Post on 24-Jan-2021
BAB 1
INTEGRAL TAK TENTU
1.1 Definisi Integral
Jika f (x) adalahsebuahfungsi, dimanaturunandari f(x): f’(x)=f(x)
f’(x)=f(x)
d f (x )dx
=f (x )
Maka f(x) disebut anti turunanatau integral tidaktentudari f(x) ditulis∫ f ( x )dx.
1.2 Rumus-rumusdasar integral
1. ∫ d ( f (x ))dx dx=f ( x )+c
2. ∫ xr dx= 1r+1
xr+1+c
3. ∫(u+v)dx=∫udx+∫v dx
4. ∫ xu du= 1m+1
um+1+c , m ≠ -1
5. ∫ au dx=a∫u dx , a = konstanta
6. ∫ 1u
du = |n|u|+c
7. ∫ au du= au
¿na+c , a > 0 dan a ≠ 1
8. ∫ eu du=eu+c
9. ∫ du√a2+u2
=arc sin ua+c
10. ∫ duu√u2+a2
=1a
arc sec ua+c
11. ∫ dua2+u2=
1a
arc tan ua+c
12. ∫ dua2+u2=
12a
¿ [ a+ua−u ¿]+c
13. ∫ duu2+a2=
12a
¿ [ u−au+a ¿]+c
14. ∫ du√u2+a2
=¿ (u+√u2+a2 )+c
15. ∫ du√u2+a2
=¿ (u+√u2+a2 )+c
16. ∫√a2−u2 du=12
u√a2−u2+ 12
a2 arc sin ua+c
17. ∫√u2+a2du=12
u√u2+a2+12
a2∈(u+√u2+a2 )+c
18. ∫ √u2−a2 du=12
u√u2−a2−12
a2∈¿u+√u2−a2∨+c
Contoh soal :
1. ∫ ( 3 x7−4 x5+5 x3−6 x ) dx=¿ 38
x8−23
x6+ 54
x2+c ¿
2. ∫ ( x2+5 ) dx=¿∫ x2 dx+¿∫5 dx=¿ 13
x3+c ,+5 x+c=13
x3
+5 x+c¿¿¿
3. ∫ 1x3 dx = ∫ x−3= 1
−2x−2+c
4. ∫¿¿
5. ∫2 x (x2¿−1
x)dx=∫(2 x3¿−2)dx=1
2x4−2 x+c¿¿
6. ∫ x3−5 x2+6x2 dx=¿∫(x−5+6 x−2¿)dx=1
2x4−2 x+c¿¿
7. ∫ dx√1−x2
=¿arc sin x+c¿
8. ∫ dx1+x2=¿arc tan x+c¿
9. ∫ dxx √x2−1
=¿¿arc sec x + c
10. ∫ dx4 x2+9
=¿ 16
arc tan 2 x3
+c¿
11. ∫ dxx2−1
=¿ 12
¿[ x−1x+1 ¿]+c¿
12. ∫ dx1−x2 =¿ 1
2¿[ 1+x
1−x ¿]+c¿
13. ∫ dx√4 x2+9
=¿ 12∈(2 x+√4 x2+9 )+c¿
14. ∫ dx√ x2−1
=¿∈[ x+√x2−1¿]+c¿
15. ∫√25−x2 dx=12
x √25−x2+ 252
arc sin x5+c
16. ∫√x2−36 dx=12
x √x2−36−18∈[ x+√x2−36¿]+c
BAB 2
INTEGRAL TRIGONOMETRI
2.1 Rumus – rumusdasar
1. ∫sin u du=−cosu+c
2. ∫sin u du=sin u+c
3. ∫ tan udu=¿[sec u¿]+c
4. ∫cot u du=¿[sin u¿ ]+c
5. ∫ sec u du=¿[sec u+tan u¿ ]+c
6. ∫ cosecu du=¿[cosec u+cotu¿]+c
7. ∫ sec2udu=tanu+c
8. ∫ cosec2u du=−cot u+c
9. ∫ cosecu tanu du=secu+c
10. ∫ cosecu cot u du=−cosec u+c
2.2 HubunganDalamTrigometri
1. sin2 x+cos2 x=1
2. 1+ tan2 x=sec2 x
3. 1+cot2 x=cosec2 x
4. sin2 x=12(1−cos2 x)
5. cos2 x=12(1+cos2 x)
6. sin xcos x=12
sin2 x
7. sin xcos y=12(sin ( x− y )+sin (x+ y ))
8. sin x sin y=12(cos ( x− y )+cos ( x+ y ))
9. cos x cos y=12¿
10. 1−cos x=2sin2 12
x
11. 1+cos x=2 cos2 12
x
12. 1 ±sin x=1± cos(¿ 12
x−x )¿
13. tan x= sin xcos x
14. cot x= cos xsin x
15. sec x= 1cos x
16. cosec x= 1sin x
Contoh soal :
1. ∫sin 12
x dx¿2∫ sin 12
x−12
dx¿−2 cos 12
x+c
2. ∫cos 3 x dx ¿ 13∫ cos3 x−3.dx ¿ 1
3sin 3 x+c
3. ∫ tan 2 x dx¿ 12∫ tan2 x .2¿ 1
2¿[sec 2 x¿ ]+c
4. ∫ (sin x+cos x ) dx¿∫sin x dx+cos xdx ¿−cos x+sin x+c
5. ∫ (2cos x+3 sin x )dx ¿∫ 2cos xdx−∫3 sin x dx¿2 sin x+3 cos x+c
6. ∫ ( 2 sec2 x−2 tan x . sec x ) dx ¿∫ 2 sec2 x dx−∫5 tan sec x dx ❑
¿2sin x+3 cos x+c
= 2 tan x – 5 sec x + c
7. ∫cos (2x−π ) dx ¿ 12
sin (2 x−π )+c
8. ∫2 sec25 xdx ¿2∫ sec25 x dx¿2¿¿¿
