Ф.Г.АВХАДИЕВ, Р.Г.НАСИБУЛЛИН › docs › F2133883869 › __Main.pdfщий...

Ф.Г.АВХАДИЕВ, Р. Г.НАСИБУЛЛИН 3

Ф. Г.Авхадиев, Р. Г.Насибуллин

Казанский (Приволжский) федеральный университет,[email protected], [email protected]

НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ В ОБЛАСТЯХС ОГРАНИЧЕННЫМ ВНУТРЕННИМ РАДИУСОМ

Пусть Ω – открытое собственное подмножество ℝ𝑛 , 𝐶10 (Ω)

– пространство непрерывно дифференцируемых функций скомпактным носителем в Ω и 𝛿 = 𝛿(𝑥) = dist(𝑥, ∂Ω) – функ-ция расстояния до границы области. Ф. Г. Авхадиев в статье [1]доказал следующее утверждение: пусть Ω – открытое мно-жество в ℝ𝑛 , Ω ∕= ℝ𝑛 . Если 1 ⩽ 𝑝 < ∞ и 𝑛 < 𝑠 < ∞ ,то ∫

Ω

∣𝑓 ∣𝑝𝛿𝑠

𝑑𝑥 ⩽(

𝑝

𝑠− 𝑛

)𝑝 ∫Ω

∣∇𝑓 ∣𝑝𝛿𝑠−𝑝

𝑑𝑥 ∀𝑓 ∈ 𝐶10 (Ω), (1)

причем постоянная 𝑝𝑝(𝑠−𝑛)−𝑝 является точной для ряда об-ластей Ω .

Неравенство (1) является прямым аналогом классическогоодномерного неравенства типа Харди (см. [2]).

Используя методы статьи [1], мы доказали следующий ана-лог неравенства (1) в том случае, когда 𝑠 < 𝑛 и Ω ⊂ ℝ𝑛 явля-ется произвольной областью с конечным внутренним радиусом

𝛿0(Ω) := sup{𝛿(𝑥,Ω) : 𝑥 ∈ Ω}.

Теорема 1. Пусть Ω ⊂ ℝ𝑛 – произвольное открытое мно-жество, причем 𝛿0(Ω) < ∞ , и пусть 𝑝 ∈ [1,+∞) и 𝑙 ∈ [1, 𝑝] .Тогда для любого 𝑠 ∈ (−∞, 𝑛) и для любой функции 𝑓 ∈ 𝐶1

0 (Ω)

имеет место неравенство∫Ω


𝑑𝑥 ⩽(𝑝𝛿𝑛−𝑠

0

𝑛− 𝑠

)𝑙 ∫Ω

∣𝑓 ∣𝑝−𝑙∣∇𝑓 ∣𝑙𝛿𝑠+𝑙(𝑛−1−𝑠)

𝑑𝑥. (2)

4 Л.Р.АЗМУХАНОВА

В случае, когда Ω – выпуклая область в ℝ𝑛 , имеет местоТеорема 2. Пусть Ω ⊂ ℝ𝑛 – открытое множество, ком-

поненты которого являются выпуклыми множествами, с ко-нечным внутренним радиусом 𝛿0(Ω) , и пусть ∀𝑓 ∈ 𝐶1

0 (Ω) 𝛿 :=

= dist(𝑥, ∂Ω). Если 1 ⩽ 𝑝 <∞ и −∞ < 𝑠 < 1 , то∫Ω


𝑑𝑥 ⩽(

𝑝

1 − 𝑠

)𝑝

𝛿0(Ω)𝑝(1−𝑠)

∫Ω

∣∇𝑓 ∣𝑝𝛿𝑠−𝑠𝑝

𝑑𝑥, (3)

причем, константа неравенства (3) при 𝑝 = 1 является точ-ной.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ(гранты № 11-01-00762-a и 12-01-00636-a).

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. AvkhadievF. G., Hardy type inequalities in higherdimensions with explicit estimate of constants // LobachevskiiJ. Math. – 2006. – V. 21. – P. 3–31.

2. HardyG. H., Littlewood J. E. and PolyaG. Inequalities. –Cambridge: Cambridge University Press, 1973. – 340 p.

Л.Р.Азмуханова

Казанский (Приволжский) федеральный университет,[email protected]

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОПРОСОВ ИСТОРИИМАТЕМАТИКИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ

ГЕОМЕТРИИ В 8 КЛАССЕ

Знакомство с историей науки полезно для каждого челове-ка, а для преподавателя знание основных фактов истории той

Л.Р.АЗМУХАНОВА 5

дисциплины, которую он преподает, знание закономерностейее развития абсолютно необходимо. Современная школьнаяпрограмма указывает на необходимость знакомства учениковс фактами из истории математики и биографиями великих ма-тематиков. Вопрос об использовании элементов истории в пре-подавании математики обсуждался на съездах преподавателейматематики еще в XIX – в начале XX века [3]. История матема-тики тысячами нитей связана с историей других наук, историейтехники, историей искусства, она – существенная часть чело-веческой культуры. В ней ясно обозначен вклад в математикуученых, представителей народов Востока и Запада, древних иновых, больших и малых [2]. Экскурс в историческое прошлоеоживляет курс математики, поднимает интерес к ее изучениюи убеждает учащихся в том, что математика, как и другие на-уки, является результатом работы многих великих ученых напротяжении тысячелетий. Также вводимый на уроках истори-ческий материал усиливает творческую активность учащихся,это происходит посредством включения их в поиск новых спо-собов решения интересных исторических задач. Беседы учите-ля с учащимися по истории науки представляют богатейшиевозможности для возбуждения творческих сил учащихся, дляукрепления их веры в собственные силы. История математикидает в руки учителю огромные возможности для выяснения ро-ли математики в развитии других наук. История математикиявляется мощным средством исследования методологическихвопросов самой математики, таких, как происхождение поня-тий и влияние практики на развитие математики [3].

О значении истории науки прекрасно сказал Г.Лейбниц:“Весьма полезно познать истинное происхождение замечатель-ных открытий, особенно таких, которые были сделаны не слу-

6 Л.Р.АЗМУХАНОВА

чайно, а силою мысли. Это приносит пользу не столько тем,что история воздает каждому свое и пробуждает других до-биваться таких же похвал, сколько тем, что познание методана выдающихся примерах ведет к развитию искусства откры-тия”. Эта сторона истории математики исключительно важнадля воспитания молодого поколения, и примерами из историинауки учитель может сделать очень много для пробужденияинтереса, по крайней мере, некоторых учащихся к поискамнового и неизвестного. Хорошо подобранными примерами изжизни ученых можно показать, как много неизвестного окру-жает нас, находится рядом, но мы только этого не замечаем,поскольку слишком привыкли к нему, и не можем взглянутьна него с новых, непривычных позиций. Основное содержаниеистории математики видно в выявлении причин появления техили иных идей, основных понятий и направлений исследова-ния, в формулировке закономерностей развития математики,выявлении ее связей с жизнью общества, в том числе с дру-гими науками. Знакомство учеников с развитием математикиозначает продуманное планомерное ознакомление на уроках снаиболее важными событиями из истории науки в органиче-ской связи с систематическим изучением программного мате-риала. Много значит выбор материала и способ ее изложения.На уроке на это нужно отводить 3-5 минут, но не более. Еслиначать такую работу с 5 класса и проводить ее систематиче-ски, то со временем исторический элемент станет для самихучащихся необходимой частью урока. В результате такой связиу школьников пробудится повышенный интерес к предмету [3].Приведем примеры изложения исторического материала неко-торых тем курса геометрии для 8 класса.

Л.Р.АЗМУХАНОВА 7

Тема: “Теорема Пифагора”.Долгое время считалось, что до Пифагора эта теорема не

была известна. Однако установлено, что эта важнейшая тео-рема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200лет до Пифагора. О том, что треугольник со сторонами 3; 4;5 прямоугольный, знали за 200 лет до н.э. египтяне, которыепользовались этим отношением для построения прямых угловпри строительстве. В Китае предложение о квадрате гипотену-зы было известно за 500 лет до Пифагора. Эта теорема былаизвестна и в Древней Индии.

Как помогала теорема Пифагора в жизни? Приведем слу-чай из следственной практики. Получив сообщение о краже,следователь выехал на место происшествия. Заявитель утвер-ждал, что преступник проник в помещение через окно. Осмотрпоказал, что подоконник находится на расстоянии 124 см отземли. Поверхность Земли на расстоянии 180 см от стены по-крыта густой порослью, не имевшей повреждений. Возниклопредположение о том, что преступник, проникая через окно,как-то преодолел расстояние между наружным краем порослии подоконником. С помощью теоремы Пифагора вычислилиэто расстояние 219 см. Ясно, что преодолеть самому его безлестницы нельзя, но ее не нашли. Следователь выдвинул вер-сию об инсценировке кражи, что и подтвердилось. Так помоглагеометрия.

Тема: “Подобие”.Идея отношения и пропорции зародилось в глубокой древ-

ности. Одинаковые по форме, но разные по величине фигу-ры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. Всохранившейся погребальной камере фараона Рамзеса II име-ется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которых

8 М.В.АНТИПОВА

на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших раз-меров. Учение о подобии фигур было создано в Древней Грециив V-IV вв. до н.э. трудами Гиппократа, Архида, Евдокса. Оноизложено в 6-ой книге “Начал” Евклида. Символ, обозначаю-щий подобие фигур, есть не что иное, как повернутая буква S –первая буква в слове “similis”, что в переводе означает подобие.


1. АтанасянЛ.С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия 7-9 кл. –М.: Просвещение, 2004.

2. ГлейзерГ.И. История математики в школе: 7-8 кл. –М.: Просвещение, 1932.

3. МалыгинК. А. Элементы историзма в преподавании ма-тематикой в средней школе. – М.: Учпедиз, 1963.

М.В. Антипова

Московский педагогический государственный университет,[email protected]

ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ТКАНИ БОЛА С ТЕНЗОРОМКРИВИЗНЫ МИНИМАЛЬНОГО РАНГА

Приводится классификация восьмимерных тканей Бола стензором кривизны минимального ранга, т. е. c таким тензо-ром, который в подходящем базисе имеет всего две ненулевыекомпоненты. В [1] ткани этого типа разбиты на два типа, при-чем с тканями первого типа связано некоторое характеристи-ческое уравнение. Найдены уравнения гиперболических тка-ней первого типа (корни характеристического уравнения ве-щественные и различные), и показано, что их структура опре-деляется некоторой разрешимой четырехмерной алгеброй Ли.

М.В.АНТИПОВА 9

В настоящей работе найдены конечные уравнения и описаныгеометрические свойства параболических тканей Бола первоготипа (корни характеристического уравнения совпадают). До-казана

Теорема. Существует однопараметрическое семействовосьмимерных параболических тканей первого типа с тензо-ром кривизны минимального ранга. В некоторых локальныхкоординатах их уравнения имеют вид:

𝑧1 =𝑥1 + 𝑒𝑥2(𝑦1 + 𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2),

𝑧2 =𝑥2 + 𝑦2, 𝑧3 = 𝑥3 + 𝑦3,

𝑧4 =𝑥4 + 𝑒𝑥2[𝑦4 − 𝐶𝑥2𝑦1 + 𝐶(𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2)(1 − 𝑥2)],

где 𝐶 — постоянная. Алгебра Ли, определяемая тензором кру-чения, в этом случае есть разложимая алгебра 𝑔3,2 + 𝑔1 , где𝑔1 – одномерная алгебра Ли, а 𝑔3,2 – трехмерная разрешимаяалгебра Ли [2].


1. АнтиповаМ. В., Шелехов А. М. Восьмимерные тканиБола с почти нулевым тензором кривизны // Изв. вузов. Ма-тем. (в печати)

2. МубаракзяновГ.М. О разрешимых алгебрах Ли // Изв.вузов. Матем. – 1963. – № 1. – C. 144–123.

10 A.И.АФОНИНА

A.И.Афонина


ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ ФУНКЦИЙС ПОЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ ВЫСШИХ

ПОРЯДКОВ

Постановка задачи.Пусть 𝐿 =

∞∪𝑘=1

𝐿𝑘 , 𝑅𝑘 = min𝜏∈𝐿𝑘

∣𝜏 ∣ , 0 < 𝑅1 ⩽ 𝑅2 ⩽ ... ,

lim𝑘→∞

𝑅𝑘 = ∞ . Требуется найти однозначную аналитическуюфункцию 𝑓(𝑧) , имеющую 𝐿𝑘 (𝑘 = 1, 2, ...) особыми полярны-ми линиями порядка 𝑝𝑘 + 1 , где 𝑝𝑘 ⩾ 0 , (𝑘 = 1, 2, ...) , длякоторой существует 𝑝𝑘 -кратный интеграл

𝑧∫𝑧0

𝑧∫𝑧0

...

𝑧∫𝑧0︸︷︷︸

𝑝𝑘

𝑓(𝜉)𝑑𝜉𝑝𝑘 = Φ(𝑧),

где функция Φ(𝑧) удовлетворяет условиям задачи Римана:

Φ+(𝑡) = 𝐺𝑘(𝑡)Φ−(𝑡) + 𝑔𝑘(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐿𝑘, 𝑘 = 1, 2, ... (1)

Задача о скачке. Пусть 𝐺𝑘(𝑡) ≡ 1 , тогда решение задачи(1) в случае непрерывных коэффициентов 𝑔𝑘(𝑡) будет иметьвид:

𝑓(𝑧) =

∞∑𝑘=1

1

2𝜋𝑖

∫𝐿𝑘

𝑔𝑘(𝜏)𝜏𝑝𝑘+𝑛𝑘+1−(𝜏𝑛𝑘+1− 𝑧𝑛𝑘+1)(𝜏−𝑧)𝑝𝑘

𝜏𝑝𝑘+𝑛𝑘+1(𝜏 − 𝑧)𝑝𝑘+1𝑑𝜏+𝑃 (𝑧),

(2)где 𝑃 (𝑧) – произвольная целая функция.

Если ∣𝑓(𝑧)∣ ⩽ 𝑀 ∣𝑧∣𝑛, 𝑛 ∈ ℕ∪{0},𝑀 > 0 , то решение за-

дачи (1) запишется в виде (2), где 𝑃𝑛(𝑧) – полином степени невыше 𝑛 .

A.И.АФОНИНА 11

Полученное решение обобщено на случай, когда функции𝑔𝑘(𝑡) на каждом контуре 𝐿𝑘 имеют конечное число точек раз-рыва первого рода 𝑡𝑘,1, ..., 𝑡𝑘,𝑚𝑘

.Неоднородная задача Римана. Решение неоднородной

задачи найдено в случае, когда все полярные линии имеют оди-наковый порядок 𝑝 + 1 . Именно, пологая ϰ𝑘 = 𝐼𝑛𝑑𝐿𝑘

𝐺𝑘(𝑡) ииспользуя результаты работы [2], искомое решение получено вследующей форме:

𝑓(𝑧) = 𝑋(𝑧)

{𝑃 (𝑧)+

+∞∑𝑘=1

𝑝∑𝑚=0

𝑚∑𝑗=0

𝐶𝑗𝑚

(𝑛𝑘 + 1)!𝑧𝑛𝑘−𝑚+𝑗+1

2𝜋𝑖(𝑛𝑘 −𝑚+ 𝑗 + 1)!

∫𝐿𝑘

𝑔𝑘(𝜏)𝑑𝜏

𝑋+0 (𝜏)𝜏𝑛𝑘+1(𝜏 − 𝑧)𝑗+1

},

где 𝑃 (𝑧) – целая функция, а обобщенная каноническая функ-ция 𝑋(𝑧) имеет вид:

𝑋(𝑧) = 𝑋0(𝑧)𝑅(𝑧) = 𝑋0(𝑧)

𝑝−𝑚∏𝑖=1

𝑅𝑖(𝑧),

где 𝑅𝑖+1(𝑧) = (ln𝑋0∏𝑖

𝑘=1𝑅𝑘(𝑧))′ , (1 ⩽ 𝑖 ⩽ 𝑝−𝑚−1) и 𝑅1(𝑧) =

= (ln𝑋0(𝑧))′ = 𝑋 ′0(𝑧)/𝑋0(𝑧) .


1. ЧибриковаЛ.И. Основные граничные задачи для анали-тических функций. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1977. –302 c.

2. ЧибриковаЛ.И., СалеховаИ. Г. Задача Римана в случаесчетного множества контуров. // Сб. Труды семинара покраевым задачам. – Казань, Изд-во КГУ, 1972. – Вып. 9. –C. 216–233.

12 Д.А.БАЙГУШЕВ

Д.А.Байгушев

Лицей “Вторая школа”, Москва, Россия,[email protected]

О МАТРИЧНОЙ ФУНКЦИИ ЭЙЛЕРА

В теории чисел хорошо известна функция Эйлера 𝜑(𝑚) .Она ставит в соответствие натуральному числу 𝑚 порядокмультипликативной группы ℤ∗

𝑚 , т. е. 𝜑(𝑚) := ∣ℤ∗𝑚∣ . Эта функ-

ция обладает многими замечательными свойствами и часто по-является в самых разных задачах.

Целью данной работы является изучение матричного ана-лога функции Эйлера.

Рассмотрим множество Mat(2,ℤ𝑚) матриц 2 × 2 с элемен-тами из кольца ℤ𝑚 . Пусть GL(2,ℤ𝑚) — мультипликативнаяподгруппа обратимых матриц. Пусть Φ(𝑚) := ∣GL(2,ℤ𝑚)∣ —количество обратимых матриц (т. е. матриц с определителем,взаимно простым с 𝑚). Назовем функцию Φ(𝑚) матричнойфункцией Эйлера.

В таблице 1 указаны первые 30 значений матричной функ-ции Эйлера Φ .

Также имеет смысл рассмотреть конечную модулярнуюгруппу SL(2,ℤ𝑚) ⊂ GL(2,ℤ𝑚) . Пусть Φ′(𝑚) := ∣SL(2,ℤ𝑚)∣ —вторая матричная функция Эйлера.

Основным результатом данной работы является следующая

Теорема 1. Матричные функции Эйлера Φ и Φ′ обладаютследующими свойствами:

1) Φ(𝑚) = Φ′(𝑚) ⋅ 𝜑(𝑚) .2) Имеет место равенство

Φ(𝑝𝑘) = 𝑝4𝑘(

1 − 1

𝑝

)(1 − 1

𝑝2

).

Д.А.БАЙГУШЕВ 13

В частности, при 𝑘 = 1 имеем

Φ(𝑝) = 𝑝(𝑝− 1)(𝑝2 − 1).

3) Функция Φ мультипликативна: если НОД(𝑎, 𝑏) = 1 ,то

Φ(𝑎𝑏) = Φ(𝑎) ⋅ Φ(𝑏).

4) Если 𝑚 = 𝑝𝑘11 ⋅ . . . ⋅ 𝑝𝑘𝑛𝑛 , то

Φ(𝑚) = 𝑚4(

1 − 1

𝑝1

)(1 − 1

𝑝21

)⋅ . . . ⋅

(1 − 1

𝑝𝑛

)(1 − 1

𝑝2𝑛

).

𝑚 Φ(𝑚) 𝑚 Φ(𝑚) 𝑚 Φ(𝑚)

1 0 11 13200 21 181776

2 6 12 17832 22 219846

3 48 13 26208 23 267168

4 168 14 34566 24 307488

5 480 15 45840 25 372000

6 966 16 59520 26 433446

7 2016 17 78336 27 505440

8 3360 18 95526 28 580776

9 5616 19 123120 29 682080

10 8550 20 147240 30 762150

Таблица 1.

Также оказывается, что существует матричный аналог тео-ремы Эйлера.

Теорема 2. Пусть 𝐴 ∈ Mat(2,ℤ𝑚) . Тогда1) если det𝐴 ∕= 0 , то 𝐴Φ(𝑚) = 𝐸 ;2) если det𝐴 = 1 , то 𝐴Φ′(𝑚) = 𝐸 .

14 Е.А.БАХАРЕВА, В.В.СТРУЖАНОВ

Известно, что функция Эйлера 𝜑(𝑚) в среднем растет как𝑚/𝜁(2) . Нечто подобное можно предполагать и для матричнойфункции Эйлера. Положим 𝑓(𝑚) := (𝑓(1) + . . . + 𝑓(𝑚))/𝑚 .Имеет место следующая

Гипотеза. Для средних функций Эйлера Φ′ и Φ имеютместо следующие асимптотики:

Φ′(𝑚) ∼ 𝑚3

𝜁(3)и Φ(𝑚) ∼ 𝑚4

𝜁(2)𝜁(3)

при 𝑚→ ∞ .

Эта гипотеза была подтверждена компьютерными вычис-лениями для 𝑚 ⩽ 7000 .

Е. А. Бахарева, В.В.Стружанов

Институт машиноведения УрО РАН,[email protected], [email protected]

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛИНЕЙНОМУПРИБЛИЖЕНИЮ В ЗАДАЧЕ О ЧИСТОМИЗГИБЕ И РАСТЯЖЕНИИ БАЛОЧНОГО

ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ ИЗ НЕЛИНЕЙНОГОМАТЕРИАЛА

Исследуется элементарный балочный элемент конструкциидлины 𝐿 , высоты 2ℎ с поперечным сечением, ограниченнымгладким или кусочно-гладким контуром Γ(𝑦) , симметричнымотносительно вертикальной оси 𝑂𝑦 . Например, если сечениепрямоугольное, то Γ(𝑦) = 𝑏/2 , где 𝑏 — ширина балки. К тор-цам балки при постоянной температуре прикладываются изги-бающий момент и растягивающая сила. При таком комбини-рованном нагружении в балке возникают только продольные

Е.А.БАХАРЕВА, В.В.СТРУЖАНОВ 15

напряжения 𝜎𝑥 = 𝜎(𝑦) [1], причем волокна выше нейтраль-ной линии, где нулевые напряжени и деформации, находятся всостоянии сжатия, а волокна ниже нейтральной линии растя-гиваются.

Материал характеризуют полные диаграммы деформиро-вания, описывающие как сжимающие свойства материала, таки растягивающие. Диаграммы имеют ниспадающие до нуляветви, отвечающие закритическим стадиям деформирования,которые также называют состояниями предразрушения мате-риала [2]. Отклонение диаграммы от прямолинейного участ-ка объясняется диссипативными процессами, происходящимив материале при его деформировании. Выделим среди них ме-ханическую диссипацию, вызванную образованием и накопле-нием пластических деформаций, и континуальное микроразру-шение материала микропорами и микротрещинами. В соответ-ствии с этой классификацией все материалы разделим на тригруппы: упругохрупкие (диссипация только за счет микрораз-рушения), упругопластические (основной вклад вносят пласти-ческие деформации) и партипластические (в равной степенипротекают оба процесса диссипации энергии).

Выписывается функция полной энергии системы, из кото-рой получены уравнения статического равновесия, непосред-ственно связывающие параметры управления (изгибающий мо-мент и растягивающая сила) и параметры состояния системы(кривизна и отклонение нейтральной линии от оси симметрии).Исследование устойчивости процесса деформирования прово-дится посредством линеаризации нелинейных членов в преоб-разованных с помощью закона Гука и обобщенного закона пла-стического течения [2] уравнениях равновесия. В результате по-лучены уравнения возмущенного равновесия, которые рассмат-

16 Е.А.БАХАРЕВА, В.В.СТРУЖАНОВ

риваются как нелинейные операторные уравнения. Применяяк ним теорему Адамара, можно сформулировать критерий по-тери устойчивости. Условие потери устойчивости получено длякаждого типа материала.

Предложена методика расчета предельной несущей способ-ности балочного элемента конструкции, подверженного чисто-му изгибу и растяжению. Приведены ряд примеров расчета ба-лок с заданными геометрическими характеристиками и свой-ствами материала.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (про-ект № 10-01-96018) и поддержке молодежного научного проектаПрезидиума УрО РАН (проект № 11-1-НП-523).


1. ИльюшинА. А. Теория пластичности. Ч.1. Упруго–пластические деформации. // Репр. воспр. текста изд. 1948 г. –М.: Логос, 2004. – 388 c.

2. СтружановВ.В., МироновВ. И. Деформационное разу-прочнение материала в элементах конструкций. – Екатерин-бург: УрО РАН, 1995. – 192 c.

И.С.БАЛАФЕНДИЕВА, Д.В.БЕРЕЖНОЙ 17

И. С.Балафендиева, Д.В. Бережной


МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВНЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

ТРАНСПОРТНЫХ СООРУЖЕНИЙ,ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМСЛОЖНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ

Целью настоящей работы является разработка и числен-ная реализация методики решения задач деформирования эле-ментов транспортных сооружений, взаимодействующих междусобой и с окружающим их физически нелинейным грунто-вым массивом, с учетом контактного взаимодействия. С по-мощью созданной методики решена задача по определениюнесущей способности опоры мостового перехода [1], проведенрасчет осадки грунтового массива в зоне прокладки тонне-лей метрополитена [2], а также проведен расчет напряженно-деформированного состояния футляра магистрального трубо-провода высокого давления, проходящего под железнодорож-ным полотном [3]. Грунты являются физически нелинейнымисредами и подчиняются закону Гука в небольшом диапазонеприкладываемых нагрузок. Существуют многочисленные ма-тематические модели [4–5], позволяющие описать процесс ихдеформирования, которые различаются сложностью разреша-ющих уравнений. В настоящей работе используется модель,аналогичная модели идеально пластического тела. В соответ-ствии с ней предполагается, что до предельного состояниясправедлив закон Гука, а после его достижения среда начина-ет деформироваться без увеличения воспринимаемой нагрузки,

18 И.С.БАЛАФЕНДИЕВА, Д.В.БЕРЕЖНОЙ

что приводит к перераспределению напряжений во всем объ-еме. Грунты моделируются физически-нелинейным материа-лом. Условие пластичности выбирается в виде критерия проч-ности Мизеса-Боткина [4]. При расчетах используется итераци-онная процедура типа “метода начальных напряжений”. Чис-ленная реализация основана на методе конечных элементов [6].Описан специальный контактный конечный элемент. Предло-женная авторами методика расчета позволяет эффективно ре-шать трехмерные задачи пластического деформирования грун-товых массивов, взаимодействующих с расположенными в нихконструкциями, в условиях сложного силового нагружения.Разработанная численная методика дает результаты, хорошосогласующиеся с данными натурных испытаний. Следователь-но, на ее основе можно рассчитывать подобные трехмерныеконструкции и получать достоверные результаты.


1. БережнойД. В., Кузнецова И. С., СаченковА. А. Модели-рование пластического деформирования многослойного грунтав зоне опоры многопролетного моста // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2010. – Т. 152, кн. 1. – С. 116–125.

2. БалафендиеваИ. С., Бережной Д. В., ЕгоровД. А. Рас-чет осадок в многослойном физически нелинейном грунте припрокладке тоннелей метрополитена // Научно-техническийвестник Поволжья. – 2012. – № 2. – С. 23–26.

3. БалафендиеваИ. С., Бережной Д.В. Моделирование де-формирования железобетонной обделки тоннеля в грунте сучетом одностороннего контактного взаимодействия ее бло-ков // Вестник Саратовского государственного техническогоуниверситета. – 2011. – № 2 (55). – Вып. 1. – С. 8–16.

Д.В.ВАЛОВИК, Е.В. ЗАРЕМБО 19

4. ЗарецкийЮ. К. Лекции по современной механике грун-тов. – Ростов: РГУ, 1989. – 607 c.

5. ФадеевА. Б. Метод конечных элементов в геомехани-ке. – M.: Недра, 1987. – 221 c.

6. ГоловановА.И., Бережной Д. В. Метод конечных элемен-тов в механике деформируемых твердых тел. – Казань: Изд-во “Дас”, 2001. – 300 с.

Д.В.Валовик, Е. В. Зарембо

Пензенский государственный университет,[email protected]

МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧСОПРЯЖЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

ДЛЯ ПОЛЯРИЗОВАННЫХЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

Доклад посвящен решению нелинейных краевых задач со-пряжения на собственные значения, возникающих при распро-странении электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в слое с произ-вольной нелинейностью (см., напр., [1]).

При исследовании задач распространения электромагнит-ных волн в волноведущих структурах возникают специальныйкласс задач, так называемых задач сопряжения для уравне-ний, описывающих распространение волн. Эти задачи не могутбыть сведены к краевым задачам. По этой причине необходиморазрабатывать численные и аналитические методы исследова-ния указанного класса задач (см., напр., [2]). В работе пред-ложен метод, основанный на решении вспомогательной задачиКоши с дополнительным условием на одной из границ волно-ведущей структуры (см. [3]).

20 С.Г. БАСАЛАЕВ

В докладе предложены методы численного моделированиязадач сопряжения на собственные значения и на обсуждениевыносятся результаты численных экспериментов.

Работа поддержана РФФИ (проект № 11-07-00330-а)


1. ВаловикД. В, Смирнов Ю. Г. Распространение электро-магнитных волн в нелинейных слоистых средах. – Пенза: Изд-во ПГУ, 2010. – 256 c.

2. ЗарембоЕ. В. Численный метод решения нелинейнойкраевой задачи на собственные значения для электромагнит-ных ТМ-волн, распространяющихся в слое с произвольнойнелинейностью // Изв. вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 3. – C. 58–71.

3. ЗарембоЕ. В. Метод задачи Коши для решения нелиней-ных краевых задач сопряжения на собственные значения дляэлектромагнитных ТЕ- и ТМ-волн, распространяющихся вслое с произвольной нелинейностью // Дисс. ... канд. физ.–мат. наук. – Казань: КФУ, 2012. – 109 c.

С. Г. Басалаев

Новосибирский государственный университет,[email protected]

НЕРАВЕНСТВО ПУАНКАРЕ ДЛЯ 𝐶1 -ГЛАДКИХВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

Связное 𝑁 -мерное гладкое многообразие 𝕄 назовём мно-гообразием Карно, если в касательном расслоении 𝑇𝕄 заданафильтрация подрасслоениями

𝐻𝕄 = 𝐻1𝕄 ⊊ . . . ⊊ 𝐻𝑖𝕄 ⊊ . . . ⊊ 𝐻𝑀𝕄 = 𝑇𝕄

С.Г. БАСАЛАЕВ 21

такими, что в окрестности каждой точки 𝑈(𝑥0) ⊂ 𝕄 найдётсябазис из 𝐶1 -гладких векторных полей 𝑋1, . . . , 𝑋𝑁 , удовлетво-ряющих следующим свойствам. Для каждого 𝑥 ∈ 𝑈 имеем

(1) 𝐻𝑖𝕄 = 𝐻𝑖(𝑥) = span{𝑋1(𝑥), . . . , 𝑋dim𝐻𝑖(𝑥)} — подпро-

странство 𝑇𝑥𝕄 постоянной размерности dim𝐻𝑖 , 𝑖 = 1, . . . ,𝑀 ;(2) 𝐻𝑗+1 = span{𝐻𝑗 , [𝐻1,𝐻𝑗 ], [𝐻2, 𝐻𝑗−1], . . . , [𝐻𝑘,𝐻𝑗+1−𝑘]} ,

где 𝑘 = ⌊ 𝑗+12 ⌋ , 𝑗 = 1, . . . ,𝑀 − 1 .

В работе [1] доказано, что для таких многообразий:∙ расстояние Карно — Каратеодори 𝑑𝑐𝑐 является метрикой;∙ выполнена Ball-Box теорема;∙ выполнено условие удвоения для меры Хаусдорфа ℋ𝜈 с по-

казателем 𝜈 =𝑀∑𝑗=1

𝑗(dim𝐻𝑗 − dim𝐻𝑗−1) , 𝐻0 = {0} .

Используя эти результаты и неравенство Пуанкаре на груп-пах Карно из работы [2], мы получаем следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть 𝐸 ⊂ 𝕄 — компактное множество, и1 ⩽ 𝑝 <∞ . Найдутся такие постоянные 𝐶 > 0 и 𝑟0 > 0 , что

∥𝑓 − 𝑓𝐵∥𝑝,𝐵 ⩽ 𝐶𝑝𝑟∥(𝑋1𝑓, . . . , 𝑋dim𝐻1𝑓)∥𝑝,𝐵

для каждого шара 𝐵 = 𝐵(𝑥, 𝑟) , 𝑥 ∈ 𝐸 , 0 < 𝑟 ⩽ 𝑟0 , и любой𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐵) . Здесь 𝑓𝐵 = 1

∣𝐵∣∫𝐵 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 .

Данная теорема обобщает результат, полученный в работе[3] для достаточно гладких векторных полей и 𝑝 = 2 . Такжемы получаем аналогичное неравенство для областей Джона.

Теорема 2. Для любой точки 𝑥0 ∈ 𝕄 и любого 1 ⩽ 𝑝 <∞найдутся такие 𝐶𝑝 > 0 и 𝑟0 > 0 , что для любой областиДжона Ω ⊂ 𝐵(𝑥0, 𝑟0) и любой 𝑓 ∈ 𝐶∞(Ω) выполнено

∥𝑓 − 𝑓Ω∥𝑝,Ω ⩽ 𝐶 diam(Ω)∥(𝑋1𝑓, . . . , 𝑋dim𝐻1𝑓)∥𝑝,Ω.

22 С.Г. БАСАЛАЕВ

Используя результаты работы [4], мы также получаем оцен-ки соболевского типа.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 . Тогда(1) если 𝑝 < 𝜈 , то для всякого 0 < 𝑞 < 𝜈𝑝

𝜈−𝑝 выполнено

∥𝑓 − 𝑓𝐵∥𝑞,𝐵 ⩽ 𝐶𝑟∥(𝑋1𝑓, . . . , 𝑋dim𝐻1𝑓 )∥𝑝,𝐵;

(2) если 𝑝 = 𝜈 > 1 , то∫𝐵

exp( 𝐶1∣𝑓(𝑦) − 𝑓𝐵∣∥(𝑋1𝑓, . . . , 𝑋dim𝐻1𝑓 )∥𝜈,𝐵

) 𝜈𝜈−1

𝑑𝑦 ⩽ 𝐶2;

(3) если 𝑝 > 𝜈 , то

sup𝑦∈𝐵

∣𝑓(𝑦) − 𝑓𝐵∣ ⩽ 𝐶𝑟∥(𝑋1𝑓, . . . , 𝑋dim𝐻1)∥𝑝,𝐵

и функция 𝑓 локально непрерывна по Гёльдеру:

∣𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)∣ ⩽ 𝐶𝑟𝜈/𝑝0 𝑑𝑐𝑐(𝑥, 𝑦)

1− 𝜈𝑝 ∥(𝑋1𝑓, . . . , 𝑋dim𝐻1𝑓)∥𝑝,𝐵,

где постоянные 𝐶 , 𝐶1 , 𝐶2 зависят только от 𝑝 , 𝑞 и 𝐶𝑝 .

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект

№ 12-01-31183) и программы Президента “Ведущие научные шко-

лы РФ” (проект НШ-921.2012.1).


1. Basalaev S., Vodopyanov S., Approximate differentiability ofmappings of Carnot–Caratheodory spaces // arXiv:1206.5197v2

[math.MG]

2. IsangulovaD.V., Vodopyanov S. K., Coercitive estimates andintegral representation formulas on Carnot groups // EurasianMath. J. – 2010. – V. 1. – № 3. – P. 58–96.

3. JerisonD., The Poincare inequality for vector fields satisfyingHormander’s condition // Duke Math. J. – 1986. – V. 53. – № 2. –P. 503–523.

К.В.БЕРДНИКОВ, В.В.СТРУЖАНОВ 23

4. Hajlasz P., KoskelaP., Sobolev Met Poincare // Mem. Amer.Math. Soc. – 2000. – V. 145. – № 688. – x+101 pp.

К. В. Бердников, В. В.Стружанов

Уральский федеральный университет имени первогоПрезидента России Б. Н. Ельцина,

Институт машиноведения УрО РАН,[email protected], [email protected]

ПОTЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯПРИ ДЕФОРМИРОВАНИИ МАTЕРИАЛАВ СЛУЧАЕ ДИАГОНАЛЬНОГО TЕНЗОРА

ДЕФОРМАЦИЙ

В сферической системе координат рассматривается среда,для которой приращение свободной энергии в изотермическомпроцессе активного нагружения отождествляется с элементар-ной работой напряжений. В отличие от традиционного случаяединая кривая имеет падающую ветвь, которая характеризуетразупрочнение материала. Полагается, что тензор деформацийявляется диагональным и первый инвариант тензора деформа-ций не положителен. Tогда объемный модуль сохраняет посто-янное значение на всех стадиях деформирования. Далее длятакой среды строится функция свободной энергии.

Свободная энергия является потенциалом напряжений, сле-довательно, она задает потенциальное поле. Соотношение

𝐹 (𝜃,Γ) = const

задает линии уровня этой потенциальной функции. Здесь F –

24 К.В.БЕРДНИКОВ, В.В.СТРУЖАНОВ

функция свободной энергии, 𝜃 и Γ – первый и второй инвари-анты тензора деформаций соответственно. Показано, что вве-дение в рассмотрение стадии разупрочнения материала приво-дит к тому, что в некоторый момент происходит смена потенци-ального поля. Смена потенциального поля происходит именнотогда, когда материал переходит пограничное состояние междуупрочнением и разупрочнением, что соответствует наивысшейточке единой кривой 𝑇 ∼ Γ , где T – второй инвариант тензоранапряжений.

В качестве примера построены потенциальные поля дляслучаев, когда единая кривая задана кусочно-линейной функ-цией и параболой. Показано, что в первом случае на стадииупрочнения линии уровня функции 𝐹 представляют собой эл-липсы, тогда как на стадии разупрочнения линиями уровняявляются гиперболы. Если единая кривая задана в виде па-раболы, то линии уровня функции свободной энергии такжеменяют свою структуру при переходе материала на стадиюразупрочнения.

Работа выполнена по совместному проекту УрО РАН и СОРАН (проект № 12-С-1-1024).

П.В.БИБИКОВ 25

П.В.Бибиков

Институт проблем управления РАН, Москва, Россия[email protected]

О ДЕЙСТВИИ ПСЕВДОГРУППЫ ТОЧЕЧНЫХПРЕОБРАЗОВАНИЙ НА ПРОСТРАНСТВЕ

ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ 𝐶∞(𝐽1ℝ)

Целью данной работы является решение проблемы локаль-ной эквивалентности гладких функций, заданных на контакт-ном пространстве 𝐽1ℝ , относительно действия псевдогруппы𝐺 := Diff(ℝ2) точечных преобразований базы ℝ2 ≃ 𝐽0ℝ , про-долженных до контактных преобразований пространства 𝐽1ℝ .

Действие псевдогруппы 𝐺 продолжается до действия напространстве 1-джетов 𝐽1ℝ ≃ ℝ3 с координатами (𝑥, 𝑦, 𝑝) сле-дующим образом (см. [1]):

𝑥 7→ 𝛼(𝑥, 𝑦), 𝑦 7→ 𝛽(𝑥, 𝑦), 𝑝 7→ 𝛽𝑥 + 𝛽𝑦𝑝

𝛼𝑥 + 𝛼𝑦𝑝.

Для решения задачи классификации функций относитель-но такого действия воспользуемся аппаратом теории диффе-ренциальных инвариантов. Прежде всего, введем необходимыеобозначения и напомним известные теоретические сведения.

Пусть 𝑓 : ℝ3 → ℝ — произвольная гладкая функция. Вве-дем пространство J𝑘 𝑘 -джетов таких функций. Координатыв нем мы обозначим через (𝑥, 𝑦, 𝑝, 𝑢, 𝑢𝑥, 𝑢𝑦, 𝑢𝑝, . . .) . Действиепсевдогруппы 𝐺 канонически продолжается до действия вовсех пространствах J𝑘 .

Предложение. Функции

𝑈 := 𝑢 и 𝑆 :=2𝑢𝑝𝑢𝑝𝑝𝑝 − 3𝑢2𝑝𝑝

𝑢4𝑝

26 П.В.БИБИКОВ

являются дифференциальными инвариантами порядков 0 и 3соответственно. Дифференцирование

∇1 :=1

𝑢𝑝

𝑑

𝑑𝑝

является инвариантным.

Теперь мы найдем еще три инвариантных дифференциро-вания. Для этого мы построим производные Трессе (см. [1])

∇2 :=𝐷

𝐷𝑆1, ∇3 :=

𝐷

𝐷𝑆, ∇4 :=

𝐷

𝐷𝑈

(здесь индекс «1» обозначает применение инвариантного диф-ференцирования ∇1 ).

Далее, заметим, что контактная форма 𝜔 := 𝑑𝑦 − 𝑝𝑑𝑥 ∈∈ Ω1(𝐽1ℝ) (см. [1]) является относительным инвариантом дей-ствия псевдогруппы 𝐺 . Поэтому функция 𝐼 := 𝜔(∇3)/𝜔(∇2)

является дифференциальным инвариантом.

Определение. Назовем функцию 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐽1ℝ) регуляр-ной в окрестности 𝒪 ⊂ 𝐽1ℝ , если

𝑑𝑈(𝑓) ∧ 𝑑𝑆(𝑓) ∧ 𝑑𝑆1(𝑓) ∕= 0 в 𝒪 .

Для регулярной функции 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐽1ℝ) существуют такиегладкие функции 𝐴 и 𝐵 , что

𝑆11(𝑓) = 𝐴(𝑈(𝑓), 𝑆(𝑓), 𝑆1(𝑓)), 𝐼(𝑓) = 𝐵(𝑈(𝑓), 𝑆(𝑓), 𝑆1(𝑓)).

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Две регулярные функции 𝑓 , 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐽1ℝ)

точечно-эквивалентны, если и только если соответствую-щие им пары зависимостей совпадают: (𝐴,𝐵) = (𝐴,𝐵) .

А.В.БОЛУЧЕВСКАЯ 27

Работа выполнена при поддержке фонда Саймонса и грантаПрезидента Российской Федерации для государственной под-держки молодых российских ученых – кандидатов наук МК-32.2011.1


1. АлексеевскийД.В., ВиноградовА. М., Лычагин В. В. Ос-новные идеи и понятия дифференциальной геометрии. – М.:ВИНИТИ. – 1988. – Т. 28 – 289 с.

А.В.Болучевская

Волгоградский государственный университет,[email protected]

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ,СОХРАНЯЮЩИЕ ОРИЕНТАЦИЮ СИМПЛЕКСА

При построении расчетных сеток для численного решенияразличных задач используется метод, состоящий в отображе-нии некоторой модельной сетки на заданную область, в кото-рой проводятся расчеты [1–3]. Однако, необходимо следить затем, чтобы при отображении сетка не вырождалась.

В качестве функций, осуществляющих отображение, частовыбираются решения дифференциальных уравнений или вари-ационных задач и, в частности, гармонические отображения.

Мы рассматриваем частный случай нерегулярных сеток— триангуляцию. В [4], [5] показано, что одним из наиболееважных условий сохранения триангуляции при гомеоморфномотображении является сохранение ориентации каждого сим-плекса. В работе найдено условие, при котором гармоническоеотображение сохраняет ориентацию симплекса.

28 А.В.БОЛУЧЕВСКАЯ

Пусть задана область 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 и ориентированный симплекс𝑆 ⋐ 𝐷 , образованный точками 𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, . . . 𝑃𝑛 ∈ 𝐷 .

Для набора векторов 𝜉1, 𝜉2, . . . 𝜉𝑛 введем обозначение

det(𝜉1, 𝜉2, . . . 𝜉𝑛) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣𝜉11 𝜉21 . . . 𝜉𝑛1

𝜉12 𝜉22 . . . 𝜉𝑛2...

.... . .

...𝜉1𝑛 𝜉2𝑛 . . . 𝜉𝑛𝑛

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,

где 𝜉𝑖 = (𝜉𝑖1, 𝜉𝑖2, . . . , 𝜉𝑖𝑛) , 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 .Будем говорить, что 𝑆 имеет положительную ориентацию,

если det(𝑃1 − 𝑃0, 𝑃2 − 𝑃0, . . . , 𝑃𝑛 − 𝑃0) > 0 , и отрицательнуюориентацию, если det(𝑃1 − 𝑃0, 𝑃2 − 𝑃0, . . . , 𝑃𝑛 − 𝑃0) < 0 .

Пусть задано гармоническое отображение 𝑓 : 𝐷 → 𝐷∗ ,𝐷∗ ⊂ ℝ𝑛 , 𝑓 ∈ 𝐶2(𝐷) , 𝑓 = (𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑛) , 𝑓𝑖 — гармониче-ские в 𝐷 функции для всех 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 .

Через 𝐽𝑓 (𝑃0) обозначим якобиан отображения 𝑓 в точке𝑃0 , 𝑙𝑆 — максимальная из длин сторон симплекса 𝑆 . Рассмот-рим компактное подмножество 𝐷′ ⊂ 𝐷 , такое что 𝑃0 + 𝜃(𝑃𝑖 −− 𝑃0) ∈ 𝐷′ для всех 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 и некоторого 0 < 𝜃 < 1 , иобозначим 𝑑 = min{dist(𝑃0, ∂𝐷),dist(𝐷′, ∂𝐷)} .

Теорема. Если в 𝐷 для отображения 𝑓 выполнено нера-венство

𝐽𝑓 (𝑃0)(𝑛∑

𝑘=1

(sup𝐷

∣𝑓𝑘∣)2)𝑛

2

>𝑛𝑛−1

(𝑛− 1)!

(𝑙𝑆)𝑛

𝑑𝑛𝑉

((2𝑛2𝑙𝑆𝑑

+ 1

)𝑛

− 1

),

где 𝑉 — объем симплекса 𝑆 , то симплекс 𝑆′ с вершинами𝑃 ′0 = 𝑓(𝑃0), 𝑃

′1 = 𝑓(𝑃1), . . . , 𝑃 ′

𝑛 = 𝑓(𝑃𝑛) имеет ту же ориен-тацию, что и симплекс 𝑆 .

А.В.БОЛУЧЕВСКАЯ 29

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (про-ект № 11-01-97021-р_поволжье_а).


1. LiseikinV. D. Grid Generation Methods. – Springer, 2010. –390 p.

2. АзаренокБ. Н. О построении структурированных сетокв двумерных невыпуклых областях с помощью отображений// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2009. – Т. 49. – № 5. –C. 826–839.

3. ИваненкоС.А. Вариационные методы построения адап-тивных сеток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2003. –Т. 43. – № 6. – С. 830–844.

4. КлячинВ. А. О гомеоморфизмах, сохраняющих триангу-ляцию // Издательство Волгоградского государственного уни-верситета. Записки семинара “Сверхмедленные процессы”. –2009. – № 4. – С. 169–182.

5. ПрохороваМ. В. Проблемы гомеоморфизма, возникаю-щие в теории сеток // Труды Института математики и меха-ники УрО РАН. – 2008. – Т. 14. – № 1. – С. 112–129.

30 А.В.БУКУШЕВА

А.В. Букушева

Саратовский государственный университетим. Н.Г.Чернышевского,

[email protected]

О ПОЧТИ ПАРАКОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХСТРУКТУРАХ НАД РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

С ФИНСЛЕРОВОЙ МЕТРИКОЙ

На гладком распределении 𝐷 с допустимой финслеровойметрикой как на тотальном пространстве векторного рассло-ения (𝐷, 𝜋, 𝑋) определяется почти параконтактная метри-ческая структура. Вводится понятие почти параконтактногоэрмитова пространства. Находятся условия, при которых вве-денная структура является почти параконтактной эрмитовойструктурой.

Пусть 𝐷 гладкое распределение коразмерности 1, задан-ное вместе со своим оснащением 𝐷⊥ на гладком многообразии𝑋 нечетной размерности 𝑛 + 1 и класса 𝐶∞ . Пусть 𝜑, 𝜉, 𝜂 –соответственно тензорное поле типа (1, 1) , векторное поле, за-дающее оснащение 𝐷⊥ , 1-форма на многообразии 𝑋 такая,что её ядро совпадает с распределением 𝐷 . Пусть имеют ме-сто равенства 𝜑2�� = �� − 𝜂(��)𝜉 , 𝜑𝜉 = 0 , 𝜂(𝜑��) = 0 , где𝜉 ∈ 𝐷⊥ и 𝜂(𝜉) = 1 . Тогда говорят, что 𝑋 оснащено почти па-раконтактной структурой (𝜑, 𝜉, 𝜂) и 𝑋 называют многообра-зием почти параконтактной структуры. Если на многообразиипочти параконтактной структуры задано поле тензоров рима-новой метрики 𝑔 и выполняются равенства 𝑔(𝜑��, 𝜑�� ) = −−𝑔(��, �� ) + 𝜂(��)𝜂(�� ) , 𝜂(��) = 𝑔(��, 𝜉) для любых векторныхполей �� и �� , то 𝑋 называется почти параконтактным мет-рическим многообразием. Если 𝑑𝜂(��, �� ) = 𝑔(𝜑��, �� ) , то почти

А.В.БУКУШЕВА 31

параконтактная метрическая структура называется паракон-тактной метрической структурой. Если, более того, эта струк-тура нормальна, т. е. справедливо равенство 𝑁−2𝑑𝜂⊗𝜉 = 0 , где𝑁 – тензор Нейенхейса, то параконтактная метрическая струк-тура называется пара-сасакиевой структурой и 𝑋 называетсяпара-сасакиевым многообразием. Более подробные сведения опочти параконтактных метрических структурах можно найти,например, в работах [1, 2]. В работе [3] было введено поня-тие почти контактного эрмитова пространства. По аналогии,назовем почти параконтактным эрмитовым пространством по-чти параконтактное метрическое пространство, для которогоимеет место равенство 𝑁(��, �� ) − 2𝑑(𝜑��, 𝜑�� )𝜉 = 0 .

Если на многообразии 𝑋 задана допустимая финслероваструктура, то в распределении 𝐷 возникает инфинитезималь-ная связность, порождаемая распределением 𝐻𝐷 = 𝑠𝑝𝑎𝑛(𝜖𝛼) ,где ��𝑎 = ∂𝑎 − Γ𝑛

𝑎∂𝑛 − 𝐺𝑏𝑎𝑐𝑥

𝑛+𝑐∂𝑛+𝑏 , 𝐺𝑎𝑏𝑐 = 𝐺𝑎

⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 = ∂𝑛+𝑏∂𝑛+𝑐𝐺𝑎 ,

𝐺𝑎 = 𝑔𝑎𝑏(��𝑐𝐿2⋅𝑏𝑥

𝑛+𝑐 − ��𝑏𝐿2) , 𝑔𝑎𝑏 = 1

2𝐿2⋅𝑎⋅𝑏 . Определим на много-

образии 𝐷 допустимое к распределению 𝐻𝐷 = 𝑠𝑝𝑎𝑛(𝜖𝑎) полеаффинора 𝐽 , полагая 𝐽 (𝜖𝑎) = ∂𝑛+𝑎 , 𝐽(∂𝑛+𝑎) = ��𝑎 . С помощьюравенств 𝑔(��ℎ, ��ℎ) = 𝑔(��𝑣, ��𝑣) = 𝑔(��, ��) , 𝑔(��ℎ, ��𝑣) = 0 , где 𝑔 –допустимая финслерова структура, на многообразии 𝐷 опре-деляется допустимая риманова метрика. Учитывая равенство𝑔(𝐽(��), 𝐽(��)) = 𝑔(��, ��) , получаем следующую теорему.

Теорема 1. Пара допустимых структур (𝐽, 𝑔) определя-ет на многообразии 𝐷 почти параконтактную метрическуюструктуру.

Для определения условий, при которых пара (𝐽, 𝑔) обра-зует нормальную структуру, введем объект 𝑅𝑐

𝑏𝑎 = 2(��[𝑏𝐺𝑐𝑎] −

−𝐺𝑑[𝑎𝐺

𝑐𝑏]⋅𝑑) .

32 В.А.БУШКОВА

Теорема 2. Почти параконтактная метрическая струк-тура (𝐽, 𝑔) является нормальной тогда и только тогда, когдавыполняются равенства 𝑅𝑐

𝑎𝑏 = 0, ∂𝑛𝐺𝑏𝑎 = 0 .


