UNIDAD No. 6SERIES CRONOLÓGICAS, HISTÓRICAS O SERIES DE

TIEMPO

Lic. Oscar Noé López Cordón

Guatemala, noviembre 2010

Estadística I Lic. Oscar Noé López Cordón

CONTENIDO

DefinicionesUtilidad Clasificación de los Patrones de las

SeriesTendencia LinealClasificación de las SeriesAplicación Práctica

DEFINICIONES

Estadística I Lic. Oscar Noé López Cordón

Se llama serie de tiempo a cualquier sucesión de observaciones de un fenómeno que es variable con respecto al tiempo.

Series de tiempo es un conjunto de observaciones hechas en momentos determinados, normalmente a intervalos iguales.

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Están constituidas por estadísticas de una o más variables observadas con otra variable que es el tiempo.

Se refiere a una serie de datos de una misma variable durante cierto tiempo, que puede ser años, meses, semestres, etc.

SU UTILIDAD

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Tiene por objeto conocer el comportamiento de una variable cuantitativa en el pasado, para estimar su comportamiento en el futuro.

Su análisis permite hacer un pronóstico de la actividad futura.

CLASIFICACIÓN DE MOVIMIENTOS, VARIACIONES O PATRONES DE LAS SERIES CRONOLÓGICAS

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Movimientos Seculares o de Larga Duración (Tendencia Lineal)

Movimientos CíclicosMovimientos EstacionalesMovimientos Irregulares o al

Azar

TENDENCIA LINEAL

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Es la que puede señalarse en una línea recta o curva suave, y puede ser ascendente o descendente.

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Métodos para obtener una línea recta y su ecuación:Método Gráfico, de Mano Alzada o

Mano Libre, Método de Semipromedios, Método de Promedios Móviles y Método de Mínimos Cuadrados.

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Para el ajuste de la línea se utiliza el Método de Mínimos Cuadrados, con la Ecuación

de la Línea Recta:

Y = a + bx

Y cuando se usa para describir la tendencia es escrita así:

Yc = a + bx

Método de Mínimos Cuadrados:

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Dónde:

Yc = Valores calculados o estimados de la variable “y”

a y b =Coeficientes de Regresión

a = Origen

b = Pendiente

x = Días, semanas, meses, semestres, años, etc.

Las series se pueden clasificar en ser:a.) Serie con número de años paresb.) Series con número de años Impares

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CLASIFICACIÓN DE LAS SERIES

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MÉTODO LARGO:

Para encontrar los coeficientes de “a” y “b”, de la ecuación, por el Método General o con Origen en el primer dato de la Variable

se utilizan las siguientes ecuaciones normales:

y = na + b x

2

xy = a x + b x

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MÉTODO CORTO:

Para el Método Corto, Abreviado, Indirecto o con Origen en el dato Central, las anteriores ecuaciones se simplifican haciendo que la sumatoria de X sea igual a cero, quedando así:

a = y b = xy

N x^2

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SERIE DE AÑOS IMPAR:

Método Corto

AÑOS X

1 –2

2 –1

3 0

4 1

5 2

Método Largo

AÑOS X

1 0

2 1

3 2

4 3

5 4

“x” expresada en años “x” expresada en años

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SERIE DE AÑOS PARMétodo Largo

AÑOS X

1 0

2 1

3 2

4 3

5 4

6 5

Método Corto

AÑOS X

1 -5

2 –3

3 –1

0 **

4 1

5 3

6 5Origen entre los dos años centrales

“x” expresada en años “x” expresada en semestres

APLICACIÓN PRACTICASERIE IMPAR

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La empresa ”Primero Dios, Yo Ganaré mi Privado", lo ha contratado para que efectúe auditoría de los últimos ejercicios. Del resultado de esta auditoría se determinó lo siguiente:

AÑOS 2005 2006 2007 2008 2009Utilidad Anual 120 129 132 135 140(Miles Q.)

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Con la información anterior se le solicita:

Determine la Ecuación de la Línea Recta mediante el procedimiento corto y calcule la Utilidad para los Años 2010 y 2011.

Determine la Ecuación de la Línea Recta mediante el procedimiento largo y calcule la Utilidad para los Años 2010 y 2011.