9. ∫ cosec2(2 x+ 14
π)dx ¿−12
cot (2 x+ 14
π )+c
10. ∫5 tan (3 x ) . sec(3 x)¿5∫ tan (3 x ) . sec(3x )¿5¿¿¿
= 53
sec3 x+c
11. ∫cot 5 (x−12
π ) . cosec(x−12
π )dx=cosec(x−12
π )+c
12. ∫¿¿
= sin2 x+cos2 x−2sin x cox x
= 1 –sin 2x
∫( 1 –sin 2 x) dx = x – (-12
cos2 x¿+c¿
= x + 12
cos2 x+c
13. ∫cos23 x dx= ∫ ¿¿ cos 2 x =2 cos2 x−1
= ∫ 12
dx+ ∫ 12
cos6 x dx cos 2 x = 12(1+cos 2 x )
= 12
x+ 12
. 16
sin 6 x+c cos 2 3x = 12(1+cos 6 x)
= 12
x+ 112
sin 6 x+c = 12+ 1
2cos6 x
14. ∫sin 2 xcos 2 x dx= ∫ 12
sin 4 xdx sin 2x = 2 sinxcosx
= 12¿
= −18
cos 4 x+c
15. ∫sin 5 x cos2x dx= ∫ 12¿¿
Ingat : sinx cosx= 12
sin ( x+ y )+sin (x− y ) Maka
= 12
∫ sin 7 x dx+ ∫ sin3 x dx
= 12¿
= -1
14cos7 x−1
6cos3 x+c
16. ∫2 cos10 x . cos 4 x dx=∫ ¿¿¿¿¿
Ingat cosx cosy=12
cos ( x+ y ) cos ( x− y )Maka
= 1
14sin x+ 1
6sin 6 x+c
17. ∫sin3 x .cos2 x dx
Misalkan : U = cos x du = - sin x dx
∫sin 3 x .cos2 x dx=¿∫sin2 x . cos2 x sin x dx¿ sin2 x+cos2 x=1
sin2 x=1−cos2 x
= ∫ (1−cos2 x ) cos2 x sinx dx
= - ∫ (1−u2 ) u2 du=−∫ (u2−u4 ) du
= ∫ (u2−u4 ) du
= 15
u5−13
u3+c=15
cos5 x−13
cos3 x+c
18. ∫sin4 x . cos7 x dx
U = sin x du = cos x dx
= ∫sin 4 x .cos7 x dx
= ∫sin 4 x .cos6 x cos xdx
= ∫u4 ¿¿
= ∫u4(1−3 u2+3u4−u6)du
= ∫(u5−3 u6+3 u8−u10)du
= 16
u6−37
u7+ 39
u9− 111
u11 x+c
19. ∫sin5 x dx
U = cosx du = - sin x dx
= ∫sin5 x sin x dx
= ∫¿¿¿
= - ∫¿¿¿= ∫(1−2 u¿¿2+u4)du¿
= - (u-23
u3+ 15
u5 ¿+c
=- 15
cos5 x+ 23
cos3 x−cos x+c
20. ∫ tan2 x sec 4 x dx
U = tan x du = sec2 x dx
= ∫ tan2 x (1+ tan2 x )sec4 x dx
= ∫u2(1+u2)du
= ∫(u¿¿ 4+u2)du¿
= 15
u5+ 13
u3+c
= 15
tan5+ 13
tan3 x+c
21. ∫ tan3 xsec x dx
U = sex x du = sec x tan x dx
= ∫ tan2 x sec x tan x dx
= ∫(sec¿¿2 x−1)sec x tan x dx¿
= 13
u3−u+c
= 13
sec3 x−sec x+c
22. ∫sin 7 x cos3 xdx = ∫ 12¿¿
= 12¿
= 12¿
= 140
¿
23. ∫sin 7 x sin 3x dx = ∫ 12¿¿
= 12¿
= 12¿
= 140
¿
24. ∫cos 7 xcos 3 x dx = ∫ 12¿¿
= 12¿
= 12¿
= 140
¿
Latihan Soal-soal
25. ∫sin 2 x dx
26. ∫cos2(3 x)dx
27. ∫sin 2 x cos3 xdx
28. ∫sin3 x sin2 x dx
29. ∫sin 2 xcos 5x dx
30. ∫cos 4 x cos2 xdx
31. ∫ tan2 x dx
32. ∫sin 2 xcos 3 x dx
BAB III
TEKNIK PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSTITUSI
Contoh Soal
1. ∫ X2
4 √X3+2dx
Misalkan : u = x3+2 du = 3 dx dx = 1
3 x2 du
= ∫ X2
4 √ X3+2dx = ∫ X2
4 √u. 13 X2 du
= 13∫u
14 du
= 13∫
14√4
du
= 13
. 43
u34 = 4
9u
34 +c =
49
¿¿
2. ∫ X2
1−2 x3 dx
Misalkan : u = 1- 2 x3 du = −6 x2 du dx =- 1
6 x2 du
= ∫ X2
1−2 x3 dx = ∫ X2
u. (¿− 1
6 x2 )du¿
= −16 ∫ 1
udu
= −16
∨n∨u∨¿+c
= −16
|n|1−2x3∨+c
3. ∫¿¿¿
Misalkan : U = x3+2 dx = 1
3x2 du du = 3 x2dx
.∫¿¿¿ = ∫u23 x2. 13 x2 du
= ∫u2du−13
u3+c
= 13¿
4. ∫3 x3 √1+2 x2dx
Misalkan U = 1 - 2 x2 du = -4x dx dx = - 1
4 xdu
.∫3 x3 √1+2 x2dx = ∫3 x √u.−14 x
du
= −34 ∫√u .du
= −34
. 23
u32 +c
= −612
¿
5. ∫ sec √x dx√ x