1. ErdemS. On almost (para)contact (hyperbolic) metricmanifolds and harmonicity of (𝜑

′, 𝜑

′′)-holomorphic maps between

them // Houston J. Math. – 2002. – V. 28. – № 1. – C. 21–45.2. Zamkovoy S. Canonical connections on paracontact

manifolds // Ann. Glob. Anal. Geom. – 2009. – V. 36. – № 1. –C. 37–61.

3. ГалаевС.В. Внутренняя геометрия метрических почтиконтактных многообразований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер.Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2012. – Т. 12. –Вып. 1. – C. 16–22.

В.А.Бушкова


СОЗДАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ

РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦВ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ И ОПТИЧЕСКИ

ПРОЗРАЧНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

Исследование моделей релятивистских систем играет важ-ную роль в изучении основных законов теории гравитации, фи-зики элементарных частиц, космологии.

В.А.БУШКОВА 33

Математические модели релятивистских систем основанына принципах релятивистской теории поля. Уравнения движе-ния массивной частицы в гравитационном поле, описываемомметрикой в четырехмерном пространстве-времени, представ-ляют существенно нелинейные системы обыкновенных диф-ференциальных уравнений, которые, как правило, не имеютаналитического решения. СКМ Maple позволяет получить чис-ленное решение математической модели таких систем, для чегонеобходимо указать начальные условия – точку поверхности, атакже направление геодезической в этой точке. Процедура чис-ленного решения системы при заданных начальных условияхвозвращает особый тип данных, позволяющих найти решениев любой точке и построить график.

Разработаны программные процедуры исследования мате-матических моделей геодезических линий, численного анализасистемы уравнений геодезических и построения соответствую-щих анимационных моделей на различных поверхностях.

В релятивистской теории гравитации важную роль име-ют геометрические характеристики пучка пробных частиц,называемого геодезической трубкой. Математическую модельгеометрической оптики можно охарактеризовать следующимутверждением: в пределе геометрической оптики траекторияфотона (луча света) в оптически прозрачной анизотропной инеоднородной среде с тензором преломления 𝑛𝑖𝑘(𝑥) совпадаетс геодезической линией в римановом пространстве с метриче-ским тензором 𝑔𝑖𝑘(𝑥) = 𝑛𝑖𝑘(𝑥) . Таким образом, устанавливает-ся максимально тесная связь между геометрической оптикой иримановой геометрией.

В работе представлены динамические модели распростра-нения световых лучей в оптически прозрачных неоднородных

34 В.А.БУШКОВА

анизотропных средах с различными симметриями тензоровпреломления.

Также описаны программные процедуры динамической ви-зуализации движения релятивистских частиц в поле Шварц-шильда. Рассмотрены случаи эллиптической, параболическойтраекторий и случай гравитационного захвата частицы ЧернойДырой.

Разработанные процедуры предназначены для проведенияисследований в римановой геометрии, в геометрической оптикеи теории гравитации.


1. СингДж. Классическая динамика. – М.: Изд-во физико-математической литературы, 1963. – 448 c.

2. СингДж. Общая теория относительности. – М.: Изд-воиностранной литературы, 1963. – 431 c.

3. БушковаВ.А., Игнатьев Ю.Г. Программа автоматизи-рованного построения геодезических линий на произвольнойпараметризованной поверхности и их оснащенной динамиче-ской визуализации с автоматической оптимизацией графи-ческих параметров в системе компьютерной математикиMaple: св. о гос. рег. прог. для ЭВМ Рос. Фед. № 2012614850от 30.05.12.

В.К.ВИЛЬДАНОВ 35

В.К. Вильданов

Нижегородский государственный педагогическийуниверситет,

[email protected]

УСЛОВИЯ ИЗОМОРФИЗМА ГРУППАВТОМОРФИЗМОВ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫХ

ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ

В работе получены некоторые необходимые и достаточныеусловия изоморфизма групп автоморфизмов двух вполне раз-ложимых абелевых групп без кручения. Этот вопрос тесно свя-зан со строением изоморфизмов классических групп (см. [1]) иработой автора [2].

Обозначим: Fcd – класс всех вполне разложимых абелевыхгрупп без кручения, Ω(𝐺) – множество типов прямых слагае-мых ранга 1 группы 𝐺 ∈ Fcd .

Пусть 𝐴 ∼= ⊕𝑖∈𝐼𝐴𝑖(𝑟(𝐴𝑖) = 1) – вполне разложимая группабез кручения. Для всякого типа 𝜏 ∈ Ω(𝐴) обозначим через 𝐴𝜏

прямую сумму всех групп 𝐴𝑖 типа 𝜏 . Тогда 𝐴 ∼= ⊕𝜏∈Ω(𝐴)𝐴𝜏 .

Остальные обозначения стандартны и могут быть найдены в[3, 4].

Теорема 1. Пусть 𝐴,𝐵 ∈ Fcd , 2𝐴 = 𝐴 , 2𝐵 = 𝐵 . Тогда из𝐴𝑢𝑡(𝐴) ∼= 𝐴𝑢𝑡(𝐵) следует:

1) ∏𝜏∈Ω(𝐴)

𝐴𝑢𝑡(𝐴(𝜏)) ∼=∏

𝜏∈Ω(𝐵)

𝐴𝑢𝑡(𝐵(𝜏));

2) ∀𝜏 ∈ Ω(𝐴), (𝑟(𝐴𝜏 ) > 1),∃𝜔 ∈ Ω(𝐵),

𝐸(𝐴𝜏 ) ∼= 𝐸(𝐵𝜔);

36 В.К.ВИЛЬДАНОВ

3) ∀𝜏, 𝜏 ′ ∈ Ω(𝐴), (𝜏 > 𝜏 ′),∃𝜔, 𝜔′ ∈ Ω(𝐵),

𝐻𝑜𝑚(𝐴𝜏 ′ , 𝐴𝜏 ) ∼= 𝐻𝑜𝑚(𝐵𝜔′, 𝐵𝜔).

Условия 1), 2) и 3) обозначим (*).

Рассмотрим разбиение множества

Ω(𝐴) = Ω(𝐴)1 ∪ Ω(𝐴)2 ∪ . . . ∪ Ω(𝐴)𝑘

на классы эквивалентности, где каждый класс является свя-занным множеством, а типы из разных классов несравнимы.Класс эквивалентности, порожденный типом 𝜏 , обозначим че-рез Ω(𝐴)𝜏 .

Теорема 2. Пусть 𝐴,𝐵 ∈ Fcd , 2𝐴 = 𝐴 , 2𝐵 = 𝐵 . Тогда𝐴𝑢𝑡(𝐴) ∼= 𝐴𝑢𝑡(𝐵) , если выполнены условия (*), и для всякогоминимального типа 𝜏 ′ ∈ Ω(𝐴) найдется 𝜔 ∈ Ω(𝐵) такой,что

𝐵𝜔 ∼= 𝐺 < 𝑍(𝐸(⊕𝜏∈Ω(𝐴)𝜏 ′∖{𝜏 ′})𝐴𝜏 )).


1. О’МираО. Лекции о линейных группах // Автоморфиз-мы классических групп. – М.: Мир, 1976. – 262 с.

2. ВильдановВ. К. Определяемость вполне разложи-мой абелевой группы ранга 2 своей группой авто-морфизмов // Вестник Нижегородского университетаим. Н. И. Лобачевского. – 2011. – № 3(1). – С. 174–177.

3. ФуксЛ. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. – М.: Мир,1974.

4. КрыловП. А., МихалевА. В., ТуганбаевА. А. Абелевыгруппы и их кольца эндоморфизмов. – М.: Факториал Пресс,2006. – 512 с.

С.С.ВИХАРЕВ 37

С.С.Вихарев


ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ ТИПА ЛИУВИЛЛЯДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ

ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ НА РИМАНОВЫХМНОГООБРАЗИЯХ

При изучении эллиптических уравнений на римановыхмногообразиях многие задачи можно сформулировать в ви-де теорем типа Лиувилля, утверждающих тривиальность про-странств ограниченных решений таких уравнений на многооб-разии.

Данная работа посвящена изучению решений уравнения

−Δ𝑢 = 𝑐(𝑥)𝑓(𝑢) (1)

на, так называемых, модельных римановых многообразиях 𝑀 .Здесь Δ – оператор Лапласа-Бельтрами на 𝑀 , 𝑐(𝑥) > 0 на 𝑀 ,а 𝑓 – локально-липшецева функция на [0, 𝑎] , такая что

𝑓(0) = 𝑓(𝑎) = 0, 𝑓(𝑢) > 0 на (0, 𝑎).

Всюду ниже будем предполагать существование таких по-ложительных констант 𝑐1, 𝑐2, что 𝑐1 < 𝑐(𝑥) < 𝑐2 .

Данное уравнение является аналогом стационарного урав-нения Гинзбурга-Ландау:

−Δ𝑢 = 𝛼𝑢− 𝛽𝑢3,

где 𝛼 > 0 и 𝛽 > 0 .В работе решения уравнения (1) рассматриваются на

некомпактных римановых многообразиях 𝑀 , изометричных

38 С.С.ВИХАРЕВ

прямому произведению ℝ+ на (𝑛−1)-мерный компакт без края𝐾 с метрикой

𝑑𝑠2 = 𝑑𝑟2 + 𝑔2(𝑟)𝑑𝜃2,

где 𝑔(𝑟) – положительная, гладкая на ℝ+ функция, а 𝑑𝜃2 –метрика на 𝐾. Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть∞∫1

𝑑𝑠𝑔𝑛−1(𝑠)

< +∞ и существует констан-

та 𝑞 ∈ (1,∞) , такая что

lim sup𝜌→∞

𝜌2

𝑞−1

∫𝜌

𝜌/2𝑔𝑛−1(𝑟)𝑑𝑟∫

2𝜌

𝜌/4𝑔𝑛−1(𝑟)𝑑𝑟

∞∫2𝜌

𝑑𝑠

𝑔𝑛−1(𝑠)= +∞. (2)

Если при этом существует 𝛿(𝑞) > 0 и 𝜎(𝑞, 𝛿) > 0 такиечто для всех 𝑠 ∈ (0, 𝛿)

𝑓(𝑠) ⩾ 𝜎𝑠𝑞,

то любое решение уравнения (1), удовлетворяющее условию0 ⩽ 𝑢 ⩽ 𝑎 , является тождественной константой.

Замечание. Если∞∫1

𝑑𝑠

𝑔𝑛−1(𝑠)= +∞

то 𝑀 имеет, так называемый, параболический тип и на 𝑀

всякое решение уравнения (1), удовлетворяющее условию 0 ⩽𝑢 ⩽ 𝑎 , является тождественной константой.

Пример. Рассмотрим евклидово пространство R𝑛 какчастный случай многообразия 𝑀 . В этом случае метрика мно-гообразия задается в виде 𝑑𝑠2 = 𝑑𝑟2 + 𝑟2𝑑𝜃2. Тогда после про-ведения несложных вычислений условие (2) примет вид

𝑞 ∈⎧⎨⎩(

1, 𝑛𝑛−2

), если 𝑛 > 2,

(1,∞), если 𝑛 = 2..

Г.Т. ГАЛИЕВА 39

Отметим, что данный частный случай теоремы 1 согласу-ется с аналогичным результатом, полученным на пространствеR𝑛 в работе [1].


1. DancerE. N., Yihong Du Some remarks on Liouville typeresults for quasilinear elliptic equations// Proc. of the Americanmathematical society. – V. 131. – № 6. – P. 1891–1899.

Г.Т. Галиева


КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ПОДХОД В РЕШЕНИИКОНТЕКСТНЫХ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИМАТЕМАТИКЕ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

Круг компетентностей, к формированию которых у совре-менных школьников следует стремиться, не определён окон-чательно, как и само понятие “компетентность”. Но за основупонятия “компетентный человек” взяты способность челове-ка брать на себя ответственность при решении возникающихпроблем, обучаться на протяжении всей жизни, проявлять са-мостоятельность в постановке задач и их решении. Если вы-пускник школы после изучения школьного курса может при-менять выработанные умения и полученные знания по данномупредмету в своей жизни, то его можно считать компетентнымчеловеком в данной области. Большое впечатление произвелоописание компетентностной модели для успешной жизни в кни-ге “Семь стратегий достижения богатства и счастья” всемир-но известного философа Джима Рона. Список этих стратегий

40 Г.Т. ГАЛИЕВА

выглядит как перечень жизненно важных сфер, в которых че-ловек должен быть компетентен: управление личными целями;управление личными знаниями; управление собственным раз-витием; управление личными, семейными финансами; управ-ление временем; управление социальным окружением; управ-ление качеством своей жизни [1].

Согласно принятому в 2012 г. Федеральному государствен-ному образовательному стандарту среднего (полного) общегообразования, результатами освоения основной образовательнойпрограммы должно стать формирование у обучающихся ком-петентностей в предметных областях, в частности математике,учебно-исследовательской, проектной и социальной деятельно-сти [2]. При этом компетентностный подход должен усилитьприкладной, практический характер математического образо-вания. При формировании компетентности учащихся в пред-метной области “Математика” используются два типа задач –чисто математические и контекстные (практико-ориентирован-ные). К последним относят задачи, у которых контекст обеспе-чивает определенные условия для использования математикипри решении, оказывает влияние на решение и его интерпрета-цию. Не исключается использование задач, у которых условиеявляется гипотетическим, если оно не слишком отдалено отреальной ситуации.

Проанализируем действующие учебники по алгебре для7 класса следующих авторов: А. Г. Мордкович и С. М. Ни-кольский, акцентируя внимание на наличие в них контекстныхзадач. Примеры контекстных задач из данных учебников при-ведены в таблице 1.

Г.Т. ГАЛИЕВА 41

Типы кон- Задачник Учебниктекстных «Алгебра-7», автор «Алгебра-7», ав-задач А.Г.Мордкович тор С.М.Николь-

ский

Межпред- 1. Вычислите полную 1. В некоторомметные поверхность куба, царстве, в некото-

ребро которого рав- ром государствено 7см. правительство ре-2. Сколько нужно крас- шило осуществитьки, чтобы покрасить одну из двух мер:пол в квадратной ком- поднять зарплатунате, длина каждой всем гражданамстены которой 4 м, ес- на 20% или пони-ли на покраску 1 кв. м зить цены на всенужно 200 г краски? товары на 20%.

Какая из двух мервыгоднее гражда-нам этого государ-ства?

Профессио- По заданным мате-нальные матическим моделям

придумайте соответ-ствующие им реаль-ные ситуации:a) 𝑥 = 𝑦; б) 𝑎 = 2𝑏;в) 𝑥+ 3 = 2𝑦.

Таблица 1.

Анализ учебников показал, что в действующих учебниках

42 Г.Т. ГАЛИЕВА

практико-ориентированных задач крайне мало. При этом ис-пользование их очень ценно в обучении, ибо развивает у уча-щихся способность применять обобщенные знания и умениядля разрешения конкретных ситуаций и проблем, возникаю-щих в реальной действительности. В связи с вышеизложеннымсчитаем необходимым введение в систему обучения элементовучебно-исследовательской и проектной деятельности учащих-ся. Содержанием проектов может стать самостоятельное со-ставление и решение контекстных задач. Учитель математикиЕ. Н. Печенкина предлагает следующий алгоритма составле-ния таких задач: определить цель задачи, ее место на уроке, втеме, в курсе; определить направленность задачи; определитьвиды информации для составления задачи; определить степеньсамостоятельности учащихся в получении и обработки инфор-мации; выбрать структуру задачи; определить форму ответана вопрос задачи [3].

Итак, введение компетентностного подхода в учебный про-цесс требует серьёзных изменений и в содержании образования,и в осуществлении учебного процесса, и в практике работыпедагога. Учитель должен организовать самостоятельную де-ятельность учащихся, в которой каждый мог бы реализоватьсвои способности и интересы. Фактически он создает условия,“развивающую среду”, в которой становится возможным вы-работка каждым учащимся на уровне развития его интеллек-туальных и прочих способностей определенных компетенцийв процессе реализации им своих интересов и желаний, в про-цессе приложения усилий, взятия на себя ответственности иосуществления действий в направлении поставленных целей.

Г.Д. ГЕГАМЯН 43


1. ДжимР. Семь стратегий для достижения богатства исчастья / Электронный ресурс: http://www.victoria.lviv.ua/html/interesno/ron.htm

2. Федеральный государственный образовательный стан-дарт среднего (полного) общего образования. Пр. Минобрна-уки России от 17 мая 2012 г. N413. /Электронный ресурс:http://www.garant.ru/hotlaw/federal/402596/

3. ПечёнкинаЕ. Н. Практико-ориентированные зада-чи на уроках математики / Электронный ресурс:http://rudocs.exdat.com/

Г.Д. Гегамян

Тверской государственный университет,geg [email protected]

О СЕРДЦЕВИНЕ ТРИ-ТКАНИ МУФАНГ

Пусть 𝑊 (𝑟, 𝑟, 𝑟) – три-ткань, образованная на 2𝑟 -мерномдифференцируемом многообразии ℳ тремя слоениями 𝜆1 , 𝜆2и 𝜆3 , слои которых имеют размерность 𝑟 , причем любые дваиз этих слоений находятся в общем положении. Согласно [1]слоения ткани 𝑊 (𝑟, 𝑟, 𝑟) в некоторых локальных координатахна многообразии ℳ могут быть заданы уравнениями

𝜆1 : 𝑥 = const, 𝜆2 : 𝑦 = const, 𝜆3 : 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = const,

где 𝑥 = (𝑥1, ..., 𝑥𝑟) , 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 = (𝑦1, ..., 𝑦𝑟) , 𝑦 ∈ 𝑌 , 𝑧 =

= (𝑧1, ..., 𝑧𝑟) , 𝑧 ∈ 𝑍 , а функция 𝑓 = (𝑓1, ..., 𝑓 𝑟) являетсягладкой и в каждой точке многообразия ℳ удовлетворяетусловиям ∣∂. 𝑓/∂𝑥∣ ∕= 0 , ∣∂. 𝑓/∂𝑦∣ ∕= 0 . Уравнение 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

44 Г.Д. ГЕГАМЯН

определяет квазигруппу

(⋅) : 𝑋 × 𝑌 → 𝑍, 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ≡ 𝑥 ⋅ 𝑦,

которая называется локальной координатной квазигруппойткани 𝑊 (𝑟, 𝑟, 𝑟) . Переменные 𝑥 , 𝑦 и 𝑧 допускают преобра-зования вида �� = 𝛼(𝑥) , 𝑦 = 𝛽(𝑦) , 𝑧 = 𝛾(𝑧) , где 𝛼 , 𝛽 , 𝛾– локальные диффеоморфизмы. Тройка (𝛼, 𝛽, 𝛾) называетсяизотопическим преобразованием [1].

В [1] приведены основные классы три-тканей 𝑊 (𝑟, 𝑟, 𝑟) , втом числе три-ткани Бола – левая 𝐵𝑙 ≡ 𝐵𝑙(𝑟, 𝑟, 𝑟) , правая𝐵𝑟 ≡ 𝐵𝑟(𝑟, 𝑟, 𝑟) и средняя 𝐵𝑚 ≡ 𝐵𝑚(𝑟, 𝑟, 𝑟) . Эти ткани ха-рактеризуются замыканием соответствующих достаточно ма-лых конфигураций Бола – левых (𝐵𝑙 ), правых (𝐵𝑟 ) и сред-них (𝐵𝑚 ). Три-ткань, на которой замыкаются конфигурацииБола всех трех типов, называется тканью Муфанг и обозна-чается 𝑀 . С другой стороны, три-ткань Муфанг характеризу-ется тем, что любая ее локальная координатная квазигруппаизотопна лупе Муфанг. Напомним [1], что лупа (квазигруппас единицей) является лупой Муфанг, если в ней выполняетсятождество Муфанг:

(𝑢 ∘ 𝑣) ∘ (𝑤 ∘ 𝑢) = 𝑢 ∘ ((𝑣 ∘ 𝑤) ∘ 𝑢),

(∘) – операция в лупе.Поскольку три-ткань Муфанг является левой тканью Бо-

ла, то она обладает сердцевиной [2]. Так называется локальнаяквазигруппа, определяемая на базе 𝑋 первого слоения ткани𝐵𝑙 по правилу [3]:

𝑐 = 𝑓(𝑎, 𝑓−1(𝑏, 𝑎)) ≡ 𝑎 ∗ 𝑏,

Г.Д. ГЕГАМЯН 45

где 𝑓 – локальная координатная лупа ткани. Известно [3], чтосердцевина три-ткани 𝐵𝑙 изотопна левой лупе Бола, но не изо-топна, вообще говоря, координатной квазигруппе этой ткани.Так как три-ткань Муфанг является одновременно правой исредней тканью Бола, то для нее аналогичным образом мо-гут быть определены локальные квазигруппы (сердцевины) набазах 𝑌 и 𝑍 соответственно второго и третьего слоений. Верна

Теорема. Сердцевины ткани Муфанг, индуцируемые на ба-зе каждого из трех ее слоений, изотопны.

Полученный результат проиллюстрирован на примере из-вестной восьмимерной три-ткани Муфанг, порождаемой лупойМуфанг минимальной размерности 𝑟 = 4 .


1. АкивисМ. А. ШелеховА.M. Многомерные три-ткани иих приложения. – Тверь: ТвГУ. – 2010. – 308 c.

2. БелоусовВ.Д. Сердцевина лупы Бола // Исследования пообщей алгебре, Кишинев. – 1965. – С. 53–65.

3. ТолстихинаГ.А. Дифференциально-геометрическиеструктуры на три-тканях, образованных слоениями разныхразмерностей // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. ма-тем. и ее приложения. Темат. обзоры. – 2010. – Т. 124. – С. 287–327.

46 А.Н. ГЕРАСИМОВ, Е.К.ЛИПАЧЕВ

А.Н. Герасимов, Е. К.Липачев


ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ

ДИФРАКЦИИ — ПОДХОД НА ОСНОВЕ CUDA

Доклад посвящен компьютерному моделированию волно-вых процессов, возникающих в результате дифракции электро-магнитных волн на препятствиях с “неровной” границей (см.,напр., [1]).

Краевые задачи, моделирующие физический процесс, по-строены в виде уравнения Гельмгольца, краевых условий награнице, сформулированных в терминах следов и условия из-лучения на бесконечности (см., напр., [2]). Основным аппара-том исследования является метод интегральных уравнений итехника обобщенных потенциалов.

Алгоритм приближенного решения задачи основан на вей-влетном варианте метода Галеркина (см., напр., [3]).

В докладе освещено использование технологии NVidiaCUDA для организации высокопроизводительных вычислений(см., напр., [4]).

Работа поддержана РФФИ (проекты № 12-07-00007, № 12-07-00667 и № 12-07-97018-р_поволжье)


1. ЛипачевЕ.К. Краевые задачи дифракции волн на неров-ных границах // Тр. Матем. центра им. Н. И.Лобачевского. –Казань: Изд-во Казанск. матем. общ-ва, 2011. – Т. 43. – C. 225–227.

Д.Х. ГИНИЯТОВА 47

2. ЛипачевЕ.К. Интегральные уравнения в задаче рассея-ния волн на неровной границе раздела областей // Изв. вузов.Математика. – 2007. – № 8. – C. 35–47.

3. HarbrechtH., KahlerU., SchneiderR. Wavelet MatrixCompression for Boundary Integral Equations // Lecture Notes inComputational Science and Engineering, 2006. – V. 52. – P. 129–149.

4. БоресковА.В. и др. Параллельные вычисления на GPU.Архитектура и программная модель CUDA. – М.: Изд-воМГУ, 2012. – 336 c.

Д.Х. Гиниятова


О ТОЧНОСТИ ОЦЕНОК ТИПА ШВАРЦА-ПИКАДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЖЕСТКОСТИ

КРУЧЕНИЯ

Пусть 𝑃 (Ω) – коэффициент жесткости кручения областиΩ ⊂ ℂ , определяемый по формуле

𝑃 (Ω) = 2

∫∫Ω𝑣(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦,

где 𝑣(𝑥, 𝑦) – решение граничной задачи Δ𝑣 = −2 в области и𝑣(𝑥, 𝑦) = 0 на границе области Ω .

Обозначим через Ω𝑟 образ круга 𝐷𝑟 = {𝜁 ∈ 𝐶 : ∣𝜁∣ < 𝑟, 0 <

< 𝑟 < 1} при конформном отображении 𝑓 : 𝐷1 → Ω .В [1] получены следующие оценки:

48 Д.Х. ГИНИЯТОВА

Пусть 𝑃 (Ω) > 0 и 0 < 𝑟 < 1 , тогда справедливы следу-ющие неравенства:

𝑑𝑃 (Ω𝑟)

𝑑𝑟<

4𝑟3

1 − 𝑟8𝑃 (Ω),

𝑑2𝑚+1(𝑃 (Ω𝑟)/𝑟4)

𝑑𝑟2𝑚+1<

(2𝑚+ 1)!𝑃 (Ω)

(1 − 𝑟2)2𝑚+1

𝑚∑𝑘=0

(𝑚

𝑘

)2

𝑟2𝑘 (1)

для каждого 𝑚 ∈ ℕ .Эти оценки являются аналогами неравенств типа Шварца-

Пика (см., например, [2]) для коэффициента жесткости кру-чения. Оба неравенства в (1) являются строгими. В настоящейработе положительно решен вопрос о точности по порядку при-веденных выше оценок. А именно, нами доказана

Теорема. Существует константа 𝑐 > 0 такая, что ∀𝜌 ∈∈ (0, 1) ∃Ω = Ω(𝜌) :(

𝑃 (Ω𝜌)

𝜌4

)(2𝑚+1)

⩾ 𝑐

(1 − 𝜌2)2𝑚+1, 𝑚 = 0, 1, 2...

Эта работа возникла в связи с вопросом проф. С. Р. На-сырова при обсуждении доклада по работе [1] на конференции“Теория функций, ее приложения и смежные вопросы” в 2011году. Автор благодарит научного руководителя проф. Ф. Г. Ав-хадиева за постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ(грант № 11-01-00762-а).


1. AbramovD.A., AvkhadievF. G., GiniyatovaD. Kh. Versionsof the Schwarz lemma for domain moments and the torsional

Р.Р. ГИНИЯТУЛЛИНА, М.Е.МАЙОРОВА, Р. Р.ТАКСЕИТОВ 49

rigidity // Lobachevskii J. Math. – 2011. – V. 32. – № 2. – P. 149–158.

2. AvkhadievF. G., Wirths K.-J. Schwarz-Pick type inequalities. –Berlin-Boston-Bern: Birkhauser, 2009. – 156 p.

Р.Р. Гиниятуллина, М. Е.Майорова, Р. Р.Таксеитов

КНИТУ-КАИ,[email protected]

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕННОГОВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

Для определения весов и узлов квадратур Гаусса пред-лагается численный алгоритм решения расщепленных системалгебраических уравнений. Доказывается сходимость предло-женного алгоритма и приводится сравнение предлагаемого ал-горитма с тестом.

Рассмотрим интеграл вида

𝑏∫𝑎

𝜌(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥, (1)

где 𝜌(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] – весовой множитель (𝜌(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]) , а𝑓(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] – некоторая быстро осциллирующая функция.

Для вычисления значения квадратуры интеграла вида (1)будем использовать теорию ортогональных многочленов [2].Гауссовы методы интегрирования весьма эффективны при при-ближенном вычислении интеграла по нескольким узловым точ-кам при условии, что подынтегральная функция (исключая ве-совой множитель) может быть хорошо аппроксимирована вы-бранным ортогональным многочленом.

50 Р.Р. ГИНИЯТУЛЛИНА, М.Е.МАЙОРОВА, Р.Р.ТАКСЕИТОВ

Для нахождения значений узлов и весов квадратур Гауссавоспользуемся алгебраической системой уравнений [2], полу-ченной на базе ортогональных многочленов

𝑥𝛼 (𝛼 = 0, 1, . . .)

𝑛∑𝑘=1

𝑐𝑘𝑥𝛼𝑘 =

𝑏∫𝑎

𝜌(𝑥)𝑥𝛼𝑑𝑥 (𝛼 = 0, . . . ,𝑚). (2)

Для определения неизвестных 𝑐𝑖 и 𝑥𝑖 (𝑖 = 1, . . . , 𝑛) проведемразбиение исходной матрицы в системе (2) на блоки. При этомсистема (2) разбивается на две подсистемы.

Линейная система алгебраических уравнений

𝑐1𝑥𝑘−11 + 𝑐2𝑥

𝑘−12 + . . . + 𝑐𝑛𝑥

𝑘−1𝑛 =

𝑏∫𝑎

𝜌(𝑥)𝑥𝑘−1𝑑𝑥, 1 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛,

является системой с матрицей Вандермонда. Поскольку эта си-стема является линейной и определенной относительно этихнеизвестных, то ее решение существует и единственно, посколь-ку определитель матрицы отличен от нуля. Для решения си-стемы можно использовать как прямые так и итерационныеметоды [3–5].


1. БахваловН. С., ЖидковН.П., КобельковГ.М. Числен-ные методы. – М.: Наука, 1987.

2. Хемминг Численные методы. – М.: Мир, 1980.3. ФорсайтДж., Молер К. Численное решение систем ли-

нейных алгебраических уравнений. – М.: Мир, 1969.4. ФадеевД. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы ли-

нейной алгебры. – М.: Физматгиз, 1960.

А.А. ГОНТАРЕНКО 51

5. МарчукГ.И., Кузнецов Ю.А. Итерационные методы иквадратичные функционалы. – М.: Наука, 1975.

А.А. Гонтаренко


ВОСТАНОВЛЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ФОРМВ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ ПО ЗАДАННЫМРАСПРЕДЕЛЕНИЯМ ХАРАКТЕРИСТИК

НА ПОВЕРХНОСТИ

Проектирование профилей с заранее заданными характери-стиками обтекания является одной из важнейших задач аэро-динамики, для решения которых используются различные иде-ализирующие модели сред. Наиболее изучены методы построе-ния форм для идеальной несжимаемой жидкости [1]. В случаесжимаемости можно использовать формулу Кармана-Цзянаили модель газа Чаплыгина, которые до конца не учитываютсвойств сжимаемости среды. В работе предложен подход дляпостроения осесимметричных тел в дозвуковом потоке идеаль-ного газа с заданным распределением скорости на поверхности.

Метод решения использует вспомогательную модель (иде-альная несжимаемая жидкость), задача в которой сводитсяк интегральному уравнению Фредгольма II рода. В качественачального приближения берется произвольный гладкий про-филь. На его поверхности рассчитываются распределения ско-ростей для сжимаемого газа (прямая задача в газе, ПГЗ) иидеальной несжимаемой жидкости (прямая задача в жидкости,ПЗЖ). В предположении подобия характеристик для разныхсред строится целевое распределение скоростей в жидкости и

52 А.А. ГОНТАРЕНКО

решается задача по восстановлению для несжимаемой среды(обратная задача в жидкости, ОЗЖ). В качестве нового при-ближения берется полученный контур, для которого повторя-ется вышеописанная процедура до полного совпадения скоро-стей с целевыми для газа или прекращение изменения профи-ля (отсутствует точное решение для вспомогательной моделии ОЗЖ дает квазирешение).

Для идеального газа используются дифференциальныеуравнения относительно полей плотности, скорости и давлениягаза в виде законов сохранения массы, импульса и энергии:

∂𝜚

∂𝑡+ div(𝜚𝜐) = −𝜚𝜐2

𝑦,

∂𝜚𝜐

∂𝑡+ div(𝜚𝜐2) + ∇𝑝 = −𝜚𝜐2𝜐

𝑦,

∂𝑒

∂𝑡+ div((𝑒+ 𝑝)𝜐) =

(𝑒+ 𝑝)𝜐2𝑦

,

𝑒 =𝑝

𝛾 − 1+

1

2𝜚𝜐2,

где 𝑒 – полная энергия единицы объема, 𝛾 – отношение теп-лоемкостей газа, равное 1.4. Система уравнений газовой дина-мики решается методом Годунова W-модификацией для повы-шения порядка точности расчетов.

Для вспомогательной модели используется интегральноеуравнение Фредгольма второго рода:

𝜐(𝜃0) =

∫ 2𝜋

0𝜐(𝜃)

(𝑦 − 𝑦0)𝑑𝑥𝑑𝜃0

− (𝑥− 𝑥0)𝑑𝑦𝑑𝜃0

(𝑥− 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2𝑑𝜃,

Для избежания переинтерполяции значений скоростеймежду узлами для разных сред в уравнении использоваласьполярная параметризация узлов.

А.А. ГОНТАРЕНКО 53

Выражаю благодарность д.ф.-м.н. Е. И. Васильеву за пред-ложенную тему исследования и полезные советы.


1. ЕлизаровА. М., Ильинский Н. Б., ПоташевА. В. Обрат-ные краевые задачи аэрогидродинамики. – М: Наука, 1994. –440 с.

2. ГонтаренкоА. А. Решение обратных задач аэродинамикидля невыпуклых форм. // Вестник Волгоградского государ-ственного университета. – 2011. – № 1. – С. 76–80.

3. ГонтаренкоА. А. Численное решение обратной задачидля осесимметричного тела в сжимаемой среде // Тр. Ма-тем. центра им. Н. И. Лобачевского. – Казань: Изд-во Казанск.матем. общ-ва. – 2009. – T. 39. – C. 12–14.

4. ГонтаренкоА. А. Численное решение обратной за-дачи по востановлению формы стационарного вихрево-го кольца в сжимаемой среде // Тр. Матем. центраим. Н.И. Лобачевского. – Казань: Изд-во Казанск. матем. общ-ва. – 2010. – T. 40. – C. 89–91.

54 А.А. ГОРШКОВ

А.А. Горшков

Нижегородский национальный исследовательскийуниверситет им. Н.И. Лобачевского,

[email protected]

ДВОЙСТВЕННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯВ ЗАДАЧАХ ВЫПУКЛОГОПРОГРАММИРОВАНИЯ

В РАВНОМЕРНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

В работе обсуждается метод двойственной регуляризации[1, 2] в равномерно выпуклых пространствах, что является со-ответствующим обобщением результатов из [1, 2] для гильбер-товых пространств. Распространение идеи двойственной ре-гуляризации на равномерно выпуклые пространства обуслав-ливается возможностью обобщить регулиризованную парамет-рическую теорему Куна-Таккера [2] на равномерно выпуклыепространства, а так же при исследовании задач оптимально-го управления с операторными ограничениями, в частности, стак называемыми фазовыми ограничениями, для уравнений вчастных производных, в которых возникает естественная необ-ходимость вложения образов операторов, задающих ограниче-ния, в функциональные классы суммируемые с 𝑝 -й степеньюфункций при 𝑝 > 0, 𝑝 ∕= 2, 𝑝 ∕= +∞ .

Рассмотрим задачу минимизации:

𝑓0(𝑧) → min, 𝐴0𝑧 = ℎ0, 𝑔0𝑖 (𝑧) ⩽ 0, 𝑖 = 1, ...,𝑚, 𝑧 ∈ 𝐷 ⊂ 𝑍, (1)

где 𝑓0 : 𝐷 → 𝑅 – липшицевый строго равномерно выпуклыйнепрерывный функционал, 𝐴0 : 𝑍 → 𝐻 – линейный непрерыв-ный оператор, 𝑔0𝑖 : 𝐷 → 𝑅, 𝑖 = 1, ...,𝑚 – липшицевы непре-рывные выпуклые функционалы, 𝑔0(𝑧) ≡ (𝑔01(𝑧), ..., 𝑔0𝑚(𝑧))∗ ,

А.А. ГОРШКОВ 55

ℎ0 ∈ 𝐻 – заданный элемент, 𝐷 – выпуклое замкнутое огра-ниченное множество, 𝑍, 𝐻 – равномерно выпуклые простран-ства.

Определим далее наборы невозмущенных 𝑓0, 𝐴0, ℎ0, 𝑔0𝑖 ивозмущенных 𝑓 𝛿, 𝐴𝛿, ℎ𝛿, 𝑔𝛿𝑖 исходных данных, 𝛿 ∈ (0, 𝛿0], 𝛿0 >

> 0 : ∣∣∣𝑓 𝛿(𝑧) − 𝑓0(𝑧)∣∣∣ ⩽ 𝐶𝛿,

∥∥∥𝐴𝛿𝑧 −𝐴0𝑧∥∥∥ ⩽ 𝐶𝛿,∥∥∥ℎ𝛿 − ℎ0

∥∥∥ ⩽ 𝐶𝛿,∣∣∣𝑔𝛿(𝑧) − 𝑔0(𝑧)

∣∣∣ ⩽ 𝐶𝛿.

С учетом приближенного задания исходных данных

𝑓 𝛿(𝑧) → min, 𝐴𝛿𝑧 = ℎ𝛿, 𝑔𝛿𝑖 (𝑧) ⩽ 0, 𝑖 = 1, ...,𝑚, 𝑧 ∈ 𝐷 ⊂ 𝑍. (2)

Пусть решение задачи (1) существует. Обозначим это един-ственное решение через 𝑧0 . Введем функционал Лагранжа

𝐿𝛿(𝑧, 𝜆, 𝜇) ≡ 𝑓 𝛿(𝑧) +⟨𝜆,𝐴𝛿𝑧 − ℎ𝛿

⟩+⟨𝜇, 𝑔𝛿(𝑧)

⟩,

где 𝑧 ∈ 𝐷, (𝜆, 𝜇) ∈ 𝐻∗ × 𝑅𝑚+ , и, согласно идее двойственной

регуляризации [1, 2], сглаживающий функционал, при 𝑘 > 1

𝑅𝛿,𝛼(𝜆, 𝜇) ≡ inf𝑧∈𝐷

𝐿𝛿(𝑧, 𝜆, 𝜇)−𝛼 ∥𝜆∥𝑘 −𝛼 ∥𝜇∥𝑘 , (𝜆, 𝜇) ∈ 𝐻∗ ×𝑅𝑚+ .

Обозначим через (𝜆𝛿,𝛼, 𝜇𝛿,𝛼) ∈ 𝐻∗ × 𝑅𝑚+ точку максимума

функционала 𝑅𝛿,𝛼(𝜆, 𝜇) , 𝑧𝛿[𝜆, 𝜇] ≡ argmin{𝐿𝛿(𝑧, 𝜆, 𝜇), 𝑧 ∈ 𝐷} .

Теорема 1. Вне зависимости от того, разрешима или нетдвойственная к (1) задача, при выполнении условия согласова-ния 𝛿/𝛼(𝛿) → 0, 𝛼(𝛿) → 0, 𝛿 → 0 выполняются соотношения:∥∥∥𝐴0𝑧𝛿[𝜆𝛿,𝛼(𝛿), 𝜇𝛿,𝛼(𝛿)] − ℎ0

∥∥∥→ 0, 𝑔0𝑖 (𝑧𝛿[𝜆𝛿,𝛼(𝛿), 𝜇𝛿,𝛼(𝛿)]) ⩽ 𝜙(𝛿) → 0,

𝑓0(𝑧𝛿[𝜆𝛿,𝛼(𝛿), 𝜇𝛿,𝛼(𝛿)]) → 𝑓0(𝑧0), 𝑧𝛿[𝜆𝛿,𝛼(𝛿), 𝜇𝛿,𝛼(𝛿)] → 𝑧0, 𝛿 → 0.

56 Т.А. ГРИГОРЯН, Е.В.ЛИПАЧЕВА, В.А.ТЕПОЯН

Благодарю своего научного руководителя профессора М. И.Сумина за постановку задачи и внимание к работе.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 12-01-00199-а) и Минобрнауки РФ в рамках государственного зада-ния на оказание услуг в 2012-2014 гг. подведомственными выс-шими учебными заведениями (шифр заявки 1.1907.2011).


1. СуминМ. И. Регуляризация в линейно выпуклой задачематематического программирования на основе теории двой-ственности // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 2007. –Т. 47. – № 4. – С. 602–625.

2. СуминМ. И. Регуляризованная параметрическая теоре-ма Куна–Таккера в гильбертовом пространстве // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. – 2011. – Т. 51. – № 9. – C. 1594—1615.

Т.А. Григорян, Е. В.Липачева, В. А.Тепоян

Казанский государственный энергетический университет,[email protected], [email protected],

[email protected]

РАСШИРЕНИЯ АЛГЕБРЫ ТЕПЛИЦА

Пусть 𝐵(𝐻2) – алгебра всех линейных ограниченных опе-раторов на пространстве Харди 𝐻2 . 𝐶∗ -подалгебра алгебры𝐵(𝐻2) , порожденная изометрическим неунитарным операто-ром, называется алгеброй Теплица.

В работе рассматриваются расширения алгебры Тепли-ца, порожденные мультипликативным оператором сингуляр-ной внутренной функции.

Т.А. ГРИГОРЯН, Е.В.ЛИПАЧЕВА, В.А.ТЕПОЯН 57

Пусть даны две сингулярные внутренные функции:

Φ1 = exp𝑒𝑖𝜃 + 1

𝑒𝑖𝜃 − 1и Φ𝑡 = exp 𝑡

𝑒𝑖𝜃 + 1

𝑒𝑖𝜃 − 1,

где 𝑡 – некоторое положительное вещественное число.Функции Φ1 соответствует изометрический оператор-

мультипликатор 𝑇Φ1 , функции Φ𝑡 – оператор 𝑇Φ𝑡 .Пусть 𝒯1 – 𝐶∗ -алгебра Теплица, порожденная оператором

𝑇Φ1 , и 𝒯𝑡 – 𝐶∗ -алгебра Теплица, порожденная 𝑇Φ𝑡 . Рассмот-рим 𝐶∗ -алгебру, порожденную операторами 𝑇Φ1 и 𝑇Φ𝑡 . Обо-значим ее 𝐶∗(𝑇Φ1 , 𝑇Φ𝑡) . Ясно, что 𝒯1 ⊂ 𝐶∗(𝑇Φ1 , 𝑇Φ𝑡). Если 𝑡

– положительное рациональное число, то справедлива следую-щая

Лемма 1. Пусть 𝑡 = 𝑚𝑛 , где 𝑚 и 𝑛 взаимно простые чис-

ла. Тогда 𝐶∗(𝑇Φ1 , 𝑇Φ𝑡)∼= 𝒯 1

𝑛, где 𝒯 1

𝑛– 𝐶∗ -алгебра Теплица,

порожденная оператором 𝑇Φ 1𝑛

.

Таким образом, получаем последовательность 𝐶∗ -алгебрТеплица

𝒯1 ⊂ 𝒯 1𝑛⊂ 𝒯 1

𝑛2⊂ 𝒯 1

𝑛3⊂ . . . ,

в которой каждая следующая 𝐶∗ -алгебра является расшире-нием предыдущей.

𝐶∗ -алгебра, порожденная регулярным изометрическимпредставлением полугруппы 𝑆 , называется приведенной полу-групповой 𝐶∗ -алгеброй и обозначается 𝐶∗

𝑟𝑒𝑑(𝑆) [1, 2, 3].

Теорема 1. Индуктивный предел 𝐶∗ -алгебр Теплица

𝒯1 𝑗−→ 𝒯 1𝑛

𝑗−→ 𝒯 1𝑛2

. . . ,

где 𝑗 – вложение, порождает 𝐶∗ -алгебру, изоморфную𝐶∗𝑟𝑒𝑑(ℚ(𝑛)

+ ) , где ℚ(𝑛) – полугруппа рациональных чисел, порож-денная числами вида 𝑚

𝑛𝑘 , где 𝑚 ∈ ℤ, 𝑘 ∈ ℕ , а ℚ(𝑛)+ = ℚ+∩ℚ(𝑛) .

58 В.И.ЖЕГАЛОВ, И.М.САРВАРОВА

Рассмотрим теперь случай, когда 𝑡 – иррациональное по-ложительное число. Пусть Γ – группа, порожденная числами𝑚+𝑛𝑡 , всюду плотная в ℝ , где 𝑚,𝑛 ∈ ℤ . Обозначим Γ+ = Γ∩∩ ℝ+ .

Теорема 2. 𝐶∗(𝑇Φ1 , 𝑇Φ𝑡) канонически изоморфна 𝐶∗𝑟𝑒𝑑(Γ+) .

Поддержано грантом РФФИ № 12-01-97016.


1. AukhadievM. A., TepoyanV. H. Isometric representations oftotally ordered semigroups // Lobachevskii J. Math. – 2012. –V. 33-3. – P. 239–243.

2. ГригорянС.А., СалахутдиновА. Ф. C*-алгебры, порож-денные полугруппами с сокращением // Сиб. матем. журн. –2010. – Т. 51. – C. 16–25.

3. Jang S. Y. Generalized Toeplitz algebras of a certain non-amenable semigroup // Bull. Korean Math. Soc. – 2006. – V. 43. –P. 333–341.

В. И. Жегалов, И.М. Сарварова


О СЛУЧАЯХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ГУРСАВ ЯВНОМ ВИДЕ

В области {𝐷 = 𝑥0 < 𝑥 < 𝑥1 , 𝑦0 < 𝑦 < 𝑦1} рассматриваетсязадача об отыскании регулярного решения уравнения

𝑢𝑥𝑦 + 𝑎𝑢𝑥 + 𝑏𝑢𝑦 + 𝑐𝑢 = 𝑓 (1)

В.И.ЖЕГАЛОВ, И.М.САРВАРОВА 59

по непрерывно дифференцируемым граничным значениям

𝑢(𝑥0, 𝑦) = 𝜑(𝑦), 𝑢(𝑥, 𝑦0) = 𝜓(𝑥), 𝜑(𝑦0) = 𝜓(𝑥0), (2)

𝑥 ∈ [𝑥0, 𝑥1], 𝑦 ∈ [𝑦0, 𝑦1].

Хорошо известно [1, 𝑐.172] , что решение этой задачи, запи-сывается с помощью функции Римана 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝜉, 𝜂) , о которойв общем случае известно лишь то, что она существует. Имеет-ся ряд случаев, когда функцию 𝑅 и, следовательно, решениезадачи (1), (2) удается получить в замкнутой форме. Напри-мер, это возможно, если выполнено хотя бы одно из тождеств[2, 𝑐.15] :

ℎ = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑏− 𝑐 ≡ 0, 𝑘 = 𝑏𝑦 + 𝑎𝑏− 𝑐 ≡ 0. (3)

В настоящем сообщении указываются новые варианты до-статочных условий разрешимости задачи (1)−(2) в явном виде.При этом предполагается, что хотя бы одна из конструкций ℎ, 𝑘из (3) не обращается в нуль, а гладкость коэффициентов урав-нения (1) определяется для (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 включениями

𝑎 ∈ 𝐶(2,1), 𝑏 ∈ 𝐶(1,2), 𝑐 ∈ 𝐶(1,1), 𝑓 ∈ 𝐶(0,1)∩𝐶(1,0).

Сами же достаточные условия записываются в терминах сле-дующих соотношений:

𝑏𝑦 − 𝑎𝑥 ≡ ℎ ≡ 𝛼1(𝑥)𝛽1(𝑦) ∕= 0, (4)

𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 ≡ 𝑘 ≡ 𝛼2(𝑥)𝛽2(𝑦) ∕= 0, (5)

𝑚𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 ≡ 𝑚𝑏𝑦 − 𝑎𝑥 ≡ (𝑚− 1)(𝑎𝑏− 𝑐), (6)

𝜔 =2𝑠′(𝑥)𝑡′(𝑦)

(2 −𝑚)[𝑠(𝑥) + 𝑡(𝑦)]2, (7)

где 𝑠′(𝑥)𝑡′(𝑦) ∕= 0, 𝑠(𝑥) + 𝑡(𝑦) ∕= 0.

60 В.И.ЖЕГАЛОВ, И.М.САРВАРОВА

Здесь ℎ, 𝑘 имеют вид (3) , 𝛼𝑟, 𝛽𝑟 ∈ 𝐶1, 𝑠, 𝑡,𝑚 ∈ 𝐶2 , при-чем функция 𝑚 зависит лишь от одной из переменных 𝑥, 𝑦

и не принимает значение 2, а классы гладкости 𝐶1, 𝐶2 зада-ются на замкнутых множествах определения соответствующихфункций.

Доказана следующая

Теорема. Пусть существуют функции 𝛼𝑟, 𝛽𝑟,𝑚, 𝑠, 𝑡 ука-занных выше классов, для которых имеет место хотя бы однаиз групп соотношений (4) − (5) , или при выполнении тож-деств (6) хотя бы одна из комбинаций ℎ, 𝑘 имеет вид (7) .Если при этом 𝜑(𝑦) ∈ 𝐶2[𝑦0, 𝑦1], 𝜓 ∈ 𝐶2[𝑥0, 𝑥1] , то задача(1) − (2) решается в явном виде.


1. БицадзеА. В.Уравнения математической физики. – М.:Наука, 1982. – 336 c.

2. ЖегаловВ.И., Миронов А. Н.Дифференциальные уравне-ния со старшими производными. – Казань: Изд-во Казанск.матем. общ-ва, 2001. – 226 c.

А.А.ЖИДКОВ 61

А.А. Жидков

Нижегородский государственный университетим. Н.И.Лобачевского,

Институт прикладной физики РАН,[email protected]

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЯПРОВОДИМОСТИ И КОНВЕКТИВНЫХ

ПРОЦЕССОВ В ГЛОБАЛЬНОЙЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ В АТМОСФЕРЕ ЗЕМЛИ

Исследование электромагнитных процессов, протекающихв атмосфере Земли, тесно связано с моделированием клима-тических и погодных явлений. В настоящее время всё большевнимания при создании метеорологических моделей уделяетсяэлектрическим процессам [1]. Построению физических и мате-матических моделей атмосферного электричества проведено вработах [2, 3].

В настоящей работе изучается одна из моделей глобаль-ной электрической цепи в атмосфере Земли. В работах [4–6]проведён математический анализ разрешимости и корректно-сти исследуемой задачи, предложены некоторые формулиров-ки задачи, характерные для применения различных численныхметодов.

В настоящей работе проводится теоретический и численныйанализ влияния неоднородностей проводимости на глобальнуюэлектрическую цепь, а также исследуется вклад в глобальнуюэлектрическую цепь конвективного переноса электрических за-рядов, связанного с испарением жидкости в приземном слое.Приводятся результаты численных расчётов некоторых важ-ных с практической точки зрения задач, связанных с обсужда-

62 А.А.ЖИДКОВ

емыми вопросами. Показано существенное влияние неоднород-ности проводимости вблизи источника электрического тока наглобальную электрическую цепь – изменение электрическогополя в области хорошей погоды, в то время как конвективныепроцессы оказывают влияние лишь в некоторой окрестностивблизи поверхности Земли.

Автор благодарит доц. А. В. Калинина и чл.-корр. Е. А. Ма-реева за обсуждение результатов работы и высказанные ком-ментарии.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнау-ки РФ в рамках государственного задания на оказание услуг в2012-2014 гг. подведомственными высшими учебными заведе-ниями (шифр заявки 1.1907.2011), гранта Правительства Рос-сийской Федерации (договор № 11.G34.31.0048), гранта РФФИ(проект № 12-01-31332-мол_а).


1. МареевЕ. А. Достижения и перспективы исследованийглобальной электрической цепи // Успехи физических наук. –2010. – Т. 180. – № 5. – С. 527–534.

2. HaysP.B., Roble R.G. A Quasi-Static Model of Global At-mospheric Electricity. 1. The Lower Atmosphere // J. of Geophy-sical Research. – 1979. – V. 84. – № A7. – P. 3291–3305.

3. BrowningG. L., Tzur I., RobleR. G. A Global Time-Depen-dent Model of Thunderstorm Electricity. Part I: Mathematical Pro-perties of the Physical and Numerical Models // J. of the Atmo-spheric Sciences. – 1987. – V. 44. – № 15. – P. 2166–2177.

