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VECTORES EN EL PLANOVECTORES EN EL PLANO
Curso 2011Curso 2011
Nivel 4º E.S.O.Nivel 4º E.S.O.
El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio
P Q
Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q
PQ
R SP Q
S
R
La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por
PQ
Vectores de la misma magnitud
RSPQ
Un vector es un segmento orientado
La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido
SRRS
Vectores de la misma
dirección
S
R Q
P
S
R
S
R
Vectores en direcciones
distintas
P
Q
Vectores Equivalentes
Q
P
RSPQ
Tienen la misma magnitud y dirección
S
R
Definición Geométrica
Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos
equivalentes
OEje x
Eje y
Representante del vector por el origen de coordenadas
(a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P
u
a
b
A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así:
P(a,b))b,a(OPu
Eje Y
OEje X
Y a la inversa: dado (a,b) perteneciente a un plano se le asocia el vector u así:
Definición algebraicaUn vector es un par ordenado de
números reales
u
a
b P(a,b)
Eje Y
OEje X
Dado el vector u(-2,3) representarlo en el plano
Eje Y
OEje X
Dado el vector u(-2,-4) representarlo en el planoDado el vector u(0,3) representarlo en el planoDado el vector u(-2,0) representarlo en el planoDado el vector u(1,-4) representarlo en el planoDado el vector i(1,0)i(1,0) representarlo en el planoDado el vector j(0,1)j(0,1) representarlo en el plano
Punto P en el plano
(a,b)2
Vector u=OPdesde el origen hasta P
Esta correspondencia se llama:Sistema de coordenadas rectangulares
10c10cmm
6cm6cm
31º31º
7,67cm7,67cm
6cm6cm
38º38º
6cm6cm
6cm6cm
45º45º
2,8cm2,8cm
6cm6cm
65º65º
10c10c
mm ¿b?¿b?
27º27º
¿a?¿a?
12c
12c
mm
¿b?¿b?
62º62º
¿a?¿a?
15c15cmm ¿b?¿b?
11º11º
¿a?¿a?
9cm9cm¿h?
¿h?
74º74º
¿a?¿a?
3cm3cm¿h?¿h?
24º24º¿a?¿a?
8cm8cm
¿h?
¿h?
48º48º
¿b?¿b?
6,4c6,4cmm
¿h?
¿h?
23º23º
¿b?¿b?
Magnitud o módulo de un
vector u
El vector nulo (0,0) no tiene
dirección
Dirección de u
Angulo positivo que forma con el eje X
22 bau a
btag
u
a
b(a,b)
Eje Y
OEje X
Un vector de módulo uno se llama unitario
Halla el módulo del vector u(4,1) y el ángulo θ que forma con el eje X
Eje Y
O Eje X
22 bau a
btag
Halla el módulo del vector u(1,4) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-4,1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-4,-1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(4,-1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(2,2) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(0,5) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(0,-3) y el ángulo θ que forma con el eje X
Halla el módulo del vector u(3,-2) y el ángulo θ que forma con el eje X
¿a?
¿b?
Eje Y
OEje X
Halla las componentes del vector u si el módulo vale 4 y el ángulo θ = 28ºHalla las componentes del vector u si el módulo vale 2 y el ángulo θ = 60ºHalla las componentes del vector u si el módulo vale 1 y el ángulo θ = 150ºHalla las componentes del vector u si el módulo vale 6 y el ángulo θ = 220ºHalla las componentes del vector u si el módulo vale 3 y el ángulo θ = 315º
Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los
ejes coordenados
Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los
vectores i,j
Eje Y
O Eje X
u
x
y
i
j xi
yj
Halla el módulo del vector u(1,1) = i + j y el ángulo θ que forma con el eje X
Eje Y
O Eje X
22 bau a
btag
Halla el módulo del vector u(1,3) = i +3 j y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-2,3) =-2i +3 j y el ángulo θ que forma con el eje X
Operaciones con vectores
Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y un número real. Se define el vector:
suma u+v como
u+v= (x+a, y+b)
producto por un escalar u como
u=(x, y).
Operaciones con vectores
Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente u+v=(6,4) es la diagonal mayor del paralelogramo
Eje Y
OEje X
u+ v u
v
Operaciones con vectores
Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente v-u=(2,-2) es la diagonal menor del paralelogramo
Eje Y
OEje X
u- v u
v u- v
Operaciones con vectores
Si u=(x,y), v=(a,b), gráficamente u+v=(x+a,y+b) es la diagonal mayor del
paralelogramo
Eje Y
OEje X
u+ v u
v
Operaciones con vectores
u+v=(x+a,y+b)
a
y
O
Eje Y
Eje X
u+ v u
v
a x
y
b b
b x
x
Operaciones con vectores
Si u=(x,y), u=(x, y)
Eje Y
OEje X
u
u
>0
u <0
0<<1
Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como:
u.v=│u││v│cos
: Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.
Producto escalar
El producto escalar de los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) será i.i=j.j=1 i.j=j.i=0
Nueva definición de Producto escalar:
ybxav.u
j.ybji.yajj.xbii.xaiv.u
bjaiv
yjxiu
Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como:
u.v=ax+by
Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.
Producto escalar
Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .
Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2
Producto escalar
Eje X
Eje Y
/2
Propiedades del producto escalar
u.0 = 0 u.v = v.u (propiedad conmutativa) Si u.v =0 y ninguno de ellos es nulo entonces los vectores son perpendiculares.
Interpretación geométrica:
Teorema:
Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces si calculamos el producto escalar podremos hallar el ángulo entre ellos:
cosvuv.u
v
u
ucos
cos/. vuvu
Ejemplo: Sean los vectores A = 4i y B = i + 2 j . Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.
Ejemplo: Sean los vectores A = 3i -2 j y B = -i - j . Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.
Ejemplo: Sean los vectores A = -4i +2 j y B = -3j . Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.