Тема 12: Числові ряди

1. Основні поняття теорії числових рядів2. Знакододатні ряди3. Знакозмінні ряди

1.1. Поняття числового ряду

Нехай – числова послідовність.

Вираз

називається числовим рядом,

числа – члени ряду,

– n-й або загальний член ряду.

Ряд (1) вважається заданим, якщо відоме правило, за яким для

довільного номера n можна записати відповідний елемент

ряду:

Приклад:

1 2 3

1

n n

n

a a a a a

1 2, , ..., , ...

na a a

na

(1)

1 2, , ..., , ...

na a a

( ).n

a f n

...!

1...

!3

1

!2

11

!

1

...2

1...

4

1

2

1

2

1

nnu

u

n

nnn

Інший спосіб задання ряду – за допомогою рекурентного

співвідношення, яке задає наступний елемент через попередні.

Приклад:

Послідовно знаходимо:

і так далі.

Отримуємо ряд:

21213

1

2

1,

2

1,1 nnn uuuuu

12

71

3

1

2

1

2

13 u

24

11

2

1

3

1

12

7

2

14 u

...24

11

12

7

2

11

Сума скінченної кількості n перших членів ряду (1)

називається n-ою частковою сумою.2 n

a a 1n

S a

1 1,S a 2 1 2

, ...,S a a

1 2.

n nS a a a

Для ряду (1) можна побудувати послідовність n-их часткових сум

, яка може збігатися або розбігатися nS

Якщо послідовність часткових сум ряду (1)

збігається, тобто існує скінченна границя

то ряд (1) називається збіжним, а число – S –

сумою даного ряду ( ).

Якщо не існує або нескінченність, то

ряд (1) називається розбіжним.

lim ,n

nS S

1

n

n

S a

limn

nS

1.2 Збіжні та розбіжні ряди

Приклад 1

1. Ряд 0+0+0+...+0+... збіжний, його сума S=0.

2. Ряд 1+1+1+...+1+... розбіжний, оскільки границя

3. Ряд 1-1+1-1+... розбіжний, оскільки послідовність часткових сум

не має границі.

lim lim .n

n nS n

11,S

20,S 3

1,...S

Геометричний ряд

1

112 ......n

nn aqaqaqaqa

q

qaS

n

n

1

)1(При 1q сума n членів

геометричної прогресії

1q

1q

0lim

n

nq

n

nqlim

q

a

q

qaS

n

nn

n

11

)1(limlim

ряд збігається

nn

Slim ряд розбігається

Геометричний ряд

1q

anSn

nn

limlim ряд розбігається

ряд має вигляд ...... aaaa

1q

nn

S

lim ряд розбігається

ряд має вигляд ...)1(... 1 aaaa n

,0nS при n-парному; ,aSn при n-непарному

не існує

Таким чином

1q ряд збіжний і

1

1

n

naq

q

aS

11q ряд розбіжний

1

1

n

naq

1.3 Властивості збіжних рядів

10. Якщо ряд збіжний і його сума дорівнює S,

то ряд

теж збіжний і його сума дорівнює cS, с – деяке число.

1 2

1

... ...,n n

n

cu cu cu cu c

1

n

n

u

Якщо всі члени збіжного ряду помножити на одне і теж

число, то отриманий ряд залишиться збіжним, а його

сума помножиться на це число.

Приклад 2

2 3 40

1 1 1 1 1 11 .... ...

2 2 2 2 2 2n nn

Відомо, що ряд

збігається. Показати, що збігається і ряд

4 3 2

2 3 4 4 40

1 1 1 1 1 12 2 2 2 1 .... ...

2 2 2 2 2 2n nn

44

4 40 0 0 0

1 1 2 12

2 2 2 2 2n n n nn n n n

Останній ряд отримали з першого множенням на с=24

20. Якщо ряди

збігаються і їх суми дорівнюють відповідно S’ і S’’,то

й кожний з двох рядів збігається і

сума кожного дорівнює відповідно S’∓S’’.

1 2 3

1

... ...n n

n

v v v v v

1 2 3

1

... ...n n

n

u u u u u

Збіжні ряди можна почленно додавати і віднімати.

1

n n

n

u v

Приклад 3

0

2 3 5 13 2 32 ... ...

6 6 36 6

n n n n

n nn

Дослідити на збіжність ряд

і якщо він збігається, знайти його суму S.

