarítmico
' = 2( ζ
' = 2( ) 0.0+
' = 0.-2
la razón de dos amplitudes consecutivas
xn+1
xn = e –
= !"#$%
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n sistema vibrante $ue consta de 2.2 kg de masa ! un resorte con
rigide" de 1. /m es amortiguado viscosamente de modo $ue la ra"#n
de dos amplitudes consecutivas es 1 0.+. ncuentre:
a ωnamortiguada
b δdecrementologaritmico
c ζ actor de amortiguamiento
d coeiciente deamortiguacion
ωn=√ k m=√17.5 ! /m2.267 kg
=27.78 rad /seg
x1
xn+1=¿ ln 1
0.98=0.0202
δ =ln ¿
q=ωn√ 1−ζ 2=¿
q=27.78 rad /seg√ 1−(0.00032 )2=27.779radseg
δ =2π ζ ∴ζ = δ 2π =
0.0202
2 π =0.0032
ζ = C
Cc∴C =ζ ∗Cc
Cc=2mωn=2(2.267kg)(27.78 radseg
)
Cc=125.954
!
m / seg
C =(0.0032 ) (125.954 )=0.4030 &'m'seg
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Ejemplo
4ara calibrar un amortiguador, la velocidad del piston 5ue medida
cuando se le aplica una 5uer"a dada. Si un peso de 0. lb produce una
velocidad constante de 1.20 plg/seg, determine el 5actor de
amortiguaci#n cuando se tiene una masa de 0.0kg ! una rigide" de
/cm
&'.1*
6 = 1.# pulg+seg ., lb (
1kg2.21 lb )' .##-g
m' ./- g0.0254m1 pulg ' .0 m+s
' - 2+m
ζ ' 3
4' " ´ x
4'0.227kg
0.03048m / s '-.,, g+m+s
7n'# k m '
# 0.07 ! /m0.907kg ' #-.- rad+seg
4c' #m7n ' #(./-g) (#-.- rad+seg)
4c',./ g+m+seg
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ζ '
7.55 $% &
/S'%
50.39 $% / & /S'%' .10/
n sistema vibrante tiene las siguientes constantes m= 1.kg, k=0
/cm, & = 0.0 /cm/seg. Determine
a 8actor de amortiguaci#nb 8recuencia natural de oscilaci#nc Decremento logartmicod 9a ra"#n de 2 amplitudes consecutivas cuales$uira
5'- 2+cm ' - 2+m
4'.- 2+cm+seg' -2+m+seg
ζ '3 7n'
# k m ' *.# rad+seg
$'3
'' 3 4c'#m7n
xn+1
xn '3 4c'#(1-.,g) ( *.#rad+seg)
4c'##1.#g+seg
a ζ 'C C 2
ζ '70 ! m / seg
221.2kg /seg' .1*
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b $' √ 1−(0.36)2(6.32 radseg
) ' ,.// rad+seg
c '' #6 ζ
'' #6 ( .1*)'1./,0
d xn+1
xn ' e−ɤ
' e−1.9854
' .1-
Ejemplo
(uc)os dispositi#os están pro#istos de un aparato de amortiguación #iscosa y austable. En
uno de tales dispositi#os la relación entre amplitudes sucesi#as es /< a /. Si se duplica la
cantidad de amortiguación se pregunta cuál será entonces la relación de amplitudes
sucesi#as.
xn+1 xn
=e−δ
ln
( xn+1 xn )=−δ
−ln (10 )=δ =2.302
δ =2πζ
ζ = δ 2 π
ζ =0.3664 (2δ =1.4656
δ =2π (1.4656)
δ =4.6043
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xn+1 xn
=e−4.6043
xn+1 xn
=100
Ejemplo
6etermine para las #ibraciones libres de un sistema la constante de amortiguación #iscosa
del mismo. Se conoce la siguiente información
!onstante del resorte = >?@m
(asa /<>g
Amplitud de /er ciclo 'mm
Amplitud de 2do ciclo '=mm
Amplitud de 3er ciclo 3 mm
Amplitud de 'to ciclo 2Bmm
!CD
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4c'#m #
k m '#(1)
# 8 k! /m10kg ' ,*-.* 2+m+seg
xn xn+1 ' (* mm+ #-mm)'1. ln .1'.#''
ζ 'ɤ
2 ) ' .00 ζ ' C Cc ' 4 ' ζ 4c
4 ' #0. 2+m+seg
1n oscilador armónico amortiguado tiene una masa m igual a /.2 g constante
amortiguamiento !C /2 ?s@m y constante rigide$ >C<.F ?Gm. Encuentre,
a; recuencia natural amortiguamiento
b; El factor de amortiguamientoc; La ra$ón de amplitudes consecuti#as cuales"uiera
6atos
mC/.2 g
cC /2 ?@m
C <.F ?Gm
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wn=√ k m=20.41rad
seg
Cc=2m
√ k m=2 (1.2kg )
√0.5
k!
m1.2kg =48.98 kgs
C Cc¿¿¿2¿
1−( C Cc
)2
¿12
1.54¿¿
1−¿0.5
1.2¿
1−¿q=ωn √ ¿
C 2m¿¿¿2¿12
2(1.2)¿¿¿2k
m
−¿
q=√ ¿
ζ = C Cc
= 12
48.98=0.244
9
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δ =2πζ =2π (0.2449 )=1.538 7
xn+1 xn
=e−1.5387
xn+1
xn =0.2146
Ejemplo
1na ma"uina tiene soportes con rigide$ CF.Fx/<' ?@my tiene una frecuencia natural
amortiguada igual a 2FF rad@seg desde el decremento logarítmico medido y encontrando
"ue el factor de amortiguamiento es <./=.Si la ma"uina fundamentada es moderada como
sistema de #ibración libre para #ibración #ertical. Encuentre,
a; (asa de la ma"uina b; (o#imiento resultante desde /mm de despla$amiento inicial y /3<mm@seg de
#elocidad inicial en la dirección #ertical
6atos
F.Fx/<
'
?@m
q=255 rad /seg
ζ =0.18
q=√ 1−ζ 2 (ωn )
ωn= q
√ 1−ζ 2=
255 rad /seg
√ 1−(0.18)
2
ωn=259.23 rad/seg
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ωn=√ k m
ωn2=
k
m∴m=
k
ωn
2=
5.5 x 104 ! /m
(259.23 rad
seg)2 =0.818kg
xo=1 * 10−3m
´ x=0.13m /seg
x=0.13 m
seg
259.23rad
seg
sen(259.23 radseg )(0 )+1 x10−3cos (259.23 radseg )t
( = 1(1!)*m