Post on 15-Aug-2020
Ximo Beneyto
Apunts
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 2
Antes de empezar a desarrollar el tema de las Series de Números Reales, es conveniente revisar
a fondo el contenido y los conceptos del tema precedente (Sucesiones de Números Reales), del cual
necesita todo su potencial de cálculo, así como la interiorización del concepto ‘límite’ de una sucesión.
Concepto éste que resulta esencial para comprender la idea de Serie de Números Reales. No es posible un
desarrollo fluido del presente tema sin los conocimientos anteriores, pues iremos cayendo sucesivamente
en lagunas de comprensión y de técnica, imprescindibles para seguir adelante.
1. Definición
Sea una Sucesión de Números Reales, construyamos, a partir
de sus términos, una nueva Sucesión , de la siguiente forma :
< Cada término de esta nueva sucesión es la SUMA desde el primer término hasta el
n.simo término de la sucesión , tal como se ha propuesto.
A esta nueva Sucesión se le llama Sucesión de las Sumas Parciales asociada a .
Cuando exista , sea o no finito, definiremos la Serie Numérica, o simplemente Serie
asociada a , precisamente a este límite.
A pesar de la definición anterior, para hacer referencia a la Serie Numérica asociada a la
sucesión se suele recurrir a la notación , notación, por otra parte, ampliamente
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 3
aceptada, aunque pueda resultar confusa.
, cuando este límite exista, sea o no finito.
No obstante la relación anterior, generalizaremos el uso de la notación para indicar la Serie
Numérica, o simplemente Serie asociada a la sucesión , originada por la sucesión , aun
desconociendo el término general de la Suma Parcial de Orden ‘n’ asociada y su comportamiento en el
límite.
Necesitaremos revisar el concepto de límite de una Sucesión para poder comprender el concepto
de Serie, pues, ésta no representa, como en un principio podríamos pensar, la “Suma de los infinitos
términos de la Sucesión ”, sino, ese valor, único, si existe, que representa el límite de la Sucesión
de Sumas Parciales. Concepto éste, FUNDAMENTAL para la comprensión y desarrollo del tema.
A an, término general de la Sucesión dada, también se le llama término general de la serie
, siendo los términos de la Serie los términos de la Sucesión .
y , serán, pues, formas habituales de referirnos a la Serie
asociada a la Sucesión , siendo . la más adecuada.
2. Relaciones entre Conceptos :
TRelación entre y :
Si en la Relación (I), restamos Sn y Sn-1 observamos que :
T Por tanto, tenemos :
Relación que permite obtener an a partir de Sn.
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 4
T Relación entre y : , cuando existe el límite, sea o no
finito.
A también le llamaremos Sucesión de Sumas Parciales de la Serie , sin que
cause ninguna confusión.
[NOTA 1: Realmente, tal como se ha definido el concepto de Serie Numérica, en adelante
simplemente Serie, la expresión representa simplemente:
T un número
T más ó menos infinito
T nada
según sea , finito, infinito o no exista. Así que, realmente, a lo largo del tema deberíamos
referirnos a la sumabilidad o no de los términos de la sucesión .
No obstante, puesto que la notación es de uso corriente en la mayor parte de los textos de
Matemáticas referidos a las Series, seguiremos ésta en el desarrollo del tema conscientes de su
‘abuso’ en ciertos momentos.]
[NOTA 2: Acerca del símbolo SUMATORIO , , sigma mayúscula del alfabeto griego, se
utiliza en Matemáticas para reflejar una SUMA de elementos. Generalmente en la parte inferior de
dicho símbolo indicaremos la variable respecto de la cual queremos efectuar la suma, así como el
primer valor de dicha variable, en la parte superior indicaremos el valor final ésta. Siempre valores
naturales.
Así, ].
3. Carácter de una Serie Numérica
Dada una Serie , cuya sucesión de sumas parciales es
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 5
Si ( es decir, existe y es finito ) decimos que es una Serie
Convergente . Al número real S, le llamaremos Suma de la Serie .
Escribimos = S
Si decimos que es una Serie Divergente y no tiene Suma
Finita.
decimos que la serie No Converge y es No Sumable.
Podemos, pues, comprobar la sencillez del estudio de una serie conocido el término
general de su sucesión de sumas parciales, Sn .Cuestión ésta, que más adelante se verá, no es
cuestión sencilla.
Es claro, así mismo, el interés especial que nos merecen las Series Convergentes, al representar
éstas valores finitos de la Suma. A pesar del matiz existente entre ambos conceptos, Divergencia
y No Convergencia serán en ocasiones asuntos similares, al reflejar ambos que la Serie no tiene
Suma Finita.
Convergencia, Divergencia o No Convergencia de una Serie es el Carácter o Naturaleza de la
Serie.
Veamos un ejemplo que pone de manifiesto todos los conceptos expuestos y su relación:
Ejemplo .- De una Serie , conocemos el término general de la sucesión de sus sumas
parciales .
a) Hallar an y formar la serie
b) Hallar a1 + a2 + a3 +AAA+a1.000.000 =
c) Estudiar si es CONVERGENTE y hallar su SUMA.
a) ¿ an ?
De las relaciones obtenidas anteriormente, deducimos que :
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 6
[Observa que el sumatorio empieza desde n = 2, pues a1 no se puede obtener mediante la expresión
que acompaña al Sumatorio]
b)
Puesto que representa la SUMA de los 1.000.000 primeros términos de la sucesión
, e interpretando el concepto de Suma parcial de orden n
Y
c) ¿ Convergencia, Suma ?
Puesto que :
.
Parece obvio manifestar la dificultad que entraña hallar Sn a partir de an , de lo contrario, el tema
sería supersencillo. En el apartado de problemas resueltos se encuentran varias situaciones para “ver
y obtener” la formación de Sn a partir de an..
Sigamos ... Veamos un Ejemplo de formación de Sn a partir de an .
Una Serie , tal que , se llama una Serie Telescópica,
observemos que en una Serie Telescópica, al formar la Suma Parcial de Orden ‘n’, obtenemos:
Así, pues, .
La Serie Telescópica, es pues, un caso de formación sencilla de Sn a partir de an .
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 7
Obviamente el carácter de esta Serie dependerá de la expresión de bn .
Así, será Convergente, Divergente o No sumable, según sea . En caso de ser finito este
límite, la Suma de una Serie Telescópica será .
Ejemplo: es una Serie telescópica, siendo .
Como y , la Suma de la Serie será .
Son frecuentes, a la hora de plantear una Serie Numérica, las notaciones , ,
según sea el término de la sucesión a partir del cual queramos plantear la Serie.
es un tanto “abusiva” según la definición de Sucesión..
4. La Serie Geométrica
Debido a su enorme importancia y trascendencia en el desarrollo del tema, dedicaremos un apartado
entero al estudio de estas interesantísimas Series Numéricas. No resulta nada temerario afirmar que
fueron las Series Geométricas ya en la Grecia antigua, las primeras Series en ser estudiadas y origen
del planteamiento posterior de este tema.
Servirá también de nuevo ejemplo de formación de la Sucesión de Sumas Parciales de Orden “n”
a partir de una Sucesión .
Dada la importancia del resultado para el devenir del tema, se sugiere prestar atención tanto al
desarrollo como a las conclusiones obtenidas.
Llamaremos Serie Geométrica a una Serie Numérica de la forma :
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 8
En la cual Sn = r + r2 + ... + rn
Recordando la expresión de la Suma de los n primeros términos de una progresión Geométrica
donde a1 = r y an = rn Y
A la hora de estudiar la convergencia, esto es, hallar distinguiremos tres casos :
i) *r* < 1 .
