Post on 12-Feb-2020
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
CARRERA DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
Influencia de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje de
Ecuaciones, Sistema de Ecuaciones de 2x2 y Ecuaciones Cuadráticas, en el décimo año
de Educación General Básica (EGB) de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”
ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.
Trabajo de Titulación (modalidad proyecto de investigación) previo a la obtención del
Título de Licenciado en Ciencias de la Educación, mención: Matemática y Física.
AUTOR: Burbano Anacona Diego Alexander
TUTOR: MSc. Paco Humberto Bastidas Romo
CARÁTULA
Quito, 2018
ii
DERECHOS DE AUTOR
Yo, Diego Alexander Burbano Anacona, en calidad de autor y titular de los derechos
morales y patrimoniales del trabajo de titulación: “Influencia de la aplicación Grapher
Free en el proceso enseñanza-aprendizaje de Ecuaciones, Sistema de Ecuaciones de 2x2
y Ecuaciones Cuadráticas, en el décimo año de Educación General Básica (EGB) de la
Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto,
en el año lectivo 2017-2018, modalidad socioeducativo, de conformidad con el Art. 114
del CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA SOCIAL DE LOS
CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACIÓN, concedo a favor de la
Universidad Central del Ecuador una licencia gratuita, transferible y no exclusiva para el
uso no comercial de la obra, con fines estrictamente académicos. Conservo a mi favor
todos los derechos de autor sobre la obra, establecidos en la norma citada.
Así mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la
digitalización y publicación de este trabajo de investigación en el repositorio virtual, de
conformidad a lo dispuesto en el Art. 114 de la Ley Orgánica de Educación Superior.
El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original en su forma de
expresión y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la responsabilidad por
cualquier reclamación que pudiera presentarse por esta causa y liberando a la Universidad
de toda responsabilidad.
_____________________________
Diego Alexander Burbano Anacona
CC. 0201614427
colodiegos@hotmail.com
iii
APROBACIÓN DEL TUTOR
En mi calidad de tutor del trabajo de titulación, presentado por DIEGO ALEXANDER
BURBANO ANACONA; para obtar por el grado de Licenciado en Ciencias de la
Educación, mención: Matemática y Física; cuyo título es: INFLUENCIA DE LA
APLICACIÓN GRAPHER FREE EN EL PROCESO ENSEÑANZA-
APRENDIZAJE DE ECUACIONES, SISTEMA DE ECUACIONES DE 2X2 Y
ECUACIONES CUADRÁTICAS, EN EL DÉCIMO AÑO DE EDUCACIÓN
GENERAL BÁSICA (EGB) DE LA UNIDAD EDUCATIVA “SAN VICENTE DE
PAÚL” UBICADA EN EL CANTÓN QUITO PARROQUIA CONOCOTO, EN EL
AÑO LECTIVO 2017-2018, considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos
suficientes para ser sometido a presentación pública y evaluación por parte del tribunal
examinador que se designe.
En la ciudad de Quito, a los 9 días del mes de mayo de 2018.
_______________________________
MSc. Paco Humberto Bastidas Romo
DOCENTE – TUTOR
CC. 1703608016
iv
DEDICATORIA
Agradeciendo a Dios que me permitió alcanzar una meta más en mi camino y por
bendecirme con mi madre Herlinda que jamás perdió la esperanza de verme profesional,
mi padre Bolmar que con su carácter me formo como persona, mi hermano Wilmer
ejemplo a seguir, todos ellos que me dieron fortaleza en momentos de flaqueza, como
último a mis docentes que sin conocerme creyeron en un joven lleno de ilusiones y
ayudaron con todas sus enseñanzas para formarme profesionalmente, sin duda alguna
todos ustedes que me han visto trabajar para alcanzar un objetivo más en mi vida se los
dedico a ustedes por su entrega incondicional hacia mí.
v
AGRADECIMIENTO
A mi familia y amigo John Atiencia quienes me apoyaron para arriesgarme a estudiar en
tan prestigiosa Universidad con excelentes docentes dedicados a mi formación y logre así
culminar mis estudios universitarios.
A los docentes y autoridades de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”, Padre Max
Reyes (Rector de la institución).
Sin olvidar a mi tutor de tesis MSc. Paco Bastidas, por su guía y consejos durante todo el
proyecto y por brindarme su sabiduría en mi vida estudiantil la cual me ha de servir en
mi vida profesional.
vi
ÍNDICE DE CONTENIDOS
CARÁTULA ..................................................................................................................... i
DERECHOS DE AUTOR ................................................................................................ ii
APROBACIÓN DEL TUTOR ........................................................................................ iii
DEDICATORIA .............................................................................................................. iv
AGRADECIMIENTO ...................................................................................................... v
ÍNDICE DE CONTENIDOS ........................................................................................... vi
LISTA DE TABLAS ....................................................................................................... ix
LISTA DE GRÁFICOS .................................................................................................... x
LISTA DE ILUSTRACIONES ........................................................................................ x
LISTA DE ANEXOS ...................................................................................................... xi
RESUMEN ..................................................................................................................... xii
ABSTRACT .................................................................................................................. xiii
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 1
CAPÍTULO I .................................................................................................................... 3
EL PROBLEMA .............................................................................................................. 3
1.1.PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................... 3
1.1.1.Contextualización histórico-social .......................................................................... 3
1.1.2.Análisis Crítico ........................................................................................................ 7
1.1.3.Prognosis ................................................................................................................. 8
1.2.Formulación del Problema.......................................................................................... 9
1.3.Preguntas Directrices .................................................................................................. 9
1.4.Hipótesis de investigación ........................................................................................ 10
1.5.Objetivos ................................................................................................................... 10
1.5.1.Objetivo General.................................................................................................... 10
1.5.2.Objetivos Específicos ............................................................................................ 10
1.6.Justificación .............................................................................................................. 11
CAPÍTULO II ................................................................................................................. 13
MARCO TEÓRICO ....................................................................................................... 13
2. 1. Antecedentes del Problema .................................................................................... 13
2.1.1. Antecedente N° 1 .................................................................................................. 13
2.1.2. Antecedente N° 2 .................................................................................................. 14
2.1.3. Antecedente N° 3 .................................................................................................. 15
vii
2.2. Fundamentación Teórica ......................................................................................... 15
2.2.1. Paradigma ............................................................................................................. 15
Tipos de Paradigmas. ...................................................................................................... 16
2.2.2. Modelo Pedagógico .............................................................................................. 18
2.2.3. Teorías de Aprendizaje ......................................................................................... 20
2.2.4. Método pedagógico .............................................................................................. 22
2.2.5. Método didáctico .................................................................................................. 22
2.2.6. Procedimiento Didáctico ...................................................................................... 22
2.2.7. Estrategia .............................................................................................................. 23
2.2.8. Técnicas Didácticas .............................................................................................. 25
2.2.9. Aplicación Móvil Grapher Free ............................................................................ 27
2.2.10. Evaluación de los aprendizajes ........................................................................... 32
2.2.11. Rendimiento académico ..................................................................................... 36
2.3. Definición de Términos Básicos.............................................................................. 37
2.4. Fundamentación Legal ............................................................................................ 39
2.5. Caracterización de variables .................................................................................... 43
CAPÍTULO III ............................................................................................................... 45
METODOLOGÍA ........................................................................................................... 45
3.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN ...................................................................... 45
3.1.1. Enfoque de la investigación .................................................................................. 45
3.1.2. Modalidad de la investigación .............................................................................. 46
3.1.3. Nivel de la investigación ...................................................................................... 46
3.1.4. Tipo de investigación ........................................................................................... 47
3.1.5. Procedimientos fundamentales en el proceso de investigación ............................ 49
3.2. Población y Muestra ................................................................................................ 50
3.3. Operacionalización de las variables ........................................................................ 51
3.4. Técnicas e instrumentos de recolección de datos .................................................... 52
3.4.1. Técnicas de recolección de datos.......................................................................... 52
3.4.2. Instrumento de recolección de datos .................................................................... 52
3.5. Validez y confiabilidad ............................................................................................ 52
3.5.1. Validez .................................................................................................................. 52
3.5.2. Confiabilidad ........................................................................................................ 53
CAPÍTULO IV ............................................................................................................... 63
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS .............................................. 63
viii
4.1. ANÁLISIS ESTADÍSTICOS DE LOS INSTRUMENTOS APLICADOS A LOS
ESTUDIANTES ............................................................................................................. 63
4.1.1 Evaluación N.º 1: Evaluación diagnóstica ............................................................. 64
4.1.2 Evaluación N.º 2: Evaluación Formativa Unidad I Ecuaciones de primer grado .. 66
4.1.3 Evaluación N.º 3: Evaluación Formativa Unidad II “Sistema de Ecuaciones con 2
variables” ........................................................................................................................ 68
4.1.4 Evaluación N.º 4: Evaluación Formativa III “Ecuaciones de segundo grado con una
incógnita” ....................................................................................................................... 70
4.1.5 Evaluación N.º 5: Evaluación sumativa. ............................................................... 72
4.2 ANÁLISIS Y PRUEBA DE HIPÓTESIS GENERAL ............................................ 74
4.2.1 Lenguaje usual ....................................................................................................... 74
4.2.2 Lenguaje matemático ................................................................................... 74
4.2.3 Determinación de valores críticos y sus regiones de rechazo. .............................. 75
4.3 CÁLCULOS CON LA PRUEBA PARAMÉTRICA Z ........................................... 76
4.4 TOMA DE DECISIÓN ESTADÍSTICA .................................................................. 77
CAPÍTULO V ................................................................................................................ 79
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................................. 79
5.1. CONCLUSIONES ................................................................................................... 79
5.2.RECOMENDACIONES .......................................................................................... 82
5.3. DIAGRAMA DE LA V HEURISTICA DE GOWIN ............................................. 83
REFERENCIAS ............................................................................................................. 84
ANEXOS ........................................................................................................................ 87
ABSTRACT ................................................................................................................... 93
ix
LISTA DE TABLAS
Tabla 1: Escala de calificaciones. .................................................................................... 5
Tabla 2:Rendimiento Académico grupo experimental. ................................................... 6
Tabla 3: Rendimiento Académico grupo control. ........................................................... 6
Tabla 4: Escala de calificaciones. .................................................................................. 36
Tabla 5: Rendimiento Académico grupo experimental. ................................................ 36
Tabla 6: Rendimiento Académico grupo control. ......................................................... 37
Tabla 7: Matriz de operacionalización de variables. ..................................................... 51
Tabla 8: Expertos en la validación de instrumentos de evaluación. .............................. 53
Tabla 9: Niveles de confiabilidad. ................................................................................. 54
Tabla 10: Tabulación de los resultados de la evaluación diagnóstica. .......................... 54
Tabla 11: Tabulación de los resultados de la evaluación formativa 1. .......................... 56
Tabla 12: Tabulación de los resultados de la evaluación formativa 2. .......................... 57
Tabla 13: Tabulación de los resultados de la evaluación formativa 3. .......................... 59
Tabla 14: Tabulación de los resultados de la evaluación sumativa. .............................. 61
Tabla 15: Resumen de confiabilidades. ......................................................................... 62
Tabla 16: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación de
diagnóstico del grupo experimental. ............................................................................... 64
Tabla 17: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación de
diagnóstico del grupo de control. ................................................................................... 64
Tabla 18: Cálculo de la media aritmética para los grupos de aplicación. ..................... 65
Tabla 19: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación formativa
No.1 (Grupo Experimental). ........................................................................................... 66
Tabla 20: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación formativa
No.1 (Grupo Control). .................................................................................................... 66
Tabla 21: Cálculos de la media y desviación típica para los grupos de aplicación. ...... 67
Tabla 22: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación formativa
No. 2 (Grupo Experimental). .......................................................................................... 68
Tabla 23: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación formativa
No.2 (Grupo de Control). ............................................................................................... 68
Tabla 24: Cálculos de la media aritmética y desviación típica para los grupos de
aplicación. ....................................................................................................................... 69
x
Tabla 25: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación formativa
No. 3 (Grupo Experimental). .......................................................................................... 70
Tabla 26: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación formativa
No.3 (Grupo de Control). ............................................................................................... 70
Tabla 27: Cálculos de la media aritmética y desviación típica para los grupos de
aplicación. ....................................................................................................................... 71
Tabla 28: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación sumativa
No. 3 (Grupo Experimental). .......................................................................................... 72
Tabla 29: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación sumativa
(Grupo de Control). ........................................................................................................ 72
Tabla 30: Cálculos de la media aritmética y desviación típica para los grupos de
aplicación. ....................................................................................................................... 73
Tabla 31: Registro de los valores estadísticos obtenidos por los grupos de aplicación. 75
Tabla 32: Resumen de resultados obtenidos por los grupos de aplicación. .................. 77
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1: Evaluación diagnóstica en los grupos de aplicación. ................................... 65
Gráfico 2: Instrumento de evaluación Formativa I “Ecuaciones de primer grado”. ..... 67
Gráfico 3: Instrumento de evaluación Formativa II “Sistema de Ecuaciones con 2
variables” ........................................................................................................................ 69
Gráfico 4: Instrumento de evaluación Formativa III “Ecuaciones de segundo grado con
una incógnita”. ................................................................................................................ 71
Gráfico 5: Instrumento de evaluación Sumativa ........................................................... 73
Gráfico 6: Interpretación de los valores de la Z teórico y la Z calculado del proyecto. 78
Gráfico 7: Interpretación de los valores de la Z teórico y la Z calculado (directriz 1) . 80
Gráfico 8: Interpretación de los valores de la Z teórico y la Z calculado (directriz 2). 81
Gráfico 9: Interpretación de los valores de la Z teórico y la Z calculado (directriz 3). 82
LISTA DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1: Croquis del Colegio Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”. .............. 8
Ilustración 2:Clasificación de las estrategias didácticas. .............................................. 24
Ilustración 3:Clasificación de las técnicas didácticas. .................................................. 26
xi
Ilustración 4: Interfaz de la aplicación móvil Grapher Free. ........................................ 28
Ilustración 5:Uso de la aplicación móvil Grapher Free. ............................................... 29
Ilustración 6:Uso de la aplicación móvil Grapher Free. ............................................... 30
Ilustración 7: Uso de la aplicación móvil Grapher Free. .............................................. 31
Ilustración 8:Tipos de evaluación. ................................................................................ 32
LISTA DE ANEXOS
ANEXO 1: Certificación de autorización de la aplicación de la experimentación ........ 88
ANEXO 2: Certificación de la realización de la experimentación ................................ 89
ANEXO 3: Horario de la experimentación .................................................................... 90
ANEXO 4: Certificación de revisión y corrección de redacción, ortografía y coherencia.
........................................................................................................................................ 92
ANEXO 5: Certificación de traducción del resumen de la tesis. ................................... 93
ANEXO 6: Solicitud y validación del documento base (Lic. Gabriela Guachamin). ... 93
ANEXO 7: Solicitud y validación del documento base (MSc. Milton Coronel)........... 96
ANEXO 8: Solicitud del documento base (Lic. Fabiola Herrán). ................................. 98
ANEXO 9: Solicitudes para la validación de los instrumentos de evaluación. ............. 99
ANEXO 10: Instructivo para la validación de los instrumentos de evaluación. ......... 102
ANEXO 11: Instrumento y validación de evaluación diagnóstica. ............................. 104
ANEXO 12: Instrumentos y validación de la evaluación formativa 1. ....................... 109
ANEXO 13: Instrumento y validación de la evaluación formativa 2. ......................... 114
ANEXO 14: Instrumento y validación de la evaluación formativa 3. ......................... 119
ANEXO 15: Instrumento y validación de la evaluación sumativa. ............................. 124
ANEXO 16: Fotografías del grupo control. ................................................................. 129
ANEXO 17: Fotografías del grupo experimental. ....................................................... 131
ANEXO 18: Documento Base ..................................................................................... 133
xii
TEMA: Influencia de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje de
Ecuaciones, Sistema de Ecuaciones de 2x2 y Ecuaciones Cuadráticas, en el décimo año
de Educación General Básica (EGB) de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”
ubicada en el cantón Quito parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.
Autor: Burbano Anacona Diego Alexander
Tutor: MSc. Paco Humberto Bastidas Romo
RESUMEN
En la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” ubicada en el cantón Quito parroquia
Conocoto; se evidenció un bajo rendimiento en la asignatura de Matemática en el décimo
año por el instrumento de evaluación diagnóstica aplicado, por lo cual el objetivo de la
investigación es determinar la influencia de la aplicación Grapher Free en el aprendizaje
de ecuaciones., para desarrollarlo se elaboró un documento base, con contenidos a
conocer. El diseño de la investigación tiene un enfoque cuantitativo, cuya modalidad es
la de un proyecto cuasi-experimental, ya que el proyecto tuvo grupo control y grupo
experimental el cual utilizó la aplicación Grapher Free para reforzar el aprendizaje y el
grupo control sus clases fueron dictadas de forma habitual sin ninguna aplicación, al
finalizar la investigación se concluyó que la aplicación no influye en el proceso
enseñanza-aprendizaje de los estudiantes del grupo experimental del décimo año de EGB.
PALABRAS CLAVES: APLICACIÓN GRAPHER FREE / ECUACIONES /
PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE / RENDIMIENTO ACADÉMICO /
CUASI-EXPERIMENTAL.
xiii
TITLE: Influence of the application Grapher Free in the process of teaching Equations,
2x2 Equation Systems and Quadratic Equations to the tenth year of General Basic
Education (GBE) at San Vicente de Paúl School, located in the city of Quito, parish of
Conocoto, throughout the 2017-2018 school year.
Author: Burbano Anacona Diego Alexander
Tutor: MSc. Paco Humberto Bastidas Romo
ABSTRACT
This study, after conducting a diagnostic test, evidenced poor academic performance in
Mathematics among tenth year students attending San Vicente de Paúl School, located in
the city of Quito, parish of Conocoto. For this reason, the goal of the study was to
determine the influence of the application Grapher Free in the process of teaching
equations. To do this, a base document was produced containing the contents expected to
be learned. The research design had a quantitative approach and was developed under a
quasi-experimental modality, since it had a control group and an experimental group --
the experimental group used the Grapher Free application to reinforce learning, whereas
the control attended class as usual without using any application. Upon finishing the
study, it was concluded that the application did not influence the teaching/learning
process with students coursing the tenth year of GBE.
KEYWORDS: GRAPHER FREE APPLICATION/ EQUATIONS/
TEACHING/LEARNING PROCESS/ ACADEMIC PERFORMANCE/ QUASI-
EXPERIMENTAL.
1
INTRODUCCIÓN
La presente investigación se desarrolló en la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” en
el décimo año (EGB), con el fin de aportar una nueva metodología de enseñanza-
aprendizaje con el uso de una aplicación llamada Grapher Free y así despertar el interés
e involucrar las TIC en la educación.
En esta investigación se realizó un documento base con sus respectivos contenidos,
pruebas formativas para determinar si el uso de la aplicación Grapher Free influye en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de ecuaciones, para lo cual se concluyó que no influye
la aplicación Grapher Free, pero, esto no quiere decir que no funcione ya que la
investigación puede influir en diversos grupos experimentales en otras circunstancias y
otros factores.
La investigación está conformada por los siguientes capítulos:
Capítulo I: Describe el planteamiento del problema, los cuales determinan las posibles
causas del problema detectado y se visualizara a futuro lo que pasaría si no se corrige el
problema y la formulación de objetivos que busquen una solución factible, se encuentra
también la justificación del por qué se realizó la investigación.
Capítulo II: Contiene el marco teórico donde están los fundamentos que sustentan el
trabajo investigativo siempre basándose con su respectiva fundamentación legal y la
caracterización de las variables.
Capítulo III: Se describe la metodología de la investigación describiendo el enfoque,
modalidad, nivel de profundidad, tipo de investigación, procedimientos de investigación,
población y muestra con las técnicas e instrumentos con los cuales se recolecto los datos
del proyecto validando cada uno de los instrumentos por expertos.
Capítulo IV: Realizando análisis estadístico de los instrumentos aplicados a los
estudiantes tanto para el grupo control como para el grupo experimental encontrando sus
medias aritméticas y desviaciones típicas y culminar con el cálculo de la Z teórica y
comparando
2
con la Z encontrada por medio de las pruebas: diagnóstica, formativa 1, formativa 2,
formativa 3 y sumativa.
Capítulo V: Se establecieron las conclusiones de cada uno de los resultados obtenidos y
dando algunas recomendaciones a partir de los resultados obtenidos del anterior capítulo
Finalmente, se presentó las referencias bibliográficas y anexos recolectados de la
investigados.
3
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1.1. Contextualización histórico-social
Necesidades de la educación contemporánea.
Según la (UNESCO, El futuro del aprendizaje móvil, 2013), afirma que:
“Estudiantes y profesores utilizan ya tecnologías móviles en diversos contextos para una
extensa gama de finalidades docentes y de aprendizaje, y actores clave del ámbito
educativo, desde los ministerios nacionales de educación hasta los distritos escolares
locales, ensayan políticas de apoyo para impulsar el aprendizaje móvil e innovador en
entornos educativos formales e informales.
Las decisiones que hoy se adopten afectarán fundamentalmente al carácter del aprendizaje
móvil en los años venideros” (p12).