4. ЖидковА.А., Калинин А. В. Корректность одной мате-матической задачи атмосферного электричества // ВестникНижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. – 2009. –№ 4. – С. 123–129.

Г.Р. ЗАББАРОВА 63

5. ЖидковА.А., Калинин А.В. Некоторые вопросы мате-матического и численного моделирования глобальной электри-ческой цепи в атмосфере // Вестник Нижегородского универ-ситета им. Н. И. Лобачевского. – 2009. – № 6. – С. 150–158.

6. ЖидковА.А. О непрерывной зависимости решений отданных задачи для системы уравнений Максвелла в квазиста-ционарном электрическом приближении // Вестник Нижего-родского университета им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – № 5(1). – С. 169–173.

Г.Р. Заббарова


РЕАЛИЗАЦИЯ ОБМЕНА ДАННЫМИ МЕЖДУMAPLET-ПРИЛОЖЕНИЕМ И БАЗОЙ ДАННЫХ

MYSQL

В [1], [2] описаны принципы моделирования системы анали-тического тестирования [3] на основе математического пакетаMaple. В качестве средства создания интерактивной среды те-стирования были предложены маплеты, а в качестве средствхранения данных были использованы внешние приложения, аименно txt- и xls-файлы. При дальнейшей разработке систе-мы возникла необходимость организации более безопасного иструктурированного хранения данных. В данной работе рас-смотрены средства взаимодействия maplet-приложения с базойданных MySQL. СКМ Maple обладает возможностью обменаинформацией c базой данных MySQL. Для работы с ними вMaple имеется пакет Database. Процедуры, входящие в данный

64 Г.Р. ЗАББАРОВА

пакет, позволяют создавать подключение к базе данных, а так-же осуществлять запись, чтение, обновление, удаление данных.Кроме этого, информация, хранящаяся в базе данных, являет-ся более защищенной, чем, например, данные, содержащиесяв текстовом файле. В [1], [2] описана расширенная схема си-стемы аналитического тестирования, включающая несколькоспециализированных библиотек. Мы заменили текстовые фай-лы, содержащие наборы индивидуальных заданий по темам,файлы приложения MS Excel, содержащие списки студентовпо группам, и файлы, хранящие максимальные баллы за зада-ния в тестах по модулям, соответствующими таблицами базыданных. В maplet-приложении были расширены функции ро-ли тьютора, который теперь имеет возможность работать сосписками студентов и групп непосредственно из приложения.Это исключает необходимость работы с другими приложения-ми отдельно от маплета. К уже имеющимся библиотекам систе-мы добавлена библиотека DBase, содержащая процедуры, осу-ществляющие соединение и обмен данными с базой данных.Способность СКМ Maple взаимодействовать с базой данныхMySQL значительно расширяет круг возможностей системыаналитического тестирования [1], [2].


1. АдиятуллинаГ.Р., ИгнатьевЮ. Г. Принципы моделиро-вания системы аналитического тестирования знаний на ос-нове системы компьютерной математики Maple // ВестникТГГПУ. – 2010. – № 2(20). – C. 6–12.

2. АдиятуллинаГ.Р., Игнатьев Ю. Г. Взаимодействие ма-плетов с базами данных в форматах txt и xls в аналитическойсистеме тестирования // Вестник ТГГПУ. – 2011. – № 3(25). –C. 6–17.

Л.Ш.ЗАКИРОВА, Э.И.ФАЗЛЕЕВА 65

3. ИгнатьевЮ. Г. Использование аналитических возмож-ностей пакета Maple для создания программ аналитическоготестирования, самотестирования и генерации индивидуаль-ных заданий в курсах высшей математики. Проблемы ин-формационных технологий в математическом образовании:учебное пособие / под ред. Ю.Г. Игнатьева. – Казань: ТГГ-ПУ, 2005. – C. 9–24.

4. ДьяконовВ.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и об-разовании. – М.: СОЛОН-Пресс, 2006. – 720 c.

5. КирсановМ. Н. Maple 13 и Maplet. Решение задач меха-ники. – М.: Физматлит, 2010. – 504 c.

6. АдиятуллинаГ.Р. Комплекс программ для тестирова-ния знаний по высшей математике // Системы компьютер-ной математики и их приложения: Материалы XII междуна-родной научной конференции. – Смоленск: СмолГУ, 2011. –Вып. 12. – C. 265–266.

7. АдиятуллинаГ.Р. Реализация обмена данными междуmaplet-приложением и файлами формата .txt и .xls . // “Лоба-чевские чтения-2011” Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского. – Казань: Казан. матем. об-во, 2011. – Т. 44. –С. 54–56.

Л. Ш. Закирова, Э.И.Фазлеева


ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, со-ставляет значительную часть курса математики. Это объяс-няется тем, что уравнения и неравенства широко используют-

66 Л.Ш.ЗАКИРОВА, Э.И.ФАЗЛЕЕВА

ся в различных разделах математики, при решении важныхприкладных задач. Изучение многих физических процессов игеометрических закономерностей часто приводит к решениюзадач, содержащих параметры. Сегодня нет необходимости до-казывать актуальность темы “Задачи с параметрами” в рамкахобучения математике в школе. Вместе с тем приходится кон-статировать факт отсутствия у большинства выпускников об-щеобразовательных школ требуемого вузами уровня подготов-ленности по этой теме. Также задачи с параметрами включеныв задания ЕГЭ. Они часто бывают весьма сложными и требуютнестандартного подхода к решению. Трудности при изученииданного вида уравнений и неравенств связаны со следующи-ми их особенностями: обилие формул и методов, используемыхпри решении уравнений и неравенств данного вида; возмож-ность решения одного и того же уравнения или неравенства,содержащего параметр, различными методами.

Задачи с параметрами разделяют на два типа. Первый:“для каждого значения параметра найти все решения неко-торого уравнения или неравенства”. Второй: “найти все зна-чения параметра, при каждом из которых решения уравненияили неравенства удовлетворяют заданным условиям”. Разбо-ру такого типа задач посвящён основной объём нашей научно-исследовательской работы. Продемонстрируем решение одногопримера.

Сколько решений имеет уравнение

𝑥3 − 𝑎2𝑥+ 1 = 𝑎𝑥2

в зависимости от значения параметра 𝑎?Пусть

𝑦 = 𝑥3 − 𝑎𝑥2 − 𝑎2𝑥+ 1.

Л.Ш.ЗАКИРОВА, Э.И.ФАЗЛЕЕВА 67

Исследуем функцию 𝑦′ = 3𝑥2 − 2𝑎𝑥− 𝑎2; 𝑦′ = 0 при 𝑥 = 𝑎 или𝑥 = −𝑎/3 .

1) Если 𝑦𝑚𝑎𝑥𝑦𝑚𝑖𝑛 < 0 т. е. 𝑓(𝑎)𝑓(−𝑎/3) < 0 , то в этомслучае есть три корня. Решая неравенство

𝑓(𝑎)𝑓(−𝑎3

) = (1 − 𝑎3)(5

27𝑎3 + 1) < 0,

получаем, что

𝑎 ∈ (−∞;−3

53√

25) ∪ (1;∞).

2) Условие существования двух корней 𝑦𝑚𝑎𝑥𝑦𝑚𝑖𝑛 = 0 вы-полняется при 𝑎 = 1 или 𝑎 = −3

53√

25.

3) Для существования единственного корня достаточно,чтобы 𝑓(𝑎)𝑓(−𝑎

3 ) > 0; (𝑦𝑚𝑎𝑥𝑦𝑚𝑖𝑛 > 0) или 𝑎 = 0. Это будетв случае 𝑎 ∈ (−3

53√

25; 1).


1. ШахмейстерА. Х. Задачи с параметрами: учеб. пособиедля школьников, абитуриентов и учителей / под ред. Б.Г. Зи-ва. – М.: Петроглиф, 2006. – 248 с.

2. ЯстребинецкийГ.А. Уравнения и неравенства, содержа-щие параметры: учеб. пособие для учителей. – М.: Просвеще-ние, 1972.

68 Т.Ш.ЗАРИПОВ

Т.Ш. Зарипов


ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОСАЖДЕНИЯЗАРЯЖЕННЫХ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ

В ЗАМКНУТОМ ОБЪЕМЕ

Развит метод расчета движения заряженных частиц в за-мкнутой области – внутри заземленной сферы – в рамкахлагранжева подхода, и проведены исследования эффективно-сти осаждения частиц на границе сферы при различном числемоделируемых частиц (концентрации частиц).

Пусть в сфере радиуса 𝑅0 случайно и равномерно распреде-лены 𝑛 одноименно заряженных частиц. На частицу 𝑖 действу-ют кулоновские силы со стороны зарядов всех частиц, распре-деленных в объеме, а также со стороны индукционных зарядов,порожденных частицами на поверхности сферы. Для решениязадачи об электрическом поле, создаваемом индуцированны-ми зарядами, воспользуемся методом изображений. Уравнениедвижения частиц под воздействием указанных сил запишетсяв безразмерном виде:

𝑑𝑟𝑖𝑑𝑡

=

𝑁∑𝑗=1(𝑗 ∕=𝑖)

𝑟𝑖 − 𝑟𝑗∣𝑟𝑖 − 𝑟𝑗 ∣3 +

𝑁∑𝑗=1(𝑗 ∕=𝑖)

𝑟𝑖 − 𝑟𝑗𝑗𝑟𝑗 ∣𝑟𝑖 − 𝑟𝑗𝑗 ∣3 +

𝑟𝑖∣1 − 𝑟2𝑖 ∣2

, (1)

где 𝑟 = ��/𝑅0 – радиус-вектор, определяющий положение ча-стицы, 𝑡 = 𝑇/𝑇 ∗ , 𝑇 ∗ = 𝑏𝑞2/(4𝜋𝜀0𝑅

30) , 𝑏 = (3𝜋𝜇𝑑)−1 – подвиж-

ность частицы.Задача Коши для уравнения движения частиц решается

методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности. Эффек-тивность осаждения 𝐸 на каждом временном шаге находит-ся как отношение доли всех осевших к этому моменту частиц

Т.Ш.ЗАРИПОВ 69

𝑁 к общему числу частиц 𝑁0 , находившихся внутри сферыв начальный момент времени, 𝐸 = 𝑁(𝑡)/𝑁0 . Частица счита-ется осевшей, когда пересекает границу сферы (𝑟𝑖 ⩾ 1). Прификсированных числах 𝑁 расчеты величины 𝐸 проводятсямногократно и осредняются.

10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

E

N=418

123Yu-1Yu-2

10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

E

N=16

123Yu-1Yu-2

Рис. 1.

Результаты расчетов величины 𝐸 при различных числах𝑁 приведены на рис. 1. Представлены результаты трех вари-антов расчетов, для сравнения приведены также кривые 𝐸(𝑡) ,полученные по формулам Yu [1]: варианты 1 и Yu-2 – эффек-тивность осаждения с учетом только индукционной силы дляодиночной частицы, варианты 2 и Yu-1– эффективность оса-ждения с учетом только кулоновского взаимодействия, вари-ант 3 – расчет по полной модели (1).

Зависимости 𝐸(𝑡) при различных 𝑁 дают представление обизменении соотношения между эффективностью осаждения,рассчитываемой в различных приближениях. С уменьшением𝑁 , в целом, растет роль индукционного осаждения. Начинаяс 𝑁 = 16 кривые, полученные в индукционном приближении,оказываются выше соответствующих кривых, рассчитанных вприближении кулоновского взаимодействия.

70 А.С. ЗАХАРОВ

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ(гранты №№ 12-01-00333, 12-07-00007).


1. YuC.P. Precipitation of unipolarly charged particles incylindrical and spherical vessels. // J. of Aerosol Science. – 1977. –V. 8. – P. 237–241.

А.С. Захаров

Новосибирский государственный университет,[email protected]

ВЛОЖЕНИЕ АЛГЕБР НОВИКОВА-ПУАССОНАВ АЛГЕБРЫ НОВИКОВА-ПУАССОНА

ВЕКТОРНОГО ТИПА

Алгебра Новикова возникли в работе И. М. Гельфанда иИ. Я. Дорфмана [1] и в работе А. А. Балинского и С. П. Но-викова [2]. Алгебры Новикова-Пуассона были введены в рабо-те К. Ксу [3]. А. С. Тихов и В. Н. Желябин рассматривалиалгебры Новикова-Пуассона с ассоциативной коммутативнойединицей [4].

Векторное пространство ⟨𝐴, ⋅, ∘⟩ с двумя умноженияминазывается обобщенной алгеброй Новикова-Пуассона, если⟨𝐴, ⋅⟩ — ассоциативная коммутативная алгебра и верны тож-дества

𝑥𝑦 ∘ 𝑧 = 𝑥(𝑦 ∘ 𝑧); (𝑥 ∘ 𝑦)𝑧 − 𝑥 ∘ (𝑦𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑥)𝑧 − 𝑦 ∘ (𝑥𝑧). (1)

Обощенная алгебра Новикова-Пуассона ⟨𝐴, ⋅, ∘⟩ будет ал-геброй Новикова-Пуассона, если ⟨𝐴, ∘⟩ — алгебра Новикова, в

А.С. ЗАХАРОВ 71

ней выполнены тождества

(𝑥∘𝑦)∘𝑧 = (𝑥∘𝑧)∘𝑦; (𝑥∘𝑦)∘𝑧−𝑥∘(𝑦∘𝑧) = (𝑦∘𝑥)∘𝑧−𝑦∘(𝑥∘𝑧). (2)

Если 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑎 ⋅ ∂(𝑏) + 𝛼 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 , где 𝛼 ∈ 𝐴 , ∂ — диффенциро-вание алгебры ⟨𝐴, ⋅⟩ , то ⟨𝐴, ⋅, ∘⟩ — алгебра Новикова-Пуассонавекторного типа.

По ассоциативной коммутативной алгебре ⟨𝐴, ⋅⟩ с кососим-метричной операцией { , } , которую мы будем называть скобка,можно построить дубль Кантора следующим образом. Пусть𝐽(𝐴) = 𝐴+𝐴𝜉 , где 𝐴𝜉 — изоморфная копия 𝐴 . Введем умно-жение слудующим образом:

𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏; 𝑎𝜉 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏𝜉 = (𝑎𝑏)𝜉; 𝑎𝜉 ∙ 𝜉𝑏 = {𝑎, 𝑏}.

Для алгебры Новикова-Пуассона ⟨𝐴, ⋅, ∘⟩ введем скобку поправилу {𝑎, 𝑏} = 𝑎 ∘ 𝑏− 𝑏 ∘ 𝑎 .

Теорема 1. Пусть ⟨𝐴, ⋅, ∘⟩ — обобщенная алгебраНовикова-Пуассона. Тогда построенный по ⟨𝐴, ⋅, ∘⟩ дубль Кан-тора 𝐽(𝐴, {, }) будет йордановой супералгеброй.

Рассмотрим произвольное мультипликативное множество 𝑆в ⟨𝐴, ⋅⟩ . Пусть ⟨𝐹𝑟𝑆(𝐴), ⋅⟩ — кольцо частных ⟨𝐴, ⋅⟩ относитель-но 𝑆 . Пусть 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 , 𝜆 = (𝑎𝑏∘𝑐+𝑎𝑐∘𝑏−𝑎∘𝑏𝑐)/(𝑎𝑏𝑐) и 1 = 𝑎/𝑎 .Определим новое умножение ∘𝐹𝑟 на 𝐹𝑟𝑆(𝐴) , полагая

𝑎

𝑛∘𝐹𝑟

𝑏

𝑚=

𝑎

𝑛𝑚(𝜆𝑏

1+ 1 ∘ 𝑏− 𝑏

𝑚∘𝑚).

Теорема 2. Пусть ⟨𝐴, ⋅, ∘⟩ — обобщённая алгебраНовикова-Пуассона, и 𝑥 не делитель нуля в ⟨𝐴, ⋅⟩ . Тогда⟨𝐹𝑟𝑆(𝐴), ⋅, ∘𝐹𝑟⟩ — алгебра Новикова-Пуассона векторного ти-па и ⟨𝐴, ⋅, ∘⟩ вложима в ⟨𝐹𝑟𝑆(𝐴), ⋅, ∘𝐹𝑟⟩ . В частности, ⟨𝐴, ⋅, ∘⟩— алгебра Новикова-Пуассона.

72 А.С. ЗАХАРОВ

Следствие 1. Пусть ⟨𝐴, ⋅, ∘⟩ — обобщённая алгебраНовикова-Пуассона, 𝑥 – не делитель нуля в ⟨𝐴, ⋅⟩ , тогда соот-ветствующий дубль Кантора ⟨𝐽(𝐴), {, }⟩ будет специальноййордановой супералгеброй.

Работа выполнена при поддержке АВЦП Рособразова-ния “Развитие научного потенциала высшей школы” (проект2.1.1.10726), Совета по грантам Президента РФ для поддержкимолодых российских ученых и ведущих научных школ (про-ект НШ-3669.2010.1), Работа поддержана грантом ФЦП “На-учные и научно-педагогические кадры инновационной России”на 2009–2013 гг. (код проекта 14.740.11.1510), грантом РФФИ(проект № 11-01-00938-а).


1. ГельфандИ. М., Дорфман И.Я.Гамильтоновы операто-ры и связанные с ними алгебраические структуры // Функц.анализ прил. – 1979. – № 5. – C. 13–30.

2. БалинскийА. А., НовиковС. П.Скобки Пуассона гидроди-намического типа, фробениусовы алгебры и алгебры Ли //ДАНСССР. – 1985. – № 5. – C. 1036–1039.

3. XuX. Novikov-Poisson algebra //J. Algebra. – 1997. – № 2. –C. 253–279.

4. ЖелябинВ. Н., ТиховА. С. Алгебры Новикова-Пуассонаи ассоциативные коммутативные дифференциальные алгебры// Алгебра и логика. – 2008. – № 2. – C. 186–202.

О.С. ЗАХАРОВА 73

О.С. Захарова


ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМВИБРОРОБОТА В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Изучается существенно нестационарное прямолинейноедвижение в жидкости виброробота – двухмассовой системы,состоящей из сферического корпуса и подвижной внутреннеймассы. Управляя движением внутреннего тела, можно управ-лять внешней силой, действующей на корпус и, как следствие,движением системы как целого. Задача состоит в нахожденииоптимального управления, отвечающего минимальным энер-гетическим затратам при заданной средней скорости движе-ния виброробота и фиксированном периоде колебаний. До сихпор эта и аналогичные ей задачи решались [1, 2] в условияхквазистационарности, когда силы сопротивления определялисьлишь мгновенной скоростью движения корпуса. В данной рабо-те в силы сопротивления 𝑅 , помимо квадратичных по скоростивязких сил, включены также зависящие от предыстории дви-жения силы Бассе:

𝑅 =1

2𝐶𝑥𝜋𝜌𝑎

2𝑢∣𝑢∣ + 6𝜋𝜌𝜈𝑎2∫ 𝑡

−∞

𝑑𝑢/𝑑𝑡√𝜋𝜈(𝑡− 𝜏)

𝑑𝜏 (1)

Полученные результаты демонстрируют, что дополнительныйучет сил Бассе не приводит к качественному изменению оп-тимальных режимов движения корпуса (рис. 1) и внутреннеймассы, полученных в предположении квазистационарности за-кона сопротивления [1]. Параметр 𝑠 , фигурирующий на рис.1,характеризует степень нестационарности движения, или дру-гими словами степень влияния сил Бассе. Так значение 𝑠 →

74 О.С. ЗАХАРОВА

→ 0 отвечает решению в квазистационарном предположении.С ростом 𝑠 характер оптимальных движений сохраняется, аэффективность движения уменьшается, что связано с ростомэнергетических затрат на преодоление сил Бассе. Результатысвидетельствуют о том, что квазистацинарное решение [1] яв-ляется хорошим приближением нестационарных решений и да-ет верхнюю оценку в плане эффективности движения.

10−3

10−2

10−1

−10

−8

−6

−4

−2

0

s → ∞s = 3s = 1s = 0.1

s → 0

t

u

Рис.1


1. ЕгоровА. Г., ЗахароваО.С. Оптимальное по энергети-ческим затратам движение виброробота в среде с сопротив-лением // ПММ. – 2010. – Т. 24. – Вып. 4. – C. 620–632.

2. ЕгоровА. Г., ЗахароваО.С. Оптимальное квазистацио-нарное движение виброробота в вязкой жидкости // Изв. ву-зов. Матем. – 2012. – № 2. – C. 57–64.

Т.В. ЗЫКОВА 75

Т.В. Зыкова

Сибирский федеральный университет,[email protected]

ОБ АЛГОРИТМЕ ПОСТРОЕНИЯМНОГОГРАННИКА, ОПРЕДЕЛЯЮЩЕГООБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛА

МЕЛЛИНА-БАРНСА, ПРЕДСТАВЛЯЮЩЕГОРЕШЕНИЕ ПЕНТАНОМИАЛЬНОГОАЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим пентаномиальное алгебраическое уравнение

𝑦𝑛 +𝑥3𝑦𝑛3 +𝑥2𝑦

𝑛2 +𝑥1𝑦𝑛1 − 1 = 0, 𝑛 > 𝑛3 > 𝑛2 > 𝑛1 ⩾ 1. (1)

Из результата Меллина [1] известно, что 𝜇 -я степень (𝜇 >

> 0) ветви решения 𝑦(𝑥) 𝑦(0) = 1 представляется интеграломМеллина-Барнса вида:

1

(2𝜋𝑖)3

∫𝛾+𝑖ℝ3

𝜇𝑛Γ(𝜇𝑛 − 𝑛1

𝑛 𝑧1 − 𝑛2𝑛 𝑧2 − 𝑛3

𝑛 𝑧3)

Γ (𝑧1) Γ (𝑧2) Γ (𝑧3)

Γ(𝜇𝑛 + 𝑛−𝑛1

𝑛 𝑧1 + 𝑛−𝑛2𝑛 𝑧2 + 𝑛−𝑛3

𝑛 𝑧3 + 1) ×

𝑥−𝑧11 𝑥−𝑧2

2 𝑥−𝑧33 𝑑𝑧1𝑑𝑧2𝑑𝑧3, (2)

где интегрирование ведется по мнимому (вертикальному) под-пространству 𝛾 + 𝑖ℝ3 , вектор 𝛾 фиксирован и выбирается изсимплекса

𝑈 ={𝑢 ∈ ℝ3 : 𝑢1 > 0, 𝑢2 > 0, 𝑢3 > 0, 𝑛1𝑢1 + 𝑛2𝑢2 + 𝑛3𝑢3 < 𝜇

}.

В работе [2] было доказано, что при условии 𝑛 < 2𝑛2 инте-грал (2) сходится над внутренностью двенадцатигранника (см.рис. 1). Он может вырождаться в десятигранник и параллеле-пипед при соответствующих условиях на показатели мономовв уравнении (1).

76 Т.В. ЗЫКОВА

В настоящей работе на основе данного результата со-здан алгоритм компьютерной алгебры в среде Maple.В ходе выполнения программы строится двенадцатигран-ник (десятигранник, параллелепипед), определяющий об-ласть сходимости интеграла (2), представляющего решениепентаномиального алгебраического уравнения (1). Програм-ма состоит из нескольких процедур, основная процедура𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛_𝑓𝑜𝑟_𝑝𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙_𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐_𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 реализует по-строения многогранника. Входными данными процедуры явля-ются показатели мономов пентаномиального алгебраическогоуравнения. На рис. 1 представлен один из результатов работыпрограммы.

Рис. 1. Двенадцатигранник 𝑛 < 2𝑛2 .


1. MellinH. Resolution de l’equation algebrique generale al’aide de la fonction gamma // C.R. Acad. Sci., Paris Ser. – 1921. –V. 172. – P. 658–661.

2. ЗыковаТ.В. О сходимости интеграла Меллина-Барнсана границе его области сходимости // Вестник КемГУ. –2011. – Т. 47. – № 3/1. – C. 199–202.

Ю.Г.ИГНАТЬЕВ, А.Р.САМИГУЛЛИНА 77

Ю.Г.Игнатьев, А. Р.Самигуллина


АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯДЛЯ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ФАКУЛЬТЕТОВС ПРИМЕНЕНИЕМ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ

МАТЕМАТИКИ MAPLE

В докладе представлена презентация учебного пособия покурсу алгебры и аналитической геометрии. Методическое посо-бие содержит краткое изложение вопросов линейной алгебры ианалитической геометрии, входящих в курсы алгебры и анали-тической геометрии для студентов физических и информаци-онных специализаций, а также курса высшей математики длястудентов естественнонаучных специализаций. В пособии по-дробно рассмотрено решение основных задач этих курсов. От-личительной особенностью пособия является интеграция обыч-ных методов решения задач с методами их решения в систе-ме компьютерной математики (СКМ) Maple. Таким образом,авторы хотели приобщить студентов к современным инфор-мационным технологиям научных исследований, без которыхв настоящее время немыслимы ни научные исследования, ниразработка технологических проектов. С учетом этого ново-го фактора в учебное пособие введен раздел предварительногоознакомления с системой Maple и авторский компакт – диск сприложениями в Maple по изучаемым курсам, а также специ-альный раздел для преподавателей, снабженный инструкци-ями по использованию компакт-диска для методического со-провождения курса с помощью СКМ. Электронный вариантпособия содержит гиперссылки на файлы компакт-диска, со-

78 М.И.КАБАНОВА

держащие необходимую для изучения материала информацию.


1. ИгнатьевЮ. Г.Аналитическая геометрия. Курс лекций.I семестр. Компьютерный вариант в формате LATEX. – Казань,2002. – 124 с.

2. КирсановМ. И. Практика программирования в системеMaple. – М: Издательский дом МЭИ, 2011. – 208 с.

М.И. Кабанова

Московский педагогический государственный университет,[email protected]

СТРУКТУРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 𝜆𝐸 -СТРУКТУРЫ

В работе [1] было дано определение 𝜆𝐸 -структуры как 𝐺 -структуры, порожденной группой 𝐺 скалярных матриц. Былодоказано, что задание 𝜆𝐸 -структуры на гладком многообразии𝑀 размерности 𝑛 равносильно заданию 𝑛 + 1 распределенийкоразмерности 1 на этом многообразии и получена первая се-рия структурных уравнений 𝜆𝐸 -структуры:

𝑑𝜔𝑖 = 𝜔𝑖 ∧ 𝜃 + 𝑎𝑖𝑘𝜔𝑖 ∧ 𝜔𝑘 + 𝑏𝑖𝑗𝑘𝜔

𝑗 ∧ 𝜔𝑘, 𝑖 ∕= 𝑗, 𝑖 ∕= 𝑘. (1)

Также был выяснен смысл некоторых относительных инва-риантов и показано, что в случае, когда все 𝑛 + 1 распреде-лений интегрируемы, построенная конструкция представляетсобой (𝑛+ 1) -ткань в смысле В. В. Гольдберга [2].

В настоящей работе структурные уравнения 𝜆𝐸 -структурыбыли продолжены.

M.A.КАЗАНЦЕВ 79

Теорема. Продолжения структурных уравнений (1) 𝜆𝐸 -структуры имеют вид :

𝑑𝜃 =(

2𝜆��𝑘𝑚𝜔𝑚 − 2∇𝑎𝑖𝑘

)∧ 𝜔𝑘,

∇𝑏𝑖𝑗𝑘 =(

2𝐽 𝑖𝑗𝑘𝑚 + 2𝜆𝑖𝑗[𝑘𝑚] + 2𝜆𝑖𝑘[𝑚𝑗]

)𝜔𝑚,

∇𝑎𝑖𝑘 = 𝜆��𝑘𝑚𝜔𝑚 − 1

2𝜃𝑘.

где 𝑖 ∕= 𝑗 , 𝑖 ∕= 𝑘 , �� — фиксированный индекс.


1. КабановаМ. И. 𝜆𝐸 -структуры // Тезисы докладов меж-дународной конференции “Геометрия в Одессе – 2012.” – Одес-са: Благотворительный фонд “Наука”, 2012. – C. 45.

2. Goldberg V. V. Theory of multicodimensional (n + 1)-webs. –Dordrecht: Boston: Kluwer Academic, 1988. – 466 p.

M.A.Казанцев

ФГУП “НПП “Радиосвязь”,[email protected]

ОБ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЕУПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЕМ НА ПРИМЕРЕ

ИСПОЛНИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

В ходе исследования сетевых сервисов поддержки жизнен-ных циклов промышленных изделий был проведен анализ си-стем хранения передачи и резервирования данных, а такжерассмотрены методы и архитектура построения приложенийдля автоматизации решаемых прикладных задач.

80 M.A.КАЗАНЦЕВ

В качестве платформы для разработки приложений былавыбрана трехуровневая архитектура (клиент – сервер прило-жений – сервер баз данных) на базе web-сервисов. Данное ре-шение позволяет обеспечить кросплатформенность на рабочихстанциях и относительную легкость в администрировании при-ложений. В качестве апробации подходов к автоматизации бы-ла разработана и внедрена исполнительная система производ-ства (MES) [1]. Системы такого класса решают задачи синхро-низации, координируют, анализируют и оптимизируют выпускпродукции в рамках производства. Для успешной деятельностипредприятия функции, выполняемые MES-системами, должныбыть интегрированы с другими системами управления пред-приятием, такими как:

∙ Планирование Цепочек Поставок (SCM);

∙ Продажи и Управления сервисом (SSM);

∙ Планирования Ресурсов Предприятия (ERP);

∙ Автоматизированные системы управления технологиче-скими процессами (АСУТП).

Выполнение данных функций обеспечит своевременное ивсеобъемлющее наблюдение за критическими производствен-ными процессами. Разработка и использование данной системыувеличило скорость обработки производственной информации,а также скорость подготовки сопроводительной и отчетной до-кументации по изготавливаемым деталям и сборочным едини-цам, кроме того появилась возможность анализа изготовленияпродукции и перекрестного сквозного контроля на всех этапахпроизводства.

А.Ю.КАЗАРИН 81


1. ИсаповР. Mes-системы // http://insapov.ru/mes.html.

А.Ю.Казарин


ЗАДАЧА R - ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯДЛЯ КОЛЬЦЕВОЙ ГЕТЕРОГЕННОЙ

СТРУКТУРЫ

Рассматривается (𝑛 + 1)-фазная среда, линиями сопряже-ния разнородных компонентов которой служат 𝑛 концентри-ческих окружностей ℒ𝑘 = {𝑡 : ∣𝑡∣ = 𝑟𝑘, } , 𝑘 = 1, 𝑛 , 𝑟1 > 𝑟2 > . . .. . . > 𝑟𝑛 , т. е. компонентами среды являются: внешность круга𝑆1 , кольца 𝑆2 , 𝑆3 , . . . , 𝑆𝑛 и внутренность круга 𝑆𝑛+1 . Кусочно-мероморфная функция 𝑣(𝑧) = 𝑣𝑘(𝑧) = 𝐹𝑘(𝑧) + 𝑉𝑘(𝑧) , 𝑉𝑘(𝑧) ∈∈ ℋ(𝑆𝑘) , с заданной главной частью 𝐹𝑘(𝑧) находится ([1], с. 8)по краевому условию⎧⎨⎩

𝑣1(𝑡) = 𝐴1𝑣2(𝑡) +𝐵1𝑟21𝑡

−2𝑣2(𝑡), 𝑡 ∈ ℒ1 = {𝑡 : ∣𝑡∣ = 𝑟1},𝑣2(𝑡) = 𝐴2𝑣3(𝑡) +𝐵2𝑟

22𝑡

−2𝑣3(𝑡), 𝑡 ∈ ℒ2 = {𝑡 : ∣𝑡∣ = 𝑟2},. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .𝑣𝑛−1(𝑡)=𝐴𝑛−1𝑣𝑛(𝑡)+𝐵𝑛−1𝑟2𝑛−1𝑡−2𝑣𝑛(𝑡), 𝑡∈ℒ𝑛−1={𝑡 : ∣𝑡∣=𝑟𝑛−1},𝑣𝑛+1(𝑡) = 𝐴𝑛𝑣𝑛(𝑡) +𝐵𝑛𝑟

2𝑛𝑡

−2𝑣𝑛(𝑡), 𝑡 ∈ ℒ𝑛 = {𝑡 : ∣𝑡∣ = 𝑟𝑛}.

где 𝐴𝑘 = [𝜌𝑘 + 𝜌𝑘+1]/2𝜌𝑘 , 𝑘 = 1, 𝑛− 1 , 𝐴𝑛 = [𝜌𝑛+1 + 𝜌𝑛]/2𝜌𝑛+1 ,𝐵𝑘 = 1 − 𝐴𝑘 , 𝜌𝑘 > 0 – коэффициент, характеризующий физи-ческие свойства среды 𝑆𝑘 .

Решение представляется в виде абсолютно и равномерносходящегося ряда. С помощью этого решения по заданным

82 А.Ю.КАЗАРИН

главным частям 𝐹𝑘(𝑧) , 𝑘 = 1, 𝑛+ 1 строятся различные мо-дели течения жидкости в произвольной кольцевой структуре спроизвольным числом, характером и расположением мульти-полей, порождающих течение. С помощью пакета Mathematicaесть возможность визуализации этих моделей.

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

Рис. 1.

Например в случае двух колец (𝑟1 = 2, 𝑟2 = 3.5, 𝑟3 = 6),при 𝜌1 = 1 , 𝜌2 = 0, 2 , 𝜌3 = 5 , 𝜌4 = 20 и

𝐹1(𝑧) = 0, 𝐹2(𝑧) = − 1

𝑧 + 3 − 4i, 𝐹3(𝑧) =

2

𝑧 − 2 − 2i, 𝐹4(𝑧) = 0,

получаем поле представленное на рис. 1. Сплошными линиямиобозначены линии тока, а пунктирными – эквипотенциали. В

А.В.КАЛИНИН, Е.Е. ГРИГОРЬЕВ 83

особой точке 𝑧 = 2 + 2i находится источник, а в точке𝑧 = −3 + 4i сток.


1. ОбносовЮ. В. Краевые задачи теории гетерогенныхсред. Многофазные среды, разделенные кривыми второго поряд-ка. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2009. – 205 c.

2. КазаринА. Ю. Обобщенная теорема Милн-Томсонадля слоисто-параллельной среды. // Тр. Матем. центраим. Н.И. Лобачевского. – Казань: Изд-во Казанск. матем. общ-ва, 2011. – T. 43. – C. 176–177.

А.В. Калинин, Е. Е. Григорьев

Нижегородский государственный университет им.Н.И.Лобачевского,

[email protected], [email protected]

СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИКЛАССИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОДНОГО ЭФФЕКТА

Стационарная система уравнений для классической моделиэлектродного эффекта при одинаковой подвижности положи-тельных и отрицательных ионов записывается в виде [1]:

div(𝑘�� ⋅ 𝑛1) = 𝑞 − 𝛼 ⋅ 𝑛1 ⋅ 𝑛2, (1)

−div(𝑘�� ⋅ 𝑛2) = 𝑞 − 𝛼 ⋅ 𝑛1 ⋅ 𝑛2, (2)

div�� =𝑒

𝜀0(𝑛1 − 𝑛2). (3)

84 А.В.КАЛИНИН, Е. Е. ГРИГОРЬЕВ

Здесь �� = ��(��) – напряженность электрического поля;𝑛1 = 𝑛1(𝑥), 𝑛2 = 𝑛2(𝑥) – концентрации положительно и отри-цательно заряженных ионов соответственно; �� = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈∈ Ω, Ω – некоторая трехмерная область, граница Γ которойможет состоять из одной или нескольких связных компонент,играющих роль электродов (при моделировании электродногоэффекта в приземных слоях атмосферы, Γ – поверхность Зем-ли); 𝜀0 – электрическая проницаемость вакуума; 𝑒 – величиназарядов ионов, принятая в работе равной заряду электрона; 𝑞 –интенсивность ионообразования; 𝛼 – коэффициент рекомбина-ции; 𝑘 – подвижность ионов. В настоящей работе предполага-ется, что 𝑘, 𝑞, 𝛼, 𝜀0 заданные положительные числа. Частныйслучай этой системы в плоской геометрии в предположении

�� = ��3𝐸3(𝑥3) = ��3𝐸(𝑧),

div(��(𝑛1 +𝑛2)) =𝑑

𝑑𝑧(𝐸(𝑛1 +𝑛2)) = 0, 𝑘𝑒(𝑛1 +𝑛2)𝐸 = 𝐼 = const,

изучался в классической работе [3]. В частности, в [3] бы-ли получены нелинейные дифференциальные уравнения длянеизвестной функции 𝐸(𝑧) и изучены некоторые качествен-ные свойства решений. Изучение системы (1–3) в общем случаепредставляет интерес в связи с возможностью её использова-ние при моделировании электрических процессов в атмосфере[1], [2], [4].

В работе показывается, что справедливо равенство

(�� ⋅ grad𝐹𝛽(𝑛1, 𝑛2)) = 0, (4)

где

𝐹𝛽(𝑛1, 𝑛2) = 𝐹𝛽(𝑛1, 𝑛2) =

⎧⎨⎩(𝛽−1

𝛽⋅𝜂1⋅𝜂2+ 1

𝛽)

𝛽𝛽−1

(𝜂1+𝜂2)2, если 𝛽 ∕= 1,

𝑒(𝜂1⋅𝜂2−1)

(𝜂1+𝜂2)2, если 𝛽 = 1,

А.В.КАЛИНИН, Е.Е. ГРИГОРЬЕВ 85

𝜂𝑗 =𝑛𝑗

𝑛∞ , 𝑛∞ =√

𝑞𝛼 , 𝛽 = 2𝑘𝑒

𝜀0𝛼Равенство (4) означает, что вдоль

силовых линий электрического поля �� величина 𝐹𝛽(𝑛1, 𝑛2)

остается неизменной:

𝐹𝛽(𝑛1, 𝑛2) = 𝐶 = const.

С использованием установленного факта исследуются каче-ственные свойства решений и выводятся количественные соот-ношения для представляющих практический интерес краевыхзадач для системы (1–3). Работа выполнена при финансовой

поддержке гранта Правительства Российской Федерации (до-говор № 11.G34.31.0048).


1. КуповыхГ., МорозовВ., Шварц Я. Теория электродногоэффекта в атмосфере. – Таганрог: ТРТУ, 1998. – 123 c.

2. Hoppel W. Theory of electrode effect // J. of Atmosphericand Terrestrial Phys. – 1967. – V. 29. – C. 709–721.

3. Thomson J. Conduction of electricity through gases //Cambridge. 1903. – 566 c.

4. КалининА., Григорьев Е., ТерентьевА. VII Всероссий-ская конференция по атмосферному электричеству. Санкт-Петербург: ФГБУ, 2012. – C. 99–101.

86 С.И.КАЛМЫКОВ

С.И. Калмыков

Институт прикладной математики ДВО РАН,[email protected]

ОБ ОЦЕНКАХ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ НА ДУГАХОКРУЖНОСТИ

Для данной области 𝐷 , имеющей классическую функциюГрина, набора точек {𝑧𝑘}𝑚𝑘=1 , 𝑧𝑘 ∈ 𝐷 ⊂ ℂ𝑧, 𝑘 = 1, ...,𝑚 ивещественного числа 𝑟 > 0 введем обозначение

𝐷𝑟(𝑧1, ..., 𝑧𝑚) =

{𝑧 :

𝑚∑𝑘=1

𝑔𝐷(𝑧, 𝑧𝑘) > 𝑟

}.

В докладе будут представлены результаты для полиномов,нормированных на дугах окружности, вытекающие из следую-щего принципа мажорации [1, 2].

Теорема 1. Пусть области 𝐷 и 𝐺 имеют классическиефункции Грина, 𝐷 ⊂ ℂ𝑧 , ∞ ∈ 𝐺 ⊂ ℂ𝑤 . Предположим,что функция 𝑓 является мероморфной в области 𝐷 , име-ет по крайней мере один полюс в 𝐷 и удовлетворяет условию𝑓(∂𝐷) ⊂ ∂𝐺 (т. е. при стремлении точки 𝑧 к границе обла-сти 𝐷 все предельные значения функции 𝑓(𝑧) принадлежатгранице 𝐺). Тогда для любого положительного 𝑟 справедливовключение

𝑓(𝐷𝑟(𝑧1, ..., 𝑧𝑚))∖𝑓(∂𝐷𝑟(𝑧1, ..., 𝑧𝑚)) ⊃ 𝐺𝑟(∞)) (1)

где 𝑧1, ..., 𝑧𝑚 – полюсы функции 𝑓 в области 𝐷 , каждый изкоторых учитывается столько раз, каков его порядок.

Далее, пусть 𝑟 – произвольное, фиксированное положи-тельное число. Равенство в (1) имеет место в том и толькотом случае, когда 𝑓(𝐷) = 𝐺 и 𝑓 осуществляет полное 𝑚-кратное накрытие области 𝐺 областью 𝐷 .

С.И.КАЛМЫКОВ 87

В частности, доказаны следующие теоремы.

Теорема 2 ([3]). Для комплексного полинома 𝑃 и 𝑧 ∈ Γ𝛼 =

= {𝑧 = 𝑒𝑖𝜑 : −𝛼 ⩽ 𝜑 ⩽ 𝛼}, 0 < 𝛼 < 𝜋 , имеет место неравен-ство

∣(∣𝑃 (𝑧)∣2)′𝜑∣ ⩽𝑛∣𝑧 + 1∣√(𝑀2 − ∣𝑃 (𝑧)∣2)(∣𝑃 (𝑧)∣2 −𝑚2)

∣√𝑧2 − 2𝑧 cos𝛼+ 1∣ , (2)

где𝑀 = max

𝑧∈Γ𝛼

∣𝑃 (𝑧)∣, 𝑚 = min𝑥∈Γ𝛼

∣𝑃 (𝑧)∣.

Равенство в (2) достигается для полинома

𝑃𝛼(𝑧) =

⎧⎨⎩𝑛/2∏𝑘=1

(𝑧2 − 2𝑎𝑘𝑧 + 1), при четных 𝑛,

(𝑧 − 1)(𝑛−1)/2∏𝑘=1

(𝑧2 − 2𝑎𝑘𝑧 + 1), при нечетных 𝑛,

где 𝑎𝑘 = cos2 𝛼2 − sin2 𝛼

2 cos 𝜋(2𝑘−1)𝑛 .

Теорема 3 ([4]). Для комплексного полинома 𝑃 с 𝑚 ∕= 𝑀

и любых вещественных 𝜑1 , 𝜑2 таких, что 𝑒𝑖𝜑1 , 𝑒𝑖𝜑2 ∈ Γ𝛼 ,справедливо неравенство∣∣∣∣∣∣arcsin

√∣𝑃 (𝑒𝑖𝜑)∣2 −𝑚2

𝑀2 −𝑚2

∣∣∣∣∣∣𝜑2

𝜑1

∣∣∣∣∣∣ ⩽ 𝑛

∣∣∣∣∣arcsinsin𝜑/2

sin𝛼/2

∣∣∣∣𝜑2

𝜑1

∣∣∣∣∣ .Величины 𝑀 , 𝑚 и дуга Γ𝛼 определены в предыдущей теореме.

Из последней теоремы вытекают, например, оценки дляравномерной и дискретной норм на дуге окружности.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (про-ект № 11-01-00038).

88 Т.А.КАЛМЫКОВА


1. ДубининВ. Н., КалмыковС.И. Принцип мажорации длямероморфных функций // Матем. сб. – 2007. – Т. 198. – № 12. –С. 37–46.

2. КалмыковС.И. Принципы мажорации и некоторыенеравенства для полиномов и рациональных функций с пред-писанными полюсами // Зап. научн. семин. ПОМИ. – 2008. –Т. 357. – С. 143–157.

3. ДубининВ. Н. КалмыковС. И. О полиномах с ограниче-ниями на дугах окружности // Зап. научн. семин. ПОМИ. –2011. – Т. 392. – С. 73–82.

4. КалмыковС.И. Сравнение дискретной и равномернойнорм полиномов на отрезке и дуге окружности. (в печати)

Т.А.Калмыкова

Дальневосточный федеральный университет,[email protected]

НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ВКЛЮЧЕНИЯДЛЯ СПЕКТРА СОПРОВОЖДАЮЩЕЙ

МАТРИЦЫ ПОЛИНОМА

В данной работе рассматриваются свойства спектра сопро-вождающей матрицы полинома степени 𝑛 , точнее, включениеэтого спектра в такие известные множества, как множествоГершгорина, брауэровские овалы, перестановочное множествоГершгорина, перестановочное множество Брауэра и др.

Определение 1. Пусть 𝑝(𝑧) = 𝑎𝑛∏𝑛

𝑖=1(𝑧 − 𝑧𝑖) – полином

Т.А.КАЛМЫКОВА 89

степени 𝑛 ⩾ 2 . Пусть также

𝐷 =

⎛⎜⎜⎝𝑧1 0

. . .

0 𝑧𝑛−1

⎞⎟⎟⎠ ,

𝐼 – тождественная матрица порядка 𝑛−1 , 𝐽 – матрица раз-мерности (𝑛− 1)× (𝑛− 1) с компонентами равными единице.Тогда производная сопровождающая матрица 𝐷(𝐼− 1

𝑛𝐽)+ 𝑧𝑛𝑛 𝐽

называется 𝐷 -сопровождающей матрицей полинома 𝑝 .Положим 𝑁 := 1, 2, ..., 𝑛.

Теорема 1. Для любой квадратной матрицы 𝐴 раз-мерности 𝑛 × 𝑛 (𝑛 ⩾ 2) с комплексными элементами𝐴𝑖,𝑗 и любого собственного значения 𝜆 ∈ 𝜎(𝐴) существу-ет пара различных целых чисел 𝑖 и 𝑗 таких, что 𝜆 ∈∈ 𝐾𝑖,𝑗(𝐴) := 𝑧 ∈ ℂ : ∣𝑧 −𝐴𝑖,𝑖∣ ⋅ ∣𝑧 −𝐴𝑗,𝑗 ∣ ⩽ 𝑟𝑖(𝐴) ⋅ 𝑟𝑗(𝐴) , где𝑟𝑖(𝐴) =

∑𝑗∈𝑁 ∣𝐴𝑖,𝑗 ∣, 𝑖 ∈ 𝑁 . А так как это справедливо для

любого 𝜆 из спектра матрицы 𝐴 , тогда 𝜎(𝐴) ⊆ 𝐾(𝐴) :=

=∪

𝑖,𝑗∈𝑁,𝑖 ∕=𝑗 𝐾𝑖,𝑗(𝐴) .

Аналогичные (или почти аналогичные) результаты спра-ведливы и для множества Гершгорина, перестановочного мно-жества Гершгорина, перестановочного множества Брауэра идр.


1. CheungW. Sh., Ng T. W. A companion matrix approach tothe study of zeros and critical points of a polynomial // J. Math.Anal. Appl. – 2006. – V. 319. – P. 690–707.

2. VargaR. S. Gersgorin and his Circles // Springer Ser.Comput. Math., Springer-Verlag, Berlin. – 2004. – V. 36.

90 Т.А.КАЛМЫКОВА

Т.А.Калмыкова


ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИРИСКА

В работе [1] для вычисления вероятности разорения наконечном отрезке времени в классической модели риска по-строена следующая аппроксимация. Распределение страховыхущербов приближено смесью экспоненциальных распределе-ний, а вероятность разорения представлена конечной суммойэкспонент с неизвестными коэффициентами. Для нахождениякоэффициентов этого представления построены рекуррентныесоотношения, позволяющие рассчитать вероятности разоренияв модели риска с экспоненциальным и паретовским распреде-лениями ущербов. Однако точность предложенной аппрокси-мации оценивается в равномерной метрике, в которой оценкапогрешности растет линейно с ростом числа шагов 𝑛 . Анало-гичная оценка в метрике 𝐿1 свободна от 𝑛 , однако отсутствуеттеорема аппроксимации распределения страхового ущерба сме-сью показательных распределений. В настоящей работе такаятеорема доказывается. Существенным ограничением в класси-ческой модели риска является предположение о детерминиро-ванности инфляционного фактора. В данной работе аппрок-симация из статьи [1] распространяется на модели риска, вкоторых финансовый и страховой риски являются зависимы-ми случайными величинами. Исследуются возможности распа-раллеливания при вычислении вероятности разорения. Крометого, в работе рассматривается модель, в которой финансовыериски образуют марковскую цепочку. Для каждой из трех мо-

Д.В.КАПИТАНОВ 91

делей проведены численные эксперименты.


1. ЦициашвилиГ.Ш. Вычисление вероятности разорения вклассической модели риска. // Автоматика и телемеханика. –2009. – Вып. 12. – С. 187–194.

2. KoB., Ng A.C.Y. ”Stochastic Annuities,” Daniel Dufresne,Discussions of papers already published. // American ActuarialJournal. – 2007. – V. 11. – № 3. – P. 170–171.

Д.В.Капитанов

Нижегородский государственный университетим.Н.И.Лобачевского,

[email protected]

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ШАРНИРНОГОИ КОНСОЛЬНО ЗАКРЕПЛЁННОГО СТЕРЖНЯ

ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ,ОБУСЛОВЛЕННОЙ СЖИМАЮЩЕЙ НАГРУЗКОЙ

Исследуется устойчивость нагруженного продольной сжи-мающей силой стержня при шарнирном и консольном закреп-лении. Решаются две следующих задачи. Находятся критиче-ские значения нагрузки, при которой недеформированное со-стояние стержня становится неустойчивым, определяется типнеустойчивости и поведение стержня после потери устойчиво-сти с учётом нелинейных факторов, ограничивающих его дви-жение.

Рассматриваются малые низкочастотные плоские колеба-ния однородного прямого стержня с сжимающей продольной

92 Д.В.КАПИТАНОВ

нагрузкой. Вывод уравнения и краевых условий осуществляет-ся с использованием принципа Гамильтона-Остроградского [1].

В случае шарнирного закрепления определяются собствен-ные функции и собственные значения и находится критическоезначение нагрузки. При этом из-за изгиба стержня появляет-ся нелинейная сила, компенсирующая сжимающую нагрузку.Показано, что при нагрузке меньше критической состояниеравновесия, соответствующее недеформированному стержню,– устойчивый узел или фокус. При потере устойчивости проис-ходит бифуркация в виде рождения ещё двух устойчивых со-стояний равновесия, соответствующих искривлённому стерж-ню, а исходное состояние равновесия становится седлом.

В случае консольного закрепления стержня со следящейсилой на свободном конце о потере устойчивости свидетель-ствует смена знака действительной части двух первых корнейхарактеристического уравнения [2]. Представленный в указан-ной работе результат количественно совпадает с данными, из-ложенными в классических монографиях [3, 4], где использу-ется второе приближение по методу Бубнова-Галёркина. Дляисследования поведения стержня после потери устойчивости вэтом случае необходимо рассмотрение изменения структуры поменьшей мере четырёхмерного фазового пространства. В соот-ветствии с общими представлениями теории динамических си-стем [5] и анализа сущности возникающих физических процес-сов с учётом нелинейных факторов и демпфирования следуетожидать бифуркацию в виде рождения устойчивого предель-ного цикла из устойчивого до бифуркации состояния равнове-сия. Затруднение анализа характера возникающих колебанийстержня в этом случае можно обойти, если использовать ме-тод нелинейных форм колебаний [6]. Это позволяет понизить

Д.В.КАПИТАНОВ 93

минимальный порядок системы до второго и исследовать ха-рактер изменения структуры фазовой плоскости, опираясь нахорошо разработанный математический аппарат [5].


1. СмирновЛ. В, КапитановД. В. Динамика упругогосжатого стержня при потере устойчивости: Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородскийгосуниверситет, 2010.

2. КапитановД.В., ОвчинниковВ. Ф., СмирновЛ. В. Некон-сервативная устойчивость трубопровода и консольногостержня // Проблемы машиностроения и надёжности ма-шин. – 2010. – № 2. – С. 117–123.