En cuyo caso, , por tanto .
Por tanto, la Serie Converge y su Suma es
ii) *r* > 1
no puede ser finito, con lo cual será:
4 , si r > 1 Y La Serie Diverge.
ò , si r < -1, en cuyo caso la Serie No Converge
iii) *r* = 1 r = 1 Y la Serie Diverge.
r = -1 ò Y la Serie No Converge.
Resumiendo :
Dada la serie Geométrica
T *r* < 1 la Serie es Convergente y su Suma es
T *r* $ 1 la Serie No Converge (Diverge o es No Sumable).
[Algunos textos proponen la Serie Geométrica como , cuyo carácter es el mismo, no siendo
así su Suma. Veremos más adelante que es muy sencillo relacionar ambos valores]
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 9
5. Tipos de Series Numéricas
Atendiendo al valor de los términos de una Serie, clasificamos éstas en ...
O Una Serie , es de Términos Positivos, si
Ejemplo : ; ; son Series de términos positivos
; ; , NO son series de términos
positivos
O Una Serie , es de Términos No Negativos, si , algún .
Ejemplo : ; ; son Series de términos no
negativos
O Una Serie , es de Términos Negativos, si
Ejemplo : ; son series de términos negativos
O Una Serie , es Alternada, si an, toma valores positivos y negativos (o negativos y
positivos), alternativamente.
Ejemplo : s o n S e r i e s
alternadas
O Una Serie , es de Términos Cualesquiera, si an puede tomar valores positivos y
negativos arbitrariamente.
Ejemplo : ; ; son series de términos
cualesquiera.
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 10
6. Estudio de una Serie Numérica
Básicamente, el estudio de una Serie Numérica , consiste en :
a) Estudio del Carácter.
[ Averiguar si la Serie es Convergente , Divergente o No Sumable ]
b) Cálculo de la Suma.
[ Obtener la Suma de la Serie en caso de ser convergente. ]
Vimos anteriormente, en el Ejemplo 1, la sencillez del estudio de la Serie , conocido el
término general de la suma parcial de orden n, Sn, pues , tanto el análisis de convergencia como el
cálculo de la Suma, se reducen al cálculo del .
Pero, lo más usual, es el estudio de la serie a partir de su expresión y, desde ,
vamos a plantear su estudio en la continuación del tema.
Veamos en primer lugar sus propiedades.
[ NOTA. Salvo mención expresa, entenderemos la notación para 4 para +4, especificando +4
cuando sea necesario para una mejor comprensión ]
7. Propiedades elementales de las Series Numéricas.
7.1.- El carácter de una Serie no se modifica, si SUPRIMIMOS sus ‘p’ primeros
términos , siendo p un número natural.
Demostración:
a) es Convergente
En efecto, consideremos las series y obtenida suprimiendo los ’p’ primeros
términos de
P Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a ,
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 11
PSea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a ,
.
Sea también
Observemos que:
Sp, n = Sn - Sp ú n > p (I).
Bastará con aplicar límite a ambos lados de la igualdad
Y Sp, n = ( S n - Sp ) = [ Como Converge Y S n = S ] = S - Sp 0 ú
Y Converge y además = - .
Así mismo, si la serie es Convergente, llamemos S’ a su Suma, Y S’ = ( S n - Sp )
Y S n = S’ + Sp 0 ú
b) es Divergente
Una construcción idéntica a la efectuada en el apartado anterior, nos permite llegar a
(I) Sp, n = S n - Sp y, en consecuencia:
Sp, n = ( S n - Sp ) = [ Como Diverge Y S n = 4 ó -4 ] = 4 ó -4
Y es, en cualquier caso Divergente
c) es No Sumable
Puesto que (I) Sp, n = Sn - Sp
Sp, n = ( S n - Sp ); [ Como es No Sumable Y ò S n ] =>
ò S p,n Y es No Sumable
Así, a partir de la propiedad anterior, las Series
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 12
tendrán el mismo carácter, obviamente la Suma, en caso de ser Convergente, no será la misma.
7.2.- El carácter de una Serie no se modifica, si le AÑADIMOS un número finito de
términos.
Veamos.
Si a una Serie le añadimos un número finito de términos, a1 + ...+ ap , a partir de la
relación obtenida anteriormente:
(I) Sp, n = Sn - Sp ú n > p => Sn = Sp, n + Sp ú n > p,
Será Convergente, Divergente o no Sumable, según lo sea . Para demostrarlo
será suficiente utilizar la misma operativa que en la demostración de la propiedad anterior.
7.3.- El carácter de una Serie no se modifica, si MODIFICAMOS un número finito
de términos de la misma.
(Si la Serie es CONVERGENTE, la Suma de la Serie modificada tiene como Suma la de la Serie
dada incrementada en la Suma de las diferencias entre el valor del término modificado y el que tenía
anteriormente ).
Demostrando ...
Dada la Serie , modifiquemos un número finito de sus términos, por ejemplo,
reemplazándolos por , obteniendo una nueva Serie.
Si tanto en la Serie como en la nueva Serie obtenida, suprimimos los pm primeros
términos, es claro que obtendremos la misma Serie .
Tal como hemos probado anteriormente, las tres Series , y la Serie que hemos
obtenido modificando sus elementos tendrán el mismo carácter.
Además,
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 13
Podemos establecer, pues, con carácter general que :
El carácter de una Serie no varía si se le modifican, suprimen o añaden un número finito de
términos.
Si la Serie es CONVERGENTE, la Suma de la Serie modificada tiene como Suma la de la Serie
dada incrementada en la Suma de las diferencias entre cada término y su modificado.
7.4.- Dada la serie , su carácter ( Convergente o Divergente o no Sumable ) no se
modifica si se INTERCAMBIAN de lugar un número finito de sus términos.
En efecto, sea la Serie :
Intercambiemos de lugar los términos ap y aq, obteniendo ahora :
Expresión a la que podemos llegar mediante este proceso :
En ambos pasos hemos suprimido y añadido un término.
Utilizando las propiedades anteriores, el carácter de la Serie no se modifica, como tampoco lo hace
su Suma en caso de ser Convergente, pues la variación total de la Suma será
Efectuando un número finito de pasos, el carácter, obviamente no se modifica, podemos afirmar,
pues, que modificar el orden de un número finito de términos de la Serie no modifica su carácter.
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 14
7.5.- Si y , son Series Convergentes y ,
la serie , es Convergente y se verifica la relación :
[ Observa que, para " = 1 y $ = 1 , y considerando " =
k y $ = 0 => , para una constante cualquiera k , propiedades éstas de
enorme interés en la operativa práctica del tema ].
La demostración es muy sencilla, veamos :
Sean y las Sucesiones de Sumas Parciales asociadas a y
respectivamente.
Puesto que ambas Series son convergentes Y
Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a ,
Sn = " A Sn’ + $A Sn’’ nos dará la expresión del término general de la Suma parcial de orden “n”
asociada a , por tanto
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 15
Y Es Convergente y su Suma es S = " A S’ + $ A S’’.
No podemos afirmar nada en el caso de Series Divergentes.
7.6.- Si en una Serie ( Convergente o Divergente ) se agrupan los términos de la misma, sin
cambiarlos de orden, según una ley cualquiera, la serie que resulta tiene el mismo carácter .
Veamos ..., sea una Serie , efectuemos una agrupación de
sus términos, por ejemplo:
Sean:
Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a , y la Sucesión de Sumas
Parciales asociada a la nueva Serie obtenida agrupando los términos de .
es, pues, una Subsucesión de , por lo tanto será convergente o divergente según
lo sea . Así, la nueva Serie será convergente o divergente según lo sea .