Según (Ministerio de Eduación, 2014), “el uso de teléfonos celulares en las instituciones
educativas, es con el objetivo de fomentar el consumo crítico de las nuevas tecnologías
de comunicación e información dentro de las aulas escolares”.
Los estudiantes tienen la oportunidad de adquirir capacidades importantes con las
facilidades que brindan las aplicaciones móviles en el campo educativo y así contribuir
al mejoramiento de la enseñanza.
Necesidades para la formación docente.
4
Según la (UNESCO, Aprendizaje móvil para docentes temas globales, 2012), menciona
que:
“El mundo debe alcanzar dos logros muy difíciles de manera simultánea para abordar
seriamente la crisis docente global: debe incrementar la cantidad y mejorar la calidad de
la fuerza laboral docente.
Las tecnologías móviles pueden ayudar a que los países se acerquen al logro de ambos
objetivos. Si bien no son la panacea, los dispositivos móviles, junto a otras tecnologías,
ya se han hecho un historial de mejorar la eficiencia educativa y de ayudar a los docentes,
tanto principiantes como experimentados, a adquirir habilidades complejas y a completar
tareas significativas en el aula. En los estudios de ‘Aprendizaje móvil para docentes’ se
examina este historial y se explican algunas de las numerosas maneras en las que las
tecnologías móviles están siendo usadas para apoyar y capacitar a los docentes en diversas
regiones y contextos en el mundo” (p7).
Según (UNESCO, Aprendizaje móvil para docentes en América Latina, 2012), nos dice
que:
“La utilización de teléfonos móviles en la educación presenta la posibilidad de hacer el
aprendizaje más accesible, colaborativo y relevante. Como una alternativa de bajo costo
frente a los ordenadores, los teléfonos móviles pueden incrementar el acceso a Internet y
al contenido educativo digital y, debido a que son portátiles, también pueden facilitar el
aprendizaje tanto fuera como dentro de las escuelas” (p10).
El docente es el encargado de ayudar a los estudiantes a adquirir conocimientos por tal
motivo es fundamental su capacitación constante en las Tic y adquirir nuevas habilidades
en aplicaciones móviles que facilitan el aprendizaje tanto dentro y fuera de las unidades
educativas.
Necesidades para la enseñanza de Matemática.
Según (Cuevas Vallejos, 2000), citado por Rubén Pizarro menciona que:
“Cuesta mucho tiempo y esfuerzo desarrollar software, para implementarlos en
actividades educativas dentro de la matemática, ya que al tratar de enseñar a los alumnos
un concepto matemático se debe presentar la reunión de varios mundos, contextos o
5
registros de representación semiótica. Es decir, que no sólo debemos enseñar el concepto,
sino que, si el mismo lo permite, debe estar instanciado en un mundo geométrico,
algebraico, aritmético o físico. Esto dificultará la tarea de programación y el logro de las
interfaces”.
Las aplicaciones móviles permitirían el complemento de la teoría y conceptos
matemáticos en el aula y facilitarían la comprensión en la práctica de los problemas donde
se los presenten.
Análisis Documental.
En la ciudad de Quito, parroquia Conocoto, en la Unidad Educativa “San Vicente de
Paúl”, no se evidencia en las planificaciones micro curriculares el uso de algún tipo de
aplicación móvil, de la misma manera tampoco se encuentra en el programa anual del
área para la enseñanza de Matemática en el nivel medio; por tanto, no se logra el
desarrollo tecnológico requerido para una mejor calidad de aprendizaje.
Análisis del rendimiento.
Según (Ministerio de Educación, 2016), por Art. 193 establece que “el estudiante debe
demostrar que logró “aprobar” los objetivos de aprendizaje definidos en el programa de
asignatura o área de conocimiento fijados para cada uno de los niveles y subniveles del
Sistema Nacional de Educación”.
Tabla 1: Escala de calificaciones.
Escala Cualitativa Escala Cuantitativa
DAR Domina los aprendizajes requeridos 9,00 – 10,00
AAR Alcanza los aprendizajes requeridos 7,00 – 8,99
PARA Está próximo a alcanzar los aprendizajes
requeridos
4,01 – 6,99
NAAR No alcanza los aprendizajes requeridos ≤ 4
Fuente: Ministerio de Educación 2016
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
6
Los estudiantes del décimo año de Educación General Básica del año lectivo 2017 – 2018
en la asignatura de Matemática obtuvieron un rendimiento AAR en la prueba diagnóstica.
Tabla 2:Rendimiento Académico grupo experimental.
Escala Cualitativa Número de
estudiantes
Porcentaje
(%)
Domina los aprendizajes requeridos 9,00–10,00 19 61.30
Alcanza los aprendizajes requeridos 7,00–8,99 9 29.03
Está próximo a alcanzar los aprendizajes requeridos 4,01–6,99 3 9.67
No alcanza los aprendizajes requeridos ≤ 4 0 0
Total 31 100
Promedio 8.87
Fuente: Prueba Diagnóstica
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Se observa en la tabla 2 que el 61.30% domina los aprendizajes, 29.03% alcanza los
aprendizajes requeridos, 9.67% está próximo a alcanza los aprendizajes requeridos, 0%
no alcanza los aprendizajes requeridos y su media aritmética del grupo experimental es
de 8.87.
Tabla 3: Rendimiento Académico grupo control.
Escala Cualitativa Número de
estudiantes
Porcentaje (%)
Domina los aprendizajes requeridos 9,00 – 10,00 7 22.58
Alcanza los aprendizajes requeridos 7,00 – 8,99 19 61.30
Está próximo a alcanzar los aprendizajes
requeridos
4,01 – 6,99 4 12.90
No alcanza los aprendizajes requeridos ≤ 4 1 3.22
Total 31 100
Promedio 7.68
Fuente: Prueba Diagnóstica
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
7
Se observa en la tabla 3 que el 22.58% domina los aprendizajes, 61.30% alcanza los
aprendizajes requeridos, 12.90% está próximo a alcanza los aprendizajes requeridos,
3.22% no alcanza los aprendizajes requeridos y su media aritmética del grupo
experimental es de 7.68.
¿Cuál es el problema o debilidad?
Según la UNESCO, Ministerio de Educación, Cuevas Vallejos que evidencia problemas
en la falta de utilización de aplicaciones móviles recomiendan la implementación
necesaria de aplicaciones en el campo educativo para el proceso enseñanza-aprendizaje
ya que en la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” no utilizan ninguna aplicación
móvil y tampoco se evidencia en las planificaciones micro curriculares, de la misma
manera tampoco se encuentra en el programa anual del área para la enseñanza de
Matemática en el nivel medio, lo que podría ser la causa del bajo rendimiento académico
de los estudiantes.
1.1.2. Análisis Crítico
En la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” ubicado en la ciudad de Quito, parroquia
Conocoto, avenida Lola Quintana y calle Oriente, que funciona en la modalidad
presencial en jornada matutina, régimen sierra y prestando los servicios de Educación
Inicial, Educación General Básica y Bachillerato General Unificado.
Siendo una institución enfocada a una educación con valores, ética y compromiso
religioso, cuenta con una amplia infraestructura con área administrativa, dispensario
médico, biblioteca, departamento DECE, pastoral, laboratorios de Química, Física e
Informática, bar y área de copias interno, en permanente funcionamiento acorde a su
población estudiantil de 997 estudiantes, su personal docente y administrativo es de 64
colaboradores.
8
Ilustración 1: Croquis del Colegio Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”.
Fuente: Google Maps 2018
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Sin embargo, se puede evidenciar que no se utiliza ningún tipo de aplicación móvil para
la enseñanza de Matemática en los décimos años de Educación General Básica por tal
motivo es necesario implementar aplicaciones móviles con los estudiantes, ya que aún
tienen dificultad al momento de resolver o graficar soluciones de ecuaciones e
inecuaciones e implementando nuevos recursos pueden ellos descubrir nuevas formas de
aprender Matemática de manera tecnológica y aplicarlos en la solución de los problemas.
Las variables que analiza el problema son:
• Variable independiente: Aplicación Grapher Free.
• Variable dependiente: Rendimiento académico.
1.1.3. Prognosis
Si nosotros no utilizamos las nuevas tecnologías como aplicaciones móviles los
estudiantes no estarán interesados en la materia y hasta el punto de llegar a olvidarse de
los hábitos de estudio que son necesarios para que los estudiantes no tengan problemas
en su vida estudiantil, por otra parte una solución podría ser la implementación de
aplicaciones móviles de fácil uso como el Grapher Free en el proceso de enseñanza-
9
aprendizaje, logrando así que los estudiantes despierten el interés en Matemática e
incrementando su rendimiento académico en un entorno académico más motivacional,
siendo beneficiados los estudiantes, padres de familia y docentes .
1.2. Formulación del Problema
Se demostró que los estudiantes en el 10 año de Educación General Básica poseen un
bajo rendimiento. Por lo tanto, se evidencia la necesidad de investigar:
¿Cómo influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje
de ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas, en el décimo año
de Educación General Básica (EGB) de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”
ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018?
1.3. Preguntas Directrices
¿Cómo influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje
de ecuaciones en el décimo año de Educación General Básica (EGB) de la Unidad
Educativa “San Vicente de Paúl” ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto, en el
año lectivo 2017-2018?
¿Cómo influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje
de sistema de ecuaciones de 2x2 en el décimo año de Educación General Básica (EGB)
de la Unidad Educativa” San Vicente de Paúl” ubicada en el cantón Quito, parroquia
Conocoto, en el año lectivo 2017-2018?
¿Cómo influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje
de ecuaciones cuadráticas, en el décimo año de Educación General Básica (EGB) de la
Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto,
en el año lectivo 2017-2018?
10
1.4. Hipótesis de investigación
Hi: Influencia de la aplicación Grapher Free influye en el proceso enseñanza-aprendizaje
de ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas, en el décimo año
de Educación General Básica (EGB) de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”
ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.
Ho: Influencia de la aplicación Grapher Free no influye en el proceso enseñanza-
aprendizaje de ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas, en el
décimo año de Educación General Básica (EGB) de la Unidad Educativa “San Vicente
de Paúl” ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.
1.5. Objetivos
1.5.1. Objetivo General
Determinar la influencia de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-
aprendizaje de ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas, en el
décimo año de Educación General Básica (EGB) de la Unidad Educativa “San Vicente
de Paúl” ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.
1.5.2. Objetivos Específicos
➢ Elaborar el documento base para la enseñanza de ecuaciones, sistema de
ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas e instrumentos de evaluación para
aplicar en los estudiantes del décimo año de Educación General Básica (EGB) de
la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”.
➢ Validar el documento base e instrumentos de evaluaciones sobre ecuaciones,
sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas con tres expertos para
certificar el mismo.
11
➢ Determinar la confiabilidad de los instrumentos de evaluación de ecuaciones,
sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas mediante un pilotaje con
15 estudiantes utilizando fórmulas estadísticas como el alfa de Crombach para
obtener una mejor investigación.
➢ Utilizar la aplicación móvil Grapher Free para el desarrollo de las clases de
Matemática en los décimos años de EGB.
➢ Evaluar los resultados obtenidos de la utilización de la aplicación móvil Grapher
Free en el rendimiento académico de los estudiantes de decimos años de EGB.
➢ Organizar los datos obtenidos y calcular medias aritméticas, desviación típica,
entre otras.
1.6. Justificación
La investigación tiene por interés determinar la influencia de la aplicación Grapher Free
en los estudiantes de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” para la enseñanza de
ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas.
Por las evaluaciones aplicadas a los 10mo años de EGB, se logró detectar que su
rendimiento académico solo alcanza a dominar los aprendizajes lo cual nos permite
evidenciar un problema en el aprendizaje de ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y
ecuaciones cuadráticas.
Cuyo impacto social que se espera lograr es el uso de aplicaciones móviles en el proceso
enseñanza-aprendizaje y fomentar así un nuevo recurso en las aulas antes de que el
problema se agrave en la enseñanza.
De tal manera que las aplicaciones móviles sean de gran importancia en el proceso de
enseñanza-aprendizaje para los estudiantes y así mejoren su rendimiento académico,
descubriendo nuevas tecnologías novedosas utilizadas para su beneficio.
12
Ya que trabajando con una aplicación móvil con una facilidad de manejo y además
gratuita se podrá despertar un interés en la materia por parte de los estudiantes.
13
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2. 1. Antecedentes del Problema
2.1.1. Antecedente N° 1
Título de la investigación: Impacto del uso y aplicación de las TIC en el proceso de
enseñanza y aprendizaje de la matemática de los estudiantes del primer semestre de la
carrera de Matemática y Física de la Facultad de Filosofía de la Universidad Central del
Ecuador año lectivo 2010 – 2011.
Autor y año de ejecución: Amores Veloz Ana Lucia, 2014
Metodología Aplicada: Cuali – Cuantitativo
Conclusiones:
Utilizar recursos multimedia (diapositivas, fotos, videos, etc.), que se encuentran
al alcance de estudiantes y docentes, constituyen herramientas útiles en el trabajo
de formación, obteniéndose ventajas cuantitativas en el proceso de enseñanza
aprendizaje.
Se debe insertar paulatinamente las TIC en el aula como una herramienta eficaz
de apoyo en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
La percepción generalizada de los estudiantes es que las TIC en el Aula son
inexistentes, tampoco se utilizan las redes sociales para intercambio de ideas entre
docentes y estudiantes, no así entre compañeros.
14
El investigador recomienda promover el uso y elaboración de software educativo que
permitan una mayor comprensión y profundización de un tema específico que a la vez
incentivara la investigación de un nuevo recurso para el estudiante.
2.1.2. Antecedente N° 2
Tesis de grado previo a la obtención del grado de Licenciado en Ciencias de la Educación
mención Matemática y Física.
Título de la investigación: Uso de un objeto virtual de aprendizaje (OVA) en la
enseñanza de la función lineal en el décimo año de EGB, en la unidad educativa “Madre
de la Divina Gracia” en la ciudad de Sangolquí durante el año lectivo 2016-2017.
Autor y año de ejecución: Ñacato Morocho Katherine Roxana, 2016
Metodología Aplicada: Cuali – Cuantitativo
Conclusiones:
El Objeto Virtual de Aprendizaje si incide en la enseñanza aprendizaje de la
Función lineal.
Impulsar a los docentes de matemáticas a que utilicen un objeto Virtual de
Aprendizaje para la enseñanza de la función lineal en los décimos años de
educación básica”.
Se recomienda que se realice investigaciones relacionadas a la aplicación de un
Objeto Virtual de Aprendizaje en otros temas y niveles de estudios en las
diferentes áreas de la institución educativa para así poder dar un criterio de
incidencia general”.
El investigador recomienda impulsar la utilización de aplicaciones móviles para el
aprendizaje de Matemática con otros temas y con diferentes grupos de trabajo para dar
un criterio de incidencia de las aplicaciones móviles.
15
2.1.3. Antecedente N° 3
Tesis de grado previo a la obtención del grado de Licenciado en Ciencias de la Educación
mención Matemática y Física.
Título de la investigación: Influencia del Software Educativo Cuadernía en la enseñanza
de estadística descriptiva en los estudiantes de noveno año de EGB del colegio Benito
Juárez de la ciudad de Quito en el periodo 2014 – 2015.
Autor y año de ejecución: Tatiana Cortez Moreno, 2015
Metodología Aplicada: Cuantitativo
Conclusiones:
Se observa que el grupo experimental obtuvo mejor rendimiento que el grupo
control, puesto que el grupo experimental alcanzo los aprendizajes requeridos,
mientras que el grupo control está próximo a alcanzar. El software educativo
influye en la enseñanza de matemática.
Optimizar el uso de laboratorios de informática para lograr que el estudiante
interactúe con el aprendizaje a través de un software educativo; con el propósito
de lograr estudiantes activos y participativos con la finalidad de mejorar el
rendimiento académico de matemática.
El investigador recomienda que en la metodología utilizada por los docentes se incluya
el uso un software educativo para incrementar la motivación en el estudiante.
2.2. Fundamentación Teórica
2.2.1. Paradigma
“Paradigma educativo” (Significados.com, s.f.), Afirma que “un paradigma educativo es
un modelo utilizado en la educación. El paradigma utilizado por un maestro tiene un gran
16
impacto en la forma en que el estudiante se va a enfrentar al conocimiento y reaccionar
ante este, aprendiendo o rechazando dependiendo de la forma en que es abordado”.
Tipos de Paradigmas.
Según (Luna, 2011), En el sector educativo se distinguen distintos tipos de paradigmas,
dentro de los cuales, se encuentran:
Paradigma Conductista.
Paradigma Constructivista.
Paradigma Histórico – Social.
Paradigma Cognitivista.
Paradigma Conductista.
Según (Luna, 2011), menciona que:
Se dirige el aprendizaje a enfocarse en fenómenos observables y medibles. El aprendizaje
es producto de una relación "estímulo - respuesta". Los procesos internos: el pensamiento
y la motivación, no pueden ser observados ni medidos directamente. El aprendizaje ocurre
cuando se observa un cambio en el comportamiento. El estudiante es un receptor de
conceptos y contenidos, cuya única demanda es aprender lo que se enseña.
Este paradigma se basa en el que el estudiante es un robot que aprende conductas
observables, meditables y cuantificables, es decir, solo receptor de contenidos y
conceptos, manteniendo un orden establecido.
Paradigma Constructivista.
Según (Luna, 2011) El constructivismo “Busca ayudar a los estudiantes a internalizar,
reacomodar, o transformar la información nueva. Esta transformación ocurre a través de
la creación de nuevos aprendizajes y esto resulta del surgimiento de nuevas estructuras
cognitivas que permiten enfrentarse a situaciones iguales o parecidas en la realidad”.
17
En este el estudiante debe proponer su propio proceso de aprendizaje en el cual ensambla
conocimientos a experiencias futuras e interpretando la información.
Paradigma Cognitivo.
Según (Hernández & Alfonso, 2012), En el paradigma cognitivo establece:
“El sujeto es un ente activo, cuyas acciones dependen en gran parte de sus
representaciones que él ha elaborado como resultado de las relaciones con su entorno
físico y social. El estudiante posee competencia cognitiva para aprender y solucionar
problemas. El profesor promueve la participación activa de sus estudiantes y subordinar
la enseñanza al aprendizaje. El aprendizaje es significativo. La enseñanza deberá
orientarse al logro de aprendizajes significativos y al desarrollo de habilidades para el
aprendizaje”.
En este paradigma el estudiante es activo procesador de la información, el cual posee
competencia cognitiva para aprender y solucionar problemas, a su vez, debe considerarla
y desarrollarla usando nuevos aprendizajes y habilidades estratégicas y el docente parte
de la idea de que el estudiante es activo y que aprende significativamente, que puede
aprender a aprender y a pensar.
Paradigma Histórico Social.
Según (Luna, 2011), establece que:
El individuo, aunque importante, no es la única variable en el aprendizaje. Su historia
personal, su clase social y consecuentemente sus oportunidades sociales, su época
histórica, las herramientas que tenga a su disposición, son variables que no solo apoyan
el aprendizaje, sino que son parte integral de él. Estas ideas lo diferencian de otros
paradigmas.
Según (Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 2007), menciona
que “El individuo, aunque importante, no es la única variable en el aprendizaje. Sus
antecedentes, su clase social y consecuentemente sus oportunidades sociales, su época
18
histórica, las herramientas que tenga a su disposición, son variables que no solo apoyan
el aprendizaje, sino que son parte integral de él”.
Por tal motivo el estudiante asimila el cómo se aprende dentro de un contexto
sociocultural, el cual mediante la interacción el estudiante reconstruye conocimientos con
otros y el rol del docente es el de ser un mediador entre el grupo, siempre con actividades
que puedan interactuar entre los involucrados y logren un saber general.
Entonces los paradigmas nos permiten llegar al estudiante de manera que ellos capten los
conocimientos que imparte el docente.
2.2.2. Modelo Pedagógico
Según (Herrera, 2018), un modelo pedagógico “Es un sistema formal que busca
interrelacionar los agentes básicos de la comunidad educativa con el conocimiento
científico para conservarlo, innovarlo, producirlo o recrearlo dentro de un contexto social,
histórico, geográfico y culturalmente determinado”
Componen modelos propios de la pedagogía educativa, reconocida no solo como un saber
sino también que pueden ser objeto de crítica conceptual y de revisión de los fundamentos
sobre los cuales se haya construido.
Tipos de Modelos Pedagógicos
Modelo Tradicional
Según (Zubiría, 2006), menciona que:
El maestro es el transmisor de los conocimientos y las normas culturalmente construidas
y que aspira a que, gracias a su función, dichas informaciones y normas estén al alcance
de las nuevas generaciones, es decir, que el estudiante no puede construir su propio
conocimiento sino, más bien se limita ser guiado por el docente.
19
La enseñanza consiste en conocimientos y valores sociales acumulados por las
generaciones adultas que se transmiten a los estudiantes como verdades
Modelo Conductista
Según (Flórez, 2014),el modelo conductista “Es la fijación y control de los objetivos
"instruccionales" formulados con precisión y reforzados minuciosamente. De acuerdo
con los fundamentos teóricos del conductismo, el aprendizaje es originado en una triple
relación de contingencia entre un estímulo antecedente, la conducta y un estímulo
consecuente”.