3. БолотинВ. В. Неконсервативные задачи теории упругойустойчивости. – М.: Государственное издательство физико–математической литературы, 1961.

4. ПановкоЯ. Г., ГубановаИ. И. Устойчивость и колебанияупругих систем: Современные концепции, ошибки и парадок-сы. – 3-е изд., перераб. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979.

5. ГоряченкоВ. Д. Элементы теории колебаний: Учеб. по-собие для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк.,2001.

6. ShawS.W., Pierre C. Normal modes for nonlinear vibratorysystems // J. Sound Vibration. – 1993. – V. 164. – P. 58–124.

94 А.В.КАРАМОВ, Д.В.БЕРЕЖНОЙ, Л.Р.СЕКАЕВА

А.В.Карамов, Д. В.Бережной, Л.Р.Секаева


ИССЛЕДОВАНИЕНАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО

И ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ГРУНТА,ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО С БЕТОННОЙ

ОПОРОЙ

В работе излагается методика исследования напряженно-деформированного и предельного состояния грунта взаимодей-ствующего с бетонной опорой, при различных механическиххарактеристиках, определяющих его предельное состояние.

В соответствии с принятой моделью предполагается, чтодо предельного состояния справедлив закон Гука, а после егодостижения среда начинает деформироваться без увеличениявоспринимаемой нагрузки, что приводит к перераспределениюнапряжений во всем объеме.

Наибольшее распространение при решении физическинелинейных задач методом конечных элементов получила ите-рационная процедура, известная как “метод начальных напря-жений”. В соответствии с ней на каждом шаге итерации фор-мулируется линейная задача и найденные напряжения оцени-ваются по соотношениям предельного состояния. Если матери-ал не достиг уровня предельного состояния, то считается, чтонапряженное состояние найдено. Если материал вышел в пре-дельное состояние, то определяются “истинные” напряжения и“дополнительные”, которые в совокупности равны найденнымиз решения линейной задачи. Далее считается, что “дополни-тельные” напряжения являются неуравновешенными внутрен-

А.В.КАРАМОВ, Д.В.БЕРЕЖНОЙ, Л.Р.СЕКАЕВА 95

ними усилиями, и на следующем шаге итерации они прини-маются как внешние силы. В результате удается определитьобласти (зоны) достижения грунтами предельного состояния иуровень пластических деформаций, приобретенных грунтом.

Механизм взаимодействия бетонной опоры и грунтовогомассива моделируется контактным слоем, деформирование ко-торого может меняться в достаточно широком диапазоне взависимости от условий воздействия. В работе используетсяформулировка задачи в приращениях, когда на шаге итерациинеизвестными являются не полные поля перемещений, которыев некоторых ситуациях являются фиктивными, а их прираще-ния.

Анализ результатов показывает, при увеличении модуляЮнга грунта происходит довольно сильное снижение осадки, аинтенсивность пластических деформаций снижается. При уве-личении коэффициента сцепления грунта меняется характерраспределения интенсивности пластических деформаций, тоесть область пластических деформаций начинает сжиматься копоре. Интенсивность пластических деформаций имеет общуютенденцию к снижению. Максимальная осадка почти не меня-ется. При увеличении угла внутреннего трения грунта такжеменяется характер распределения пластических деформаций,а осадка выходит на постоянный уровень.

Разработанная методика и созданное программное обеспе-чение позволяют рассчитывать широкий класс фундаментов истроительных сооружений из бетона с учетом их взаимодей-ствия с деформируемым грунтовым основанием в физическинелинейной постановке.

96 А.Е.КАСАТКИН

А.Е.Касаткин

Самарский государственный университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАВОДНЕНИЯС ПОМОЩЬЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ВЕЙЕРШТРАССА

Вторичные интенсивные методы добычи нефти – это на-стоящее и будущее нефтяной промышленности: они позволя-ют ей поддерживать свой высокий статус и развиваться дляудовлетворения растущих потребностей общества. Историче-ски первым вторичным методом, случайно открытым в сере-дине 1860-х гг. [1], стало заводнение, чья высокая эффектив-ность впоследствии была подтверждена рядом опытных работ,проведенных в первой половине XX в. [2]. В настоящее вре-мя эта технология обеспечивает около половины добываемойСША нефти.

Независимо от применяемой технологии, разработка любо-го месторождения – это длительный и сложный процесс, рас-тянутый во времени на несколько лет, а, значит, требующийтщательного планирования. Ошибки в проектировании, игно-рирование технически важных параметров пласта и флюидовнеблагоприятно сказываются на результатах добычи, приводяк многомиллионным убыткам. Прогнозирование хода заводне-ния, улучшение технико-экономических показателей за счетподбора оптимальной схемы расстановки скважин – цель на-стоящего исследования.

Для моделирования нефтяного месторождения использова-лась бесконечная комплексная плоскость, покрытая двоякопе-риодической решеткой 𝐿 с параметрами 𝜔1 и 𝜔2 (𝐼𝑚(𝜔2/𝜔1) >

> 0). Скважины, разрабатывающие пласт, размещались в ее

А.Е.КАСАТКИН 97

(решетки) узлах. Для расчета поля скоростей в моделируемомрезервуаре использовалось представление комплексной скоро-сти 𝑣(𝑧, 𝑧) , полученное в работе [3] для добывающих скважин.В результате обобщения указанной формулы на случай взаимо-действия нескольких разнотипных скважин в ячейке решетки𝐿 выражение приняло вид:

𝑣(𝑧, 𝑧) = −𝑛1∑𝑢=1

𝑄(𝑝𝑟𝑜𝑑)𝑢2𝜋 (𝜁(𝑧 − 𝑧𝑢, 𝑧 − 𝑧𝑢) + 𝛼(𝑧 − 𝑧𝑢) − 𝛽(𝑧 − 𝑧𝑢))+

𝑛2∑𝑤=1

𝑄(𝑖𝑛𝑗𝑒𝑐𝑡)𝑤2𝜋 (𝜁(𝑧 − 𝑧𝑤, 𝑧 − 𝑧𝑤) + 𝛼(𝑧 − 𝑧𝑤) − 𝛽(𝑧 − 𝑧𝑤)).

(1)Здесь 𝑛1 и 𝑛2 – число добывающих (мощности 𝑄𝑢 ) и на-

гнетательных (мощности 𝑄𝑤 ) скважин соответственно, 𝜁(𝑧) =

= 1𝑧 +

∞∑𝑚,𝑛=−∞

( 1𝑧−𝜔 + 1

𝜔 + 𝑧𝜔2 ) – дзета-функция Вейерштрасса

(𝜔 = 𝑛𝜔1 + 𝑚𝜔2 : 𝑚,𝑛 ∈ Z;𝑚,𝑛 ∕= 0), 𝛽 = 𝜋Δ (Δ – площадь

элементарной ячейки), 𝛼 = 𝛽𝜔1−2𝜁(𝜔1/2)𝜔1

– параметр, обеспечи-вающий двоякопериодичность функции скорости 𝑣(𝑧, 𝑧) .

Основная задача, поставленная в работе, заключалась врасчете и построении вида фронта заводнения, расширяющего-ся со временем. Выражение для поля скоростей (1), представ-ленное выше, вошло в состав главного уравнения:

𝑚𝑑𝑧𝑑𝑡 = 𝑣(𝑧, 𝑧),

𝑧𝑡=0 = 𝑧0 + 𝑟𝑤𝑒𝑖𝜃.

}(2)

Здесь 𝑚 – пористость, 𝑧0 – центр нагнетательной скважи-ны радиуса 𝑟𝑤 . Интегрируя систему (2) по времени и меняяугол 𝜃 от 0 до 2𝜋 , можем получить “временные снимки” фрон-та заводнения. Для проведения расчетов использовались ме-тоды Рунге-Кутты, модифицированные с учетом коплексностипеременных и их сопряженности.

98 А.Е.КАСАТКИН

В итоге были построены картины движения нагнетаемой впласт воды: ниже представлены изображения, полученные дляпятиточечной (рис. 1) и семиточечной (рис. 2) схем заводнения.На них отражен момент прорыва закачиваемой жидкости (вы-делена синим) из нагнетательной скважины (обозначена тре-угольником) в добывающие (отмечены кружками). Необходи-мо отметить различие во времени начала обводнения 𝑡 , котороев ходе моделирования составило 1100 условных временных еди-ниц (У.В.Е.)для пятиточечной и 750 У.В.Е. для семиточечнойсхем соответственно при прочих ранвых условиях, таких какпористость породы и мощности истоков и стоков. Сделанноезамечание говорит о меньших временных затратах для извле-чения нефти при использовании второй модели заводнения.

Рис. 1. Рис. 2.

Описанное выше решение применимо для модели, не учиты-вающей различие в вязкости нефти (𝜇2 ) и вытесняющего аген-та (𝜇1 ). Если же соотношение 𝜇1

𝜇2отличается от единицы, то

при построении формулы для 𝜐(𝑧, 𝑧) наблюдается нарушениенепрерывности касательной компоненты скорости фильтрации

А.Е.КАСАТКИН 99

(𝜇1𝜐𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟𝑡 = 𝜇2𝜐

𝑜𝑖𝑙𝑡 ) при сохранении равенства нормальных ком-

понент (𝜐𝑜𝑖𝑙𝑛 = 𝜐𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟𝑛 ) и величин давления обеих жидкостей

(𝑝𝑜𝑖𝑙 = 𝑝𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟 ) на границе фронта заводнения. Указанное об-стоятельство приводит к изменению вида выражения (1):

𝜐(𝑧, 𝑧) = Φ(𝑧, 𝑧) +1

2𝜋𝑖

∫𝐶

𝛾(𝑧′)𝑑𝑧′

𝑧′ − 𝑧. (3)

Здесь Φ соответствует потенциалу скорости 𝜐(𝑧, 𝑧) из фор-мулы (1), 𝐶 обозначает контур-границу водонефтяного кон-такта, 𝛾(𝑧′) = 𝑖(𝜇1

𝜇2− 1)𝜐𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟

𝑡 𝑒𝑖𝜃 , а 𝜃 преставляет собой уголмежду нормальной компонентой скорости (𝜐𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟

𝑛 ) и положи-тельной частью оси 𝑂𝑋 . Исходя из содержания выражения (3)видна та сложность, которую добавляет сингулярный интегралтипа Коши при решении главного уравнения. Это обстоятель-ство обуславливает необходимость в предварительном вычис-лении касательной (𝜐𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟

𝑡 ) и нормальной (𝜐𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟𝑛 ) компонент

скорости в каждой точке границы 𝐶 водонефтяного контак-та для выбранного момента времени 𝑡𝑘 , после чего становитсявозможным интегрирвование системы (2). Предполагая извест-ность формы контура 𝐶 при 𝑡 = 𝑡𝑘 можно осуществить егоразбиение по параметру длины дуги 𝑠 . В результате ряда пре-образований формула (3) приобретает вид:

𝜐𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟𝑛

(𝑧𝑗) − 𝑖

2(𝜇1𝜇2

+ 1)𝜐𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟𝑡

(𝑧𝑗) =

=

⎡⎣Φ(zj,zj)+(𝜇1

𝜇2−1)

2𝜋i

∫𝐶

𝜐𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟𝑡 (𝑧′)𝑑𝑧′

𝑧′ − 𝑧𝑗

⎤⎦ 𝑑𝑧

𝑑𝑠

∣∣∣∣𝑧=𝑧𝑗

, (4)

где 𝑧′ = 𝑧(𝑠′) , Φ определяется выражением (1), 𝑠′ – это эле-мент дуги контура 𝐶 , а 𝑧𝑗 – выбранная точка на границе

100 Ф.Д.КАЮМОВ

водонефтяного контакта в момент времени 𝑡𝑘 . После выде-ления вещественной и мнимой частей формулы (4), а такжерассмотрения всех 𝑗 точек (𝑗 = 1, 𝑁 ) можно построить си-стему линейных алгебраических уравнений, решением которойстанут касательные и нормальные компоненты скорости, опре-деленные на всем фронте заводнения. После этого возможноинтегрирование задачи (2) для расчета положения точек кон-тура 𝐶 в момент времени 𝑡𝑘+1 . В настоящее время разработаналгоритм решения системы уравнений для расчета компонент𝜐𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟𝑛

и 𝜐𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟𝑡

скорости для выбранного 𝑡𝑘 .


1. УолкоттД. Разработка и управление месторождениямипри заводнении. – М., 2001.

2. УиллхайтГ.П. Заводнение пластов. – М. – Ижевск: Ин-ститут компьютерных исследований, НИЦ “Регулярная и хао-тическая динамика”, 2009.

3. АстафьевВ.И., РотерсП.В. Моделирование двоякопе-риодических систем добывающих скважин. // Вестник Сам-ГУ. – 2010. – Т. 78. – № 4. – С. 5–11.

Ф.Д.Каюмов


ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИИ

Пусть Ω − односвязная область на плоскости, граница ко-торой состоит из более, чем одной точки, и 𝜑 – конформноеотображение области Ω на круг 𝔻 = {𝑧 : ∣𝑧∣ < 1}.

Ф.Д.КАЮМОВ 101

Бреннаном [1] была высказана гипотеза о том, что 𝜑′ ∈∈ 𝐿𝑝(Ω) при 4/3 < 𝑝 < 4 , т. е.∫∫

Ω∣𝜑′∣𝑝𝑑𝑥𝑑𝑦 <∞, 4/3 < 𝑝 < 4. (1)

Пусть 𝑓 : 𝔻 → Ω – конформное отображение единично-го круга 𝔻 на Ω . В работе [2] было доказано, что гипотезаБреннана эквивалетна соотношению

2𝜋∫0

∣∣∣∣ 1

𝑓 ′(𝑟𝑒𝑖𝜃)

∣∣∣∣2 𝑑𝜃 = 𝑂

((1

1 − 𝑟

)1+𝜀), 𝑟 → 1. (2)

В работе доказана гипотеза Бреннана для специальных классовфункции.

Теорема 1. Если

∞∑𝑘=0

∣𝑎2𝑘∣𝑟2𝑘 = 𝑜

(ln

1

1 − 𝑟

), 𝑟 → 1, (3)

где 𝑎𝑘 − коэффициенты тейлоровского разложения функцииln 𝑓 ′ :

ln 𝑓 ′(𝑧) =

∞∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑧𝑘,

то выполнено (2) и, следовательно, гипотеза Бреннана спра-ведлива.

Теорема 2. Пусть 𝑓 – конформное отображение еди-ничного круга на односвязную область. Предположим, что1/𝑓 ′(𝑧) представима в виде ряда из простых дробей, т. е.

1

𝑓 ′(𝑧)=

∞∑𝑘=1

𝛼𝑘

𝑧 − 𝑧𝑘. (4)

102 Ф.Д.КАЮМОВ

Если ∞∑𝑘=1

∣∣∣∣𝛼𝑘

𝑧𝑘

∣∣∣∣ ⩽ 𝐶, 𝑧 ∈ 𝔻,

то справедливо неравенство∫ 2𝜋

0

∣∣∣∣ 1

𝑓 ′(𝑟𝑒𝑖𝜃)

∣∣∣∣2 𝑑𝜃 ⩽ 𝐶

1 − 𝑟, 0 < 𝑟 < 1,

т. е. справедлива гипотеза Бреннана.

Теорема 3 (О приближении простыми дробями). Если 𝑓(𝑧)

однолистна в круге 𝔻 , то существует функция

𝑔𝑛(𝑧) =𝑛∑

𝑘=1

𝛼𝑘

𝑧 − 𝑧𝑘,

такая, что ∣∣∣∣ 1

𝑓 ′(𝑧)− 𝑔𝑛(𝑧)

∣∣∣∣ ⩽ 512𝜋

𝑛(1 − ∣𝑧∣)3 .


1. Brennan J. E. On the integrability of derivative in conformalmapping // J. London Math. Soc.(2). – 1978. – V. 18. – P. 261–272.

2. PommerenkeCh. On integral means of derivative of aunivalent function // Ark. Mat. London Math. Soc.(2). – 1985. –V. 32. – P. 254–258.

3. ГолузинГ.М. Геометрическая теория функции ком-плексного переменного. – М.: Наука, 1966.

4. BertilssonD. On Brennan’s conjecture in conformalmapping. – Departament of Mathematics Royal Institute ofTechnology, 1999.

О.М.КЕЧИНА 103

О.М. Кечина

Поволжская государственнаясоциально-гуманитарная академия,

[email protected]

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ПО ВРЕМЕНИ

ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

В прямоугольной области Ω = {(𝑥, 𝑡) : 0 < 𝑥 < 𝑙, 0 < 𝑡 < 𝑇}рассмотрим уравнение

𝑢𝑡𝑡 − 𝑢𝑥𝑥 = 0 (1)

и исследуем для него задачу с начальным условием

𝑢𝑡(𝑥, 0) = 𝜓(𝑥), (2)

нелокальным условием

𝑢(𝑥, 0) +

∫ 𝑇

0𝑢(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡 = ℎ(𝑥) (3)

и граничными условиями

𝑢(0, 𝑡) = 0, 𝑢(𝑙, 𝑡) = 0. (4)

Под классическим решением задачи (1)–(4) будем пониматьфункцию 𝑢(𝑥, 𝑡) ∈ 𝐶1(Ω)∩𝐶2(Ω) , удовлетворяющую в областиΩ уравнению (1) и условиям (2)—(4).

Допустим, что существуют два решения рассматриваемойзадачи (1) — (4) 𝑢1(𝑥, 𝑡) и 𝑢2(𝑥, 𝑡) , и рассмотрим разность

𝑣(𝑥, 𝑡) = 𝑢1(𝑥, 𝑡) − 𝑢2(𝑥, 𝑡). (5)

Функция 𝑣(𝑥, 𝑡) удовлетворяет однородному уравнению

𝑣𝑡𝑡 − 𝑣𝑥𝑥 = 0 (6)

104 О.М.КЕЧИНА

и однородным условиям

𝑣𝑡(𝑥, 0) = 0, (7)

𝑣(𝑥, 0) +

∫ 𝑇

0𝑣(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡 = 0, (8)

𝑣(0, 𝑡) = 0, 𝑣(𝑙, 𝑡) = 0. (9)

Докажем, что функция 𝑣(𝑥, 𝑡) тождественно равна нулю.Умножим уравнение (6) на 𝑣𝑡 и проинтегрируем по области

Ω𝜏 = (0, 𝑙) × (0, 𝜏) , 𝜏 ∈ [0, 𝑇 ] получившееся выражение:

𝜏∫0

𝑙∫0

𝑣𝑡𝑡(𝑥, 𝑡)𝑣𝑡(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑑𝑡−𝜏∫

0

𝑙∫0

𝑣𝑥𝑥(𝑥, 𝑡)𝑣𝑡(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑑𝑡 = 0. (10)

После элементарных преобразований и применения условий(7), (8) и (9), получим равенство

𝑙∫0

(𝑣2𝑡 (𝑥, 𝜏) + 𝑣2𝑥(𝑥, 𝜏)

)𝑑𝑥 =

𝑙∫0

⎛⎝ 𝑇∫0

𝑣𝑥(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡

⎞⎠2

𝑑𝑥, (11)

из которого вытекает неравенство

𝑙∫0

(𝑣2𝑡 (𝑥, 𝜏) + 𝑣2𝑥(𝑥, 𝜏)

)𝑑𝑥 ⩽ 𝑇

𝑙∫0

𝑇∫0

𝑣2𝑥(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑑𝑡. (12)

Дальнейшие оценки и применение неравенства Гронуоллаприводят к утверждению о единственности решения при до-статочно малом 𝑇 .

М.М.КОКУРИН 105

С.С. Кожичин


О ДИСПЕРСИИ ГИДРОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН

В работе показано, что наблюдаемая в экспериментах дис-персия плоских акустических волн в воде может быть описана спомощью математической модели наследственной упругой сре-ды Поинтинга и Томсона.

Получены формулы для вычисления феноменологическихкоэффициентов определяющих уравнений модели через ско-рости низкочастотных и ультразвуковых волн и через декре-мент затухания ультразвука. Система уравнений гидроакусти-ки, учитывающей дисперсию волн, приведена к симметричной𝑡–гиперболичной форме.

М.М.Кокурин

Марийский государственный университет,[email protected]

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯАБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Разыскивается решение 𝑥(𝑡) некорректной задачи Коши

��(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ], 𝑥(0) = 𝑓 ∈ 𝐷(𝐴), ��(0) = 0. (1)

Здесь 𝐴 : 𝐷(𝐴) ⊂ 𝑋 → 𝑋 — неограниченный замкнутый

106 М.М.КОКУРИН

оператор в банаховом пространстве 𝑋 ; 𝐷(𝐴) = 𝑋 . Предпо-лагается, что ��(𝑇 ) ∈ 𝐷(𝐴1/2) . Ниже 𝜎(𝐴) , 𝑅(𝜁, 𝐴) = (𝜁𝐸 −− 𝐴)−1 — спектр и резольвента оператора 𝐴 , 𝐾(𝜑) = {𝜁 ∈∈ ℂ∖{0} : ∣ arg 𝜁∣ < 𝜑} , 𝜑 ∈ (0, 𝜋) . Предполагается, что спра-ведливо включение 𝜎(𝐴) ⊂ 𝐾(𝜑0) , 𝜑0 ∈ (0, 𝜋/2) и имеет местооценка

∥𝑅(𝜁, 𝐴)∥ ⩽ 𝐶0(1 + ∣𝜁∣)−1 ∀𝜁 ∈ ℂ∖𝐾(𝜑0).

Задача (1) имеет не более одного решения. Изучается метод еёприближённого решения при помощи разностных схем.

Рассмотрим разностное уравнение

𝑘∑𝑗=0

𝛼𝑗𝑣𝑛+𝑗 = (Δ𝑡)2𝜆𝑘∑

𝑗=0

𝛽𝑗𝑣𝑛+𝑗 , 0 ⩽ 𝑛 ⩽ 𝑁 − 𝑘, 𝜆 ∈ ℂ. (2)

Потребуем 𝛼𝑘 = 1 , 𝛼0 + . . . + 𝛼𝑘 = 0 , 𝛽𝑘 < 0 . Пусть

𝑔𝑛 =

𝑘∑𝑗=0

𝛼𝑗𝑣(𝑡𝑛+𝑗) − (Δ𝑡)2𝜆

𝑘∑𝑗=0

𝛽𝑗𝑣(𝑡𝑛+𝑗),

𝑡𝑛 = 𝑛Δ𝑡, 0 ⩽ 𝑛 ⩽ 𝑁,

𝑣(𝑡) = ch√𝜆𝑡 . Будем называть порядком аппроксимации схемы

(2) величину 𝑚 , для которой выполняется оценка

∣𝑔𝑛∣ ⩽ 𝐶1(Δ𝑡)𝑚+1∣𝜆∣𝑚+1

2 𝑒Re√𝜆(𝑇+𝑘Δ𝑡),

и потребуем 𝑚 ⩾ 2 . Определим начальные значения схемы (2):𝑣0(𝜆) ≡ 1 , 𝑣𝑗(𝜆) = 𝑤𝑗(𝜆(Δ𝑡)2) , 𝑤𝑗(𝑧) = (𝑎0𝑗 +𝑎1𝑗𝑧+ . . .+𝑎𝑙𝑗𝑧

𝑙)(1+

+ 𝑧)−𝑙 , 𝑎𝜈𝑗 =𝜈∑

𝑠=0

𝑙!𝑗2𝑠

(2𝑠)!(𝜈−𝑠)!(𝑙−𝜈+𝑠)! , 1 ⩽ 𝑗 ⩽ 𝑘 − 1 , 𝑙 = [(𝑚 −− 1)/2] . Устанавливается, что для любой разностной схемы (2)существует 𝑎 ⩾ 1 такое, что для ∣ arg 𝜆∣ = 𝜑0 справедливаоценка

∣𝑣𝑛(𝜆)∣ ⩽ 𝐶2𝑒𝑎𝑡Re

√𝜆. (3)

М.М.КОКУРИН 107

Положим ��𝑗 = −𝑗−1∑𝜈=0

𝛼𝜈 , 1 ⩽ 𝑗 ⩽ 𝑘 . Введём матрицы

𝐴𝑗 =

(��𝑗

2 − ��𝑗

2

− ��𝑗

2��𝑗

2

), 1 ⩽ 𝑗 ⩽ 𝑘 − 2,

𝐴𝑘−1 =

(��𝑘−1−1

2 − ��𝑘−1+12

− ��𝑘−1+12

��𝑘−1−12

), 𝐴𝑘 =

(��𝑘+1

21−��𝑘

21−��𝑘

2��𝑘+1

2

).

Предположим, что многочлен 𝜌(𝑥) = det( 𝑘∑𝑗=0

𝐴𝑗𝑥𝑗)

не имеет

корней вне замкнутого единичного круга, и для каждого его𝑟–кратного корня 𝑥∗ , лежащего на единичной окружности, су-ществует 𝑟 решений {𝜉𝑙𝜈}1⩽𝑙⩽𝑟

𝜈⩾0 ⊂ ℝ2 рекуррентного уравнения𝑘∑

𝑗=0𝐴𝑗𝜉𝜈+𝑗 = 0 , 𝜈 ⩾ 0 , для которых векторы 𝜉𝑙0 , 1 ⩽ 𝑙 ⩽ 𝑟

линейно независимы и 𝜉𝑙𝜈 = 𝑥∗𝜈𝜉𝑙0 для всех 𝜈 ⩾ 0 , 1 ⩽ 𝑙 ⩽ 𝑟 .Для аппроксимации решения 𝑥 = 𝑥(𝑡) в точках 𝑡 = 𝑛Δ𝑡 ,

Δ𝑡 = 𝑇/𝑁 применяется операторный аналог схемы (2)

𝑘∑𝑗=0

𝛼𝑗𝑥𝑛+𝑗 = (Δ𝑡)2𝑘∑

𝑗=0

𝛽𝑗𝐴𝑥𝑛+𝑗 , 0 ⩽ 𝑛 ⩽ 𝑁 − 𝑘.

с начальными элементами 𝑥0 = 𝑓 , 𝑥𝑗 = 𝑣𝑗(𝐴)𝑓 , 1 ⩽ 𝑗 ⩽ 𝑘 − 1 .

Теорема. Пусть выполняется условие (3) с 𝑎 > 1 и ре-шение задачи (1) существует на отрезке [0, 𝑇1] , где 𝑇1 > 𝑎𝑇 .Тогда справедлива равномерная по 𝑡 = 𝑛Δ𝑡 , 0 ⩽ 𝑛 ⩽ 𝑁 оценка

∥𝑥𝑛 − 𝑥(𝑛Δ𝑡)∥ ⩽ 𝐶3(Δ𝑡)(𝑚−1)𝑞

при 𝑞 ∈(

0, 𝑇1−𝑎𝑇𝑀+(𝑇1−𝑎𝑇 )

)с подходящей константой 𝑀 > 0 .

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (про-ект № 12–01–00239a).

108 А.А.КОЛТУНОВ

А.А.Колтунов

Волгоградский государственный университет

ЭВОЛЮЦИЯ ФОРМЫ КАПЛИ ЖИДКОСТИ,ПОМЕЩЕННОЙ НА НЕОДНОРОДНЫЙ

ПОРИСТЫЙ СЛОЙ

Процессы впитывания и растекания жидкости по насыщен-ному пористому слою широко распространены в природе и тех-нике.

В работе в двумерной постановке численно решена задача орастекании тонкой капли вязкой жидкости по плоскому пори-стому слою толщины 𝑑 , проницаемость 𝑘(𝑧) которого неодно-родна в поперечном направлении. Из-за проницаемости основа-ния, капля не только растекается, но и частично впитываетсяпористым слоем.

Предполагается, что капля достаточно тонкая и задача ре-шается в приближении теории смазки. Уравнение динамикиформы капли ℎ(𝑥, 𝑡) , обобщающее модель работы [1], в безраз-мерной форме имеет вид

∂ℎ

∂𝑡+∂

∂𝑥

[(ℎ3

3−𝜆√𝑘(0)ℎ2

)∂

∂𝑥

(∂2ℎ

∂𝑥2−𝐵ℎ

)+𝑢(𝑥, 0)ℎ

]=

(𝑎0ℎ0

)𝑊,

где 𝑎0 , ℎ0 – начальная полуширина и высота капли; 𝐵 =

= 𝜌𝑔𝑎20/𝜎 – число Бонда; 𝜆 – безразмерный коэффициент,характеризующий физико-химические свойства границы; 𝑢 , 𝑤и 𝑈 , 𝑊 – продольная, поперечная составляющие скорости идавление жидкости в капле и в пористой среде.

На границе жидкость – пористая среда допускается сколь-жение жидкости, ставится условие Саффмана [2]

𝑢− 𝑈 ∣𝑧=0 = 𝜆√𝑘(0)

∂𝑢

∂𝑧

∣∣∣∣𝑧=0

.

А.А.КОЛТУНОВ 109

Движение жидкости в неоднородной пористой среде опи-

сывается законом Дарси: 𝑈 = −𝑘(𝑧)∂𝑞

∂𝑥, 𝑊 = −𝑘(𝑧)

∂𝑞

∂𝑧, где

𝑞(𝑥, 𝑧) – распределение давления в пористом слое.Численные расчеты проведены для слоев с различным рас-

пределением проницаемости [3]. Было выявлено существенноевлияние поперечной проницаемости на характер эволюции кап-ли. При слабой проницаемости границы слоя, капля главнымобразом распространяется по поверхности. При большой про-ницаемости верхней части пористого слоя граница капли вы-равнивается быстрее за счет процессов впитывания в слой ипоследующего вытеснения находящейся там жидкости в уда-ленных областях пористой поверхности.

В качестве примера, на рис. 1 представлены зависимостивысоты капли от времени для случая, когда безразмерная про-ницаемость моделируется функцией 𝑘(𝑧) = 𝑘0(1 + 𝐶𝑧) , где 𝑘0– проницаемость на верхней границе пористого слоя, а 𝐶 –константа.

Рис. 1. Изменение высоты капли: 1. 𝑘0 = 0.1 , 𝐶 = 0 ;2. 𝑘0 = 0.6 , 𝐶 = 0 ; 3. 𝑘0 = 0.1 , 𝐶 = −0.5 ; 4. 𝑘0 = 0.6 , 𝐶 = 1.0 .

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (про-ект № 12-01-31272 мол_а).

110 Д.В.КОРОТЯЕВ, А.С.ПРОСКУРЯКОВ


1. Davis S.H., HockingL. M. Spreading and imbibitions ofviscous liquid on a porous base // Phys. Fluids. – 1999. – V. 11. –P. 48–57.

2. SaffmanP.G. On the boundary condition at the surface of aporous medium // Stud. Appl. Math. – 1971. – V. 50. – № 2. –P. 93–101.

3. КолтуновА. А., Чернышев И. В. Растекание капли жид-кости по неоднородному насыщенному пористому слою //Вестник ВолГУ. Сер. 1. Математика. Физика. – 2012. – № 1. –С. 34–41.

Д.В. Коротяев, А.С. Проскуряков

Северный (Арктический) федеральный университет,[email protected], [email protected]

КЛАССИФИКАЦИЯ СНИМКОВ ПОРАЖЕНИЯКОЖИ (МЕЛАНОМА)

Одним из наиболее опасных типов поражений кожи явля-ется рак кожи. Меланома – одна из трех разновидностей ракакожи и самая опасная из них. В Европе, Северной Америкеи Австралии на протяжении последних десятилетий, злока-чественная меланома является основной причиной смерти отрака, и процент пораженных с каждым годом только растет.В США уже каждый шестой имеет злокачественные кожныераковые поражения, и 75% из них – это смертельные исходы,приходящиеся на меланому [1].

Д.В.КОРОТЯЕВ, А.С.ПРОСКУРЯКОВ 111

Раннее обнаружение и удаление является приоритет-ным шагом в борьбе с данным заболеванием. Компьютеро-ориентированные системы диагностики могут помочь в выяв-лении на раннем этапе подозрительных участков поражениякожи, а также в постановке первичного диагноза.

Для меланоцитарных поражений, одним из наиболее из-вестных подходов является ABCD (где A – асимметрия, B –граница, C – цвет и D – диаметр). Эксперт-дерматолог, про-анализировав достаточно большой набор снимков с поражен-ными участками, способен диагностировать данные изображе-ния, как на чувствительность (62,4%), определяя тип пораже-ния, так и на специфичность (64,2%), вынося решение о хирур-гическом вмешательстве [2].

Алгоритм, разработанный нами, тоже опирается на клас-сическую методологию, но имеет большую результативность –82-84% успешной классификации в совокупности по всем типампоражения.

Исходными данными для исследований были снимки сучастками поражения кожи, поделенные на 3 группы. Пер-вая – злокачественная меланома, вторая – все остальные ти-пы злокачественных поражений, которые также предполагаютхирургическое вмешательство. И последняя – доброкачествен-ные опухоли, не требующие удаления. Для каждого из снимковзаранее был известен окончательный диагноз, 85% выбиралосьдля обучения алгоритма, остальные 15% служили тестовым на-бором для проверки результативности, проходя при этом 10-тикратную кросс-валидацию. Иллюминация и наличие волосковна пораженных участках, впоследствии компенсировалось про-цедурой сегментации.

Точное обнаружение границ поражения кожи является

112 Д.В.КОРОТЯЕВ, А.С.ПРОСКУРЯКОВ

важным шагом для компьютеро-ориентированных диагности-ческих систем. Предположения, в полученных изображениях, отом, где располагается пораженная область, цветовые пятна ианомалии, используются для получения автоматического пра-вила выбора регионов. Процесс сегментации заключается лишьв адекватной группировке пикселей, которые отображают та-кие характеристики, как цвет, текстуру, или форму [3]. Дан-ная процедура осуществляется SRM методом (Statistical regionmerging) в несколько итераций.

Затем, используя стандартные классификаторы и их ком-бинации в полученном пространстве признаков, после его цен-трирования, производится классификация. Наиболее точныерезультаты показали: линейный дискриминантный классифи-катор (LDC), анализ главных компонент (PCA) и LDC, выбор3 лучших признаков c корректировкой ошибки методом бли-жайших соседей (также корректировкой LDC и QDC методом)и LDC.

Над полученными лучшими классификаторами строитсядополнительная абстракция выбора, основанная на следующихпяти методах: контейнер произведения, контейнер значений,медианный контейнер, контейнер наибольших и наименьшихзначений. После чего происходит голосование и выбор наилуч-шего классификатора для каждого конкретного случая.


1. JerantA., Johnson J., Sheridan C., CaffreyT. Early detectionand treatment of skin cancer // American Family Physician. –2000. – V. 62. – № 2. – C. 357–386.

2. ZorteaM. Diagnosis of melanomas using dermatoscopicimages: doctors and computers // Research report. – 2011. – C. 1–11.

А.Н.КОСАРЕВ 113

3. Shi J., Malik J. Normalized cuts and image segmentation// IEEE Transactions on Pattern Analysis and MachineIntelligence. – 2000. – V. 22. – № 8. – C. 888–905.

А.Н. Косарев

Вятский государственный гуманитарный университет,[email protected]

МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ ПРОФЕССОРАФ.Ф.НАГИБИНА

Цель нашей работы — анализ и структурирование руко-писных материалов из архива профессора Фёдора Фёдорови-ча Нагибина (1909–1976), накопленных им за 43 года работы вКировском государственном педагогическом институте имениВ. И. Ленина (сейчас Вятский государственный гуманитарныйуниверситет).

Обнаружены материалы, в частности, по следующим разде-лам математики: “Теория функций действительного перемен-ного”, “Ряды”, “Элементы комбинаторики и теории вероятно-стей”, “Дифференциальные уравнения”, “Логические задачи итеория графов”, “Бесконечные множества”, “Интегральное ис-числение”, “Геометрические задачи”. Необходимо определитьзначимость и практическую ценность данных материалов приобучении математике школьников и студентов.

Рукописи содержат колоссальный объем как теоретическо-го, так и практического материала по перечисленным вышеразделам математики. Рукописи с теоретическим материаломчаще всего представлены в виде стопки листов с краткими кон-спектами, которые, вероятно, автор использовал при чтениилекций. Практический материал представлен в виде подборок

114 А.А.КРАСНОВ

задач, в большинстве своем, также в виде рукописного тек-ста. Его автор неоднократно корректировал: менял последова-тельность задач, вносил некоторые пояснения, наводящие направильный ход решения. Почти ко всем задачам автор при-водит ответы, указания или краткий ход решения. Некоторыематериалы практически готовы к изданию.

Материалы Ф. Ф. Нагибина будут интересны преподавате-лям математики и студентам вузов, обучающимся на матема-тических специальностях, а также школьникам, которые заин-тересованы в изучении науки “Математика”. В частности, онимогут стать основой при разработке школьных факультатив-ных курсов. В дальнейшем планируется подготовить к изда-нию архивные материалы профессора Нагибина, внедрить ихв учебный процесс в соответствии с федеральными стандарта-ми, провести апробацию результатов проведенной работы научебных занятиях со студентами и школьниками.

А.А. Краснов


МОДЕРНИЗАЦИЯ ОФИСНОЙ АТС И СКС

Всегда актуальна задача распределения ограниченных ре-сурсов между большим количеством пользователей. Внедряяновое оборудование в нашей организации, мы пытались ре-шить две задачи: предоставление городской, междугороднейи международной связи 150 специалистам, имея всего 25 теле-фонных номеров от оператора телефонной связи, и предостав-ление доступа в интернет этим же пользователям, имея каналгарантированной шириной 10 Mbit/s. Заранее можно заявить,

Д.А.КРАСНОВА 115

что с поставленными задачами удалось справиться. Настрой-ка офисной IP-АТС. Настройка активного сетевого оборудова-ния: маршрутизатор, коммутаторы, IP-телефоны. Организаци-онные решения, связанные с оптимизацией бизнес-процессов ворганизации и направленные на эффективное использованиетелефонной связи и доступа в интернет без ущерба для произ-водственных процессов.


1. cisco.com2. avaya.com

Д.А.Краснова

Институт вычислительного моделирования СО РАН,[email protected]

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДВУМЕРНОГО

СЛОЯ ЖИДКОСТИ

Рассматриваются уравнения движения двумерного слояидеальной жидкости относительно функции, описывающуютолщину слоя жидкости со свободной границей. Уравнения за-писываются в декартовой системе координат так, что ось 𝑧

ортогональна к подложке, ось 𝑥 направлена в сторону дей-ствия скатывающей силы. Жидкость занимает область Ω =

= {(𝑥, 𝑧) : −∞ < 𝑥 < +∞, 0 < 𝑧 < 𝐻(𝑥, 𝑡)} , где 𝑡 – время,𝐻 – толщина слоя жидкости. В уравнения движения жидко-сти входят компоненты вектора скорости (𝑢,𝑤) и давление 𝑝

(скатывающие силы заменой переменных можно включить в

116 Д.А.КРАСНОВА

давление). Слой жидкости имеет твердую подложку при 𝑧 = 0

и свободную границу при 𝑧 = 𝐻(𝑥, 𝑡) .Вводятся новые координаты, которые фиксируют границы

области 0 < 𝜉 < 1 , 𝑡 = 𝑡, 𝑥 = 𝑥, 𝜉 = 𝑧𝐻−1(𝑥, 𝑦, 𝑡) и модифи-цированные компоненты вектора скорости 𝑢 = 𝑢𝐻, 𝑤 = 𝑤 −− 𝑢𝜉𝐻𝑥, 𝑝 = 𝑝 [1].

Система уравнений записывается в виде

𝐻𝑢𝑡−𝐻𝑡(𝑢+𝜉𝑢𝜉)+𝑢𝑢𝑥+𝑤𝑢𝜉−𝐻𝑥(𝑢)2

𝐻= 𝐻2[−𝑝𝑥+

𝜉𝐻𝑥

𝐻𝑝𝜉], (1)

𝐻(𝑤 + 𝑆)𝑡 − 𝜉𝐻𝑡(𝑤 + 𝑆)𝜉 + 𝑢(𝑤 + 𝑆)𝑥 + 𝑤(𝑤 + 𝑆)𝜉 = −𝑝𝜉, (2)

𝑢𝑥 + 𝑤𝜉 = 0, (3)

нижние индексы обозначают дифференцирование функций по𝑥 , 𝜉 , 𝑡 , 𝑆 = 𝜉𝑢𝐻−1𝐻𝑥 .

Для системы (1) – (3) найдены преобразования эквивалент-ности. Это преобразования элементов 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 , 𝑝 , 𝐻 , 𝑥 , 𝜉 , 𝑡 ,которые сохраняют структуру уравнений (1), (2), (3), при этомк системе присоединяется уравнение 𝐻𝜉 = 0 .

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (ин-теграционный проект СО РАН №65).


1. КузнецовВ. В. Термокапиллярные течения в погранич-ныхи тонких слоях // Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. – Нов-ск:ИГ СО РАН, 2001. – 187 с.

2. ОвсянниковЛ. В. Групповой анализ дифференциальныхуравнений. – М.: Наука, 1978. – 400 с.

В.И.КУЗОВАТОВ 117

В.И.Кузоватов


ГРАНИЧНЫЙ АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ФОРЕЛЛИДЛЯ ВЕЩЕСТВЕННО–АНАЛИТИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ

В работе получен граничный аналог теоремы Форелли длявещественно–аналитических функций. Показано, что всякаявещественно–аналитическая функция 𝑓, заданная на границеограниченной строго выпуклой области 𝐷 в многомерном ком-плексном пространстве и обладающая свойством одномерно-го голоморфного продолжения вдоль семейства комплексныхпрямых, проходящих через одну граничную точку и пересека-ющих область 𝐷, голоморфно продолжается в 𝐷 как функциямногих комплексных переменных.

Доказательство полученного утверждения основано напредставлении заданной функции рядом Тейлора и равенственулю коэффициентов при антиголоморфных степенях.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (про-ект № 12-01-00007-a).

118 Р.К.КУЗЬМИН, Е.К.ЛИПАЧЕВ

Р.К.Кузьмин, Е. К.Липачев


МЕТОДЫ ИНТЕРАКТИВНОГОРЕДАКТИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ

Современное развитие информационно-коммуникационныхтехнологий, в частности, расширение спектра используемыхпользователем устройств для доступа к сети, привело к пе-реходу от работы с приложениями, развернутыми на локаль-ном компьютере, к использованию сервисов, предоставляемыхпо сети. Технологические аспекты указанной трансформациипроцессов управления информацией оформлены в рамках кон-цепции Cloud Computing (см., напр., [1]).

Доклад посвящен методам оптимизации процесса подготов-ки электронной публикации по математике и созданию на ихоснове сервисов, выполненных по принципам Cloud Computing.

Большая часть научных публикаций по математике со-здается с использованием средств, основанных на системеTEX (см., напр., [2]). В докладе представлена программная сре-да, позволяющая через веб-интерфейс осуществить ввод и ре-дактирование математической публикации, указаны особенно-сти интерфейса и проведено сравнение с традиционными про-дуктами подготовки публикаций на основе TEX.

Составной частью разработанного сервиса является систе-ма валидации авторских файлов. Важность валидации – воз-можность последующей автоматической обработки, в частно-сти, автоматической конвертации в подходящие форматы. Сер-вис валидации включает прием авторских файлов через веб-

Р.К.КУЗЬМИН, Е.К.ЛИПАЧЕВ 119

интерфейс, автоматическую проверку на соответствие уста-новленным (для данного издания) стилевым правилам, авто-матическую генерацию отчета об обнаруженных отклоненияхот правил и его визуализацию.

В качестве прототипа системы валидации использованмодуль проверки авторских файлов пилотного проекта ав-томатизации электронного журнала Lobachevskii Journal ofMathematics (см. [3]).

Выполненную работу авторы рассматривают как один изэтапов создания облачной среды управления управления жиз-ненным циклом научной публикации.

Работа поддержана РФФИ (проекты № 12-07-00667 и 12-07-97018-р_поволжье)


1. FurhtB., EscalanteA. Handbook of Cloud Computing. –Springer Science+Business Media, 2010. – 655 p.

2. КнутД. Э. Компьютерная типография. – М.: Мир,2003. – 668 c.

3. ЕлизаровА. М., ЛипачевЕ.К., МалахальцевМ. А. Серви-сы электронных естественнонаучных коллекций, построен-ные на основе технологии MathML// Тр. Всерос. суперком-пьютерной конф. “Научный сервис в сети Интернет: суперком-пьютерные центры и задачи”. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 2010. –С. 533–534.

120 А.В.КУЛЕШОВ

А.В. Кулешов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта,г. Калининград, [email protected]

ОСНАЩЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СЕМЕЙСТВЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ,

ОБОБЩАЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЬ

В работе [1] показано, что нормализация 1-го рода в смыс-ле А. П. Нордена поверхности проективного пространства по-рождает оснащение Эли Картана. В данной работе рассматри-вается обобщение этого результата на гладкое семейство цен-трированных плоскостей, центры которых смещаются внутрисоответствующих плоскостей. Работа выполнена методом про-должений и охватов Г. Ф. Лаптева [2].

Гладкое многообразие, образующим элементом которого яв-ляется центрированная 𝑚-плоскость 𝐿∗

𝑚 = (𝐿𝑚, 𝐶) простран-ства 𝑃𝑛 , где 𝐶 ∈ 𝐿𝑚 ⊂ 𝑃𝑛 (1 ⩽ 𝑚 < 𝑛), назовем семействомцентрированных плоскостей. В настоящей работе ограничим-ся рассмотрением семейств центрированных плоскостей специ-ального вида. А именно, положим 𝑚 = 𝑛−1 . Потребуем далее,чтобы центр 𝐶 плоскости 𝐿∗

𝑛−1 смещался внутри плоскости иописывал 𝑝 -мерную поверхность 𝑆𝑝 (𝑝 < 𝑛 − 1). Это озна-чает, что касательная плоскость 𝑇𝑝(𝐶) к поверхности в точке𝐶 лежит в 𝐿∗

𝑛−1 . Пусть при этом каждая точка этой поверх-ности является центром 𝑞 -параметрической связки плоскостейсемейства, где 1 ⩽ 𝑞 < 𝑛 − 𝑝 − 1 . Очевидно, что каждая та-кая связка имеет касательную плоскость 𝑇𝑝(𝐶) своим много-мерным центром. При этом размерность описанного семействаравна 𝑟 = 𝑝+ 𝑞 , поэтому обозначим его через 𝐵𝑝+𝑞 . С каждойплоскостью инвариантно связана плоскость 𝐹𝑛−𝑞−1 , состоящая

А.В.КУЛЕШОВ 121

из всех точек 𝐹 , смещающихся внутри 𝐿∗𝑛−1 при всевозмож-

ных ее смещениях, оставляющих центр неподвижным:

𝐹𝑛−𝑞−1 = {𝐹 ∈ 𝐿∗𝑛−1 : 𝑑𝐹 ∣𝐶−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⊂ 𝐿∗

𝑛−1}.

Имеем цепочку включений:

𝐶 ⊂ 𝑇𝑝(𝐶) ⊂ 𝐹𝑛−𝑞−1 ⊂ 𝐿𝑛−1 ⊂ 𝑃𝑛.

Проективную оболочку непересекающихся плоскостей 𝐾 и 𝐿

будем обозначать 𝐾⊕𝐿 .

Присоединение к каждому элементу 𝐿∗𝑛−1 семейства 𝐵𝑝+𝑞

некоторой плоскости 𝑊 размерности 𝑠 будем называть 𝑊𝑠 -оснащением.

Введем в рассмотрение следующие оснащения рассматри-ваемого семейства:

1) 𝑁𝑝−1 -оснащение такое, что 𝐴⊕𝑁𝑝−1 = 𝑇𝑝(𝐶) ;

2) 𝑁𝑛−𝑝−2 -оснащение такое, что 𝑇𝑝(𝐶)⊕𝑁𝑛−𝑝−2 = 𝐿𝑛−1 ;

3) 𝐶0 -оснащение такое, что 𝐿𝑛−1⊕𝐶0 = 𝑃𝑛 ;

4) 𝑁𝑛−1 -оснащение такое, что 𝐶 /∈ 𝑁𝑛−1 ;5) 𝑁𝑛−𝑝−1 -оснащение такое, что 𝐶 ∈ 𝑁𝑛−𝑝−1 ⊂ 𝐿𝑛−1 ;6) 𝑁𝑛−𝑝 -оснащение такое, что 𝑁𝑛−𝑝

∩𝑇𝑝(𝐶) = 𝐶 ;

7) 𝑁1 -оснащение такое, что 𝑁1∩𝐿𝑛−1 = 𝐶 .

Назовем:– 𝑁𝑛−𝑝−2 -оснащение и 𝑁𝑝−1 -оснащение согласованными,

если при фиксации центра 𝐶 плоскость 𝐹𝑛−𝑞−1∩𝑁𝑛−𝑝−2 сме-

щается внутри плоскости 𝑁𝑝−1⊕𝑁𝑛−𝑝−2 ;

– 𝑁𝑛−𝑝−1 -оснащение специальным, если при фиксации цен-тра 𝐶 плоскость 𝐹𝑛−𝑞−1

∩𝑁𝑛−𝑝−1 смещается внутри плоско-

сти 𝑁𝑛−𝑝−1 ;– 𝑁𝑛−𝑝 -оснащение специальным, если при фиксации центра

𝐶 плоскость 𝑁𝑛−𝑝∩𝐿𝑛−1 смещается в 𝑁𝑛−𝑝 ;

122 А.В.КУЛЕШОВ

– 𝑁1 -оснащение и 𝑁𝑛−𝑝 -оснащение согласованными, еслипрямая 𝑁1 лежит в плоскости 𝑁𝑛−𝑝 и смещается в ней прификсации центра 𝐶 .

Теорема 1. 𝑁𝑛−𝑝−2 -оснащение вместе с согласованным сним 𝑁𝑝−1 -оснащением семейства 𝐵𝑝+𝑞 порождают 𝑁𝑛−1 -оснащение этого семейства.

Теорема 2. Специальное 𝑁𝑛−𝑝−1 -оснащение семейства𝐵𝑝+𝑞 порождает 𝑁𝑛−𝑝 -оснащение этого семейства.

Теорема 3. Специальное 𝑁𝑛−𝑝 -оснащение семейства 𝐵𝑝+𝑞

порождает 𝑁𝑛−𝑝−2 -оснащение этого семейства.

Теорема 4. 𝑁1 -оснащение вместе с согласованным с ним𝑁𝑛−𝑝 -оснащением семейства 𝐵𝑝+𝑞 порождают 𝐶0 -оснащениеэтого семейства.


1. ОстиануН. М. О геометрии многомерной поверхностипроективного пространства // Тр. геом. семин. – M.: ВИНИ-ТИ, 1966. – Т. 1. – C. 239–263.

2. ЕвтушикЛ. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широ-ковА. П. Дифференциально-геометрические структуры намногообразиях // Проблемы геометрии. – M.: ВИНИТИ.М.,1979. – T. 10. – С. 5–247.

Н.Ю.КУЛЬТИНА 123

Н.Ю.Культина

Нижегородский государственный университетим.Н.И.Лобачевского

(Национальный исследовательский университет)[email protected]

ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКИХСИСТЕМ С ВНУТРЕННИМИ РЕЗОНАНСАМИ

Большинство задач на исследование устойчивости положе-ния равновесия механических систем решается с помощью тео-рии первого приближения и, в особенных по Ляпунову случаях,с помощью теоремы Лагранжа об устойчивости и теорем Ля-пунова о неустойчивости, при этом достаточно ограничитьсявторой степенью в разложении потенциальной энергии.

Однако существует класс механических систем, линейныематематические модели которых относятся к особенному поЛяпунову случаю, где теоремы Лагранжа и Ляпунова об ис-следовании устойчивости по потенциальной энергии системыне дают корректных результатов. К этим механическим систе-мам относятся системы с внутренними резонансами, собствен-ные частоты колебаний которых образуют некоторую линей-ную комбинацию. Простейший пример внутренних резонансов– образование суммарных частот или, как частный случай,удвоенных частот.

Наличие внутренних резонансов делает механические си-стемы чувствительными к различным малым факторам, та-ким как: несовершенства, нелинейности модели, малые внеш-ние воздействия. Поэтому при исследовании устойчивости та-ких систем нельзя ограничиваться линейными математически-ми моделями.

124 Н.Ю.КУЛЬТИНА

В качестве наглядного примера механической системы свнутренним резонансом подробно рассматривается двойной ма-ятник, находящийся под действием следящей силы и силывертикального направления. С помощью теорем Лагранжа иЛяпунова в рамках линейной математической модели получе-на область параметров, отвечающая устойчивому положениюравновесия маятника. В найденной области проведен анализповедения системы случае, когда её собственные частоты свя-заны резонансным соотношением. Сформулированы основныевыводы:

1. В условиях внутреннего резонанса положение равновесиямаятника может быть неустойчивым. При этом в системе имеетместо взрывная неустойчивость – неограниченное нарастаниеамплитуд колебаний масс за конечный промежуток времени;

2. Потеря устойчивости обнаруживается только в нелиней-ной математической модели. В рамках линейной модели рас-сматриваемая механическая система консервативна и её поло-жение равновесия устойчиво. Внутренний резонанс приводит кперераспределению энергии между взаимодействующими мас-сами. В нелинейной постановке задачи система неконсерватив-на. Эта неконсервативность, необходимая для взрывного на-растания амплитуд маятника, связана с малыми нелинейнымифакторами, характеризующими неконсервативность нагрузкии несовершенства начальной формы;

3. Внутренний резонанс имеет область притяжения. Есличастоты колебаний масс попадают в резонанс не точно, а снекоторой расстройкой, то в системе так же развивается взрыв-ная неустойчивость.

Внутренние резонансы могут наблюдаться не только в дис-кретных механических системах, но и в распределенных. К

Н.И.КУТЫРЕВА 125

числу широко распространенных в технике систем с внутрен-ними резонансами принадлежат некоторые тонкие упругие на-груженные оболочки.

В качестве примеров распределенной системы с внутренни-ми резонансами рассматриваются сферическая и тороидальнаяоболочки, находящиеся под действием равномерного всесто-роннего сжатия. Проводится исследование спектров собствен-ных частот оболочек в рамках линейных математических мо-делей. Определяются области нагрузок, отвечающих наиболеечастому появлению внутренних резонансов и, как следствие,потере устойчивости систем.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 12-01-314-a).

Н.И.Кутырева

Самарский государственный аэрокосмический университетим. академика С. П. Королева

(национальный исследовательский университет),[email protected]

СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙПЛОСКОГО МАЯТНИКА ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ

НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ОСНОВАНИИ

Работа посвящена исследованию плоских произвольно за-данных движений механической системы, представляющей со-бой математический маятник переменной длины на вращаю-щемся основании.

Целью работы являлось построение управления, котороереализует и стабилизирует произвольно заданные программ-ные движения. Ставились и решались следующие задачи:

126 Н.И.КУТЫРЕВА

1. Построить математическую модель указанной механическойсистемы; 2. Синтезировать программное управление, обеспечи-вающее реализацию заданного желаемого движения маятника;3. Синтезировать стабилизирующее управление, обеспечиваю-щее асимптотическую устойчивость программного движения.

Актуальность выбранной тематики обуславливается необ-ходимостью разработки методов и способов построения системпрограммных движений различных объектов, например, робо-тотехнических систем, летательных аппаратов и других транс-портных и прочих инженерно-механических систем.

Научная новизна работы состоит в том, что построены ана-литически в замкнутой форме программные стабилизирующиеактивные управления для задачи о реализации неавтономныхпрограммных движений маятника. Практическая значимостьисследования заключается в возможности их использованияпри проектировании различных транспортных и инженерно-механических систем.

Поставленные в работе задачи решались методами теорети-ческой механики [1], математического моделирования [2], мето-дами Ляпунова классической теории устойчивости [3] с исполь-зованием метода предельных функций и систем [4, 5].

Основные достигнутые и ожидаемые результаты. В рабо-те получены уравнения движений маятника переменной дли-ны на вращающемся основании в виде уравнений Лагран-жа второго рода. Решена задача о реализации асимптотиче-ски устойчивых произвольных программных движений ма-ятника (в общем случае не являющихся решением исход-ной неуправляемой системы) с помощью добавления актив-ного управления. Для доказательства свойства асимптотиче-ской устойчивости движений маятника в работе была по-

Н.И.КУТЫРЕВА 127

добрана определенно-положительная функция Ляпунова сопределенно-отрицательной по скоростям производной. Реше-ние получено для произвольного закона изменения длины ма-ятника и произвольного закона отклонения маятника от вер-тикали.

Результаты работы обобщают и развивают соответствую-щие результаты из [6, 7].


1. МаркевА.П. Теоретическая механика: учеб. для вузов.Издание второе, дополненное. – М.: ЧеРо, 1999. – 572 c.

2. АфанасьевВ. Н., Колмановский В.Б., Носов В. Р. Мате-матическая теория конструирования систем управления. –М.: Высш. шк., 1989. – 447 c.

3. РушН., Абетс П., ЛалуаМ. Прямой метод Ляпунова втеории устойчивости. – М.: Мир, 1980. – 301 c.

4. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary equations //J.Differ. Equat. – 1977. – V. 23. – P. 216–223.

5. АндреевА. С. Об устойчивости и неустойчивости ну-левого решения неавтономной системы // ПММ. – 1984. –Т. 48. – Вып.2. – C. 225–232.

6. СмирновЕ. Я., ПавликовВ. Ю., ЩербаковП. П., Юр-ковА. В. Управление движением мех. систем. – Л.: Изд-воЛГУ, 1985. – 316 c.

128 А.О.ЛАРИЧЕВА, А.П.ЛЕОНОВА, И.И.ТУЗОВА

7. Bezglasnyi S. P. The stabilization of program motions ofcontrolled nonlinear mechanical system // Korean J. Comput.Appl. Math. – 2004. – V. 14. – № 1-2. – P. 251–266.

А.О. Ларичева, А.П.Леонова, И. И.Тузова

Брянский государственный университетим. академика И.Г.Петровского

[email protected]

ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ ОДНОГО КЛАССАПРОЕКТОРОВ В НЕКОТОРЫХ ВЕСОВЫХ

ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХФУНКЦИЙ ТИПА С. М. НИКОЛЬСКОГО

В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

В последние несколько десятилетий интенсивно изучаютсявопросы проектирования 𝐿𝑝 -весовых пространств на соответ-ствующие пространства аналитических функций (см. [1], [2],[3]), при этом эти проекции строятся на основе специальныхядер, введенных Берманом, М. М. Джрбашяном в первой по-ловине XX века. Однако вопрос о построении соответствующихпроекторов в пространствах, имеющих гладкость в том илиином смысле, мало изучены. В этой заметке мы построим огра-ниченные проекторы в пространствах С. М. Никольского (см.[4]) на соответствующее пространство аналитических функцийв полуплоскости. Для формулировки результатов введем сле-дующие обозначения.

Пусть 𝐶+ = {𝑧 ∈ 𝐶 : Im𝑧 > 0} – верхняя полуплоскостькомплексной плоскости. Через 𝐻𝑝

𝛼(𝐶+) обозначим множествовсех функций, заданных в 𝐶+, удовлетворяющих следующим

А.О.ЛАРИЧЕВА, А.П.ЛЕОНОВА, И.И.ТУЗОВА 129

условиям: 1) существует такое положительное число 𝑠 , что∣∣∣∣∂𝑘𝑓(𝜉 + 𝑖𝜂

∂𝜉𝑘

∣∣∣∣ ⩽ 𝐶𝑓 ∣𝜁∣𝑠, 𝜁 ∈ 𝐶+, 𝑘 = 0, 1, ..., [𝛼];

2) (∫ +∞

−∞∣∂

𝑘+1𝑓(𝜉 + 𝑖𝜂)

∂𝜉𝑘+1∣𝑝𝑑𝜉

) 1𝑝

⩽ 𝐶𝑓

𝜂1−𝛽,

0 < 𝛽 < 1, 𝑘 = 0, 1, ..., [𝛼], 𝛽 = 𝛼 − [𝛼] . Подпространство про-странства 𝐻𝑝

𝛼(𝐶+) , состоящее из аналитических функций, обо-значим через 𝐻𝑝

𝛼,𝐴(𝐶+) . Основным результатом заметки явля-ется

Теорема. Пусть 𝛾 > 𝑠 , тогда оператор

𝐾𝛾(𝑓)(𝑧) = 𝑐(𝛾)

∫𝐶+

(𝜁 − 𝜁)𝛾

(𝜁 − 𝑧)𝛾+2𝑓(𝜁)𝑑𝑚2(𝜁)

отображает пространство 𝐻𝑝𝛼(𝐶+) на пространство

𝐻𝑝𝛼,𝐴(𝐶+) .

Замечание. Отметим, что если функция 𝑓 ∈ 𝐻𝑝𝛼,𝐴(𝐶+) ,

то 𝐾𝛾(𝑓)(𝑧) = 𝑓(𝑧) , 𝑧 ∈∏+ (см. [1]).


1. DjrbashianM. M., ShamoyanF. A. Topics in theory of 𝐴𝑝𝛼

spaces // Teubner - Verlag, Leipzig. – 1988. – № 3. – P. 200.2. HedermalmH., KorenblumB., ZhuK. Theory of Bergman

spaces. – New York: Springer-Verlag, 2000.3. ZhuK.Spases of holomorphic functions in the unit ball. –

Springer-Verlag, 2005.4. БесовО. В., Ильин В. П., НикольскийС. М. Интеграль-

ные представления функций и теоремы вложений. – М.: Нау-ка, 1975.

130 Ю.В.МАКСИМОВА,Д.В.КАПИТАНОВ

Ю.В. Максимова,Д. В.Капитанов

Нижегородский государственный университетим.Н.И.Лобачевского,[email protected]

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВВ КАЧЕСТВЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙПРИ ИССЛЕДОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИГИДРОУПРУГИХ СИСТЕМ НА ПРИМЕРЕ

ПРЯМОГО ТРУБОПРОВОДА

Изучение динамических процессов при взаимодействииупругой конструкции с потоком жидкости или газа представ-ляет теоретический интерес, а его результаты имеют важноепрактическое значение для обоснования работоспособности ря-да систем и объектов новой техники. Важную роль играет ис-следование устойчивости конструкций при гидродинамическомвоздействии, которое может существенно зависеть от вызывае-мой им деформации самой конструкции [1]. В этом случае тре-буется учёт самосогласованного взаимодействия механическихи гидродинамических процессов. В настоящей работе пред-ставлены результаты численно-аналитического исследованияустойчивости консольного и шарнирно закреплённого трубо-проводов как типичной гидроупругой системы.

Рассматриваются малые, плоские, низкочастотные, изгиб-ные колебания рассматриваемой как стержень цилиндрическойупругой оболочки, внутри которой с некоторой постоянной ско-ростью движется идеальная несжимаемая жидкость.

В отличие от классических методов исследования даннойзадачи с использованием разложения решения в ряд по функ-циям Крылова, соответствующих собственным формам колеба-

Ю.В.МАКСИМОВА,Д.В.КАПИТАНОВ 131

ний, в данной работе в виде функций сравнения используютсяполиномы. Степень и коэффициенты полиномов определяютсяс учётом числа учитываемых форм колебаний и согласованияих с краевыми условиями.

При этом уравнения движения представляются в виде урав-нений Лагранжа второго рода. Полученная система дифферен-циальных уравнений исследуется на устойчивость с помощьюкритерия Льенара-Шипара. В соответствии с целью работы ис-следование границы устойчивости проведено при заданных па-раметрах, кроме скорости жидкости, изменяющейся от нулядо некоторого критического значения. Однако с помощью раз-работанного алгоритма можно провести аналогичные расчётыпри любых других параметрах.

В случае консольного закрепления сделан вывод, что необ-ходимо рассматривать как минимум две формы колебаний, иувеличение количества форм при рассмотрении данного за-крепления уточняет результат. Для шарнирно закрепленноготрубопровода рассмотрение колебаний с использованием однойи двух первых форм дало одни и те же результаты.

С целью тестирования данной методики, были рассмотре-ны малые, низкочастотные, плоские изгибные колебания одно-родного прямого стержня при сжимающей следящей нагруз-ке. Математическая модель данной системы является частнымслучаем исходной модели. Полученные критические значениянагрузки хорошо согласуются с результатами, приведеннымив классической литературе [2, 3], что позволяет сделать выводоб эффективности рассмотренного метода.


1. ФроловК. В., МахутовН. А., Каплунов С.М. и др. Ди-намика конструкций гидроаэроупругих систем. – М.: Наука,

132 А.А.МАЛЮГИНА

2002.2. ПановкоЯ. Г., Губанова И.И. Устойчивость и колеба-

ния упругих систем: современные концепции, парадоксы иошибки/4-е изд., перераб. – М: Наука, 1987.

3. БолотинВ. В. Неконсервативные задачи теории устой-чивости. – М: Гос. изд-во физико-математической литературы,1961.

А.А. Малюгина


ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ НАД АЛГЕБРОЙДУАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ОДНИМ ИЗ СЛОЕВ

КАНОНИЧЕСКОГО СЛОЕНИЯ НА КОТОРЫХЯВЛЯЕТСЯ ТОР

Структура 𝑛 -мерного гладкого многообразия 𝑀𝔻𝑛 над ал-

геброй дуальных чисел 𝔻 (𝔻 -гладкого многообразия) на ве-щественном 2𝑛 -мерном многообразии 𝑀2𝑛 задается атласом,карты которого принимают значения в модуле 𝔻𝑛 , а функ-ции перехода являются диффеоморфизмами над алгеброй 𝔻(𝔻 -гладкими).

Идеал 𝕀 алгебры 𝔻 , состоящий из элементов с нулевой ве-щественной частью, порождает подмодуль 𝕀𝑛 в 𝔻𝑛 , инвари-антный относительно 𝔻 -линейных преобразований. Подмоду-лю 𝕀𝑛 соответствует каноническое слоение ℱ на многообразии𝑀𝔻

𝑛 . На каждом слое слоения ℱ индуцируется каноническаяструктура аффинного многообразия, то есть многообразия сатласом, функции перехода которого являются аффиннымипреобразованиями.

А.А.МАЛЮГИНА 133

Пусть 𝑀𝑛 — аффинное многообразие и {ℎ𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝑈∗𝛼 ⊂

⊂ ℝ𝑛}𝛼∈𝐴 — атлас на 𝑀𝑛 с функциями перехода

𝑥𝑖𝛼 = 𝑎𝑖𝑘(𝛼, 𝛽)𝑥𝑘𝛽 + 𝑏𝑖(𝛼, 𝛽), 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐴, 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∕= ∅.

На тотальном касательном пространстве 𝑇𝑀𝑛 касатель-ного расслоения �� : 𝑇𝑀𝑛 → 𝑀𝑛 индуцируется атлас {��𝛼 :

��−1(𝑈𝛼) → 𝑈∗𝛼×ℝ𝑛}𝛼∈𝐴 , функции перехода которого ��𝛼 ∘��−1

𝛽

имеют вид

𝑥𝑖𝛼 = 𝑎𝑖𝑘(𝛼, 𝛽)𝑥𝑘𝛽 + 𝑏𝑖(𝛼, 𝛽), 𝑦𝑖𝛼 = 𝑎𝑖𝑘(𝛼, 𝛽)𝑦𝑘𝛽 .

Предложение 1. Пусть �� : 𝑀𝑛 → 𝑇𝑀𝑛 — нулевое сечениерасслоения 𝑇𝑀𝑛 , а 𝜓 : ℝ𝑛 × ℝ𝑛 ∋ {𝑥𝑖, 𝑦𝑖} 7→ {𝑋 𝑖 = 𝑦𝑖 + 𝜀𝑥𝑖} ∈∈ 𝔻𝑛 .

(i) Набор карт {��𝑂𝛼 = 𝜓 ∘��𝛼 : ��−1(𝑈𝛼) → 𝔻𝑛}𝛼∈𝐴 являет-

ся 𝔻𝑛 -атласом, определяющим на многообразии 𝑇𝑀𝑛 струк-туру 𝑛-мерного 𝔻-гладкого многообразия ��𝔻𝑀𝑛 .

(ii) Ограничение проекции �� на слои канонического слое-ния 𝔻-гладкого многообразия ��𝔻𝑀𝑛 является аффинным на-крытием.

(iii) Подмногообразие 𝐿 = ��(𝑀𝑛) ⊂ ��𝔻𝑀𝑛 является слоемканонического слоения многообразия ��𝔻𝑀𝑛 . Ограничение �� наслой 𝐿 является изоморфизмом аффинных многообразий.

(vi) Если 𝑀𝑛 — полное аффинное многообразие, то много-образие ��𝔻𝑀𝑛 — полное 𝔻-гладкое многообразие.

Рассмотрим аффинное многообразие 𝑀2(𝑃 ) , получающе-еся склейкой противоположных сторон четырехугольника 𝑃

посредством двух преобразований подобия 𝑠1 и 𝑠2 [1]. Пустьℝ20 = ℝ2 ∖ {0} , а ℝ2

0 — универсальное накрывающее простран-ство аффинного многообразия ℝ2

0 . Многообразие 𝑀2(𝑃 ) изо-морфно фактормногообразию ℝ2

0/𝐺 по действию группы 𝐺 ,

134 А.А.МАЛЮГИНА

порождаемой преобразованиями 𝑠1 и 𝑠2 , накрывающими пре-образования 𝑠1 и 𝑠2 соответственно. Рассмотрим на произ-ведении ℝ2 × ℝ2

0 преобразования 𝑠1 : (𝑥, 𝑦) 7→ (𝑠1(𝑥), 𝑠1(𝑦)) ,𝑠2 : (𝑥, 𝑦) 7→ (𝑠2(𝑥), 𝑠2(𝑦)) и группу �� , состоящую из преобра-зований 𝑠𝑚2 ∘ 𝑠𝑛1 , 𝑚,𝑛 ∈ ℤ .

Предложение 2. (i) Группа �� действует на многооб-разии ℝ2 × ℝ2

0 собственно разрывно 𝔻-диффеоморфизмами.Фактормногообразие 𝑀𝔻

2 = (ℝ2 × ℝ20)/�� является 𝔻-гладким

многообразием 𝔻-диффеоморфным многообразию ��𝔻𝑀2(𝑃 ) .(ii) Слой 𝐿 = ({0} × ℝ2

0)/�� канонического слоения на 𝑀𝔻2

изоморфен в категории аффинных многообразий многообразию𝑀2(𝑃 ) .

Предложение 3. Произведение 𝐿(𝑛, 1)×𝕊1 , 𝑛 ⩾ 3 , линзо-вого пространства и окружности допускает структуру дву-мерного 𝔻-гладкого многообразия, при которой один из сло-ев канонического слоения изоморфен в категории аффинныхмногообразий тору 𝑀2(𝑃 ) , полученному склейкой противо-положных сторон равнобочной трапеции 𝑃 с углом междубоковыми сторонами равным 2𝜋/𝑛 .


1. ТёрстонУ. Трехмерная геометрия и топология. – М.:МЦНМ, 2001. – 312 с.

2. Furness P.M. D., ArrowsmithD. K. Locally symmetric spaces// J. London math. soc. (2). – 1975. – № 10. – P. 487–499.

3. МалюгинаА. А., Шурыгин В.В. Представления голоно-мии одного класса многообразий над алгеброй дуальных чисел// Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. – 2011. – № 26. –C. 128–137.

Р.В.МАРКОВ 135

Р.В. Марков

Вятский государственный гуманитарный университет,[email protected]

О ХАРАКТЕРИЗАЦИИ РЕГУЛЯРНЫХПОЛУКОЛЕЦ ПИРСОВСКИМИ СЛОЯМИ

В [1] получено пучковое (пирсовское) представление, а в [2]построена теория цепей Пирса, позволяющая поднимать широ-кий класс свойств от неразложимых факторов до оригиналь-ного кольца. Наша задача заключается в переносе полученныхрезультатов на случай полуколец. С необходимыми определе-ниями, связанными с полукольцами и пучковыми представле-ниями, можно познакомиться в [3].

Через 𝐵𝑆 обозначается кольцо всех центральных дополня-емых идемпотентов полукольца 𝑆 , через 𝑀𝑎𝑥𝐵𝑆 — простран-ство максимальных идеалов в 𝐵𝑆 .

Конгруэнциия 𝜌𝑀 на полукольце 𝑆 называется пирсов-ской, если для 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆, 𝑒 ∈ 𝑀 выполняется 𝑎 ≡ 𝑏(𝜌𝑀 ) ⇔⇔ 𝑎𝑒⊥ = 𝑏𝑒⊥ , где 𝑒⊥ — дополнение к некоторому централь-ному дополняемому идемпотенту 𝑒 ∈ 𝑀 . Факторполукольцо𝑆/𝜌𝑀 называется пирсовским слоем полукольца 𝐴 .

Полукольцо 𝑆 , не имеющее нетривиальных прямых слага-емых называется неразложимым; максимальное неразложи-мое факторполукольцо 𝑆/𝜌 называется (mi -фактором) полу-кольца 𝑆 .

Полукольцо 𝑆 называется регулярным, если для каждого𝐴 ∈ 𝑆 найдется такой 𝑥 ∈ 𝑆 , что 𝑎𝑥𝑎 = 𝑎 .

Теорема 1. Для полукольца 𝑆 равносильны условия:A. 𝑆 — регулярное полукольцо;

136 Р.В.МАРКОВ

B. все пирсовские слои полукольца 𝑆 — регулярные полу-кольца;

C. все mi-факторы полукольца 𝑆 — регулярные полуколь-ца.

Полукольцо 𝑆 называется строго 𝜋 -регулярным, еслидля каждого 𝐴 ∈ 𝑆 найдется такой 𝑥 ∈ 𝑆 и 𝑛 ∈ 𝑁 , что𝑎𝑛+1𝑥 = 𝑥𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 . Наименьшее из таких 𝑛 называется ин-дексом стабилизации элемента 𝑎 , если для каждого 𝑎 ∈ 𝑆

индекс стабилизации ограничен, то 𝑆 называется полуколь-цом ограниченного индекса.

Теорема 2. Для полукольца 𝑆 , в котором множества всехпирсовских слоев и всех mi-факторов конечны, равносильныусловия:

A. 𝑆 — строго 𝜋 -регулярное полукольцо ограниченного ин-декса;

B. все пирсовские слои полукольца 𝑆 — строго 𝜋 -регулярные полукольца ограниченного индекса;

C. все mi-факторы полукольца 𝑆 — строго 𝜋 -регулярныеполукольца ограниченного индекса.


1. Pierce R. S. Modules over commutative regular rings // Mem.Amer. Math. Soc. – 1967. – V. 70. – P. 1–112.

2. Burgess W. D., StephensonW. An analogue of the Pearcesheaf for noncommutative rings // Canad. Math. Bull. – 1978. –V. 6. – № 9. – P. 863–886.

3. Чермных В.В. Функциональные представления полуко-лец. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2010. – 224 c.

Н.В.МАРТЕМЬЯНОВА 137

Н.В. Мартемьянова

Поволжская государственная социально-гуманитарнаяакадемия,

[email protected]

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧАДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА

ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Рассмотрим уравнение

∂

∂𝑦(𝐿𝑢) = 0, (1)

𝐿𝑢 = 𝑢𝑥𝑥 + sgn𝑦 ⋅ 𝑢𝑦𝑦,в прямоугольной области 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)∣ 0 < 𝑥 < 1, −𝛼 < 𝑦 < 𝛽} ,где 𝛼, 𝛽 – заданные положительные действительные постоян-ные.

Задача 1. Найти в области 𝐷 функцию 𝑢(𝑥, 𝑦) , удовлет-воряющую условиям:

𝑢 ∈ 𝐶1(𝐷) ∩ 𝐶3(𝐷− ∪𝐷+); (2)

∂

∂𝑦(𝐿𝑢) = 0, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷− ∪𝐷+; (3)

𝑢(0, 𝑦) = 𝑢(1, 𝑦), 𝑢𝑥(0, 𝑦) = 0, −𝛼 ⩽ 𝑦 ⩽ 𝛽; (4)

𝑢(𝑥, 𝛽) = 𝜑(𝑥), 𝑢(𝑥,−𝛼) = 𝜓(𝑥), 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 1; (5)

𝑢𝑦(𝑥, 𝛽) = 𝜒(𝑥), 𝑢𝑦(𝑥,−𝛼) = 𝑔(𝑥), 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 1, (6)

где 𝜑(𝑥) , 𝜓(𝑥) , 𝜒(𝑥) и 𝑔(𝑥)– заданные достаточно гладкиефункции, 𝜑(0) = 𝜑(1), 𝜓(0) = 𝜓(1), 𝜑′(0) = 𝜓′(0) = 0, 𝐷+ =

= 𝐷 ∩ {𝑦 > 0}, 𝐷− = 𝐷 ∩ {𝑦 < 0} .

138 Н.В.МАРТЕМЬЯНОВА

Уравнение (1) в области 𝐷 равносильно уравнению сме-шанного эллиптико-гиперболического типа второго порядка снеизвестной правой частью

𝐿𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) =

{𝑓1(𝑥), 𝑦 > 0,

𝑓2(𝑥), 𝑦 < 0.(7)

Тогда задача 1 сводится к следующей обратной задаче.Задача 2. Найти в области 𝐷 функции 𝑢(𝑥, 𝑦) и 𝑓(𝑥, 𝑦) ,

удовлетворяющие (2), (4) – (6) и условию

𝑓𝑖(𝑥) ∈ 𝐶(0, 1) ∩ 𝐿2[0, 1], 𝑖 = 1, 2. (8)

Краевые задачи для дифференциальных уравнений в част-ных производных третьего порядка изучены многими авторами(см. работы [1–4] и приведенную там библиографию).

В данной работе, следуя [5], мы предлагаем подход, осно-ванный на решении обратной задачи для уравнения смешан-ного типа второго порядка с неизвестными правыми частями:𝑓1(𝑥) ∕= 𝑓2(𝑥) . Задача 2 была исследована ранее в работе ав-тора [6]. Методом спектрального анализа установлен критерийединственности решения задач 1 и 2. Решения поставленныхзадач построены в виде сумм биортогональных рядов. Доказа-на устойчивость решений по граничным данным.


1. БицадзеА. В., СалахитдиновМ. С. К теории уравненийсмешанно-составного типа // Сиб. мат. журн. – 1961. – T. 11, –№ 1. – С. 7–19.

2. ДжураевТ.Д. Краевые задачи для уравнений смешанногои смешанно-составного типов. – Ташкент: Изд. ФАН, 1979.

Р.В.МАРТЕНС 139

3. ДжураевТ.Д., СопуевА., МамажановА. Краевые зада-чи для уравнений параболо-гиперболического типа. – Ташкент:Изд. ФАН, 1986.

4. КожановА. И. Краевые задачи для неклассических урав-нений математической физики нечетного порядка. – Новоси-бирск: Изд. НГУ, 1990.

5. СабитовК. Б. Об одной краевой задаче для уравнения сме-шанного типа третьего порядка // ДАН. – 2009. – T. 427, –№ 5. – С. 593–596.

6. МартемьяноваН. В. Нелокальная обратная задача дляуравнения с оператором Лаврентьева-Бицадзе в прямоуголь-ной области // Дифференциальные уравнения и их приложе-ния. Тр. Всероссийской науч. конф. с международным участи-ем. – Уфа: Гилем, 2011. – С. 153–158.

Р.В. Мартенс

Саратовский государственный университет,[email protected]

ОБ ОДНОЙ ПОЛНОЙ СИСТЕМЕСЖАТИЙ И СДВИГОВ

Возьмем произвольную функцию 𝜑(𝑡) с носителем на от-резке [0, 1] . Для 𝑛 ∈ ℕ по стандартному представлению 𝑛 =

= 2𝑘 + 𝑗 , 𝑘 ⩾ 0 , 0 ⩽ 𝑗 < 2𝑘 полагаем 𝜑𝑛(𝑡) = 𝜑𝑘,𝑗(𝑡) =

= 2𝑘/2𝜑(2𝑘𝑡 − 𝑗) . Кроме того, 𝜑0(𝑡) ≡ 1 . Система {𝜑𝑛(𝑡)}∞𝑛=0

называется системой сжатий и сдвигов функции 𝜑(𝑡) .Предположим, что порождающая функция 𝜑(𝑡) ∈ 𝐿2[0, 1]

удовлетворяет условиям нормировки (𝜑, 𝜒0) = 0 , (𝜑, 𝜒1) = 1 .

140 Р.В.МАРТЕНС

Здесь и далее {𝜒𝑛(𝑡)}∞𝑛=0 — система сжатий и сдвигов функ-ции Хаара. Следуя статье [1], построим к системе {𝜑𝑛(𝑡)}∞𝑛=0

биортогонально сопряженную систему {𝜓𝑛(𝑡)}∞𝑛=0 .Обозначим через {𝑥𝑛}∞𝑛=0 последовательность коэффи-

циентов Фурье-Хаара функции 𝜑(𝑡) : 𝑥𝑛 = (𝜑, 𝜒𝑛) =

=1∫0

𝜑(𝑡)𝜒𝑛(𝑡)𝑑𝑡 . Ввиду условий нормировки, 𝑥0 = (𝜑, 𝜒0) = 0 ,

𝑥1 = (𝜑, 𝜒1) = 1 .Построим числовую последовательность {𝑦𝑛}∞𝑛=0 с той же

нормировкой 𝑦0 = 0 , 𝑦1 = 1 , следующим образом. Каждомучислу 𝑛 = 2𝑘 + 𝑗 поставим в соответствие набор 𝛼 = (𝛼1, . . .

. . . , 𝛼𝑘) двоичного разложения числа 𝑗 =𝑘∑

𝜈=1𝛼𝜈2𝑘−𝜈 .

Сделаем замену индекса 𝑥𝑛 = 𝑥𝛼 = 𝑥(𝛼1, . . . , 𝛼𝑘) и 𝑦𝑛 =

= 𝑦𝛼 = 𝑦(𝛼1, . . . , 𝛼𝑘) . Для пустой последовательности (𝑘 = 0)

имеем 𝑥(∅) = 𝑥1 = 1 , 𝑦(∅) = 𝑦1 = 1 . Остальные 𝑦𝛼 определя-ем последовательно из рекуррентных соотношений𝑘∑

𝜈=0𝑥(𝛼1, . . . , 𝛼𝜈)𝑦(𝛼𝜈+1, . . . , 𝛼𝑘) = 0, 𝑘 ⩾ 1 .

Определим новую систему функций {𝜓𝑛(𝑡)}∞𝑛=0 :

𝜓𝑛(𝑡) = 𝜓𝛼(𝑡) =𝑘∑

𝜈=0

𝑦(𝛼𝜈+1, . . . , 𝛼𝑘)𝜒(𝛼1, . . . , 𝛼𝜈), 𝑛 ∈ ℕ,

и, кроме того, 𝜓0(𝑡) ≡ 1 . Система функций {𝜓𝑛(𝑡)}∞𝑛=0 явля-ется биортогонально сопряженной к системе {𝜑𝑛(𝑡)}∞𝑛=0 .

Биортогональный ряд произвольной функции 𝑓(𝑡) ∈∈ 𝐿2[0, 1] по системе сжатий и сдвигов функции 𝜑(𝑡) имеетвид

𝑓(𝑡) ∼∞∑𝑛=0

(𝑓, 𝜓𝑛)𝜑𝑛, (1)

где (𝑓, 𝜓𝑛) = (𝑓, 𝜓(𝛼1, . . . , 𝛼𝑘)) =𝑘∑

𝜈=0𝑦(𝛼𝜈+1, . . . , 𝛼𝑘)𝑓0(𝛼1, . . .

. . . , 𝛼𝜈) , а 𝑓0(𝛼1, . . . , 𝛼𝑘) = 𝑓0𝛼 = 𝑓0𝑛 = 𝑓0𝑘,𝑗 = (𝑓, 𝜒𝑘,𝑗) , 𝑘 ⩾ 0 ,

Р.В.МАРТЕНС 141

0 ⩽ 𝑗 < 2𝑘 — коэффициенты Фурье-Хаара функции 𝑓 .В качестве функции 𝜑 возьмем следующую кусочно-

линейную функцию: 𝜑(0) = 𝜑(12) = 𝜑(1) = 0 , 𝜑(14) = 2 ,𝜑(34) = −2 и равную 0 вне отрезка [0, 1] .

Теорема 1. Справедливо представление

𝜑 = 𝜒−∞∑𝑘=2

2−3𝑘/2+12𝑘−1∑𝑗=0

𝜀𝑘,𝑗𝜒𝑘,𝑗 ,

где

𝜀𝑘,𝑗 =

⎧⎨⎩1, когда 0 ⩽ 𝑗 < 2𝑘−2 или 3 ⋅ 2𝑘−2 ⩽ 𝑗 < 2𝑘

−1, когда 2𝑘−2 ⩽ 𝑗 < 3 ⋅ 2𝑘−2, 𝑘 ⩾ 2.

Рассмотрим систему сжатий и сдвигов функции 𝜑(𝑡) .

Теорема 2. Система {𝜑𝑛(𝑡)}∞𝑛=0 сжатий и сдвигов функ-ции 𝜑(𝑡) является полной в пространстве 𝐿2[0, 1] .

Была осуществлена программная реализация алгоритмапостроения 𝑁 -й частичной суммы биортогонального ряда (1)по системе сжатий и сдвигов указанной выше функции 𝜑(𝑡) .

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Пре-зидента РФ для молодых российских ученых (проект МД-300.2011.1) и РФФИ (проект № 10-01-00097).


1. ТерехинП.А. О сходимости биортогональных рядовпо системе сжатий и сдвигов функций в пространствах𝐿𝑝[0, 1] // Матем. заметки. – 2008. – Т. 83. – № 5. – C. 722-740.

142 М.Л.МИХАЙЛОВ

М.Л.Михайлов


УПОРЯДОЧИВАНИЕ И РАЗУПОРЯДОЧИВАНИЕДВУХ(ТРЕХ) – МЕРНЫХ МАССИВОВ

И ПОСТРОЕНИЕ НА ОСНОВЕ ИХ КРИВЫХИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Многие задачи компьютерного моделирования приводят кнеобходимости упорядочения и сортировки больших двумер-ных и трехмерных массивов чисел. В частном случае такиемассивы получаются в результате численного интегрирования.При этом для графического представления результатов необхо-димо упорядочить такие массивы по первой, или двум первымэлементам. Если для двумерных упорядоченных массивов та-кая задача решается стандартной командой Maple, то графиче-ское представление трехмерных массивов требует разработкиспециальной программной процедуры. Этим двум задачам ипосвящена данная работа.

В работе описывается комплекс программных процедурдля работы с массивами, представленный в форме библиоте-ки СКМ Maple. Библиотека SSortArr[1], средствами которойможно производить автоматическую сортировку двумерных,трехмерных, четырехмерных и пятимерных массивов, быстросоздавать их приближенным вычислением определенных инте-гралов и отображать двумерными и трехмерными графиками(упорядочение четырехмерных и пятимерных массивов графи-чески интерпретируются как параметрически заданные трех-мерные линии и поверхности).

Программная процедура SortArray3D упорядочивает мас-

М.Л.МИХАЙЛОВ 143

сив [..., [𝑥, 𝑦, 𝑧], ..] по первым двум координатам и строитграфик трехмерной поверхности. У процедуры единственныйвходной параметр, Tabl – заданный массив. Сначала проце-дура упорядочивает массив по первым двум координатам, апотом строит график по упорядоченному массиву. В случае,когда есть точки, выходящие за прямоугольную область по-строения графика, программа выдает сообщение о них и авто-матически отбрасывает эти точки. Предварительные процеду-ры SortFtArr и SortSdArr сортируют по первой координате илипо двум первым координатам.

Для тестирования программных процедур в библиотеке су-ществует еще одна процедура Mix разупорядочивания масси-вов, т. е. обратная действию упорядочивания. Процедура Mixсмешивает порядок элементов списка любого размера. На входпроцедуре подается список с одним порядком элементов, а навыходе получаем список уже с другим порядком элементов.


1. Проблемы информационных технологий в математиче-ском образовании: Учебное пособие под редакцией Ю.Г. Игна-тьева. – Казань: ТГППУ, 2005. – 118 c.

2. ДьяконовВ.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и об-разовании. – М:Солон-Пресс, 2006. – 720 с.

3. АладьевВ. З., БойкоВ.К., РовбаЕ.А. Программированиеи разработка приложений в Maple. – Таллинн: Межд. Акад.Ноосферы, 2007. – 458 с.

4. АладьевВ. З. Основы программирования в Maple. – Тал-линн, 2006. – 299 с.

144 А.А.МИХЕЕВА

А.А.Михеева

Тверской государственный университет,[email protected]

О ЛЕВЫХ ТКАНЯХ БОЛА С ОБЩЕЙСЕРДЦЕВИНОЙ

Пусть ℳ – дифференцируемое многообразие размерности2r , на котором задана три–ткань W(r,r,r) , образованная тре-мя гладкими слоениями 𝜆1, 𝜆2 и 𝜆3 коразмерности 𝑟 такими,что в каждой точке 𝑝 многообpазия ℳ тpи пpоходящих чеpезнее слоя находятся в общем положении. Известно [1], что слое-ния ткани W(r,r,r) могут быть заданы в некоторых локальныхкоординатах уравнениями:

𝜆1 : 𝑥𝑖 = 𝑐𝑖1, 𝜆2 : 𝑦𝑖 = 𝑐𝑖2, 𝜆3 : 𝑧𝑖 = 𝑓 𝑖(𝑥𝑗 , 𝑦𝑘) = 𝑐𝑖3,

где 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 1, 𝑟 , 𝑥 = (𝑥1, ..., 𝑥𝑟) ∈ 𝑋 , 𝑦 = (𝑦1, ..., 𝑦𝑟) ∈ 𝑌 ,𝑧 = (𝑧1, ..., 𝑧𝑟) ∈ 𝑍 ; 𝑋,𝑌 и 𝑍 – 𝑟 -мерные базы слоений 𝜆1, 𝜆2

и 𝜆3 соответственно; 𝑐𝑖1 , 𝑐𝑖2 , 𝑐𝑖3 – постоянные (параметры сло-ев ткани); 𝑓 = (𝑓1, ..., 𝑓 𝑟) – гладкая функция, ∣∂𝑓/∂𝑥∣ ∕= 0 ,∣∂𝑓/∂𝑦∣ ∕= 0 . Уравнение 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) определяет локальную ко-ординатную квазигруппу три-ткани. Уравнения

𝑑𝜔1

𝑖 = 𝜔1

𝑗 ∧ 𝜔𝑖𝑗 + 𝑎𝑖𝑗𝑘𝜔

1

𝑗 ∧ 𝜔1

𝑘, 𝑑𝜔2

𝑖 = 𝜔2

𝑗 ∧ 𝜔𝑖𝑗 − 𝑎𝑖𝑗𝑘𝜔

2

𝑗 ∧ 𝜔2

𝑘,

𝑑𝜔𝑖𝑗 = 𝜔𝑘

𝑗 ∧ 𝜔𝑖𝑘 + 𝑏𝑖𝑗𝑘𝑙𝜔

1

𝑘 ∧ 𝜔1

𝑙

называются структурными уравнениями ткани 𝑊 (𝑟, 𝑟, 𝑟) .

Здесь 𝜔1

𝑖 =∂𝑓 𝑖

∂𝑥𝑗𝑑𝑥𝑗 и 𝜔

2

𝑖 =∂𝑓 𝑖

∂𝑦𝑘𝑑𝑦𝑗 – формы Пфаффа, обра-

зующие базис пространства дифференциальных 1-форм мно-гообразия ℳ , а величины 𝑎𝑖𝑗𝑘 и 𝑏𝑖𝑗𝑘𝑙 суть тензоры кручения

А.А.МИХЕЕВА 145

и кривизны три–ткани. Формы (𝜔1

𝑖, 𝜔2

𝑖) и

(𝜔𝑖𝑗 0

0 𝜔𝑖𝑗

)опреде-

ляют на многообразии ℳ аффинную связность Γ , котораяназывается канонической аффинной связностью (или связно-стью Черна).

Три-ткани Бола (левые 𝐵𝑙 , правые 𝐵𝑟 и средние 𝐵𝑚 ) обра-зуют особый класс тканей, связанных с локально симметриче-скими пространствами. Напомним [1], что ткани 𝐵𝑙 , 𝐵𝑟 и 𝐵𝑚

характеризуются замыканием соответствующих конфигурацийБола. Известно [1], что ткань 𝐵𝑚 (и только такая ткань) ин-дуцирует на базе третьего слоения локально симметрическуюсвязность. Аналогичное утверждение доказано в [2] для тка-ни 𝐵𝑙 . Показано, что локально симметрическая связность (аф-финная связность без кручения и с ковариантно постояннымтензором кривизны) определяется на базе 𝑋 первого слоенияткани 𝐵𝑙 формами 𝜔

1

𝑖 , ��𝑖𝑗 = 𝜔𝑖

𝑗 +𝑎𝑖𝑗𝑘𝜔1𝑘 и порождается ее серд-

цевиной. Тензор кривизны ��𝑖𝑗𝑘𝑙 этой связности определяется

по формуле: ��𝑖𝑗𝑘𝑙 = 1

4(𝑏𝑖𝑘𝑙𝑗 − 2𝑎𝑖𝑚𝑗𝑎𝑚𝑘𝑙) . Напомним [2], что серд-

цевиной ткани 𝐵𝑙 называется локальная квазигруппа, опреде-ляемая на 𝑋 по правилу: 𝑐 = 𝑓(𝑎, 𝑓−1(𝑏, 𝑎)) ≡ 𝑎 ∗ 𝑏, где 𝑓

– локальная координатная лупа ткани (лупа – квазигруппа сединицей).

Возникает вопрос: существуют ли различные (неэквива-лентные) три-ткани Бола, индуцирующие одну и ту же сердце-вину. Такая проблема была сформулирована еще М. А. Акиви-сом в следующем виде: “Сколько неэквивалентных тканей Боламожно присоединить к заданной симметрической связности?”(см. [1]). Оказалось, что неэквивалентные ткани Бола с общейсердцевиной существуют (этот факт проиллюстрирован в [2]на различных примерах). При этом верна

146 Е.В.МОКШИН, Д.В.БЕРЕЖНОЙ

Теорема. Левые три-ткани Бола 𝐵𝑙(𝑟, 𝑟, 𝑟) имеют общуюсердцевину в том и только в том случае, если их тензор кру-чения удовлетворяет уравнениям

𝑑𝑎𝑖𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑚𝑘��𝑚𝑗 + 𝑎𝑖𝑗𝑚��

𝑚𝑘 − 𝑎𝑚𝑗𝑘��

𝑖𝑚 + (2��𝑖

𝑗𝑘𝑙 + 𝑎𝑖𝑚𝑙𝑎𝑚𝑗𝑘)(𝜔

1

𝑙 + 2𝜔2

𝑙),

4𝑎𝑖𝑝[𝑙��𝑝𝑚]𝑗𝑘 + 4��𝑖

[𝑚∣𝑝∣𝑙]𝑎𝑝𝑗𝑘 + 2��𝑖

𝑝𝑗𝑘𝑎𝑝𝑙𝑚 + 𝑎𝑖𝑞𝑝𝑎

𝑞𝑗𝑘𝑎

𝑝𝑙𝑚 = 0.

.


1. АкивисМ. А., ШелеховА.M. Многомерные три-ткани иих приложения. – Тверь: ТвГУ, 2010. – 308 c.

2. ТолстихинаГ.А. Обобщенная левая три-ткань Бола𝐵𝑙(𝜌, 𝑟, 𝑟) как фактор-ткань левой ткани Бола 𝐵𝑙(𝑟, 𝑟, 𝑟) //Вестник Тверского государственного университета / Серия:прикладная математика. – 2011. – Вып. 2(21). – № 21. – С. 117–134.

Е. В.Мокшин, Д.В. Бережной

Казанский (Приволжский) федеральный университет,[email protected],[email protected]

ВЛИЯНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ШУМОВНА ИДЕНТИФИКАЦИЮ СОБЫТИЯ

В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ

В настоящей работе рассматриваются вопросы восстанов-ления местоположения источника в вязко-упругой среде, ис-пользуя технику реверсирования сигналов по времени [1]. Ста-вится обратная задача, целью которой является определение

Е.В.МОКШИН, Д.В.БЕРЕЖНОЙ 147

местоположения источника возмущения по результатам сей-смологических наблюдений на поверхности [2]. Рассматрива-ется воздействие второстепенных помех на точность обнару-жения источника возмущения. Расчет проводится на основеМКЭ [3]. В полевом сигнале помимо полезного импульса при-сутствует множество второстепенных помех. Они возникаютпо различным причинам: городской поселок, находящийся ря-дом с расстановкой датчиков, проезжая часть, буровая уста-новка, собственный шум приемника и т. п. Все эти второсте-пенные источники ухудшают пространственную и временнуюразрешенность метода. Для оценки влияния помех на точностьлокализации события было исследовано несколько приемов.Спектральные составляющие помех схожи со спектральнымисоставляющими стационарного белого шума. К сигналам, ре-гистрируемым в прямом моделировании, был искусственно до-бавлен белый шум, исследовалось два подхода. В первом под-ходе в обратном моделировании к полученным сигналам добав-лялся шум, интенсивность которого вдвое меньше интенсивно-сти сигнала. Было выявлено, что это существенно не влияетна размер области локализации. Во втором случае к принима-емым сигналам был добавлен белый шум, интенсивность кото-рого совпадает по уровню с интенсивностью сигнала, что при-вело к размытию фокусируемой зоны и сильному росту вто-ростепенного шума. Избавиться от этого шума можно путемдобавления количества приемников на верхней поверхности.В этом случае область локализации вокруг источника будетхорошо идентифицируемой. Исследовался вопрос влияния по-верхностных второстепенных источников на точность локали-зации. В прямом моделировании по верхней поверхности мо-дели (помимо основного источника) в течение 3 сек. генери-

148 Е.В.МОСИНА

ровались случайные точечные удары. Интенсивность импуль-сов была больше интенсивности модельных сигнала на одинпорядок. Обнаружилось, что случайные удары по поверхностирассматриваемой мощности не оказывают сильного влияния напространственную разрешенность метода.


1. Gajewski J. Зайцев Н. А. Reverse modelling for seismicevent characterization. // Geophys. – 2005. – C. 276–284.

2. АкиК., РичардсП. Количественная сейсмология. Т. 1. 2.– М.: Мир, 1983.

3. ГоловановА.И., Бережной Д. В. Метод конечных элемен-тов в механике деформируемых твердых тел. – Казань: Изд-во “ДАС”, 2001. – 300 с.

Е.В.Мосина


УСЛОВИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ НА ГРАНИЦЕОРЕБРЕНИЯ И ПОВЕРХНОСТИ ВОЛОКНИСТОЙ

ПОРИСТОЙ СРЕДЫ

В приближении Стокса решена задача о течении вязкойнесжимаемой жидкости в плоском канале. Канал либо ореб-ренный – нижняя стенка равномерно покрыта поперечнымиребрами конечной толщины, либо частично заполнен модель-ной волокнистой пористой средой – системой твердых стерж-ней квадратного сечения. Рассмотрено два вида течений: сдви-говое – верхняя стенка движется с постоянной скоростью, иградиентное – под действием постоянного перепада давления.

Е.В.МОСИНА 149

Для функции тока 𝜓 в оребренном канале использованоразложение по собственным функциям бигармонического опе-ратора [1]. В случае системы стержней решение найдено чис-ленно на основе конечно-разностной аппроксимации уравненийдвижения, записанных в переменных 𝑢 , 𝑣 , 𝑝 [2]. Найдены мик-роскопические гидродинамические поля в широком диапазонепараметров оребренного канала и модельной пористой среды.

Для оребренного канала получено, что макроскопическоевлияние ребер на внешнее течение можно заменить услови-ем скольжения, а для канала со стержнями можно рассмот-реть макроскопическую постановку, в которой совокупностьстержней заменена гидравлически подобным пористым слоем(в смысле равенства среднерасходных скоростей). В свободнойчасти канала скорость жидкости 𝑢 удовлетворяет уравнениюСтокса (в безразмерном виде) 𝑑2𝑢/𝑑𝑦2 = 𝑑𝑝/𝑑𝑥 , а для филь-трационной скорости 𝑈 в пористой среде с проницаемостью 𝑘

использовано уравнение Дарси 𝑈 = −𝑘𝑑𝑃/𝑑𝑥 . В качестве но-минальной пористой границы 𝑦𝑏 взята плоскость, касательнаяк внешней поверхности ребер или цилиндров верхнего ряда. Наэтой границе задано условие скольжения Саффмана [3]

𝑢𝑠 = 𝜔𝑑𝑢(𝑦𝑏)

𝑑𝑦,

где 𝑢𝑠 , 𝜔 – скорость и длина скольжения. Для оребренногоканала 𝑢𝑠 = 𝑢(𝑦𝑏) , а для канала со стержнями 𝑢𝑠 = 𝑢(𝑦𝑏)−𝑈 и𝜔 =

√𝑘/𝛼 , где 𝛼 – коэффициент скольжения. Коэффициенты

𝛼 и 𝜔 зависят от геометрии и физических свойств пористой иоребренной границы, а также от типа течения вблизи границы.

Сопоставление найденных численно усредненных микро-скопических полей с макроскопическими полями позволилонайти параметры 𝑘 , 𝜔 , 𝛼 , необходимые для описания течения

150 Е.В.МОСИНА

в окрестности пористой границы [4, 5]. Получены аппроксими-рующие зависимости 𝜔 и 𝛼 от параметров канала и системыребер и стержней для сдвигового и градиентного течений. Про-ведено сравнение длин скольжения для оребренного канала иканала, частично заполненного системой квадратных стерж-ней. Получено, что внешнее течение слабо проникает внутрьпористой среды (не более двух верхних рядов стержней), по-этому гидродинамические характеристики на пористой грани-це практически не зависят от внутренней структуры пористойсреды, будь то совокупность цилиндров либо система ребер.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (про-ект № 12-01-31272 мол_а).


1. WangC.Y. Flow over a surface with parallel grooves // Phys.Fluids. – 2003. – V. 15. – P. 1114–1121.

2. МосинаЕ. В. Численное исследование течения на границежидкость – пористая среда // ТОХТ. – 2010. – Т. 44. – № 5. –С. 536–542.

3. SaffmanP.G. On the boundary condition at the surface of aporous medium // Stud. App. Math. – 1971. – V. 50. – № 2. –P. 93–101.

4. МосинаЕ. В., Чернышев И.В. Условие скольжения на по-верхности модельной волокнистой пористой среды // Письмав ЖТФ. – 2009. – Т. 35. – № 5. – С. 103–110.

5. МосинаЕ. В., ЧернышевИ. В. Течение жидкости вокрестности пористой границы // Вестник Нижегородскогоуниверситета им. Н. И.Лобачевского. – 2011. – № 4(3). – С. 999–1001.