8. Hallando el Carácter de una Serie
Una vez estudiadas las propiedades elementales de las Series, nos vamos a ocupar de organizar, en
primer lugar, el estudio del carácter y, en segundo lugar, dar técnicas para poder obtener, en ciertas
situaciones, la Suma de la Serie.
Para averiguar el Carácter de una Serie , se suelen utilizar fundamentalmente dos caminos:
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 16
1. Aplicar a la Serie una de las llamadas Condiciones Generales de Convergencia de Series
ó
2. Aplicar a la Serie alguno de los llamados Criterios de Convergencia de Series.
Comencemos exponiendo las Condiciones Generales de Convergencia de Series.
8.1 Condiciones Generales de Convergencia de Series
8.1.1 Condición General de Convergencia del Resto
Una Serie , es CONVERGENTE <=> = 0.
Siendo el Resto de Orden ‘n’ de la Serie,
Demostración:
es una Serie Convergente <=> <=>
ú g > 0 õn0 (g) / si n $ n0 Y *Sn - S* < g
Como Sn = a1 + a2 +...+ an Y *Sn - S* = *S - Sn * = < g ú n $ n0
Definamos una Sucesión {Rn}n0ù / Rn = , es claro que,
a partir de la expresión anterior, =0.
(ú g > 0 õn0 (g) / si n $ n0 => *Rn * = < g )
La nueva Serie Rn = recibe el nombre de Resto de Orden “n” asociado a la Serie
8.1.2 Condición Necesaria y Suficiente de Convergencia
Una Serie es Convergente <=> ú g > 0 õ n0 (g) / si n $ n0, p $ 1, => < g
Demostración:
es una Serie Convergente <=> , por lo tanto es
Convergente, puesto que en ú toda Sucesión Convergente es Regular Y será una Sucesión
Regular =>
ú g > 0 õn0 (g) / si p > q $ n0 Y | Sp - Sq | < g
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 17
] < g ]
tomando q = p, y p = n + p, p $1, ] < g.
8.1.2.1 Consecuencia
La equivalencia anterior nos da lugar a una expresión muy útil para determinar si una Serie es o no
Convergente.
Puesto que , si es Convergente ú g > 0 õn0 (g) / si p $ n0 , p $1, < g,
Si consideramos, en particular, cualquier valor de ‘p’, tendremos que, si es una Serie
Convergente ú g > 0 õn0 (g) / si p $ n0 , p $1, < g es decir | Sn+p - Sn | < g, o sea
p $1.
Así, pues
es convergente => , p $1.
Expresión de cierta utilidad para comprobar la No Convergencia de Series, en particular la Serie
Armónica como más adelante veremos.
8.1.3 Condición Necesaria de Convergencia (Cauchy, Agustin Louis)
Dada la serie si la serie CONVERGE Y .
En forma de Criterio :
[Nota: Cuando un criterio o condición no establezca de manera definitiva el carácter de una
serie, pondremos la expresión DUDA]
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 18
En efecto, si a1 = S1
an = Sn - Sn-1 ú n $ 2
Si Converge Y õ Y .
O también, si es una Serie Convergente p $1, en particular,
tomando p=1, => => .
Ejemplo 2.- Aplicar la Condición Necesaria Convergencia de Cauchy a las siguientes Series
; ;
En cuanto hayamos estudiado algunas Series más, daremos Ejemplos más concretos de Series cuyo
término general tiende a cero, y son Convergentes o Divergentes.
8.1.4 Condición Necesaria y Suficiente de Convergencia de Series de Términos Positivos
Una Serie de términos positivos, es Convergente <=> Su Sucesión
de Sumas Parciales está acotada superiormente.
Además, la Suma de la Serie S = sup .
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 19
La demostración ....Al ser una equivalencia, demostraremos por doble implicación.
Sea Convergente.=>
Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a , puesto que es una Serie
Convergente, tendrá límite finito, y por lo tanto será Convergente, al tratarse de una
Sucesión Convergente, según una propiedad de las Sucesiones Convergentes, está Acotada, y por
el hecho de estar Acotada, está Acotada Superiormente.
está Acotada Superiormente<=
Al ser una Serie de términos positivos, será una Sucesión Monótona
Estrictamente Creciente, junto con la hipótesis de estar Acotada Superiormente, podemos concluir,
según propiedad de las Sucesiones de Números Reales, que es Convergente, por lo tanto
õ , con lo cual es Convergente y su Suma es S.
Si recordamos la construcción de la demostración que lleva a la Convergencia de una Sucesión
Monótona Creciente y Acotada Superiormente, observaremos que precisamente S = sup .
Con lo que concluimos la doble equivalencia.
8.1.5 Condición Necesaria y Suficiente de Divergencia de Series de Términos Positivos
Una Serie de términos positivos, , es Divergente <=> Su Sucesión
de Sumas Parciales no está acotada superiormente.
Sea Divergente.=>
Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a , puesto que es una Serie de
términos positivos, , por lo tanto no está Acotada Superiormente
no está Acotada Superiormente<=
Al ser una Sucesión de términos Positivos no Acotada Superiormente, según propiedad de
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 20
las Sucesiones, es claro que , y por lo tanto será Divergente.
Consecuencia de ambas propiedades, es que una Serie de términos positivos, será Convergente o
Divergente, pero no puede ser No Sumable.
Con esta Condición finalizamos las Condiciones Generales de Convergencia.
Hasta ahora, únicamente hemos estudiado a fondo la Serie Geométrica y de un modo más sencillo
las Series Telescópicas. Sobre todo, los fundamentos aprendidos en el estudio de las Series
Geométricas van a ser de una gran utilidad en lo que sigue del tema.
Como complemento a estas Series, es el momento de plantear el estudio de dos de las Series más
utilizadas en el estudio de este tema como son la Serie Armónica y la Serie
Hiperarmónica .
La Serie Armónica.
Llamamos Serie Armónica a la Serie
observemos que se trata de una Serie de términos positivos. Vamos a emplear un resultado anterior
para demostrar que se trata de una Serie Divergente.
Para ello, formemos en primer lugar su Sucesión de Sumas Parciales
Sea . =>
Y, restando ambas expresiones, llegamos a:
. Expresión que podemos acotar inferiormente de la siguiente
manera:
.
Si => .
Aplicando la consecuencia 8.1.2.1 de la Condición de Convergencia 8.1.2, tomando p=n,
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 21
concluimos que la Serie Armónica es Divergente.
La Serie Hiperarmónica.
Llamamos Serie Hiperarmónica a la Serie
.
Con los conocimientos adquiridos, estudiemos el caso
Observemos que se trata de una Serie de términos positivos. Procedamos exactamente igual que con
la Serie Armónica para demostrar que se trata de una Serie Divergente.
Formemos en primer lugar su Sucesión de Sumas Parciales
Sea . Es claro que:
Y, restando ambas expresiones, llegamos a:
.
Al ser p < 1, podemos acotar inferiormente de la siguiente manera:
.
Pero, al ser p < 1, 1 - p > 0, , así,
Aplicando la consecuencia 8.1.2.1 de la Condición de Convergencia 8.1.2, tomando p=n,
concluimos que la Serie es Divergente.
Para el estudio de la Serie Hiperarmónica , precisamos previamente
de conocimientos acerca de la comparación de Series.
Bien.
Expongamos a continuación alguno de los Criterios que podemos aplicar a una Serie para poder
determinar de una manera muy operativa si ésta es Convergente o no. Al finalizar la exposición
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 22
plantearemos algún consejo acerca de la utilización de estos criterios así como de las Condiciones
Generales de Convergencia.
8.2 Criterios de Convergencia
Ordenemos estos Criterios según los diferentes tipos de Series que hemos planteado en páginas
anteriores.
M Series de Términos Positivos
8.2.1.- Criterio de Comparación ( Mediante Acotación )
Sea una Serie de Términos positivos, y una Serie
( Auxiliar ) de términos positivos de carácter conocido.
O Si ú n 0 ù y Converge Y Converge
O Si ú n 0 ù y Diverge Y Diverge
[ Para aplicar con éxito el criterio de Comparación mediante acotación, mayoraremos la Serie con
una Serie Convergente y la minoraremos con una Serie Divergente, pues de los contrario no
obtendremos criterio para ].
Demostración
i) Si ú n 0 ù y Converge
Como
Al ser Convergente Y õ Y
Y Como es monótona creciente ( es de términos positivos ) y Acotada
Superiormente Sn # S' ú n 0 ù Y es Convergente
Y es una Serie Convergente
ii) Si ú n 0 ù y Diverge
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 23
Al ser Divergente y de términos positivos, , así, $
Y = +4
Y Diverge
En casos de aplicación práctica de este criterio debemos indicar que, con las hipótesis del criterio
* Si ú n 0 ù y Diverge Y el criterio no decide nada acerca de
ú n 0 ù Diverge y también
* Si ú n 0 ù y Converge Y el criterio no decide nada acerca de
ú n 0 ù Converge y ( también, tal como veremos
inmediatamente).
[Comentar que las acotaciones también se pueden efectuar a partir de un término cualquiera, pues
tal como vimos, suprimir un número finito de términos de una serie no modifica el carácter de
ésta].
Estamos ya en condiciones de finalizar nuestro estudio de las Series Hiperarmónicas.
Sea la Serie
Observemos que se trata de una Serie de términos positivos...
Formemos en primer lugar su Sucesión de Sumas Parciales
Sea . Es claro que:
Agrupemos los términos de la siguiente forma:
Acotemos la expresión anterior:
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 24
que se trata de una Serie Geométrica de razón , será pues una
Serie Geométrica Convergente, por consiguiente , aplicando el Criterio de Comparación,
será Convergente.
Resumiendo:
8.2.2. Criterio de Comparación ( Mediante acotación del cociente)
Sea una serie de términos positivos, y una Serie
( Auxiliar ) de términos positivos
Si : õ k 0 ú+ # k ú n 0 ù y Converge Y Converge
Si : õ k 0 ú+ $ k ú n 0 ù y Diverge Y Diverge
Las demostraciones son muy sencillas:
En efecto :
i) õ k 0 ú+ # k ú n 0 ù y Converge.
Si õ k 0 ú+ / # k ú n 0 ù Y an # kA bn ú n 0 ù . Com o Converge Y
Converge Y Aplicando el primer criterio de comparación Converge
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 25
ii) õ k 0 ú+ $ k ú n 0 ù y Diverge Y Diverge
Si õ k 0 ú+ / $ k ú n 0 ù Y an $ kA bn ú n 0 ù . Como Diverge Y
Diverge Y Aplicando el primer criterio de comparación Diverge.
8.2.3. Criterio de Comparación ( Mediante límite del cociente)
Sea una serie de términos positivos y una Serie
(Auxiliar) de términos positivos
Sea
1. Si R Ö 0, 4 y Tienen el mismo carácter
2. Si R = 0 y Converge Y Converge
3. Si R = 4 y Diverge Y Diverge
Demostrando ...
1.- Sea R Ö 0, 4 y Converge
Por definición de límite de una Sucesión:
úg> 0 õn0 ( g) / si n $n0 Y < g ] - g < < g ]
] ú n $n0 .
ú n $n0 Y Y en virtud de la comparación mediante acotación,
Converge y por tanto Converge.
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 26
Si de la desigualdad ú n $n0 elegimos , ú n $n0
y Divergente Y
ú n $n0 an > (R - g) bn Y Diverge y Diverge.
2.- = 0 y Converge.
Por definición :
ú g > 0 õ n0 ( g) / si n $n0 Y < g ] ( ) < g Y en virtud del criterio
de comparación (mediante acotación del Cociente) Y Como Converge Y
Converge Y Converge.
3.- = 4 y Diverge
Por definición :
ú k 0 ú+ õ n0 ( k) / si n $n0 Y > k ] Y utilizando el criterio de comparación
Y Como Diverge Y Diverge Y Diverge.
8.2.4 Criterio de Comparación con las Series Armónica e Hiperarmónica (Pringsheim)
S e a u n a S e r i e d e t é r mi n o s p o s i t i v o s y
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 27
Demostración.
Basta con aplicar el Criterio de Comparación mediante límite a las Series y
(Serie Armónica para p=1, e hiperarmónica si p>1)
8.2.5. Criterio del Cociente (mediante límite)( D’Alembert, Jean Le Rond)
Sea una Serie de términos positivos
Demostración:
En efecto...
i) Sea ,
por definición de límite de una Sucesión,
ú g > 0 õ n0 ( g) / si n $n0 Y < g ] - g < < g ]
] ú n $n0 Y , en particular, tomemos un g1 > 0 / R + g1 < 1 Y õ n1 ( g1) /
ú n $n1 .
Si llamamos r = R + g1 < 1 Y ú n $n1 Y
an+1 < r A an
an+2 < r A an+1 < r2 A an
...............................
an+p < rp A an
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 28
Consideremos ahora la Serie = que es una Serie Geométrica con
razón
r < 1 y por tanto Convergente Y Converge Y Converge Y
Converge
ii) Si R 0 ú
por definición de límite de una Sucesión,
ú g > 0 õ n0 ( g) / si n $n0 Y < g ] - g < < g ]
] ú n $n0 Y , en particular, tomemos un g2 > 0 / R - g2 > 1 Y õ n2 ( g2) /
ú n $n2 .
Si llamamos r = R - g1 > 1 Y ú n $n2 Y
an+1 > r A an
an+2 > r A an+1 > r2 A an
...............................
an+p > rp A an
Consideremos ahora la Serie = que es una Serie Geométrica, cuya
razón r > 1, y por tanto Diverge Y Diverge Y En virtud del Criterio de
Comparación, Diverge Y
Diverge.
iii) Si
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 29
Apliquemos la definición de Sucesión divergente a
ú k 0 ú+ õ n0 ( k) / si n $n0 Y > k ] , tomando k>1, es una
Sucesión monótona creciente de términos positivos Y no puede tener límite cero, por tanto según
la Condición Necesaria de Convergencia, es Divergente.
iv) Si R = 1 pero R 6 1+ Y
A partir de un n0 en adelante Y an+1 $ an con lo cual es una Sucesión monótona creciente
de términos positivos Y no puede tener límite cero Y es Divergente.
8.2.6 Criterio de la Raíz (mediante límite) (Cauchy, Agustin Louis)
Sea , una Serie de términos positivos
Demostración
i) , R < 1
Por definición de límite,,
ú g > 0 õ n0 ( g) / si n $n0 Y < g ] - g < < g ]
En particular, sea g1 > 0 / R + g1 < 1 , õ n1 si n $ n1 ]
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 30
Es una Serie Geométrica Convergente ( |R + g1 | = R + g1 < 1 ) Y
Converge Y es Convergente.
ii) , R > 1 R 0 ú
ú g > 0 õ n0 ( g) / si n $n0 Y < g ] - g < < g ]
En particular, sea g2 > 0 / R - g2 > 1 , õ n2 si n $ n2 ]
Con el mismo razonamiento anterior
Es una Serie Geométrica Divergente ( |R - g2 | = R - g2 > 1 ) Y aplicando el
Criterio de Comparación mediante acotación, Diverge Y
Diverge
iii) R > 1 R = 4
ú k > 0 õ n0 ( g) / si n $ n0 Y > k ,
en particular, para un k1 > 1 õ n3 ( g) / si n $ n3 Y > k1 ] an > ( k1 )n
es una Serie Geométrica Divergente ( | k1 | = k1 > 1 ) Y mediante Criterio de
Comparación Y Diverge Y Diverge.
iv) ,R 6 1+
Si R 61+ Y $ 1 a partir de un n0 en adelante Y an $ 1n Y Y
Diverge, y por lo tanto Diverge.
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 31
8.2.7 Criterio de Kummer (mediante acotación)
Sea una Serie de términos positivos, y sea una Sucesión
de números reales positivos.
Sea
si õ k $ 0 / Kn $ k ú n 0 ù Y Converge
si Kn # 0 ú n 0 ù y Diverge Y Diverge
Veamos :
1. õ k $ 0 / Kn $ k ú n 0 ù
Si Kn $ k Y
Y kn A an - kn+1 A an+1 $ k A an+1 ú n 0 ù
Asignando a ’n’ los valores n = 1, 2, ..., p-1
k1 A a1 - k2 A a2 $ k A a2
k2 A a2 - k3 A a3 $ k A a3
k3 A a3 - k4 A a4 $ k A a4
.............................................................
kp-1 A ap-1 - kp A ap $ k A ap
Sumando
k1 A a1 - kp A ap $ k A ( a2 + a3 + ... + ap ) Y k ( a2 + a3 + ... + ap ) # k1 A a1 - kp A ap # k1 A a1
ú p 0 ù
Sea la sucesión de Sumas Parciales asociada a , tendremos que
Sp # ú p 0 ù Y es una Sucesión de términos positivos acotada
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 32
Superiormente, por lo tanto es Convergente Y es una Serie Convergente.
2. Kn # 0 ú n 0 ù y Diverge
ú n 0 ù Y
Y . Como Es Divergente y es de términos
positivos Y kn+1 A an+1 $ kn A an ú n 0 ù Y k2 A a2 $ k1 A a1
Y k3 A a3 $ k2 A a2
.......................................
Y kn+1 A an+1 $ kn A an
Y kn+1 A an+1 $ k1 A a1
Y
k1 A a1 > 0 Como Diverge
Y Aplicando el Criterio de Comparación Y Converge.
8.2.8 Criterio de Kummer (mediante límite)
Sea , una Serie de términos positivos,
1. Si existe
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 33
8.2.9 Criterio de Raabe
Sea , una Serie de términos positivos
Demostración :
Basta con tomar kn = n en el criterio de Kummer (mediante límite)
8.2.10 Criterio de la Integral
Sea f una función real, continua, positiva, monótona decreciente en un intervalo [1, +4 [,
= 0,
y tienen el mismo carácter.
Demostración
Sea " = [a] ( parte entera de a ) Y " # a < " + 1
Consideremos un intervalo de la forma [ m, m+1 ] con m $ " + 1
Como f es decreciente Y ú x 0 [ m, m+1 ] f(m+1) # f(x) # f(m)
Además, f es POSITIVA Y
Y
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 34
Si tomamos m = " + 1, " +2, ... , n
..................................................
Sumando término a término :
* Si es Convergente Y existirá y será Finito
Y ú n 0 ù
Y
YLas Sumas parciales de la Serie están ACOTADAS superiormente
Y es una Serie Convergente
* Si es Divergente Y = +4 y por tanto ...
M Series de Términos Negativos
Para el estudio del carácter de una Serie de términos negativos ,
bastará con aplicar la propiedad que nos dice que las Series
tienen el mismo carácter.
Para k=-1, reducimos una Serie de términos Negativos a una Serie de Términos Positivos,
cuyo estudio podemos afrontar mediante los Criterios y técnicas expuestas anteriormente.
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 35
M Series con Infinitos Términos Positivos y Negativos
Una vez estudiados algunos de los principales Criterios de Convergencia para Series de Términos
Positivos, pasemos al estudio de las Series de términos cualesquiera.
Parece lógico comentar que, en principio para el estudio de las Series de términos cualesquiera,
descartemos aquellas Series con un número finito de términos negativos, pues suprimiendo éstos
obtendríamos una Serie de términos positivos, cuyo carácter sería exactamente el mismo que el de la Serie
original siendo ésta una Serie de términos positivos, según propiedades estudiadas a lo largo del tema.
Así mismo, un razonamiento análogo nos lleva a descartar aquellas Series con un número finito de
términos positivos.
Ocupémonos pues, de aquellas Series Numéricas que tengan infinitos términos negativos e infinitos
términos positivos.
8.2.10. Convergencia Absoluta
Decimos que una Serie es Absolutamente Convergente si la Serie formada por los
valores absolutos de los términos de es una Serie Convergente.
Es una Serie Absolutamente Convergente si es Convergente.
Una Serie es Absolutamente Divergente si la Serie formada por los valores absolutos
de los términos de es una Serie Divergente.
Es una Serie Absolutamente Divergente si es Divergente.
8.2.10.1 Propiedad:
Si una Serie es Absolutamente Convergente => es una Serie Convergente.
Demostración:
Dada la Serie an 0 ú Formamos la serie de sus términos en valor absoluto ,
8.2.11 Criterio de Abel
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 36
Dada una Serie , cuyo término general se puede expresar de la forma
, de manera que:
es una Sucesión Monótona Decreciente y
es una Sucesión tal que
Y Es una Serie Convergente y
Demostración:
Consideremos la Sucesión de Sumas Parciales asociadas a , .
Sea ahora la Serie auxiliar , y, a partir de ella , cuya
Sucesión de Sumas Parciales, , será:
Es pues, una Serie de Términos positivos cuya Sucesión de Sumas
Parciales está acotada superiormente, por tanto es Convergente.
Como es Convergente, será Absolutamente
Convergente, y por la propiedad de la Convergencia Absoluta, es
Convergente.
La Convergencia de esta Serie nos lleva a que el límite de la Sucesión de Sumas Parciales, exista
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 37
y sea finito, así :
=>
Es Convergente y, además, tiene la misma Suma que .
Por otra parte
Como M es una Cota Superior de .
Series Alternadas
Un caso muy especial de las Series con infinitos términos positivos y negativas lo constituyen las
llamadas Series Alternadas
Llamamos Serie Alternada a una Serie , donde
.
Obviamente las Series Alternadas son Series con infinitos términos positivos e infinitos términos
negativos.
Para el estudio de su convergencia, se suelen utilizar, o bien el Criterio de Leibniz, o bien la
Convergencia Absoluta. Veamos el Criterio de Leibniz
8.2.12 Criterio de Leibniz
Dada una Serie Alternada , .
Si:
es una Sucesión Monótona Decreciente y
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 38
Y Es una Serie Convergente y
Demostración:
Considerando en el Teorema de Abel
La demostración es inmediata.
Series Semiconvergentes.
Una Serie , es una Serie Semiconvergente, si:
* es Convergente
* es Divergente.
A partir de resultados obtenidos con anterioridad podemos establecer que:
- Toda Serie Semiconvergente debe tener infinitos términos positivos e infinitos términos
negativos.
- Las Series auxiliares y , deberán ser ambas Series Divergentes.
Estudiemos, en primer lugar, los problemas de Convergencia relativos a las Series
Semiconvergentes.
Para preparar su estudio, dada una Serie , an 0 ú ( Infinitos términos positivos e infinitos
términos negativos ), consideremos dos Series Auxiliares que podemos formar con sus términos:
Formada por los términos Positivos de la serie en el mismo orden en el que
se encuentran en ésta.
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 39
Formada por los términos Negativos de la serie en el mismo orden en el que
se encuentran en ésta y cambiados de signo.
Ambas Series, y serán Series de términos positivos.
Veamos qué propiedades infieren las Series y , a la serie
Propiedad
Si y , son Convergentes, = P y = Q
= P - Q.
Demostrando una vez más........
Sean y su Sucesión de Sumas Parciales asociada
6 su Sucesión de Sumas Parciales asociada
6 su Sucesión de Sumas Parciales asociada
ú n 0 ù õ n1 , n2 (n) / Sn = n1 , n2 unívocamente determinados por n .
Puesto que, tanto n1 como n2 dependen de “n” podemos establecer sendas funciones de variable
natural
D(n) y P(n) /
Es claro que si es una serie convergente = P y, si Es Convergente
Y = Q. Basta con aplicar en Sn para llegar a S = P - Q. Resultado que nos da, por
un lado, la convergencia de , y por otro lado, = P - Q.
Propiedad
Si una de ellas Converge y la otra Diverge Y Diverge
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 40
Supongamos Convergente ( = P ) y Divergente ( Qn = 4 ) Y
Sn = -4 Y Sn = -4 Y Diverge
Propiedad
Cuando y son ambas Divergentes Y no podemos afirmar nada acerca de la
Convergencia de
Volvamos al estudio de las Series Semiconvergentes...
Dada la Serie an 0 ú Formamos la serie de sus términos en valor absoluto , si
es la Sucesión de Sumas Parciales asociada a , con las Sumas parciales anteriores,
tendremos que :
Podemos, pues, establecer la convergencia absoluta de estas series mediante :
a) Es Absolutamente Convergente ] y son Convergentes
b) Es Absolutamente Divergente ] una de las dos es Divergente.
Lo demostramos
a) Y es Absolutamente Convergente
Y es Convergente, sea su Sucesión de Sumas Parciales asociada.
De la relación anterior: , õ S'n = S' =>
Y S'n # S' ú n 0 ù
Obviamente ú m 0 ù õ n0 ù / Pm # S'n # S'
Acotada Superiormente Y Convergente
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 41
Análogamente Convergente
Z Convergente , õ = P
Convergente õ = Q
ú n 0 ù S'n # P + Q => , Una Serie de términos positivos al fin y al cabo, será
Convergente y por lo tanto Es Absolutamente Convergente
b Y Es Absolutamente Divergente
Y no está acotada superiormente Y si Y al menos una de ellas
no estará acotada superiormente Y Al menos una de ellas deberá ser Divergente
Z Exactamente el mismo razonamiento
Es Semiconvergente
Expongamos a continuación el efecto que produce sobre el carácter de una Serie, una reordenación
cualquiera de sus términos.
Dada una Serie , entenderemos por Reordenacion de sus términos a la nueva Serie que se
obtiene mediante una biyección en el conjunto de los números naturales, de manera que cada término de
la Serie es reemplazado por el término de la Serie que ocupa el lugar que dicha biyección asocia al orden
de su posición inicial en la Serie.
Así, cada biyección que definamos en N , originará una reordenación de los términos de la Serie
de la siguiente manera:
Sea una de tales biyecciones, llamemos a la nueva Serie
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 42
obtenida mediante la reordenación de términos de originada por la biyección ‘ F’ .
Ejemplo: Dada la Serie , la Serie
Es una reordenación de la Serie
originada por la biyección
tal que:
Veamos a continuación un curiosísimo comportamiento de las Series Semiconvergentes ante la
reordenación de sus términos. Comportamiento, que como veremos un poco más adelante, es exclusivo
de éstas, pues las Series de términos positivos no modifican su carácter ante ninguna reordenación.
Teorema
Una serie semiconvergente puede ser reordenada del tal modo que la serie obtenida
sea :
1. Convergente y tenga por Suma un número " 0 ú
2. Divergente
3. No Sumable
Es decir, reordenando convenientemente los términos de una Serie Semiconvergente, podemos
obtener una nueva Serie cuyo comportamiento podemos decidir a voluntad. ¡¡¡¡ !!!!.
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 43
Demostración.
1.
Sea una Serie Semiconvergente y " 0 ú, un número real cualquiera, vamos a demostrar
que podemos efectuar una reordenación de la Serie, para conseguir una nueva Serie cuya suma sea
precisamente ". Procedamos ordenada y cuidadosamente.........
y sean las Series Auxiliares y definidas anteriormente.
Ambas series son de Términos Positivos
Es una Serie Divergente y de términos positivos Y la Sucesión de Sumas parciales
asociada a , , no está acotada superiormente [ ú k 0 ú õ n0 / k ]
En particular, para el valor ", tomemos n1 0 ù /
p1.+ p2 + ... + # " < p1.+ p2 + ... + ,
es decir, n1 es el primer subíndice para el cual la suma parcial asociada a es estrictamente
mayor que " .
Así:
S'1 # S'2 # ... # # " < .
Como Es Divergente y de términos positivos Y Su Sucesión de Sumas Parciales no está
acotada superiormente, restemos, pues de p1.+ p2 + ... + , un número suficiente de términos
q1 , q2 , ... para que el valor obtenido sea estrictamente inferior a ". Sea n2 el menor de los
subíndices /
p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 - ... - < " # p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 - ... - .
Añadamos ahora los términos positivos sucesivos hasta conseguir
sobrepasar de nuevo a ", sea n1 + n3 el menor de estos subíndices
p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 - ... - + # " < p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 -
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 44
... - +
Restemos ahora el número imprescindible de términos de sucesivos a los anteriores para
que el número obtenido sea inferior a ", sea n4 /
p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 - ... - + - < " # p1.+ p2 + ... + -
q1 - q2 - ... - + -
Prosiguiendo de manera indefinida, construimos una nueva Serie con los términos de
p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 - ... - + - +
+
Si llamamos a la Sucesión de Sumas parciales de esta nueva serie Y
= - > n1 # n # n1 + n2 -1
= - > n1+n2 # n # n1 + n2 +n3 -1
= - > n1 + n2 +n3 # n # n1 + n2 +n3 +n4-1
Y así sucesivamente
Como es una Serie Convergente=>
Si , como => y .
=>
Así pues, la Serie formada por los términos de , reordenados éstos, y cuya Sucesión de Sumas
Parciales es la propuesta anteriormente tiene por suma ", con lo cual damos por concluida la
demostración.
2.
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 45
Para obtener a partir de la Serie dada una Serie divergente hacia +4 reordenando términos ...
Es una Serie Divergente y de términos positivos Y la Sucesión de Sumas parciales
asociada a , , no está acotada superiormente [ ú k 0 ú õ n0 / k ]
En particular, tomemos n1 0 ù /
p1.+ p2 + ... + / p1.+ p2 + ... + > q1 + 1
Y p1.+ p2 + ... + - q1 > 1
tomemos n2 0 ù /
Y p1.+ p2 + ... + - q1 + + ... + - q2 >2
Si llamamos a la Sucesión de Sumas parciales obtenidas, tendremos que :
Y es tal que Y La Serie obtenida Diverge
Análogamente podemos reordenar las términos de la Serie para obtener una Serie hacia -4
3.
Para obtener una Serie No Sumable, podemos aplicar la técnica propuesta en el primer apartado,
pero haciendo tender las Sumas parciales a dos número diferentes, con lo cual la Serie resultante será No
Sumable.
9. Convergencia Condicional e Incondicional
Definición
Una Serie es Incondicionalmente Convergente si es Convergente y cualquier Serie
deducida de ella mediante una reordenación cualquiera de sus términos, también lo es.