SOLUCIÓN

PROCEDIMIENTO CORTO

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Planteamiento:

Años Y X2005 120 -22006 129 -12007 132 02008 135 12009 140 2

656 0

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Años Y X XY X2

2005 120 -2 -240 4

2006 129 -1 -129 1

2007 132 0 0 0

2008 135 1 135 1

2009 140 2 280 4

656 0 46 10

DESARROLLO

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a = y = 656 a = 131.20 N 5

b = xy = 46 b = 4.60 x2 10

Ecuación de la Línea Recta Resultante:

Yc = 131.20 + 4.60 x

DETERMINACIÓN DE LA ECUACION

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Y2010 = 131.20 + 4.60 (3 )

Y2010 = 131.20 + 13.80

Y2010 = 145.00

Y2011 = 131.20 + 4.60 (4 )

Y2011 = 131.20 + 18.40

Y2011 = 149.60

UTILIDAD ESTIMADA PARA2010 Y 2011

PROCEDIMIENTO LARGO

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Planteamiento

Años Y X2005 120 02006 129 12007 132 22008 135 32009 140 4

656 10

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Desarrollo

AÑOS Y X XY X2

2005 120 0 0 0

2006 129 1 129 1

2007 132 2 264 4

2008 135 3 405 9

2009 140 4 560 16

656 10 1358 30

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y = na + xb

xy = xa + x2b

Sustituyendo los valores en las ecuaciones

656 = 5 a + 10 b

1358 = 10 a + 30 b

DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN

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656 = 5 a + 10 b (-2)

1358 = 10 a + 30 b

-1312 = -10 a - 20 b

1358 = 10 a + 30 b

46 = 10 b

b = 46/10 b= 4.6

Estadística I Lic. Oscar Noé López Cordón

Despejando "a"656 = 5 a + 10 b656 = 5 a + 10 (4.6)656 = 5 a + 46656 - 46 = 5 a610 = 5 a a = 610 / 5 a = 122

Ecuación de la Línea Recta Resultante: Yc = 122 + 4.60 x

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Y2010 = 122 + 4.60 (5 )

Y2010 = 122 + 23

Y2010 = 145.00

Y2011 = 122 + 4.60 (6 )

Y2011 = 122 + 27.60

Y2011 = 149.60

UTILIDAD ESTIMADA PARA2010 Y 2011

APLICACIÓN PRACTICASERIE PAR

Estadística I Lic. Oscar Noé López Cordón

La empresa ”Primero Dios, Yo Ganaré mi Privado", lo ha contratado para que efectúe auditoría de los últimos ejercicios. Del resultado de esta auditoría se determinó lo siguiente:

AÑOS 2004 2005 2006 2007 2008 2009Ut. Anual 120 129 132 135 140 145(Miles Q.)

Estadística I Lic. Oscar Noé López Cordón

Con la información anterior se le solicita:

Determine la Ecuación de la Línea Recta mediante el procedimiento largo y calcule la Utilidad para los Años 2010 y 2011.

Determine la Ecuación de la Línea Recta mediante el procedimiento corto y calcule la Utilidad para los Años 2010 y 2011.

SOLUCIÓN

PROCEDIMIENTO LARGO

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Planteamiento

AÑOS Y X

2004 120 0

2005 129 1

2006 132 2

2007 135 3

2008 140 4

2009 145 5

801 15

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Desarrollo

AÑOS Y X XY X2 2004 120 0 0 0 2005 129 1 129 1 2006 132 2 264 4 2007 135 3 405 9 2008 140 4 560 16 2009 145 5 725 25

801 15 2083 55

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Ecuaciones Mínimo CuadráticasSustituyendo los valores en las ecuaciones

y = na + xb xy= xa + x2b

801 = 6 a + 15 b2083 = 15 a + 55 b

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801 = 6 a + 15 b (-2.5)

2083 = 15 a + 55 b

-2002.5 = -15 a - 37.5b

2083.0 = 15 a + 55 b

80.5 = 17.5 b

b = 80.5 / 17.5 b= 4.6

Estadística I Lic. Oscar Noé López Cordón

Despejando "a"801 = 6 a + 15 b801 = 6 a + 15 (4.6)801 = 6 a + 69801 – 69 = 6 a 732 = 6 a

a = 732 / 6 a = 122

Ecuación Resultante: Yc = 122 + 4.6 x

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Y2010 = 122.00 + 4.60 (6 )