Розв’язок

0 0 0 0

2 2

2 3 2 3 1 1 1 1

6 6 6 3 2 3 2

1 1 1 11 1 ...

3 2 3 2

n nn n n n

n n n n nn n n n

Даний ряд можна записати у вигляді

або 0 0 0

1 1 1 1

3 2 3 2n n n nn n n

Розглянемо кожний з отриманих двох рядів

і

20

1 1 1 11 ... ...

3 3 3 3n nn

20

1 1 1 11 ... ...

2 2 2 2n nn

Оскільки вони є рядами спадної геометричної

прогресії, то вони збігаються і їх суми дорівнюють

відповідно:

13

1 3lim lim

1 2n

n nS S

Отже, даний ряд збігається і його сума:

12

1lim lim 2

1n

n nS S

3 72

2 2S S S

30. Якщо до ряду

додати або відкинути скінченну кількість членів,

то отриманий ряд збігається або розбігається

одночасно з даним.

У випадку збіжності розглянутих рядів їх суми

відрізняються на суму доданих або відкинутих

членів.

1 2 3

1

... ...n n

n

u u u u u

Приклад 4

2 3 40

1 1 1 1 1 11 .... ...

2 2 2 2 2 2n nn

Відомо, що ряд

збігається. Тоді збігається і ряд:

3 5 6 1

1 1 1 1100 2 .... ...

2 2 2 2n

отриманий з даного відкиданням і додаванням

скінченної кількості членів.

• Сума

називається n-им залишком ряду

1 2

1

... ...n n n n k n k

n

r u u u u

1

n

n

u

Оскільки залишок отримуємо з заданого ряду

відкиданням, а заданий ряд із залишку - додаванням

скінченної кількості членів, то за властивістю 30, вони

одночасно збігаються або розбігаються.

• Якщо ряд збіжний, то 1

n

n

u

Тобто залишок збіжного ряду прямує до нуля при

необмеженому зростанні n.

В питаннях наближених обчислень важливу роль відіграєоцінка точності наближення.

Якщо значення даної величини представлено у вигляді ряду,то оцінку наближення за допомогою часткових сум можнаотримати шляхом дослідження залишку ряду.

lim lim lim lim 0n n nn n n n

r S S S S S S

1.4 Необхідна умова збіжностічислового ряду

Якщо ряд збігається, то загальний

член ряду прямує до нуля при ,

тобто

1

n

n

a

na n

lim 0.n

na

Якщо

або не існує, то ряд розбіжний.

lim 0n

na

1

n

n

a

Приклади

1 2)1(

n

n

n

n1.

ряд розбігається

1

1...

1...

3

1

2

11

n nn2.

Необхідна умова збіжності виконується

01

1

2)1(limlim

n

na n

nn

n

гармонічний ряд

01

limlim n

an

nn

Доведемо, що цей ряд розбіжний

Гармонічний ряд

nnnS n

2

1...

1

11...

3

1

2

112

Запишемо суму перших 2n і n членів ряду:

nSn

1...

3

1

2

11

nnSS nn

2

1...

1

12

;...2

1

2

1;

2

1

1

1

nnnn

Оскільки , то

2

1

2

1

2

1...

2

1

2

12

nn

nnnSS nn

Припустимо навпаки. Нехай гармонічний ряд збігається

SSS nn

nn

2limlim

Перейшовши до границі в нерівності, отримуємо

2

10limlim)(lim 22

SSSSSS n

nn

nnn

n

суперечність

2. Знакододатні ряди. Достатні умови збіжності

Числовий ряд, у якого всі члени додатні (від'ємні),

називається знакододатним (знаковід'ємним) рядом.

Ряд називається знакосталим, якщо він

знакододатний або знаковід'ємний.

Часткові суми знакододатних рядів утворюють

зростаючу числову послідовність

Лема. Якщо часткові суми ряду з додатними елементами

обмежені зверху, то ряд збігається. ( )MSn

Зауваження. Якщо знакододатний ряд розбігається, то

його часткові суми прямують до нескінченності, тобто

або .

nn

Slim

1n

nu

......21 nSSS

Якщо для елементів рядів

справедлива нерівність

для всіх , то

• якщо ряд (3) збіжний, то ряд (2) теж збіжний;

• якщо ряд (2) розбіжний, то і ряд (3) розбіжний.