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 46
es Condicionalmente Convergente si es Convergente, pero existe alguna reordenación
de sus términos para la cual la Serie es divergente.
Teorema
Sea una Serie de términos positivos Y es incondicionalmente convergente.
El carácter y la Suma de una Serie de términos positivos no se modifica al reordenar de cualquier
manera los términos de la Serie.
Demostración
* Sea una Serie de términos positivos y sea la serie resultante de practicar una
reordenación cualquiera de sus términos mediante una biyección F .
Sean y las Sucesiones de sumas parciales asociadas a y a
respectivamente.
Sea m = máx { F(j) j = 1, 2,... n }
S'n # Sm Y
Como es Convergente Y está acotada superiormente por la Suma de la Serie,
S Y ú n 0 ù õ m 0 ù / S'n # Sm # S
Está acotada superiormente por S
Y Es Convergente y su suma S’ # S Y Las Series de términos positivos son
incondicionalmente convergentes.
Como es una serie de términos positivos Convergente y con suma S’ podemos obtener
mediante la reordenación inversa de F, F-1, cuya existencia garantiza la biyectividad de
F Y S # S’
Y S = S'
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 47
Teorema
Una Serie de términos cualesquiera es Incondicionalmente Convergente ] es Absolutamente
Convergente.
Y Por reducción al absurdo:
Sea , an 0 ú una serie Incondicionalmente Convergente, si No fuese
absolutamente convergente Y sería una serie semiconvergente, para la cual
existirían reordenaciones que la harían perder el carácter de convergente, en contra de la
convergencia.
Z Si es Absolutamente Convergente Y Las Series Asociadas y
serán convergentes.
Reordenando y Serán convergentes Y Convergente Y
incondicionalmente convergente
Teorema
Una Serie de términos reales cualesquiera es Condicionalmente Convergente ] es
Semiconvergente.
Convergencia Condicional
Dada una Serie , podemos obtener una reordenación de sus términos mediante una biyección
en el conjunto de los números naturales. Así, cada biyección que definamos en N , originará una
reordenación de los términos de la Serie de la siguiente manera:
Sea una de tales biyecciones, llamemos a la nueva Serie
obtenida mediante la reordenación de términos de originada por la biyección.
El asunto que nos planteamos ahora es si una reordenación de términos en una Serie influye en su
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 48
carácter. Definamos pues:
Definición
Una Serie se dice que es una Serie Incondicionalmente Convergente si:
T es Convergente
T es Convergente para cualquier reordenación de sus términos definida por una
biyección
Una Serie se dice que es una Serie Condicionalmente Convergente si:
T es Convergente
T es Divergente para alguna reordenación de sus términos definida por una biyección
Propiedad
OToda Serie de términos positivos es Incondicionalmente
Convergente.
O La Suma de una Serie de términos positivos NO se modifica al reordenar de cualquier
forma los términos de la Serie.
Demostrando ........
En efecto, se a , una Serie de términos positivos, y la
Serie reordenada asociada a una biyección cualquiera . Designemos por
y sus respectivas Sucesiones de Sumas Parciales.
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 49
Sea m = máx { }.
.
Si es una Serie Convergente y de términos positivos, estará acotada
Superiormente, por tanto, existe
es, pues, una Sucesión de términos positivos Acotada Superiormente, es decir,
Convergente, será una Serie Convergente.
Además, de las acotaciones anteriores, deducimos que .
Procedamos ahora en otro orden considerando que procede de reordenar la Serie
, sencillamente mediante la biyección , cuya existencia garantiza la
biyectividad de F. De esta manera .
De ambas desigualdades concluimos que: = , con lo cual cerramos la
demostración.
Así, pues, las Series de términos positivos son ‘invulnerables’ ante cualquier reordenación de sus
términos, en cambio, las Series de términos cualesquiera no lo son, como va a quedar de manifiesto en las
siguientes propiedades.
Propiedad.
Una Serie es Incondicionalmente Convergente <=> es Absolutamente
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 50
Convergente.
[Propiedad que nos confirma la definición que en la mayoría de textos de Cálculo se da de las Series
Incondicionalmente Convergentes ]
Demostremos ésta por doble implicación:
=>
S i es Incondicionalmente Convergente, será Convergente, y cualquier Serie
obtenida mediante la reordenación de sus términos , también lo será.
Consideremos la Serie y las Series auxiliares definidas en apartados anteriores
y .
Si no fuese Convergente, sería Semiconvergente y no podría ser
incondicionalmente Convergente. Así será Convergente, y por tanto será
Absolutamente Convergente.
<=
Si es Absolutamente Convergente, y serán ambas Convergentes.
Una reordenación cualquiera de términos de , produce una reordenación en las
Series auxiliares y , pero al ser ambas Series de términos positivos, su carácter
no se modifica, como es Absolutamente Convergente => y , serán
Convergentes, así pues, la Serie reordenada , es Convergente, por lo tanto es
Incondicionalmente Convergente.
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 51
Y, para finalizar,
Propiedad.
Una Serie es Incondicionalmente Convergente <=> es Absolutamente
Convergente.
Sigamos...
Sumando una Serie
Veamos a continuación algunas de las técnicas utilizadas con mayor frecuencia para obtener la
Suma de una Serie Convergente, en las contadas ocasiones en las que ésta se puede obtener..
Suma de la Serie Geométrica
Ya en la parte de teoría hicimos una exposición técnica del concepto de Serie Geométrica, vamos
a dar en esta parte un nuevo enfoque, un poco más práctico que el que ya hemos visto...
Una Serie Geométrica se origina por la suma de los términos de una sucesión geométrica de primer
término a1 y razón r.
Recordemos que :
1< Una colección ordenada de números a1, a2, ... , an , ... forman una Sucesión Geométrica, si cada
uno de ellos ( excepto el primero ), se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante
llamado Razón de la Sucesión Geométrica.
Así :
2< La SUMA de los 'n' primeros términos de una sucesión geométrica es:
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 52
de donde, la SUMA de la correspondiente Serie Geométrica es :
[ Como la Serie debe ser convergente Y ] =
.
Su suma es :
Así pues, para obtener la SUMA de una Serie Geométrica bastará con obtener :
1º.- El primer término de la misma
2º.- La razón
3º.- y aplicar la fórmula anterior
L NOTA : En ocasiones tiene alguna dificultad hallar el primer término y la razón de una
Sucesión Geométrica. Para hallarlos, se sugiere desarrollar los tres o cuatro primeros
términos de la Serie asociada, y deducirlos.
Ejemplo 16.-
<Términos
<Carácter
<Suma
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 53
Suma de Series mediante Descomposición del término general an
Una Serie se puede sumar por descomposición, cuando su término general, an , se puede
descomponer en una suma de varias expresiones ( descomposición en suma de fracciones simples, cuando
an es un cociente de sucesiones polinómicas, propiedades de los logaritmos, raíces , etc..)
Por ejemplo, se pueden sumar por descomposición de su término general an:
Como caso particular, podemos considerar las series Telescópicas en las que an = bn+1 - bn, y en
las cuales, la factorización ya está realizada..
En cualquier caso, la técnica a aplicar consiste en obtener Sn a partir de la descomposición de an.
mediante cualquiera de los procedimientos conocidos.
Comencemos con el más conocido
Método de Descomposición en Sumas de Fracciones Simples
Cuando el término general de la Serie, an, es un cociente de Sucesiones Polinómicas,
podemos obtener una descomposición de an, en Suma de Fracciones Simples, según sean las raíces
del denominador de an. Estudiaremos el caso de que an solo tenga raíces reales simples.
