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ESCUELA DE GESTIÓN AMBIENTAL
NOMBRE:
MATEMÁTICA PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS
II Bimestre
Ing. Natalí Solano Cueva
OCTUBRE 2011 – FEBRERO 2012
Sistema de ecuaciones lineales. Definición
Métodos de solución de un sistema de ecuaciones
lineales
Álgebra de matrices
Unidad 5: Sistema de
ecuaciones lineales
2.Exponentes y radicales
3.Expresiones algebraicas
4.Expresiones fraccionarias
5.Notación científica
6.Sistema internacional (SI)
Ejercicios
Sistema de ecuaciones lineales (S.E.L)
3
DEFINICIÓN:
Es una colección de 2 o más ecuaciones lineales, cadauna con 2 o más variables (incógnitas).
Una solución de un S.E.L. consta de valores de lasvariables para los cuales cada ecuación del sistema severifica.
Al conjunto de todas las soluciones se le llamaConjunto Solución del S.E.L.
Ejemplos de sistemas de ecuaciones
4
2 61)
3 4
x y
x y
1 310
2 43)
34
4
x y
x y
2 52)
2 4
x y
x y
5
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones
1. Método gráfico
2. Método de sustitución
3. Método de eliminación por adición
4. Regla de Cramer
5. Método de la matriz aumentada
6. Método de matrices
6
MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2
Procedimiento
1. Las soluciones del sistema de ecuaciones
serán los puntos de intersección entre las dos
gráficas.
2. Construya la gráfica de cada ecuación.
7
22)
0
x y
x y-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
:Solución 1 , 1
2x y
0x y
Ejemplos: Sistema de ecuaciones por el método gráfico
8
2 52)
2 4
x y
x y
Par Ordenado: 1 , 6
5612
4612
Por lo tanto el par ordenado 1 , 6 es solución.
:Verificación
Ejemplo:
9
PROCEDIMIENTO
1. Despeja una de las variables en cualquiera de lasecuaciones.
2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación.Esto producirá el valor de una de las variables.
3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior encualquiera de las ecuaciones originales para encontrarel valor de la otra variable.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2
10
Ejemplo: Método de sustitución.2 6
1)3 4
x y
x y
xy 26
4263 xx
4263 xx
2x
226y 2 2 , 2Conjunto Solución
Escogiendo la ecuación, , tenemos 2 6x y
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación
tenemos
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Método de Eliminación por Adición
Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el
objetivo que se elimine una de las variables.
Procedimiento:
1. Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicandolas ecuaciones por los números correspondientes.
2. Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable.
3. Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puedereemplazar por una sustitución.
Álgebra de Matrices
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero
denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será
el elemento de la fila 2 y columna 5.
Operaciones con matrices
Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Propiedades simplificativas
Producto de matrices
Matrices inversibles
Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, se llama matriz traspuesta de A, y se
representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las
columnas (o viceversa) en la matriz A.
Es decir:
La suma de dos matrices de la misma dimensión, es otra matriz
del mismo tamaño que los sumandos. Por tanto, para poder sumar
dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo:
Suma y diferencia de matrices
Sin embargo, no se pueden sumar.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)
Producto de una matriz por un número
El producto de una matriz A por un número real k es otra matriz B de la
misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene
multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
Ejemplo:
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al
número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de
escalares por matrices
Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B.
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el
número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión
n x p, la matriz P será de orden m x p, Es decir:
no se pueden multiplicar
Ejemplo:
Pij = aik bkj
Sucesiones aritméticas
Sucesiones geométricas
Unidad 6: Sucesiones
Sucesiones Aritméticas
Una Sucesión Aritmética, es una sucesión de números reales
tales que cada término es igual al anterior más un número
constante, llamado “diferencia”.
Ejemplo:
5 7 9 11 13 15 17
+2 +2 +2 +2 +2 +2
TÉRMINO GENERAL:
a1 1er. término
a2 = a1 + d 2do término
a3 = a2 + d = a1 + d + d 3er. término
a4 = a3 + d = a2 + d + d = a1 + 3d 4to. término
an = a1 + (n –1) d término general
De la expresión anterior hallamos:
dnaa n )1(11
1
n
aad n 1
11
d
aan n
Sugerencia: Es necesario tener en cuenta la importancia que el
estudiante maneje con mucha destreza las expresiones anteriores
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 21
Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior
multiplicado por una constante, r , llamada RAZÓN .
an = a1 , a2 , a3 , a4 , .... , ak , ..., an-1 , an
Deducimos la fórmula principal:
a1 = a1
a2 = a1 . r
2
a3 = a2 . r = a1 . r
3
a4 = a3 . r = a1 . r
Sucesiones Geométricas
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
• ……………...n-1
• an = a n-1 . r = a1 . r
O sea:
n-1
an = a1 . r
De ella se despeja en caso necesario a1, d o n.
Parábolas
Elipses
Hipérbolas
Unidad 7: Geometría
Analítica
Parábola
Es el conjunto de todos los puntos del plano que se
encuentra en la misma distancia de un punto fijo
llamado FOCO y de una recta fija llamada
DIRECTRIZ.
La Parábola en Matemática se define
como:
f(x) = a. x2 + b. x + c
Abierta hacia arriba
Abierta hacia abajo
(x-h)2 = 4p(y-k) (x-h)2 = -4p(y-k)
Abierta hacia la derecha
Abierta hacia la izquierda
(y-k)2 = 4p(x-h) (y-k)2 = -4p(x-h)
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales quela suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es
constante.
Elipse
F'F
P
'F P FP
constante
Ecuación de la Elipse
con centro (h , k)
( X-H )* + ( Y-K )* = 1
A* B*
HipérbolaEs el lugar geométrico de los puntos en un plano, para los que ladiferencia de sus distancias a dos puntos fijos (denominadosfocos) es una constante.
Una hipérbola tiene dos ejes; el eje que corta a la hipérbola es su ejetransverso; el punto en el que se cortan los ejes es el centro de la curva.
y
xEje transverso
x
y
Eje transverso
La ecuación de una hipérbola puede escribirse como:
12
2
2
2
b
ky
a
hx
(h,k) es el centro de la hipérbola.
El eje transverso es paralelo al eje x.y
xEje transverso
12
2
2
2
b
hx
a
ky
(h,k) es el centro de la hipérbola.
El eje transverso es paralelo al eje y.
x
y
Eje transverso
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