Y2010 = 122.00 + 27.60

Y2010 = 149.60

Y2011 = 122.00 + 4.60 (7 )

Y2011 = 122.00 + 32.20

Y2011 = 154.20

UTILIDAD ESTIMADA PARA2010 Y 2011

PROCEDIMIENTO CORTO

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Planteamiento

AÑOS Y X

2004 120 -5

2005 129 -3

2006 132 -1

0

2007 135 1

2008 140 3

2009 145 5

801 0

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Desarrollo:AÑOS Y X XY X2 2004 120 -5 -600 25 2005 129 -3 -387 9 2006 132 -1 -132 1

0 2007 135 1 135 1 2008 140 3 420 9 2009 145 5 725 25

801 0 161 70

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a = y = 801 a = 133.5N 6

b = xy = 161 b = 2.3 x2 70

Ecuación Resultante Yc = 133.5 + 2.3 X

Ecuaciones Mínimo Cuadráticas:

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Y2010 = 133.50 + 2.30 (7 )

Y2010 = 133.50 + 16.10

Y2010 = 149.60

Y2011 = 133.50 + 2.30 (9 )

Y2011 = 133.50 + 20.70

Y2011 = 154.20

UTILIDAD ESTIMADA PARA2010 Y 2011

CAMBIO DE ORIGEN EN LA ECUACIÓN

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Trasladar el origen de la Ecuación anterior al 1 de enero de 2004 y al 1 de enero de 2008 y establecer las nuevas ecuaciones de tendencia.

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Origen el 1-Ene-2004

AÑOS Y X 1-1-04

2004 120 -5 0

2005 129 -3 2

2006 132 -1 4

0

2007 135 1 6

2008 140 3 8

2009 145 5 10

801 0

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Yc = 133.5 + 2.3 x

y(-5) = 133.5 + 2.3 (-5)

y(-5) = 133.5 - 11.5

y (-5) = 122

La nueva Ecuación queda:

Yc = 122 + 2.3 x

x = expresada en semestres

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Prueba:

Calcular la Utilidad para 2010 y 2011

y2010 = 122 + 2.3 (12) y2010 = 149.60

y2011 = 122 + 2.3 (14) y2011 = 154.20

Estadística I Lic. Oscar Noé López Cordón

Origen el 1-Ene-2008

AÑOS Y X 1-1-08

2004 120 -5 - 8

2005 129 -3 - 6

2006 132 -1 -4

0

2007 135 1 -2

2008 140 3 0

2009 145 5 2

801 0

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Yc = 133.5 + 2.3 x

y(3) = 133.5 + 2.3 (3)

y(3) = 133.5 + 6.9

y (3) = 140.40

La nueva Ecuación queda:

Yc = 140.40 + 2.3 x

x = expresada en semestres

Estadística I Lic. Oscar Noé López Cordón

Prueba:

Calcular la Utilidad para 2010 y 2011

y2010 = 140.40 + 2.3 (4) y2010 = 149.60

y2011 = 140.40 + 2.3 (6) y2011 = 154.20

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PARA RESOLVER:

AÑOS Sueldos2004 9.662005 10.202006 9.802007 11.402008 11.602009 12.00

Una empresa comercial afectada fuertemente por la situación económica del país, lo ha contratado para que le asesore y le haga una proyección del rubro sueldos y salarios. Para ello, usted solicita se le presente el detalle de lo que históricamente se ha erogado en los últimos años. La información en miles de quetzales es la siguiente:

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a) Utilizando el método largo, determinar lo que deberá pagar para el año 2010.

b) Utilizando el método abreviado, determinar la ecuación lineal de tendencia.

c) Compare y analice las pendientes obtenidas en la ecuación

d) Trasladar el origen de la ecuación del inciso b) al 30 de junio de 2004, y obtener una nueva ecuación.

e) Estimar con la ecuación encontrada en el inciso d) los sueldos a pagar para el año 2010.

MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION