Post on 09-Aug-2020
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Tem
a 4: T
rans. G
eom
étricas
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Indice
Transformaciones Geométricas: Definición
Transformaciones Básicas: • Traslación
• Rotación
• Escalado
Transformaciones en Coordenadas Homogéneas
Componer Transformaciones
Otras Transformaciones
Transformaciones Afines
Tem
a 4: T
rans. G
eom
étricas
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Definición
Transformación geométrica: mecanismo para alterar las descripciones de las coordenadas de un objeto 3D.
Las transformaciones implican cambios en:• Posición
• Orientación
• Tamaño y Forma
Transformaciones básicas• Traslación
• Rotación
• Escalado
Tem
a 4: T
rans. G
eom
étricas
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Traslación
Cambia la posición de un objeto
Viene dada por un vector de traslación T=(tx,ty,tz)
Un punto trasladado se calcula como:
x’ = x + tx
y’ = y + ty
z’ = z + tz
En forma matricial:
X
Y
Z
P=(x,y,z)
P’=(x’,y’,z’)
T
PTP
z
y
x
t
t
t
z
y
x'
z
x
x
,
'
'
'
Tem
a 4: T
rans. G
eom
étricas
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Rotación
Cambia la orientación de un objeto
Viene dada por un eje de rotación y un ángulo
P.ej., para rotar un punto alrededor del eje X:
x’ = x
y’ = y·cos - z·sen
z’ = y·sen + z·cos
En forma matricial:
X
Y
Z
P=(x,y,z)
P’=(x’,y’,z’)
PRP
z
y
x
sen
sen
z
y
x
' ,·
cos0
cos0
001
'
'
'
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Rotación
El ángulo es positivo en sentido antihorario
visto desde la parte positiva del eje. Sentido
dextrógiro (mano derecha)
X
Y
Z
> 0 < 0
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Escalado
Cambia el tamaño de un objeto
Viene dada por un vector de escalado S=(sx,sy,sz)
Un punto escalado se calcula como:
x’ = x · sx
y’ = y · sy
z’ = z · sz
En forma matricial:
X
Y
Z
S=(sx,sy,sz)
PSP
z
y
x
s
s
s
z
y
x
z
y
x
' ,·
00
00
00
'
'
'
Tem
a 4: T
rans. G
eom
étricas
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Escalado
Si sx = sy = sz, se mantienen las
dimensiones relativas del objeto, el objeto
es proporcional al original
El escalado se realiza con respecto al
origen. Para definir otro punto fijo es
necesario primero trasladar la figura para
que el punto fijo se encuentre en el
origen.
Tem
a 4: T
rans. G
eom
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Coordenadas Homogéneas.
Definición
Las matrices de rotación y escalado se
multiplican, mientras que la de traslación se
suma no se pueden componer
Para transformar la traslación en un producto de
matrices coordenadas homogéneas
Se añade una cuarta componente: (x,y,z)
(x,y,z,w), por sencillez y ser el elemento neutro
del producto se elige w=1
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Coordenadas Homogéneas.
Traslación
La traslación, en forma matricial con coordenadas
homogéneas queda:
La traslación inversa se realiza con la matriz:
1
·
1000
100
010
001
1
'
'
'
z
y
x
t
t
t
z
y
x
z
y
x
1
·
1000
100
010
001
1
'
'
'
z
y
x
t
t
t
z
y
x
z
y
x
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Coordenadas Homogéneas.
Rotación
Rotación alrededor del eje Z
Su matriz inversa coincide con su traspuesta
1
·
1000
0100
00cossen
00sencos
1
'
'
'
z
y
x
z
y
x
1
·
1000
0100
00cossen
00sencos
1
'
'
'
z
y
x
z
y
x
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a 4: T
rans. G
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Coordenadas Homogéneas.
Rotación
Rotación alrededor del eje X
Su matriz inversa coincide con su traspuesta
1
·
1000
0cossen0
0sencos0
0001
1
'
'
'
z
y
x
z
y
x
1
·
1000
0cossen0
0sencos0
0001
1
'
'
'
z
y
x
z
y
x
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Coordenadas Homogéneas.
Rotación
Rotación alrededor del eje Y
Su matriz inversa coincide con su traspuesta
1
·
1000
0cos0sen
0010
0sen0cos
1
'
'
'
z
y
x
z
y
x
1
·
1000
0cos0sen
0010
0sen0cos
1
'
'
'
z
y
x
z
y
x
Tem
a 4: T
rans. G
eom
étricas
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Coordenadas Homogéneas.