Г.А.МУРЗОВА 151

Г.А. Мурзова

МБОУ СОШ с.Ульяновка Тамалинского районаПензенской области,[email protected]

КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ –ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА ЯЗЫКЕ JAVA

В 2012/13 учебном году в 1МБОУ СОШ с. Ульяновка Та-малинского района Пензенской области начинается изучениекурса информатики по новой российско-израильской програм-ме “Компьютерные науки”. Почему мы решили изучать данныйкурс в школе? Большинство учебных программ по информа-тике и ИКТ ориентируются на изучение школьниками при-кладных программ офисного пакета, а также философскихи мировоззренческих проблем информационных технологий.Недостаточное внимание уделяется таким важным разделаминформатики, как теория программирования, основы теорииинформации, формирование практических навыков созданияреальных программных и информационных продуктов, отра-жающих потребности рынка и науки. Без формирования у вы-пускника симбиоза глубоких знаний принципов алгоритмиза-ции и программирования и практических креативных навыковсоздания реальных компьютерно-информационных продуктовшансы его на успех в качестве эффективного члена и лидера всовременном обществе резко снижаются. Программа “Основыкомпьютерных наук” содержит теоретическую и практическуючасти. В ходе изучения курса ученик должен овладеть основыпонятиями о базовых инструментах практического примененияпрограммирования и закрепить эти знания путем практическо-го написания классов (программ) на языке Java. Язык выбран

152 Г.А.МУРЗОВА

исходя из того, что на его основе сегодня разрабатываются мно-гие программные продукты и для Интернета, и для мобильныхэлектронных приборов (смартфонов и планшетных компьюте-ров, в частности). Программа состоит из четырех курсов: 1.Курс “Основы компьютерных наук” (10 класс, 4 часа в неде-лю); 2. Элективный курс “Основы программирования для Ин-тернета” (2 часа в неделю, 10-й класс); 3. Усовершенствован-ный и расширенный курс “Информатика и основы ИКТ” (11-й класс, 4 часа в неделю); 4. Элективный курс “Основы про-граммирования для ОС Android (мобильные устройства)” (11-йкласс, 2 часа в неделю). Программа первого этапа курса “Ком-пьютерные науки” составлена на основе опыта, накопленногов результате преподавания аналогичного предмета в старшихклассах системы школьного образования Израиля на протяже-нии последних 35 лет. Учтены также требования современнойсферы рынка высоких технологий (хай-тека) к знаниям вы-пускников школ, как к потенциальным активным участникамдеятельности этой сферы в рамках национальной экономики имеждународных. В программе учтены требования современно-го рынка высоких технологий к знаниям выпускников школ,как к потенциально активным участникам деятельности этойсферы в рамках национальной экономики и международныхотношений. Содержание курса дает учащимся фундаменталь-ное представление о современных подходах к путям и спосо-бам реализации изучаемой теории, а также формирует у нихнавыки практического применения этих представлений в рам-ках овладения современными информационно-компьютернымитехнологиями. Основные цели и задачи курса: 1. Формиро-вание у школьников основ научного мировоззрения; 2. Обес-печение преемственности между общим и профессиональным

Г.А.МУРЗОВА 153

образованием; 3. Создание условий для самореализации и само-воспитания личности; 4. Формирование у школьников базовогосистемного представления о теоретической базе современныхкомпьютерно-информационных технологий; 5. Формированиеумения креативно и на практике находить эффективные реше-ния исследовательских и практических задач; 6. Формированиепредставления о взаимосвязи и взаимовлиянии современныхкомпьютерных и информационных сфер с фундаментальны-ми и прикладными науками. Начальный уровень знаний, уме-ний и навыков, необходимых для прохождения данного кур-са ученик должен знать/понимать: “Методы введения, обра-ботки и вывода информации;” Требования к дружественностиинтерфейса современных компьютерно-информационных про-дуктов; “Основные свойства алгоритма, типы алгоритмическихконструкций: следование, ветвление, цикл; понятие вспомо-гательного алгоритма - и пути их реализации в рамках до-ступных программно-информационных инструментов и про-дуктов;” Назначение и функции используемых информацион-ных и коммуникационных технологий. Национальная эконо-мика современной России, с постоянно увеличивающейся ро-лью и долей инновационных технологий, международный ди-намично развивающийся рынок информационных технологийдемонстрируют непрерывно растущую количественно и все бо-лее жесткую качественно потребность в IT-специалистах. Приподготовке кадров для данной сферы необходима преемствен-ность обучения на всех ступенях образования. Стремительноизменяющая информационная среда современного общества,научно-технический прогресс подстегивают сферу образова-ния к столь же быстрой модернизации. Выпускник российскойшколы, решивший стать участником этого процесса, должен

154 Т.В.НИКОНЕНКОВА

сегодня иметь знания сверх тех, дополнительные к тем, кото-рые он получает в рамках базового курса информатики. Вы-пускник должен владеть практическими навыками работы скомпьютерными и информационными технологиями, быть спо-собным создавать программные и информационные продуктыначального (но уже достаточно профессионального) уровня.Эффективное обучение в ВУЗе, успешное трудоустройство икарьерный рост напрямую зависят от степени профессиональ-ных компетенций в сфере компьютерных и информационныхтехнологий. И мы считаем, что изучение курса “Компьютерныенауки” учащихся нашей школы поможет достигнуть вышесто-ящих задач.


1. http://www.penzaobr.ru/

Т.В.Никоненкова


ЗАДАЧА R-ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯВ КЛАССЕ КУСОЧНО-МЕРОМОРФНЫХ

ФУНКЦИЙ ДЛЯ ОДНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГОВКЛЮЧЕНИЯ

Рассматривается двухфазная бесконечная изотропная сре-да, в которую внесено изотропное инородное гиперболическоевключение [1], граница которого есть правая ветвь равносто-ронней гиперболы ℒ

𝑥2 − 𝑦2 = 𝑑2,

где 𝑑 > 0 , а 𝑐 =√

2𝑑 – есть фокус гиперболы.

Т.В.НИКОНЕНКОВА 155

Пусть области 𝑆1 и 𝑆2 – соответственно внутренность ивнешность равносторонней гиперболы ℒ . Требуется построитькусочно-мероморфную функцию

𝑣(𝑧) = 𝑣0(𝑧) + 𝐹 (𝑧), 𝑧 ∈ 𝑆𝑘, 𝑘 = 1, 2

с заданной главной частью 𝐹 (𝑧) по краевому условию

𝑣2(𝑡) = 𝐴𝑣1(𝑡) −𝐵[𝑡′(𝑠)]−2𝑣1(𝑡), 𝑡 ∈ ℒ. (1)

с вещественными коэффициентами 𝐴, 𝐵 , и неизвестной пра-вильной частью 𝑣0(𝑧) . Предполагается, что заданная функция𝐹 (𝑧) имеет конечное число полюсов в произвольных точкахобластей 𝑆1 и 𝑆2 .

Решение данной задачи отыскивается в классе функций, укоторых правильная часть 𝑣0(𝑧) на бесконечности имеет осо-бенность ниже первого порядка, т. е. удовлетворяет условию

∣𝑣(𝑧)∣ = o(∣𝑧∣) при ∣𝑧∣ ≫ 1. (2)

Для поставленной задачи найдено аналитическое решение,которое обобщает решение задачи рассмотренной в работе [2], атакже решение задачи для прямоугольного клина полученноев [3].


1. ОбносовЮ. В.Краевые задачи теории гетерогенных сред.Многофазные среды, разделенные кривыми второго порядка. –Казань: Изд-во Казан. ун-та. – 2009. – 205 с.

2. ОбносовЮ. В. Решение задачи R-линейного сопряженияв случае гиперболической линии разделения разнородныз фаз //Изв.вузов. Математика. – 2004. – № 7. – C. 53–62.

156 С.К.ПАЙМЕРОВ

3. НиконенковаТ.В. Задача R-линейного сопряжения дляпрямоугольного клина в классе кусочно-мероморфных функ-ций // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. – 2012. –Т. 154. – № 1. – C. 134–146.

С.К.Паймеров


О КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ С УСЛОВИЕМНЕЙМАНА НА ГРАНИЦЕ

Исследуется нелинейная обратная задача определения ско-рости звука в неоднородности, локализованной в пределахтрехмерной ограниченной области, по данным о рассеянномэтой неоднородностью скалярном акустическом поле. Акусти-ческие колебания в области Ω ⊂ ℝ3 описываются волновымуравнением

1

𝑐2(𝑥)𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) = Δ𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥 ∈ Ω, 𝑡 ⩾ 0 (1)

с начальным условием

𝑢(𝑥, 0) = 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 0, 𝑥 ∈ Ω (2)

и условием Неймана на границе Σ = ∂Ω :

∂𝑢

∂n(𝑥, 𝑡) = 0, 𝑥 ∈ Σ, 𝑡 ⩾ 0. (3)

Здесь 𝑢(𝑥, 𝑡) – акустическое давление в точке 𝑥 ∈ Ω в моментвремени 𝑡 , величина 𝑐(𝑥) > 0 определяет скорость звука в этой

С.К.ПАЙМЕРОВ 157

точке; ∂/∂n – производная по внешней нормали n к границеΣ , вычисленная со стороны области Ω . Исследуемая обрат-ная задача заключается в определении коэффициента 𝑐(𝑥) порезультатам наблюдения рассеянного на неоднородности по-ля 𝑢(𝑥, 𝑡) . Предполагается, что среда, заполняющая областьΩ , однородна вне некоторой априори заданной подобласти 𝑅 ,𝑅 ⊂ Ω , так что 𝑐(𝑥) = 𝑐0 при 𝑥 ∈ Ω ∖ 𝑅 , где константа 𝑐0

известна, а функция 𝑐 = 𝑐(𝑥) при 𝑥 ∈ 𝑅 подлежит опреде-лению; Ω = Ω ∪ Σ . Наблюдение рассеянного поля проводитсяв точках гладкой замкнутой поверхности 𝑌 ⊂ Ω , 𝑌 ∩ 𝑅 =

= ∅ . Зондируемая неоднородность облучается полями, источ-ники которых описываются функциями 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑡; 𝑞) =

= 𝜑(𝑥; 𝑞)𝑔(𝑡) , 𝑞 ∈ 𝑄 . Здесь 𝑞 – параметр, определяющийвид и положение источника колебаний, множество 𝑄 описы-вает семейство источников рассеиваемых волн. Обозначим че-рез 𝑢(𝑥, 𝑡; 𝑞) = 𝑢(𝑥, 𝑡) решение задачи (1)–(3), понимаемое вклассическом смысле; 𝑆(𝑞) = supp𝜑(⋅; 𝑞) . Для наблюдения до-ступны значения 𝑢(𝑥, 𝑡; 𝑞) при 𝑡 ⩾ 0 , 𝑥 ∈ 𝑌 , 𝑞 ∈ 𝑄 . По этимданным требуется определить 𝑐(𝑥) , 𝑥 ∈ 𝑅 , или, что то же са-мое, функцию 𝜉(𝑥) = 𝑐−2(𝑥) − 𝑐−2

0 , 𝑥 ∈ 𝑅 . Обозначим через

𝐹 (𝑝) =∞∫0

𝑒−𝑝𝑡𝐹 (𝑡) 𝑑𝑡 преобразование Лапласа функции 𝐹 (𝑡) ,

𝑡 ⩾ 0 ; 𝑉 – объем области Ω ; 𝑣(𝑥, 𝑝; 𝑞) = 𝑝2𝑢(𝑥, 𝑝; 𝑞) , 𝐴0(𝑝; 𝑞) =

=∫𝑅

𝑣(𝑥, 𝑥′; 𝑝)𝜉(𝑥′) 𝑑𝑥′ .

Предполагаются выполненными следующие условия.

Условие 1. Выполняются соотношения∞∫0

𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 ∕= 0; ∣𝑔(𝑡)∣ ⩽ 𝐶𝑒−𝛽𝑡 ∀𝑡 ⩾ 0 (𝐶 > 0, 𝛽 > 0).

Условие 2. Положим 𝑄 = {𝑞𝑚𝑛} , 𝑞𝑚𝑛 = (𝑧𝑚, 𝑑𝑛) , 𝑧𝑚 ∈ Ω ,

158 С.К.ПАЙМЕРОВ

𝑑𝑛 > 0 , 𝑑𝑛 → 0 , где множество �� = {𝑧𝑚} всюду плотно наповерхности 𝑋 ∈ 𝐶2 , 𝑋 ⊂ Ω , 𝑋 ∩ 𝑅 = ∅ ; Σ𝑅 ≡ ∂𝑅 ∈ 𝐶2 ;𝑆(𝑞𝑚𝑛) = 𝑂𝑑𝑛(𝑧𝑚) ,

∫𝑂𝑑𝑛 (𝑧𝑚)

𝜑(𝑥; 𝑞𝑚𝑛) 𝑑𝑥 = 1 .

Теорема. При выполнении условий 1, 2 функция 𝜉 = 𝜉(𝑥)

удовлетворяет уравнению

lim𝑝→0

∫𝑅

𝐻(𝑥, 𝑥′; 𝑝)𝐻(𝑥′, 𝑞; 𝑝)𝜉(𝑥′) 𝑑𝑥′ =

= lim𝑝→0

(𝑐20(𝑔(𝑝) +𝐴0(𝑝; 𝑞))

𝑉 𝑔(𝑝)

(∫𝑅

𝐻(𝑥, 𝑥′; 𝑝)𝜉(𝑥′) 𝑑𝑥′)2

+

+𝑐20(𝑔(𝑝) +𝐴0(𝑝; 𝑞))

𝑉 𝑝2𝑔(𝑝)

∫𝑅

𝐻(𝑥, 𝑥′; 𝑝)𝜉(𝑥′) 𝑑𝑥′ − 𝐻(𝑥, 𝑞; 𝑝)

𝑝2+

+𝑣(𝑥, 𝑝; 𝑞)

𝑝4𝑔(𝑝)+𝑐20(𝑔(𝑝) +𝐴0(𝑝; 𝑞))

𝑉 𝑝4𝑔(𝑝)

),

где lim𝑝→0

𝐴0(𝑝; 𝑞) = − lim𝑝→0

(𝑔(𝑝) +

𝑉

𝑐20𝑣(𝑥, 𝑝; 𝑞)

),

lim𝑝→0

∫𝑅

𝐻(𝑥, 𝑥′; 𝑝)𝜉(𝑥′) 𝑑𝑥′ =

= lim𝑝→0

( 𝑉 𝑔(𝑝)𝐻(𝑥, 𝑞; 𝑝)

𝑐20(𝑔(𝑝) +𝐴0(𝑝; 𝑞))− 𝑉 𝑣(𝑥, 𝑝; 𝑞)

𝑐20(𝑔(𝑝) +𝐴0(𝑝; 𝑞))𝑝2− 1

𝑝2

).

М.А. ПЕРВУХИН 159

М.А. Первухин


О НЕКОТОРЫХ ОЦЕНКАХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХЧАСТЕЙ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК ПОЛИНОМА

В недавней работе [1] W. S. Cheung и T. W. Ng вве-ли понятие сопровождающей матрицы для производной ииспользовали его для доказательства Bruin-Sharma’s гипоте-зы, а также некоторых результатов связанных с мажориза-цией критических точек многочлена его нулями. В работе[2] Mohammad Adm., F. Kittaneh, используя сопровождающиематрицы, получили некоторые результаты того же типа. Намибыли получены схожие оценки действительных частей крити-ческих точек полинома с использованием матрицы, подобнойматрице из работы [2].

Пусть 𝑃 – многочлен степени 𝑛 (𝑛 ⩾ 3) с комплекснымикоэффициентами и 𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛 – нули этого многочлена. Дляупрощения записи введем следующие обозначения:

𝛼 = (√𝑛+ 1)/(

√𝑛(𝑛− 1)),

Λ(𝛼, 𝑧1, ..., 𝑧𝑛) = 𝛼2𝑛−1∑𝑖=1

Re 𝑧𝑖 +Re 𝑧𝑛𝑛

.

Теорема. Пусть 𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛 – нули многочлена 𝑃 степени 𝑛

и 𝑤1, 𝑤2, . . . , 𝑤𝑛−1 – критические точки многочлена 𝑃. Тогдадля 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑛− 1, выполняются следующие неравенства

min1⩽𝑗⩽𝑛−1

{(1−2𝛼)Re 𝑧𝑗}−𝛼𝑛−1∑𝑖=1

∣Re 𝑧𝑖∣+Λ(𝛼, 𝑧1, ..., 𝑧𝑛) ⩽ Re𝑤𝑗 ⩽

⩽ max1⩽𝑗⩽𝑛−1

{(1 − 2𝛼)Re 𝑧𝑗} + 𝛼

𝑛−1∑𝑖=1

∣Re 𝑧𝑖∣,

160 К.А.ПЕТУХОВА

если Λ(𝛼, 𝑧1, ..., 𝑧𝑛) < 0;

min1⩽𝑗⩽𝑛−1

{(1 − 2𝛼)Re 𝑧𝑗} − 𝛼

𝑛−1∑𝑖=1

∣Re 𝑧𝑖∣ ⩽ Re𝑤𝑗 ⩽

⩽ max1⩽𝑗⩽𝑛−1

{(1 − 2𝛼)Re 𝑧𝑗} + 𝛼𝑛−1∑𝑖=1

∣Re 𝑧𝑖∣ + Λ(𝛼, 𝑧1, ..., 𝑧𝑛),

если Λ(𝛼, 𝑧1, ..., 𝑧𝑛) ⩾ 0.


1. CheungW. S., Ng T. W. A companion matrix approach to thestudy of zeros and critical points of a polynomial // J. Math. Anal.Appl. – 2006. – V. 319. – P. 690–707.

2. MohammadAdm., Kittaneh F. Bounds and majorizationrelation for the critical points of polynomials // Linear Algebraand its Applications. – 2012. – V. 436. – P. 2494–2503.

К.А.Петухова


О КРИПТОСИСТЕМЕ RSAДЛЯ ДЕДЕКИНДОВЫХ КОЛЕЦ

Известная криптосистема RSA использует только нату-ральные числа. Вместе с тем имеются попытки обобщить еес использованием колец более общего вида [1, 2]. Известна так-же попытка дать обобщение RSA, использующая целые гауссо-вы числа (см., например, [3]). Мы рассматриваем аналог крип-тосистемы RSA, использующий широкий класс дедекиндовыхколец. Частными случаями будут все упомянутые выше алго-ритмы, включая классический RSA.

К.А.ПЕТУХОВА 161

Пусть 𝑅 – дедекиндово кольцо, в котором для каждого мак-симального идеала 𝑀 факторкольцо 𝑅/𝑀 является конечнымполем.Пусть 𝑃 , 𝑄 – два различных максимальных идеала 𝑅 ,и пусть 𝑁 = 𝑃𝑄 . Допустим, что существует 𝑉 — “достаточ-но хорошая” полная система вычетов 𝑅 по модулю 𝑁 . Этоозначает, что элементами 𝑉 можно кодировать исходные сооб-щения. Еще нам понадобится аналог теории функции Эйлерадля идеалов кольца 𝑅 . В частности, 𝜑(𝑁) = 𝜑(𝑃 )𝜑(𝑄) естьмощность группы обратимых элементов 𝑅/𝑁 . Пусть 𝐸 – на-туральное число такое, что НОД(𝐸,𝜑(𝑁)) = 1 , и пусть число𝑑 таково, что 𝐸𝑑 = 1 (mod 𝜑(𝑁)) . Тогда для 𝑚 ∈ 𝑉 соответ-ствующий шифротекст есть 𝐶 = 𝑚𝐸 (mod 𝑁) ∈ 𝑉 .

Справедлива следующая

Теорема. При сделанных предположениях 𝑚𝐸𝑑 = 𝑚

(mod 𝑁) для любого 𝑚 ∈ 𝑉 .

Приведенный выше алгоритм детализируется для некото-рых мнимых квадратичных колец (максимальных порядковквадратичных полей). В частности, рассмотрены евклидовымнимые квадратичные кольца [4, с. 54].


1. ГлуховМ. M. Об использовании групп классов идеаловквадратичных полей для построения криптографических си-стем с открытым ключом// Математические вопросы крип-тографии. – 2010. – Т. 1. – № 1. – С. 23–54.

2. HuhnleinD., MeyerA., TakagiT. Rabin and RSA analoguesbased on non-maximal imaginary quadratic orders // Proc.CICS’98. – 1998. – P. 221–240.

3. HaratyR.A., Ei-Kassar A. N., ShibaroB. A comparativeStudy of RSA Based Digital Signature Algorithms // Journal of

162 Л.Е.ПЛАТОНОВА

Math. and Statistics. – 2006. – P. 354–359.4. РодосскийК. А. Алгоритм Евклида. – М: Наука. Гл. ред.

физ-мат. лит., 1988. – 240 с.

Л.Е.Платонова

Нижегородский государственныйпедагогический университет им.К.Минина,

[email protected]

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГОУРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА ОБЩЕГО ВИДА В СЛУЧАЕПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ НАЧАЛЬНЫХУСЛОВИЙ НА ЛИНИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНЫ

Основным объектом исследования в данной работе являет-ся квазилинейное уравнение в частных производных первогопорядка

𝑎1(𝑥1, 𝑥2, 𝑧)∂1𝑧 + 𝑎2(𝑥1, 𝑥2, 𝑧)∂2𝑧 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑧), (1)

где ∂𝑖𝑧 =∂𝑧

∂𝑥𝑖, 𝑖 = 1, 2, 𝑎1, 𝑎2, 𝑓 — непрерывно дифферен-

цируемые функции. Решение ищется в некоторой окрестностилинии 𝐿 , которая задается параметрическими уравнениями:𝑥1 = 𝛼1(𝜏), 𝑥2 = 𝛼2(𝜏), 0 ⩽ 𝜏 ⩽ 𝑇 . Соответственно, задачаКоши ставится следующим образом:

𝑧∣𝐿 = 𝛾(𝜏). (2)

Функции 𝛼1(𝜏), 𝛼2(𝜏), 𝛾(𝜏) предполагаются дваждынепрерывно дифференцируемыми на [0, 𝑇 ] . В данной работе

Л.Е.ПЛАТОНОВА 163

рассмотрен случай, когда линия 𝐿 ограничена и область опре-деления неизвестной функции 𝑧(𝑥1;𝑥2) содержится в окрест-ности Ω𝑇 линии 𝐿 .

Принципиальная особенность изучаемой задачи состоит втом, что наряду с поиском неизвестной функции 𝑧(𝑥1, 𝑥2)

ищется и область определения решения в виде

Ω𝜀 = {(𝑥1, 𝑥2) : 𝛼𝑖(𝜏) ⩽ 𝑥𝑖 ⩽ 𝛼𝑖(𝜏) + 𝜀 cos𝜑𝑖, 𝑖 = 1, 2, 0 ⩽ 𝜏 ⩽ 𝑇} .

Параметр 𝜀 подлежит определению, ограничение на величину𝜀 является одним из основных условий разрешимости задачи(1), (2). В работах [2], [3] была реализована схема метода допол-нительного аргумента ([1]) для задачи Коши вида (1), (2) приразличных предположениях относительно линии 𝐿 . А имен-но, была получена система 15 интегральных уравнений для15 неизвестных функций, названная “резольвентной“, доказаносуществование и единственность решения этой системы. Длярассмотренной здесь задачи Коши (1), (2) доказана теоремасуществования и единственности.

Теорема. Пусть 𝑎1(𝑥1, 𝑥2, 𝑧), 𝑎2(𝑥1, 𝑥2, 𝑧), 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑧) –непрерывно дифференцируемые функции по всем аргументамв области 𝑄𝑇 ; 𝐿 – однонаправленно регулярная кривая; 𝛼1(𝜏),

𝛼2(𝜏), 𝛾(𝜏) ∈ 𝐶2([0;𝑇 ]) ; выполнено основное условие разреши-мости ∣𝛼′

1𝑎2 − 𝛼′2𝑎1∣ ⩾ 𝐾𝐽 = const > 0 . Тогда при 0 ⩽

𝜀 ⩽ 𝜀0 задача Коши (1) – (2), имеет единственное реше-ние 𝑧 ∈ 𝐶1(Ω𝜀) , которое при 𝑠 = 𝑊1 совпадает с функцией𝑈(𝑠, 𝑥1, 𝑥2) , определяемой из “резольвентной системы“.

Замечание. Число 𝜀0 определяется алгебраическим об-разом через известные и заданные функции. Область

164 Л.Е.ПЛАТОНОВА

𝑄𝑇 = {Ω𝑇 × [−𝐾𝑈 ;𝐾𝑈 ]} , где ∣𝑧∣ ⩽ 𝐾𝑈 . Функция 𝑊1 опреде-ляется из системы уравнений 𝐻1 = 𝑥1 −

∫𝑊1

𝑠 𝑎1(𝐻1,𝐻2, 𝑈)𝑑𝛿,

𝐻2 = 𝑥2 −∫𝑊1

𝑠 𝑎2(𝐻1,𝐻2, 𝑈)𝑑𝛿 .


1. ИманалиевМ. И., ПанковП. С., АлексеенкоС.Н. Методдополнительного аргумента // Вестник КазНУ, серия мате-матика, механика, информатика. Специальный выпуск. – Ал-маты, 2006. – № 1. – С. 60–64.

2. АлексеенкоС. Н., Платонова Л. Е. Построение основнойразрешающей системы интегральных уравнений для квазили-нейного уравнения в частных производных первого порядка вслучае параметрического задания начальных данных //Мат.вестник педвузов и унив. Волго-Вятского региона. – 2011. –Вып. 13. – С. 61–70.

3. АлексеенкоС. Н., Платонова Л. Е. Доказательство ло-кальной разрешимости резольвентной системы интеграль-ных уравнений,соответствующей квазилинейному уравнениюв частных производных первого порядка в случае параметри-ческого задания начальных данных. // Мат. вестник педвузови унив. Волго-Вятского региона. – 2012. – Вып. 14. – С. 41–51.

Д.Я.РАХМАТУЛЛИН 165

Д.Я. Рахматуллин

ИМВЦ УНЦ РАН, г. Уфа,[email protected]

ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕС ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕХНОЛОГИЙ

MPI И CUDA

Теория кубатурных формул и их одномерных аналогов —квадратурных формул — является хорошо развитой областьюматематического анализа и вычислительной математики. Наданный момент существует ряд задач, связанных как непосред-ственно с теорией формул С. Л. Соболева и его последователей,так и с ее приложениями в компьютерных вычислениях.

Одной из актуальных проблем является задача приближен-ного вычисления интегралов большой кратности по областямпроизвольных форм, для решения которой сейчас использу-ются, в основном, методы интегрирования типа Монте-Карло.Эти методы обладают несомненными достоинствами, как-тобезразличие к сложности формы области интегрирования ивозможность работы с функциями из пространств с сотня-ми измерений. Существенными недостатками методов типаМонте-Карло являются невысокая скорость сходимости и нега-рантированные, вероятностные оценки погрешности результа-та.

Мы решаем поставленную задачу путем приближения инте-грала решетчатыми асимптотически оптимальными кубатур-ными формулами с ограниченным пограничным слоем. Этотподход позволяет избежать недостатков методов типа Монте-Карло.

Создан пакет программ приближенных вычислений инте-

166 Д.Я.РАХМАТУЛЛИН

гралов по ограниченным многомерным областям Ω произволь-ных форм с гладкой границей Г. В описании основной програм-мы пакета – приближенное вычисление интеграла до размер-ности 10, требуется выпуклость области интегрирования.

Программы написаны на языке C++ с использованием биб-лиотеки параллельных функций MPI. Они были отлажены итестированы на многопроцессорных вычислительных системахМВС-100К Межведомственного суперкомпьютерного центра.

В 2012 году был создан вариант программы для вычисле-ний на платформе NVIDIA CUDA.



1. СоболевС. Л., ВаскевичВ. Л. Кубатурные формулы. –Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. – С. 254–263.

2. РамазановМ.Д. Теория решетчатых кубатурных фор-мул с ограниченным пограничным слоем. – Уфа: Изд. Дизайн-ПолиграфСервис, 2009. – 178 с.

3. РамазановМ.Д., РахматуллинД. Я., Валеева Л. С., Бан-никоваЕ. Л. Решение интегральных уравнений на многопро-цессорных вычислительных системах // Журнал Сибирскогофедерального университета. Сер. матем. Красноярск. –2009. –Т. 2. – № 1. – С. 69–87.

4. РахматуллинД.Я. Вычисление интегралов по многомер-ным областям на многопроцессорных вычислительных систе-мах // Вычислительные технологии. – 2006. – Т. 11. – № 3. –С. 118–125.

5. RamazanovM.D., Rakhmatullin D. Y., BannikovaE. L. Thecubature formulas of S.L. Sobolev: evolution of the theory and

С.Г. РЕЗЯПКИНА 167

applications // Eurasian Mathematical Journal. – 2010. – V. 1. –№ 1. – P. 123–136.

6. РахматуллинД.Я. Программа интегрирования по мно-гомерным областям “CubaInt”. Свидетельство № 2007614331 от10.10.2007.

7. ХалитовА. Х. Использование CUDA для вычисления ин-тегралов по многомерным областям с помощью решетчатыхкубатурных формул // Научно-практическая конференция смеждународным участием с элементами научной школы длямолодежи, 21–25 мая 2012 г. – Пермь: ПГНИУ, 2012. – C. 68–71.

С. Г. Резяпкина

Государственное бюджетное образовательное учреждениесреднего профессионального образования Пензенской области

“Белинский многопрофильный колледж”,[email protected]

ВНЕДРЕНИЕ ИННОВАЦИОННЫХ ФОРМКОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНЫХ ПРОЦЕДУРВ ПРОЦЕСС ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИН

ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЦИКЛА

Контроль является неотъемлемой частью любой образова-тельной системы. Проблема контроля результатов обучениячрезвычайно сложна в силу ряда причин, в частности, отсут-ствия строгого определения структуры знаний, единиц изме-рения и сопоставимых эталонов. Классические формы кон-трольных мероприятий имеют ряд недостатков, из которых

168 С.Г. РЕЗЯПКИНА

наиболее серьезными являются отсутствие единого стандар-та, низкая степень надежности, связанная с возможной необъ-ективностью и эффектами внешнего и психологического воз-действия, выборочность контролируемого материала и низкаятехнологичность. Указанный факт определил главную цель на-шего исследования – создание тестовой оболочки, предназна-ченной для проведения автоматизированного контроля знанийи предоставляющей возможность повышения эффективностиконтрольно-оценочных мероприятий. Для достижения постав-ленной цели были сформулированы и решены следующие зада-чи: 1. Проанализирована психолого-педагогическая и научно-методическая литература по проблеме исследования. 2. Про-ведено исследование задач и методов оценки уровня знаний.3. Спроектирована база данных тестовых заданий, тем, пред-метов. 4. Разработаны и реализованы алгоритмы формирова-ния последовательности и содержания вопросов в тематиче-ских блоках. 5. Выделен перечень общих и специальных эле-ментов интерфейса. 6. Проведены тестирование и отладка ПС.7. Обоснована экономическая эффективность. Разработанныекомпьютерные методы тестирования и оценки знаний учащих-ся внедрены в учебный процесс Белинского многопрофильногоколледжа, МОУ СОШ № 1, № 2 города Белинского.

С целью выявления преимуществ автоматизированногоконтроля перед его традиционными формами нами была про-ведена серия экспериментов.

Эксперимент 1. В первой подгруппе экспериментальнойгруппы из 10 учащихся тестирование проводи-лось традицион-ным способом. Во второй подгруппе той же группы (10 учащих-ся) использовались разработанные нами компьютерные тесты.По своему содержанию тесты не отличались.

С.Г. РЕЗЯПКИНА 169

Результат эксперимента: значительно сократилось вре-мя на проверку работ учащихся, так как оценки высвечивалисьна экране, и было достаточно перенести их в журнал.

Эксперимент 2. Для выявления качества знаний по изу-ченной теме учащимся было предложено самостоятельно вы-брать форму контроля. Из 20 человек 14 предпочли тестовыйконтроль, так как, по их мнению, он более объективный. Троеучащихся решили пройти традиционный тест, так как слабовладеют компьютером. Двое испытуемых не выразили ника-ких предпочтений.

Результат эксперимента: учащимся гораздо интереснеепроходить компьютерное тестирование, что способствует ро-сту их познавательной активности на уроке. Развивает и фор-мирует учащегося не столько само знание, сколько метод егоприобретения, только в процессе активной мыслительной и по-знавательной деятельности учащиеся могут понять и усвоитьучебный материал. Автоматизированный контроль способству-ет росту коэффициента объективности оценивания знаний уча-щихся.

Эксперимент 3. На протяжении 6 месяцев первой под-группе экспериментальной группы (10 учащихся) контрольосуществлялся традиционным способом. Во второй подгруппеэтой же группы (10 учащихся) использовались разработанныеконтролирующие программы.

Результат эксперимента: во второй подгруппе отмече-на позитивная динамика роста качества знаний по изучаемойдисциплине. Повышается дифференциация процесса обучения.

170 Г.В. РОМАНЕНКО, И.В.ФРОЛЕНКОВ

Внедрение результатов. Считаем, что предложенная те-стовая оболочка будет полезна для любого учебного заведения,а так же промышленных организаций, которые хотят ввести ав-томатизированный контроль знаний.

Г.В.Романенко, И.В. Фроленков

Сибирский федеральный университет,[email protected], [email protected]

О РЕШЕНИИ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИДЛЯ СИСТЕМЫ МНОГОМЕРНЫХПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Исследование коэффициентной обратной задачи для урав-нения в частных производных с использованием некоторой до-полнительной информации о решении можно свести к некото-рой вспомогательной прямой задаче. Как правило получаетсяинтегродифференциальное или неклассическое “нагруженное”уравнение [1]. В работах [2, 3] расмотрена задача специально-го вида, для которой показано, что иногда отыскание решенияобратной задачи может быть сведено к исследованию двух пря-мых задач, одна из которых содержит выражение для неизвест-ного коэффициента. В [4] был использован такой алгоритм приисследовании вопроса о существовании решения обратной за-дачи для системы двумерных параболических уравнений спе-циального вида. В данной работе получено обобщение этогорезультата на случай системы многомерных параболическихуравнений с неизвестными коэффициентами.

В области 𝐺[0,𝑇 ] ={

(𝑡, 𝑥, 𝑧) ∣ 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝑇, 𝑥 ∈ ℝ𝑛, 𝑧 ∈ ℝ}

Г.В. РОМАНЕНКО, И.В.ФРОЛЕНКОВ 171

рассматривается задача Коши для системы

𝑢𝑖𝑡 = 𝑎𝑖(𝑡)𝑢𝑖𝑧𝑧(𝑡, 𝑥, 𝑧) + 𝑏(𝑡)Δ𝑥𝑢𝑖(𝑡, 𝑥, 𝑧)+

+ 𝜆𝑖(𝑡, 𝑧)

(𝐵𝑖

𝑧(𝑢𝑖) +

𝑚∑𝑘=1

𝑔𝑘(𝑡) ⋅ 𝑢𝑘), 𝑢𝑖(0, 𝑥, 𝑧) = 𝑢𝑖0(𝑥, 𝑧). (1)

где 𝐵𝑖𝑧(𝜉) = 𝑐𝑖1(𝑡)𝜉𝑧𝑧(𝑡, 𝑥, 𝑧) + 𝑐𝑖2(𝑡)𝜉𝑧(𝑡, 𝑥, 𝑧) + 𝑐𝑖3(𝑡)𝜉(𝑡, 𝑥, 𝑧) ,

𝑎𝑖(𝑡) ⩾ 𝑎0 > 0 , 𝑏(𝑡) ⩾ 𝑏0 > 0 , 𝑐𝑖1(𝑡) ⩾ 𝑐0 > 0 , 𝑐𝑖2(𝑡) , 𝑐𝑖3(𝑡) —непрерывные, ограниченные на [0, 𝑇 ] функции.

Коэффициенты 𝜆𝑖(𝑡, 𝑧) подлежат определению одновремен-но с решением 𝑢𝑖(𝑡, 𝑥, 𝑧) задачи (1). Заданы условия переопре-деления 𝑢𝑖(𝑡, 0, 𝑧) = 𝜓𝑖(𝑡, 𝑧) , и считаем выполненными условия∣∣∣∣𝐵𝑖

𝑧(𝜓𝑖) +𝑚∑𝑘=1

𝑔𝑘(𝑡)𝜓𝑘(𝑡, 𝑧)

∣∣∣∣ ⩾ 𝜇𝑖 > 0, 𝜇𝑖 = const .

Теорема. Если существуют решения 𝜑(𝑡, 𝑥) и 𝑓 𝑖(𝑡, 𝑧) сле-дующих задач Коши: ∂𝜑

∂𝑡 = 𝑏(𝑡)Δ𝑥𝜑, 𝜑(0, 𝑥) = 𝑤0(𝑥),

∂𝑓 𝑖

∂𝑡= 𝑎𝑖(𝑡)𝑓 𝑖𝑧𝑧+

(𝐵𝑖

𝑧(𝑓𝑖) +

𝑚∑𝑘=1

𝑔𝑘(𝑡)𝑓𝑘

)⋅𝜆𝑖(𝑡, 𝑧), 𝑓 𝑖(0, 𝑧) = 𝑣𝑖0(𝑧),

то функции

𝜆𝑖(𝑡, 𝑧) =𝜓𝑖𝑡(𝑡, 𝑧) − 𝑎𝑖(𝑡)𝜓𝑖

𝑧𝑧(𝑡, 𝑧) − 𝑓 𝑖(𝑡, 𝑧)𝜑𝑡(𝑡, 0)

𝐵𝑖𝑧(𝜓𝑖) +

𝑚∑𝑘=1

𝑔𝑘(𝑡)𝜓𝑘(𝑡, 𝑧)

,

𝑢𝑖(𝑡, 𝑥, 𝑧) = 𝜑(𝑡, 𝑥)𝑓 𝑖(𝑡, 𝑧) являются решением обратной задачи(1) в предположении, что 𝑢𝑖0(𝑥, 𝑧) = 𝑤0(𝑥)𝑣𝑖0(𝑧).

Также, в предположении согласованности, достаточнойгладкости и ограниченности входных данных, используя теоре-му 1, мы доказали теорему существования решения обратнойзадачи в классе гладких ограниченных функций. Исследованвопрос о единственности решений прямой и обратной задач.

172 Г.В. РОМАНЕНКО, И.В.ФРОЛЕНКОВ



1. ФроленковИ.В., КригерЕ. Н. О задаче идентификациифункции источника специального вида в двумерном парабо-лическом уравнении // Journal of Siberian Federal University.Mathematics & Physics. – 2010. – № 3(4). – C. 556–564.

2. АниконовЮ.Е. О методах исследования многомерныхобратных задач для эволюционных уравнений // Доклады ака-демии наук. – 1993. – Т. 331. – № 3. – C. 409–410.

3. ФроленковИ.В., Романенко Г.В. О представлении реше-ния одной обратной задачи для многомерного параболическо-го уравнения с начальными данными в виде произведения //Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. –2012. – Т. 5. – № 1. – C. 122–131.

4. РоманенкоГ.В., ФроленковИ. В. О представлении реше-ния обратной задачи для системы двумерных параболическихуравнений // Международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М.Лаврентьева “Обрат-ные и некорректные задачи математической физики”. – Ново-сибирск: Сибирское научное издательство, 2012. – С. 103–104.

М.К. САГДАТУЛЛИН 173

М.К. Сагдатуллин


МОДЕЛИРОВАНИЕ КОМБИНИРОВАННЫХКОНСТРУКЦИЙ МКЭ

Введение. Для расчета комбинированных конструкций иконструкций существенно переменной толщины методом ко-нечных элементов целесообразно использовать как трехмерныеконечные элементы (КЭ), так и оболочечные. Для их стыков-ки в единую расчетную модель используются различные спо-собы. В [5] описывается создание и исследование переходныхтрехмерных КЭ, используемых при решении термоупругих за-дач, в [3] для расчета напряженно-деформированного состоя-ния пространственных конструкций применяется комбиниро-ванная модель, где кинематические условия упругого сопря-жения с оболочечными элементами учитываются при помощиметода штрафа. В [1] необходимые условия сопряжения по гра-нице между трехмерными и оболочечными КЭ реализуютсяпутем введения в исходный функционал задачи множителейЛагранжа, параметры которых исключаются из числа варьи-руемых величин на уровне сборки конструкции. Обзор алго-ритмов создания переходных КЭ приведен в [4].

Описание алгоритма. При построении базового КЭсплошной среды, позволяющего моделировать как трехмер-ные конструкции, так и тонкостенные оболочки, используетсяследующая методика. В пределах каждого элемента вводитсялокальная система координат, переводящая искривленный па-раллелепипед в единичный куб. При построении физическихмоделей многослойных ортотропных оболочек, вводятся все-

174 М.К. САГДАТУЛЛИН

возможные подходы, основанные как на различных гипотезахдля каждого слоя оболочки, так и на единых гипотезах длявсех слоев тонкостенной конструкции. Данный ортотропныйКЭ построен на базе трехмерного изотропного восьмиузловогоКЭ оболочки [2], в узлах которого, расположенных на лицевыхповерхностях КЭ, в качестве узловых степеней свободы опре-деляется по три декартовые проекции вектора перемещений.Упругие постоянные выражены через применяемые в техникеконстанты: модули упругости и сдвига, а также коэффициентпоперечной деформации. При построении этого КЭ исполь-зуется техника, основанная на базе метода двойной аппрок-симации по точкам суперсходимости, и методика “пониженияпорядка аппроксимаций” деформаций поперечного сдвига, по-дробно описанные в [2]. Наиболее часто в практике расчетовмногослойных конструкций встречается преобразование коэф-фициентов матрицы упругости ортотропного тела при поворо-те системы координат вокруг своей оси (которая совпадает снормалью к плоскости слоя) на определенный угол.

Суть методики построения конечного элемента заключает-ся в наложении оболочечных гипотез (гипотеза малости на-пряжений обжатия, усечение деформаций поперечного сдвигаи т. д.) только для той части трехмерного КЭ, которая при-стыковывается к оболочечному (во всех квадратурных точкахпо высоте элемента). Таким образом происходит сглаживаниенапряжений в пределах конечного элемента. При стыковке смногослойным КЭ число квадратурных точек по высоте сов-падает с количеством слоев элемента.

Заключение. Вычислительные эксперименты показываютчто разработанный конечный элемент может эффективно мо-делировать трехмерные тела и тонкостенные оболочки, постро-

М.К. САГДАТУЛЛИН 175

енные на его базе переходные КЭ позволяют рассчитывать вединой расчетной схеме комбинированные конструкции и кон-струкции существенно переменной толщины.


1. АдясоваН. М., КапустинC.A., ЯблонкоЛ.С. Некоторыевопросы расчета нелинейных составных конструкций // При-кладные проблемы прочности и пластичности. – Горький,1975. – Вып. 1. – С. 124–135.

2. ГоловановА.И., СагдатуллинМ. К. Трехмерный конеч-ный элемент для расчета тонкостенных конструкций // Уч.записки Казанск. гос. ун-та. Серия физ.-мат. наук. – Казань,2009. – Т. 151. – Кн. 3. – С. 121–129.

3. СавулаЯ. Г., ДыякИ. И. Применение комбинированноймодели для расчета напряженно-деформированного состоянияпространственных конструкций // Прикладная механика. –1989. – Т. 25. – № 9. – С. 62–67.

4. Karan S., Surana. Transition finite elements for three-dimensional stress analysis // Int. J. Numer. Meth. Eng. – 1980. –V. 15. – № 7. – С. 991–1020.

5. Karan S., Surana Three dimensional solid-shell transitionfinite elements for heat conduction // Comput. and Struct. –1987. – V. 26. – № 6. – С. 941–950.

176 А.А.САЛАМАТИН

А.А.Саламатин


АПРОБАЦИЯ МОДЕЛИ СВЕРХКРИТИЧЕСКОЙЭКСТРАКЦИИ МАСЛА ИЗ МОЛОТОГО

РАСТИТЕЛЬНОГО СЫРЬЯ В БИДИСПЕРСНОМПРИБЛИЖЕНИИ

Экологичность процесса сверхкритической флюидной экс-тракции (СФЭ) масла из растительного сырья, а также высо-кое качество конечного продукта вызывают повышенный инте-рес к детальному теоретическому изучению данного явления.Как правило, зернистый слой моделируется в монодисперсномприближении, а для молотых семян (частиц) используют мо-дель сужающегося ядра (SC - shrinking core) [1, 2].

Применение SC-модели к расчету экстракции масла из се-мян масличных культур показало, что схема, в целом, верноописывает динамику извлечения масла из частиц зернисто-го слоя. Однако явно выраженный двухстадийный характерэкстракции, наблюдаемый в ряде экспериментов, с высокимначальным темпом извлечения и последующим резким замед-лением выхода масла приводит к необходимости расширениямодели SC на случай полидисперсного зернистого слоя.

Математическая модель СФЭ в полидисперсном приближе-нии сводится к системе двух уравнений относительно неизвест-ных функций 𝑅(𝑡, 𝑧, 𝑎) (радиус сужающегося ядра) и 𝐶(𝑡, 𝑧)

(концентрация масла в поровом пространстве аппарата):

𝜃0(𝑎−𝑅)𝑅

𝑎

∂𝑅

∂𝑡= −𝐷(𝜃∗ − 𝐶), (1)

А.А.САЛАМАТИН 177

𝑣∂𝐶

∂𝑧= −(1 −𝑚)𝜃0

∫ ∞

0

∂

∂𝑡

(𝑅

𝑎

)3

𝑓(𝑎)𝑑𝑎. (2)

Здесь 𝑡 – время, 𝑧 – пространственная координата, отсчи-тываемая от входного сечения вдоль оси экстрактора, 𝑒 – по-ристость зернистого слоя, 𝑣 – скорость фильтрации флюида,𝑎 – радиус сферических частиц слоя, 𝐷 – эффективный коэф-фициент диффузии, 𝜃0 – отношение массы начальных запасовмасла в частице к ее объему, 𝜃∗ – равновесная концентрациямасла во флюиде, 𝑓(𝑎) – плотность распределения частиц поразмерам.

Сформулированная задача при любом выборе функции𝑓(𝑎) допускает аналитическое решение относительно функции𝑌 (𝑡) – количество экстрагированного к моменту времени 𝑡 мас-ла.

Особый интерес представляет бимодальное приближениезасыпки, когда функция 𝑓(𝑎) имеет два локальных максиму-ма, один из которых лежит в области характерных значений 𝑎

и представляет основную фракцию частиц в засыпке, а второй– в области малых значений 𝑎 . По предположению, он соответ-ствует неровностям поверхности крупных частиц (увеличениеудельной поверхности), наличию разрушенных вследствие по-мола семян клеток (часть масла становится легкоизвлекаемой)и присутствию мелкодисперсных частиц – ”пыли” , попавшейв засыпку вместе с крупной (основной) фракцией.

Именно бимодальное приближение позволило с высокойточностью описать наблюдаемый двухстадийный характерпроцесса экстракции масла из косточек абрикоса [Ozkal и др.,2005], семян тыквы [Salgin и др., 2011] и подсолнечника [Fiori,2011]. Для этого случая в представляющем основной практи-ческий интерес диапазоне умеренных времен получена асимп-

178 Н.САФОНКИН

тотика для 𝑌 (𝑡) .


1. GotoM., RoyB.C., HiroseT. Shrinking-core leaching modelfor supercritical fluid extraction // J. of Supercritical Fluids –1996. – Т. 9. – С. 128–133.

2. ЕгоровА.Г., Мазо А.Б., МаксудовР.Н. Экстракция поли-дисперсного зернистого слоя молотых семян масличных куль-тур сверхритическим диоксидом углерода // Теор. основыхим. технологии – 2010. – Т. 44. – № 5. – С. 128–133.

Н.Сафонкин

Лицей “Вторая школа”, Москва, Россия[email protected]

О СВОЙСТВЕ АДДИТИВНОСТИЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Целочисленным интегралом ℤ𝑏∫𝑎𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 функции 𝑓 по от-

резку [𝑎, 𝑏] называется количество точек с целочисленными ко-ординатами под графиком функции 𝑓 (без учета точек на оси𝑂𝑥). Целью данной работы является изучение свойства адди-тивности целочисленного интеграла, т.е. аналога равенства

𝑏∫𝑎

(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 =

𝑏∫𝑎

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+

𝑏∫𝑎

𝑔(𝑥) 𝑑𝑥.

Имеет место следующая

Теорема 1. Имеет место асимптотика

ℤ𝑛∫

0

𝛼𝑥𝑘 𝑑𝑥 ∼ 𝛼

𝑘 + 1⋅ 𝑛𝑘+1 при 𝑛→ ∞ .

Н.САФОНКИН 179

Из этой теоремы легко получается

Следствие. Имеет место асимптотическое равенство

ℤ𝑛∫

0

(𝛼+ 𝛽)𝑥𝑘 𝑑𝑥 ∼ ℤ𝑛∫

0

𝛼𝑥𝑘 𝑑𝑥+ ℤ𝑛∫

0

𝛽𝑥𝑘 𝑑𝑥

при 𝑛→ ∞ .

Естественно исследовать асимптотику остаточного члена,т. е. разности

ℤ𝑛∫

0

(𝛼+ 𝛽)𝑥𝑘 𝑑𝑥−(ℤ

𝑛∫0

𝛼𝑥𝑘 𝑑𝑥+ ℤ𝑛∫

0

𝛽𝑥𝑘 𝑑𝑥).

Этот вопрос решает следующая

Теорема 2. Пусть 𝑃 (𝑥) и 𝑄(𝑥) — многочлены, такие,что каждый из полиномов 𝑃 , 𝑄 и 𝑃 +𝑄 содержит иррацио-нальный коэффициент. Тогда имеет место асимптотическоеравенство

ℤ𝑛∫

0

(𝑃 (𝑥) +𝑄(𝑥)) 𝑑𝑥 = ℤ𝑛∫

0

𝑃 (𝑥) 𝑑𝑥+ ℤ𝑛∫

0

𝑄(𝑥) 𝑑𝑥+𝑛

2+ 𝑜(1)

при 𝑛→ ∞ .

Удивительным образом эта теорема связана с равномер-ным распределением последовательностей {𝑃 (𝑛)} , {𝑄(𝑛)} и{𝑃 (𝑛) +𝑄(𝑛))} дробных долей значений полиномов Лорана наединичной окружности. На рис. 1 показаны соответствующиераспределения для многочленов 𝑃 (𝑥) =

√2𝑥2 и 𝑄(𝑥) =

√3𝑥3 .

180 С.Н.СИДОРОВ

Рис. 1.

С.Н.Сидоров

Стерлитамакский филиал Башкирского государственногоуниверситета,[email protected]

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬРЕШЕНИЯ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

1. Введение. Рассмотрим уравнение смешанногопараболо-гиперболического типа

𝐿𝑢 ≡⎧⎨⎩𝑢𝑡 − 𝑢𝑥𝑥 + 𝑏2𝑢 = 0, 𝑡 > 0,

(−𝑡)𝑚𝑢𝑥𝑥 − 𝑢𝑡𝑡 − 𝑏2(−𝑡)𝑚𝑢 = 0, 𝑡 < 0,(1)

С.Н.СИДОРОВ 181

в прямоугольной области 𝐷 = {(𝑥, 𝑡)∣ 0 < 𝑥 < 1, −𝛼 < 𝑡 < 𝛽} ,где 𝑚 > 0 , 𝑏 > 0 , 𝛼 > 0 , 𝛽 > 0 – заданные действительныечисла.

Задача. Найти в области 𝐷 функцию 𝑢(𝑥, 𝑡) , удовлетво-ряющую следующим условиям:

𝑢(𝑥, 𝑡) ∈ 𝐶1(𝐷) ∩ 𝐶2(𝐷−) ∩ 𝐶2𝑥(𝐷+), (2)

𝐿𝑢(𝑥, 𝑡) ≡ 0, (𝑥, 𝑡) ∈ 𝐷− ∪𝐷+, (3)

𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(1, 𝑡) = 0, −𝛼 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝛽, (4)

𝑢𝑡(𝑥,−𝛼) − 𝑢𝑡(𝑥, 𝛽) = 𝜓(𝑥), 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 1, (5)

где 𝜓(𝑥) – достаточно гладкая функция, 𝜓(0) = 𝜓(1) = 0 ,𝐷− = 𝐷 ∩ {𝑡 < 0} , 𝐷+ = 𝐷 ∩ {𝑡 > 0} .

Отметим, что начально-граничная задача для уравнения(1) изучалась в работах [1–3] в прямоугольной области 𝐷 , вкоторой вместо условия (5) задано начальное условие 𝑢(𝑥,−−𝛼) = 𝜓(𝑥) , 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 1 . В работе [4] изучена задача (2)–(5)для уравнения (1) при 𝑚 = 0 , 𝑏 = 0 с начальным условием𝑢(𝑥,−𝛼) − 𝑢(𝑥, 𝛽) = 𝜓(𝑥) .

2. Построение частных решений. Частные решенияуравнения (1), не равные нулю в области 𝐷 и удовлетворя-ющие нулевым граничным условиям (4), будем искать в видепроизведения 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇 (𝑡) . Тогда получим

𝑋𝑘(𝑥) =√

2 sin√𝜇𝑘𝑥 =

√2 sin𝜋𝑘𝑥, 𝜇𝑘 = (𝜋𝑘)2, 𝑘 = 1, 2, . . . ,

(6)

𝑇𝑘(𝑡) =

⎧⎨⎩𝑎𝑘𝑒

−𝜆2𝑘𝑡, 𝑡 > 0,

𝑎𝑘[𝜆2𝑘𝛾1/(2𝑞)(𝑘)𝐽1/(2𝑞)(𝑝𝑘(−𝑡)𝑞)++𝛾−1/(2𝑞)(𝑘)𝐽−1/(2𝑞)(𝑝𝑘(−𝑡)𝑞)]√−𝑡, 𝑡 < 0,

(7)

где

𝛾1/(2𝑞)(𝑘) =1

2𝑞Γ

(1

2𝑞

)(2

𝑝𝑘

)1/(2𝑞)

,


𝛾−1/(2𝑞)(𝑘) = − 1

2𝑞Γ

(− 1

2𝑞

)(2

𝑝𝑘

)−1/(2𝑞)

.

3. Единственность решения. Пусть 𝑢(𝑥, 𝑡) – решение за-дачи (2)–(5). Рассмотрим функции

𝑢𝑘(𝑡) =√

2

1∫0

𝑢(𝑥, 𝑡) sin𝜋𝑘𝑥 𝑑𝑥, 𝑘 = 1, 2, . . . . (8)

Дифференцируя равенство (8) по 𝑡 при 𝑡 > 0 один раз, апри 𝑡 < 0 дважды учитывая уравнение (1), и интегрируя ин-тегралы содержащие 𝑢𝑥𝑥 , дважды по частям с учетом условий(4), получим 𝑢𝑘(𝑡) ≡ 𝑇𝑘(𝑡) , т.е. 𝑢𝑘(𝑡) определяется формулой(7). Для нахождения постоянных 𝑎𝑘 воспользуемся граничнымусловием (5) и формулой (8). Тогда имеем

𝑎𝑘 =𝜓𝑘

𝜆𝑘Δ(𝑘), (9)

где

Δ(𝑘) = 𝛼𝑞−1[−𝜆2𝑘𝛾1/(2𝑞)(𝑘)𝐽1/(2𝑞)−1(𝑝𝑘𝛼𝑞)+

+ 𝛾−1/(2𝑞)(𝑘)𝐽1−1/(2𝑞)(𝑝𝑘𝛼𝑞)] + 𝜆𝑘𝑒

−𝜆2𝑘𝛽 ∕= 0. (10)

Подставляя 𝑎𝑘 из (9) в формулу (7), получаем окончатель-ный вид функций

𝑢𝑘(𝑡) =

⎧⎨⎩

𝜓𝑘

𝜆𝑘Δ(𝑘)𝑒−𝜆2

𝑘𝑡, 𝑡 > 0,

𝜓𝑘

𝜆𝑘Δ(𝑘)[𝜆2𝑘𝛾1/(2𝑞)(𝑘)𝐽1/(2𝑞)(𝑝𝑘(−𝑡)𝑞)+

+𝛾−1/(2𝑞)(𝑘)𝐽−1/(2𝑞)(𝑝𝑘(−𝑡)𝑞)]√−𝑡, 𝑡 < 0.

Справедливы следующие утверждения.

С.Н.СИДОРОВ 183

Лемма 1. При любом фиксированном 𝛽 > 0 , 𝑏 > 0 и 𝑘 ∈∈ ℕ уравнение Δ(𝑘) = 0 имеет счетное множество нулейотносительно 𝛼𝑞 = 𝛼𝑞/𝑞 .

Пусть теперь при некоторых 𝛼 , 𝛽 , 𝑏 и 𝑘 = 𝑙 нарушеноусловие (10), т.е. Δ(𝑙) = 0 . Тогда однородная задача (2)–(5)(где 𝜓(𝑥) ≡ 0) имеет нетривиальное решение

𝑢𝑙(𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑙(𝑡) sin𝜋𝑙𝑥, (11)

где

𝑢𝑙(𝑡) =

⎧⎨⎩𝑒−𝜆2

𝑙 𝑡, 𝑡 > 0,√−𝑡[𝜆2𝑙 𝛾1/(2𝑞)(𝑙)𝐽1/(2𝑞)(𝑝𝑙(−𝑡)𝑞)++𝛾−1/(2𝑞)(𝑙)𝐽−1/(2𝑞)(𝑝𝑙(−𝑡)𝑞)], 𝑡 < 0.

Теорема 1. Если существует решение 𝑢(𝑥, 𝑡) задачи (2)–(5), то оно единственно только тогда, когда выполнены усло-вия (10) при всех 𝑘 ∈ ℕ .

4. Существование решения.

Лемма 2. Если выполнено одно из условий: 1) 𝛼𝑞 = 𝛼𝑞/𝑞

– любое натуральное число; 2) 𝛼𝑞 = 𝑝/𝑡 – любое дробное чис-

ло, где 𝑝 и 𝑡 – взаимно-простые натуральные числа и1

𝑞∕=

=4𝑟 + 𝑡− 4𝑡𝑑

𝑡, где 𝑑 ∈ ℕ , 𝑟 остаток от деления 𝑘𝑝 на 𝑡 , то

существуют положительные постоянные 𝑘0 ∈ ℕ и 𝐶0 та-кие, что при любых 𝑘 > 𝑘0 и фиксированных 𝑏 > 0 , 𝛽 > 0

справедлива оценка

∣𝑘−1−𝜆Δ(𝑘)∣ ⩾ 𝐶0 > 0, 𝜆 = 1/2 − 1/(2𝑞). (12)


Теорема 2. Если 𝜓(𝑥) ∈ 𝐶1+𝛼[0, 1] , 1 − 𝜆 < 𝛼 <

< 1 , 𝜓(0) = 𝜓(1) = 0 и выполнена оценка (12) при 𝑘 >

> 𝑘0 . Тогда если Δ(𝑘) ∕= 0 при всех 𝑘 = 1, 𝑘0 , то су-ществует единственное решение задачи (2)–(5) и это ре-шение определяется рядом 𝑢(𝑥, 𝑡) =

√2∑+∞

𝑘=1 𝑢𝑘(𝑡) sin𝜋𝑘𝑥 ;если Δ(𝑘) = 0 при некоторых 𝑘 = 𝑘1, ..., 𝑘𝑚 ⩽ 𝑘0 ,то задача (2)–(5) разрешима только тогда, когда выполня-

ются условия ортогональности1∫0

𝜓(𝑥) sin𝜋𝑙𝑥𝑑𝑥 = 0 , 𝑙 =

= 𝑘1, ..., 𝑘𝑚 и решение в этом случае определяется рядом𝑢(𝑥, 𝑡) =

(∑𝑘1−1𝑘=1 + . . . +

∑𝑘𝑚−1𝑘=𝑘𝑚−1+1 +

∑∞𝑘=𝑘𝑚+1

)𝑢𝑘(𝑡) sin𝜋𝑘𝑥+

+∑

𝑙𝐴𝑙𝑢𝑙(𝑥, 𝑡) , где в последней сумме 𝑙 принимает значения𝑘1, 𝑘2, ..., 𝑘𝑚 , 𝐴𝑙 – произвольные постоянные, 𝑢𝑙(𝑥, 𝑡) опреде-ляются по формуле (11).


1. СабитовК. Б. Задача Трикоми для уравнения смешанногопараболо-гиперболического типа в прямоугольной области //Мат. заметки. – 2009. – Т. 86. – Вып. 2. – С. 273–279.

2. СабитовК. Б., РахмановаЛ. Х. Начально-граничная зада-ча для уравнения смешанного параболо-гиперболического типав прямоугольной области // Дифференц. уравнения. – 2008. –Т. 44. – № 9. – С. 1175–1181.

3. СабитовК. Б. Начально-граничная задача для параболо-гиперболического уравнения со степенным вырождением напереходной линии // Дифференц. уравнения. – 2011. – Т. 47. –С. 1–8.

4. СабитовК. Б. Нелокальная задача для уравненияпараболо-гиперболического типа в прямоугольной обла-сти // Мат. заметки. – 2011. – Т. 89. – Вып. 4. – С. 596–602.

Е.Ю.СМОЛЬКИН 185

Е.Ю.Смолькин

Пензенский Государственный Университет,[email protected]

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ TE-ВОЛН В КРУГЛОМ

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ,ЗАПОЛНЕННОМ НЕЛИНЕЙНОЙ

НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДОЙ

1.Постановка задачиРассмотрим трехмерное пространство ℝ3 с введенной ци-

линдрической системой координат 𝑂𝜌𝜑𝑧 . Это пространство за-полнено изотропной средой без источников с диэлектрическойпроницаемостью 𝜀3 = const . В эту среду помещен цилиндриче-ский диэлектрический волновод с образующей, параллельнойоси 𝑂𝑧 , и круговым поперечным сечением 𝑊 = {𝑥 : 0 < 𝑥2 +

+ 𝑦2 < 𝑅22} .

Электромагнитное поле E , H удовлетворяет системе урав-нений Максвелла:

rotH = −𝑖𝜔E, rotE = −𝑖𝜇H, (1)

условиям непрерывности касательных составляющих полей E ,H на границах раздела сред 𝜌 = 𝑅1 и 𝜌 = 𝑅2 , и условию из-лучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненци-ально затухает при 𝜌→ ∞ .

Пусть диэлектрическая проницаемость 𝜀 определяется сле-дующим образом: 𝜀 = 𝜀1𝜀0, 0 < 𝜌 < 𝑅1, (𝜀(𝜌) +

+ 𝛼∣E∣2)𝜀0, 𝑅1 < 𝜌 < 𝑅2, 𝜀3𝜀0, 𝜌 > 𝑅2, где 𝜀3, 𝜀1 –вещественные положительные постоянные. Среда предполага-ется изотропной и немагнитной, во всем пространстве полагаем𝜇 = 𝜇0 .

186 Е.Ю.СМОЛЬКИН

Решение уравнений Максвелла ищется во всем простран-стве.

В случае ТЕ-поляризации имеем E = (0, 𝐸𝜑, 0)𝑇 , H =

= (𝐻𝜌, 0,𝐻𝑧)𝑇 . Из уравнений Максвелла получаем:(1

𝜌(𝜌𝑢′)

)′+ (𝑘20𝜀− 𝛾2)𝑢 = 0, (2)

где 𝜀 = 𝜀3𝜀 , 𝜀0, 𝜇0 – диэлектрическая и магнитная проницае-мости свободного пространства.

В области 𝜌 < 𝑅1 , учитывая, что 𝜀 = 𝜀1𝜀0 , получаем 𝑢 =

= 𝐶1𝐼1(𝑘1𝜌) , где 𝑘21 = 𝛾2 − 𝑘20𝜀1 . В области 𝜌 > 𝑅2 , учитывая,что 𝜀 = 𝜀3𝜀0 , получаем 𝑢 = 𝐶4𝐾1(𝑘3𝜌) , где 𝑘23 = 𝛾2 − 𝑘20𝜀3 .Здесь функции 𝐼1 и 𝐾1 – функции Бесселя мнимого аргумента(модифицированные функции Бесселя), 𝐶1 и 𝐶4 – константы.Условия излучения выполняются, потому что 𝐾1(∣𝑘1∣𝜌) → 0

экспоненциально, при 𝜌→ ∞ .Внутри волновода 𝑅1 < 𝜌 < 𝑅2 , где 𝜀 = (𝜀(𝜌)+𝛼∣E∣2)𝜀0 , по-

лучаем нелинейное дифференциальное уравнение второго по-рядка:

𝑢′′ +1

𝜌𝑢′ − 1

𝜌2𝑢+ 𝑘2(𝜌)𝑢+ 𝛼𝑢3 = 0, 𝑅1 < 𝜌 < 𝑅2, (3)

где 𝛼 = 𝛼𝜔2𝜇 , 𝑘2(𝜌) = 𝑘22(𝜌) − 𝛾2 , 𝑘22(𝜌) = 𝑘20𝜀(𝜌) .Условия сопряжения на поверхности волновода преобразу-

ется к виду

[𝑢]𝜌=𝑅1 = [𝑢]𝜌=𝑅2 = 0, [𝑢′]𝜌=𝑅1 = [𝑢′]𝜌=𝑅2 = 0. (4)

2. Дисперсионное уравнение Считая постоянную 𝐶1 за-данной и равной единице, получаем дисперсионное уравнение

Δ(𝛾) = 𝑢(𝑅2 − 0)𝐾 ′1(𝑘3𝑅2) − 𝑢′(𝑅2 − 0)𝐾1(𝑘3𝑅2).

Е.Ю.СМОЛЬКИН 187

Определение. Число 𝛾 = 𝛾 , при котором существуетненулевые решения 𝑢(𝜌) системы уравнений (1), удовлетво-ряющие условиям сопряжения(4), будем называть собствен-ным значением рассматриваемой задачи. Функции 𝑢(𝜌) , ко-торые соответствуют найденному собственному значениюбудем называть собственными функциями задачи.

Сформулируем теперь краевую задачу на собственные зна-чения, к которой свелась исходная задача о распространяю-щихся поверхностных волнах цилиндрического волновода (за-дача Р). Требуется отыскать ненулевую функцию 𝑢(𝜌) и соот-ветствующие собственные значения 𝛾 такие, что 𝑢(𝜌) удовле-творяет уравнениям условиям сопряжения (4).

3. Численные результаты Численные результаты полу-чены для следующих функции 𝜀(𝜌) , задающих диэлектриче-скую проницаемость 𝜀 = 𝜀(𝜌) + 𝛼𝑢2 в слое 𝑅1 < 𝜌 < 𝑅2 :

1. 𝜀(𝜌) = 𝜀2 ;2. 𝜀(𝜌) = 𝜀2 + 1

𝜌 ;3. 𝜀(𝜌) = 𝜀2 + 𝜌 ;4. 𝜀(𝜌) = 𝜀2 + 𝜌2 ,

где 𝜀2 – вещественная положительная постоянная.


1. SchurmannH.W., SerovV. S., ShestopalovYu.V. TE-polarized Waves Guided by a Lossless Nonlinear Three-layerStructure // Phys. Rev. E. – 1998. – V. 58. – № 1. – P. 1040–1050.

2. ВаловикД. В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое из нелинейного метаматериала // Радиотехникаи электроника. – 2011. – Т. 56. – № 5. – с 589–599.

188 Д.О.СОКОЛОВ,Д.В.КАПИТАНОВ

Д. О.Соколов,Д.В. Капитанов

Нижегородский государственный университетим.Н.И.Лобачевского,[email protected]

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПРЯМОГОТРУБОПРОВОДА С ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ

В СЛУЧАЯХ ШАРНИРНОГО И КОНСОЛЬНОГОЗАКРЕПЛЕНИЯ

Изучение проблем, связанных с механическим взаимодей-ствием элементов конструкции с жидкостью, характерно длясовременного развития техники и, в частности, машинострое-ния. Это обусловлено тем, что для конструкции многих машинтипично наличие элементов, обтекаемых потоком жидкости.Решение указанных проблем в значительной мере определяетвыбор оптимальных конструкторских решений, параметров ирежимов эксплуатации. Одной из особенностей механическоговзаимодействия конструкции с жидкостью является заметноеизменение её динамических свойств, а также возникновение ко-лебаний отдельных элементов, приводящих к разрушению, из-носу или невозможности эксплуатации в некоторых условиях.

В работе исследуется устойчивость шарнирного и консоль-но закреплённого трубопровода с потоком жидкости как ти-пичной гидроупругой системы в зависимости от скорости.

Рассматриваются малые низкочастотные плоские изгиб-ные колебания прямого однородного трубопровода с учётомвнутреннего потока несжимаемой жидкости. Уравнения дви-жения выводятся с использованием принципа Гамильтона-Остроградского, обобщённого на случай переменных масс [1].

Используется точная формулировка проблемы собствен-

Д.О.СОКОЛОВ,Д.В.КАПИТАНОВ 189

ных значений. В результате задача с учётом краевых условийсводится к системе из десяти нелинейных уравнений с деся-тью неизвестными. Решение проводится численно с помощьюразработанного с использованием метода Ньютона алгоритма.Рассчитываются годографы собственных значений в зависи-мости от скорости жидкости. В качестве начальных берутсязначения, приведённые в литературе для ненагруженного пря-мого стержня [2], а в дальнейшем – значения, полученные напредыдущем шаге. Особенностью исследования является то,что разработанный подход позволяет получить точное реше-ние задачи, так как не ограничивается традиционным учётомтолько небольшого числа низших форм колебаний.

В качестве примера применения и тестирования подхода иреализующего его алгоритма численного исследования приве-дены результаты исследования классической задачи неконсер-вативной упругой устойчивости для случая консольного стерж-ня со следящей силой на свободном конце и сжатого шарнир-ного стержня. Исследования показали, что результаты согла-суются с известными из литературы [3, 4]. В случае консоль-ного стержня обнаружен известный эффект дестабилизации отвнутреннего трения и продемонстрирован парадокс Циглера.


1. ФроловК. В. и др. Динамика конструкций гидроаэро-упругих систем. – М.: Наука, 2002. – 397 с.

2. ЦейтлинА.И. Справочник по динамике сооружений. –М.: Стройиздат, 1972. – 511 с.

3. БолотинВ. В. Неконсервативные задачи теории упругойустойчивости. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961.

4. ПановкоЯ. Г., ГубановаИ. И. Устойчивость и колебания

190 Л.У.СУЛТАНОВ, Р.Л.ДАВЫДОВ

упругих систем: Современные концепции, ошибки и парадок-сы. – 3-е изд., перераб. – М.: Наука, 1979.

Л.У.Султанов, Р.Л.Давыдов


ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЕЧНЫХУПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Настоящая работа посвящена разработке и числен-ной реализации методики исследования напряженно-деформированного состояния упругопластических тел сучетом больших деформаций. Используется процедурапошагового нагружения с итерационным уточнением дефор-мированного состояния. Пространственная дискретизацияоснована на методе конечных элементов (МКЭ).

1. Постановка задачи. В качестве тензоров, описываю-щих деформацию и скорость деформации используются левыйтензор Коши-Грина (𝐵) , тензор пространственного градиентаскорости (ℎ) , тензор деформации скорости (𝑑) . Напряженноесостояние описывается с помощью тензора истинных напря-жений (Σ) , определенного в актуальном состоянии. Вводитсяудельная потенциальная энергия деформации, которая зависитот левого тензора Коши-Грина 𝑊 = 𝑊 (𝐵) , тогда тензор на-пряжений Коши-Эйлера будет выражаться в следующем виде:

(Σ) =2

𝐽(𝐵) ⋅

(∂𝑊

∂𝐵

). (1)

Здесь 𝐽 – относительное изменение объема.

Л.У.СУЛТАНОВ, Р.Л.ДАВЫДОВ 191

2. Алгоритм расчета. Для соотношения (1), получено фи-зическое соотношение в упругой области в виде зависимостипроизводной Трусделла тензора напряжений от деформациискорости: (

Σ𝑇𝑟)

= (ΛΣ) ⋅ ⋅ (𝑑𝑒) .Для решения нелинейной задачи используется инкременталь-ный метод. В качестве базового уравнения используется урав-нение виртуальных мощностей:∫

Ω

(Σ) ⋅ ⋅(𝛿𝑑)𝑑Ω =

∫Ω

𝑓 ⋅ 𝛿��𝑑Ω +

∫𝑆𝜎

𝑝 ⋅ 𝛿��𝑑𝑆

В рамках теории течения используются аддитивное представ-ление для полной деформации скорости, т. е.(𝑑) = (𝑑𝑒) + (𝑑𝑝) .Предполагается справедливость ассоциированного закона те-чения: (𝑑𝑝) = 𝜆′

(∂Φ∂Σ

), где 𝜆′ – скорость пластических дефор-

маций. Используется метод проецирования напряжений на по-верхность текучести. Перейдя в определяющих соотношенияхи линеаризованном уравнении к приращениям, составлено раз-решающая система линейных уравнений. Численная реализа-ция основана на методе конечных элементов.

3. Численный пример. Рассмотрено следующее выраже-ние потенциала упругих деформаций:

𝑊 =𝜆+ 2𝜇

8(𝐼1𝐵 − 3)2 + 𝜇 (𝐼1𝐵 − 3) − 𝜇

2(𝐼2𝐵 − 3) .

Используется критерий пластического деформированияГубера-Мизеса с упрочнением. В качестве численного примерарассматривается задача растяжения круглого стержня собразованием шейки.

Таким образом, в работе построена методика численногоисследования упругопластических тел, для которых физиче-ские соотношения задаются с помощью упругого потенциала.

192 Л.У.СУЛТАНОВ, Л.Р.ФАХРУТДИНОВ

Получены линеаризованные определяющие соотношения и раз-решающее уравнение. Численная реализация основана на мето-де конечных элементов на базе восьмиузлового полилинейногоэлемента. Решенные задачи демонстрируют работоспособностьполученной методики.


1. ГоловановА.И., СултановЛ. У.Математические моделивычислительной нелинейной механики деформируемых сред. –Казань: Казанск. гос. ун-т, 2009. – 465 с.

2. Bonet J., Wood R. D. Nonlinear continuum mechanics forfinite element analysis. – 1997. – 283 p.

Л.У.Султанов, Л.Р.Фахрутдинов


ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ БОЛЬШИХДЕФОРМАЦИЙ ГИПЕРУПРУГИХ ТЕЛ

Гиперупругие материалы или эластомеры получили широ-кое применение благодаря тому, что они допускают большиедеформации, сохраняя при этом упругие свойства. С точки зре-ния МДТТ речь идет о нелинейно упругих телах, при деформи-ровании которых необходимо учитывать геометрическую нели-нейность в рамках больших деформаций.

Базовым тензором, играющим ключевую роль в кинемати-ке конечных деформаций, является тензор градиента дефор-маций (𝐹 ) .

Л.У.СУЛТАНОВ, Л.Р.ФАХРУТДИНОВ 193

В качестве тензоров, описывающих деформацию и скоростьдеформации используются:– левый тензор Коши-Грина (мера деформации Фингера):

(𝐵) = (𝐹 ) ⋅ (𝐹 )𝑇 ;

– тензор пространственного градиента скорости:

(ℎ) =(��)⋅ (𝐹−1

);

– тензор деформации скорости:

(𝑑) = 12

[(ℎ) + (ℎ)𝑇

]= 1

2

[(��)⋅ (𝐹−1

)+(𝐹−1

)𝑇 ⋅(��)𝑇]

.

Напряженное состояние описывается с помощью тензора ис-тинных напряжений (Σ) , определенного в актуальном состоя-нии.

Вводится функция потенциальной энергии деформации:

𝑊 = 𝑊0(𝐽) +𝑊 ′(𝐼1𝐵, 𝐼

2𝐵).

Тензор напряжений Коши-Эйлера выражается в виде:

(Σ) = 2𝐽 (𝐵) ⋅ (∂𝑊∂𝐵 ) .

Скорости изменения напряжений Коши-Эйлера:

(ΔΣ) = (ΛΣ) ⋅ ⋅ (𝑑) + (ℎ) ⋅ (Σ) + (Σ) ⋅ (ℎ)𝑇 − (Σ) 𝐼1𝑑,

где введено обозначение:

(ΛΣ) = (ΛΣ′) + (Λ𝜎0) ,

(ΛΣ′) = 4𝐽 (𝐵) ⋅

(∂2𝑊 ′∂𝐵∂𝐵

)⋅ (𝐵) ; (Λ𝜎0) = 4

𝐽 (𝐵) ⋅(

∂2𝑊0∂𝐵∂𝐵

)⋅ (𝐵) .

Для решения задачи используется метод последовательных на-гружений. В качестве базового уравнения используется урав-нение виртуальных мощностей в актуальном состоянии:

194 Л.У.СУЛТАНОВ, Л.Р.ФАХРУТДИНОВ

∫∫∫Ω𝑘+1

(𝑘+1Σ

) ⋅ ⋅ (𝛿𝑘+1𝑑)𝑑Ω =

∫∫∫Ω𝑘+1

𝑘+1𝑓 ⋅ 𝛿��𝑑Ω +∫∫

𝑆𝜎𝑘+1

𝑘+1��𝑛 ⋅ 𝛿��𝑑𝑆

Переходя в этом уравнении к приращениям, получим выра-жение для определения вектора перемщений на текущем шагеΔ𝑘�� = Δ𝑘𝑥𝑖��𝑖 , который определяет конфигурацию: 𝑘+1�� =

= 𝑘�� + Δ�� и напряженное состояние находится по соотноше-нию: (

𝑘+1Σ)

= 2𝐽

(𝑘+1𝐵

) ⋅ ( ∂𝑊∂𝑘+1𝐵

).

Таким образом, получена система уравнений для определениянапряженного состояния. Эта система может быть дискретизи-рована методом конечных элементов для получения численныхрешений.


1. ГоловановА.И., Коноплев Ю. Г., Кузнецов С. А., Сул-тановЛ. У. Численное моделирование больших деформацийнеупругих трехмерных тел // Наукоемкие технологии. –2004. – Т. 5. – № 4. – С. 52–60.

2. ГоловановА.И., СултановЛ. У. Численное исследованиебольших упругопластических деформаций трехмерных тел// Прикладная механика. – Киев. – 2005. – Т. 41. – № 6. –С. 36–43.

3. ГоловановА.И., СултановЛ.У. Исследование закритиче-ского упругопластического состояния трехмерных тел с уче-том конечных деформаций // Изв. вузов. Авиационная техни-ка. – 2008. – № 4. – С. 13–16.

4. ГоловановА.И., СултановЛ. У. Математические моделивычислительной нелинейной механики деформируемых сред.// Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2009. – 465 c.

М.В.СУРКОВА 195

М.В. Суркова

Государственное бюджетное образовательное учреждениесреднего профессионального образования Пензенской области

“Белинский многопрофильный колледж”,[email protected]

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИКТ В УСЛОВИЯХДОШКОЛЬНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО

УЧРЕЖДЕНИЯ

В настоящее время в нашей стране реализуется Стратегииразвития информационного общества, которая связана с до-ступностью информации для всех категорий граждан и орга-низацией доступа к этой информации. В Белинском многопро-фильном колледже с апреля 2012 года открылась детская сту-дия “В гостях у сказки”. Использование ИКТ на занятиях да-ёт педагогам возможность моделировать различные ситуации;осуществлять контроль и подводить итоги. Оценка результа-тов деятельности ребенка осуществляется с помощью мульти-пликационных образов, заведомо исключается отрицательнаяоценка с целью создания ситуации успеха и формирования удетей положительного настроя на преодоление затруднений.

Каковы же основные направления развития ИКТ для дет-ской студии? 1. Использование компьютера с целью приобще-ния детей к современным техническим средствам передачи ихранения информации, что осуществляется в различных иг-ровых технологиях. Это различные компьютерные игры - “иг-рушки”: развлекательные, обучающие, развивающие, диагно-стические, сетевые игры. В работе с дошкольниками педаго-ги студии используют в основном развивающие, реже обуча-ющие и диагностические игры. 2. ИКТ как средство интер-

196 М.В.СУРКОВА

активного обучения, которое позволяет стимулировать позна-вательную активность детей и участвовать в освоении новыхзнаний. Речь идет о созданных педагогами играх, которые со-ответствуют программным требованиям. Эти игры предназна-чены для использования на занятиях с детьми. Интерактивныеигровые средства позволяет создавать программа PowerPoint.3. Разработка технологии с включением ИКТ которая базиру-ется на комплексных (интегрированных) занятиях (досугах).Технология разрабатывается по какой-либо из образователь-ных областей (музыка, художественная литература, познание).Занятия включают в себя разнообразную продуктивную дея-тельность детей на основе ФГТ. 4. ИКТ как средство АСУ (встадии разработки). Данная технология необходима для осу-ществления идеи сетевого управления, организации педагоги-ческого процесса, методической службы, она поможет обеспе-чить планирование, контроль, мониторинг, координацию рабо-ты педагогов, специалистов, медиков. В этом случае исполь-зование ИКТ способствует оптимизации деятельности, повы-шению эффективности в условиях инклюзивного обучения ивоспитания дошкольников, расширению границ образователь-ного пространства за счет активного включения родителей идетей, не посещающих детский сад.

Между тем при реализации ИКТ у нас возник ряд проблем,решение которых является предметом исследования.

При внедрении ИКТ как “игрушки” встают следующие во-просы: сколько времени ребенок находится за компьютером,влияние игры на состояние психического и физического здоро-вья, искусственная “аутизация” и отказ от коммуникативныхотношений, возникновение ранней компьютерной зависимости.

При внедрении компьютерных технологий обучения в сту-

М.В.СУРКОВА 197

дии возникают трудности экономического характера: не хва-тает средств на техническое оснащение помещений, созданиелокальной сети внутри учреждения, осуществление необходи-мой технической поддержки, приобретения лицензионного про-граммного обеспечения и прикладных программных средств.

Остается актуальной проблема профессиональной компе-тенции педагогов: необходимо уметь не только пользоватьсясовременной техникой, но и создавать собственные образова-тельные ресурсы, быть грамотным пользователем сети Интер-нет. Однако, наш опыт показывает, что периодическое исполь-зование ИКТ, а именно дозированное педагогом использованиеразвивающих игр способствует развитию у детей волевых ка-честв, приучает к “полезным” играм. Дети, знакомые с развива-ющими играми, предпочитают их “стрелялкам” и “бродилкам”.Опасно зацикливание ребенка на компьютерной игре. Коллек-тивное участие в игре помогает избежать данной зависимости.Интерактивная доска позволяет ребенку как бы увидеть себясо стороны, наблюдать за действиями партнеров по игре. Детипривыкают оценивать ситуацию, не погружаясь полностью ввиртуальный мир один на один с компьютером. Учеными от-мечается развивающая роль компьютерно-игрового комплексав детском саду в работе с детьми начиная с пяти лет. Подчер-кивается, что как бы мы не относились к проблеме, “инфор-матизация общества ставит перед педагогами-дошкольникамизадачу стать для ребенка проводником в мир новых техноло-гий, наставником в выборе компьютерных игр и сформироватьосновы информационной культуры личности ребенка”. придер-живаемся Таким образом, мы придерживаемся точки зрения,что при грамотном использовании технических средств, приправильной организации образовательного процесса компью-

198 М.В.СУРКОВА

терные программы для дошкольников могут широко исполь-зоваться на практике без риска для здоровья детей. В настоя-щее время основная задача развития ИКТ не только в студии,но и во всех ДОУ – это создание образовательных комплек-сов как средства обучения и как компонента воспитательно-образовательной системы ДОУ в соответствии с ФГТ. Пре-имущества данных образовательных комплексов в том, чтоони включают в себя средства для образования, воспитанияи развития детей, позволяют эффективно проводить монито-ринг усвоения образовательной программы. Таким образом, ис-пользование ИКТ способствует повышению качества образова-тельного процесса: педагоги получают возможность професси-онального общения в широкой аудитории пользователей сетиИнтернет, повышается их социальный статус. ИспользованиеЭОР в работе с детьми служит повышению познавательноймотивации воспитанников, соответственно наблюдается ростих достижений, ключевых компетентностей. Родители, отме-чая интерес детей к занятиям в студии, стали уважительнееотноситься к воспитателям, прислушиваются к их советам, ак-тивнее участвуют в групповых проектах.

А.В.ТАРАСЕНКО 199

А.В.Тарасенко


ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ С ОПЕРАТОРОМ ДРОБНОГОИНТЕГРИРОВАНИЯ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

В КРАЕВОМ УСЛОВИИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГОУРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В работе [1] изучалась краевая задача для нагруженно-го уравнения теплопроводности, где в качестве нагрузки ис-пользовался оператор дробного дифференцирования Римана-Лиувилля порядка 𝛼 .

В настоящей работе рассмотрена аналогичная задача длянагруженного уравнения теплопроводности, но роль нагруз-ки выполняет оператор дробного интегрирования Римана-Лиувилля порядка 𝛼 .

Рассмотрим нагруженное дифференциальное уравнениетеплопроводности

𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢(0, 𝑡) (1)

в односвязной области Ω = {(𝑥, 𝑡) : 0 < 𝑥 < 𝑙, 0 < 𝑡 < 𝑇}

Рис. 1

200 А.В.ТАРАСЕНКО

(рис. 1), где 𝑙, 𝑇 – заданные положительные действительныечисла.

Задача. Найти в области Ω регулярное решение урав-нения (1) из класса 𝐶(Ω) ∩ 𝐶1(Ω ∪ (0, 𝑇 )) , удовлетворяющееследующим условиям:

𝑢(𝑥, 0) = 𝜑(𝑥), 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 𝑙; (2)

𝑢𝑥(0, 𝑡) − 𝐼𝛼0+𝑢(0, 𝑡) = −𝜇(𝑡), 0 < 𝑡 < 𝑇 ; (3)

𝑢(𝑙, 𝑡) = 𝜑1(𝑡), 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝑇, (4)

где 𝜑(𝑥) ∈ 𝐶1[0, 𝑙] , 𝜑1(𝑡) ∈ 𝐶1[0, 𝑇 ] , 𝜇(𝑡) ∈ 𝐶1[0, 𝑇 ] , 𝜑′(0) = −

−𝜇(0) , 𝜑1(0) = 𝜑(𝑙) , 𝜑(0) = 0 , 𝜑(𝑙) = 0 ; (𝐼𝛼0+𝑓)(𝑥) – оператордробного интегрирования Римана-Лиувилля порядка 𝛼 , имею-щий вид

(𝐼𝛼0+𝑓

)(𝑥) =

1

Γ(𝛼)

𝑥∫0

(𝑥− 𝑡)𝛼−1𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 (𝛼 > 0, 𝑥 > 0).

С использованием свойств функции Грина смешанной крае-вой задачи и краевое условие (3), поставленная задача сводитсяк интегральному уравнению вольтерровского типа относитель-но следа искомой функции 𝑢(0; 𝑡) . Полученное уравнение явля-ется интегральным уравнением Вольтерра второго рода со сла-бой особенностью в ядре ([2]), которое однозначно и безусловноразрешимо. Основной результат можно сформулировать в видетеоремы.

Теорема. Если 0 < 𝛼 < 12 , тогда задача (1)-(4) разрешима

в указанном классе функций и притом единственным образом.

А.А.ТАРАСОВА, Е.Ю.ЛИННИК 201


1. КерефовА. А., Кумышев Р.М. О краевых задачах длянагруженного уравнения теплопроводности // Доклады Ады-гейской международной академии наук. – Нальчик, 1996. –Т. 2. – № 1. – С. 13–15.

2. МанжировА. В., Полянин А.Д. Справочник по интег-ральным уравнениям: Методы решения. – М.: ФакториалПресс, 2000. – 384 с.

А.А. Тарасова, Е. Ю.Линник

НИИМ Нижегородского университетаим. Н.И. Лобачевского,

[email protected]

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСШИРЕНИИСФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В ГРУНТОВОЙ

СРЕДЕ

Приводится обобщение полученного ранее [1, 2] в предполо-жении несжимаемости среды за фронтом ударной волны ана-литического решения задачи о расширении сферической поло-сти из точки в безграничной грунтовой среде, которая харак-теризуется известной ударной адиабатой и кусочно-линейнойзависимостью предела текучести от давления. Подобная поста-новка является достаточной для описания динамической сжи-маемости и сопротивления сдвигу мягких грунтовых сред. По-лученное решение может послужить основой для многих прак-тических приложений, связанных с решением задач удара ипроникания тел в грунты на основе моделей локального взаи-модействия.

202 А.А.ТАРАСОВА, Е.Ю.ЛИННИК

Движение грунтовой среды в области пластического те-чения описываются уравнениями неразрывности и измененияколичества движения в эйлеровых переменных (сферическаясимметрия) [3]. Для решения задачи в данной постановкевводятся безразмерные переменные. Система принимает видобыкновенных дифференциальных уравнений и решается чис-ленно.

При высоких скоростях расширения полости и высоких дав-лениях изменение 𝜃 . Рассматривается приближение к полу-ченной системе в предположении несжимаемости за фронтомударной волны ∂𝜃

∂𝜉 = 0 , записанное относительно безразмерныхскорости 𝑈 и напряжения 𝑆 = 𝜎

𝜌𝑐2:{

𝑈 ′ + 2𝑈𝜉 = 0,

𝑆′ + 2𝑓2𝜉 = (𝜉 − 𝑈)𝑈 ′,

где 𝑓2 = 𝑓2𝜌𝑐2

– условие пластичности, 𝜌 = 𝜌01−𝜃 – плотность на

ударной волне. Приняв условие пластичности грунтовой сре-

ды в виде [3]: 𝑓2(𝜃) =

{𝜏0 + 𝜇𝜎, 0 < 𝜎 ⩽ 𝜎𝑚,

𝜏𝑚, 𝜎 > 𝜎𝑚,получим реше-

ние аналитически. Окончательно решение системы замыкаетсявыражением для 𝑓1 , определяющим сжимаемость среды, кото-рое позволяет получить уравнение для определения скоростипластической волны c и связанной с ней величины 𝜀0 . Динами-ческая сжимаемость грунтовой среды характеризуется ударнойадиабатой в виде линейного соотношения 𝑐 = 𝐴+ 𝜆𝑈 .

Рассмотрим так же линейное приближение к с с примене-нием разложения в ряд Тейлора: 𝑐 = 𝜆1/3𝑉0 +𝐴/3 .

Сравнением с результатами численных расчетов в полнойпостановке показана близость указанных решений при сверх-звуковых скоростях расширения полости с учетом внутреннеготрения.

А.А.ТАРАСОВА, Е.Ю.ЛИННИК 203

Автор выражает благодарность В. Л. Котову за постановкузадачи и обсуждение результатов работы.

Работа выполнена при финансировании в рамках програм-мы Президента Российской Федерации для государственнойподдержки коллективов ведущих научных школ России (НШ-2843.2012.8), Федеральной целевой программы “Научные инаучно-педагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 годы, а также РФФИ (проект № 10-08-00376-а).


1. ТарасоваА.А. Решение задачи о расширении сферическойполости в упругопластической сжимаемой среде // Тр. Ма-тем. центра им. Н. И. Лобачевского. – Казань: Изд-во Казанск.матем. общ-ва, 2010. – T. 40. – C. 322–326.

2. КотовВ. Л. Анализ приближенных решений задачи о рас-ширении сферической полости в грунтовой среде // Проблемыпрочности и пластичности. – 2011. – № 73 – C. 58–63.

3. БаженовВ., Котов В. Математическое моделированиепроцессов удара и проникания осесимметричных тел и иден-тификация свойств грунтовых сред. – М.: Физматлит, 2011. –208 c.

204 И.В.ТЕСТОВА, В.Н.ПОПОВ

И.В. Тестова, В. Н.Попов

Северный (Арктический) федеральный университетимени М.В. Ломоносова,

[email protected], [email protected]

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИО ТЕЧЕНИИ КУЭТТА

В рамках кинетического подхода построено аналитическое(в виде ряда Неймана) решение задачи о течении Куэтта. В ка-честве основного уравнения, описывающего кинетику процес-са, используется БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модель кинети-ческого уравнения Больцмана, а в качестве граничного условияна стенках канала – модель диффузного отражения. При усло-вии, что скорость движения стенок канала много меньше ско-рости распространения звука в газе, функцию распределениямолекул газа по координатам и скоростям можно линеаризо-вать относительно абсолютного максвеллиана. В этом случаенахождение линейной к абсолютному максвеллиану поправки𝑍(𝑥, 𝜇) сводится к решению уравнения [1]

𝜇∂𝑍

∂𝑥+ 𝑍(𝑥, 𝜇) =

1√𝜋

∞∫−∞

exp(−𝜏2)𝑍(𝑥, 𝜏) 𝑑𝜏 (1)

с граничными условиями

𝑍(±𝑑,∓𝜇) = ∓2𝑈, 𝜇 > 0. (2)

Общее решение (1) найдено в пространстве обобщенныхфункций. Подстановка в граничные условия (2) общего ре-шения приводит к системе двух связанных сингулярных ин-тегральных уравнений с ядром типа Коши, которые после пре-образования сводятся к краевой задаче Римана на действи-

И.В.ТЕСТОВА, В.Н.ПОПОВ 205

тельной положительной полуоси. Коэффициенты в разложе-нии решения уравнения (1) по собственным векторам дискрет-ного спектра находятся из условия резрешимости построеннойкраевой задачи Римана. Использование формул Сохоцкого-Племеля для нахождения коэффициентов в разложении реше-ния (1) по собственным векторам непрерывного спектра при-водит к интегральному уравнению Фредгольма второго рода,решение которого ищется в виде степенного ряда. С учетомнайденной функции распределения молекул газа построен про-филь массовой скорости газа в канале, вычислены приходящи-еся на единицу ширины канала значения потоков массы газаи тепла через верхнюю половину канала и отличная от нулявеличина компонента тензора вязких напряжений. Проведенчисленный анализ полученных выражений. Показано, что по-лученные результаты с высокой степенью точности совпадаютс аналогичными результатами, полученными использованиемметодов прямого численного моделирования.


1. ПоповВ. Н., ТестоваИ. В., ЮшкановА.А. Аналитиче-ское решение задачи о течении Куэтта в плоском канале сбесконечными параллельными стенками // Журнал техниче-ской физики. – 2011. – Т. 81. – № 1. – C. 53–58.

206 Д.А.ТУКМАКОВ

Д.А. Тукмаков

Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН,[email protected]

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИГАЗОВЗВЕСИ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ

ДВУХСКОРОСТНОГО ДВУХТЕМПЕРАТУРНОГОМОНОДИСПЕРСНОГО АЭРОЗОЛЯ

Процесс движения газовзвеси во многом определяется инер-ционностью дисперсной фазы, вследствие чего динамическиепроцессы в газовзвесях сопровождаются эффектами, обуслов-ленными межфазным взаимодействием. Рассмотрим задачу ораспаде разрыва давления в газовзвеси. Для описания движе-ния применим систему уравнений бесстолкновительной дина-мики монодисперсной двухтемпературной двухскоростной сре-ды без фазовых переходов [1]. Моделирование распада разрывадавления в монодисперсной газовзвеси выполнялось при раз-личных величинах интенсивности разрыва, объемного содер-жания и плотности дисперсной фазы, а также при различныхразмерах частиц. Перечисленные выше параметры изменяютскорость распространения ударной волны в несущей среде и ееформу. В данном случае интерес представлял эффект релакса-ции интенсивности остаточного скачка давления, образующем-ся на месте поверхности разрыва в газовзвеси. В чистом газеэффект релаксации остаточного скачка давления отсутствует.В качестве несущей среды рассматривался вязкий сжимаемыйтеплопроводный газ, одномерное движение которого описыва-лось системой уравнений Навье-Стокса [1, 2]. Для описаниядвижения дисперсной фазы используются уравнение сохра-нения ее средней плотности, импульса и уравнение сохране-

Д.А.ТУКМАКОВ 207

ния внутренней энергии [1, 2]. Система уравнений двухфазнойдвухскоростной и двухтемпературной газовзвеси записываетсяв безразмерном виде в обобщенных координатах [3, 4].

Система уравнений решалась явным методом Мак-Кормакавторого порядка [3, 4] c последующим применением схемынелинейной коррекции решения [5]. На границах расчетной об-ласти задавались однородные граничные условия второго ро-да для всех газодинамических функций. В начальный моментвремени во внутренних узлах расчетной области определялисьтемпература и плотность неподвижного газа и дисперсной фа-зы. Начальное давление слева от поверхности разрыва равнопроизведению интенсивности разрыва на давление в правойчасти области. Вычислительные эксперименты показали, чтоесли распад разрыва происходит в газовзвеси, то на месте рас-положения начального скачка уплотнения в течение некоторо-го времени сохраняется разрыв давлений, уменьшающийся стечением времени, чего не наблюдается в чистом газе, где дав-ление выравнивается с момента формирования волн сжатияи разряжения. В газовзвеси же остаточный скачок уплотне-ния сохраняется некоторое время после формирования волнсжатия и разряжения. При постоянном объемном содержаниитвердой фракции время релаксации остаточного скачка возрас-тает с уменьшением радиуса частиц и увеличением плотностивещества твердой фазы. Полученная закономерность связана синерционностью дисперсной фазы и характером силового взаи-модействия фаз: при уменьшении радиусов частиц растет инте-гральная площадь контактирующей с газом дисперсной фазыи требуется большее время для преодоления ее инерционно-сти. Работа выполнена в рамках государственного контракта№ 14.740.11.0351 “Механика и теплофизика многофазных по-

208 Г.Ю.УДАЛОВА

токов в энергомашиностроении”.


1. IlgamovM.A., ZaripovR. G., Galiullin R. G., RepinV. B.Nonlinear oscillations of a gas in a tube // Appl. Mech. Rev. –1996. – V. 49. – № 3. – P. 137–154.

2. ТукмаковА.Л. Зависимость механизма дрейфа твер-дой частицы в нелинейном волновом поле от ее постояннойвремени и длительности прохождения волновых фронтов//ПМТФ. – 2011. – № 4. – С. 105–106.

3. ФлетчерК. Вычислительные методы в динамике жид-костей. Т.2. – М.: Мир, 1991. – 551 с.

4. Steger J. L. Implicit Finite-Difference Simulation of Flowabout Arbitrary Two-Dimensional Geometries // AIAA J. –1978. – V. 16. – № 7. – P. 679–686.

5. ЖмакинА. И., ФурсенкоА. А. Об одной монотонной раз-ностной схеме сквозного счета // ЖВМ и МФ. –1980. – Т. 20. –№ 4. – С. 1021–1031.

Г.Ю. Удалова

Самарский государственныйархитектурно-строительный университет,

[email protected]

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯСМЕШАННОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

С УСЛОВИЯМИ ПЕРИОДИЧНОСТИ

Рассмотрим уравнение

∂

∂𝑦(𝐿𝑢) =

∂

∂𝑦

(𝑢𝑥𝑥 + (sgn𝑦)𝑢𝑦𝑦 − 𝑏2𝑢

)= 0 (1)

Г.Ю.УДАЛОВА 209

в прямоугольной области 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∣ 0 < 𝑥 < 1,−𝛼 < 𝑦 < 𝛽} ,где 𝛼 > 0 , 𝛽 > 0 и 𝑏 > 0 – заданные постоянные, и следующуюзадачу.

Задача 1. Найти в области 𝐷 функцию 𝑢(𝑥, 𝑦) , удовлетво-ряющую условиям:

𝑢(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶1(𝐷), 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶1(𝐷); 𝑢𝑥𝑥𝑦, 𝑢𝑦𝑦𝑦 ∈ 𝐶(𝐷− ∪𝐷+);

(2)∂

∂𝑦(𝐿𝑢) = 0, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷− ∪𝐷+;

𝑢(0, 𝑦) = 𝑢(1, 𝑦), 𝑢𝑥(0, 𝑦) = 𝑢𝑥(1, 𝑦), −𝛼 ⩽ 𝑦 ⩽ 𝛽; (3)

𝑢(𝑥,−𝛼) = 𝜓(𝑥), 𝑢(𝑥, 𝛽) = 𝜑(𝑥), 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 1; (4)

𝑢𝑦(𝑥,−𝛼) = 𝑔(𝑥), 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 1, (5)

где 𝜓(𝑥) , 𝜑(𝑥) , 𝑔(𝑥) – заданные достаточно гладкие функции,𝜓(0) = 𝜓(1) , 𝜑(0) = 𝜑(1) 𝜓′(0) = 𝜓′(1) , 𝜑′(0) = 𝜑′(1) , 𝐷− =

= 𝐷 ∩ {𝑦 < 0}, 𝐷+ = 𝐷 ∩ {𝑦 > 0} .Уравнение (1) в области 𝐷 равносильно уравнению сме-

шанного эллиптико-гиперболического типа второго порядка снеизвестной правой частью

𝐿𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) =

{𝑓1(𝑥), 𝑦 > 0,

𝑓2(𝑥), 𝑦 < 0.

Тогда задача 1 сводится к следующей обратной задаче.Задача 2. Найти в области 𝐷 функции 𝑢(𝑥, 𝑦) и 𝑓(𝑥, 𝑦) ,

удовлетворяющие условиям (2), (3) – (5) и, кроме того,

𝐿𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷− ∪𝐷+,

𝑓𝑖(𝑥) ∈ 𝐶(0, 1) ∩ 𝐿2[0, 1], 𝑖 = 1, 2.

210 Г.Ю.УДАЛОВА

Краевые задачи для дифференциальных уравнений в част-ных производных третьего порядка изучались многими авто-рами (см. работы [1–3] и приведенную там библиографию). Вэтой работе, как и в работах [4, 5] предлагается метод реше-ния задачи для дифференциального уравнения третьего по-рядка путем сведения к обратной задаче для уравнения сме-шанного типа второго порядка с неизвестными правыми ча-стями. Аналогично [4–6] методом спектрального анализа дока-зана единственность решения задач, решения построено в видеортогональных рядов. Доказана устойчивость решения по гра-ничным функциям. Оказалось, что разрешимость задач 1 и 2существенным образом зависит от числа 𝛼 .

Теорема 1. Если существует решение задач 1 и 2, то оноединственно тогда и только тогда, когда выполнены условия

Δ𝛼𝛽𝑏(𝑘) = sin𝜆𝑘𝛼 sh𝜆𝑘𝛽+cos𝜆𝑘𝛼 ch𝜆𝑘𝛽−2 cos𝜆𝑘𝛼+1 ∕= 0 (6)

при любом 𝑘 ∈ 𝑁0 . Здесь 𝜆𝑘 =√

2𝜋𝑘 + 𝑏2 .Теорема 2. Если 𝛼 = 𝑝/𝑞 , 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑁 , (𝑝, 𝑞) = 1 , (𝑞, 4) = 1 ,

𝜓(𝑥), 𝜑(𝑥),∈ 𝐶3[0, 1] , 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶2[0, 1] , 𝜓′′(0) = 𝜓′′(1) , 𝜑′′(0) =

= 𝜑′′(1) , 𝑔(0) = 𝑔(1) , 𝑔′(0) = 𝑔′(1) , то при выполнении усло-вий (6) для всех 𝑘 < 𝑘0 существует единственное решениезадачи 2. Если при этом 𝜓(𝑥), 𝜑(𝑥),∈ 𝐶4[0, 1] , 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶3[0, 1] ,𝜓′′′(0) = 𝜓′′′(1) , 𝜑′′′(0) = 𝜑′′′(1) , 𝑔′′(0) = 𝑔′′(1) , то существуетединственное решение задачи 1.

Теорема 3. Если 𝛼 является любым алгебраическим чис-лом степени 𝑛 = 2 , 𝜓(𝑥), 𝜑(𝑥),∈ 𝐶4[0, 1] , 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶3[0, 1] ,𝜓′′(0) = 𝜓′′(1) , 𝜑′′(0) = 𝜑′′(1) , 𝜓′′′(0) = 𝜓′′′(1) , 𝜑′′′(0) = 𝜑′′′(1) ,𝑔(0) = 𝑔(1) , 𝑔′(0) = 𝑔′(1) , 𝑔′′(0) = 𝑔′′(1) , то при 𝛽 > 𝛽0 , 𝑏 < 𝑏0

и при выполнении условий (6) для всех 𝑘 < 𝑘0 существуетединственное решение задачи 2. Если при этом 𝜓(𝑥), 𝜑(𝑥),∈∈ 𝐶5[0, 1] , 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶4[0, 1] , 𝜓𝐼𝑉 (0) = 𝜓𝐼𝑉 (1) , 𝜑𝐼𝑉 (0) = 𝜑𝐼𝑉 (1) ,

Г.Ю.УДАЛОВА 211

𝑔′′′(0) = 𝑔′′′(1) , то существует единственное решение зада-чи 1.


