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Contenido Damping 1dgl (Viscoso) Libre Casos
Vibraciones MecanicasIntroduccion a la teorıa de las vibraciones mecanicas
Profesor
Dr. Ing. Martın Sanchez
Jefe de Trabajos Practicos
Ing. Gustavo Rosenthal
Universidad Tecnologica Nacional - Facultad Regional La Plata
Departamento de Ingenierıa Mecanica
24 de Abril 2013
Contenido Damping 1dgl (Viscoso) Libre Casos
1 Amortiguamiento viscosoDefinicionDesarrollo analıticoEjemplo de amortiguacion viscosa
2 Sistemas de un grado de libertad con amortiguamiento viscosoDefinicion: 1gdl (Recordatorio)Ecuacion de movimiento para el sistema con amortiguamiento
3 Respuesta libre de los sistemas de 1gdl (Viscoso)Solucion de la ecuacion diferencialAmortiguamiento crıtico
4 Distintos casosSistema sobre-amortiguado - (ζ > 1)Sistema crıticamente amortiguado - (ζ = 1)Sistema sub-amortiguado - (ζ < 1)
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Definicion del amortiguamiento viscoso
La amortiguacion viscosa es el mecanismo de amortiguacionmas comunmente utilizado en el analisis de vibracion.
Cuando los sistemas vibran en un medio fluido (aire, gas,agua, o aceite) la resistencia ofrecida por el fluido haceque la energıa se disipe.
La fuerza de amortiguacion es proporcional a la velocidaddel cuerpo vibrante.
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Definicion del amortiguamiento viscoso
La amortiguacion viscosa es el mecanismo de amortiguacionmas comunmente utilizado en el analisis de vibracion.
Cuando los sistemas vibran en un medio fluido (aire, gas,agua, o aceite) la resistencia ofrecida por el fluido haceque la energıa se disipe.
La fuerza de amortiguacion es proporcional a la velocidaddel cuerpo vibrante.
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Definicion del amortiguamiento viscoso
La amortiguacion viscosa es el mecanismo de amortiguacionmas comunmente utilizado en el analisis de vibracion.
Cuando los sistemas vibran en un medio fluido (aire, gas,agua, o aceite) la resistencia ofrecida por el fluido haceque la energıa se disipe.
La fuerza de amortiguacion es proporcional a la velocidaddel cuerpo vibrante.
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Definicion del amortiguamiento viscoso
La amortiguacion viscosa es el mecanismo de amortiguacionmas comunmente utilizado en el analisis de vibracion.
Cuando los sistemas vibran en un medio fluido (aire, gas,agua, o aceite) la resistencia ofrecida por el fluido haceque la energıa se disipe.
La fuerza de amortiguacion es proporcional a la velocidaddel cuerpo vibrante.
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Desarrollo analıtico
Amortiguamiento viscoso en placas paralelas
Una placa fija y la otra movil con velocidad v
Las velocidades del fluido intermedias varıan linealmente(entre 0 y v)
De acuerdo a la segunda ley de Newton de viscosidad:
τ = µdu
dy
donde du/dy = v/h es el gradiente de velocidades. La fuerza decorte F sera:
F = τA =µAv
h= cv
donde la constante de amortiguamiento viscoso sera:
c =µA
h
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Amortiguamiento en cojinetes
La velocidad tangencial del fluido en contacto es v = Rω
Asumiendo variacion lineal =⇒ v(r) = rRω/d
La tension de corte es τ = µRω/d
La fuerza torsional en el eje sera:
T = (τA)R =2πµR3lω
d
con A = 2πRl
Ası la constante deamortiguamiento sera:
ct =T
ω=
2πµR3l
d
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Recordar: Sistemas de un grado de libertad (SDoF)
¿Que son las vibraciones?Todo movimiento que se
repite despues de un intervalo
de tiempo.
¿Que son los GdL?Mınimo de coordenadas
independientes para
determinar las posiciones de
todas las partes.
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Recordar: Sistemas de un grado de libertad (SDoF)
¿Que son las vibraciones?Todo movimiento que se
repite despues de un intervalo
de tiempo.
¿Que son los GdL?Mınimo de coordenadas
independientes para
determinar las posiciones de
todas las partes.
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Ecuacion de movimiento: Newton
La ecuacion diferencial ordinaria de 2◦ orden sera:
mx(t) + cx(t) + kx(t) = f (t)
con condiciones iniciales:
x(t=0) = X0
x(t=0) = V0
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Respuesta libre con amortiguamiento (i)
La respuesta libre se basa en:
mx(t) + cx(t) + kx(t) = 0 (1)
cuya solucion es de la forma:
x(t) = Cest (2)
Introduciendo 2 en 1 ⇒ Ecuacion Caracterıstica
ms2 + cs + k = 0
con:
s1,2 =−c ±
√c2 − 4mk
2m= − c
2m±√( c
2m
)2− k
m
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Respuesta libre con amortiguamiento (ii)
La solucion sera:x(t) = C1e
s1t + C2es2t
Amortiguamiento crıtico
Se define como cc al valor de c para:( cc2m
)2− k
m= 0
por lo tanto
cc = 2m
√k
m
Factor de amortiguamiento =⇒ ζ = c/cc
La solucion sera:
x(t) = C1e
(−ζ+√ζ2−1
)ω0 + C2e
(−ζ−√ζ2−1
)ω0
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Sistema sobre-amortiguado - (ζ > 1)
Con ζ > 1 se obtiene que√ζ2 − 1 > 0
Las raıces s1 y s2 son reales y distintas:
s1 =(−ζ +
√ζ2 − 1
)ω0 < 0
s2 =(−ζ −
√ζ2 − 1
)ω0 < 0
con s2 << s1.
La solucion sera:
x(t) = C1e
(−ζ+√
1−ζ2)ω0t + C2e
(−ζ−√
1−ζ2)ω0t
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Sistema crıticamente amortiguado - (ζ = 1)
Con ζ = 1 ambas raıces s1 y s2 son iguales y reales.
s1 = s2 = − cc2m
= −ω0
La solucion sera:
x(t) = (C1 + C2t) e−ω0t
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Sistema sub-amortiguado - (ζ < 1)
Para ζ < 1 la condicion ζ2 − 1 es negativa y las raıces seran:
s1 =(−ζ + i
√1− ζ2
)ω0
s2 =(−ζ − i
√1− ζ2
)ω0
La solucion sera:
x(t) = C1e
(−ζ+i√
1−ζ2)ω0t + C2e
(−ζ−i√
1−ζ2)ω0t
x(t) = e−ζω0t
{C1e
(i√
1−ζ2)ω0t + C2e
(−i√
1−ζ2)ω0t}
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Sistema sub-amortiguado - (ζ < 1)
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