VALIDACIÓN DE MODELOS DE APROXIMACIÓN ESTADÍSTICA

PARA LA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LLUVIAEN EL ÁREA METROPOLITANA DE BUENOS AIRES

Tito Ignacio LasantaFacultad de Ingeniería

Universidad de Buenos Aires

III Taller sobre Regionalizaciónde Precipitaciones MáximasRosario. Santa Fe. Argentina1 y 2 de diciembre de 2011

EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES

AREA METROPOLITANA BUENOS AIRESMEGACIUDAD QUE INTEGRA A LA CIUDAD AUTONOMA DE BUENOS

AIRES Y SU EXTENSIÓN NATURAL O CONURBACION SOBRE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRES, SIN CONSTITUIR EN SU CONJUNTO

UNA UNIDAD ADMINISTRATIVA

RECIBE LAS DENOMINACIONES:CONURBANO BONAERENSE,

AGLOMERADO GRAN BUENOS AIRES,AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES

REGION METROPOLITANA BUENOS AIRES

12 MILLONES DE HABITANTES.

SUPERFICIE: 12.000 Km2

14 partidos completamente urbanizados: Lomas de Zamora Malvinas Argentinas General San Martín Hurlingham Ituzaingó José C. Paz Lanús Avellaneda Morón Quilmes San Isidro San Miguel Tres de Febrero Vicente López

DESARROLLO URBANO

10 partidos parcialmente urbanizados

Almirante Brown Berazategui Esteban Echeverría Ezeiza Florencio Varela La Matanza Merlo Moreno San Fernando Tigre Pte. Perón

Aª MALDONADO

MATANZA

Aº SARANDI

CUENCAS PRINCIPALES

Aº SANTO DOMINGO

LUJAN

RECONQUISTA

Aª VEGA

Aª MEDRANO

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

E F M A M J J A S O N D

CLIMA en el AMBA

FUENTE: ATLAS AMBIENTAL DE BUENOS AIRES

0

5

10

15

20

25

30

E F M A M J J A S O N D

TEMPERATURA MEDIA

PRECIPITACION MEDIA

EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES

LA PROBLEMÁTICA HIDRICA EN EL AMBA

PROBLEMAS HIDRICOS

• El notable aumento de las precipitaciones, como consecuencia del cambio climático

• Recarga de agua infiltrada hacia los acuíferos debido al aumento de la precipitación media

La constante modificación de las condiciones de impermeabilización de las tierras como consecuencia de los asentamientos urbanos, provoca, además, la disminución de los tiempos de concentración de los escurrimientos y el impedimento de la infiltración de las aguas

PROBLEMAS HIDRICOS

PROBLEMAS HIDRICOS

• elevación de la napa freática debido a la importación de agua para consumo proveniente del Río de la Plata, genera un caudal de infiltración adicional, en zonas sin servicio de cloacas

PROBLEMAS HIDRICOS• El desarrollo de la urbe como

si no estuviera en una región inundable

• La falta de planificación, que genera conflictos en el desarrollo de zonas urbanas así como en áreas rurales en donde el uso tradicional del suelo ya no resulta competitivo,

EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES

LA PROBLEMÁTICA HIDRICA EN EL AMBA

ORIGEN DE LOS DATOS

1

3

2

1. Estación del INA, 2. Estación del SMN 3. Estación del INTA

4. Estación de UTN-GRAL. PACHECO

4

EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES

LA PROBLEMÁTICA HIDRICA EN EL AMBA

LOS MODELOS DE ZIMMERMANN

ORIGEN DE LOS DATOS

Es posible obtener un modelo de aproximación bayesiana para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos en cada mes, condicionado a

la lámina de lluvia mensual.

