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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEFACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA
C970- Verificación de la ecuación de Navier en
Vigas isostáticas.
FRANCISCO JAVIER PINO MOLINA
Profesor:
Bernardo Garate.
Asignatura:
Resistencia de Materiales II (Vespertino).
Carrera:
Ingeniería Civil Mecánica.
2do Semestre 2014.
Santiago - Chile
2014
Índice.
Resumen del contenido del informe… …………………………………….…………..3
Objetivo…………………………………………………………………………….……….3
Características técnicas de los equipos e instrumentos empleados...……..……….4
Descripción del método seguido……………………………..………………….………5
Presentación de resultados…………………………………..……………………….….6
Discusión de los resultados, conclusiones y observaciones personales…….……..8
ApéndiceTeoría del experimento…………………………………………………………...9
Desarrollo de los cálculos……………………………….………………………15
Tablas de valores obtenidos y calculados…………………………………….17
Bibliografía empleada…………………..……………………………………….19
Resumen del contenido del informe.
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En este informe se presentara lo realizado en la experiencia de laboratorio
“Verificación de la ecuación de Navier en vigas isostáticas”, primero se establecen
los objetivos generales y específicos propuestos para la experiencia, después se
presentan y describen las características técnicas de los instrumentos y equipos
empleados para el desarrollo de la experiencia, seguido, se describe el método a
seguir en la experiencia iniciado con una introducción teórica para los casos
experimentales del laboratorio, finalmente en el informe se presentan los
resultados obtenido para establecer los análisis de los datos y las conclusiones
respectivas.
Objetivo.
Objetivo General
- En una viga isostática sometida a flexión, determinar experimentalmente los
esfuerzos mediante Strain Gages; y comparar con los valores teóricos
dados por la ecuación de Navier.
Objetivos Específicos
- Analizar las hipótesis de cálculo en que se basa la deducción de la
ecuación de Navier.
- Analizar y confirmar, en qué casos se cumple la ecuación de Navier y en
cuáles casos no se cumple.
- Verificar la distribución de esfuerzos en una sección transversal dada.
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Características técnicas de los equipos e instrumentos empleados.
- Cinta extensométrica.
- Medidor de deformaciones.
- Pesos.
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Marca: Micro Measurements Group.
Marca: Micro Measurements Group.
Resolución: 1 x 10-6
Modelo: P-3500
- Pie de metro.
Descripción del método seguido.
La experiencia inicia con una introducción hecha por el profesor, explicando
el marco teórico de la flexión en resistencia de materiales, demostrando como se
relacionan los esfuerzos normales de Hooke y los esfuerzos normales de Navier
para un mismo punto en una viga sometida a una carga en su extremo para
determinar el módulo de elasticidad mediante el ensayo de flexión, además, el
profesor explica el principio de funcionamiento de las cintas extensométricas. En la
parte experimental el profesor nos explica que el laboratorio se desarrolla en dos
partes, para el caso 1 se carga una viga en el extremo con pesos ya determinados
y se toma la lectura de la deformación en la cinta extensométrica ubicada
longitudinalmente, con estos datos más los proporcionados con la sección de la
barra se puede calcular un módulo de elasticidad promedio, en el caso 2 el
procedimiento es el mismo, solo que ahora se tiene una cinta extensométrica
ubicada transversalmente, las cargas se aplican 2 veces para tomar lecturas tanto
de cinta transversal como de la longitudinal con el fin de poder determinar el
coeficiente de Poisson en la barra.
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Marca: Mitutoyo.
Rango de operación: 0-360mm.
Resolución: 0.05 mm.
Presentación de resultados.
Caso1.
Datos de la barra L (cm) h (cm) b (cm)
26,1 0,31 2,575
Datos del ensayo Ensayo N° P (Kgf) ε (x10^-6)
1 0,1 89
2 0,2 181
3 0,3 271
4 0,4 362
5 0,5 453
6 0,6 542
7 0,7 634
El módulo de elasticidad se calcula:
E= 6LPb h2 ε
Ensayos N°Módulo de elasticidad
(Mpa)1 697302 685753 687014 685755 684996 687017 68521
Módulo de Elasticidad promedio± Desviación estándar68757 ± 436.1 Mpa
L: Largo de la barra.h: Altura espesor de la barra.b: Ancho de la barra.P: Carga efectuada para el ensayo de flexión.ε: Deformación (adimensional)
Caso 2.