1. БицадзеА. В., СалахитдиновМ. С. К теории уравненийсмешанно-составного типа // Сиб. мат. журн. – 1961. – Т. 11. –№ 1. – С. 7–19.

2. ДжураевТ.Д. Краевые задачи для уравнений смешанно-го и смешанно-составного типов. – Ташкент: Изд-во “ФАН”,1979. – 238 с.

3. КожановА. И. Краевые задачи для неклассических урав-нений математической физики нечетного порядка. – Новоси-бирск: Изд-во НГУ, 1990. – 150 с.

4. СабитовК. Б. Об одной краевой задаче для уравнения сме-шанного типа третьего порядка // ДАН. – 2009. – Т. 427. –№ 5. – С. 593–596.

5. СабитовК. Б. it Задача Дирихле для уравнения смешан-ного типа третьего порядка в прямоугольной области // Диф.уравнения. – 2011. – Т. 47. – № 5. – С. 705–713.

6. УдаловаГ.Ю. Обратная задача для уравнения с операто-ром Лаврентьева-Бицадзе // Докл. АМАН. – 2012. – Т. 14. –№ 1. – С. 98–111.

212 Т.Г.ФЕДОРОВА, А.А.АРТЕМЬЕВА, Е. Г. ГОНИК, А.И.КИБЕЦ, М.В.ПЕТРОВ, Д.В.ШОШИН

Т. Г.Федорова, А. А.Артемьева, Е. Г. Гоник,А. И. Кибец, М. В.Петров, Д.В. Шошин

Нижегородский государственный университет,[email protected]

ЧИСЛЕННОЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГОДЕФОРМИРОВАНИЯ, ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИИ ЗАКРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ОБОЛОЧЕК

ВРАЩЕНИЯ ПРИ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЖЕНИЯХ

Приводятся результаты экспериментальных исследованийи численного решения осесимметричных задач упругопласти-ческого деформирования, потери устойчивости и закритиче-ского поведения цилиндрических и полусферических оболочекпри контактном взаимодействии с жесткими телами в квази-статической и динамической постановках. Для описания дви-жения оболочки применяется текущая лагранжева формули-ровка. Уравнение движения выводится из баланса виртуаль-ных мощностей. В качестве уравнений состояния использу-ются соотношения теории течения с кинематическим и изо-тропным упрочнением. Контактное взаимодействие жесткоготела и оболочки моделируется исходя из условия непроника-ния. Для дискретизации определяющей системы уравнений попространственным переменным применяется метод конечныхэлементов, а дискретизация по времени базируется на явнойконечно-разностной схеме типа “крест” [1, 2]. Деформируемаяконструкция заменяется лагранжевой сеткой, состоящей из 8 –узловых конечных элементов. В узлах сетки определяются пе-

Т.Г.ФЕДОРОВА, А.А.АРТЕМЬЕВА, Е. Г. ГОНИК, А.И.КИБЕЦ, М.В.ПЕТРОВ, Д.В.ШОШИН 213

ремещения, скорости и ускорения в общей системе координат,используемой для стыковки конечных элементов. В каждомэлементе вводится локальный прямоугольный базис [1], отсле-живающий его вращение как жесткого целого. Скорости де-формаций аппроксимируются в локальном базисе линейнымифункциями в виде суммы безмоментных и моментных состав-ляющих, как это принято в теории оболочек типа Тимошенко.Численная схема для определения контактного давления и ста-тически эквивалентных ему узловых сил приведена в [2]. Длясглаживания нефизических осцилляций численного решенияприменяется процедура консервативного сглаживания [3]. Из-ложенная конечно-элементная методика реализована в рамкахвычислительной системы (ВС) “Динамика –3” [4].

Для верификации методики [1–4] рассмотрен изгиб тонко-стенной оболочки вращения,заполненной металлическим по-рошком. В численных и натурных экспериментах варьиро-вались длина оболочки и условия закрепления. Рассматри-валось квазистатическое и динамическое (ударное) нагруже-ние. Исследовалось влияние наполнителя на форму потериустойчивости и величину критической нагрузки. Сопоставле-ние результатов численных и натурных экспериментов пока-зало, что вычислительная модель [1–4] качественно правиль-но и количественно удовлетворительно описывает процесс де-формирования и потери устойчивости оболочки. По величинепрогиба,при котором оболочка теряет устойчивость, вычисли-тельный комплекс “Динамика –3” и эксперимент дают близ-кие результаты: их расхождение не превышает 5%. Примене-ние заполнителя увеличивает значение критической нагрузкии уменьшает влияние несовершенств на поведение оболочки.Анализ напряжено-деформированного состояния оболочки по-

214 Т.Г.ФЕДОРОВА, А.А.АРТЕМЬЕВА, Е. Г. ГОНИК, А.И.КИБЕЦ, М.В.ПЕТРОВ, Д.В.ШОШИН

казал,что в докритической стадии ее деформирование проис-ходит в упругой зоне. После потери устойчивости в зоне гофробразуются пластические деформации порядка 4–7%, что со-ответствует экспериментальным данным.

Проведены вычислительные и натурные эксперименты подеформированию, потери устойчивости и закритическому по-ведению тонкостенной цилиндрической оболочки,замкнутойплоскими днищами. В центральной части к оболочке прикла-дывается сосредоточенная нагрузка, а на торцах опирается нанеподвижные плиты. Оболочка заполнена речным песком. Дляанализа потери устойчивости тонкостенной конструкции изу-чалась форма ее конечно-элементной сетки,распределение наней прогибов,напряжений и деформаций в различные момен-ты времени. Достоверность результатов численного решенияподтверждается экспериментальными данными.

Решены задачи выпучивания полусферической оболочкипри контактном взаимодействии с круглой пластиной, цилин-дром,стержнем с квадратным поперечным сечением. В расче-тах варьировались радиус и толщина оболочки, граничные иначальные условия. Численное исследование проводилось насетках из 1500–5000 конечных элементов. Результаты конечно-элементного решения задачи позволили оценить величину кри-тической нагрузки и остаточную форму оболочки. Показано,что начальные несовершенства геометрии оболочки могут при-вести к неосесимметричной форме потери устойчивости. Усло-вия закрепления и скорость нагружения существенно влияютна процесс формоизменения. Результаты численного решениязадачи хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Решена задача локальной устойчивости сферического сег-мента постоянной толщины 𝑅/ℎ = 400 , усиленного опорным

Т.Г.ФЕДОРОВА, А.А.АРТЕМЬЕВА, Е. Г. ГОНИК, А.И.КИБЕЦ, М.В.ПЕТРОВ, Д.В.ШОШИН 215

кольцом. Нижняя часть опорного кольца взаимодействует скруговым ложементом, угол обхвата которого Γ менялся в рас-четах от 3∘до 120∘ . В верхней части к подкрепляющему коль-цу была приложена сжимающая нагрузка, линейно возрастаю-щая по времени до потери устойчивости оболочки. Оболочка иопорное кольцо выполнены из алюминиевого сплава АМГ-6М.Как показал анализ результатов, критическая нагрузка умень-шается с увеличением угла раствора сферического сегмента,что соответствует экспериментальным данным [5]. Угол обхва-та ложемента Γ существенно влияет на форму волнообразо-вания: при малых Γ образуется одна вмятина, а при больших– две вмятины в зонах, близких к краям площадки контак-та. Достоверность остаточной формы оболочки подтвержда-ют экспериментальные данные,а также результаты ряда работпо контактным задачам для оболочек,нагруженных круговымиштампами, согласно которым вблизи краев штампов контакт-ные усилия возрастают [5].

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП “Научные инаучно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 годы, программы Президента РФ “Ведущие научные шко-лы РФ” (проект НШ-2843.2012.8), а также при поддержке РФ-ФИ (проекты №№ 11-08-00557-а, 11-08-97023-р_поволжье_а,12-08-90708-моб_ст, 12-08-90819-мол_рф_нр).


1. АртемьеваА. А., БаженовВ. Г., Кибец А. И., ЛаптевП. В.,Шошин Д.В. Верификация конечно-элементного решениятрехмерных нестационарных задач упругопластического де-формирования,устойчивости и закритического поведения обо-лочек // Вычислительная механика сплошных сред. – 2010. –Т. 3. – № 2. – С. 5–14.

216 Д.В.ФИРСТОВ, Д.В.БЕРЕЖНОЙ

2. БаженовВ. Г., КибецА. И., ЦветковаИ. Н. Численное мо-делирование нестационнарных процессов ударного взаимодей-ствия деформируемых элементов конструкций // Проблемымашиностроения и надежности машин. – 1995. – № 2. – С. 20–26.

3. БаженовВ. Г., Зефиров С.В. О консервативном сглажи-вании разрывных волн напряжений в МКЭ // Вестник ННГУ.Серия Механика. – 2001. – Вып. 1. – С. 166–173.

4. Программный продукт “Пакет прикладных программдля решения трехмерных задач нестационарного деформиро-вания конструкций, включающих массивные тела и оболочки“Динамика-3” (ППП “Динамика 3”)”: Сертификат соответствияГосстандарта России № РОСС RU.ME20.H00338/2000.

5. ГудрамовичВ. С. Устойчивость упругопластическихоболочек. – Киев: Наукова думка, 1987. – 216 с.

Д.В. Фирстов, Д.В. Бережной

Казанский (Приволжский) федеральный университет[email protected],[email protected]

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОФАЗНЫХГЕОЛОГИЧЕСКИХ СРЕД С УЧЕТОМ ЛОЖНЫХ

ОТРАЖЕНИЙ

При численном моделировании многофазных геологиче-ских сред существует проблема возникновения волн, отражен-ных от границ изучаемой области. При отсутствии принятыхмер борьбы с воздействиями указанных типов волн, результатымоделирования приобретают различного рода артефакты, ко-торые существенно ухудшают их адекватность. Для решенияэтой проблемы сформулирован принцип и условия эффектив-ного применения “поглощающих граничных условий” на основе

Д.В.ФИРСТОВ, Д.В.БЕРЕЖНОЙ 217

тела Фойгта для различных конфигураций исследуемых сред.Известны способы решения данной проблемы, основанные наформировании “прозрачных границ” [1, 2], разработанных дляряда частных случаев “поглощающего слоя” [3], которые тре-буют ввода дополнительных алгоритмов в численную схему.Так же возможно применение увеличения размера расчетнойобласти до величины, исключающей воздействие отраженныхот границ волн (области расширения модели) [1], что ведет крезкому увеличению объема моделирования, особенно в слу-чае моделей 3D. В предлагаемом подходе к построению “по-глощающих граничных условий”, область моделирования и об-ласть расширения модели представлены телом Фойгта. В обла-сти расширения параметры, определяющие затухание, плавноувеличиваются от границы области моделирования к границеобласти расширения. Плавное изменение данного параметрапозволяет минимизировать отражения от слоев с различнымкоэффициентом затухания. На основе данного подхода разра-ботан алгоритм определения распределения коэффициента за-тухания в области расширения. Проведен ряд численных экспе-риментов, показавших хорошее совпадение модельных упругихволн при использовании предложенного подхода и моделиро-вания с областью расширения, исключающий приход отражен-ных волн от границ расчетной области в область моделирова-ния. Выявлено отличие получаемых модельных волн в низко-частотной части спектра, что обусловлено недостаточным по-глощением данной части спектра вязко-упругой средой областирасширения. Предложенный подход не требует введения специ-альных процедур и функций в используемую численную схе-му. Требуемая область расширения существенно меньше, чемв классическом случае области расширения без затухания.

218 Р.У.ХАЙРЕТДИНОВА


1. ИльгамовМ.А. Гильманов А. Н. Неотражающие условияна границах расчетной области. – Москва, 2003. – 240 с.

2. ВиниченкоА.А. ЗайцевН. А. Прозрачные граничныеусловия для волнового уравнения в квадратной области. –Москва, 2007. – C. 50–55.

3. ПашковС.В. Прозрачные границы. Уменьшение погреш-ности, вносимой границей расчетной области при числен-ном моделировании конечного участка бесконечного простран-ства. // Томск. – 2007. – 230 c.

Р.У.Хайретдинова


ЧИСЛА МЕРСЕННА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕМАТЕМАТИКИ

Неожиданные и в то же время естественные свойства на-туральных чисел обнаружены древними математиками. Ониудивляли их своей замечательной красотой и вдохновляли нановые исследования.

Простые числа Мерсенна являются простыми числами спе-циального вида:𝑀𝑝 = 2𝑝 − 1 , где 𝑝 – другое простое число.Эти числа вошли в математику давно, они проявляются ещев евклидовых размышлениях о совершенных числах. Простыечисла разбросаны в натуральном ряду очень прихотливым об-разом, не удивительно, что издревле математики стремилисьнайти “формулу для простых чисел”. Такими формулами мож-но назвать формулы, обладающие разными свойствами, и здесьочень важно понять, что нам требуется на самом деле.

Р.У.ХАЙРЕТДИНОВА 219

Рассмотрим две формулы, имеющие простой вид:

𝑝 = 2𝑛 − 1, (1)

𝑝 = 2𝑛 + 1. (2)

Очевидно, что формула (1) не всегда дает простые числа;например, если 𝑛 – составное число, 𝑛 = 𝑘∗𝑙, 𝑘 > 1, 1 > 1 , то 𝑝делится на 2𝑘−1 и на 21−1 . Но и при простом n получающеесяпо формуле (1) число может оказаться составным:211 − 1 =

= 2047 = 23 ⋅ 89.

Простые числа, получающиеся по формуле (1), называютсячислами Мерсенна. Своё название они получили в честь фран-цузского ученого Марена Мерсенна (1588-1648), который ещёв 1664 году указал все простые значения 𝑛 , не превосходящие257, для которых, по его мнению, формула (1) дает простыечисла. Однако Мерсенн не дал доказательства; впоследствиивыяснилось, что его предсказание было частично ошибочным.

Совершенным числом называют натуральное число, рав-ное сумме всех его собственных делителей, то есть делителей,отличных от самого числа. Так, совершенными числами явля-ются числа 6 и 28, ибо 6=1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14.

Евклид доказал, что число 𝑁 = (2𝑘+1 − 1)2𝑘 = 2𝑘 , где 𝑝 –простое число, является совершенным числом.

Л. Эйлер сумел найти новую теорему о таинственных и за-гадочных совершенных числах: все четные совершенные числаимеют вид, указанный Евклидом. До сих пор не известно, су-ществуют ли нечетные совершенные числа.

Рассмотрим задачи, которые могут быть использованы приобучении учащихся в классах с углубленным изучением мате-матики.

220 Р.У.ХАЙРЕТДИНОВА

Задача 1. В книге рекордов Гиннесса написано, что наи-большее известное простое число равно 23021377 − 1 . Не опе-чатка ли это?

Ответ: конечно, это опечатка. Любая степень числа, окан-чивающегося цифрой 1, тоже оканчивается цифрой 1. Поэтомуразность 23021377 − 1 оканчивается на 0 и, следовательно, неявляется простым числом.

На самом деле наибольшим известным сегодня простымчислом является число 220996011−1 . Это число Мерсенна. Мож-но доказать, что при составном 𝑛 число 2𝑛 − 1 составное. По-этому числа Мерсенна соответствуют простым 𝑛 . Однако нель-зя утверждать, что каждому простому числу 𝑝 соответствуетпростое число 2𝑝−1 . Конечно или бесконечно множество чиселМерсенна -– вопрос, на который пока нет ответа.

Считаем, что использование подобных задач и небольшихэкскурсов в историю математики позволит значительно повы-сить интерес учащихся к изучению математики и оживит про-цесс обучения.


1. Числа Мерсенна: Заблуждения и рекорды. – Энциклопе-дия для детей. Т. 11. Математика/ Глав. ред. М. Д. Аксенова. –М.: Аванта+, 2002. – C. 153–155.

2. КоутинхоС. Элементы теории чисел // Математика. –200l. – № 44. – 576 с.

3. МурадоваЕ. Простые числа. Так ли проста их история?// Математика. – 2002. – № 13. – С. 17–20.

А.Р.ШАКУРОВА 221

А.Р.Шакурова


ОРГАНИЗАЦИЯУЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ

ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИМАТЕМАТИКЕ В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ

В последнее десятилетие изменились социальные требова-ния общества к тем качествам, которые желательны для вы-пускников школы. Теперь это должен быть не только хоро-ший исполнитель, а активный, самостоятельный, целеустрем-ленный человек, умеющий ориентироваться в быстро меняю-щемся потоке информации. Из-за этого построение процессаобучения математике претерпевает существенные изменения.

В “Концепции модернизации образования” подчеркивается,что школа “должна давать не только информацию, но и спосо-бы работы с ней. Школьники должны научиться самостоятель-но приобретать новые знания” [1]. Поэтому возникает необходи-мость изучения возможностей организации в учебном процесседеятельности учащихся, способствующей развитию умений са-мостоятельно приобретать новые знания и применять их напрактике. В качестве такой деятельности может быть рассмот-рена исследовательская деятельность учащихся.

Под УИД учащихся понимается учебная деятельность поприобретению практических и теоретических знаний с пре-имущественно самостоятельным применением научных мето-дов познания, что является условием и средством развития уобучающихся творческих исследовательских умений [2].

Обучение учащихся началам исследовательской деятельно-

222 А.Р.ШАКУРОВА

сти возможно и вполне осуществимо через урок, разные круж-ки, защиту проектов, рефератов и т.д. Успех же в основномобеспечивается правильным планированием, использованиемэффективных систем заданий, а также умелым руководствомучителя этой деятельностью. Учитель должен выступать нетолько в роли носителя новой информации, а умелым органи-затором систематической самостоятельной поисковой деятель-ности учащихся по получению ЗУН, созданию мотивов.

Развивающая функция исследовательской деятельности поматематике заключаетсяв том, что в процессе ее выполненияпроисходит усвоение методов и стиля мышления, воспитаниеосознанного отношения к своему опыту, формирование черттворческой деятельности и познавательного интереса к различ-ным аспектам математики.

Условиями, способствующими активизации УИД учащихся,являются:

- доброжелательная атмосфера в коллективе;- сочетание индивидуальных и групповых форм обучения;- структурирование материала от простого к сложному;- формирование внутренних стимулов к учению и др.К общим принципам организации учебного процесса, обес-

печивающим развитие УИД учащихся, можно отнести:- руководство педагогов в создании мотивов к учению;- привитие интереса к изучаемому объекту;- вооружение учащихся необходимыми приемами

познавательно-поисковой деятельности;- осуществление принципа индивидуализации в обучении;- широкое использование ТСО и наглядных;- внедрение в практику работы и использование компью-

терных технологий;

А.Р.ШАКУРОВА 223

- разработка заданий, которые требуют нестандартные ре-шения и самостоятельный поиск источников информации.

Приобщение школьников к учебным исследованиям идетв двух направлениях – содержательном и организационном.Содержательная самостоятельность проявляется в том, чтобыученик мог без помощи поставить перед собой учебную задачуи представить ход ее решения. Организационная самостоятель-ность выражается в умении ученика организовать свою работупо решению постановленной задачи.

Таким образом, перед учителем встает проблема поиска та-ких форм и способов учебной деятельности учащихся, которыебы вовлекали их в исследовательскую работу, способствовалиобучению самой этой деятельности. Необходимо так органи-зовать познавательную деятельность школьников, чтобы про-цедура учебного исследования усваивалась ими вместе с темсодержанием, на котором оно осуществляется.

Проведенный В. А. Далингером [3] анализ процесса усво-ения математических знаний показывает, что УИД учащихсяцелесообразно организовывать при:

а) выявлении существенных свойств понятий или отноше-ний между ними и установлении связей данного понятия с дру-гими;

б) ознакомлении с фактом, отраженном в формулировкетеоремы, в доказательстве теоремы;

в) обобщении теоремы, составлении обратной теоремы ипроверке ее истинности;

г) выделении частных случаев некоторого факта в матема-тике;

д) классификации математических объектов, отношениймежду ними, основных фактов данного раздела математики;

224 А.Р.ШАКУРОВА

е) решении задач различными способами;ж) построение контрпримеров и т.д.Таким образом, эффективным средством обучения и раз-

вития является организация учебных исследований, цель ко-торых состоит в том, чтобы помочь учащимся самостоятельнооткрыть новые знания и способы деятельности, углубить и си-стематизировать изученное.


1. “Концепции модернизации образования в Рос-сии”. http://thisisme.ru/content/kontseptsiya-modernizatsii-obrazovaniya-v-rossii

2. СластенинВ. А и др. Педагогика: учеб. пособие для студ.высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр “Акаде-мия”, 2002. – 576 с.

3. ДалингерВ. А. Организация учебно-исследовательскойдеятельности учащихся при обучении математике// Успехи современного естествознания. – 2012. – № 7.http://www.rae.ru/use

А.А.ШЕИНА 225

А.А.Шеина


ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕУРАВНЕНИЙ ЛОТКИ-ВОЛЬТЕРРЫС ЛОГИСТИЧЕСКОЙ ПОПРАВКОЙ

В статье [1] обоснована возможность приближенного ана-литического решения классической системы уравнений Лотки-Вольтерры {

𝑑𝑅𝑑𝑡 = 𝑎𝑅− 𝑏𝑅𝐹,𝑑𝐹𝑑𝑡 = −𝑐𝐹 + 𝑑𝑅𝐹

(1)

путем разложения решений в степенной ряд по малому пара-метру. Здесь 𝑅(𝑡) – число жертв, 𝐹 (𝑡) – число хищников вмомент времени 𝑡 ; 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑑 – положительные коэффициен-ты. В работе [1] при условии 𝑎 = 𝑐 , 𝑏 = 𝑑 получены три членаразложения функций 𝑅(𝑡) и 𝐹 (𝑡) в степенной ряд по парамет-ру 𝜀 = 𝑏/𝑎≪ 1 . Мы обобщаем этот результат на случай моделиЛотки-Вольтерры с логистической поправкой.

Рассмотрим аналог системы (1):{𝑑𝑅𝑑𝑡 = 𝑎𝑅(1 −𝑅) − 𝑏𝑅𝐹,𝑑𝐹𝑑𝑡 = −𝑐𝐹 (1 − 𝐹 ) + 𝑑𝑅𝐹.

(2)

Как и ранее, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 > 0 . Требуется найти условия на коэф-фициенты системы (2), при которых возможно разложение еерешений в степенной ряд по некоторому малому параметру.

Теорема. Пусть выполняются условия 0 < 𝑎≪ 1 , 𝑏 = 2𝑎 ,𝑐 = 𝑎 , 𝑑 = 2𝑎 . Тогда приближенное аналитическое решение

226 A.Г.ШИРЯЕВ

системы (2) имеет вид

𝑅(𝑡) =1

3− 2𝑎

(𝜌0 sin

𝑎𝑡√3

+ 𝜑0 cos𝑎𝑡√

3

)−

− 2𝑎2(

(𝜌20 − 𝜑20)(

cos2𝑎𝑡√

3− cos

𝑎𝑡√3

)−

− 2𝜌0𝜑0

(sin

𝑎𝑡√3

+ sin2𝑎𝑡√

3

))+ . . . ,

𝐹 (𝑡) =1

3+ 𝑎(

(𝜑0 +√

3𝜌0) cos𝑎𝑡√

3+ (𝜌0 −

√3𝜑0) sin

𝑎𝑡√3

)+

+ 𝑎2(

(𝜌20 − 𝜑20 + 2

√3𝜌0𝜑0)

(cos

2𝑎𝑡√3− cos

𝑎𝑡√3

)+

+ (√

3(𝜌20 − 𝜑20) − 2𝜌0𝜑0)

(sin

𝑎𝑡√3

+ sin2𝑎𝑡√

3

))+ . . . .

Здесь 𝜌0 , 𝜑0 – произвольные постоянные.

Автор выражает благодарность ст. преподавателюС. К. Паймерову за постановку задачи.


1. ФунтовА. А. О приближенном аналитическом решенииуравнений Лотки-Вольтерры // Изв. вузов. Прикладная нели-нейная динамика. – 2011. – Т. 19. – № 2. – C. 89–92.

A.Г.Ширяев


ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СКМ MAPLEДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯЭВОЛЮЦИИ АНИЗОТРОПНОЙ ВСЕЛЕННОЙ

В настоящей работе используется пакет Splines профессораЮ. Г. Игнатьева в СКМ Maple для численно-аналитического

A.Г.ШИРЯЕВ 227

решения систем нелинейных обыкновенных дифференциаль-ных уравнений (НОДУ). Программные процедуры этого па-кета позволяют строить численно аналитические решения за-дачи Коши для системы НОДУ произвольного порядка на за-данном интервале в формате сплайнов, B-сплайнов и кусочно-заданных функций и выполнять с этими решениями все опера-ции математического анализа функции одного переменного.


1. ИгнатьевЮ. Г., АбдуллаХ. Х. Математическое модели-рование нелинейных обобщенно-механических систем в систе-ме компьютерной математики Maple // Изв. вузов. Физ.-мат.науки. – 2010, – Т. 2 (14). – С. 67–77.

2. ИгнатьевЮ. Г., АбдуллаХ. Х. Комплекс программ дляматемати-ческого моделирования нелинейных электродина-мических систем в системе компьютерной математикиMaple // Вестник РУДН, серия “Математика. Информатика.Физика”. – 2010. – № 4. – С. 65–76.

3. ИгнатьевЮ. Г., АбдуллаХ. Х. Математическое модели-рование нелинейных обобщенно-механических систем в систе-ме компьютерной математики Maple // Вестник ТГГПУ. –2010. – № 2. – С. 22–27.

228 И.С.ЮРЧЕНКОВ

И.С.Юрченков

Саратовский государственный университетим. Н. Г.Чернышевского,

[email protected]

СУЩЕСТВОВАНИЕ СОВЕРШЕННЫХ𝑈 -МНОЖЕСТВ

В работах В. А. Скворцова [1] и Х. О. Мовсисяна [2] былопоказано, что счетное множество является множеством един-ствености для кратных рядов Уолша, сходящихся по прямо-угольникам. В [3] был получен более общий класс множествединственности для функций Уолша. В частности, было дока-зано, что любая непрерывная кривая конечной длины или ихсчетное объединение является множеством единствености длядвойных рядов Уолша, сходящихся по прямоугольникам. В [4]был получен класс множеств единственности для кратных ря-дов по смешанной системе функций, расширяющий извесныеклассы множеств единственности. В [5] был приведен примеркратного ряда, сходящегося по прямоугольникам, но не сходя-щегося по кубам. Затем в [6] было доказано, что пустое мно-жество является множеством единственности для кратных ря-дов Уолша на двоичной группе в смысле сходимости по кубам.М. Г. Плотников [7] в 2007 году, рассматривая функции Уолшана двоичной группе, показал, что существует совершенное мно-жество единственности для кратных рядов Уолша, сходящихсяпо кубам. Мы покажем, что данные результаты справедливыдля кратного ряда по характерам произвольной нуль-мернойкомпактной группы.

Пусть (𝑝𝑘)∞𝑘=0 – произвольная последовательность простыхчисел, (𝐺,⊕) – компактная нуль-мерная группа с образующей

И.С.ЮРЧЕНКОВ 229

последовательностью (𝑝𝑘) , 𝜒𝑛(𝑧) – характеры группы 𝐺 , 𝔊 =

= 𝐺2 = 𝐺×𝐺 – двумерная группа с топологией произведениягрупп.

Для кратных рядов

∞∑n=0

𝑐n𝜒n(z) =∞∑

𝑛1=0

∞∑𝑛2=0

𝑐𝑛1𝑛2𝜒𝑛1(𝑧1)𝜒𝑛2(𝑧2)

справедлива

Теорема. Существуют непустые совершенные множе-ства единственности в 𝔊 = 𝐺2 в смысле сходимости покубам.

Данная теорема доказывается конструктивно.



1. СкворцовВ. А. О множествах единственности для мно-гомерных рядов Хаара // Матем. заметки. – 1973. – Т. 14. –№ 6. – С. 789–798.

2. МовсисянХ.О. Некоторые вопросы единственностикратных рядов по системе Хаара и тригонометрической си-стеме // Матем. заметки. – 1973. – Т. 13. – № 3. – С. 104–113.

3. ЛукомскийС.Ф. О некоторых классах множеств един-ственности кратных рядов Уолша // Матем. сб. – 1989.–Т. 180. – № 7. – С. 937–945.

4. ЖеребьеваТ.А. Об одном классе множеств единствен-ности для кратных рядов Уолша // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. – 2009. – № 2. – С. 14–21.

5. Lukomskii S. F. On a 𝑈 -set for multiple Walsh series //Analysis Mathematica. – 1992. – V. 18.– № 2. – С. 127–138.

230 M.A.AUKHADIEV

6. ЛукомскийС.Ф. Представление функций рядами Уолшаи коэффициентами сходящихся рядов Уолша // Дисс. ... докт.физ.-мат. наук. – Саратов: СГУ, 1996.

7. ПлотниковМ.Г. О кратных рядах Уолша, сходящихся покубам // Изв. РАН. Сер. матем. – 2007. – Т. 71. – № 1. – С. 61–78.

M.A. Aukhadiev

Kazan State Power Engineering University,[email protected]

THE SEMIGROUP C*-ALGEBRA AS AN ALGEBRAOF FUNCTIONS ON QUANTUM SEMIGROUP

A unital 𝐶∗ -algebra 𝒜 with unital *-homomorphism Δ: 𝒜 →→ 𝒜⊗𝒜 is called a compact quantum semigroup ([2]) if Δ satisfiescoassociativity condition:

(Δ ⊗ 𝑖𝑑)Δ = (𝑖𝑑⊗ Δ)Δ;

Δ is called a comultiplication. If the linear subspaces

{Δ(𝑏)(𝑎⊗ 𝐼); 𝑎, 𝑏 ∈ 𝒜}, {Δ(𝑏)(𝐼 ⊗ 𝑎); 𝑎, 𝑏 ∈ 𝒜},

are dense in 𝒜 ⊗ 𝒜 , then (𝒜,Δ) is called a compact quantumgroup [3]. A *-homomorphism 𝜖 : 𝒜 → ℂ is called a counit if forany 𝑎 ∈ 𝒜

(𝜖⊗ 𝑖𝑑)Δ(𝑎) = 𝑎, (𝑖𝑑⊗ 𝜖)Δ(𝑎) = 𝑎.

State ℎ ∈ 𝒜∗ is called a Haar functional in 𝒜∗ if the followingconditions hold for any 𝑎 ∈ 𝒜 :

(ℎ⊗ 𝑖𝑑) Δ (𝑎) = (𝑖𝑑⊗ ℎ) Δ (𝑎) = ℎ (𝑎) 𝐼,

M.A.AUKHADIEV 231

Let 𝑆 be a subsemigroup of an additive abelian torsion-freegroup Γ with zero. Regular isometric representation is a map 𝑇 :

𝑆 → 𝐵(𝑙2(𝑆)) , 𝑎 7→ 𝑇𝑎 , defined as follows:

(𝑇𝑎𝑓)(𝑏) =

⎧⎨⎩𝑓(𝑐), if 𝑏 = 𝑎+ 𝑐 for some 𝑐 ∈ 𝑆;

0, otherwise.

𝐶∗ -algebra generated by the regular isometric representationof semigroup 𝑆 is called a reduced semigroup 𝐶∗ -algebra, denotedby 𝐶∗

𝑟𝑒𝑑(𝑆) . Consider the ideal 𝐼 = {𝐴𝐵 − 𝐵𝐴∣𝐴,𝐵 ∈ 𝐶∗𝑟𝑒𝑑(𝑆)}

which is called a commutator ideal. It is known that the quotientof the algebra 𝐶∗

𝑟𝑒𝑑(𝑆) by the commutator ideal is isomorphic tothe algebra 𝐶(𝐺) of continuous functions on 𝐺 – the dual groupof Γ .

Define comultipication Δ on the generators of the algebra𝐶∗𝑟𝑒𝑑(𝑆) :

Δ(𝑇𝑎) = 𝑇𝑎 ⊗ 𝑇𝑎, 𝑎 ∈ 𝑆, (1)

Theorem1. The comultiplication Δ given by (1) can beextended to a continous injection Δ: 𝐶∗

𝑟𝑒𝑑(𝑆) → 𝐶∗𝑟𝑒𝑑(𝑆) ⊗

𝐶∗𝑟𝑒𝑑(𝑆) .

This result generalizes the result shown in [1]. Thus, the algebra𝐶∗𝑟𝑒𝑑(𝑆) can be considered as a compact quantum semigroup. And

this compact quantum semigroup has the following interestingproperties.

Theorem2. The compact quantum semigroup (𝐶∗𝑟𝑒𝑑(𝑆),Δ)

admits a counit 𝜀 and a Haar functional ℎ given by the followingrelations:

𝜀(𝑇𝑎) = 1, 𝜀(𝑇 ∗𝑎 ) = 1, ℎ(𝐼) = 1, ℎ(𝐴) = 0, 𝐴 ∕= 𝐼.

We may identify 𝐶(𝐺)⊗𝐶(𝐺) = 𝐶(𝐺×𝐺) . Then the algebra𝐶(𝐺) admits a natural comultiplication Δ𝐺 , for any 𝑓 ∈ 𝐶(𝐺) ,

232 G.V. SHABERNEV

𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 we have:

Δ𝐺(𝑓)(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥𝑦).

With this comultiplication 𝐶(𝐺) becomes a compact quantumgroup. It turns out that this comultiplication is strongly relatedto the ne defined above.

Theorem3. The restriction of comultiplication Δ on thequotient 𝐶∗

𝑟𝑒𝑑(𝑆)/𝐼 coincides with Δ𝐺 .

Supported by RFBR grant № 12-01-97016.


1. AukhadievM. A., Grigoryan S. A., LipachevaE. V. ACompact Quantum Semigroup Generated by an Isometry// Russian Mathematics (Iz. VUZ). – 2011. – V. 55. –No. 10 – P. 78–81.

2. MaesA., Van DaeleA. Notes on Compact Quantum Groups// Nieuw Arch. Wisk. – 1998. – V. 4 (16). – No. 1-2. – P. 73–112.

3. Woronowicz S.L. Compact quantum groups Symetriesquantiques (Les Houches, 1995), 845–884, North-Holland,Amsterdam, 1998.

G.V. Shabernev

Kazan federal university,[email protected]

NOVEL METHOD OF FRACTAL APPROXIMATION

It is well known that approximation is a crucial methodfor making complicated data easier to describe and operate. Inmany cases we have to deal with irregular forms, which can’t

G.V. SHABERNEV 233

be approximated with desired precision. Fractal approximationbecomes a suitable tool for this purpose. Ideas for interpolationand approximation with the help of fractals appeared in worksof M. Barnsley [2] and are developed by P. Massopust [5] andC. Bandt and A. Kravchenko [1].

Today we can apply fractals to approximate such interestingand interdisciplinary data as graphs of DNA primary sequences ofdifferent species [3] and interbeat heart intervals [6], price wavesand many others.

Let [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ be a nonempty interval, 1 < 𝑁 ∈ ℕ and let{(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) ∈ [𝑎, 𝑏] × ℝ ∣ 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋅ ⋅ ⋅ < 𝑥𝑁−1 < 𝑥𝑁 =

= 𝑏} be points of interpolation. For all 𝑖 = 1, 𝑁 consider affinetransformations of the plane

𝐴𝑖 : ℝ2 → ℝ2, 𝐴𝑖

(𝑥

𝑦

):=

(𝑎𝑖 0

𝑐𝑖 𝑑𝑖

)(𝑥

𝑦

)+

(𝑒𝑖

𝑓𝑖

).

From conditions 𝐴𝑖(𝑥0, 𝑦0) = (𝑥𝑖−1, 𝑦𝑖−1), 𝐴𝑖(𝑥𝑁 , 𝑦𝑁 ) = (𝑥𝑖, 𝑦𝑖)

one can obtain direct formulae for 𝑎𝑖 , 𝑐𝑖 , 𝑒𝑖 and 𝑓𝑖 . Set {𝑑𝑖}𝑁𝑖=1

acts like a family of parameters.Define the Hutchinson operator [4]

Φ : 𝒦 → 𝒦, Φ(𝐸) =

𝑁∪𝑖=1

𝐴𝑖(𝐸),

wher 𝒦 is a set of an non-empty compact subsets of ℝ2 .Massopust [6] has shown, that Φ acts on 𝐶[𝑎, 𝑏] according to

the rule

(Φ𝑔)(𝑥) =

𝑁∑𝑖=1

((𝑝𝑖 ∘ 𝑢−1

𝑖 )(𝑥) + 𝑑𝑖(𝑔 ∘ 𝑢−1𝑖 )(𝑥)

)𝜒[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖](𝑥)

.

234 G.V. SHABERNEV

By the fixed-point theorem there exists unique function 𝑔★ ∈∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] , such that Φ𝑔★ = 𝑔★ and for all 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] we have

lim𝑛→∞ ∥Φ𝑛(𝑔) − 𝑔★∥∞ = 0.

Function 𝑔★ is called fractal interpolation function.We try to approximate function graph of arbitrary data by the

fractal interpolation function 𝑔★ , which is constructed on points ofinterpolation {(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)}𝑁𝑖=0 .

Instead of minimization of ∥𝑔 − 𝑔★∥2 we minimize ∥𝑔 − Φ𝑔∥2 ,that makes the problem of optimization much easier. The collagetheorem provides validity of such approach. After minimization weget direct formulas for 𝑑𝑖 .

To make the use of it more convenient we approximate discretedata 𝑍 = {(𝑧𝑚, 𝑤𝑚)}𝑀𝑚=1 , 𝑎 = 𝑧1 < 𝑧2 < ⋅ ⋅ ⋅ < 𝑧𝑀 = 𝑏 by thefractal interpolation function 𝑔★ , which is constructed on pointsof interpolation 𝑋 = {(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)}𝑁𝑖=0 , 𝑁 ≪ 𝑀 . Taking 𝑋 ⊂ 𝑍 ,(𝑥0, 𝑦0) = (𝑧1, 𝑤1) and (𝑥𝑁 , 𝑦𝑁 ) = (𝑧𝑀 , 𝑤𝑀 ) we fit parameters𝑑𝑖 ∈ (−1, 1) to minimize

∑𝑀𝑚=1(𝑤𝑚 − 𝑔★(𝑧𝑚))2.

The aim of investigation is to compare fractal approximationwith a piecewise quadratic approximation function on followingtypes of data: continuous function, DNA primary sequencegraph, price graph and random walking graph. During numerouscalculations the comparison table of approximation errors wasobtained, which showed that there are conditions upon whichfractal interpolation function approximates better than quadratic.

Е.Л.АВЕРБУХ, О.Е.КУРКИНА, А.А.КУРКИН 235

R E F E R E N C E S

1. BandtC., KravchenkoA. Differentiability of fractal curves //Nonlinearity. – 2012. – V. 24(10). – P. 2717–2728.

2. Barnsley M. F Fractals Everywhere. – MA: Academic PressInc., 1988.

3. Feng-lan Bai, Ying-zhao Liu, Tian-ming Wang. Arepresentation of DNA primary sequences by random walk// Mathematical Biosciences. – 2007. – V. 209. – P. 282–291.

4. Hutchinson J. Fractals and self similarity // Indiana Univ.Math. J. – 1981. – V. 30. – P. 713–747.

5. MassopustP. Interpolation and approximation with splinesand fractals. – Oxford: Oxford University Press, 2010.

6. StanleyH. E., Buldyrev S. V. and others Fractal landscapes inbiological systems: Long-range correlations in DNA and interbeatheart intervals // Physica A. 1992. – V. 191. – P. 1–12. North-Holland

Е. Л. Авербух, О. Е.Куркина, А. А.Куркин

Нижегородский государственный технический университетим. Р.Е.Алексеева,

Institute of Cybernetics, Tallinn University of Technology,Tallinn, Estonia,

[email protected]

КВАНТИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХПРОЯВЛЕНИЙ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ

ПОЛЕЙ

Моделирование динамики загрязнений мирового океана яв-ляется актуальной задачей, имеющей очевидное практическое

236 Е.Л.АВЕРБУХ, О.Е.КУРКИНА, А.А.КУРКИН

значение. В условиях высокого уровня развития компьютер-ных технологий целесообразным становится математическое ичисленное исследование динамики антропогенных примесей иволновых полей, перераспределяющих загрязнения в океане. Воснове исследования трансформации пленочных загрязненийлежат адвективно-диффузионные уравнения для концентра-ции примесей. В расчетах “примесной” блок объединяется сгидродинамическими блоками расчета поля самих течений, чтопозволяет осуществлять адаптацию численной модели к усло-виям конкретной гидрологии бассейна и учесть изменчивостьгидрологических полей.

Примесные поля могут служить индикатором крупномас-штабных движений в океане из космоса, так что важнейшейзадачей является расчет динамики различного рода примесейв поле крупномасштабных волновых движений. Одним из важ-ных направлений здесь является квантификация процессов,происходящих на двумерной морской поверхности и отражаю-щих сложные трехмерные волновые движения в трехмерно-не-однородном океане. Прямое приложение такого рода исследо-ваний – это анализ и прогнозирование нефтяных загрязнений,а также идентификация процессов на изображениях морскойповерхности, полученных дистанционными методами.

Для корректной интерпретации радиолокационных данныхнеобходимо не только отличать загрязнения различной струк-туры (пленки поверхностно-активных веществ – ПАВ и другиепленочные образования), но и иметь представление о пленоч-ных “образах” различных физических процессов и поверхност-ных проявлениях различных типов волн и эффектов. Вопросуидентификации различных типов волн на поверхности океанаи посвящена настоящая работа.

Е.Л.АВЕРБУХ, О.Е.КУРКИНА, А.А.КУРКИН 237

Динамика пленок поверхностно активных веществ описа-на с помощью уравнения баланса поверхностной концентрацииΓ(𝑥, 𝑦, 𝑡) :

∂Γ

∂𝑡+∂(𝑢Γ)

∂𝑥+∂(𝑣Γ)

∂𝑦= 𝐷

(∂2Γ

∂𝑥2+∂2Γ

∂𝑦2

)+

Γ0 − Γ

𝜏+𝑄,

где 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) , 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑡) – компоненты двухмерной (поверхност-ной) заданной скорости гидродинамического потока. Параметр𝐷 есть коэффициент горизонтальной (поверхностной) диффу-зии, а 𝜏 – характерное время релаксации пленки, описываю-щее процессы обмена с более глубокими слоями воды, Γ0 –равновесная концентрация пленки на поверхности раздела (вотсутствие течения), 𝑄 – источник примеси.

Были рассмотрены волновые поля различного уровня де-тализации: слабонелинейные, длинноволновые, одно- и много-модовые, полнонелинейные модели краевых волн, внутренниеволны, волн Россби. Рассмотрен ряд эффектов: дисперсионнаяфокусировка, усиление волн на неоднородностях среды, резо-нансное нелинейное взаимодействие с зарождением гармоникболее высоких мод.

Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП “Науч-ные и научно-педагогические кадры инновационной России” на2009–2013 годы, при поддержке гранта РФФИ 10-05-00199а истипендии Президента РФ для обучения за рубежом аспиран-тов российских вузов в 2012/2013 учебном году.

238 Е.Л.АВЕРБУХ, Д.Ю.ТЮГИН, О.Е.КУРКИНА, А.А.КУРКИН

Е.Л. Авербух, Д. Ю.Тюгин, О. Е.Куркина,А.А.Куркин

Нижегородский государственный технический университетим. Р.Е.Алексеева,

Institute of Cybernetics, Tallinn University of Technology,Tallinn, Estonia,

[email protected]

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОГРАММНОГОКОМПЛЕКСA IGWRESEARCH

ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯДИНАМИКИ ПЛЕНОЧНЫХ ЗАГРЯЗНЕНИЙ

В ПОЛЕ ВНУТРЕННИХ ВОЛНВ БАЛТИЙСКОМ РЕГИОНЕ

Программный комплекс IGWRESEARCH, предназначендля численного моделирования распространения и трансфор-мации внутренних гравитационных волн в Мировом океане[1]. Комплекс включает блоки расчета волновых полей врамках расширенного нелинейного эволюционного уравненияКортевега-де-Вриза с комбинированной нелинейностью с пере-менными коэффициентами – уравнение Гарднера и обобщенноеуравнение Гарднера для плавно неоднородной среды с учетомсилы Кориолиса и рефракционную лучевую модель. А так жеблок интеграции с численной моделью Лэмба [2] (полнонели-нейная теория), реализующие задание начальных условий длямодели, и загрузку результатов моделирования в комплекс. Врамках данной работы был модифицирован комплекс расче-та воздействия внутренних гравитационных волн на пленкиповерхностно-активных веществ и проведено моделирование напримере условий Балтийского моря [3]. Разработанные сред-

Е.Л.АВЕРБУХ, Д.Ю.ТЮГИН, О.Е.КУРКИНА, А.А.КУРКИН 239

ства компьютерного моделирования позволили осуществитьадаптацию модели к географическим и гидрологическим усло-виям реальной акватории, учесть сезонную изменчивость и осо-бенности аварийной ситуации по разливу пленочного загрязне-ния. Модель протестирована на известных аналитических ре-шениях уравнения баланса вещества.

В основе модифицированного комплекса лежит неявно ко-нечно-разностный метод, применяемый для уравнения балансаповерхностной концентрации пленок поверхностно-активныхвеществ (ПАВ) и неявная псевдо-спектральная схема для урав-нения Гарднера-Островского.

Исходными данными для инициализации численных схемявляются наборы кинематических и нелинейных параметроввнутренних волн, рассчитанных на основе международныхгидрологических источников (GDEM и WOA). Для заданиябереговой линии используется база батиметрии ETOPO1.

Программный комплекс так же включает графическийпользовательский интерфейс, компоненты для задания на-чальных условий, просмотра результатов и экспорта рас-считанных данных в файлы. Для визуализации резуль-татов моделирования был реализован набор компонентов:Plot, GeoPlot. Первый компонент позволяет визуализироватьпространственно-временные диаграммы распределения кон-центрации пленок поверхностно-активных веществ. С помо-щью компонента GeoPlot осуществляется навигация по геогра-фической карте для выбора интересующей области, а такжеинтерактивного задания параметров.

Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП “Науч-ные и научно-педагогические кадры инновационной России” на2009–2013 годы, при поддержке гранта РФФИ 10-05-00199а и

240 Е.Л.АВЕРБУХ, Д.Ю.ТЮГИН, О.Е.КУРКИНА, А.А.КУРКИН

стипендии Президента РФ для обучения за рубежом аспиран-тов российских вузов в 2012/2013 учебном году.


1. ТюгинД. Ю., Куркина О.Е., Куркин А. А. Программныйкомплекс для численного моделирования внутренних грави-тационных волн в мировом океане // Фундаментальная иприкладная гидрофизика. – СПб.: Изд-во Наука, 2011. –Т. 4. – № 2. – C. 32–44. (http://www.nsgf.narod.ru/trudu_6/txt/12_nomer.pdf)

2. LambK.G. A 2-D numerical model for investigating internalwave Generation in the ocean. – 1999.

3. АвербухЕ. Л., Куркина О. Е., КуркинА. А., Тюгин Д. Ю.Численное моделирование динамики пленок поверхностно-ак-тивных веществ в поле уединенных внутренних волн на при-мере условий Балтийского моря // Экологические системы иприборы. – 2012. – № 10.

АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 241

АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ

Авербух Е. Л. 235, 237Авхадиев Ф. Г. 3Азмуханова Л. Р. 4Антипова М. В. 8Артемьева А. А. 212Афонина A. И. 10Байгушев Д. А. 12Балафендиева И. С. 17Басалаев С. Г. 20Бахарева Е. А. 14Бердников К. В. 23Бережной Д. В. 17, 94, 146,216Бибиков П. В. 25Болучевская А. В. 27Букушева А. В. 30Бушкова В. А. 32Валовик Д. В. 19Вильданов В. К. 35Вихарев С. С. 37Галиева Г.Т. 39Гегамян Г. Д. 43Герасимов А. Н. 46Гиниятова Д. Х. 47Гиниятуллина Р. Р. 49Гоник Е. Г. 212Гонтаренко А. А. 51Горшков А. А. 54

Григорьев Е. Е. 83Григорян Т. А. 56Давыдов Р. Л. 190Жегалов В. И. 58Жидков А. А. 61Заббарова Г. Р. 63Закирова Л. Ш. 65Зарембо Е. В. 19Зарипов Т. Ш. 68Захаров А. С. 70Захарова О. С. 73Зыкова Т. В. 75Игнатьев Ю. Г. 77Кабанова М. И. 78Казарин А. Ю. 81Калинин А. В. 83Калмыков С. И. 86Калмыкова Т. А. 88, 90Капитанов Д. В. 91, 130, 188Карамов А. В. 94Касаткин А. Е. 96Каюмов Ф. Д. 100Казанцев M. A. 79Кечина О. М. 103Кибец А. И. 212Кожичин С. С. 105Кокурин М. М. 105Колтунов А. А. 108

242 АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ

Коротяев Д. В. 110Косарев А. Н. 113Краснов А. А. 114Краснова Д. А. 115Кузьмин Р. К. 118Кузоватов В. И. 117Кулешов А. В. 120Культина Н. Ю. 123Куркин А. А. 235,237Куркина О. Е. 235,237Кутырева Н. И. 125Ларичева А. О. 128Леонова А. П. 128Линник Е. Ю. 201Липачев Е. К. 46, 118Липачева Е. В. 56Майорова М. Е. 49Максимова Ю. В. 130Малюгина А. А. 132Марков Р. В. 135Мартемьянова Н. В. 137Мартенс Р. В. 139Михайлов М. Л. 142Михеева А.А. 144Мокшин Е. В. 146Мосина Е. В. 148Мурзова Г. А. 151Насибуллин Р. Г. 3Никоненкова Т. В. 154Паймеров С. К. 156

Первухин М. А. 159Петров М. В. 212Петухова К. А. 160Платонова Л. Е. 162Попов В. Н. 204Проскуряков А. С. 110Рахматуллин Д. Я. 165Резяпкина С. Г. 167Романенко Г. В. 170Сагдатуллин М. К. 173Саламатин А. А. 176Самигуллина А. Р. 77Сарварова И. М. 58Сафонкин Н. 178Секаева Л. Р. 94Сидоров С. Н. 180Смолькин Е. Ю. 185Соколов Д. О. 188Стружанов В. В. 14, 23Султанов Л. У. 190, 192Суркова М. В. 195Таксеитов Р. Р. 49Тарасенко А. В. 199Тарасова А. А. 201Тепоян В. А. 56Тестова И. В. 204Тузова И. И. 128Тукмаков Д. А. 206Тюгин Д. Ю. 237Удалова Г. Ю. 208

АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 243

Фазлеева Э. И. 65Фахрутдинов Л. Р. 192Федорова Т. Г. 212Фирстов Д. В. 216Фроленков И. В. 170Хайретдинова Р. У. 218Шакурова А. Р. 221

Шеина А. А. 225Ширяев A. Г. 226Шошин Д. В. 212Юрченков И. С. 228Aukhadiev M. A. 230Shabernev G. V. 232

Ф.Г.АВХАДИЕВ, Р.Г.НАСИБУЛЛИН › docs › F2133883869 › __Main.pdfщий...

Documents

Transcript of Ф.Г.АВХАДИЕВ, Р.Г.НАСИБУЛЛИН › docs › F2133883869 › __Main.pdfщий...