Es posible obtener una función de densidad de probabilidad, para la lámina de un evento de

tormenta particular, basada en el número de eventos lluviosos del mes.

p(N/P)

N f ( P )

HIPOTESIS (modelos de ZIMMERMANN):1

2

EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES

LA PROBLEMÁTICA HIDRICA EN EL AMBA

LOS MODELOS DE ZIMMERMANN

modelo de aproximación bayesiana para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos condicionado a la lámina de lluvia

ORIGEN DE LOS DATOS

)(

)()./()/(

xf

fxfxf

LEY DE PROBABILIDAD DE LAS CAUSASINVERSION DE LA PROBABILIDAD

PRINCIPIO DE LA RAZON INSUFICIENTE(MODO DE SUBSANAR EL ESTADO DE

IGNORANCIA PREVIA)

THOMAS BAYES1702 - 1761

CALCULO DE f(N)

)(

)()./()/(

Pf

NfNPfPNf

Probabilidad a priori de la cantidad de eventos de tormenta de un mes dado, condicionado a la lámina de

lluvia

:)/( PNf

:)/( NPfDistribución de probabilidades, para la lámina mensual, dado el

número de eventos de lluvia

:)(NfProbabilidad a priori de la cantidad de eventos de tormenta de un mes

dado

:)(PfProbabilidad de la

precipitación P, en el mes dado

)(

)()./()/(

Pf

NfNPfPNf

Probabilidad a priori de la cantidad de eventos de tormenta de un mes dado, condicionado a la lámina de

lluvia

:)/( PNf

:)/( NPfDistribución de probabilidades, para la lámina mensual, dado el

número de eventos de lluvia

:)(NfProbabilidad a priori de la cantidad de eventos de tormenta de un mes

dado

:)(PfProbabilidad de la

precipitación P, en el mes dado

CALCULO DE f(N)

)(

)()./()/(

Pf

NfNPfPNf

Para modelar el arribo de tormentas o de células de

lluvia en la misma tormenta, se propone un proceso

poissoniano.

1

!

.)(

1

1

NNf e

N

es el número medio de eventos.

SIMEON DENIS POISSON

1781 - 1840

CALCULO DE f(N)

74,9 69 77,253 98,933 73,947 58,26 57,58 64,7 76,787 139,39 143,88 127

E F M A M J J A S O N D

1

INTA

8,48 9,99 11,70 12,65 9,02 8,55 8,78 8,35 9,41 12,58 12,58 10,29

!

.)(

1

1

NNf e

N

8 0,1248

9 0,1306

10 0,1229

11 0,1051

12 0,0088

13 0,0007

14 5E-05

15 3E-06

1 0,0008

2 0,0036

3 0,0114

4 0,0267

5 0,0503

6 0,0789

7 0,1061

N N)(Nf )(Nf

ESTACION DEL INTA, MES DE SEPTIEMBRE

)(mmP P MEDIA MENSUAL

N° MEDIO EVENTOS

Función de densidad de Probabilidad Gamma, para la lámina mensual, dado el número de

eventos de lluviaNúmero medio mensual de

eventos de lluvia

Inversa de la lámina media para una tormenta

Lámina de precipitación en un

mes dado

:)/( NPf

1

2 P

)(

)()./()/(

Pf

NfNPfPNf

)!1(

..)/(

1.

22

NNPf Pe

NPN

Para estimar valores de precipitación, condicionados al número de lluvias registradas, se ha utilizado la función

Erlang, como forma particular de la Gamma

CALCULO DE f(P/N)

DISTRIBUCION DE ERLANG

),( GX

0,..)(.

11

xex x

formadeparámetro: escaladeparámetro:

),(),(0, kErkGNkksi

DISTRIBUCION GAMMAFunción de densidad de probabilidades

),/( xf

0, x<=0

74,9 69 77,253 98,933 73,947 58,26 57,58 64,7 76,787 139,39 143,88 127

E F M A M J J A S O N D

P1

2

ESTACION DEL INTA

)(mmP

8 0,1248

9 0,1306

10 0,1229

11 0,1051

12 0,0088

13 0,0007

14 5E-05

15 3E-06

1 0,0008

2 0,0036

3 0,0114

4 0,0267

5 0,0503

6 0,0789

7 0,1061

N N)/( NPf

INTA, MES DE SEPTIEMBRE DE 1990

P MEDIA MENSUAL

0,1132 0,1447 0,1514 0,1278 0,122 0,1468 0,1524 0,1291 0,1226 0,0902 0,0874 0,081

)!1(

..)/(

1.