Misalkan : U = √ x du = 1
2√ xdx = 2√x du
.∫ sec √x dx√ x
= ∫ sec u√x
.2√ xdu
= 2|n|sec u + tan u|+c
= 2 ∫ sec u du
= 2 |n|sec√ x+ tan √ x∨+c
6. ∫ xcos2( x¿¿2)dx
¿
Misalkan : U = x2 du = 2x dx dx = 1
2 xdu
.∫ xcos2( x¿¿2)dx
¿ = ∫ xcos2 . u
. 12x
du
= ∫ xcos2 . u
. du
= 12∫ sec2 u du
= 12
tan x2+c
= 12
tan u+c
7. ∫ 6 e1x
x2 dx
Misalkan : U = 1x du =
−1x2 dx dx = −x2 du
.∫ 6 e1x
x2 dx = −∫ 6 eu
x2 x2 du
= −6 eu+c
= −∫eu du
= −6 e1x +c
8. ∫ x3 √x4+11 dx
Misalkan : U = x4+11 du = 4 x3 dx dx = 1
4 x3 du
.∫ x3 √x4+11 dx = ∫ x3 .√u . 14 x3 dx
= 14
. 23
u32+c
= 16
u32 +c
= 16¿
SUBSTITUSI DENGAN RUMUS BAKU FUNGSI ALJABAR
1. ∫ du√au−u2
=sin−1(¿ ua)+c¿
2. ∫ duu√u2−a2
=1a
sec−1(|u|a )+c=1a
cos−1( a|u|)+c
3. ∫ dua2+u2=
1a
tan−1
( ua )+c
Contoh :
1. ∫ 3√5−9 x2
dx=¿∫ du√au−u2
=sin−1(¿ ua)+c¿¿
Misalkan : u = 3x du = 3 dx dx = 13
du
= ∫ 3√5−u2
. 13
du=¿∫ 1√5−u2
du=¿ sin−1( u√5 )+c=sin−1( 3 x
√5 )+c ¿¿
2. ∫ ex
4+9 e2 x dx=¿∫ dua2−u2 =
1a
tan−1
( ua )+c¿
Misalkan : u = 3 ex du =3ex dx dx = 1
3 ex du
= ∫ ex
4+u2 . 13 ex du=¿ 1
3∫1
4+u2 du=¿ 13
. 12
tan−1(u2 )+c¿¿
= 16
tan−1( 3 ex
2 )+c
BAB IV
INTEGRAL FUNGSI EKSPONEN
ex=fungsi pangkat / fungsi eksponen pangakat fungsi
¿¿
bentuk=∫eu du=¿eu+c ¿
∫ au du=¿ au
|n|a∨¿+c¿¿
Contoh soal :
1. ∫ e2 x
Misalkan : u = 2x du = 2 dx dx = 12
du
= ∫ eu . 12
du=12∫eu . du=1
2eu=1
2e2x+c
2. ∫ x e−x2
dx
Misalkan : u = −x2 du = - 2x dx dx = 12
du
= ∫ x eu 12
x du=¿−12∫ eu+c=1
2. e−x2
+c¿
3. ∫ x ex2
dx
Misalkan : u = x2 du = 2x dx 2x dx=du dx=1
2 xdu
= ∫ x ex2
dx=x . eu . 12x
du=12
eu du=12
ex2
+c
4. ∫ ex
1+ex dx
Misalkan : u = 1+ex du = ex dx ex dx=du dx=duex
=∫ ex
u. du
ex =∫ duu
=|n|u|+c=|n|1+ex|+c
5. ∫ esin y cos y dy
Misalkan : u = sin y du = cos y dy dy=du
cos y
= ∫ eu . cos y . ducos y
=eu .du=esin y+c
6. ∫10cot 3x cosec23 x dx
Misalkan : u = cot 3x du = −13
cosec2 3 xdx
−13
cosec2 3 xdx=du dx = du
−13
cosec23 x
= ∫10cot 3x cosec23 x dx=∫ 10u cosec23 x du−13
cosec2 3 x
= ∫10u du−13
=−3.10cosec2
+c
7. ∫ e−x dx
Misalkan : u = -x du =-dx dx =-du
=∫ eu du=−e−x+c=−eu+c
8. ∫ e3 x dx
Misalkan : u=3x du = 3 dx dx = 13
du
= eu . 13
du=13
e3 x+c
9. ∫ a2 x
Misalkan : u = 2x du = 2 dx dx = du2
= ∫ au . du2
=12
a2 x+c
10. ∫ e3cos 2x−sin2 x dx
Misalkan : u = 3 cos2 x du = -3.2 sin 2x = -6 sin2x dx
dx = du
−6sin 2x
=eu .sin 2 x . du−6 sin 2 x
=eu . du−6
=eu .−16+c=−1
6e3cos 2x+c
11. ∫ e4 x dx
Misalkan : u = 4x du = 4 dx
4 dx =du
dx = du4
= ∫ eu . du4
= 14
eu+c=14
e4 x+c
12. ∫ e−x2+2 xdx
Misalkan : u = −x2+2 du = -2x dx
-2x dx = du
dx = du
−2x
= ∫ eu . x du−2 x
=−12
eu+c=−12
e− x2+2+c
13. ∫ e tan 2 x sec22 xdx
Misalkan : u = tan2 x du = 2sec22xdx
2sec22xdx=du
dx = du
2 sec22 x
= ∫ eu . sec2 2 xdx dusec22 x
=12
e4+c=12
etan 2 x +2+c
14. ∫ e2sin3 x cos 3 xdx