6
Datos de la barra L (cm) h (cm) b (cm)
26 0,635 2,54
Datos del ensayo Ensayo N° P (Kgf) εL (x10^-6) εt (x10^-6)1 0,5 109 342 1 216 683 1,5 325 1014 2 429 134
5 2,5 538 168
El módulo de elasticidad se calcula:
E= 6LPb h2 ε
Y el coeficiente de Poisson:
ν=|εtεl|Ensayos N°
Módulo de Elasticidad Coef de PoissonResultados Mpa
1 68518 0,31192 69153 0,31483 68940 0,31084 69636 0,31245 69410 0,3123
Módulo de Elasticidad promedio ± Desviación estándar69132 ± 431.7 Mpa
Coeficiente de Poisson Promedio ± Desviación estándar0,3124 ± 0.00148
L: Largo de la barra.h: Altura espesor de la barra.b: Ancho de la barra.P: Carga efectuada para el ensayo de flexión.ε: Deformación (adimensional)
Discusión de los resultados, conclusiones, y observaciones personales.
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Analizando los resultados obtenidos, se puede decir que para el caso 1 el
valor calculado promedio de 68757 Mpa y al compararlo con el referencial del
Aluminio 7075 con módulo de elasticidad de 72000 Mpa el error porcentual
equivale a un 4.5%, análogamente para el caso 2 el error es de 3.9%, son errores
bajos para considerar que se trata de la misma gamma de materiales de aluminio
por lo tanto se puede aceptar que se trabaja con el material correcto, Ahora,
analizando cada ensayo se puede evidenciar, que los módulos de elasticidad
calculados no varían considerablemente de uno respecto a otro según las
condiciones del ensayo, es decir cambiando pesos y longitudes, por lo tanto, se
demuestra experimentalmente que el módulo de elasticidad es una propiedad
mecánica que depende solo de material y esta puede variar solo si se trata
especialmente con algún tratamiento de dureza, con tratamiento térmico para
mejorar sus propiedades; respecto al resultado obtenido al calcular el coeficiente
de Poisson se obtiene un valor muy semejante al presentado en la tabla de
propiedades físicas del aluminio mostrado en el anexo c.
El ensayo puede estar sometido a varias fuentes de error asociadas a que
no obtuviéramos resultados más precisos con los valores obtenidos al buscar las
propiedades mecánicas del aluminio, como por ejemplo, configurar correctamente
el medidor de deformaciones y/o la calibración del instrumento ya que puede
resultar ser un error propio de la instrumentación, se debió haber corroborado el
peso real de las cargas aplicadas con una balanza ya calibrada para así asegurar
un buen calculo y finalmente la sensibilidad de las cintas extensométricas ya que
están cintas debieran ser cambiadas después de un periodo de experimentación,
dato que desconocemos para asegurar una buena medición.
En forma general el experimento cumplió con los objetivos, ya que logro
determinar los esfuerzos mediante cintas extensométricas de una viga sometida a
flexión y estos valores son comparados por la ecuación de Navier.
Apéndice
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a) Teoría del experimento
La determinación de las deformaciones y esfuerzos en un elemento
estructural sometido a diferentes tipos de solicitaciones, se efectúa a través de
diversos métodos experimentales, tales como: Cintas extensométricas,
fotoelasticidad, barnices frágiles, entre los más usados. Estos métodos permiten
determinar las deformaciones y con ellas determinar el estado de esfuerzos o
tensiones de una pieza, midiendo con los instrumentos apropiados algún cambio
en las propiedades físicas de ella, o bien, de un modelo, al ser sometido a una
cierta solicitación, ya sea, tracción, flexión o torsión.
Las cinta extensométrica o strain gage, es la técnica más usada para medir
deformación en el campo del análisis experimental de esfuerzos; se pega
adecuadamente sobre ciertos puntos de interés sobre la superficie del elemento a
analizar y no se requiriere elaborar un modelo que represente al elemento en
estudio.
Básicamente, el "strain gage de resistencia óhmica variable" consiste de
una resistencia eléctrica extremadamente delgada y pequeña, pegada entre dos
hojas de material flexible que le sirven como soporte. Los valores de resistencia
eléctrica de 120 y 350 ohm son los más comunes. Hoy en día la resistencia
eléctrica de los strain gage se elabora al grabar una rejilla sobre un papel metálico
extremadamente delgado (foil), donde gran parte de la longitud de los hilos de la
rejilla es paralela a una dirección fija. Usualmente el espesor del gage es de
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0.05 mm o menos, el cual incluye el soporte y la rejilla. Los strain gage se diseñan
para medir el promedio de deformación bajo sí mismos, en la dirección axial de la
rejilla, y para ser insensibles lo más posible a la deformación en la dirección
transversal. Debido a que los hilos metálicos de la rejilla, soportan la misma
deformación que el objeto al cual están firmemente pegados, su longitud inicial y a
la vez su sección, se modifica, lo cual conduce a la variación de la resistencia
eléctrica.
