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Clave-107-1-M-2-00-2012.docx
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Curso: Matemática Intermedia 1
Tipo de examen: Primer Parcial
Elaborado por Edgar Salguero
Fecha 27/08/2012
Semestre: Segundo
Horario de Examen: 9:00 – 10:50 Jornada: Matutina
Reviso: Inga. Vera Marroquín
Nombre de la clave: Clave-107-1-M-2-00-2012.docx
Clave-107-1-M-2-00-2012.docx
TEMARIO DIGITALIZADO Tema No.1 (8 puntos): En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y fresa. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 quetzales y el precio de cada helado es de 4 quetzales el de vainilla, 5 quetzales el de chocolate y 6 quetzales el de fresa. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que el número de helados de vainilla menos en número de los de chocolate es igual a tres veces los de fresa. a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada sabor se compran a la
semana. b) Resuelve, mediante el método de Gauss. Concluya si tiene solución o es inconsistente el sistema.
Tema No.2 (15 puntos): Encontrar la solución del sistema usando 𝑋 = 𝐴−1𝑏. Determine la inversa de dos formas:
i. Usando cofactores. ii. Por el método de Gauss-Jordan (por
operaciones elementales o de equivalencia)
𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 𝑦 = 5
Tema No.3 (10 puntos): Determinar el valor de m para que el sistema de ecuaciones:
2𝑥 + 𝑚𝑦 = 1 𝑚𝑥 + 2𝑦 = 1
Tenga: a) Solución única. b) Infinitas soluciones. c) No tenga solución.
Tema No.4 (10 puntos): Hallar el determinante de la siguiente matriz, utilizando propiedades y cofactores.
𝐴 =
−2 4 2 10 2 1 −22 1 −2 41 −2 4 2
Tema No.5 (7 puntos): Encuentre la solución del sistema utilizando el método de Gauss. Expresar la solución en forma matricial o vectorial.
3 4
2 8
X Y Z W
X Y Z W
Tema No.6 (50 puntos): Resolver las siguientes integrales planteadas.
a. 6𝑥4+2𝑥3+7𝑥2+2𝑥+3
𝑥3(𝑥2+1)2 𝑑𝑥 Si se sabe que los valores de A, B, C, D, E, F & G son 1, 2, 3, -1, -2, 2 & 0
respectivamente, luego de realizar fracciones parciales. (14 puntos)
𝑏. 𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑐. 𝑥−1 3
𝑥2−2𝑥𝑑𝑥
d. 𝑑𝑥
2+2𝑠𝑒𝑛 𝑥+cos 𝑥 e.
𝑑𝑥
𝑥3
− 𝑥4
𝑥
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SOLUCIÓN
Tema No.1 (8 puntos): En una residencia de estudiantes se compran
semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y fresa. El
presupuesto destinado para esta compra es de 540 quetzales y el precio de cada
helado es de 4 quetzales el de vainilla, 5 quetzales el de chocolate y 6 quetzales el
de fresa. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que el número de
helados de vainilla menos en número de los de chocolate es igual a tres veces los
de fresa.
a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de
cada sabor se compran a la semana.
X= Numero de Helados de vainilla
y= Numero de Helados de chocolate
z= Numero de Helados de fresa
Planteando el sistema de ecuaciones:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 110
4𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 540
𝑥 − 𝑦 = 3𝑧
b) Resuelve, mediante el método de Gauss. Concluya si tiene solución o es
inconsistente el sistema.
1 1 14 5 61 −1 −3
110540
0
𝑓2 − 4𝑓1𝑓3 − 𝑓1
= 1 1 10 1 20 −2 −4
110100
−110
𝑓3 + 2𝑓2
= 1 1 10 1 20 0 0
11010090
El sistema es inconsistente
Tema No.2 (15 puntos): Encontrar la solución del sistema usando 𝑋 = 𝐴−1𝑏.
Determine la inversa de dos formas:
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𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 − 𝑦 = 5
i. Usando cofactores.
