СУММЫ СТЕПЕНЕЙ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОМБИНАТОРНЫХ ТОЖДЕСТВ В ТРИГОНОМЕТРИИ И АЛГЕБРЕ

Выполнила: Назарова Софья 9кл, Гимназия №2

Руководитель: E.Г Секацкая., учитель математики и информатики

Красноярск 2012

n

m

kkkkk nm1

...321

k=1,,

k=2,

n

m

nnnnm

1

22222

6

)12)(1(...321 ……….….(2)

k=3,

n

m

nnnm

1

2233333

4

)1(...321 …………(3)

k=4,

n

m

nnnnnnm

1

2344444

30

)196)(1(...321 …….(4)

n

m

nnnm

1 2

)1(...321 ………(1)

x

xx n

1

1

t

tt

t

tt nn

1)1()1()1( 11

…(*)

nxxx ...2

nttt )1(...)1(1 2

Разложим выражение 1)1( nt по биному Ньютона:

tnt n )1(1)1( 1

....24

)2)(1()1(

6

)1()1(

2

)1( 1432

nttnnnn

tnnn

tnn

Значит равенство *(после вычитаний в числителе и сокращения на t) может быть представлено в виде:

nttt )1(...)1(1 2

nnnnnnn ttCtCtCtCtCtCn ...67

156

145

134

123

12

1

Продифференцируем обе части этого равенства по параметру t, получим:

t)n(1t)2(11 1-n 157

146

135

124

13

12

1 ...65432 n

nnnnnn nttCtCtCtCtCC ..(**)

Чтобы получить формулу (1) осталось подставить t=0:

n21 )1....(....................2

)1(

)!1(!2

)!1(21

nn

n

nCn

n

m

nnnm

1 2

)1(...321

Чтобы получить следующие формулы умножим выражение (**)

на (1+t) и сгруппируем в правой части подобные по t : n2 t)n(1t)2(1t)(1

nnn

nnnnnnnnn

nttCC

tCCtCCtCCtCCC

...)65(

)54()43()32()2(57

16

1

461

51

351

41

241

31

31

21

21

Продифференцируем обе части полученного выражение по параметру t:

t)(1nt)(121 1-n222

*)*.(*.............)65(5

)54(4)43(3)32(221247

16

1

361

51

251

41

41

31

31

21

n

nn

nnnnnnnn

tntCC

tCCtCCtCCCC

t)n(1t)2(11 1-n

1571

461

351

241

31

21 ...65432

nnnnnnn nttCtCtCtCtCC

Подставляем t=0 чтобы получить формулу (2):

222 n21 3

12

1 2 nn CC

)2.........(6

)12)(1(

6

)223)(1(

)!2(!3

)!1(2

2

)1(

nnn

nnn

n

nnn

n21 21nC

31

21 2 nn CC

51

41

31

21 243614 nnnn CCCC

222 n21

333 n21 41

31

21 66 nnn CCC

444 n21Отсюда ,обозначив коэффициенты комбинаций через К получаем формулу суммы произвольных степеней:

n

k

i

j

jnji

i CKk1 1

11,

21nC

При

31nC

При

41nC

При

51nC

При

61nC

При

71nC

При

81nC

При

91nC

k=1 1  

k=2 1 2  

k=3 1 6 6  

k=4 1 14 36 24  

k=5 1 30 150 240 120  

k=6 1 62 540 1560 1800 720  

k=7 1 126 1806 8400 16800 15120 5040 

k=8 1 254 5796 40824 126000 191520

141120 40320

При При

«Интересный» треугольник

СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА

Коэффициент при всегда равен единице. Числа стоящие по главной диагонали равны n!

(где n=k– показателю степени суммируемых слагаемых). Коэффициенты при можно найти по формуле Коэффициент стоящий в i-той строке, j-том столбце можно

найти по следующей рекуррентной формуле:

21nC

31nC 1)-2(2 1-k

jKKK jijiji )( ,11,1,

sinxsiny-cosxcosy=y)+cos(x)8

cosxsiny+sinxcosy=y)+sin(x)72

cos2x)+(1= xcos)6

2

cos2x)-(1=xsin)5

1=xcos+xsin)4

xsin-xcos=cos2x)3

2sinxcosx=sin2x)2

e=e e)1

2

2

22

22

y)+(xyx

ПРИМЕР 1:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

+

+

…

...5!5!

12+

3!7!

12+

1!9!

1 2 : x …

4!6!

1 2-

2!8!

1 2-

1!10!

1 2- :x

3!5!

1 2-

1!7!

1 2- : x

4!4!

1+

2!6!

12+

1!8!

1 2 : x

3!3!

1+

1!5!

12 : x

2!4!

1 2-

1!6!

1 2- :x

1!3!

1 -2: x

2!2!

1+

1!4!

12 :x

1 :x 1!2!

1 2- :x

: xsin У2) :xcos У1)

1010

88

66

44

22

2 2

( 1

ИТАК:

Пример 2:

Доказательство:

РАБОТА

НЬЮТОН

БЕРНУЛЛИ

ТЕЙЛОР

ПАСКАЛЬ

ЭЙЛЕР

ИТОГИ Получена и доказана рекуррентная

формула для вычисления сумм степеней членов арифметических прогрессий.

Получен «интересный» числовой треугольник, рекуррентное соотношение его элементов.

Доказаны формула умножения показательной функции и основные тригонометрические тождества с помощью разложения cosx и sinx.

Получены формулы сумм различных биноминальных коэффицентов.

…

Сравнительное применение полученного нами треугольника и треугольника Паскаля с числами Бернулли

Возведение любого натурального числа в любую натуральную степень

Альтернативное доказательство тригонометрических формул с помощью нашего метода