Hay una fijación y control de logro de los objetivos, transmisión parcelada de saberes
técnicos, mediante un adiestramiento experimental; cuyo fin es moldear la conducta.
Modelo Romántico
Según (Flórez, 2014), el modelo romántico “Desarrolla la máxima autenticidad y libertad
individual del estudiante en procura de su desarrollo natural, espontáneo y libre. Los
contenidos no están elaborados previamente, sino que se desarrollan en la medida en que
el alumno los solicite”.
Se tiene en cuanta lo que está en el interior del estudiante desarrollándose en un ambiente
flexible y el docente será auxiliar del proceso.
Modelo Cognitivo
Según (Flórez, 2014), menciona que:
El rol del docente está centrado en atender y seguir el nivel de desarrollo de las estructuras
y el proceso cognitivo de sus alumnos. Debe orientar a los estudiantes hacia el desarrollo
de aprendizajes por recepción significativa, y hacia la participación en actividades
exploratorias que puedan ser usadas posteriormente en formas de pensar independiente,
de modo que lo que se evalúa no es el resultado del proceso de aprendizaje en términos
de comportamientos logrados y demostrados, sino los indicadores cualitativos que
20
permiten inferir acerca de la evolución de las estructuras de conocimiento y los procesos
mentales que las generan.
Modelo Social
Según (Flórez, 2014), el modelo social “Desarrollo de habilidades de pensamiento crítico-
reflexivo que permiten al estudiante participar activamente en procesos de transformación
de la sociedad”.
Se tiene como objetivo principal educar para el desarrollo máximo y multifacético de las
capacidades e intereses del estudiante; en donde la enseñanza depende del contenido y
método de la ciencia y del nivel de desarrollo y diferencias individuales del estudiante.
Modelo de la Institución “San Vicente de Paúl”
Según (Unidad Educativa San Vicente de Paúl, 2016), indica:
Es una Institución Educativa Católica Vicentina, que ofrece una educación integral a la
niñez y juventud con atención prioritaria a los sectores más vulnerables, educamos con
amor afectivo (calidez) y efectivo (calidad), promoviendo la libertad de pensamiento, la
dignidad del ser humano. Evangelizando con nuestro testimonio de vida y actitud de
servicio al estilo de Vicente de Paúl y Luisa de Marillac, para formar buenos cristianos
emprendedores y solidarios, convencidos de que la educación cambia a la persona y
transforma a la sociedad.
2.2.3. Teorías de Aprendizaje
Según (Pérez, 2014), menciona “Las teorías del aprendizaje son aquellas que realizan la
descripción de un proceso que permite que una persona o un animal aprendan algo. Estas
teorías pretenden entender, anticipar y regular la conducta a través del diseño de
estrategias que faciliten el acceso al conocimiento”.
A continuación, se presenta algunas teorías del aprendizaje.
21
Teoría de Piaget
Según (Universidad Autónoma de Barcelona, 2008), menciona que:
La teoría de Piaget ha inspirado trascendentales reformas de los programas de estudio y
sigue influyendo mucho en la práctica pedagógica moderna. Entre sus principales
aportaciones a la educación se encuentran las ideas de que a) el niño debe construir
activamente el conocimiento; b) los educadores deben ayudarle a aprender a aprender; c)
las actividades de aprendizaje deben adecuarse al nivel del desarrollo conceptual; d) la
interacción con los compañeros contribuye al desarrollo cognoscitivo. La teoría de Piaget
pone de relieve la función del profesor en el proceso de aprendizaje como organizador,
colaborador estimulador y guía. (p28)
Teoría de Bruner
Según (Castejón, González, Guilar, & Miñano, 2010), “considera que el aprendizaje y la
enseñanza deben producirse desde los ejemplos particulares a las ideas generales.
(…), en el que los alumnos, guiados por el profesor, deben descubrir la regla o definición
general a partir de diferentes ejemplos positivos y negativos del concepto. (p92).
Teoría de Vygotsky
Según (Universidad Autónoma de Barcelona, 2008), menciona que:
Las funciones cognoscitivas elementales se transforman en actividades de origen superior
a través de las interacciones con adultos y compañeros más conocedores. La
internalización es un proceso consistente en construir una representación interna
(cognoscitiva) de las acciones físicas o de las operaciones mentales que ocurren
inicialmente en las interacciones sociales. Los niños internalizan los elementos de estas
últimas y así aprenden a regular su conducta y su pensamiento. (p28)
Teoría de Ausubel
Según (Castejón, González, Guilar, & Miñano, 2010), menciona que:
22
Para Ausubel el aprendizaje se produce por recepción o asimilación significativa del
nuevo material y no por descubrimiento (…) los profesores deben presentar el contenido
a los alumnos de forma organizada en secuencias y de forma acabada.
El aprendizaje y la adquisición de nuevos conocimientos tiene lugar de forma deductiva,
es decir, desde la comprensión de los conceptos generales hasta los más específicos,
incluidos en o relacionados con aquellos. (p87)
Las teorías contribuyen al conocimiento y proporcionan fundamentos explicativos desde
diferentes enfoques y en distintos aspectos.
2.2.4. Método pedagógico
Para Olmedo citado por (Bastidas, 2004), el método pedagógico “Se refiere a un aspecto
mucho más amplio, como es una concepción filosófica y psicológica de la educación, que
abarca mucho más que el campo estrictamente didáctico”. (p16)
2.2.5. Método didáctico
Para Bassi citado por (Bastidas, 2004), “El método didáctico es la dirección u orientación
seguido para ir hacia alguna cosa o lugar, para alcanzar algún objeto o fin, o para cumplir
con los objetivos del Proceso de Enseñanza – Aprendizaje”. (p16)
Según (Moral, C & Pérez, M, 2009), “Es la organización racional y práctica de los
recursos y procedimientos del profesor con el propósito de dirigir el aprendizaje de los
alumnos hacia los resultados previstos y deseados, esto es de conducir a los alumnos
desde el no saber nada hasta el dominio seguro y satisfactorio de la asignatura, de modo
que se hagan más aptos para la vida en común y se capaciten mejor para su futuro trabajo
profesional”.
2.2.6. Procedimiento Didáctico
23
Para Bassi citado por (Bastidas, 2004), “Procedimiento didáctico es el conjunto de
actividades específicas, realizadas por el profesor y el alumno, que han de seguirse para
cumplir con los objetivos del sistema enseñanza – aprendizaje.” (p16)
Por tal motivo se afirma que:
Según (Bastidas, 2004), “el método didáctico y los procedimientos didácticos son
conceptos distintos, sin embargo, inseparables. Donde hay método, es decir, orientación,
dirección a seguir, hay procedimientos, esto es, camino concreto que se recorrerá dentro
de la ruta elegida.
2.2.7. Estrategia
Según (Hernández, 1995), “Una estrategia comprende actividades, las mismas que
generalmente son acciones llevadas a cabo por el profesor y/o alumno”.
Tipos de estrategia
Para Kindsvatter (1988) citado por (Bastidas, 2004), “las estrategias de enseñanza pueden
ser: magistral o directa, grupal o cooperativa e individual”, (p19).
Estrategia Magistral: “se refiere al modelo académico donde el docente dirige,
controla y desarrolla las actividades del sistema enseñanza aprendizaje”.
Estrategia Grupal: “Enfatiza el trabajo conjunto de los estudiantes en
actividades de aprendizaje cooperativo, supeditadas a la tutoría del profesor y de
los compañeros”.
Estrategia Individual: “es un modelo de instrucción individualizado sobre la
base de un programa estructurado para cada alumno”.
24
Ilustración 2:Clasificación de las estrategias didácticas.
Fuente: Estrategias y Técnicas Didácticas, (Bastidas, 2004)
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Estrategia
Magistral
Conferencia
Demostración
Presentación
Interrogatorio
Estudio de casos
...
Grupal
Mesa redonda
Panel
Simposio
Role playing
Phillips 66
Torbellino de ideas
Seminario
Diálogos simultáneos
Debate
Rejas
Dramatización
Taller
...
Individual
Estudio documental
Estudio independiente
Estudio dirigido
Enseñaza programda
...
25
2.2.8. Técnicas Didácticas
Según (Busot, 1991), “la técnica es una forma particular de emplear un instrumento y/o
recurso en el que se apoya la enseñanza”.
Tipos de Técnicas
Para (Oviedo, 1993), las técnicas de enseñanza pueden ser:
Técnicas de Estimulación Audiovisual.
Técnicas de Estimulación Verbal.
Técnicas de Estimulación Escrita.
Técnicas Audiovisuales
Para (Bastidas, 2004), “se entiende por técnicas audiovisuales al conjunto de recursos
didácticos, con sus respectivos procedimientos, que estimulan la atención a través de la
vista o el oído, o de ambos sentidos a la vez”.
Técnicas Escritas
Según (Océano Uno, 1994), “Es un esquema gráfico de los elementos físicos que
configuran un equipo, una organización o un proceso; en el que cada elemento o actividad
está representado por un símbolo y relacionado por diversas líneas con otros”.
Técnicas Verbales
Según (Bastidas, 2004), “Es el conjunto de recursos didácticos, con sus respectivos
procedimientos, que fomenta la comunicación entre el estudiante y el docente”.
26
Ilustración 3:Clasificación de las técnicas didácticas.
Fuente: Estrategias y Técnicas Didácticas, (Bastidas, 2004)
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Por lo cual la aplicación móvil Grapher Free de esta investigación está dentro de la técnica
audiovisual en dispositivo móvil.
Aplicación móvil
Según (Grupo Océano, 2015), “Se denomina aplicación móvil o app a toda aplicación
informática diseñada para ser ejecutada en teléfonos inteligentes, tabletas y otros
dispositivos móviles. Por lo general se encuentran disponibles a través de plataformas de
Clasificación de las técnicas didácticas
Audiovisual
Fotografía
Modelos y Maquetas
Cartel
Computador
Televisión
Dispositivo Móvil
Escrita
Diagrama
Diagrama UVE
Esquema
Flujograma
Mapas Conceptuales
Solución de problemas
Textos impresos
Mentefacto
Crucigramas
Verbal
Pregunta
Anécdota
Relato de experiencias
Discusión
27
distribución, operadas por las compañías propietarias de los sistemas operativos móviles
como Android, iOS, BlackBerry OS y Windows Phone, entre otros”. (p7)
2.2.9. Aplicación Móvil Grapher Free
Según (Hoorick, 2016), Afirma que “Es una aplicación móvil libre la cual permite facilitar
que el usuario trace de manera eficaz las ecuaciones, sistema de ecuaciones y capaz de
dibujar cualquier función, resolver ecuaciones y calcular expresiones”.
Esta aplicación está hecha pensando en la facilidad de graficación encontrándose
disponible una amplia gama de funciones predefinidas, que incluyen funciones
trigonométricas e hiperbólicas, diferenciación y más. Cualquier cosa que escriba será
procesada y mostrada al instante por un potente motor matemático, tanto en modo 2D
como en modo 3D.
Grapher Free está continuamente en desarrollo, con más características por venir ya que
es una versión gratuita es compatible con casi todos los dispositivos móviles en la
actualidad que tengan sistema Android.
Nos permite trabajar los siguientes aspectos:
• Función (cartesiano).
• Ecuación implícita.
• La desigualdad implícita.
• Función 3D.
• Curva paramétrica 3D.
• Superficie 3D paramétrico.
• Resolución de ecuaciones (numérica).
• Encuentra raíces, extremos y las intersecciones con otras funciones.
• Teclado matemáticas personalizada.
• Apoyo variable de usuario, rango del parámetro editable (para las curvas polares
y paramétricas.
• Diferenciación (numérica).
• Trazar gráfico.
• Capturas de pantalla.
28
Ilustración 4: Interfaz de la aplicación móvil Grapher Free.
Fuente: Play Store 2018
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
29
Ejemplo:
1) Resolver: {5𝑥 − 𝑦 = 6
𝑥 + 3𝑦 = 10
Ilustración 5:Uso de la aplicación móvil Grapher Free.
1.- Se abre la aplicación de nuestro dispositivo
móvil:
Es el icono
de la aplicación
2.- Identificar el casillero donde se ubica
la ecuación: Casillero donde se
inserta la ecuación
3.- Insertar la ecuación de dos variables:
Observamos la
gráfica
4.- Insertamos la otra ecuación:
Observamos la gráfica de la segunda
ecuación y podemos ver su solución que
es una intersección.
Fuente: Grapher Free 2018
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
30
2) Resolver: {𝑥 + 2𝑦 = 4
2𝑥 + 4𝑦 = 7
Ilustración 6:Uso de la aplicación móvil Grapher Free.
1.- Se abre la aplicación de nuestro dispositivo
móvil:
Es el icono
de la aplicación
2.- Identificar el casillero donde se ubica
la ecuación: Casillero donde se
inserta la ecuación
3.- Insertar la ecuación de dos variables:
Observamos la
gráfica
4.- Insertamos la otra ecuación:
Observamos la gráfica de la segunda
ecuación y podemos ver que no tiene
solución ya que es paralela.
Fuente: Grapher Free 2018
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
31
3) Resolver: {𝑥 + 2𝑦 = 4
2𝑥 + 4𝑦 = 8
Ilustración 7: Uso de la aplicación móvil Grapher Free.
1.- Se abre la aplicación de nuestro dispositivo
móvil:
Es el icono
de la aplicación
2.- Identificar el casillero donde se ubica
la ecuación: Casillero donde se
inserta la ecuación
3.- Insertar la ecuación de dos variables:
Observamos la
gráfica
4.- Insertamos la otra ecuación:
Observamos la gráfica de la segunda
ecuación y podemos ver que no tiene
solución ya que es paralela.
Fuente: Grapher Free 2018
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
32
2.2.10. Evaluación de los aprendizajes
Según (Ministerio de Educación del Perú, 2005), “La evaluación de los aprendizajes en
la Educación Básica Regular es un proceso continuo y sistemático, mediante el cual se
observa, recoge, describe, procesa y analiza los logros, avances y/o dificultades del
aprendizaje, con la finalidad de reflexionar, emitir juicios de valor y tomar decisiones
oportunas y pertinentes para mejorar los procesos pedagógicos.”.
Tipos de evaluación
Según (Castillo & Cabrerizo, 2010), clasifica a la evaluación en tres tipos: inicial
(diagnóstica), formativa y sumativa.
Ilustración 8:Tipos de evaluación.
Fuente: Tipos de Evaluación (Castillo & Cabrerizo, 2010)
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
EVALUACIÓN
ANTES
del proceso de enseñanza-aprendizaje
INICIAL
(DIAGNÓSTICA)
•Diagnóstica
•Pronóstica
•Previora
DURANTE
el proceso de enseñanza-aprendizaje
FORMATIVA
•Orientadora
•Reguladora
•Motivadora
DESPUÉS
del proceso de enseñanza-aprendizaje
SUMATIVA
•Integral
•Promocional
•Acreditativa
33
Evaluación diagnóstica
Según (Castillo & Cabrerizo, 2010), “Su finalidad es que el profesor inicie el proceso
educativo con un conocimiento real de las características de sus alumnos, tanto en lo
personal como en lo académico. Ese conocimiento es fundamental, ya que permitirá al
profesor diseñar sus estrategias didácticas y acomodar su práctica docente a la realidad
de todos y cada uno de sus alumnos”.
Evaluación formativa
Según (Castillo & Cabrerizo, 2010), “Es la evaluación que sirve como estrategia de
mejora para ajustar y regular sobre la marcha los procesos educativos, de cara a conseguir
los objetivos previstos y las competencias básicas establecidas”.
Evaluación sumativa
Según (Castillo & Cabrerizo, 2010), “Se aplica esta evaluación al final de un periodo de
tiempo determinado como comprobación de los logros alcanzados en ese período. Se
pretende determinar la valía final del mismo, el grado de aprovechamiento del alumno y
el grado de consecución de los objetivos propuestos y de las competencias básicas
establecidas”.
Pruebas estandarizadas
Según (López, A.; Sánchez, H.; Espinoza, J.; Carmona, M., 2013), una prueba
estandarizada: “es un instrumento de referencia para la población a la que se dirige porque
recaba información comparable entre todos los sustentantes”.
Ítem
Según (López, A.; Sánchez, H.; Espinoza, J.; Carmona, M., 2013), un ítem es “la unidad
básica de las que se conforman pruebas estandarizadas. También se denomina reactivo y,
en su forma más simple, puede ser una pregunta”.
34
Tipos de ítems
Según (López, A.; Sánchez, H.; Espinoza, J.; Carmona, M., 2013), clasifica y define los
siguientes ítems:
Simple
Ordenamiento
Completamiento
Elección de elementos
Relación de columnas
Simple
Según (López, A.; Sánchez, H.; Espinoza, J.; Carmona, M., 2013), “es el formato básico
donde se presenta un cuestionamiento o afirmación acompañado de las opciones de
respuestas”.
Ejemplo:
1. ¿Qué elementos pertenecen al monomio?
−1
3𝑥2𝑦3𝑧
1. Signo: -
Coeficiente: 3
Variables: x,y,z
2. Signo: +
Coeficiente: 1
3
Variables: x, y,z
3. Signo: -
Coeficiente: 1
3
Variables: x,y,z
4. Signo: +
Coeficiente: 1
3
Variables: x,y,z
A) 2 B) 4 C) 1 D) 3
Completación
Según (López, A.; Sánchez, H.; Espinoza, J.; Carmona, M., 2013), en el planteamiento
de estos ítems, “se omiten palabras letras o números, graficas o imágenes. Los elementos
omitidos se identifican por una línea baja, que evidencia la falta”. Además, de acuerdo
35
con el mismo autor, “las opciones de respuesta incluyen los elementos que deben
completar los espacios vacíos”.
Ejemplo:
1. Se llama ____________ a dos expresiones separadas por el _________ que tienen
el mismo valor numérico.
A) Ecuación – símbolo menos
B) Igualdad – símbolo mas
C) Ecuación – símbolo mas
D) Igualdad – símbolo igual
Elección de elementos
Según (López, A.; Sánchez, H.; Espinoza, J.; Carmona, M., 2013), en este tipo de ítems,
“se presenta un conjunto de elementos en un listado, de los cuales se eligen algunos de
acuerdo con el criterio determinado en el planteamiento”. (p.42). El mismo autor señala
que las opciones de respuesta deben ser combinaciones de los elementos enlistados.
Relación de columnas
Según (López, A.; Sánchez, H.; Espinoza, J.; Carmona, M., 2013), este ítem incluye dos
listados de elementos en diferentes columnas, los cuales se deben asociar según la
indicación que se detalla en el planteamiento.
1. Factore e identifique sus respuestas:
1) x2-7x+12=0
2) 3x2+2x-1=0
3) x2-6x+9=0
a) (x+1)(3x-1)=0
b) (x-3)2=0
c) (x-4)(x-3)=0
d) (3x+1)(x+1)=0
A) 1a, 2c,3b B) 1c, 2a, 3b C) 1d, 2a, 3b D) 1a, 2d, 3b
36
2.2.11. Rendimiento académico
Según el (Ministerio de Educación, 2016), por Art. 193 establece que:
El estudiante debe demostrar que logró “aprobar” los objetivos de aprendizaje definidos
en el programa de asignatura o área de conocimiento fijados para cada uno de los niveles
y subniveles del Sistema Nacional de Educación. El rendimiento académico para los
subniveles de básica elemental, media, superior y el nivel de bachillerato general
unificado de los estudiantes se expresa a través de la siguiente escala de calificaciones:
Tabla 4: Escala de calificaciones.
Escala Cualitativa Escala Cuantitativa
DAR Domina los aprendizajes requeridos 9,00 – 10,00
AAR Alcanza los aprendizajes requeridos 7,00 – 8,99
PARA Está próximo a alcanzar los aprendizajes
requeridos
4,01 – 6,99
NAAR No alcanza los aprendizajes requeridos ≤ 4
Fuente: Ministerio de Educación 2016
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Tabla 5: Rendimiento Académico grupo experimental.
Escala Cualitativa Número de
estudiantes
Porcentaje (%)
Domina los aprendizajes requeridos 9,00 – 10,00 19 61.30
Alcanza los aprendizajes requeridos 7,00 – 8,99 9 29.03
Está próximo a alcanzar los aprendizajes
requeridos
4,01 – 6,99 3 9.67
No alcanza los aprendizajes requeridos ≤ 4 0 0
Total 31 100
Promedio 8.87
Fuente: Prueba Diagnóstica
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Se observa en la tabla 2 que el 61.30% domina los aprendizajes, 29.03% alcanza los
aprendizajes requeridos, 9.67% está próximo a alcanza los aprendizajes requeridos, 0%
37
no alcanza los aprendizajes requeridos y su media aritmética del grupo experimental es
de 8.87.
Tabla 6: Rendimiento Académico grupo control.