Misalkan : u =2sin 3x du = 2.3cos3xdx
6cos3xdx=du
dx = du
6 cos3 x
= ∫ eu . cos3 x du6cos3 x
=∫ eu . du6
=16
e2sin 3 x+c
Bila Integral, adalahRasionalkecualibentukakar :
1. n√au+b, substitusi au+b=zn
akanmenggantikanbentukitudengan integral rasional.
2. √q+ pu+u2, substitusi q+ pu+u2=( z−u )2
akanmenggantikannyadengan integral rasional.
3. √q+ pu−u2=√ (α+u ) (β−u )
substitusiq+ pu−u2= (α+u )2 z2
atauq+ pu−u2= ( β−u )2 z2
akanmenggantikannyadengan integral rasional.
Contoh :
1. Carilah∫ dxx √1−x
Substitusi1−x=z2
Makax=1−z2 sehingga dx = -2 z dx
∫ dxx √1−x
=∫ −2 zdx(1−z2 ) z
=−2∫ dz1−z2 =−2 1
2|n|1+z
1−z+c=−|n| 1+ z
1−z+c
2. Tentukan∫ dx(x−2)√ x+2
Jawab :
Substitusix+2=z2 maka x=z2−z sehingga dx = -2 z dx
Jadi
∫ dx(x−2)√ x+2
=∫ 2 z dz(z¿¿2−2−2)z
=∫ 2 z dz(z¿¿2−4)z
=2∫ dzz2−4
=2. 12.2
|n| z−2z+2
=12|n|√ x+2−2
√ x+2+2∨+c ¿¿
v
BAB 5
SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
Integral yang mengandung√a2−b2 x2 ,√a2+b2 x2 ,√b2 x2−a2
Dapatdirubahkedalambentuklain yang
menyangkutfungsitrigometripeubahbarusebagaiberikut:
Untuk Dapat Untukmendapatkan
- √a2−b2 x2 x= ab
sin z a√1−sin2 z=acos z
- √a2+b2 x2 x=ab
tan z a√1+tan 2 z=a sec z
- √b2 x2−a2 x=ab
sec z a√sec 2 z−1=a tan z
Example
1. ∫ dxx2√4+x2 mengacua2+b2 berarti
a2=4a=2
x=ab
tan z
x=21
tan z
x=2 tan z
2 tan z=x
tan z= x2
√4+x = 2 sec zMengacu pada
a√1+tan 2 z = a sec z= 2 sec z
x=2 tan z d x=2 sec2 zdz
v
2. ∫ dxX √9+4 x2 a = 3 mengacu a2+b2
∫ dxx2√4+x2 = ∫ 2 sec 2 z dz
(2 tan z )2 (2 sec z )
=∫ 2 sec2 zdz( 4 tan2 z ) (2 sec z )
= ∫ 2 sec z sec z4 tan2 z2 sec z
dz
= 14∫
sec ztan2 z
dz
= 14∫
1cos zsin 2 zcos2 z
dz
= 14∫1
cos z× cos2 z
sin2 zdz
= 14∫
cos zsin2 z
dz
∫ dxx2√4+x2 = 14∫ sin−2 zcos z dz
u=sin zdu=cos z dzcos z dz=du
dz= ducos z
∫ dxx2√4+x2 =
14∫ u−2 cos z du
cos z
= 14−u−1+c
= −14
u−1+c
= −14
sin−1 z+c
a2=9b2=4b=2 x=d
btan z
x= 32
tan z
2 x=3 tan z3 tan z=2 x
tan z=2 x3
x=32
tan z
dx=32
sec2 z dz
v
3. ∫ √9+4 x2
xdx mengacu ke a2−b2
Mengacu pada rumus
a=√1+ tan2 z=a sec z√9+4 x2=3 sec z
∫ dxx √9+4 x2 = ∫
32
sec2 z dz
32
tan z .3 sec z
=∫ sec z . sec z3 tan z .3 sec z
dz
= ∫ 13
. sec ztan z
dz
= 13∫cosec z dz
= 13∫
1cos zsin 2 zcos2 z
dz
= 14 |n|cosec z−cot z∨¿+c ¿
Ket :Sin = cosecTan = cotCos = sec
a2=9 a= 3b2=4 b=2
x= ab
sin z
x=32
sin z
2 x=3 sin z3 sin z=2 x
sin z=2x3
dx=32
cos zdz
Mengacupadarumusa=√1+sin2 z=a cos z
√9−4 x2=3cos z
v
∫ √9−x2
xdx=∫
3 cos z . 32
cos zdz
32
sin z=∫ 3 cos2 z
sin zdz=3∫ (1−sin2 z )
sin z
¿3∫ 1sin z
−3∫ 1−sin2 zsin z
dz=3∫cosec dz−¿3∫sin z dz¿
¿3|n|cosec z−cot z∨+c ingat rumus
= 3|n|cosec z−cot z∨+¿cos z+c¿
= = 3|n|3−√9−4 x2
x∨+√9−4 x2+c
4. ∫ x2
√ x2−4dx a2=4 a= 2
b=1
x=21
sec z
x=2 sec z2 sec z=x
sec z= x2
sec z= 1cos
Mengacu√b2 x2−a2
x=ab
sec z