1 12 −1
35
Sea A= 1 12 −1
𝑐11 = −1 2 −1 = −1
𝑐12 = −1 3 2 = −2
𝑐21 = −1 3 1 = −1
𝑐22 = −1 4 1 = 1
𝑐 = −1 −2−1 1
𝑐𝑇 = −1 −1−2 1
= 𝐴𝑑𝑗 𝐴
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐴 = 1 12 −1
= [1 ∗ −1 ] − [1 ∗ 2] = −3
𝐶𝑂𝑀𝑂 𝐴−1 =1
𝐷𝑒𝑡 𝐶𝑇 =
Multiplicamos y encontramos la matriz inversa
𝐴−1 =1
𝐷𝑒𝑡 𝐶𝑇 =
1
−3∗
−1 −1−2 1
= 1/3 1/32/3 −1/3
ii. Por el método de Gauss-Jordan (por operaciones elementales o de
equivalencia)
1 12 −1
1 00 1
𝑓2 − 2𝑓1 = 1 10 −3
1 0
−2 1 𝑓2 ∗ −
1
3=
1 10 1
1 0
2/3 −1/3
1 10 1
1 0
2/3 −1/3 𝑓1 − 𝑓2 =
1 00 1
1/3 1/32/3 −1/3
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𝐴−1 = 1/3 1/32/3 −1/3
Encontrando la solución del sistema
Como 𝑋 = 𝐴−1𝑏
Entonces
𝑋 = 1/3 1/32/3 −1/3
35
𝑋 =1
3 3 +
1
3 5 = 1 +
5
3=
8
3
𝑌 =2
3 3 + −
1
3 5 = 1 −
5
3=
1
3
Tema No.3 (10 puntos): Determinar el valor de m para que el sistema de
ecuaciones:
2𝑥 + 𝑚𝑦 = 1
𝑚𝑥 + 2𝑦 = 1
𝐴 = 2 𝑚𝑚 2
11
𝐴 = 0 → 𝐴𝑋 = 𝐵 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑜 𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛
Entonces igualamos el determinante a 0
2 𝑚𝑚 2
= 4 − 𝑚2 = 0 𝑚 = ±2
Probando con m= 2
2 22 2
11 𝑓1 ∗
1
2=
1 12 2
1/2
1 𝑓2 − 2𝑓1 =
1 10 0
1/2
0
𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 2
Probando con m=-2
2 −2
−2 2
11 𝑓1 ∗
1
2=
1 −1−2 2
1/2
1 𝑓2 + 2𝑓1 =
1 −10 0
1/2
2
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𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = −2
RESPUESTAS
a) Solución única. 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 ± 2 𝑚 ≠ ±2
b) 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 2
c) 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = −2
Tema No.4 (10 puntos): Hallar el determinante de la siguiente matriz, utilizando
propiedades y cofactores.
𝐴 =
−2 4 2 10 2 1 −22 1 −2 41 −2 4 2
Utilizando propiedades
−2 4 2 10 2 1 −22 1 −2 41 −2 4 2
𝑓3 − 2𝑓4 =
−2 4 2 10 2 1 −20 5 −10 01 −2 4 2
𝑓1 + 2𝑓4
=
0 0 10 50 2 1 −20 5 −10 01 −2 4 2
Utilizando cofactores
𝐷𝑒𝑡 = 10 −1 1+3 2 −25 0
+ 5 −1 1+4 2 15 −10
= 10 0 − −10 − 5 −20 − 5 = 225
Tema No.5 (7 puntos): Encuentre la solución del sistema utilizando el método de
Gauss. Expresar la solución en forma matricial o vectorial.
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3 4
2 8
X Y Z W
X Y Z W
1 31 2
1 −1
−1 −1
48 𝑓2 − 𝑓1 =
1 30 −1
1 −1
−2 0
44 𝑓2 ∗ −1
= 1 30 1
1 −12 0
4
−4
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 𝑤 = 4
𝑦 = 2𝑧 − 4
𝑥 = 4 − 3 2𝑧 − 4 − 𝑧 + 𝑤
𝑥 = 16 − 7𝑧 + 𝑤
𝑥𝑦𝑧𝑤
=
16−400
+ 𝑧
−7210
+ 𝑤
1001
Tema No.6 (50 puntos): Resolver las siguientes integrales planteadas.