Escala Cualitativa Número de
estudiantes
Porcentaje (%)
Domina los aprendizajes requeridos 9,00 – 10,00 7 22.58
Alcanza los aprendizajes requeridos 7,00 – 8,99 19 61.30
Está próximo a alcanzar los aprendizajes
requeridos
4,01 – 6,99 4 12.90
No alcanza los aprendizajes requeridos ≤ 4 1 3.22
Total 31 100
Promedio 7.68
Fuente: Prueba Diagnóstica
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Se observa en la tabla 3 que el 22.58% domina los aprendizajes, 61.30% alcanza los
aprendizajes requeridos, 12.90% está próximo a alcanza los aprendizajes requeridos,
3.22% no alcanza los aprendizajes requeridos y su media aritmética del grupo
experimental es de 7,68.
2.3. Definición de Términos Básicos
Aplicación: Según (Grupo Océano, 2015),
“Se denomina aplicación móvil o app a toda aplicación informática diseñada para ser
ejecutada en teléfonos inteligentes, tabletas y otros dispositivos móviles. Por lo general
se encuentran disponibles a través de plataformas de distribución, operadas por las
compañías propietarias de los sistemas operativos móviles como Android, iOS,
BlackBerry OS y Windows Phone, entre otros”.
Didáctica: Según (Torres, H. & Girón, D., 2009), didáctica es “el estudio de todos los
principios y técnicas válidas para la enseñanza de cualquier materia o disciplina”.
38
Educación: Según (León, A),
“La educación es un intento humano racional, intencional de concebirse y perfeccionarse
en el ser natural total. Este intento implica apoyarse en el poder de la razón, empleando
recursos humanos para continuar el camino del hombre natural hacia el ser cultural. Cada
ser humano/hombre/mujer termina siendo a través de la educación una cultura individual
en sí mismo”.
Enseñanza – Aprendizaje: Según (Cadena, 2008) “Proceso conducido por los docentes
para producir cambios cualitativos y cuantitativos en los niveles de conocimientos,
actitudes y destrezas a través de métodos de estimulación y orientación de los alumnos”.
Estrategia: Según (Hernández, 1995), “Una estrategia comprende actividades, las
mismas que generalmente son acciones llevadas a cabo por el profesor y/o alumno”.
Método Didáctico: Para Bassi citado por (Bastidas, 2004), “El método didáctico es la
dirección u orientación seguido para ir hacia alguna cosa o lugar, para alcanzar algún
objeto o fin, o para cumplir con los objetivos del Proceso de Enseñanza – Aprendizaje”.
Recursos didácticos: Según (Zubiría, 2006), “los recursos didácticos pueden entenderse
como facilitadores del aprendizaje (medios) o como fines en sí mismo”.
Rendimiento académico: Según el (Ministerio de Educación, 2016), por Art. 193
establece El estudiante debe demostrar que logró “aprobar” los objetivos de aprendizaje
definidos en el programa de asignatura o área de conocimiento fijados para cada uno de
los niveles y subniveles del Sistema Nacional de Educación.
Técnica: Según (Busot, 1991), “la técnica es una forma particular de emplear un
instrumento y/o recurso en el que se apoya la enseñanza”.
Tienda (móvil): Según (Cuello, J. & Vittone, J., 2013), “Es el canal de distribución y
comercialización de aplicaciones desde donde pueden descargarse de forma gratuita o
paga”.
39
Grapher Free: Según (Hoorick, 2016), Afirma que “Es una aplicación móvil libre la cual
permite facilitar que el usuario trace de manera eficaz las ecuaciones, sistema de
ecuaciones y capaz de dibujar cualquier función, resolver ecuaciones y calcular
expresiones”.
2.4. Fundamentación Legal
Esta investigación está fundamentada en la Constitución de la República del Ecuador,
Ley Orgánica de Educación Intercultural (LOEI), Ley Orgánica de Educación Superior
(LOES), y el Código de la Niñez y Adolescencia, poniendo énfasis en los siguientes
artículos:
CONSTITUCIÓN DE LA REPÚBLICA DEL ECUADOR
Derechos del buen vivir
Educación
El Art 26 de la Constitución de la República. -Establece que la educación es un derecho
de las personas a lo largo de su vida y un deber ineludible e inexcusable del Estado.
Constituye un área prioritaria de la política pública y de la inversión estatal, garantía de
la igualdad e inclusión social y condición indispensable para el buen vivir. Las personas,
las familias y la sociedad tienen el derecho y la responsabilidad de participar en el proceso
educativo.
El Art 27 de la Constitución de la República. - Establece que la educación debe estar
centrada en el ser humano y garantizará su desarrollo holístico, en el marco del respeto
de los derechos humanos, el medio ambiente sustentable y a la democracia; será
participativa, obligatoria, intercultural, democrática, incluyente y diversa, de calidad y
calidez; impulsará la equidad de género, la justicia, la solidaridad y la paz, estimulará el
sentido crítico, el arte y la cultura física, la iniciativa individual y comunitaria, y el
desarrollo de competencias y capacidades para crear y trabajar.
40
Art. 80.-El estado fomentará la ciencia y la tecnología, especialmente en todos los niveles
educativos, dirigidas a mejorar la productividad, la competitividad, el manejo sustentable
de los recursos naturales, y a satisfacer las necesidades básicas de la población.
Garantizará la libertad de las actividades científicas y tecnológicas y la protección legal
de sus resultados, así como el conocimiento ancestral colectivo. El estado establece que
la educación es un derecho de las personas a lo largo de su vida y un deber ineludible e
inexcusable. Constituye un área prioritaria de la política pública y de la inversión estatal,
garantía de la igualdad e inclusión social y condición indispensable para el buen vivir.
Las personas, las familias y la sociedad tienen el derecho y la responsabilidad de
participar en el proceso educativo. Además, promoverá la ciencia y la tecnología en todos
los niveles educativos.
Inclusión y Equidad
Educación
Art. 347.- Será responsabilidad del Estado:
8. Incorporar las tecnologías de la información y comunicación en el proceso educativo
y propiciar el enlace de la enseñanza con las actividades productivas o sociales.
11. Garantizar la participación activa de estudiantes, familias y docentes en los procesos
educativos.
Art. 350.- El sistema de educación superior tiene como finalidad la formación académica
y profesional con visión científica y humanista; la investigación científica y tecnológica;
la innovación, promoción, desarrollo y difusión de los saberes y las culturas; la
construcción de soluciones para los problemas del país, en relación con los objetivos del
régimen de desarrollo.
Art. 385.- El sistema nacional de ciencia, tecnología, innovación y saberes ancestrales,
en el marco del respeto al ambiente, la naturaleza, la vida, las culturas y la soberanía,
tendrá como finalidad:
41
1. Generar, adaptar y difundir conocimientos científicos y tecnológicos.
2. Recuperar, fortalecer y potenciar los saberes ancestrales.
3. Desarrollar tecnologías e innovaciones que impulsen la producción nacional, eleven la
eficiencia y productividad, mejoren la calidad de vida y contribuyan a la realización del
buen vivir.
LEY ORGÁNICA DE EDUCACIÓN SUPERIOR (LOES)
Fines de la Educación Superior
Art. 5.- Derechos de las y los estudiantes. - Son derechos de las y los estudiantes los
siguientes:
a. Acceder, movilizarse, permanecer, egresar y titularse sin discriminación conforme sus
méritos académicos.
g. Participar en el proceso de construcción, difusión y aplicación del conocimiento.
Art. 8.- Serán Fines de la Educación Superior. - La educación superior tendrá los
siguientes fines:
a. Aportar al desarrollo del pensamiento universal, al despliegue de la producción
científica y a la promoción de las transferencias e innovaciones tecnológicas.
f. Fomentar y ejecutar programas de investigación de carácter científico, tecnológico y
pedagógico que coadyuven al mejoramiento y protección del ambiente y promuevan el
desarrollo sustentable nacional.
Principios del Sistema de Educación Superior.
Art. 13.- Funciones del Sistema de Educación Superior. - Son funciones del Sistema de
Educación Superior:
42
b. Promover la creación, desarrollo, transmisión y difusión de la ciencia, la técnica, la
tecnología y la cultura.
d. Fortalecer el ejercicio y desarrollo de la docencia y la investigación científica en todos
los niveles y modalidades del sistema.
LEY ORGÁNICA DE EDUCACIÓN INTERCULTURAL (LOEI)
Art. 2.- Principios. - La actividad educativa se desarrolla atendiendo a los siguientes
principios generales, que son los fundamentos filosóficos, conceptuales y
constitucionales que sustentan, definen y rigen las decisiones y actividades en el ámbito
educativo:
b. Educación para el cambio. - la educación constituye instrumento de transformación de
la sociedad; contribuye a la construcción del país y de los proyectos de vida y de la
libertad de sus habitantes, pueblos y nacionalidades; reconoce a las y los seres humanos
en particular a las niñas, niños y adolescentes, como centro del proceso de aprendizaje y
sujetos de derecho; y se organiza sobre la base de los principios constitucionales.
Art.6.- Obligaciones. - La principal obligación del Estado es el cumplimiento pleno,
permanente y progresivo de los derechos y garantías constitucionales en materia
educativa, y de los principios y fines establecidos en esta Ley.
El Estado tiene las siguientes obligaciones adicionales;
e. Asegurar el mejoramiento continuo de la calidad de la educación;
j. Garantizar la alfabetización digital y el uso de las tecnologías de la información y
comunicación en el proceso educativo, y propiciar el enlace de la enseñanza con las
actividades productivas o sociales.
43
m. Propiciar la investigación científica, tecnológica y la innovación, la creación artística,
la práctica del deporte, la protección y conservación del patrimonio cultural, natural y del
medio ambiente, y la diversidad cultural y lingüística.
CÓDIGO DE LA NIÑEZ Y ADOLESCENCIA
El código de la niñez y adolescencia en los siguientes artículos se refiere a la educación
de la siguiente manera:
Art. 37.- Derecho a la educación. - Los niños, niñas y adolescentes tienen derecho a una
educación de calidad, este derecho demanda de un sistema educativo que:
4. garantice que los niños, niñas y adolescentes cuenten con docentes, materiales
didácticos, laboratorios, locales, instalaciones y recursos adecuados y gocen de un
ambiente favorable para el aprendizaje.
El Estado y los organismos pertinentes asegurarán que los planteles educativos ofrezcan
servicios con equidad, calidad y oportunidad y que se garantice también el derecho de los
progenitores a elegir la educación que más convenga a sus hijos y a sus hijas.
Por medio de la fundamentación legal se puede sustentar la presente investigación
siempre con el fin de mejora la calidad de educación aprovechando al máximo los nuevos
recursos adecuados para el proceso enseñanza-aprendizaje.
2.5. Caracterización de variables
Variable independiente: Según (Gutiérrez, 2004), “Es el factor que manipula el
investigador para inducir modificaciones en ciertas circunstancias que intervienen en un
proceso, para averiguar si se producen ciertas circunstancias”.
Según (Lee, 2002), “La variable independiente varía y es la causa supuesta de la variable
dependiente. Dentro del estudio experimental se convierte en la variable manipulada.
44
Dentro de los estudios no experimentales se convierte en la que tiene o guarda relación
lógica con la variable dependiente”.
➢ Variable independiente: uso de la aplicación móvil Grapher Free
Variable dependiente: Según (Gutiérrez, 2004) “Es el factor o efecto producido como
consecuencia de la manipulación de las variables independientes”.
Según (Lee, 2002), “En otros términos la variable dependiente es hacia la que se hace la
predicción, mientras que la independiente es aquella a partir de la cual se predice. De este
modo la “variable dependiente es el resultado medido que el investigador usa para
determinar si los cambios en la variable independiente tuvieron un efecto”
➢ Variable dependiente: Rendimiento académico
Definición de las variables:
Aplicación móvil Grapher Free Según (Hoorick, 2016), Afirma que “Es una aplicación
móvil libre la cual permite facilitar que el usuario trace de manera eficaz las ecuaciones,
sistema de ecuaciones y capaz de dibujar cualquier función, resolver ecuaciones y calcular
expresiones”.
Rendimiento académico: Según el (Ministerio de Educación, 2016), por Art. 193
establece que el estudiante debe demostrar que logró “aprobar” los objetivos de
aprendizaje definidos en el programa de asignatura o área de conocimiento fijados para
cada uno de los niveles y subniveles del Sistema Nacional de Educación.
45
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA
3.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
Para la investigación realizada se debe explicar los enfoques, modalidades, niveles, tipos
y procedimientos utilizados a lo largo de nuestro proyecto.
3.1.1. Enfoque de la investigación
Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), mencionan los enfoques de
investigación como: cuantitativo, cualitativo y mixto.
Enfoque cuantitativo
Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), el enfoque cuantitativo: “usa la
recolección de datos para probar hipótesis, con base en la medición numérica y el análisis
estadístico, para establecer patrones de comportamiento y probar teorías”.
Enfoque cualitativo
Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), el enfoque cualitativo “utiliza la
recolección y análisis de los datos para afinar las preguntas de investigación o revelar
nuevas interrogantes en el proceso de interpretación”.
Enfoque mixto
Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), El enfoque mixto “implica un
conjunto de procesos de recolección, análisis y vinculación de datos cuantitativos y
46
cualitativos en un mismo estudio o una serie de investigaciones para responder a un
planteamiento del problema”.
Al analizar los enfoques planteados se concluye que, la presente investigación tiene un
enfoque cuantitativo; ya que, se desea medir si el uso de la aplicación Grapher Free
influye en el rendimiento académico de un grupo experimental por medio de la obtención
de datos numéricos de la población de estudio.
3.1.2. Modalidad de la investigación
La presente investigación corresponde a la modalidad socioeducativa, la cual es un
requisito para la obtención de grados de Licenciatura de la Facultad de Filosofía, Letras
y Ciencias de la Educación.
3.1.3. Nivel de la investigación
Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), la investigación puede ser:
Exploratoria
Descriptiva
Correlacional
Explicativa
Nivel exploratorio
Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), “se realizan cuando el objetivo es
examinar un tema o problema de investigación poco estudiado, del cual se tienen muchas
dudas o no se ha abordado antes”.
Nivel descriptivo
Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), menciona que:
“Son útiles para mostrar con precisión los ángulos o dimensiones de un fenómeno, suceso,
47
comunidad, contexto o situación. En esta clase de estudios el investigador debe ser capaz
de definir, o al menos visualizar, qué se medirá (qué conceptos, variables, componentes,
etc.) y sobre qué o quiénes se recolectarán los datos”.
Nivel correlacional
Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), menciona que:
“Conocer la relación o grado de asociación que exista entre dos o más conceptos,
categorías o variables en una muestra o contexto en particular”. Además de a acuerdo al
mismo autor “para evaluar el grado de asociación entre dos o más variables, en los
estudios correlacionales primero se mide cada una de éstas, y después se cuantifican,
analizan y establecen las vinculaciones”.
Nivel explicativo
Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), están encaminados a “responder
por las causas de los eventos y fenómenos físicos o sociales. (…) su interés se centra en
explicar por qué ocurre un fenómeno y en qué condiciones se manifiesta o por qué se
relacionan dos o más variables”.
Por lo cual la investigación realizada es exploratoria, por el uso de la aplicación Grapher
Free en la educación y siendo poco utilizada y desarrollada en la actualidad; descriptiva
ya que se trata de variable dependiente e independiente y correlacional pues el objetivo
es determinar si la investigación influye en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
3.1.4. Tipo de investigación
Según (Arias, 2012), la investigación en cuanto al diseño se clasifica:
Documental
De campo
Experimental
48
Investigación documental
Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), consiste en un análisis de la
información escrita sobre un determinado tema, con el propósito de establecer relaciones,
diferencias, etapas, posturas o estado actual del conocimiento respecto al tema objeto de
estudio.
Las principales fuentes de información en este tipo de investigación son: documentos
escritos (libros, periódicos, revistas, actas notariales, tratados, conferencias escritas,
etcétera), documentos fílmicos (películas, diapositivas, etcétera) y documentos grabados
(discos, cintas, casetes, disquetes, etcétera)”.
Investigación de campo
Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), consiste en “estudios efectuados
en una situación “realista” en la que el investigador manipula una o más variables
independientes en condiciones tan cuidadosamente controladas como lo permite la
situación, (…) el grado en que el ambiente es natural para los sujetos”.
Investigación experimental
Según (Hernández, Fernández, & Baptista, 2014), Los diseños cuasi experimentales
“manipulan deliberadamente, al menos, una variable independiente para observar su
efecto sobre una o más variables dependientes, (…) los sujetos no se asignan al azar a los
grupos (…); dichos grupos ya están conformados antes del experimento: son grupos
intactos”.
Por lo analizado anteriormente establezco que la investigación es documental, de campo
y cuasi-experimental, ya que la investigación está sustentada en definiciones y teorías de
diversos documentos; de campo por la necesidad de la recolección de datos y evidencias;
y cuasi-experimental por trabajar con dos grupos: grupo control enseñanza de manera
habitual y grupo experimental aplicando Grapher Free considerando los mismos
instrumentos de evaluación, así obteniendo datos para llegar a una o varias conclusiones.
49
3.1.5. Procedimientos fundamentales en el proceso de investigación
Los pasos a realizarse para el desarrollo del presente proyecto son:
Presentación y aprobación del tema de investigación.
Elaboración del documento base (Ecuaciones, sistema de ecuaciones y ecuaciones
cuadráticas) para los estudiantes de décimo año de EGB.
Validación del texto base por expertos. (Docente de la Universidad Central del
Ecuador y docentes de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”).
Elaboración de los instrumentos de evaluación: diagnóstica, formativas y
Sumativa.
Validación de los instrumentos de evaluación por los expertos anteriormente
mencionados.
Aplicación de los instrumentos de evaluación (prueba piloto) a un curso superior.
Determinación del coeficiente de confiabilidad de los instrumentos de acuerdo
con el método de Kuder-Richardson.
Aplicación de la prueba diagnóstica al grupo control y grupo experimental.
Ejecución de la aplicación Grapher Free en el grupo experimental en el desarrollo
de las clases de Matemática.
Aplicación de los instrumentos de evaluación al grupo de control y experimental
(Formativas y sumativa).
Tabulación de resultados.
50
Informe de la investigación.
Presentación del informe final del proyecto.
3.2. Población y Muestra
Población
Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), población es el “conjunto de todos
los casos que concuerdan con determinadas especificaciones”.
La población fue de 62 estudiantes de los décimos años EGB, 31 estudiantes de décimo
EGB “B” grupo experimental y 31 estudiantes de décimo EGB “C” grupo control.
Muestra
Según (Hernández, Fernández, & Baptista, 2014), la muestra es “un subgrupo de la
población de interés sobre el cual se recolectarán datos, y que tiene que definirse y
delimitarse de antemano con precisión, además de que debe ser representativo de la
población”.
En la presente investigación no se trabajó con muestra ya que el grupo de trabajo no
supera los 200 individuos y por tal motivo la población es todo el grupo.
51
3.3. Operacionalización de las variables
Tabla 7: Matriz de operacionalización de variables.
VARIABLE DIMENSIONES INDICADORES EVALUACIÓN
IND
EP
EN
DIE
NT
E
Ap
lica
ción
Gra
ph
er F
ree
Ejercicios de aplicación
en la enseñanza de
resolución de
ecuaciones, sistema de
ecuaciones y ecuaciones
cuadráticas.
Resuelve ecuaciones
con una y dos
variables
Ejercicios
propuestos Unidad 1
Resuelve sistema de
ecuaciones 2x2
Ejercicios
propuestos Unidad 2
Resuelve ecuaciones
cuadráticas
Ejercicios
propuestos Unidad 3
DE
PE
ND
IEN
TE
Ren
dim
ien
to
Evaluación diagnóstica Conjunto de
números, monomios,
Factoreo
Instrumento N° 1
Evaluación formativa 1 Ecuaciones de primer
grado
Instrumento N° 2
Evaluación formativa 2 Sistema de
ecuaciones 2x2
Instrumento N° 3
Evaluación formativa 3 Ecuaciones
cuadráticas
Instrumento N° 4
Evaluación sumativa Ecuaciones de primer
grado, Sistema de
ecuaciones 2x2,
Ecuaciones
cuadráticas
Instrumento N° 5
Fuente: Operacionalización de variables
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
52
3.4. Técnicas e instrumentos de recolección de datos
Según (Arias, 2012), “Los datos que se buscan y obtienen en el desarrollo de un proyecto,
constituyen el cuerpo de la información sobre los hechos, objetos o fenómenos en estudio,
y configuran la materia prima de la investigación”.
3.4.1. Técnicas de recolección de datos
Según (Arias, 2012), establece “como una técnica que pretende obtener información que
suministra un grupo o muestra de sujetos acerca de sí mismos, o en relación con un tema
en particular”.
3.4.2. Instrumento de recolección de datos
Según (Arias, 2012), “Un instrumento de recolección de datos es cualquier recurso,
dispositivo o formato (en papel o digital), que se utiliza para obtener, registrar o
almacenar información”.
Para la presente investigación se empleó como instrumento de evaluación la prueba
escrita.
Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), son “instrumentos utilizados para
medir o evaluar los conceptos o variables de interés, hipótesis comprobadas, datos
específicos y enfoques o abordajes al problema de investigación”.
3.5. Validez y confiabilidad
3.5.1. Validez
Para (Hernández, Fernández, & Baptista, 2014), “La validez, en términos generales, se
refiere al grado en que un instrumento mide realmente la variable que pretende medir”.