dx=2 sec x tan x dz
√ x2−4=2 tan zMengacu
a√sec 2 z=a tan z
v
- ∫ x2
√ x2−4dx=∫¿¿¿
= ∫ 4 sec2 z . sec z dz
= ∫ 4 sec3 z dz
= sec z tan z+2|n|sec z+tan z∨+c
= 12
x√ x2−4+2|n|x+√x2−4∨+c
5. ∫ dx√9+4 x2
- ∫ dx√9+4 x2
=∫32
sec2 z
3 sec zdz=∫
32
sec 2 z
3dz=∫ 1
2sec z dz=¿ 1
2∫ sec z dz¿
= 12|n|sec z+ tan z∨+c
= 12|n|√9+4 x2
3+2 x
3∨+c
= 12|n|√9+4 x2+2 x
3∨+c
a2=9a= 3b2=1b=2
x=db
tan z
x=32
tan z
dx=32
sec2 z dz
√9+4 x2=a sec z= 3 sec z
2 x=3 tan z3 tan z=2 x
tan z=2 x3
v
v
6. ∫ xdx√ x2+16
=∫ xdx√16+x2
- ∫ xdx√ x2+16
=∫ 4 tan z .4 sec2 zdz4 sec z
=∫ tan z .4 sec z dz
= ∫ 4 tan z sec z dz=4 sec z+c
= √16+ x2
4+c
= √16+x2+c
7. ∫ x2
√9+2 x2 dx
a2=16 a= 4b2=1b=1
x=ab
tan z
x=41
tan z
x=4 tan z4 tan z=x
tan z= x4
a2=9a= 2b2=3 b=√2
x= 3√2
sin z
√2 x=3sin z3sin z=√2 x
sin z=√2x3
a√1−sin 2 z=a cos z√9−2x2=cos z
dx= 3√2
cos z dz
3√2
sin z=x
sin z=¿ x3√2
=3√22
¿
BAB 6
INTEGRAL PARSIAL/BAGIAN
Jika pengintergralan dengan substitusi tidak berhasil, maka menggunakan integral
parsial. Teknik integral parsial didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil dua
fungsi.
Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat diturunkan.
d (uv) = u. dv + v du
u dv = d (uv) – v du
∫u dv=uv−∫v du
Catatan :
1. Integral yang diberikan harus dipisahkan menjadi 2 bagian u, du, dx dan dv.
2. Yang dipilih dv harus yang dapat segera diintegrasi.
3. ∫ v du tidak boleh lebih sulit dari pada ∫u .dv
Contohsoal :
1. ∫ x . sin x dx
Mislakan : u = x dv = sin x du = dx v = ∫sin x dx=−cos x
- ∫ x . sin x dx=uv−∫ v du
= −x .cos x−¿∫−cos x¿
= −x .cos x+sin x+c
2. ∫ x . cos x dx
Mislakan :u = x dv = cos x du = dx v = ∫cos xdx=sin x
- ∫ x . cos xdx=uv−∫ vdu
= x sin x−¿∫ sinx dx ¿
= x sin x+cos x+c
3. ∫sin 2 x dx
- ∫sin x sin xdx
Mislakan : U = sin x dv = sin x du = cos x dx
v = ∫sin xdx=−cosx
- ∫sin 2 x dx=sin x−¿cos x+∫cos x cos xdx ¿
= −sin x . cos x+∫cos2 x dx
=−sin x . cos x+∫ (1−sin¿¿2¿x )dx ¿¿
= −sin x . cos x+∫dx−∫ sin2 x dx
2 ∫sin 2 x dx=−sin x . cos x+x+c
2 ∫sin 2 x dx=−12
sin 2x+x+c
2 ∫sin 2 x dx=−12
sin 2x+x+c
∫sin 2 x dx=−12
. 12
sin 2 x+ 12
x+c
= −14
sin 2x+ 12
x+c
4. ∫ sec2 x dx = ∫ sec x sec 2 x dx
Mislakan :U = sec x du = sec x tan x dx
dv = sec2 x v = ∫ sec2 x dx=tan x
- ∫ sec2 x dx = sec x tan x - ∫ tan2 x sec x dx
= sec x tan x - ∫(sec¿¿2¿−1)sec x dx¿¿
= sec x tan x - ∫ (sec¿¿3¿−sec x)dx ¿¿
= sec x tan x - ∫ sec3+∫ sec x dx
2 ∫ sec3 x dx=sec x tan x+∫ sec x dx
= sec x tan x+|n|sec x+ tan x∨¿+c¿
∫ sec3 x dx=12{sec x tan x+|n|sec x+ tan x∨¿+c }¿
= 12
sec x+tan x+12|n|sec x+ tan x∨¿+c }¿
BAB 7
INTEGRAL PECAHAN PARSIAL
- Sebuahfungsi f (x) =f (x )g (x) , dimana f (x) dan g(x) adalah polonomial
Disebutpecahanrasional
Jika :
- derajat f(x) lebihkecildariderajat g(x), f(x) disebutnaik.
