~8

D

-------

Clasificacióndeángulosporlasumadesusmedidas

DReactivaciól1

Cierra losojosy recuerda imágenesdonde estén presentesángulos y triángulos. De seguro recordarásmuchas ya que están presentesen las actividades diarias de la vida y los sereshumanos los han uti-lizado siempre. Lasprimeras grandes civilizaciones extendieron el uso de ángulos y triángulos en susconstruccionesy en la invención de herramientas.

Formaun equipocondoscompañeros.Enhojasde papelbondconstruyanlostriángulossiguientescon lasmedidasqueseindican.Escribanel nombredecadauno.

a) AB = 12, BC= 24, CA= 12 b) AB = 15; BC= 12, <tA = 90°, 4:.B= 38°

c) AB = 20, BC= 20, CA= 20

d) e)

,,1

, I 2!di~~@

4

r-i)

4

3 7

- Anguloscomplementariosy suplementarios

Existeotra clasificación de los ángulos que se basaen el valor de la suma de susmedidas.Observala siguiente figura:

I 53.. -

~Losángulosde 37° y 53° sumados dan üho de 90°, que esel ángulo que formanlasdos rectasperpendiculares. Espor esta razón que se les denomina ánguloscomplementarios, debido a que sumados dan como resultado 90°.

Asimismo,cuando un par de ángulos cualesquiera sumados dan 180° se deno-minanángulos suplementarios.

8~A

~ A + ~ B = 1800

~ A Y~ Bson suplementarios

Trabajenen binasy,con baseen la definición de ángulo complementario yángulosuplementario,completen la siguientetabla:--

20°

COMPLEMENTARIO SUPLEMENTARIO.. ~._-~. ... -.. -~. .- ~~ ~ .~..

~

120°

100° ,!136°

50°

12°1I "

Ahoratracen los ángulos en su cuaderno para observar suscaracterísticasy anoten cinco situaciones cotidianas en las que consideren que se apli-can losconceptosanteriores.

1.

2.

3.

4.

5.

LPara.saber

~

Losastrónomosárabesllamaban

a los ángulos complementarios"lo que falta para completar no-venta". Enel sigloxvsegeneralizósu uso.

11~ '""'"

...-

a la manoEl concepto de ángulos com-plementarios se utiliza en latrigonometría para denominarlas funciones y cofuncionescuyo valor es el mismo cuandola suma de dos ángulos es iguala 90°:

senotangentesecante

cosenocotangentecosecante

portafolio""""" ".""",,', "'""V""""I"".",.".",,, ,N""""1"." '""

I Guarda lasgráficas.- . - - - .-

g

. .

Á

:!JJ

]({J

Ejemplos:1. Encontrar el ángulo complementario de 32°.

Consideremosel planteamiento

x + 32° = 90°

Yaque se busca que sean complementarios, despejamos la incógnita y tenemos:

x = 90°- 32°x = 58°

2. Encontrar el suplementario de 48° 20' 35".

Siguiendocon el procedimiento anterior y ya que sumados debe dar 1800:

despejando a x

x + 48° 20' 35" = 180°

x = 180 - 48° 20' 35" = 131°39' 25"

1. Grafica los siguientes ángulos en tu cuaderno y encuentra su ángulo comple-

mentario. Compara tus resultados con los de tus compañeros:

a) 25° b) 69° c) 15° d) 85°

2. Graficalos siguientes ángulos en tu cuaderno y encuentra su ángulo suple-mentario. Compara tus resultados con los de tus compañeros.

a) 133° b) 99° c) 165° d) 120°

3. Singraficar encuentra el complementario de lossiguientes ángulos:

a) 78°e) 88° 55' 16"

b) 25.36°f) 800

c) 14° 25' 6"

g) 69.54°

d) 10°h) 37° 19' 38"

4. Singraficar,encuentra el suplementario de los siguientes ángulos:

-a) 156°,e) 179"5'

b) 138.36°f) 113°

'""

c) 125° 43' 17"

g) 80.3690

d) 40°h) 158° 27' 9"

Triángulos

e

Eltriángulo es una de las figuras geométricasmás utilizadas en diseño gráfico e industrial yen la construcción. Esto lo podemos apreciar,porejemplo,en la construcciónde laspirámi- 1

des de Egipto.

El triángulo es un elemento fundamentalde la geometría y tiene un sinnúmero deaplicaciones en la ingeniería, la mecánicae incluso en las artes plásticas.¿Conocesal-gunas de éstas?

Formen equipos de tres integrantes y consigan alfileres, cartoncillo, tije-ras y regla.

Tracen siete rectángulos de 10 cm de longitud y 1 cm de ancho en elcartoncillo. Recórtenlosy apílenlos para formar un cuadrado y un trián-gulo, luego coloquen alfileres en los vértices para unir los lados. Ahoracolóquenlos de canto sobre la mesa, dos integrantes deben sostenerlos yel otro debe aplicar un poco de presión.