Para la validación de los instrumentos de evaluación, se contó con la colaboración de tres
expertos en su área, a quienes se les entro los siguientes documentos:
53
Solicitud para la validación de los instrumentos de evaluación
Instructivo para la validación de los instrumentos de evaluación
Ficha de evaluación
Instrumentos de evaluación
Los expertos que validaron los instrumentos son:
Tabla 8: Expertos en la validación de instrumentos de evaluación.
EXPERTO ÁREA LUGAR DE TRABAJO
MSc. Milton Coronel Matemática Universidad Central del Ecuador
Lic. Gabriela Guachamin Matemática U.E. “San Vicente de Paúl”
Lic. Fabiola Herrán Lengua y Literatura U.E. “San Vicente de Paúl”
Fuente: Validación de instrumentos de evaluación.
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
3.5.2. Confiabilidad
Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), La confiabilidad es el “grado en
que un instrumento produce resultados consistentes y coherentes”.
Para determinar la confiabilidad de los instrumentos se realizó previamente una prueba
piloto en un curso superior de la institución y con esos datos obtenidos se procedió a
calcular el coeficiente de confiabilidad por el método Kuder-Richardson tomando en
cuenta los siguientes parámetros.
α: Coeficiente de confiabilidad Σ : Sumatoria
n: Número de ítems δ: Desviación típica
x: Ítems γD:Diferencia de desviaciones típicas
�̅�: Media aritmética γT: Desviación típica total
54
Tabla 9: Niveles de confiabilidad.
Escala Niveles
Menor a 0.200 Confiablidad muy baja
De 0.210 a 0.400 Confiabilidad baja
De 0.410 a 0.600 Confiabilidad regular
De 0.610 a 0.800 Confiabilidad aceptable
De 0.810 a 1.000 Confiabilidad elevada
Fuente: Metodología de la investigación (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014).
Elaborado por: Diego Burbano.
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA
Tabla 10: Tabulación de los resultados de la evaluación diagnóstica.
Ítem Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 9 2,33 5,44
2
9 2,33 5,44
3 13 1,67 2,78
4
14 2,67 7,11
5 12 0,67 0,44
6
11 0,33 0,11
Σ 34
8,67 34
12,67
Fuente: Evaluación Diagnóstica
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
NÚMERO DE ÍTEM
n = 3
MEDIA ARITMÉTICA
Ximp =
ΣXimp
Xpar = ΣXpar
n
n
Ximp =
34
Xpar = 34
3
3
Ximp =
11,33
Xpar = 11,33
55
DESVIACIÓN TÍPICA
δimp = √ Σx²imp
δpar =
√ Σx²par
n
n
δimp = √ 8,67
δpar =
√ 12,67
3
3
δimp =
1,70
δpar =
2,05
DIFERENCIA DE LAS DESVIACIONES TÍPICAS
γD = δpar - δimp
γD = 2,05 - 1,70
γD = 0,36
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA TOTAL
γT = √ ΣX²imp + ΣX²par
2n
γT = √ 8,67 +12.62
6
γT = 1,89
ALFA
α = 1- (γD)²
(γT)²
α = 1- 0,126
3,56
α = 0,965
56
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN FORMATIVA 1
Tabla 11: Tabulación de los resultados de la evaluación formativa 1.
Ítem Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 12 1,67 2,78
2
7 1,33 1,78
3 13 2,67 7,11
4
12 3,67 13,44
5 6 4,33 18,78
6
6 2,33 5,44
Σ 31
28,67 25
20,67
Fuente: Evaluación Formativa 1
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
NÚMERO DE ÍTEM
n = 3
MEDIA ARITMÉTICA
Ximp =
ΣXimp
Xpar = ΣXpar
n
n
Ximp =
31
Xpar = 25
3
3
Ximp =
10,33
Xpar = 8,33
DESVIACIÓN TÍPICA
δimp = √ Σx²imp
δpar =
√ Σx²par
n
n
δimp = √ 28,67
δpar =
√ 20,67
3
3
δimp =
3,09
δpar =
2,62
57
DIFERENCIA DE LAS DESVIACIONES TÍPICAS
γD = δpar - δimp
γD = 2,62 - 3,09
γD = -0,47
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA TOTAL
γT = √ ΣX²imp + ΣX²par
2n
γT = √ 28,67 + 20,67
6
γT = 2,87
ALFA
α = 1- (γD)²
(γT)²
α = 1- 0,218
8,22
α = 0,974
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN FORMATIVA 2
Tabla 12: Tabulación de los resultados de la evaluación formativa 2.
Ítem Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 7 1,33 1,78
2
12 1,67 2,78
3 12 3,67 13,44
4
13 2,67 7,11
5 6 2,33 5,44
6
6 4,33 18,78
Σ 25
20,67 31
28,67
Fuente: Evaluación Formativa 2
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
58
NÚMERO DE ÍTEM
n = 3
MEDIA ARITMÉTICA
Ximp =
ΣXimp
Xpar = ΣXpar
n
n
Ximp =
25
Xpar = 31
3
3
Ximp =
8,33
Xpar = 10,33
DESVIACIÓN TÍPICA
δimp = √ Σx²imp
δpar =
√ Σx²par
n
n
δimp = √ 20,67
δpar =
√ 28,67
3
3
δimp =
2,62
δpar =
3,09
DIFERENCIA DE LAS DESVIACIONES TÍPICAS
γD = δpar - δimp
γD = 3,09 - 2,62
γD = 0,47
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA TOTAL
γT = √ ΣX²imp + ΣX²par
2n
γT = √ 20,67 + 28,67
6
γT = 2,87
59
ALFA
α = 1- (γD)²
(γT)²
α = 1- 0,218
8,22
α = 0,974
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN FORMATIVA 3
Tabla 13: Tabulación de los resultados de la evaluación formativa 3.
Ítem Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 7 2,33 5,44
2
14 2,33 5,44
3 8 1,33 1,78
4
9 2,67 7,11
5 13 3,67 13,44
6
12 0,33 0,11
Σ 28
20,67 35
12,67
Fuente: Evaluación Formativa 3
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
NÚMERO DE ÍTEM
n = 3
MEDIA ARITMÉTICA
Ximp =
ΣXimp
Xpar = ΣXpar
n
n
Ximp =
28
Xpar = 35
3
3
Ximp =
9,33
Xpar = 11,67
60
DESVIACIÓN TÍPICA
δimp = √ Σx²imp
δpar =
√ Σx²par
n
n
δimp = √ 20,67
δpar =
√ 12,67
3
3
δimp =
2,62
δpar =
2,05
DIFERENCIA DE LAS DESVIACIONES TÍPICAS
γD = δpar - δimp
γD = 2,05 - 2,62
γD = -0,57
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA TOTAL
γT = √ ΣX²imp + ΣX²par
2n
γT = √ 20,67 + 12,67
6
γT = 2,36
ALFA
α = 1- (γD)²
(γT)²
α = 1-
0,325
5,56
α = 0,942
61
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN SUMATIVA
Tabla 14: Tabulación de los resultados de la evaluación sumativa.
Ítem Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 15 3,33 11,11
2
8 2,33 5,44
3 10 1,67 2,78
4
13 2,67 7,11
5 10 1,67 2,78
6
10 0,33 0,11
Σ 35
16,67 31
12,67
Fuente: Evaluación sumativa
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
NÚMERO DE ÍTEM
n = 3
MEDIA ARITMÉTICA
Ximp =
ΣXimp
Xpar = ΣXpar
n
n
Ximp =
35
Xpar = 31
3
3
Ximp =
11,67
Xpar = 10,33
DESVIACIÓN TÍPICA
δimp = √ Σx²imp
δpar =
√ Σx²par
n
n
δimp = √ 16,67
δpar =
√ 12,67
3
3
δimp =
2,36
δpar =
2,05
62
DIFERENCIA DE LAS DESVIACIONES TÍPICAS
γD = δpar - δimp
γD = 2,05 - 2,36
γD = -0,30
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA TOTAL
γT = √ ΣX²imp + ΣX²par
2n
γT = √ 16,67 + 12,67
6
γT = 2,21
ALFA
α = 1- (γD)²
(γT)²
α = 1- 0,091
4,89
α = 0,981
Tabla 15: Resumen de confiabilidades.
Instrumento Valor del alfa Nivel de confiabilidad
Diagnóstico 0.965 Confiabilidad elevada
Formativa 1 0.974 Confiabilidad elevada
Formativa 2 0.974 Confiabilidad elevada
Formativa 3 0.942 Confiabilidad elevada
Sumativa 0.981 Confiabilidad elevada
Fuente: Resultados del pilotaje.
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
63
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
4.1. ANÁLISIS ESTADÍSTICOS DE LOS INSTRUMENTOS APLICADOS A LOS
ESTUDIANTES
Después de aplicar los instrumentos de evaluación se tabuló y organizó los resultados,
para ser procesados en términos de medidas descriptivas como son: distribución de
frecuencia, porcentajes, medias aritméticas, desviación típica y varianza.
El proceso utilizado, se describe a continuación en los siguientes pasos:
En cada ítem, se determinó la calificación correspondiente según el nivel de
complejidad.
Se organizó la información de los valores de las calificaciones obtenidas por los
respectivos grupos de aplicación, en tablas de información.
Se utilizó el programa Excel, para procesar las tablas de información que resumen
los valores obtenidos en los diferentes instrumentos de evaluación, determinando
la frecuencia y luego los respectivos cálculos de frecuencia, media aritmética y
desviación estándar.
Se analizaron los datos obtenidos en términos descriptivos, con la finalidad de
interpretarlos y responder a los objetivos de la investigación.
Se confrontaron los hallazgos obtenidos con la teoría.
Para la prueba de hipótesis se eligió la prueba estadística de distribución normal Z, que
se denota con Z o simplemente Z al valor crítico, que separa las áreas de rechazo y
aceptación de la hipótesis nula. En un ensayo a dos colas, para un nivel de significación
del 5%, =0,05.
64
4.1.1 Evaluación N.º 1: Evaluación diagnóstica
Tabla 16: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación de
diagnóstico del grupo experimental.
N.º Calificaciones Frecuencias
(xi)(fi) (xi) (fi)
1. 10
jj
19 190
2. 8 6 48
3. 7 3 21
4. 6 1 6
5. 5 2 10
Σ fi = 31 Σ (xi)(fi) = 275
Fuente: Resultados obtenidos de la aplicación del instrumento de Diagnóstico (Grupo Experimental).
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Tabla 17: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación de
diagnóstico del grupo de control.
N.º Calificaciones Frecuencias
(xi)(fi) (xi) (fi)
1. 10
jj
7 70
2. 8 12 96
3. 7 7 49
4. 5 4 20
5. 3 1 3
Σ fi = 31 Σ (xi)(fi) = 238
Fuente: Resultados obtenidos de la aplicación del instrumento de Diagnóstico (Grupo de Control).
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Para el análisis se toma en cuenta la siguiente nomenclatura:
: Desviación típica. f: Sumatoria de las frecuencias.
N: Número total de casos. x: variables (calificaciones).
n: número total de datos.
65
Tabla 18: Cálculo de la media aritmética para los grupos de aplicación.
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN DE DIAGNÓSTICO
1. CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA
Grupo experimental
𝐱𝐞̅̅ ̅ =∑(𝐱𝐢 ∙ 𝐟𝐢)𝐞
𝐧𝐞=
𝟐𝟕𝟓
𝟑𝟏= 𝟖. 𝟖𝟕
Grupo de control
xc̅ =∑(xi ∙ fi)c
nc=
238
31= 7.68
Fuente: Instrumento de Diagnóstico.
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Gráfico 1: Evaluación diagnóstica en los grupos de aplicación.
Fuente: Instrumento de diagnóstico
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Al comparar los resultados obtenidos de la media aritmética de la evaluación diagnóstica
aplicada a los grupos experimental y de control, se obtienen los datos 8.87 y 7.68, se
observa que la diferencia es de 1.19 valor que equivale al 11.9%.
De lo que se concluye que los dos grupos disponen de los prerrequisitos necesarios, para
comenzar el estudio de ecuaciones y sistema de ecuaciones.
8,87
7,68
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
med
ia a
ritm
étic
a
Grupos de aplicación
Evaluación diagnóstica
Grupo Experimental Grupo de control
66
4.1.2 Evaluación N.º 2: Evaluación Formativa Unidad I Ecuaciones de primer grado
Tabla 19: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación formativa
No.1 (Grupo Experimental).
N.º Calificaciones Frecuencias (xi)(fi) (xi2)(fi)
(xi) (fi)
1. 10 5 50 500
2. 9 10 90 810
3. 8 4 32 256
4. 7 9 63 441
5. 5 1 5 25
6. 3 1 3 9
7. 1 1 1 1 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 244 Σ xi
2 fi = 2042 Fuente: Resultados obtenidos de la aplicación del instrumento de evaluación formativa No1. (Grupo
Experimental)
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Tabla 20: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación formativa
No.1 (Grupo Control).
N.º Calificaciones Frecuencias (xi)(fi) (xi2)(fi)
(xi) (fi)
1. 10 1 10 100
2. 8 4 32 256
3. 7 4 28 196
4. 6 11 66 396
5. 5 6 30 150
6. 4 5 20 80 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 186 Σ xi
2 fi = 1178 Fuente: Resultados obtenidos de la aplicación del instrumento de evaluación formativa No1. (Grupo de
control)
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
67
Tabla 21: Cálculos de la media y desviación típica para los grupos de aplicación.
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN FORMATIVA No. 1
1. CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA
Grupo experimental
𝐱𝐞̅̅ ̅ =∑(𝐱𝐢 ∙ 𝐟𝐢)𝐞
𝐧𝐞=
𝟐𝟒𝟒
𝟑𝟏≈ 𝟕. 𝟖𝟕
Grupo de control
xc̅ =∑(xi ∙ fi)c
nc=
186
31= 6
2. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA
Grupo experimental
𝛔𝐞 = √∑ 𝐱𝐢
𝟐𝐟𝐢
𝐧𝐞− 𝐱𝐞̅̅ ̅𝟐
𝛔𝐞 = √𝟐𝟎𝟒𝟐
𝟑𝟏− 𝟕. 𝟖𝟕𝟐
𝛔𝐞 = 𝟏, 𝟗𝟖
Grupo de control
σc = √∑ xi
2fi
nc− xc̅
2
σc = √1178
31− 62
σc = 1,41
Fuente: Instrumento de evaluación formativa No 1.
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Gráfico 2: Instrumento de evaluación Formativa I “Ecuaciones de primer grado”.
Fuente: Instrumento de evaluación Formativa I
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
El promedio que obtiene el grupo experimental es de 7.87, en cambio, el grupo de control
obtuvo como promedio 6.
7,87
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
med
ia a
ritm
étic
a
Grupos de aplicación
Evaluación Formativa I
Grupo Experimental Grupo de control
68
Se observa que la diferencia entre los rendimientos de los grupos es de 1.87, de lo que se
deduce que tiene un mejor rendimiento el grupo experimental.
4.1.3 Evaluación N.º 3: Evaluación Formativa Unidad II “Sistema de Ecuaciones con
2 variables”
Tabla 22: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación formativa
No. 2 (Grupo Experimental).
N.º Calificaciones Frecuencias (xi)(fi) (xi2)(fi)
(xi) (fi)
1. 10 1 10 100
2. 9 3 18 162
3. 8 3 24 192
4. 7 5 35 245
5. 6 2 12 72
6. 5 6 30 150
7. 4 2 8 32
8. 3 6 18 54
9. 2 2 4 8
10. 1 1 1 1 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 160 Σ xi
2 fi = 1016 Fuente: Resultados obtenidos de la aplicación del instrumento de evaluación formativa No. 2 (Grupo
experimental)
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Tabla 23: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación formativa
No.2 (Grupo de Control).
N.º Calificaciones Frecuencias (xi)(fi) (xi2)(fi)
(xi) (fi)
1. 10 3 30 300
2. 9 2 18 162
3. 8 4 32 256
4. 7 3 21 147
5. 6 5 30 180
6. 5 2 10 50
7. 4 7 28 112
8. 3 1 3 9
9. 2 4 8 16 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 180 Σ xi
2 fi = 1232 Fuente: Resultados de la aplicación del instrumento de evaluación formativa No 2. (Grupo de control)
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
69
Tabla 24: Cálculos de la media aritmética y desviación típica para los grupos de
aplicación.
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN FORMATIVA No. 2
1. CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA
Grupo experimental
𝐱𝐞̅̅ ̅ =∑(𝐱𝐢 ∙ 𝐟𝐢)𝐞
𝐧𝐞=
𝟏𝟔𝟎
𝟑𝟏≈ 𝟓. 𝟏𝟔
Grupo de control
xc̅ =∑(xi ∙ fi)c
nc=
180
31≈ 5.81
2. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA
Grupo experimental
𝛔𝐞 = √∑ 𝐱𝐢
𝟐𝐟𝐢
𝐧𝐞− 𝐱𝐞̅̅ ̅𝟐
𝛔𝐞 = √𝟏𝟎𝟏𝟔
𝟑𝟏− 𝟓. 𝟏𝟔𝟐
𝛔𝐞 = 𝟐. 𝟒𝟖
Grupo de control
σc = √∑ xi
2fi
nc− xc̅
2
σc = √1232
31− 5.812
σc = 2.45
Fuente: Instrumento de evaluación formativa No 2.
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Gráfico 3: Instrumento de evaluación Formativa II “Sistema de Ecuaciones con 2
variables”
Fuente: Evaluación Formativa II
Elaborado por: Diego Burbano.
5,16
5,81
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
med
ia a
ritm
étic
a
Grupos de aplicación
Evaluación Formativa II
Grupo Experimental Grupo de control
70
El promedio que obtuvo el grupo experimental es de 5.16, mientras que el grupo de
control obtuvo como promedio 5.81.
Se observa que el grupo control obtuvo mejores resultados en el rendimiento académico,
ya que existe una diferencia de 0.65 a favor de dicho grupo.
4.1.4 Evaluación N.º 4: Evaluación Formativa III “Ecuaciones de segundo grado con
una incógnita”
Tabla 25: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación formativa
No. 3 (Grupo Experimental).
N.º Calificaciones Frecuencias (xi)(fi) (xi2)(fi)
(xi) (fi)
1. 10 4 40 400
2. 9 9 81 729
3. 8 1 8 64
4. 7 7 49 343
5. 6 5 30 180
6. 5 4 20 100
7. 4 1 4 16 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 231 Σ xi
2 fi = 1832 Fuente: Resultados obtenidos de la aplicación del instrumento de evaluación formativa No. 3 (Grupo
experimental)
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Tabla 26: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación formativa
No.3 (Grupo de Control).
N.º Calificaciones Frecuencias (xi)(fi) (xi2)(fi)
(xi) (fi)
1. 9 4 36 324
2. 8 7 56 448
3. 7 8 56 392
4. 6 8 48 288
5. 5 4 20 100 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 216 Σ xi
2 fi = 1552 Fuente: Resultados de la aplicación del instrumento de evaluación formativa No 3. (Grupo de control)
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
71
Tabla 27: Cálculos de la media aritmética y desviación típica para los grupos de
aplicación.
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN FORMATIVA No. 3
1. CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA
Grupo experimental
𝐱𝐞̅̅ ̅ =∑(𝐱𝐢 ∙ 𝐟𝐢)𝐞
𝐧𝐞=
𝟐𝟑𝟏
𝟑𝟏≈ 𝟕. 𝟒𝟓
Grupo de control
xc̅ =∑(xi ∙ fi)c
nc=
216
31≈ 6.97
2. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA
Grupo experimental
𝛔𝐞 = √∑ 𝐱𝐢
𝟐𝐟𝐢
𝐧𝐞− 𝐱𝐞̅̅ ̅𝟐
𝛔𝐞 = √𝟏𝟖𝟑𝟐
𝟑𝟏− 𝟕. 𝟒𝟓𝟐
𝛔𝐞 = 𝟏. 𝟗𝟎
Grupo de control
σc = √∑ xi
2fi
nc− xc̅
2
σc = √1552
31− 6.972
σc = 1.21
Fuente: Instrumento de evaluación formativa No 3.
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Gráfico 4: Instrumento de evaluación Formativa III “Ecuaciones de segundo grado con
una incógnita”.
Fuente: Evaluación Formativa III
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
7,45 6,97
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
med
ia a
ritm
étic
a
Grupos de aplicación
Evaluación Formativa III
Grupo Experimental Grupo de control
72
El promedio que obtuvo el grupo experimental es de 7.45, mientras que el grupo de
control obtuvo como promedio 6.97.
Se observa que el grupo experimental obtuvo mejores resultados en el rendimiento
académico, ya que existe una diferencia de 0.48 a favor de dicho grupo.
4.1.5 Evaluación N.º 5: Evaluación sumativa.
Tabla 28: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación sumativa
No. 3 (Grupo Experimental).
N.º Calificaciones Frecuencias (xi)(fi) (xi2)(fi)
(xi) (fi)
1. 10 7 70 700
2. 9 3 27 243
3. 8 5 40 320
4. 7 8 56 392
5. 6 7 42 252
6. 5 1 5 25 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 240 Σ xi
2 fi = 1932 Fuente: Resultados de la aplicación del instrumento de evaluación sumativa (Grupo experimental)
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Tabla 29: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación sumativa
(Grupo de Control).