1

n

n

a

1

n

n

b

0n n

a b

0n n N

(2) (3)

Ознака порівняння

Гранична ознака порівняння

Нехай і

– ряди з додатними членами, причому існує

скінченна відмінна від нуля границя

Тоді ряди

збігаються або розбігаються одночасно.

1

n

n

a

1

n

n

b

lim 0.n

nn

aA

b

1

,n

n

a

1

n

n

b

Ряди, що використовуються для порівняння

10 q ряд збігається

1q ряд розбігається

1

1

n n

1 ряд збігається

1 ряд розбігається

1

1

n

naq

Приклад

1. Ряд – збіжний (як

узагальнений гармонійний при

2. Ряд – розбіжний (як

узагальнений гармонійний при

2

1

1

n n

2 1.p

121

1

n n

1 1

2p

Приклади

2 ln

1

n n1.

ряд розбіжний

2.

nnnn

ln

11ln 2n

1

1

n nряд розбіжний

2 ln

1

n n

12

2

4

sin

n n

n

ряд збіжний

222

22 1

4

1

4

sin1sin

nnn

nn

1n

12

1

n nряд збіжний

12

2

4

sin

n n

n

13

2

5

46

n n

n3.

ряд розбіжнийряд розбіжний

1

1

n n

041

5

46lim

3

2

nn

n

n

13

2

5

46

n n

n

Ознака ДаламбераНехай – ряд з додатними членами,

і існує скінченна границя

Тоді, якщо , то ряд збігається;

якщо , то ряд розбігається;

якщо l=1, то ряд може як збігатися, так і

розбігатися.

1

n

n

a

1lim .n

nn

al

a

1l

1l

Нехай для ряду ( )

Тоді, якщо l<1, то ряд збігається;

якщо l>1, то ряд розбігається;

якщо l=1, то ряд може як збігатися, так і

розбігатися.

Ознака Коші

1n

nа ,Nn 0na lann

n

lim

Приклади

11 !

6

2

1

!2

6

n

n

n

n

nn1.

101

6lim

6

!

)!1(

6limlim

1

1

n

n

na

a

nn

n

nn

n

n

-ряд збігається за ознакою

Даламбера

1

6 2

)3

11(

n

n

n2.

1))3

11((lim)

3

11(limlim 2236

e

nna n

n

n

n

nn

n

- ряд розбігається

За ознакою Коші

Якщо , де f(x) – функція додатня, монотонно

спадна і неперервна при

то ряд і невласний інтеграл

збігаються або розбігаються одночасно.

Інтегральна ознака Коші

1n

nа

)(nfаn

,1 ax

a

dxxf )(

1

1

n n

aa

xx

dx

x

dx

aa

a

alnlim

1lnlimlim

11

- ряд розбігається

- розбігається

3. ЗНАКОЗМІННІ РЯДИ

Знакозмінні та знакопочережні ряди

Знакозмінний ряд виду

де для всіх називається

знакопочережним.

1

1 2 3 4

1

1

( 1)

( 1)

n

n

n

n

n

a a a a a

a

0n

a ,n N

(4)

Ряди, які містять як додатні, так і від'ємні члени

називаються знакозмінними.

Ознака Лейбніца

Нехай задано знакопочережний ряд (4). Якщо

виконуються умови

1) послідовність абсолютних величин членів ряду

монотонно спадає:

2) загальний член ряду прямує до нуля при

:

то ряд збігається. При цьому сума ряду

задовольняє нерівність

1 2 3;

na a a a

n lim 0,n

na

10 .S a (5)

Абсолютно та умовно збіжні ряди

• Знакозмінний ряд називаєтьсяабсолютно збіжним, якщо збігається ряд,складений з модулів його членів.

Твердження. Якщо ряд збігається абсолютно,то він збігається.

• Знакозмінний ряд називається умовнозбіжним, якщо він збігається, алерозбігається абсолютно.

1n

na

......21

1

n

n

n aaaa

Тобто ряд - збігається,

а ряд - розбігається.

1n

na

1n

na

Достатня умова збіжності

збігається за ознакою Лейбніца

Твердження обернене достатній умові

збіжності неправильне

1

1 1)1(

n

n

n

1

1

n nрозбігається як гармонійний ряд

Приклад

13

cos

n n

n

13

cos

n n

n

13

1

n n

33

1cos

nn

nNn , оскільки 1cos n

13

1

n n- збіжний

13

cos

n n

n- збіжний

13

cos

n n

n- збіжний

Ряд порівняємо з рядом