Escalado
El escalado en coordenadas homogéneas es:
La inversa de esta matriz es:
1
·
1000
000
000
000
1
'
'
'
z
y
x
s
s
s
z
y
x
z
y
x
1
·
1000
0100
0010
0001
1
'
'
'
z
y
x
s
s
s
z
y
x
z
y
x
Tem
a 4: T
rans. G
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Componer Transformaciones
En coordenadas homogéneas, la composición de transformaciones se realiza mediante el producto matricial
Aplicar varias transformaciones es equivalente a componer sus matrices y aplicarla una sola vez:P’ = Tn·...(T3·(T2·(T1·P))) = (Tn·…·T3·T2·T1)·P
La composición de transformaciones es:• Asociativa
• No conmutativa en general
Tem
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eom
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Componer Transformaciones.
Rotación con respecto al centro de
masas
Eje de rotación paralelo a un eje de
coordenadas:
1. Trasladar el objeto desde CM al
origen de coordenadas T(-CM)
2. Realizar rotación alrededor del
eje elegido R()
3. Deshacer traslación T(CM)
M = T(CM)·Reje() ·T(-CM)
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rans. G
eom
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Otras Transformaciones.
Reflexiones
Produce una imagen de espejo
Reflexión con respecto a un eje:
• Con respecto al eje Y
• Con respecto a un punto general: trasladar el punto al
origen
1000
0100
0010
0001
yEspejo
Y
ZX
Tem
a 4: T
rans. G
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étricas
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Otras Transformaciones.
Reflexión
Reflexión con respecto a un plano:
• Con respecto al plano XY
• Con respecto al plano XZ
• Con respecto al plano YZ
1000
0100
0010
0001
XYRflx
Y
Z
X
1000
0100
0010
0001
XZRflx
1000
0100
0010
0001
YZRflx
Tem
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rans. G
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Otras Transformaciones.
Desencajado (Shear)
Distorsiona la forma del objeto como si estuviera
desencajado
Los puntos situados sobre uno de los ejes se quedan fijos.
Los demás se desplazan
Desencajado dejando fijo el eje X (dy, dz son los
desplazamientos en Y y Z)
1000
010
001
0001
z
y
Xd
dD
X
Y
Z X
Y
Z
Tem
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rans. G
eom
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Otras Transformaciones.
Desencajado
Desencajado dejando fijo el eje Y
Desencajado dejando fijo el eje Z
1000
0100
010
001
y
x
Z
d
d
D
1000
010
0010
001
z
x
Yd
d
DXX
Y
Z
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
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étricas
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Transformaciones Afines.
Definición y Características
Son transformaciones afines:• Traslación
• Rotación
• Reflexión
• Escalado
• Desencajado
Características de las transformaciones afines:• Conservan las líneas paralelas
• Conservan los puntos finitos
• Toda transformación afín es una combinación de las anteriores
De cuerpo rígido: conservan
longitudes y ángulos
De cuerpo no rígido: no conservan
longitudes y ángulos
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Recortado
Cohen-Sutherland
Área de recortado rectangular
xmin xmax
ymin
ymax
Criterios:Rechazar si C(P0) AND C(P1) ≠ 0000
Aceptar si C(P0) OR C(P1) = 0000
Código de Punto
x3x2x1x0 / xi = 0 si pertenece región i
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eom
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Recortado
Cyrus-Beck
Área de recortado convexa
Ecuación paramétrica de la recta• P(t)=P0+(P1-P0)t
P0
FiNi
P1
Ni[Pi (t)-PFi]<0
Ni[Pi (t)-PFi]=0Ni[Pi (t)-PFi
]>0
P(t)
PFi
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Recortado Polígonos
Sutherland-Hodgeman
Área de recortado convexa
Polígono convexo o concavo. Divide y vencerás
b
a
cd
FiNi
Pi
Pi+1
Pi
Pi+1
Pi
Pi+1
Pi
Pi+1
Ij
Ij
Caso a: se añade Ij y Pi+1
Caso b: se añade Ij
Caso c: NO se añade nadaCaso d: se añade Pi+1
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Recortado Polígonos
Weiler-Atherton
Área de recortado convexa o cóncava con y sin agujeros
Polígono cóncavo o convexo, con o sin agujeros
El exterior se da en orden horario
Los agujeros en sentido antihorario
Estrategia: en cada cruce se elige la dirección de más a la derecha