22

NNPf Pe

NPN

)/( NPf0,0003

0,0018

0,0055

0,011

0,0164

0,0197

0,0197

0,0169

0,0126

0,0084

0,005

0,0027

0,0014

0,0006

0,0003

)(

)()./()/(

Pf

NfNPfPNf

N

NfNPfPf

Pf

NfNPfPNf

)()./()(

)(

)()./()/(

CALCULO DE f(N/P)

8 0,1248

9 0,1306

10 0,1229

11 0,1051

12 0,0088

13 0,0007

14 5E-05

15 3E-06

1 0,0008

2 0,0036

3 0,0114

4 0,0267

5 0,0503

6 0,0789

7 0,1061

N N)/( PNf

INTA, MES DE SEPTIEMBRE DE 1991, P=85,5 mm

0,0003

0,0018

0,0055

0,011

0,0164

0,0197

0,0197

0,0169

0,0126

0,0084

0,005

0,0027

0,0014

0,0006

0,0003

)/( PNf

max

1

1

1.

2

1

1.

2

!)!.1(

....

!)!.1(

....

)/(12

12

N

j jj

P

NNPN

NNePe

ePe

NNNNN

PNfjjj

ESTACION DEL INTA

0,0025

0,015

0,0449

0,0896

0,1343

0,161

0,1608

0,1377

0,1032

0,0687

0,0412

0,0224

0,0112

0,0052

0,0022

N=11 ES EL NUMERO DE EVENTOS

MAS PROBABLE PARA UNA

PRECIPITACION DE P=85,5 mm

5E-05

0,0005

0,0029

0,0101

0,0266

0,0559

0,098

0,1473

0,1936

0,2262

0,2379

0,0005

0,0002

0,0001

5E-05

AÑO

ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC

1

LAMINA 164,6 173,6 134,9 174,1 34,7 2,6 23,7 51,9 48,9 104,8 188,5 119

P(X=N) 0,5549 0,115 0,4616 0,5801 0,1964 0,7238 0,2146 0,6245 0,4692 0,2002 0,5049 0,3926

N 10 26 13 11 5 1 4 4 5 10 15 8

2

LAMINA 129,5 44 48,7 107 62,4 147,2 65,3 64,3 85,8 118,8 68,4 196,8

P(X=N) 0,6265 0,2903 0,5461 0,9897 0,7709 0,5688 0,4827 0,4937 0,238 0,5126 0,1897 0,4357

N 7 7 5 12 3 11 7 6 11 7 6 11

3

LAMINA 139,8 26,8 66,9 109,4 180,8 91,2 35,2 79,5 55,9 106,4 35,8 73

P(X=N) 0,44 0,22 0,28 0,55 0,78 0,36 0,31 0,65 0,42 0,32 0,23 0,59

N 14 7 10 8 6 12 6 5 6 9 8 4

ESTACION DEL INTA

max

1

1

1.

2

1

1.

2

!)!.1(

....

!)!.1(

....

)/(12

12

N

j jj

P

NNPN

NNePe

ePe

NNNNN

PNfjjj

Mes E F M A M J

Pm 68,533 99,889 98,41 92,911 98,878 40,178

3,4444 4,5556 4,333 4,8889 3,8889 3,7778

0,0503 0,0456 0,044 0,0526 0,0393 0,094

Mes J A S O N D  

Pm 45,544 58,189 58,37 86,767 88,111 97,611  

3,1111 3,7778 3,555 6,1111 5,4444 4,8889 

0,0683 0,0649 0,060 0,0704 0,0618 0,0501 

1

1

2

2

PARÁMETROS calculados estación ESTEFANIA

E F M A M J

Calc. Real Calc. Real Calc. Real Calc. Real Calc. Real Calc. Real

59 66 56 68 54 61 68 73 57 57 57 54

E F M A M J

Calc. Real Calc. Real Calc. Real Calc. Real Calc. Real Calc. Real

48 55 31 43 62 65 74 78 70 76 64 76

Valores calculados y registrados de eventos de tormenta N, para la estación Villa Ortúzar

max

1

1

1.