N.º Calificaciones Frecuencias (xi)(fi) (xi2)(fi)
(xi) (fi)
1. 10 6 60 600
2. 9 7 63 567
3. 8 11 88 704
4. 7 6 42 294
5. 6 1 6 36 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 259 Σ xi
2 fi = 2201 Fuente: Resultados de la aplicación del instrumento de evaluación sumativa. (Grupo de control)
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
73
Tabla 30: Cálculos de la media aritmética y desviación típica para los grupos de
aplicación.
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN SUMATIVA
1. CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA
Grupo experimental
𝐱𝐞̅̅ ̅ =∑(𝐱𝐢 ∙ 𝐟𝐢)𝐞
𝐧𝐞=
𝟐𝟒𝟎
𝟑𝟏≈ 𝟕. 𝟕𝟒
Grupo de control
xc̅ =∑(xi ∙ fi)c
nc=
259
31≈ 8.35
2. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA
Grupo experimental
𝛔𝐞 = √∑ 𝐱𝐢
𝟐𝐟𝐢
𝐧𝐞− 𝐱𝐞̅̅ ̅𝟐
𝛔𝐞 = √𝟏𝟗𝟑𝟐
𝟑𝟏− 𝟕. 𝟕𝟒𝟐
𝛔𝐞 = 𝟏. 𝟓𝟓
Grupo de control
σc = √∑ xi
2fi
nc− xc̅
2
σc = √2201
31− 8.352
σc = 1.13
Fuente: Instrumento de evaluación sumativa.
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Gráfico 5: Instrumento de evaluación Sumativa
Fuente: Evaluación Sumativa
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
7,74
8,35
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
med
ia a
ritm
étic
a
Grupos de aplicación
Evaluación Sumativa
Grupo Experimental Grupo de control
74
El promedio que obtuvo el grupo experimental es de 7.74, mientras que el grupo de
control obtuvo como promedio 8.35.
Se observa que el grupo control obtuvo mejores resultados en el rendimiento académico,
ya que existe una diferencia de 0.61 a favor de dicho grupo.
4.2 ANÁLISIS Y PRUEBA DE HIPÓTESIS GENERAL
4.2.1 Lenguaje usual
Hi: Influencia de la aplicación Grapher Free influye en el proceso enseñanza-aprendizaje
de ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas, en el décimo año
de Educación General Básica (EGB) de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”
ubicada en el cantón Quito parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.
Ho: Influencia de la aplicación Grapher Free no influye en el proceso enseñanza-
aprendizaje de ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas, en el
décimo año de Educación General Básica (EGB) de la Unidad Educativa “San Vicente
de Paúl” ubicada en el cantón Quito parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.
4.2.2 Lenguaje matemático
Si la media aritmética del grupo experimental difiere de la del grupo de control se
desprenderán dos alternativas:
Si: Hi: �̅�𝑒 ≠ �̅�𝐶
Entonces: A1: �̅�𝑒 > �̅�𝐶
ó
A2: �̅�𝑒 < �̅�𝐶
Si la media aritmética del grupo experimental y la del grupo de control es igual se aceptará
la hipótesis nula:
Ho: �̅�𝑒 = �̅�𝐶
75
Tabla 31: Registro de los valores estadísticos obtenidos por los grupos de aplicación.
No
Evaluaciones
Grupo experimental Grupo de control
Media
aritmética
Desviación
estándar
()
Media
aritmética
Desviación
estándar
()
1 Evaluación formativa I 7.87 1.98 6.00 1.41
2 Evaluación formativa II 5.16 2.48 5.81 2.45
3 Evaluación formativa III 7.45 1.90 6.97 1.21
4 Evaluación Sumativa 7.74 1.55 8.35 1.13
PROMEDIO 7.06 1.98 6.78 1.55
Fuente: Instrumentos de evaluación
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
4.2.3 Determinación de valores críticos y sus regiones de rechazo.
Para establecer las regiones de rechazo utilizamos los criterios de niveles de confianza
definidos, por la siguiente ecuación, para un intervalo de 95% de aceptación;
Nivel de confianza = (1 - α) * 100%; donde el nivel de significancia “α “será igual al 5%
se demuestra de la siguiente manera:
Nivel de confianza = (1 - α) * 100%
95 % = (1 - α) * 100%
95 % = 100% - 100%α
100%α = 100% - 95%
100%α = 5%
Donde resultará que:
α = 5%
Cuya proporción se delimita en función de la cola superior e inferior de la distribución,
por lo que:
76
α = 5%
2, α = 2,5%
El intervalo de confianza está en una distribución normal, la confianza se dividió para
dos, este valor corresponde a la simetría de cola superior e inferior de dicho repartimiento.
Para el nivel de confianza del 0,95 equivalente al 95% cociente entre dos, obtendremos
un valor resultante de 0,475 este valor pertenece a la tabla de distribución normal de
probabilidades a un número 𝑍 = 1,96 equivalente al 2,5%, valor teórico proporcionado a
las zonas de rechazo de una distribución normal Z.
Este valor encontrado lo ubicamos en la tabla Z y observamos el porcentaje de en la fila,
que es el 1,9%. Dentro de la misma tabla ubicamos el primer valor de la columna, que es
6 y se crea el valor teórico ala unir estos dos valores tendremos 𝑍 = 1,96.
4.3 CÁLCULOS CON LA PRUEBA PARAMÉTRICA Z
Para el siguiente análisis se toma en cuenta la presente nomenclatura:
𝒙𝒆̅̅ ̅: Media aritmética del grupo experimental.
𝒙𝒄̅̅ ̅: Media aritmética del grupo de control.
𝝈𝒆: Desviación típica del grupo experimental.
𝝈𝒄: Desviación típica del grupo de control.
𝒏𝒆: Número de estudiantes del grupo experimental.
𝒏𝒄: Número de estudiantes del grupo de control.
Los datos obtenidos de la investigación son:
77
Tabla 32: Resumen de resultados obtenidos por los grupos de aplicación.
Grupo de
aplicación
Media aritmética
(�̅�)
Cuadrado de la
Desviación estándar
(𝝈𝟐)
Número de
estudiantes
(n)
Experimental 𝑥𝑒̅̅ ̅ = 7.06 𝜎𝑒2 = 1.98 𝑛𝑒 = 31
Control 𝑥�̅� = 6.78 𝜎𝑐2 = 1.55 𝑛𝑐 = 31
Fuente: Resultados obtenidos de la aplicación de los instrumentos de evaluación durante la investigación.
Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).
Con los datos obtenidos de la aplicación de los instrumentos de evaluación tanto del grupo
experimental como del de control se procede a determinar el Z calculado.
𝑍 =𝑥𝑒̅̅ ̅ − 𝑥�̅�
√𝜎𝑒
2
𝑛𝑒+
𝜎𝑐2
𝑛𝑐
𝑍 =7.06 − 6.78
√1.982
31 +1.552
31
𝑍𝑐 =0.28
0.45
𝑍𝑐 ≈ 0.62
4.4 TOMA DE DECISIÓN ESTADÍSTICA
Comparando los valores: Zc (calculado) y Zt (teórico), tenemos que:
𝑍𝑐 = 0.62 ; 𝑍𝑡 = 1,96
0.62˂1,96
𝑍𝑐˂𝑍𝑡
78
Podemos observar que 𝑍𝐶 = 0.62 está en la zona de aceptación de la hipótesis nula, lo
cual nos lleva a rechazar la hipótesis investigación Hi: �̅�𝑒 ≠ �̅�𝐶y aceptar la hipótesis nula
𝐻0: �̅�𝑒 = �̅�𝐶 con la alternativa A1: �̅�𝑒 < �̅�𝐶 , esto es:
Ho: Influencia de la aplicación Grapher Free no influye en el proceso enseñanza-
aprendizaje de ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas, en el
décimo año de Educación General Básica (EGB) de la Unidad Educativa “San Vicente
de Paúl” ubicada en el cantón Quito parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.
Gráfico 6: Interpretación de los valores de la Z teórico y la Z calculado del proyecto.
Fuente: Cálculo de Z en el programa GeoGebra
Elaborado por: Burbano Diego (Investigador).
79
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Después de aplicar los instrumentos de evaluación a los estudiantes de décimo año de
EGB de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”, se procede a establecer las
respectivas conclusiones y recomendaciones del proyecto planteado, con la finalidad de
mejorar el proceso enseñanza-aprendizaje de Matemática.
5.1. CONCLUSIONES
Para determinar las conclusiones, se establece una relación directa con las preguntas
directrices antes mencionadas, con el fin de dar respuestas a las mismas; apoyándose en
el análisis de resultados.
¿Cómo influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-
aprendizaje de ecuaciones?
El promedio obtenido por el grupo experimental en la evaluación formativa 1 es de 7.87
ubicándose en el rango de (7,00 – 8,99), es decir, que alcanza los aprendizajes requeridos.
Mientras que el grupo control tiene un promedio de 6.00 ubicándose en el rango (5,01 –
6,99), es decir, está próximo a alcanzar los aprendizajes requeridos.
Por la interpretación grafica de los valores de la Z teórico y la Z calculada se concluye
que: si influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje
de ecuaciones.
80
Gráfico 7: Interpretación de los valores de la Z teórico y la Z calculado (directriz 1).
Fuente: Cálculo de Z en el programa GeoGebra
Elaborado por: Burbano Diego (Investigador).
¿Cómo influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-
aprendizaje de sistema de ecuaciones de 2x2?
El promedio obtenido por el grupo experimental en la evaluación formativa 2 es de 5.16
ubicándose en el rango de (5,01 – 6,99), es decir, está próximo a alcanzar los aprendizajes
requeridos.
Mientras que el grupo control tiene un promedio de 5.81 ubicándose en el rango (5,01 –
6,99), es decir, está próximo a alcanzar los aprendizajes requeridos.
Por la interpretación grafica de los valores de la Z teórico y la Z calculada se concluye
que: no influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje
de sistema de ecuaciones de 2x2.
81
Gráfico 8: Interpretación de los valores de la Z teórico y la Z calculado (directriz 2).
Fuente: Cálculo de Z en el programa GeoGebra
Elaborado por: Burbano Diego (Investigador).
¿Cómo influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-
aprendizaje de ecuaciones cuadráticas?
El promedio obtenido por el grupo experimental en la evaluación formativa 3 es de 7.45
ubicándose en el rango de (7,00 – 8,99), es decir, que alcanza los aprendizajes requeridos.
Mientras que el grupo control tiene un promedio de 6.97 ubicándose en el rango (5,01 –
6,99), es decir, está próximo a alcanzar los aprendizajes requeridos.
Por la interpretación grafica de los valores de la Z teórico y la Z calculada se concluye
que: no influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje
de ecuaciones cuadráticas.
82
Gráfico 9: Interpretación de los valores de la Z teórico y la Z calculado (directriz 3).
Fuente: Cálculo de Z en el programa GeoGebra
Elaborado por: Burbano Diego (Investigador).
Por tal motivo en ecuaciones si influye la aplicación Grapher Free en el proceso
enseñanza-aprendizaje, pero no influye en sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones
cuadráticas con la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje en los
décimos años d EGB de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”.
5.2. RECOMENDACIONES
Se recomienda realizar investigaciones adicionales para efectos de determinar si
influye o no la aplicación móvil en el proceso de enseñanza-aprendizaje de
Matemática.
Se recomienda realizar investigaciones adicionales con otros grupos de
experimentación o con otros temas para evidenciar si influye o no la aplicación
móvil en el proceso de enseñanza-aprendizaje de Matemática.
Se recomienda incentivar a los estudiantes a que investiguen aplicaciones móviles
que consideren fáciles de manejar y útiles en el aprendizaje para revertir
problemas de hábitos de estudio tradicionales.
83
5.3. DIAGRAMA DE LA V HEURISTICA DE GOWIN
¿Cómo influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje de ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones
cuadráticas, en el décimo año de Educación General Básica (EGB) de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” ubicada en el cantón Quito
parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018?
FILOSOFIA
“Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo,
involúcrame y lo aprendo”.
Benjamín Franklin
RECOMENDACIONES
Se recomienda incentivar a los estudiantes a
que investiguen aplicaciones móviles que
consideren fáciles de manejar y útiles en el
aprendizaje.
TEORIAS
Paradigmas de la Educación, modelos
pedagógicos, teorías del aprendizaje, métodos
y procedimientos
CONCLUSIONES
El uso de la aplicación Grapher Free no influye
en el aprendizaje de ecuaciones, sistema de
ecuaciones y ecuaciones cuadráticas.
didácticos.
PRINCIPIOS
La aplicación Grapher Free influye en el
proceso enseñanza aprendizaje.
TRANSFORMACIONES
Se realizo la interpretación de resultados
mediante cálculos estadístico y gráficos
estadísticos.
CONCEPTOS
Ecuaciones, Sistema de Ecuaciones y
Ecuaciones cuadráticas.
Aplicación móvil (Grapher Free)
Rendimiento académico
Uso de la aplicación móvil Grapher Free en el
proceso enseñanza-aprendizaje de en
ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y
ecuaciones cuadráticas.
REGISTRO
Instrumentos de evaluación,
Pruebas estandarizadas: Diagnóstica,
Formativa y Sumativa
84
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&dq=inauthor:%22Juli%C3%A1n+de+Zubir%C3%ADa+Samper%22&hl=es&s
a=X&ved=0ahUKEwiti5vs5JTaAhUFXawKHShLAYMQ6AEIJjAA#v=onepag
e&q&f=false
87
ANEXOS
88
ANEXO 1: Certificación de autorización de la aplicación de la experimentación
89
ANEXO 2: Certificación de la realización de la experimentación
90
ANEXO 3: Horario de la experimentación
Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”
El siguiente horario se encuentra descrito en el certificado otorgado por el docente titular
de la asignatura.
Grupo experimental: 10 “B”
Grupo control: 10 “C”
Hora Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
7:15 – 7:55 10 C
7:55 – 8:35 10 C
8:35 – 9:15 10 C 10 B 10 B
9:15 – 9:55
9:55 – 10:40 10 B 10 C
11:10 – 11:55 10 C 10 B 10 B 10 C
11:55 – 12:40 10 C 10 B
12:40 – 13:25 10 B
91
92
ANEXO 4: Certificación de revisión y corrección de redacción, ortografía y coherencia.
93
ANEXO 5: Certificación de traducción del resumen de la tesis.
TITLE: Influence of the application Grapher Free in the process of teaching Equations,
2x2 Equation Systems and Quadratic Equations to the tenth year of General Basic
Education (GBE) at San Vicente de Paúl School, located in the city of Quito, parish of
Conocoto, throughout the 2017-2018 school year.
ABSTRACT
This study, after conducting a diagnostic test, evidenced poor academic performance in
Mathematics among tenth year students attending San Vicente de Paúl School, located in
the city of Quito, parish of Conocoto. For this reason, the goal of the study was to
determine the influence of the application Grapher Free in the process of teaching
equations. To do this, a base document was produced containing the contents expected to
be learned. The research design had a quantitative approach and was developed under a
quasi-experimental modality, since it had a control group and an experimental group --
the experimental group used the Grapher Free application to reinforce learning, whereas
the control attended class as usual without using any application. Upon finishing the
study, it was concluded that the application did not influence the teaching/learning
process with students coursing the tenth year of GBE.
KEYWORDS: GRAPHER FREE APPLICATION/ EQUATIONS/
TEACHING/LEARNING PROCESS/ ACADEMIC PERFORMANCE/ QUASI-
EXPERIMENTAL.
94
ANEXO 6: Solicitud y validación del documento base (Lic. Gabriela Guachamin).
95
96
ANEXO 7: Solicitud y validación del documento base (MSc. Milton Coronel).
97
98
ANEXO 8: Solicitud del documento base (Lic. Fabiola Herrán).
99
ANEXO 9: Solicitudes para la validación de los instrumentos de evaluación.
100
101
102
ANEXO 10: Instructivo para la validación de los instrumentos de evaluación.
103
104
ANEXO 11: Instrumento y validación de evaluación diagnóstica.
NOMBRE: _____________________________________________________________
CURSO: ____________________________ FECHA: __________________________
DOCENTE: DIEGO BURBANO ASIGNATURA: MATEMÁTICA
INDICACIONES GENERALES:
• Lea detenidamente cada ítem, tome en cuenta que cualquier borrón, tachón o
enmendadura anula la respuesta.
• Todo acto de deshonestidad académica invalida el instrumento de evaluación.
• Dispone de 60 minutos.
• Utilice esferográfico de tinta azul o negra.
ÍTEMS DE ORDENAMIENTO; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA.
1. Ordena y ubica los siguientes valores numéricos de manera descendente.
a) −1
4 b) −
7
5 c) −
3
8 d) −
10
7
A) d,b,c,a B) d,a,b,c C) a,c,b,d D) a,c,d,b
2. Ordena y ubica los siguientes valores numéricos de manera ascendente.
a) 1
2 b)
4
3 c)
3
2 d)
2
5
A) b,a,c,d B) a,c,d,b C) d,a,b,c D) b,a,d,c
UNIDAD EDUCATIVA “SAN VICENTE DE PAÚL” EVANGELIZAR EDUCANDO
Instrumento de Diagnóstico
Código: M2-FM05 Versión: 1 Pág.: 104
0 −41
40
-∞ ∞
2
3
0
-∞ ∞
105
ÍTEMS DE OPCIÓN SIMPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA.
3. ¿Qué elementos pertenecen al monomio?
−1
3𝑥2𝑦3𝑧
1. Signo: -
Coeficiente: 3
Variables: x,y,z
2. Signo: +
Coeficiente: 1
3
Variables: x, y,z
3. Signo: -
Coeficiente: 1
3
Variables: x,y,z
4. Signo: +
Coeficiente: 1
3
Variables: x,y,z
A) 2 B) 4 C) 1 D) 3
4. ¿Qué elementos son del monomio?
a2b3c2
1. Signo: +
Coeficiente: 0
Variables: a,b,c
2. Signo: +
Coeficiente: 1
Variables: a,b,c
3. Signo: -
Coeficiente: 0
Variables: a,b,c
4. Signo: -
Coeficiente: 1
Variables: a,b,c
A) 3 B) 2 C) 1 D) 4
ÍTEMS DE OPCIÓN MULTIPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA.
5. Identifique los siguientes trinomios a que caso pertenece:
1) Trinomio cuadrado perfecto
2) Trinomio de la forma x2+bx+c
3) Trinomio de la forma ax2+bx+c
a) x2+2x+1
b) 3x2+2x-1
c) x3+x2+x+1
d) x2 -7x+12
A) 1a, 2d, 3b B) 1b, 2e, 3f C) 1a, 2d, 3c D) 1d, 2a, 3f
6. Factore e identifique sus respuestas:
1) x2-7x+12=0
2) 3x2+2x-1=0
3) x2-6x+9=0
a) (x+1)(3x-1)=0
b) (x-3)2=0
c) (x-4)(x-3)=0
d) (3x+1)(x+1)=0
A) 1a, 2c,3b B) 1c, 2a, 3b C) 1d, 2a, 3b D) 1a, 2d, 3b
………………………………… ……………………………………
f) DOCENTE f) COORD. ACADÉMICA
106
MSc. Milton Coronel (Matemática - Carrera de Pedagogía de las Ciencias
Experimentales, Matemática y Física).
107
Lic. Gabriela Guachamin (Matemática – Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”).
108
Lic. Fabiola Herrán (Lenguaje – Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”).
109
-∞
∞
ANEXO 12: Instrumentos y validación de la evaluación formativa 1.
NOMBRE: _____________________________________________________________
CURSO: ____________________________ FECHA: __________________________
DOCENTE: DIEGO BURBANO ASIGNATURA: MATEMÁTICA
INDICACIONES GENERALES:
• Lea detenidamente cada ítem, tome en cuenta que cualquier borrón, tachón o
enmendadura anula la respuesta.
• Todo acto de deshonestidad académica invalida el instrumento de evaluación.
• Dispone de 60 minutos.
• Utilice esferográfico de tinta azul o negra.
ÍTEMS DE COMPLETACIÓN; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (2 pt)
1. Se llama ____________ a dos expresiones separadas por el _________ que tienen
el mismo valor numérico.
A) Ecuación – símbolo menos
B) Igualdad – símbolo mas
C) Ecuación – símbolo mas
D) Igualdad – símbolo igual
2. Se llama ____________ a la igualdad que contiene variables y su representación
gráfica es ___________ en el plano.
A) Ecuación lineal – una recta
B) Ecuación cuadrática – un punto
C) Ecuación cuadrática – una paralela
D) Ecuación lineal – una intersección
ÍTEM DE OPCIÓN MULTIPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (2pt)
3. Relacione la forma general y la representación gráfica en la recta real.
1. Ecuación lineal con
una incógnita.
a) b)
c) d)
2. Ecuación lineal con dos
incógnitas.