¿Cuál de las dos figuras se deforma más?

¿Por qué creen que ocurre?

¿En qué tipo de construcciones se utilizan estas figuras?

Definiciónde triángulos

Untriángulo es un polígono o superficie plana formada por tres lados, tresvértices,tres ángulos internos y tres ángulos externos.

Loslados son segmentos que forman el triángulo y se representan con letrasminúsculas.Los puntos en donde se cortan los lados se llaman vértices y sedenotancon letras mayúsculas.

Elnombredel lado siempre designa el nombre del vértice opuesto. Asimismo,tiene tres ángulos internos, cuyos nombres pueden ser el mismo del vérticeoalgunaletra del alfabeto griego.

Losángulos externos están formados por un lado y la prolongación del ladoadyacente.

Paradesignar un triángulo se usa el símbolo 1::::.junto a las tres letras de losvértices,escritasen cualquier orden.

s

rae:rg

~~@

aMe

~b A

L M

ea, b, e ladosA, S, e, vértices

0., ~, 6, ángulos internos

K, L,M Ángulos externos

@) RaraInvestigar

Investiga en Internet cómo seconstruyeron las pIr,)mides de

Egipto y por qué se utilizó el

triángulo .como forma básica.Escribe lus conclusiones demáximo dos cuartillas en Word

L

D

~.

Actividad

Formen equipos de tres integrantes y consigan alfileres, cartoncillo, tije-rasy regla.

Tracen siete rectángulos de 10 cm de longitud y 1 cm de ancho en elcartoncillo. Recórtenlosy apílenlos para formar un cuadrado y un trián-gulo, luego coloquen alfileres en los vértices para unir los lados. Ahoracolóquenlos de canto sobre la mesa,dos integrantes deben sostenerlosyel otro debe aplicar un poco de presión.

¿Cuálde lasdos figuras sedeforma más?

¿Porqué creen que ocurre?

¿Enqué tipo de construccionesse utilizan estasfiguras?

Definiciónde triángulos

Un triángulo es un polígono o superficie plana formada por tres lados, tresvértices,tres ángulos internos y tres ángulosexternos.

Losladosson segmentos que forman el triángulo y se representan con letrasminúsculas.Los puntos en donde se cortan los lados se llaman vértices y sedenotancon letras mayúsculas.

Elnombredel lado siempre designa el nombre del vértice opuesto. Asimismo,tiene tres ángulos internos, cuyos nombres pueden ser el mismo del vérticeoalgunaletra del alfabeto griego.

Losángulosexternos están formados por un lado y la prolongación del ladoadyacente.

Paradesignarun triángulo se usael símboloL. junto a lastres letrasde losvértices,escritasencualquierorden.

s

!:!i.~~@

aMe

~e b A

L M

a,b,e ladosA,S,e,vérticesCt,13,S,ángulosinternos

K, L,M Ángulos externos

e RaraInvestigar

Investiga en Internet cómo se

cor!struveron las pirámides de

Egipto y por qué se utilizó el

triángulo .como forma básiCaEscribe tus conclusiones de

máximo doscual1illas en Word.

L

el

[1

Pablo Picasso

Artista españolnacidoen Málaga

en el año 1881.Encompañía de

otro joven pintor, GeorgesBra-

que, Picassose adentró en una

revisión de buena parte de la

herencia plástica vigente desdeel Renacimiento, especialmente

en el ámbito de la representa-

ción pictórica del volumen: fueel inicio del cubismo. Enestees-

tilo se introdujo un elemento det1exibilidaden forma de recortes

de papel y otros materiales di-

rectamente aplicados sobre el

lienzo,técnicaque denominaron

collage marcada por una gama

cromática más rica y la multipli-cidad de materiales.

conexionesTrabajen en parejas. Investi-

guen lo siguiente en Internet o

en cualquier medio: ¿qué es el

cubismo?, ¿que papel tiene las

figuras geométricas en esta co-

rriente?, ¿cómo emplea Picasso

las figuras y el uso del color?Realicen una presentación en

la que expliquen de qué for-

ma aplicó Picasso la geome-

tría. Cadaquien seleccione una

obra diferente y expliquen su

significado; indiquen qué pie-

zas geométricas utiliza. Utilicen

por lo menos 15 diapositivas dePower Point.

~e~~~@

Clasificación de lostriángulos

Lostriángulos se pueden clasificar mediante dos criterios, la longitud de suslados o la amplitud de sus ángulos.

{.3 lados iguales (Equilátero).

Longitudde .2 lados iguales (Isósceles).sus lados .Ningunladotienelamismalongitud(Escaleno).