- Derajat f(x) lebihbesardariderajat g(x), f(x) disebuttidaknaik.
Contohsoal :
1. Factor linear yang berlainan
1. ∫ dxsec 2 sec2−4
a. Uraianpenyebutnyax2−4= (x−2 ) ( x+2 )
= 1
x2−4= A
x−2+ B
x+2 hilangkan pecahan sehingga diperoleh :dikalikan (x-
2)(x+2)3
I = A (x+2)+B (x-2)
b. Tentukankonstanta A dan B
Nilai-nilai yang diperolehadalahnilai x yang
menyebabkanpenyebutdalampecahanparcialmenjadi0 ;yaitu x = -2 dan x = 2
Subtitusi
X= -2 x = 2
I = A (x+2)+B (x-2) I = A (x+2)+B (x-2)
I = A (-2+2)+B (-2-2) I = A (2+2)+B (2-2)
I = -4 B I = 4 B
B =- 14 B =
14
c.1
x2−4= a
x−2+ b
x+4 jadi
= 14
x−4+
14
x+4
2. Carilah∫ (x+1)x3+ x2−6 x
dx
a. x3+ x2−6 x=x ( x2+x−6 )
= x (x−2 )(x+3)
-(x+1)
x3+x2−6 x= x+1
x3+x2−6 x=a
x+ b
x−2+ c
x+3
X + 1 = a ( x−2 ) ( x+3 )+bx (x+3 )+cx¿
b. X = 0 x = 2 x = -3
∫ dxx2−4
=14∫
dxx−4
− 14∫
dxx+4
¿ 14|n|x−2|−1
4 |n|x+2|+c
X = 0
I = -6a a(0-2)(0+3)+b.0(0+3)+c.0(0-2)
A =- 16 -2 a. 3 a = -6a
X = 2
X+1 = a(x-2)(x+3)+bx(x+3)+cx(x-2)
2+1 = a(2-2)(2+3)+bx(2+3)+cx(2-2)
3 = a. 0. 6 + 2b (5) + 2c.0
3 = 10 b
10b = 3
B = 3
10
X = -3
X+1 = a(x-2)(x+3)+bx(x+3)+cx(x-2)
-3+1 = a(-3-2)(-3+3)+bx(-3+3)+cx(-3-2)
-2 = 5. 0. 6 + -3b. 0 + 15c
-2 = 15c
15 c = -2
c = −215
c. ∫ (x+1)x3+ x2−6 x
dx=−16 ∫ dx
x+¿ 3
10− 2
15∫dx
x+3¿
= −16
|n|x ¿
3. Faktor Linear yang berulang
∫ (3 x+5)x3−x2−x+1
- Untuk factor yang tidakdapatdireduksia2+bx−c yang muncul sekali dalam
penyebut pecahan rasional yang baik, terdapat pecahan parcial tunggal
berbentuk ax+b
ax2+b+c dimana A dan B adalah konstanta :
Yang harusditentukan
1. ∫ x3+ x2+x+2x4+3 x2+2
Lanjutanlatihansoal integral parsial
4. ∫ x∈xdx
5. ∫ x ex dx
6. ∫ ex cos x dx
u=¿ xdu=1x
dx
dv=xdx v=12
x2
u=xdu=dx
dv=ex dxv=∫ ex dx=ex
u=ex du=ex dx
dv=cos x v=sin x
7. ∫ x2∈x dx
8. ∫ x2 sin x
9. ∫√1+x dx
BAB 8
INTEGRAL TERTENTU
- Definisi : integral tertentudarisudutfungsi f (x) terhadap x
Dari x = a hingga x = b
u=¿ xdu=dxx
=1x
dx
dv=x2 dx v=13
x3
u=x2 du=2x dx
dv=sin x v=−cos x
u=xdu=dx
dv=√1+x v=∫ √1+x dx=23¿
∫b
a
f (x )dx=f (b )−f (a) F = anti turunan f
- Sifat-sifat :
1. ∫a
b
f (x )dx=0
2. ∫a
b
f (x )dx=−∫b
a
f (x )dx
3. ∫a
b
c f (x)dx=c∫a
b
f (x)dx c = konstanta
4. ∫a
b
[ f ( x ) ± g ( x ) ]=¿∫a
b
f ( x )dx ±∫a
b
g ( x ) dx¿
5. ∫a
b
f ( x )dx+∫a
c
f ( x ) dx=∫a
c
f ( x ) dx
Contoh :
1. ∫1
2
2 x dx
2. ∫0
4
3 dx
3. ∫0
2
x2+2 x−1 dx
4. ∫1
2 1x3 dx
5. ∫0
13
√x dx
6. ∫−1
1
(2 x2−x3¿)dx ¿
7. ∫−6
−10 dxx+2
8. ∫1
8
(¿ x13+x
43 )dx¿
9. ∫0
π2
cos xdx
10. ∫0
π
¿¿
11. ∫π4
π2
2 sin 2 xdx
12. ∫0
π
3 sin x dx
13. ∫π2
34 π
sin x dx
14. ∫−1
2 dxx2−9
15. ∫0
2 π
sin 12
t dt
16. ∫1
2
2(¿x2−1)¿
BAB 9
LUAS DAERAH BIDANG RATA
A. DAERAH DIATAS SUMBU X
Jika y = f (x) menentukanpersamaansebuahkurvapadabidang x y
danjikakontinudantidak negative padaselang (interval) a cx < b lihatlahdaerah R yang
dibatasiolehgrafik-grafikdari y=f(x) x=a, x=b dan y=0.