La resistencia eléctrica comúnmente se fabrica con una aleación metálica,
compuesta por cobre y níquel, conocida como constatan, y el soporte se fabrica de
un material duro y flexible de polymide o de resina epóxica reforzada con fibras de
vidrio para elevadas temperaturas, el cual sirve para mantener aislada
eléctricamente a la rejilla del objeto y transferir la deformación de la superficie
hacia la rejilla. Medir directamente la variación de la resistencia eléctrica del strain
gage no es práctico debido a que las variaciones son muy pequeñas
(0.00024 ohm/md para un gage de 120 ohm). Generalmente se emplea un
dispositivo de medición que cuente con el puente de Wheatstone como el circuito
primario sensitivo, y con un circuito eléctrico de amplificación la pequeña señal del
puente puede ser manejada hacia un dispositivo de lectura. Un indicador de
deformación comercial típico es el indicador P-3500 de la marca VISHAY, el cual
arroja las lecturas de deformación en términos de micro deformaciones (me). Lo
que se mide con una cinta extensométrica es la variación de la resistencia
eléctrica producida por un cambio de longitud, estos cambios están relacionados
de la siguiente manera:
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En que:
= Cambio de resistencia eléctrica de la C.E.
F = Factor de cinta (gage factor)
= Resistencia inicial de la C.E.
= Longitud inicial de la cinta
= Cambio de longitud de la C.E.
Generalmente, esta relación se expresa de la siguiente forma:
Donde
= Deformación unitaria de la C.E. y se designa por
Es decir, el factor F de la cinta extensométrica, también, se puede expresar de la
siguiente manera:
Por lo tanto, el valor de la deformación es igual a:
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La ecuación anterior es el fundamento de la medición eléctrica de
magnitudes mecánicas.
Se usará una C.E. simple, siempre y cuando se sepa de antemano que el
estado de esfuerzos es uniaxial y se conoce con una precisión mejor al 5 % las
direcciones principales. La medición de la deformación de una cinta
extensométrica se efectúa a través de un puente de Wheatstone. En la rama AB
del puente se conecta la resistencia eléctrica correspondiente a la cinta
extensométrica, en las tres ramas restantes se conectan resistencias eléctricas
iguales a la resistencia de la cinta, con el objeto de equilibrar el puente. La
conexión se denomina medio puente de Wheatstone cuando dos de las ramas del
puente son activas, ya sea dos cintas activas, o bien, una cinta activa y la otra
compensadora, debido al efecto de la temperatura en la resistencia eléctrica de la
cinta.
Módulo de Young
La determinación del módulo de elasticidad o módulo de Young se puede
determinar experimentalmente, sometiendo una viga en voladizo a una fuerza en
el extremo libre de dicha viga.
El valor del esfuerzo por flexión es igual a:
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Siendo M el momento flector y el módulo resistente a la flexión. El valor
máximo de M es igual a:
Siendo P la fuerza aplicada y L la distancia comprendida entre el centro de la
cinta y la línea de acción de la fuerza P aplicada.
El valor del módulo resistente a la flexión es igual a:
Donde corresponde al momento de inercia ecuatorial de la sección
transversal de la probeta y c corresponde a la distancia más alejada entre la fibra
del material y el eje neutro. El momento de inercia, en este caso, es igual a:
Siendo b el ancho de la sección transversal de la probeta y t corresponde al
espesor de dicha probeta. Por lo tanto, el esfuerzo por flexión en la fibra más
alejada de la probeta es:
En el estado uniaxial de esfuerzos se cumple que el esfuerzo está dado por la ley
de Hooke:
Dónde:
= Deformación unitaria
= Módulo de Young del material
La ecuación anterior se cumple también aproximadamente para los
esfuerzos producidos por flexión. Por lo tanto, reemplazando, se pueden deducir
las siguientes ecuaciones:
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Despejando el valor del módulo elástico, se obtiene finalmente:
En la determinación experimental del módulo de elasticidad se debe medir
la deformación correspondiente a cada una de las fuerzas P aplicadas.
Determinación de la razón de Poisson
La razón de Poisson se puede determinar experimentalmente midiendo las
deformaciones longitudinal y transversal de una probeta. La cinta longitudinal está
instalada en el anverso de la probeta y la cinta transversal está instalada en el
reverso de ella.