2

1

1.

2

!)!.1(

....

!)!.1(

....

)/(12

12

N

j jj

P

NNPN

NNePe

ePe

NNNNN

PNfjjj

AÑO

ENE

FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC

1

CALCULADOS 10 26 13 11 5 1 4 4 5 10 15 8

REGISTRADOS 10 28 13 11 10 2 9 4 5 11 10 8

2

CALCULADOS 7 7 5 12 3 11 7 6 11 7 6 11

REGISTRADOS 7 7 5 12 3 12 7 6 12 7 9 15

3

CALCULADOS 14 7 10 8 6 12 6 5 6 9 8 4

REGISTRADOS 14 7 10 8 6 12 6 5 6 9 8 4

4

CALCULADOS 8 9 5 11 9 7 7 3 6 11 11 9

REGISTRADOS 8 9 5 18 11 7 7 3 11 14 17 9

ESTACION DEL INTA

ESTACION COEFICIENTE DE CORRELACION

Estefanía (INA)

0,8417

Castelar (INTA)

0,7886

Villa Ortúzar (SMN)

0,7856

MODELO DE ZIMMERMANN

CONCLUSIONES

Los resultados de la prueba de bondad de ajuste (K-S) permitieron concluir que el

modelo de Zimmermann es apropiado para determinar láminas de precipitación, en las tres estaciones estudiadas, conociendo la

cantidad de agua precipitada.

ESTACION COEFICIENTE DE CORRELACION

Estefanía (INA)

0,8417

Castelar (INTA)

0,7886

Villa Ortúzar (SMN)

0,7856

EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES

LA PROBLEMÁTICA HIDRICA EN EL AMBA

LOS MODELOS DE ZIMMERMANN

modelo de aproximación bayesiana para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos condicionado a la lámina de lluvia

ORIGEN DE LOS DATOS

función de densidad de probabilidad, para la lámina de un evento de tormenta

Es posible obtener un modelo de aproximación bayesiana para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos en cada mes, condicionado a

la lámina de lluvia mensual.

Es posible obtener una función de densidad de probabilidad, para la lámina de un evento de

tormenta particular, basada en el número de eventos lluviosos del mes.

p(N/P)

N f ( P )

HIPOTESIS:1

2

Se sugieren funciones exponenciales para representar láminas de lluvias

PROPOSITO DEL MODELO

Determinar una función de densidad de probabilidad, para la lámina de un

evento de tormenta particular, conocido el número de eventos

lluviosos del mes.

e PPnF n.31)(

Se sugieren funciones exponenciales para representar láminas de lluvias

MODELO2°

),( G

DISTRIBUCION EXPONENCIALFunción de densidad de probabilidades

x<0

0,.1

xex

)/( xf

1 ksi

:),1( G

)(),1( G

DISTRIBUCION EXPONENCIAL DE PARAMETRO

Función de densidad

de probabilidades

0

La expresión sugerida para Pn es:

N

n

PPn1

)(1ln.1

3

PnFPn

Pn representa una precipitación aislada, para valores de n comprendidos

entre 1 y N.

e PPnF n.31)(

MODELO DE ZIMMERMANN

bN

bnPnF

21)(

Se propone la formulación empírica extrema de Hazen

EXPRESION SUGERIDA PARA (Pn)

N es el número total de eventos de tormenta en el mes considerado y b un parámetro

empírico comprendido entre 0 y 0,5.

EXPRESION SUGERIDA PARA

PN

nNN

n

13

)5,0

ln(

3

SOLUCION PROPUESTA:

)(1ln.1

3

PnFPn

e PPnF n.31)(

PN

nNN

n

13

)5,0

ln(

bN

bnPnF

21)(

N

n

Peal1

Pr

Pn

MODELO DE ZIMMERMANN

VALIDACIÓN DEL MODELO

MODELO PARA LA DETERMINACION DE UNA FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD, PARA LA LÁMINA DE

UN EVENTO DE TORMENTA PARTICULAR

bN

bnPnF

21)(

Pn n Ln[F(Pn)]F(Pn)