En caso de raíces múltiples y raíces imaginarias utilizaremos el método de Dirichlet tal y como lo
empleamos en la descomposición en Sumas de Fracciones simples para integrar una función racional.
A continuación, una vez propuesta la descomposición, colocaremos unos a continuación de otros,
los primeros seis o siete términos, o más si es conveniente, y los tres o cuatro últimos.
Cancelar en las diferentes líneas aquellas sumas de términos que den cero, y hallar Sn.
Basta con aplicar límite a la expresión obtenida de Sn, para hallar la suma de la serie.
Ejemplo
<Carácter
Se trata, pues, de una Serie de términos positivos.
<Suma
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 54
Propongamos una descomposición en fracciones, según las raíces del polinomio del denominador:
n = 0 y n = -2
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 55
Comentario : Observando la igualdad de fracciones obtenida, Y
al igualar los numeradores, 1 = A (n+2) + BAn , también podemos proceder a asignar valores a "n"
que nos permitan hallar A y B. Si asignamos a "n" el valor de cada una de las raíces obtenidas,
lograremos A y B con suma facilidad.
Así :
Encontrarás más formas de sumar por descomposición en los problemas resueltos del 25 al 32.
Suma de Series Hipergeométricas
Una Serie de términos positivos , es una Serie Hipergeométrica,
si el cociente es de la forma: , " Ö 0.
µ Si una serie es Hipergeométrica y converge su suma es
Demostración:
Ejemplo 19.- Estudiar el carácter y la suma de :
<Carácter
<Suma ¿ Es Hipergeométrica ?
Al ser Hipergeométrica y convergente
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 56
Suma de Series Aritmético-Geométricas
Llamamos serie Aritmético-Geométrica a una serie de la forma
y P(n) una Sucesión Polinómica de grado p.
Para sumar este tipo de Series, se emplea la técnica que vamos a explicar a continuación, tantas
veces como indique el grado de P(n).
Técnica :
Ejemplo Estudiar el carácter y hallar la suma de :
<Carácter
Serie de Términos Positivos :
<Suma
Es del tipo aritmético-geométrica
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 57
Una variante más sencilla de esta técnica de suma consiste en escribir únicamente los cuatro o cinco
primeros términos de la serie, y aplicar la técnica anterior. Tengamos en cuenta que la convergencia de la
serie obliga a an a tender a cero, lo cual lógicamente obliga a tender a cero a an-1, an-2, etc.
Sumemos la serie anterior con esta variante:
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 58
Suma de Series cuyo término general tiene expresiones Factoriales en el
Denominador
Se suman con esta técnica aquellas Series cuyo numerador es un polinomio en “n” y el denominador
es una expresión con factorial ( n!, (n+1)!, etc )
La técnica adecuada se apoya en un resultado del cálculo infinitesimal, procedente del desarrollo
en Serie para la función f(x) = ex
Como Y tomando n = 1 Y es decir :
Planteemos pues, la técnica adecuada para sumar este tipo de Series , , ...
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 59
* Sea p = grado P(n)
Como hemos de expresar en una SUMA de Factores propondremos como suma de p+1
factores :
........................................................................
P+1-términos
* Hallar los coeficientes
* A continuación, ajustar cada una de las p+1 series obtenidas al desarrollo conocido.
P Sumar los valores obtenidos
NOTA En el numerador, no obstante la expresión propuesta, se empieza la factorización en
sentido descendente con el elemento del denominador que aparece con el factorial
Ejemplo :
Serie
[ Se comprueba que la Serie es Convergente, es una Serie de términos positivos. El criterio
del Cociente mediante límite lo resuelve con suma facilidad ]
Suma
Suma por descomposición en factoriales (¡ Claro ! )
Tal como hemos propuesto :
Y
Y
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 60
Igualando coeficientes
= =
=
Desarrollando cada suma por separado :
= e ( pues )
Veamos otro ejemplo : Obtener la Suma de la serie Convergente :
* Suma por descomposición en FACTORIALES :
grado de 3n + 2 = 1
Descomposición propuesta :
Y A = 3, B = 2 (¡ Obvio ! )
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 61
Por tanto :
Un poco más sencillo ¿ verdad ?
Suma de Series con términos de la Serie Armónica
Recordemos del tema Sucesiones de números reales, que es el término general
de una Sucesión Monótona, estrictamente Creciente y cuyo límite es, precisamente, el número irracional
‘e’ (e = 2,718281...)
Puesto que se trata de una Sucesión Estrictamente Creciente =>
Aplicando logaritmos Neperianos a ambos lados de la desigualdad:
Por otro lado, también sabemos del tema Sucesiones, que es el término general
de una Sucesión Monótona, estrictamente Creciente y cuyo límite es 1/e
Puesto que se trata de una Sucesión Estrictamente Creciente =>
Operando como anteriormente
Aplicando logaritmos Neperianos a ambos lados de la desigualdad:
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 62
Por lo tanto, a la vista de las dos desigualdades anteriores, podemos establecer que:
Asignando valores a ‘n’ en la doble desigualdad anterior, obtenemos que:
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 63
Sumando cada miembro de las desigualdades:
(II)
Llamemos , a la Sucesión de Sumas Parciales de la Serie Armónica ,
, podemos escribir la relación (II) de la siguiente forma
, operando con habilidad
Considerando n+1 = n , en la primera desigualdad =>
Operando en la segunda desigualdad => ,
Ambas expresiones nos permiten una magnífica acotación de
Observemos el comportamiento de esta acotación cuando n tienda a infinito,
[Supondremos n>1, sin que por ello se vea afectado el resultado]
Como n>1, Ln(n) no se anula para ningún valor de ‘n’, además Ln(n)>0, dividamos pues la doble
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 64
desigualdad anterior por Ln(n).....+
Como , aplicando la propiedad del Emparedado
=> y son Infinitos Equivalentes.
Consideremos, pues, la Sucesión /
Estudiemos su monotonía:
Así, pues, es una Sucesión monótona estrictamente decreciente.
Por otro lado, de (III), sabemos que
está acotada inferiormente
Al ser una Sucesión monótona estrictamente decreciente y acotada inferiormente, es una
Sucesión Convergente.
Llamemos .
Completamos, pues, una interesante expresión para describir el término general de la Suma Parcial
de Orden ‘n’ de la Serie Armónica :
, y ‘E’ es la llamada constante de Euler-
Masqueroni.
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 65
Veamos como utilizar esta expresión para obtener la Suma de algunas Series con términos de la
Armónica:
Y A partir de la cual
Y
Y
Y notaremos
Y Suma ‘n’.primeros términos armónica Hn
Y Suma primeros términos pares armónica hasta 2n
Y Suma primeros términos impares armónica hasta 2n-1
El proceso de suma con ayuda de esta técnica consiste en descomponer la fracción en suma de
fracciones simples, a continuación efectuar la suma de los n primeros términos ( o los que convenga ) y,
a continuación, supuesto que los términos no se anulan, aplicar la fórmula que hemos obtenido.
Ejemplo : Estudiar el carácter y estudiar la convergencia de la serie :
i) Convergencia
Al ser una Serie Alternada, estudiemos la convergencia absoluta
=
Aplicando el criterio de Pringsheim
Sea " 0 ú / Y La Serie Converge
Y Es absolutamente Convergente Y es Convergente
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 66
ii) Suma
Propongamos en primer lugar, una descomposición en suma de fracciones simples
Si
Y 1 = A (n+3) + B (n+2) Y
= =
Damos valores a “n”
......................
XB
Apuntes
Series
Tema : Series Numéricas. Pàgina 67
Aplicando límite a ambos lados de la igualdad