Si es la deformación longitudinal en la parte superior de la probeta,
solicitada, y es la deformación transversal en la parte inferior de dicha probeta,
la razón de Poisson , por definición, se determina a través del siguiente
cuociente:
Por lo tanto, para determinar la razón de Poisson se debe aplicar una serie
de fuerzas, que no excedan el esfuerzo de fluencia del material, y medir las
respectivas deformaciones unitarias.
La medición eléctrica de magnitudes mecánicas tiene una gran aplicación
en el campo industrial para determinar constantes elásticas y propiedades de los
materiales en general, sean estos metales, hormigones y polímeros en general.
También se puede aplicar este método para medir la resistencia mecánica y el
estado de esfuerzos de diferentes elementos estructurales, usados en la industria
y en la construcción.
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Las cintas extensométricas se aplican en la construcción de transductores
para medir diferentes magnitudes físicas, tales como: Velocidad de una correa
transportadora, flujo másico, fuerza, presión, desplazamiento, aceleración, fuerza
de inercia, entre otras.
b) Desarrollo de cálculos.
Para cada caso determinaremos el módulo de elasticidad y en el caso 2
también determinaremos el coeficiente de Poisson; en la experiencia el caso 1 y 2
se trabajaran con distintos pesos para determinar E y coef de Poisson, la
deformación se tomará lectura desde el medidor de deformaciones en que el
resultado estará presentado en micras, una vez que este ya haya sido calibrado,
antes de poder calcular el módulo de elasticidad necesitamos conocer las
dimensiones que las vigas empotradas tienen, ancho (b), alto (h) y largo (L).
Caso1
Datos de la barra L (cm) h (cm) b (cm)
26,1 0,31 2,575Caso2
Datos de la barra L (cm) h (cm) b (cm)26 0,635 2,54
Teniendo todos estos datos se pueden establecer las siguientes relaciones:
Momento de inercia: I=b×h3
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Conociendo el momento de inercia se establece que:
σ=P×L
h2
b×h3
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=6×P× L
b×h2
Como: σ=E×ε
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Por lo tanto el modulo elástico se puede determinar cómo:
E=6× L×Pb×h2×ε
Para determinar el coeficiente de Poisson debemos conocer las
deformaciones transversales y las longitudinales, este coeficiente está dado por:
ν=|εtεl|Para efecto del desarrollo de cálculos, se presentara el desarrollo para una
medición para el caso 1 y otra para el caso 2.
Caso1:
Módulo de elasticidad para el ensayo N°1:
E=6×26.1(cm)×0.1(kgf )
2.575 (cm )× (0.31cm )2×89×10−6
E=711052¿
E=69730Mpa
Caso2:
El cálculo del módulo de elasticidad es análogo al caso 1 por lo tanto calcularemos el coeficiente de Poisson.
ν=| 34×10−6
109×10−6|ν=0.3119
c) Tablas de valores obtenidos y calculados.
Caso1
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Datos de la barra L (cm) h (cm) b (cm)
26,1 0,31 2,575
Datos del ensayo Ensayo N° P (Kgf) ε (x10^-6)
1 0,1 89
2 0,2 181
3 0,3 271
4 0,4 362
5 0,5 453
6 0,6 542
7 0,7 634
Ensayos N°Módulo de elasticidad
Resultados (Kgf/cm2) (Mpa)
1 711052 69730
2 699266 68575
3 700556 68701
4 699266 68575
5 698494 68499
6 700556 68701
7 698715 68521
Módulo de Elasticidad promedio
68757 Mpa
Caso2
Datos de la barra L (cm) h (cm) b (cm)
26 0,635 2,54
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Datos del ensayo Ensayo N° P (Kgf) εL (x10^-6) εt (x10^-6)1 0,5 109 342 1 216 683 1,5 325 1014 2 429 134
5 2,5 538 168
Ensayo N°Módulo de Elasticidad Coef de
PoissonResultados (Kgf/cm2) (Mpa)1 698694 68518 0,3119
2 705163 69153 0,3148
3 702994 68940 0,31084 710094 69636 0,3124
5 707785 69410 0,3123
Coeficiente de Poisson Promedio
0,3124 Mpa
Módulo de Elasticidad promedio
69132 Mpa
Tabla de valor referencial de Aluminio 7075.
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d) Bibliografía empleada y temario del experimento.
- Apuntes catedra Resistencia de materiales I, año 2009.
- Guía de laboratorio experiencia C970 “Verificación de la ecuación de Navier
en Vigas Isostáticas”.
- http://www.delmetal.com.ar/productos/aluminio/7075.pdf
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