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P7
=
T~
r
3 8 0
C A P T U L O 8 Un modela mecanocu nt i co para la v ibrac in y la ro tac in de las
molcul ss
El cuarto postulado establece cmo se puede calcular el valor promedio de
un observable. Debido a que
t
d
2
E
po
t
encial(
X
)= V {
X
) Y
E
emtica^
2n dx
2
entonces
potencial
LY flfc^YY
Xe
-m)x
2
dx
=0 )
( i '
I i ^ i
1
1/2
-Jfc
2 1 jt ;
x+e-^dx = k
N
x^e-^dx
Se pueden cambiar los lmites como se indica en la ltima integral debido a
que la integrtal es una funcin par dex. Para obtener la solucin, se usa la
integral estndar siguiente:
1 3 5 (2n 1) f x
f
x
2n
e~
ax2
dx--
J0
Los valores calculados para el potencial medio y la energa cintica son
\'/
2
f r~\ o
' \7t ] 5
(E U i ^ l ^ )
^potencial]
2
{ 7C J
a 4 a
2
3k
3
k_
4 a 4 V \i
(
E
citica) =JVj *)
- m )
HLjH
2n dx
2
i/'
l
(x)dx
Xe
-m)ax
vl 2
n J [ 2i dx
2
2
d
2
V4 a
3
V
l/4
71 )
xe
-M)ax
2
dx
n
2
4 rfY r , , .
= - I I J (a
2
x
4
-3ax
2
)e~
ax2
dx
= j(a
2
x
4
-3ax
2
)e~
ax2
dx
2
2{ n )
n 3
a 4 a
2
3a
j _
a 2a
=
3 f t
2
a
=
3
f t
T
4 fi 4 \ fi
Ntese que de l mismo mod o que para el oscilador armnico clasico vasel a
seccin Revisin Opcional 18.6), los valores medios de las energas cintica y
potencial son iguales. Cuando la energa cintica toma su valor mxim o, la
energa potencial es cero y viceversa. Promediando a lo largo de un periodo de
oscilacin, el oscilador almacena tanta energa cintica como eneiga potencial
tenga. En general, encontramos que para el K-simo e stad o,
(E \=( E
4
' *
v cintica, n' *potencial,
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3 9 6 C A P T U L O 8 U n m o de la m e ca n oc u n ti co p ar a l avibracin y la rotacin de las
molcul ss
b. Com enzamo s expresando las energas cintica y potencial en trmino s dex(t):
_ 1
2
1 (dxf
= -J A W C O S
co t + a) )
2
= m
1
A
2
eo s
2
{cot +a )
1 1 fk
E
po,enci
a
i
= - f e x
2
= - f e A
2
s e n
2
)
+ A )
y a q u e
O
= / - y
k = naP-
= -nc
1
A
2
sen
2
co + a)
En la figura precedente, la energa se expresa en incrementos de 1/2)//y
2
A
2
y e legimos a rbitra r iamente a = n 6 . Ntese que las energas c intica y
potencial estn fuera de fase. Por qu ocurre esto?
c. La lnea de trazos negros de la figura precedente es la suma de las energas
cintica y potencial, que es una constante. Esto se puede comprobar
algebraicamente sumando las expresiones paraE
cintlca
y E
potencia
:
E
tolal
= fxaP-A
2
C O S
2
G
n
+ ) + na >
l
A
2
sen
2
(a)t + a)
= I / / O
2
A
2
Ntese que la suma de las energas cintica y potencial es independiente del
tiempo, como debe ser, ya que no se ha aadido energa al sistema, despus
del estiramiento inicial del muelle.
REVISIN OPCIONAL
18.7 M ovim iento angular y el
rotor rgido clsico
El oscilador armnico es un buen ejemplo de movimiento lineal. En este sistema los
vectores para la velocidad, momento y aceleracin son todos paralelos a la direccin
del movimiento. Sin embargo, no todo el movimiento es lineal lo que hace necesario
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