Terlihatbahwa R terletakdibawah y=f(x) antara x=0 dan y=b denganluasdaerah, A(R)
ditentukanoleh:
A(R) = ∫b
a
f (x )dx
Contohsoal :
- Tentukanluasdaerah R dibawahkurva y=x4−2 x3+2 antara x=-1 dan x=2
A(R) = ∫−1
2
(x 4−2 x3+2)dx=(3 25−16
3+4)=51
10 satuan luas atau satuan kuadrat
= ( x5
5− x4
2+2 X)
B. Daerah dibawahsumbu x
Luasdinyatakanolehbilangan yang tidak negative Jikagrafik y=f(x)
terletakdibawahsumbu x, maka∫a
b
f (x )dx adalah bilangan negatif, sehingga tidak dapat
menggambarkansuatuluas. Akan tetapibilanganituadalah negative untukluasdaerah
yang dibatasioleh y=f(x), x=a, x=b, dan y=0.
Contohsoal :
- Tentukanluasdaerah R yang dibatasioleh x2
3−4
Sumbu x. X=-2 dan x=3
- A(R) = ∫−2
3
( x2
3−4)dx=¿∫
−2
3
(−x2
3−4)dx ¿
= [−x3
9+4 x¿=[−27
9+12]−[ 8
9−8 ]=145
9
Y = 0
Y = x2
3=12
3
X=0
Y=-4
C. Luasdaerah yang terletakdibawahfungsi y=f(x), diatassumbu x dandiantara x=a
hingga x=b, dapatdicaridengancara.
Membagidaerahdari x=a hingga x=b menjadi n bagian.
Luassetiappersegipanjangadalahf(xk) ∆k x.
Jadijumlah n buahpersegipanjang yang didekatiadalah:
∑k =1
n
F ( Xk ) ∆ k x limit dari jumlah ini adalah ∫b
a
f (x )dx yang merupakan luas dari
daerah tersebut.
Jikasuatudaerahdibatasiolehfungsi f(x) dan g(x), makaluasdaerahtersebut.
Latihansoal :
1. Cariluasdaerah yang dibatasiolehkurvay=x2 sumbu x dari x = 1 sampai x = 3.
2. Carilahluas yang terletakdiatassumbu x dandibawahparabola y=4 x−x2.
3. Carilahluas yang dibatasioleh parabola x=8+2 y− y2, sumbu y garis y = -1
dan y = 3
4. Carilahluas yang dibatasi parabola y=x2−7 x+6
Sumbu x dangaris x = 2 dan x = 6
5. Carilahluaskurvay=x3−6 x2+8 x dan sumbu x.
6. Carilahluas yang dibatasi parabola x=4− y2 dan sumbu y.
7. Carilahluaspotonganterkecildarilingkaranx2+ y2=25 oleh garis x = 3.
8. Carilahluas yang dibatasioleh parabola y=6x−x2 dan y=x2−2 x
9. Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehkurvaf ( x )=4−x2
Sumbu x = 0 dan x = 1.
10. Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehgarisy= 14
x−2 sumbu x
Garis x = 4 dansumbu y.
11. Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehkurvay=f ( x )=−sin x ,0 ≤ x≤ 2π
Dan sumbu x.
12. Tentukanluas yang dibatasikurvaf ( x )=4−x2, garis x = 0 dan diatas garis y =
1.
BAB 10
VOLUME BENDA PUTAR
Benda putardibentukdenganmemutarsuatubidangdaftarsekelilingsebuahgaris yang
disebutsumbuputarpadabidangdatar.
Volume bendaputar yang terbentukolehperputarankurva y =
f(x) mengelilingisumbux ,dari x = a, sampai x = b.
Diperolehdengan :
- Membagidaerahmenjadi n bagianpersegipanjang
(gambardiatas) masing-masingdenganlebar Δ x.
- Jikadiputarmengelilingisumbu x makaakanterbentukcakramdenganjari-jari y
dantinggi Δ x.