Pn

Pteo=(1/ )Ln[1-F(Pn)]

Pteorico

Ln[F(Pn)]

3

3

PN

1

2

N

F(P1)

F(P2)

F(PN)

Pn

lnF(P1)

lnF(P2)

lnF(PN)

P1

P1

PN

Ln[F(Pn)]

P1

P1

PROCEDIMIENTO DE CALCULO

real n LN F(Pn) mod

e

0,30 1 -0,04 0,041 0,7413

2,50 2 -0,15 0,143 2,7423

4,00 3 -0,27 0,245 4,9971

5,80 4 -0,42 0,347 7,5798

5,80 5 -0,58 0,449 10,602

6,90 6 -0,78 0,551 14,245

31,00 7 -1,02 0,653 18,832

31,70 8 -1,35 0,755 25,028

33,60 9 -1,83 0,857 34,617

43,00 10 -2,81 0,959 56,903

TOT(mm) 164,60

N 10

bN

bnPnF

21)(

ESTACION DEL INTA, ENERO 1990

)(1ln PnF

real n LN F(Pn) mod

e

0,30 1 -0,04 0,041 0,7413

2,50 2 -0,15 0,143 2,7423

4,00 3 -0,27 0,245 4,9971

5,80 4 -0,42 0,347 7,5798

5,80 5 -0,58 0,449 10,602

6,90 6 -0,78 0,551 14,245

31,00 7 -1,02 0,653 18,832

31,70 8 -1,35 0,755 25,028

33,60 9 -1,83 0,857 34,617

43,00 10 -2,81 0,959 56,903

TOT(mm) 164,60

N 10

bN

bnPnF

21)(

ESTACION DEL INTA, ENERO 1990

)(1ln PnF

06,0)(1ln3 PnF

real n LN F(Pn) mod

e

0,30 1 -0,04 0,041 0,7413

2,50 2 -0,15 0,143 2,7423

4,00 3 -0,27 0,245 4,9971

5,80 4 -0,42 0,347 7,5798

5,80 5 -0,58 0,449 10,602

6,90 6 -0,78 0,551 14,245

31,00 7 -1,02 0,653 18,832

31,70 8 -1,35 0,755 25,028

33,60 9 -1,83 0,857 34,617

43,00 10 -2,81 0,959 56,903

TOT(mm) 164,60

N 10

bN

bnPnF

21)(

ESTACION DEL INTA, ENERO 1990

)(1ln PnF

06,0)(1ln3 PnF

)(1ln.1

3

PnFPn

real n LN F(Pn) mod

e

0,30 1 -0,04 0,041 0,7413

2,50 2 -0,15 0,143 2,7423

4,00 3 -0,27 0,245 4,9971

5,80 4 -0,42 0,347 7,5798

5,80 5 -0,58 0,449 10,602

6,90 6 -0,78 0,551 14,245

31,00 7 -1,02 0,653 18,832

31,70 8 -1,35 0,755 25,028

33,60 9 -1,83 0,857 34,617

43,00 10 -2,81 0,959 56,903

TOT(mm) 164,60

N 10

ESTACION DEL INTA, ENERO 1990

ESTACION COEFICIENTE DE CORRELACION

Estefanía (INA)

0,897

Castelar (INTA)

0,824

Villa Ortúzar (SMN)

0,9

VALIDACION

CONCLUSIONES

LOS RESULTADOS PERMITEN CONCLUIR QUE EL MODELO PROPUESTO POR ZIMMERMANN ES APROPIADO LA

DETERMINACION DE UNA

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD, PARA CALCULAR LA LÁMINA DE UN

EVENTO DE TORMENTA PARTICULAR, EN LAS TRES ESTACIONES ESTUDIADAS, CONOCIENDO LA CANTIDAD

DE EVENTOS DE LLUVIA.

EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES

LA PROBLEMÁTICA HIDRICA EN EL AMBA

LOS MODELOS DE ZIMMERMANN

modelo de aproximación bayesiana para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos condicionado a la lámina de lluvia

ORIGEN DE LOS DATOS

función de densidad de probabilidad, para la lámina de un evento de tormenta

Sensibilidad del modelo al parámetro “b” de Hazen

real n LN F(Pn) mod

e

0,30 1 -0,04 0,041 0,7413

2,50 2 -0,15 0,143 2,7423

4,00 3 -0,27 0,245 4,9971

5,80 4 -0,42 0,347 7,5798

5,80 5 -0,58 0,449 10,602

6,90 6 -0,78 0,551 14,245

31,00 7 -1,02 0,653 18,832

31,70 8 -1,35 0,755 25,028

33,60 9 -1,83 0,857 34,617

43,00 10 -2,81 0,959 56,903

TOT(mm) 164,60

N 10

bN

bnPnF

21)(

ESTACION DEL INTA, ENERO 1990

)(1ln PnF

06,0)(1ln3 PnF

)(1ln.1

3

PnFPn

SENSIBILIDAD DEL MODELO

0,8550,86

0,8650,87

0,8750,88

0,8850,89

0,8950,9

0,905

0,1 0,2 0,3 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,7 0,8 0,9

COEFICIENTE B

CO

RR

ELA

CIO

N

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

0,1 0,2 0,3 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,7 0,8 0,9

COEFICIENTE B

CO

RR

ELA

CIO

N

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9COEFICIENTE B

CO

RRELA

CIO

N

INTA

INA

SMN

ESTACION COEFICIENTE b DE HAZEN

Villa Ortúzar (SMN)

0.5

Estefanía (INA)

0.4

Castelar (INTA)

0.8

SENSIBILIDAD DEL MODELO

EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES

LA PROBLEMÁTICA HIDRICA EN EL AMBA

LOS MODELOS DE ZIMMERMANN

modelo de aproximación bayesiana para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos condicionado a la lámina de lluvia

ORIGEN DE LOS DATOS

función de densidad de probabilidad, para la lámina de un evento de tormenta

Sensibilidad del modelo al parámetro “b” de Hazen

CONCLUSIONES

CONCLUSIONES SOBRE LA VALIDACION EN EL AMBA DEL MODELO DE ZIMMERMANN DE ESTIMACIÓN DEL NÚMERO

MENSUAL DE EVENTOS DE TORMENTA

Es apropiado utilizar la distribución de Poissón para modelar arribos de tormentas y la función Gamma para

determinar láminas acumuladas de precipitación.

El modelo de aproximación bayesiano para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos de

Zimmermann y Arrasca (2005), ha sido validado con éxito para las series de precipitaciones de las tres estaciones

estudiadas, pertenecientes al Área Metropolitana de Buenos Aires.

CONCLUSIONES SOBRE LA VALIDACION EN EL AMBA DEL MODELO DE DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD,

PARA LA LÁMINA DE UN EVENTO DE LLUVIA

Es apropiado utilizar la función exponencial para determinar láminas de lluvias.

El modelo de Zimmermann para determinar láminas de precipitación, se ha validado para los datos de

precipitación de las tres estaciones meteorológicas estudiadas.

El modelo es sensible al valor del parámetro empírico b.

¡ muchas gracias !

Bruscamente la tarde se ha aclarado porque ya cae

la lluvia minuciosa. Cae o cayó.

La lluvia es una cosa que sin duda sucede

en el pasado.

La lluviaJ.L.Borges

SIMEON DENIS POISSON

1781 - 1840

Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile

LA PROBABILIDAD DE QUE EL TIEMPO QUE TRANSCURRE HASTA EL k-ESIMO EVENTO DE POISSON SUPERE A “t”, ES LA PROBABILIDAD DE

QUE EL N° DE EVENTOS DE POISSON OBSERVADOS EN “t” NO SUPERE A k

),( Gx )(Py )()( kyPtxP

RELACION GAMMA-POISSON

),( kGRELACION GAMMA-EXPONENCIAL

)(),1(),(11

k

ii

k

i

GkG

SUMA DE V.A. EXPONENCIALES

MIDE EL TIEMPO TRANSCURRIDO HASTA EL K-ESIMO SUCESO DE POISSON

),( kG