a. 6𝑥4+2𝑥3+7𝑥2+2𝑥+3
𝑥3(𝑥2+1)2 𝑑𝑥 Si se sabe que los valores de A, B, C, D, E, F &
G son 1, 2, 3, -1, -2, 2 & 0 respectivamente, luego de realizar fracciones
parciales. (14 puntos)
6𝑥4 + 2𝑥3 + 7𝑥2 + 2𝑥 + 3
𝑥3(𝑥2 + 1)2=
𝐴
𝑥+
𝐵
𝑥2+
𝐶
𝑥3+
𝐷𝑥 + 𝐸
𝑥2 + 1+
𝐹𝑥 + 𝐺
(𝑥2 + 1)2
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6𝑥4 + 2𝑥3 + 7𝑥2 + 2𝑥 + 3
𝑥3(𝑥2 + 1)2𝑑𝑥
= 1
𝑥+
2
𝑥2+
3
𝑥3+
−𝑥 − 2
𝑥2 + 1+
2𝑥 + 0
(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥
= 1
𝑥𝑑𝑥 +
2
𝑥2𝑑𝑥 +
3
𝑥3𝑑𝑥 +
−𝑥 − 2
𝑥2 + 1𝑑𝑥 +
2𝑥 + 0
(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥
= 1
𝑥𝑑𝑥 +
2
𝑥2𝑑𝑥 +
3
𝑥3𝑑𝑥 −
𝑥
𝑥2 + 1𝑑𝑥 −
2
𝑥2 + 1 𝑑𝑥
+ 2𝑥
(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥
Resolviendo cada integral
1
𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥
2
𝑥2𝑑𝑥 = −
2
𝑥
3
𝑥3𝑑𝑥 = −
3
2𝑥2
𝑥
𝑥2 + 1𝑑𝑥 = 𝑢 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 =
1
2ln(𝑥2 + 1)
2
𝑥2 + 1𝑑𝑥 = 2 tan−1 𝑥
2𝑥
(𝑥2 + 1)2 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 = −
1
𝑥2 + 1
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6𝑥4 + 2𝑥3 + 7𝑥2 + 2𝑥 + 3
𝑥3(𝑥2 + 1)2𝑑𝑥
= 𝑙𝑛𝑥 −2
𝑥−
3
2𝑥2−
1
2ln 𝑥2 + 1 − 2 tan−1 𝑥 −
1
𝑥2 + 1+ 𝑐
𝑏. 𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
Utilizando la técnica de integración por partes
𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 = 𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
Utilizando la técnica de integración por partes para la integral 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥
2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − −2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 − −2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑥2 − 2)+c
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𝑐. 𝑥−1 3
𝑥2−2𝑥𝑑𝑥
𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)
𝑥 − 1 3
𝑥 − 1 2 − 1 𝑑𝑥
Sustituyendo
𝑧 = 𝑥 − 1
𝑑𝑧 = 𝑑𝑥
𝑧 3
𝑧 2 − 1 𝑑𝑥
Utilizando la técnica de integración por partes
𝑢 = 𝑧2 𝑑𝑣 =𝑧
𝑧 2 − 1
𝑑𝑢 = 2𝑧𝑑𝑧 𝑣 = 𝑧 2 − 1
𝑧2 𝑧2 − 1 − 2𝑧 𝑧2 − 1𝑑𝑧
𝑧2 𝑧2 − 1 −2
3(𝑧2 − 1)
3
2
(𝑥 − 1)2 (𝑥 − 1)2 − 1 −2
3((𝑥 − 1)2 − 1)
3
2 + 𝑐
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d. 𝑑𝑥
2+2𝑠𝑒𝑛 𝑥+cos 𝑥
𝑢 = tan 𝑥
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 =2𝑢
𝑢2 + 1
𝑐𝑜𝑠𝑥 =1 − 𝑢2
𝑢2 + 1
𝑑𝑥 =2
𝑢2 + 1𝑑𝑢
Sustituyendo
2
𝑢2+1𝑑𝑢
2+2 2𝑢
𝑢2+1 +
1−𝑢2
𝑢2+1
=
2
𝑢2+1𝑑𝑢
2𝑢2+2+4𝑢+1−𝑢2
𝑢2+1
=
2
𝑢2+1𝑑𝑢
𝑢2+4𝑢+3
𝑢2+1
=
2𝑢2+4𝑢+3=2𝑢+3(𝑢+1)
Resolviendo por fracciones parciales
2 𝑑𝑢
𝑢 + 3 (𝑢 + 1)=
𝐴
(𝑢 + 3)+
𝐵
(𝑢 + 1)
1 = 𝐴 𝑢 + 1 + 𝐵 𝑢 + 3
𝐴 = −𝐵
𝐴 = 1 − 3𝐵
𝐴 = −1
2 𝐵 =
1
2
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2 𝑑𝑢
𝑢 + 3 (𝑢 + 1)=
−1
2
(𝑢 + 3)+
1
2
(𝑢 + 1)
2 −
1
2
(𝑢 + 3)+ 2
1
2
(𝑢 + 1)
− ln 𝑢 + 3 + ln 𝑢 + 1
Regresando 𝑢 = tan 𝑥
2
− ln tan 𝑥
2 + 3 + ln tan
𝑥
2 + 1
e. 𝑑𝑥
𝑥3
− 𝑥4 𝑥
= 𝑑𝑥
𝑥56−𝑥
34
Sustituyendo
𝑥 = 𝑧12
𝑑𝑥 = 12𝑧11 𝑑𝑧
12𝑧11 𝑑𝑧
𝑧10 − 𝑧9=
12𝑧11 𝑑𝑧
𝑧9(𝑧 − 1)=
12𝑧2 𝑑𝑧
(𝑧 − 1)
= 12𝑧 + 12 +12
𝑧 − 1
=6𝑧2 + 12𝑧 + 12ln(𝑧 − 1)
= 6𝑥1
6 + 12𝑥1
12 + 12ln(𝑥1
12 − 1)