Sehingga volume untuksetiapcakramadalahπ y2 Δ x
Maka volume bendaputar∫a
b
π y2 dx=¿∫a
b
π y2(x )dx ¿
Jikadaerahdibatasiolehfungsi f (x) dan g(x), maka volume daerahtersebut.
∫a
b
π [ y¿¿2 ( x )−g2(x)]dx ¿
Apabiladaerahdiputarmengelilingisumbu y,
makadigunakanmetoderumahsiputdenganrumus :
v=2π∫a
b
x y dx
Contoh :
1. Carilah volume bendaputar yang terbentukolehperputarandaerahdikuadran 1 yang
dibatasioleh parabola y2=8 x dan latus rectumnnya (x = 2) sekeliling sumbu x.
2. Carilah volume benda yang terbentukkarenaperputarandaerah yang dibatasi
Olehy2=8 x , latus rectum (x = 2) sekeliling latus rectum.
3. Cari volume benda yang diperolehdenganmemutarellips.
4. Cari volume benda yang diperolehdenganmemutardaerahantara y=x2−5 x+6
Dan y = 0 mengelilingisumbu y.
5. Carilah volume benda yang dibatasiolehkurva y= 1√ x
sumbu x garis x = 1 dangaris x = 4 diputarmengelilingisumbu y.
6. Tentuka volume bendaputar, jikadibatasiolehgrafikf (x)=4−x2sumbu x dansumbu
y diputar 360⁰ terhadapsumbu x dansumbu y.
7. Hitung volume bendaputar yang dibatasiolehkurva y=x2 sumbum x,0 ≤ x≤ 2 diputar
terhadap sumbu x.
8. Hitung volume bendaputar yang terbentukjikadaerah yang dibatasiolehkurva y=x2
Dan y=−x2+4 x diputar terhadap sumbu x.
BAB 11
PANJANG BUSUR
Jika A (a,c) dan B(b,d) duatitik yang terletakpadakurva y = f(x) dengan f(x)
danturunannya f’(x) masing-masing continue dalamselang a ≤ x ≤ b.
Makapanjangbusur AB adalah :
s=∫ab
❑
ds=∫b
a
√1+¿¿¿
JikaA(a,c) dan B(b,d) duatitikpadakurva x=g(y) dengan g(y)
danturunannya g’(y), masing-masing continue dalamselang c ≤ x ≤ d makapanjangbusur
AB adalah.
s=∫ab
❑
ds=∫c
d
√1+¿¿¿
Jika A (U=U₁) dan B (U=U₂) duatitikpadakurva yang
didefinisikandenganpersamaanparameter
X = f(u) dan y = g(u)
Makapanjangbusur AB adalah.
s=∫ab
❑
ds=∫U ₂
U ₁
√¿¿¿
Contohsoal :
1. Caripanjangbusurkurvay=x32dari x = 0 sampai x = 5
2. Caripanjangbusurkurvax=t 2 y=t3dari t = 0 sampai t = 4
3. Caripanjangbusurkurvax=3 y32−1 dari y = 0 sampai y = 4
4. Tentukanpanjanggarisdenganpersamaan y = x+1 x = 1 sampai x = 5
BAB 12
INTEGRAL RANGKAP
0 Merupakandaerahtertutuppadabidang x ◦y
Yang dibatasikurvatertutup c
Daerah D dibagimenjadi n daerah
Daerah bagianke-I (I = 1, 2, …)denganluas ∆
Titik A (xi, yi) merupakansebarangtitik
Dalambagiandaerahke-i
Sedangkan di adalah diameter yang terpanjang
Padadaerahbagianke-i
Ditentjumlah
∑ f ( xi , yi ) ∆ i A= f ( xi , yi ) ∆2 A+ f ( x2 , y2 ) ∆ 2 A+…+ f ( xn , yn ) ∆ n A
Jikalimn→ 0
∑i=1
n
f ( xi , yi ) ∆ i Aada , maka limit itu ditulis :
∬ f ( x , y ) dA=¿ limn→ ∞
∑i=1
n
f (xi , yi ) ∆ i A ¿
Contohsoal :
1. ∫0
1
∫x2
x
dy dx= 16
2. ∫−1
2
∫2 x2−2
x2+ x
x dydx= 94
3. ∫1
2
∫y
3 y
(x+ y)dx dy=14
4. ∫0
3
∫1
2
(2 x+3 y )dxdy= 452
5. ∫1
2
∫0
3
(2 x+3 y )dxdy= 452
6. ∫0
8
∫0
4
(x2+ y )dx dy=1283
+128=8963
7. ∫1
2
∫0
3
(x+ y)dx dy=9
8. ∫2
4
∫1
2
(x2+ y2)dxdy=703
9. ∫0
1
∫1
2
dxdy=1
10. ∫2
4
∫y
8− y
ydxdy=323
11. ∫0
1
∫x
√ x
( y+ y3 ) dy dx=7060
12. ∫1
2
∫0
y 32
❑ xy2 dx dy=3
4
13. ∫0
1
∫x2
x
x y2dy dx= 140
14. ∫0
π 2
∫2
4 cosѳ
ρ3 d ρ dѳ=10 π
15. ∫0
π
∫0
cosѳ
ρsin ѳ dρ dѳ=13