3. x=-4
4. x=4
A) 1a, 2b, 3c, 4d
B) 1a, 2b, 3d, 4c
C) 1b, 2a, 3c, 4d
D) 1b, 2a, 3d, 4c
UNIDAD EDUCATIVA “SAN VICENTE DE PAÚL”
EVANGELIZAR EDUCANDO
PRUEBA FORMATIVA 1
Código: M2-FM05 Versión: 1 Pág.: 109
a x b ca x b y c
-4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 -∞ ∞
110
ÍTEMS DE OPCIÓN SIMPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (6pt)
4. Resuelva la ecuación y seleccione la respuesta correcta:
x+3=21
A) x=7 B) x=18 C) x=7 D) x=-18
5. Resuelva la ecuación y seleccione la respuesta correcta:
2(x-8) =-13
A) 𝑥 =2
3 B) 𝑥 = −
3
2 C) 𝑥 =
3
2 D) 𝑥 = −
2
3
6. Resuelva la ecuación y seleccione la respuesta correcta:
5x + 8 = 2x + 11
A) 𝑥 = 1 B) 𝑥 =19
7 C) 𝑥 = −
19
7 D) x=-1
………………………………… ……………………………………
f) DOCENTE f) COORD. ACADÉMICA
111
MSc. Milton Coronel (Matemática - Carrera de Pedagogía de las Ciencias
Experimentales, Matemática y Física).
112
Lic. Gabriela Guachamin (Matemática – Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”).
113
Lic. Fabiola Herrán (Lenguaje – Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”).
114
ANEXO 13: Instrumento y validación de la evaluación formativa 2.
NOMBRE: _____________________________________________________________
CURSO: ____________________________ FECHA: __________________________
DOCENTE: DIEGO BURBANO ASIGNATURA: MATEMÁTICA
INDICACIONES GENERALES:
• Lea detenidamente cada ítem, tome en cuenta que cualquier borrón, tachón o
enmendadura anula la respuesta.
• Todo acto de deshonestidad académica invalida el instrumento de evaluación.
• Dispone de 60 minutos.
• Utilice esferográfico de tinta azul o negra.
ÍTEMS DE COMPLETACIÓN; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (2pt)
1. Un sistema de ecuaciones de 2x2 se llama ____________ cuando ____ tiene
solución.
A) Incompatible – Si
B) Compatible – No
C) Compatible – Si
D) Paralela – Si
2. Un sistema de ecuaciones de 2x2 se llama indeterminado si las gráficas de las
ecuaciones son _________, entonces existe _____________ soluciones.
A) Paralelas – cero
B) Coincidentes – dos únicas
C) Secantes – un punto como
D) Coincidentes – infinitas
ÍTEM DE OPCIÓN MULTIPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (2pt)
3. Relacione su gráfica respecto a su solución.
A) 1d, 2a, 3c, 4b
B) 1a, 2d, 3d, 4c
C) 1c, 2d, 3b, 4a
D) 1d, 2c, 3a, 4b
UNIDAD EDUCATIVA “SAN VICENTE DE PAÚL” EVANGELIZAR EDUCANDO
PRUEBA FORMATIVA 2
Código: M2-FM05 Versión: 1 Pág.: 114
1. Paralela a) b)
c) d)
2. Secante
3. Coincidentes
4. Un punto
115
ÍTEMS DE OPCIÓN SIMPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (6pt)
4. Resuelva el sistema y determine si es secante, coincidente o paralela:
{𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟔
𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟎
A) Secante B) Coincidente C) Paralela
5. Resuelva el sistema y determine si es secante, coincidente o paralela:
{𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏
𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐
A) Secante B) Coincidente C) Paralela
6. Resuelva el sistema y determine si es secante, coincidente o paralela:
{𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏
𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟕
A) Secante B) Coincidente C) Paralela
………………………………… ……………………………………
f) DOCENTE f) COORD. ACADÉMICA
116
MSc. Milton Coronel (Matemática - Carrera de Pedagogía de las Ciencias
Experimentales, Matemática y Física).
117
Lic. Gabriela Guachamin (Matemática – Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”).
118
Lic. Fabiola Herrán (Lenguaje – Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”).
119
ANEXO 14: Instrumento y validación de la evaluación formativa 3.
NOMBRE: _____________________________________________________________
CURSO: ____________________________ FECHA: __________________________
DOCENTE: DIEGO BURBANO ASIGNATURA: MATEMÁTICA
INDICACIONES GENERALES:
• Lea detenidamente cada ítem, tome en cuenta que cualquier borrón, tachón o
enmendadura anula la respuesta.
• Todo acto de deshonestidad académica invalida el instrumento de evaluación.
• Dispone de 60 minutos.
• Utilice esferográfico de tinta azul o negro.
ÍTEMS DE COMPLETACIÓN; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (2pt)
1. Una ecuación cuadrática tiene la forma de una _______ algebraica de términos, cuyo
grado _______ es 2.
A) Multiplicación – mínimo
B) Suma – máximo
C) Multiplicación – máximo
D) División – mínimo
2. Una ecuación cuadrática se puede representar mediante una ______ y el resultado
es una __________.
A) Punto – hipérbola
B) Rectas – secante
C) Gráfica – parábola
D) Gráfica – hipérbola
ÍTEM DE OPCIÓN MULTIPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (2pt)
3. Relacione la gráfica de acuerdo a su tipo de solución.
A) 1c, 2b, 3a
B) 1a, 2d, 3b
C) 1c, 2d, 3a
D) 1d, 2a, 3c
+ UNIDAD EDUCATIVA “SAN VICENTE DE PAÚL” EVANGELIZAR EDUCANDO
PRUEBA FORMATIVA 3
Código: M2-FM05 Versión: 1 Pág.: 119
1. Tiene raíces reales
diferentes
a) b)
c) d) 2. Tiene raíces reales
iguales
3. No tiene raíces reales.
120
ÍTEMS DE OPCIÓN SIMPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (6pt)
4. Resuelva la ecuación e indique si tiene dos raíces iguales reales, diferentes o no tiene
raíces reales: 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0
A) Dos raíces diferentes B) Dos raíces Iguales C) No tiene raíces reales
5. Resuelva la ecuación e indique si tiene dos raíces iguales reales, diferentes o no tiene
raíces reales: 𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 0
A) Dos raíces diferentes B) Dos raíces Iguales C) No tiene raíces reales
6. Resuelva la ecuación e indique si tiene dos raíces iguales reales, diferentes o no tiene
raíces reales: 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0
A) Dos raíces diferentes B) Dos raíces Iguales C) No tiene raíces reales
……………………………………
f) DOCENTE f) COORD. ACADÉMICA
121
MSc. Milton Coronel (Matemática - Carrera de Pedagogía de las Ciencias
Experimentales, Matemática y Física).
122
Lic. Gabriela Guachamin (Matemática – Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”).
123
Lic. Fabiola Herrán (Lenguaje – Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”).
124
ANEXO 15: Instrumento y validación de la evaluación sumativa.
NOMBRE: _____________________________________________________________
CURSO: ____________________________ FECHA: __________________________
DOCENTE: DIEGO BURBANO ASIGNATURA: MATEMÁTICA
INDICACIONES GENERALES:
• Lea detenidamente cada ítem, tome en cuenta que cualquier borrón, tachón o
enmendadura anula la respuesta.
• Todo acto de deshonestidad académica invalida el instrumento de evaluación.
• Dispone de 60 minutos.
• Utilice esferográfico de tinta azul o negro.
ÍTEMS DE COMPLETACIÓN; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (2pt)
1. Se llama ____________ a dos expresiones separadas por el _________ que tienen
el mismo valor numérico.
A) Ecuación – símbolo menos
B) Igualdad – símbolo mas
C) Ecuación – símbolo menos
D) Igualdad – símbolo igual
2. Un sistema de ecuaciones de 2x2 se llama indeterminado, si las gráficas de las
ecuaciones son _________, entonces existe _____________ soluciones.
A) Paralelas – cero
B) Coincidentes – dos únicas
C) Secantes – un punto como
D) Coincidentes – infinitas
ÍTEM DE OPCIÓN MULTIPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (2pt)
3. Relacione la gráfica de acuerdo a su tipo.
A) 1c, 2b, 3a
B) 1a, 2d, 3b
C) 1a, 2c, 3b
D) 1d, 2c, 3a
+ UNIDAD EDUCATIVA “SAN VICENTE DE PAÚL” EVANGELIZAR EDUCANDO
PRUEBA SUMATIVA
Código: M2-FM05 Versión: 1 Pág.: 124
1. Tiene raíces iguales a) b)
c) d) 2. No tiene raíces reales
3. Sistema
incompatible
125
ÍTEMS DE OPCIÓN SIMPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA.
4. Resuelva la ecuación y seleccione la respuesta correcta:
5x + 8 = 2x + 11
A) 𝑥 = 1 B) 𝑥 =19
7 C) 𝑥 = −
19
7 D) x=-1
5. Resuelva el sistema y determine si es secante, coincidente o paralela:
{𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏
𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐
A) Secante B) Coincidente C) Paralela
6. Resuelva la ecuación e indique si tiene dos raíces iguales reales, diferentes o no tiene
raíces reales: 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0
A) Dos raíces diferentes B) Dos raíces Iguales C) No tiene raíces reales
………………………………… ……………………………………
f) DOCENTE f) COORD. ACADÉMICA
126
MSc. Milton Coronel (Matemática - Carrera de Pedagogía de las Ciencias
Experimentales, Matemática y Física).
127
Lic. Gabriela Guachamin (Matemática – Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”).
128
Lic. Fabiola Herrán (Lenguaje – Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”).
129
ANEXO 16: Fotografías del grupo control.
130
131
ANEXO 17: Fotografías del grupo experimental.
132
133
ANEXO 18: Documento Base
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES,
MATEMÁTICA Y FÍSICA
TEMA:
ECUACIONES, SISTEMA DE ECUACIONES Y ECUACIONES
CUADRÁTICAS
AUTOR:
DIEGO ALEXANDER BURBANO ANACONA
AÑO LECTIVO:
2017-2018
134
ÍNDICE
UNIDAD 1: ECUACIONES DE PRIMER GRADO…………………………………135
1.1. Igualdad. ........................................................................................................... 135
1.2. Ecuación. .......................................................................................................... 135
1.3. Ecuación de primer grado. .................................................................................. 135
1.5. Ecuación de primer grado con dos incógnitas. ..................................................... 136
1.6. Teoremas básicos de la igualdad. ........................................................................ 137
1.7. Resolución de ecuaciones con una incógnita. ....................................................... 138
1.8. Ejemplos resueltos ............................................................................................. 139
1.9. Resolución de ecuaciones con dos variables. ....................................................... 140
1.10. Ejemplos resueltos. ............................................................................................ 141
1.11. Ejercicios Propuestos. .......................................................................................... 143
UNIDAD 2: SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES……………144
2.1. Sistema de ecuaciones 2 x 2. .............................................................................. 144
2.2. Clasificación de los sistemas de ecuaciones 2x2................................................... 145
2.3. Resolución de sistemas de ecuaciones. ................................................................ 146
2.3.1. Método de sustitución. ................................................................................................... 146
2.3.2. Método de Igualación. .................................................................................................... 149
2.3.3. Método de reducción. ..................................................................................................... 151
2.4. Ejercicios Propuestos. ........................................................................................ 153
UNIDAD 3: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA….154
3.1. Ecuación de segundo grado o cuadráticas con una incógnita. ..................................... 154
3.2. Teorema del factor cero. .................................................................................... 154
3.3. Resoluciones de ecuaciones cuadráticas. ............................................................. 155
3.3.1. Resolución por ecuaciones cuadráticas incompletas. ..................................................... 155
3.3.2. Resolución por factorización (si es posible). .................................................................. 159
3.3.3. Resolución con la fórmula general. ................................................................................ 161
3.4. Ejercicios Propuestos. ........................................................................................ 165
4.BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………166
135
Donde:
a, b, c, x, ∈ R con
a ≠ 0.
UNIDAD 1: ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1.1. Igualdad.
Se llama igualdad a dos expresiones separadas por el símbolo igual que tienen el mismo
valor numérico.
1.2. Ecuación.
Se llama ecuación a la igualdad que contiene incógnitas o variables, su igualdad se
verifica por determinados valores de sus letras.
Existen ecuaciones con 1, 2, … , n incógnitas o variables.
Ejemplo:
1.3. Ecuación de primer grado.
Se la denomina ecuación lineal por que involucra sus incógnitas o variables a la primera
potencia, es decir, se encuentran elevadas al exponente 1.
1.4.Ecuación de primer grado con una incógnita.
Son ecuaciones lineales que solo consta de una incógnita y su representación gráfica es
un punto en la recta real; su forma general de presentación es la siguiente:
Ejemplo:
3x 2 3
2 2 4
x 2 4
a x b c
136
Donde:
a, b, c, x, y ∈ R
con a,b ≠ 0.
1.5. Ecuación de primer grado con dos incógnitas.
Son ecuaciones lineales que constan de dos incógnitas o variables y su representación
gráfica son rectas en el plano cartesiano; su forma general de presentación es la siguiente:
Ejemplo:
A la expresión que le precede el símbolo signo se le conoce como primer miembro y la
expresión que le sigue se lo llama segundo miembro.
4x 2y 5
a x b y c
PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO
x 2 4
137
1.6. Teoremas básicos de la igualdad.
La igualdad cumple en los siguientes teoremas:
TEOREMAS BÁSICOS DE LA IGUALDAD
Los teoremas se definen en el conjunto de los números reales.
Cancelativo (términos negativos) a - c = b - c ⇔ a = b
x-2=4-2 ↔ x=4
Cancelativo (factores) a . c = b . c ⇔ a = b
x.2=4.2 ↔ x=4
Cancelativo (divisores) a / c = b / c ⇔ a = b; c ≠ 0
x/2=4/2 ↔ x=4
Transposición de términos positivos a + b = c ⇔ a = c – b
x+2=4 ↔ x=4-2
x=2
Transposición de términos negativo a – b = c ⇔a = c + b
x-2=4 ↔ x=4+2
x=6
Transposición de factores a . b = c ⇔a = c / b; b ≠ 0
x.2=4 ↔ x=4/2
x=2
Cancelativo (términos positivos) a + c = b + c ⇔ a = b
x+2=4+2 ↔ x=4
Transposición de divisores a / b = c ⇔a = c . b; b ≠ 0
x/2=4 ↔ x=4 . 2
x=8
Cambio de signos - a = - b ⇔a = b
-x= -4 ↔ x=4
138
1ro
• Se identifica en que miembro se encuentra la variable.
2do
• Debemos despejar todas las cantidades donde se encuentrenuestra variable al otro miembro aplicando los teoremas deigualdad.
3ro
• Aplicamos las definiciones de suma, resta, multiplicación o división si es posible.
4to
• Comprobamos la solución remplazando el valor encontrado en la ecuación original.
5to
• Representamos la solución recta real
1.7. Resolución de ecuaciones con una incógnita.
Para resolver ecuaciones con 1 incógnita se procede a despejar la incógnita utilizando los
teoremas básicos de igualdad presentados anteriormente; definiciones de las operaciones
de suma, resta, multiplicación, o división.
Su solución o soluciones se las llaman raíces.
Ejemplo:
Resolver: x + 6 = 2
+ 6 = 2 x
= 2 - 6 T: a-b=c ⇔ a=c+b x
= -4 Def. de resta x
= -4 x
0
x=-4 ∞ -∞
-5 -4 -3 -2 -1
(-4) + 6 = 2
2=2
139
1.8.Ejemplos resueltos
1) Resolver: x + 4 = 12
PROPOSICIONES RAZONES
1. x+4=12
2. x=12-4
3. x=8
4. (8) +4=12
5. 12=12
Dato
T: a+b=c ⇔ a=c-b
Definición de resta.
Comprobación.
Def de suma.
2) Graficar: 2 (x – 5) = - 13
PROPOSICIONES RAZONES
1. 2(x-5) =-13
2. 2x-10=-13
3. 2x=-13+10
4. 2x=-3
5. x=-3/2
6. 2[(−3
2)-5]=-13
7. 2(-13
2) =-13
8. -13 = -13
Dato
Propiedad distributiva.
T: a-b=c ⇔ a=c+b
Definición de suma.
T: a.b=c ⇔ a=c/b; b≠0
Comprobación.
Def de resta.
Simplificación.
x=8
∞ -∞
x=-3/2
∞
-∞
-2 -1 0 1
-4 -2 0 2 4 6 8
140
1.9.Resolución de ecuaciones con dos variables.
Para la solución de una ecuación con dos variables se debe despejar una de las dos
variables y asignar valores a la otra variable, así obtenemos pares ordenados que cumple
la igualdad.
Estos se pueden representar gráficamente en el plano cartesiano y sus pares ordenados
encontrados se denominan conjunto solución.
Ejemplo:
Graficar: 2 x + 3 y = 1
1ro
• Se identifica en que miembro se encuentra la variable que vamosa despejar.
2do
• Debemos despejar la variable escogida aplicando los teoremasde igualdad.
3ro
• Se asignan valores a lavariable (NO despejada) yaplicamos las definicionesde suma, resta,multiplicación o divisiónpara obtener paresordenados.
4to
• Representamosgráficamente enel planocartesiano.
+ 3y = 1 2x
= 1- 3y T: a+b=c⇔ a=c-b 2x
= 1− 3𝑦
2 T: ab=c⇔a=c/b; b ≠ 0 x
141
1.10. Ejemplos resueltos.
1) Graficar: 7 x – 5 y = 32
PROPOSICIONES RAZONES
1. 7x-5y=32
2. 7x=32+5y
3. 𝑥 =32+5𝑦
7
y 𝑥 =
32 + 5𝑦
7
(x,y)
-2 𝑥 =
32 + 5(−2)
7=
22
7 (
22
7 , −2)
0 𝑥 =
32 + 5(0)
7=
32
7 (
32
7, 0)
1 𝑥 =
32 + 5(1)
7= (
37
7 , 2)
Dato
T: a-b=c ⇔ a=c+b
T: a.b=c ⇔ a=c/b; b≠0
Tabla de valores.
2) Graficar: 5x + 2y = 37
PROPOSICIONES RAZONES
1. 5x+2y=37
2. 5x=37-2y
3. 𝑥 =37−2𝑦
5
y 𝑥 =
37 − 2𝑦
5
(x,y)
-1 𝑥 =
37 − 2(−1)
5=
39
5 (
39
5,-1)
Dato
T: a+b=c ⇔ a=c-b
T: a.b=c ⇔ a=c/b; b≠0
Tabla de valores.
142
0 𝑥 =
37 − 2(0)
5=
37
5 (
37
5,0)
1 𝑥 =
37 − 2(1)
5= 7
(7,1)
2 𝑥 =
37 − 2(2)
5=
33
5 (
33
5,2)
3) Graficar: - 7
10𝑥 − 𝑦 = 0
PROPOSICIONES RAZONES
1. −7
10𝑥 − 𝑦 = 0
2. −7
10𝑥 = 𝑦
3. x=−10
7𝑦
y x=−10𝑦
7 (x,y)
1 x=−10(1)
7= −
10
7 (−
10
7, 1)
0 x=−10(0)
7= 0 (0,0)
-1 x=−10(−1)
7=
10
7 (
10
7, −1)
-2 x=−10(−2)
7=
20
7 (
20
7, −2)
Dato
T: a-b=c ⇔ a=c+b
T: a.b=c ⇔ a=c/b; b≠0
Tabla de valores.
143
1.11. Ejercicios Propuestos.
Graficar las siguientes ecuaciones utilizando los teoremas básicos de la igualdad, también
con proposiciones y razones indicadas en los ejemplos.
1. Plantear una ecuación con una incógnita y aplique los teoremas de igualdad.
2. Plantear una ecuación con dos variables y aplique los teoremas de igualdad.
3. 2(x+9) =6
4. 2(y+0,3) =-2,4
5. –(z+0,5) =7
6. 1
2=-3(
1
3+ 𝑥)
7. 8x-6y=33
8. 25
5𝑧+3w=9
9. −0,7𝑎 − 𝑏 = 0
10. 𝑥 −𝑦
3= 1
144
UNIDAD 2: SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES
2.1. Sistema de ecuaciones 2 x 2.
Es un conjunto de dos ecuaciones que comparten dos incógnitas o variables.
Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores que se comprueban su
igualdad para las dos ecuaciones.
Donde:
a, b, c, d, c, f, x, y ∈ R
con a, b, c, d ≠ 0.
Los sistemas de ecuaciones
se representan con este
símbolo.
SISTEMA DE
ECUACIONES
ax by c
dx ey f
145
2.2.Clasificación de los sistemas de ecuaciones 2x2.
Los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas o variables. Se van a clasificar,
dependiendo del tipo de solución para lo cual están clasificadas en:
SISTEMA DE ECUACIONES
2x2
Compatibles
Son ecuacionesque tienensolución para susitema
Determinado
Cumple si laintersección de lasgráficas es solo unpunto, para lo cualexiste una únicasolución para elsistema de ecuaciones.
Indeterminado
Cumple si las gráficasde las ecuaciones sonequivalentes o iguales,entonces hay unnúmero infinito desoluciones para elsistema de ecuaciones.
Incompatibles
Si representamos lasecuacionesgráficamente y estasno se intersecan, sedice que el sistemade ecuaciones notiene solución.
Entonces las rectas serán
SECANTES (se cortan en
un solo punto).
Entonces las rectas serán
COINCIDENTES (se
cortan en infinitos puntos).
Entonces las dos rectas
serán PARALELAS (no
tienen ningún punto en
común).
146
2.3.Resolución de sistemas de ecuaciones.
Para resolver un sistema de ecuaciones vamos a utilizar métodos algebraicos que les
indicaremos a continuación:
2.3.1. Método de sustitución.
Para resolver por el método de sustitución debemos seguir los siguientes pasos:
➢ Se despeja una variable en una de las ecuaciones.
➢ Se sustituye la expresión de esta variable en la otra ecuación, obteniendo una
ecuación con una sola variable.
➢ Se resuelve la ecuación.
➢ El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la variable
despejada.
➢ Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
➢ Comprobamos remplazando los valores encontrados en el sistema de ecuaciones.
➢ Representamos gráficamente.
Resolución de sistema de ecuaciones
Sustitución Igualación Reducción
Métodos algebraicosMétodo Gráfico
147
2.3.1.1. Ejemplos Resueltos.
4) Resolver: {5𝑥 − 𝑦 = 6
𝑥 + 3𝑦 = 10
PROPOSICIONES RAZONES
1. {5𝑥 − 𝑦 = 6
𝑥 + 3𝑦 = 10
2. x + 3y =10
3. x=10-3y
4. 5(10-3y) – y = 6
5. 50 -15y -y = 6
6. -16y=6-50
7. 16y=44
8. y=11
4
9. x=10 – 3(11
4)
10. x=7
4
11. {5(
7
4) − (
11
4) = 6
(7
4) + 3(
11
4) = 10
12. {6 = 6
10 = 10
Dato
Escogimos la segunda ecuación para
despejar la variable x.
T: a+b=c⇔a=c-b
Sustituimos el valor de x en la primera
ecuación.
Propiedad distributiva.
T: a+b=c⇔a=c-b
Def suma; T: - a = - b ⇔ a = b
T: a.b=c⇔a=c/b; b≠0; simplificación.
Remplazamos en la segunda ecuación.
Def de multiplicación y resta.
Remplazamos los valores obtenidos en el
sistema.
Def de multiplicación, resta y suma.
148
5) Resolver: {𝑥 + 2𝑦 = 4
2𝑥 + 4𝑦 = 7
PROPOSICIONES RAZONES
1. {𝑥 + 2𝑦 = 4
2𝑥 + 4𝑦 = 7
2. 2x+4y=7
3. 4y=7-2x
4. y= 7−2𝑥
4
5. x+2(7−2𝑥
4) =4
6. x+(7−2𝑥
2)=4
7. x+7-2x=4(2)
8. -x+7=8
9. -x=8-7
10. -x=1
11. x=-1
12. (-1)+2y=4
13. 2y=4+1
14. 2y=5
15. y=5
2
16. {(−1) + 2(
5
2) = 4
2(−1) + 4(5
2) = 7
17. {−1 + 5 = 4
−2 + 2(5) = 7
18. {4 = 48 ≠ 7
19. No es solución para el sistema.
Dato
Escoger la segunda ecuación para
despejar la variable y.
T: a+b=c⇔a=c-b
T: a.b=c⇔a=c/b; b≠0
Remplazamos en la primera ecuación .
Simplificación.
T: a/b=c⇔a=c.b; b≠0
Def de resta y multiplicación.
T: a+b=c⇔a=c-b
Def de resta.
T: -a=-b ⇔ a=b
Sustituyo x en la primera ecuación .
T: a+b=c⇔a=c-b
Def de suma.
T: a.b=c⇔a=c/b; b≠0
Remplazamos los valores obtenidos en el
sistema.
Simplificación.
Def multiplicación y resta.
149
6) Resolver: {𝑥 + 2𝑦 = 1
2𝑥 + 4𝑦 = 2
PROPOSICIONES RAZONES
1. {𝑥 + 2𝑦 = 1
2𝑥 + 4𝑦 = 2
2. x =1-2y
3. 2(1-2y) +4y=2
4. 2-2y+4y=2
5. 2y=2-2
6. y=0
7. x=1-(0)
8. x=1
9. {(1) + 2(0) = 1
2(1) + 4(0) = 2
10. {1 = 12 = 2
Dato
Escoger la primera ecuación para despejar
la variable x; T: a+b=c⇔a=c-b
Sustituimos el valor de x en la segunda
ecuación.
Propiedad distributiva.
T: a-b=c⇔a=c+b
Def resta.
Remplazo en primera ecuación.
Def de multiplicación.
Remplazamos los valores en el sistema.
Def de multiplicación.
2.3.2. Método de Igualación.
Para resolver por el método de igualación debemos seguir los siguientes pasos:
➢ Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
➢ Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una variable.
➢ Se resuelve la ecuación.
➢ El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que
aparecía despejada la otra variable.
➢ Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
➢ Comprobamos remplazando los valores encontrados en el sistema de ecuaciones.
➢ Representamos gráficamente.
150
2.3.2.1. Ejemplos resueltos.
1) Resolver: {2𝑥 + 3𝑦 = −13𝑥 + 4𝑦 = 0
PROPOSICIONES RAZONES
1. {2𝑥 + 3𝑦 = −13𝑥 + 4𝑦 = 0
2. 3x=-4y ; x=−4𝑦
3
3. 2x =- 1-3y ; x=−1−3𝑦
2
4. −1−3𝑦
2=
−4𝑦
3
5. 3(-1-3y) =2(-4y)
6. -3-9y=-8y
7. -9y+8y=3
8. y=-3
9. 𝑥 =−4(−3)
3
10. 𝑥 =4
11. {2(4) + 3(−3) = −13(4) + 4(−3) = 0
12. {8 − 9 = −112 − 12 = 0
13. {−1 = −1
0 = 0
Dato
Despejamos la misma variable en las dos
ecuaciones.
T: a+b=c⇔a=c-b; T: a.b=c⇔a=c/b; b≠0
Propiedad reflexiva.
T: a/b=c⇔a=c.b; b≠0
Propiedad distributiva.
T: a+b=c⇔a=c-b
Def suma; T: - a = - b ⇔ a = b
Remplazamos en la primera ecuación.
T: a.b=c⇔a=c/b; b≠0; simplificación.
Remplazamos los valores obtenidos en el
sistema.
Def de multiplicación.
Def de resta.
151
2) Resolver: {3𝑥 + 2𝑦 = 56𝑥 + 4𝑦 = 6
PROPOSICIONES RAZONES
1. {3𝑥 + 2𝑦 = 56𝑥 + 4𝑦 = 6
2. 3x+2y=5 ; 6x+4y=6
3. 3x=5-2y ; 6x=6-4y
4. x =5−2𝑦
3 ; x=
6−4𝑦
6
5. 5−2𝑦
3=
6−4𝑦
6
6. 6(5-2y)=3(6-4y)
7. 30-12y=18-12y
8. 30-12y+12y=18
9. 30≠18
10. No tiene solución en el sistema.
Dato
Despejamos la misma variable en las dos
ecuaciones.
T: a+b=c⇔a=c-b
T: a.b=c⇔a=c/b; b≠0
Igualamos las dos ecuaciones.
T: a/b=c⇔a=c.b; b≠0
Propiedad distributiva.
T: a+b=c⇔a=c-b
Def resta.
2.3.3. Método de reducción.
Para resolver por el método de igualación debemos seguir los siguientes pasos:
➢ Se elige la variable a reducir.
➢ El coeficiente de la variable elegida de la primera ecuación se multiplica en la
segunda ecuación y el coeficiente de la variable elegida de la segunda ecuación se
multiplica por la primera ecuación.
➢ Se cambia el signo a una de las dos ecuaciones para poder reducir si es necesario.
➢ Reducimos las ecuaciones.
➢ El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
➢ Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
➢ Comprobamos remplazando los valores encontrados en el sistema de ecuaciones.
➢ Representamos gráficamente.
152
2.3.3.1. Ejemplos resueltos.
1) Resolver: {7𝑥 − 5𝑦 = 1045𝑥 + 2𝑦 = 52
PROPOSICIONES RAZONES
1. {7𝑥 − 5𝑦 = 104 (5)5𝑥 + 2𝑦 = 52 (2)
2. {14𝑥 − 10𝑦 = 20825𝑥 + 10𝑦 = 260
3.
4. 39x=468
5. x=468
39
6. x=12
7. 5(12) +2y=52
8. 60+2y=52
9. 2y=52-60
10. 2y=-8
11. y=−8
2
12. y=-4
13. {7(12) − 5(−4) = 1045(12) + 2(−4) = 52
14. {84 + 20 = 104
60 − 8 = 52
15. {104 = 104
52 = 52
Dato
Multiplicamos *2 a la primera ecuación
y *5 a la segunda ecuación.
Simplificamos la variable.
T: a.b=c⇔a=c/b; b≠0
Simplificamos.
Remplazamos en la segunda ecuación.
Def de multiplicación.
T: a+b=c⇔a=c-b
Def de resta.
T: a.b=c⇔a=c/b; b≠0;
Simplificación.
Remplazamos los valores en el sistema.
Def de multiplicación.
Def de suma.
153
2) Resolver: {2𝑥 − 3𝑦 = 26𝑥 − 9𝑦 = 6
PROPOSICIONES RAZONES
1. {2𝑥 − 3𝑦 = 2 (6)
6𝑥 − 9𝑦 = 6 (−2)
2. {12𝑥 − 18𝑦 = 12
−12𝑥 + 18𝑦 = −12
3. 0=0
4. Es una igualdad, pero debemos
graficarla para obtener los pares
ordenados que son el conjunto
solución.
Dato
Multiplicamos *6 a la primera ecuación
y *-2 a la segunda ecuación.
Simplificación.
2.4. Ejercicios Propuestos.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con proposiciones, razones y su gráfica
por los métodos de sustitución, igualación y reducción.
1) {2𝑥 − 3𝑦 = 26𝑥 − 9𝑦 = 6
2) {7𝑥 − 5𝑦 = 1045𝑥 + 2𝑦 = 52
3) {3𝑥 + 2𝑦 = 56𝑥 + 4𝑦 = 6
4) {𝑥 + 2𝑦 = 1
2𝑥 + 4𝑦 = 2
5) {5𝑥 − 𝑦 = 6
𝑥 + 3𝑦 = 10
6) {𝑥 + 2𝑦 = 4
2𝑥 + 4𝑦 = 7
154
UNIDAD 3: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
3.1. Ecuación de segundo grado o cuadráticas con una incógnita.
Es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado
máximo es “2”, es decir, que su variable estará elevada a exponente 2.
Su forma general:
Ejemplo.
Esta ecuación cuadrática se puede representar mediante una gráfica, el resultado es una
parábola, la cual interseca con el eje x en el valor de las raíces.
3.2. Teorema del factor cero.
Este teorema establece (en términos algebraicos): Si el producto de dos cantidades es
igual a cero entonces uno de las dos cantidades es cero o ambas son cero.
ax2 bx c 0
x2 2x 4 0
Términos Donde: ax2 : Término cuadrático. bx : Término lineal. c : Término independiente. a, b, c, x ∈ R
a ≠ 0
a.b=0⇔a=0 v b=0
155
3.3. Resoluciones de ecuaciones cuadráticas.
Para resolver una ecuación cuadrática se determinan los valores o raíces.
En este documento resolveremos ecuaciones cuadráticas aplicando los siguientes
procesos:
3.3.1. Resolución por ecuaciones cuadráticas incompletas.
Una ecuación cuadrática incompleta puede presentarse de las siguientes formas:
Por ecuaciones cuadráticas incompletas
Por factorización (si es posible)
Por la fórmula general
Incompletas
ax2 + bx =0
c=0
ax2 + c =0
b=0
ax2 =0
b=c=0
156
Ejemplo:
3.3.1.1. Ejemplo Resuelto.
1) Resolver: 9x2 – 4x=0
PROPOSICIONES RAZONES
1. 9x2 -4x=0
2. x(9x-4)=0
3. x1 =0 ᵥ 9x2 -4=0
4. x1 =0 ᵥ 9x2 =4
5. x1 =0 ᵥ x2 =4
9
6. 9(0)2-4(0)=0 ᵥ 9(4
9)2-4(
4
9)=0
7. 0=0 ᵥ 0=0
Dato
Factor común.
T: a.b=0⇔a=0 ᵥ b=0
T: a+b=c⇔a=c-b
T: a.b=c⇔a=c/b; b≠0
Remplazamos los valores en la
ecuación original.
Las soluciones son verdaderas.
Se saca factor común
x(ax+b)=0
Aplicamos el teorema del
factor 0
x1=0 ᵥ ax2+b=0
Aplicamos el
T: a+b=c ⇔ a=c-b
x1=0 ᵥ ax2=-b
Aplicamos el
T: a.b=c ⇔ a=c/b
x1=0 ᵥ x2=-𝑏
𝑎
157
3.3.1.2. Ejemplo resuelto.
1) Resolver: x2+20=30
PROPOSICIONES RAZONES
1. x2+20=30
2. x2 =30-20
3. x2=10
4. √𝑥2 = √10
5. x= ± √10
6. x1 =√10 ᵥ x2=-√10
7. (√10)2 +20=30 v (−√10)2 +20=30
8. 10+20=30 ᵥ 10+20=30
9. 30=30 ᵥ 30=30
Dato
T: a+b=c⇔a=c-b
Def de resta.
𝑥2 = 𝑐 ⇔ √𝑥2 = √𝑐
√𝑎𝑛𝑛= 𝑎
Remplazamos los valores en la
ecuación original.
( √𝑎𝑛
)n = a
Def de suma.
Se despeja la variable
ax2=c
x2=𝑐
𝑎
Se extrae la raíz cuadrada
a cada miembro
√𝑥2 = √𝑐
𝑎
Aplicamos propiedades de los
radicales:
√ann= a
x = √c
a
Donde:
x=±(𝑐
𝑎)
x1=𝑐
𝑎 x2=−
𝑐
𝑎
2 soluciones
158
3.3.1.3. Ejemplo resuelto.
1) Resolver: 16x2=0
PROPOSICIONES RAZONES
1. 16x2=0
2. x2=0
16
3. x=0
Dato
T:a.b=c⇔c=c/b; b≠0
Def de división.
x2=0
x=0
159
3.3.2. Resolución por factorización (si es posible).
Se resuelve la ecuación cuadrática completa en su forma general:
ax2 +bx+c=0; a, b y c ≠ 0
Identificando a que caso pertenece:
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio cuadrado de la forma:
x2 +bx +c = 0
Trinomio cuadrado de la forma:
ax2 +bx +c = 0
9x2 +12x + 4=0
√9𝑥2 = 3𝑥 √4 = 2 2(3x)(2)=12x
(3x + 2)2 =0 3x+2=0
x=- 2
3
Tiene dos raíces iguales - reales
x2 -3x +4=0 Dos números multiplicados me den 4 y restados -3
(x-4)(x+1)=0 x1-4=0 ᵥ x2+1=0 x1=4 ᵥ x2=-1 Tiene dos raíces diferentes - reales
Se multiplica 60
6x2 +11x -10 =0
(6𝑥+15)(6𝑥−4)
6=0
3(2𝑥 + 5)2(3𝑥 − 2)
6= 0
(2x+5)(3x-2)=0
2x1+5=0 ᵥ 3x2-2=0
x1=−5
2 ᵥ x2=
2
3
Tiene dos raíces diferentes - reales
160
3.3.2.1. Ejercicios Resueltos:
1) Resolver: x2 +2x + 1=0
PROPOSICIONES RAZONES
1. x2 +2x + 1=0
2. √𝑥2 = 𝑥 √1 = 1 3. (x+1)2 =0
4. (x+1)(x+1)=0
5. x1 +1= 0 ᵥ x2 +1=0
6. x1 = -1 ᵥ x2 =-1
Dato
√𝑎𝑛𝑛= 𝑎
Trinomio cuadrado perfecto.
a.b=0⇔a=0 ᵥ b=0
T:a.b=c ⇔a=c/b; b≠0
2) Resolver: x2 -7x +12=0
PROPOSICIONES RAZONES
1. x2 -7x +12=0 2. (x-4)(x-3)=0
3. x1 -4= 0 ᵥ x2 -3=0
4. x1 = 4 ᵥ x2 = 3
Dato
T de la forma x2 + bx +c
a.b=0⇔a=0 ᵥ b=0
T:a-b=c ⇔a=c+b
161
3) Resolver: 3x2 +2x -1 =0
PROPOSICIONES RAZONES
1. 3x2 +2x -1 =0
2. (3𝑥+3)(3𝑥−1)
3=0
3. 3(𝑥+1)2(3𝑥−1)
3= 0
4. (x+1)(3x-1)=0
5. x1 +1= 0 ᵥ 3x2 -1=0
6. x1 = -1 ᵥ x2 =1
3
Dato
T. de la forma ax2 +bx +c =0
Factor común.
Simplificación.
a.b=0⇔a=0 ᵥ b=0
T:a.b=c ⇔a=c/b; b≠0
3.3.3. Resolución con la fórmula general.
Este es el procedimiento se recomienda cuando la factorización no es posible.
Su expresión es la siguiente:
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
162
Observa cómo se obtiene la fórmula general que permite resolver cualquier ecuación
de la forma ax2 +bx + c =0
DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA GENERAL
PROPOSICIONES RAZONES 1. ax2 +bx + c =0 2. ax2 +bx = -c
3. 4a (ax2 +bx) = 4a(-c)
4. 4ax2 +4abx = -4ac
5. 4a2 x2 +4abx + b2 = -4ac +b2
6. (2ax +b)2 =b2 -4ac
7. √(2ax + b)2 = √𝑏2 − 4ac
8. (2ax + b)=± √𝑏2 − 4ac
9. 2ax = -b ± √𝑏2 − 4ac
10. x = −𝑏 ±√𝑏2 −4ac
2𝑎
Dato
T: a+b=c⇔a=c-b
Axioma aditivo (=).
Propiedad distributiva.
Axioma aditivo (=).
T. cuadrado perfecto, ordeno.
T: a=a ⇔ √𝑎 = √𝑎
√𝑎𝑛𝑛= 𝑎
T: a+b=c⇔a=c-b
T: a.b=c=⇔a=c/b; b≠0
3.3.3.1. Tipos de soluciones de ecuaciones cuadráticas con la fórmula general.
Para ello se encuentra el discriminante y así sabremos qué solución obtendremos:
DISCRIMINANTE
∆ = b2 -4ac
∆ ˃0 → x1 ≠ x2 Tienes dos raíces reales diferentes
∆=0 → x1 = x2
Tiene dos raíces reales iguales.
∆˂0 No tiene raíces reales
163
3.3.3.2.Ejemplos Resueltos.
1) Resolver: x2 +x +1 =0
PROPOSICIONES RAZONES
1. x2 +x +1 =0
2. 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
3. a=1 , b=1 , c=1
4. 𝑥 =−(1)±√(1)2−4(1)(1)
2(1)
5. 𝑥 =−1±√1−4
2
6. 𝑥 =1±√−3
2
7. No tiene solución en los reales por tener raíz
negativa.
Dato
Por la fórmula general.
Identificar sus factores.
Remplazar en la fórmula
general.
Def Multiplicación.
Def de resta.
2) Resolver: x2 +2x + 1 = 0
PROPOSICIONES RAZONES
1. x2 +2x + 1 = 0
2. 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
3. a=1 , b=2 , c=1
4. 𝑥 =−(2)±√(2)2−4(1)(1)
2(1)
5. 𝑥 =−2±√4−4
2
6. 𝑥 =−2±√0
2
7. x =−2
2
8. x1= −1 ᶺ x2= -1
Dato
Por la fórmula general.
Identificar sus factores.
Remplazar en la fórmula
general.
Def Multiplicación.
Def de resta.
Simplificación.
Dos raíces iguales – reales.
164
3) Resolver: x2 -4x -12 = 0
PROPOSICIONES RAZONES
1. x2 -5x -10 = 0
2. 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
3. a=1 , b= -4 , c= -12
4. 𝑥 =−(−4)±√(−4)2−4(1)(−12)
2(1)
5. 𝑥 =4±√16+48
2
6. 𝑥 =4±√64
2
7. x1 =4+8
2 ᶺ x2=
4−8
2
8. x1 = 6 ᶺ x2=−2
Dato
Por la fórmula general.
Identificar sus factores.
Remplazar en la fórmula
general.
Def Multiplicación.
Def de suma.
√𝑎𝑛𝑛= 𝑎
Def de suma.
Dos raíces diferentes – reales.
165
3.4.Ejercicios Propuestos.
Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas encontrando sus raíces si es posible.
1) x2 = 3x2 -98
2) x2 +3 =39
3) (x+1)2 =81
4) 8x2 +16x=0
5) 3- 2x2 = -5
6) 4x2 -x -3=0
7) 2x2 +3x -2 =0
8) 4x2 -15x -25 =0
9) 3x2 -11x -4 =0
10) 2x2 +x -2 =0
11) x2 -12x – 14=0
12) x2 +x -72 =0
13) x2 -4x -96 =0
14) Plantear una ecuación cuadrática con: única solución, dos soluciones y sin
solución en los reales.
166
4. BIBLIOGRAFÍA
• Ministerio de Educación (2016). Matemática décimo EGB TEXTO DEL
ESTUDIANTE, Quito, Ecuador, Editorial Don Bosco
• Santillana Ecuador, Matemática 10 EGB, Santillana S.A. 2016
• Bastidas, R Paco 2017. Matemática Básica, Quito, Ecuador