Clasificaciónde lostriángulos

Amplitud de

{. 3 ~ngulos agudos (Acutángulo).

sus ángulos. 1 angulo recto (Rectángulo).. 1 ángulo obtuso (Obtusángulo).

1. Forma equipo con otro compañero y respondan las siguientes pre-guntasjustificandosusrespuestas. .

¿Un triángulo equilátero podrá ser obtusángulo o rectángulo?

¿Un triángulo rectángulo podrá ser isósceles?

Comenten con sus compaheros y profesor sus conclusiones.

Rectas notables del triángulo~

Ahora es necesario que consigas de nuevo un lápiz, un juego de geometría gra-:!!duado (regla, escuadras, compás y transportador) y tres hojas de papel bond.~Formenequiposde trabajode dosintegrantes. . ~

@

Primerotracen un triángulocuyosladosmidan13, 13.6Y14cm. Despuésen-cuentren los puntos medios de cada lado. Ahora, con la escuadra tracen unaperpendiculardesdecadaunode lospuntosque señalaronanteriormente.

6 m pe z r

a=b=c x=y p=Fq=Frequilátero isósceles escaleno

Dacutángulo rectángulo obtusángulo

Actividad

Acabande trazar una mediatriz y el punto en donde se cruza-ronlaslíneasse llama circuncentro. Tracenuna circunferenciacon

el compáscolocando la punta en donde se cruzan las rectasyconunaaberturaQuealcanceuno de losvérticesdel triángulo.

@)Isósceles significa "de piernas abiertas",equilátero "de iguales lados" y es<;aleno"rengo o de piernas desiguales"circuncentro

Ahoratracen un triángulo isóscelescon dos lados de 4 cm y el otro de 5 cm.Vuelvana encontrar los puntos medios, solamente Queahora tracen una líneaque una cada uno de estos puntos con el vértice opuesto. Han trazado las me-dianasdel triángulo y el punto en donde secortan se llama baricentro.

Dibujenotro triángulo isóscelescon dos lados de 2.5 cm y el otro de 4.5 cm. Elprocesoserádiferente. Tracen un segmento Quepasepor un vértice y Quecruceperpendicularmentealiado opuesto.Estamostrazando lasalturasdel triángulo y elpuntoendondesecortan se llama ortocentro.

\~"¡':':5' ; "'./y' \

. \... ! ../~... AlturaAltura \. !../

}~Ortocentro

Existeotra línea notable en los triángulos la cual es la bisectrizgue, como yavimosen el tema anterior, es la línea Que divide exactamente a la mitad unángulo.Elpunto en donde se cortan las bisectriceses el incentro.

Incentro :"! Bisectriz

Enrelaciónconlo aprendidocompletenlasiguientetabla:nie.!~~@

Características Punto en dondese cortan

Definiciones

Mediatriz

Mediana

Bisectriz

Altura

~abíasLacircunferencia que?que se traza uti-lizando como centro el circun-centro de un triángulo se llamacircunscrita y tocará todos losvértices del triángulo.Elortocentro puede estar dentroo fuera del triángulo, dependedel tipo de triánguloquesea.

I

I

I

I

-- -----

~acio ~ "~-- Tecnológico

Compruebatus conocimientos

sobre triángulos en la dirección:

www.educaplus.org/play-20? -

Crucigra ma- Triá ngu los. htm I

portafolioo""",.'.",,.,,. '",.V"',, 1,.' l."""" "..'",N",..".,'.".,' l.,.,',. '., _.-

I Guarden sus conclusiones y

sus dibujos.

palabras en el

tiempo

I

El vocablo francés hauter sig-

nifica altura por esa razón laaltura en matemáticas se re-

presenta con la letra h.

1

,1

"

I¡

I!I1:~~~@

- -~-

Propiedadesde los triángulos

A continuación te presentamos algunas propiedades de los triángulos.

. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

. La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es 360°.

. Un ángulo externo es igual a la suma de sus ángulos internos no adyacentes.

. En un triángulo solamente puede haber un ángulo recto. Además, sólo .-

puede existir un ángulo obtuso.. Cualquiera de los lados de un triángulo siempre será menor que la suma

de los dos restantes.

. En un triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es 90°.

1. Acudan a la biblioteca de su escuela e investigen cuáles son los án-gulos completos.

¡

I¡

Escriban sus conclusiones y dibujen en una cartulina un ejemplo. Pón-ganse de acuerdo en el grupo para explicar los ejemplos más relevantes.Pueden organizar una votación para seleccionarlos de acuerdo con lossiguientes criterios; los más creativos o los mejor explicados.

2. Trabajen en equipos de tres integrantes. Van a necesitar un cuartode papel ilustración, un cúter, regla, escuadras y lápices de colores.

Tracen en el papel ilustración un triángulo rectángulo cuyas dimensionessean 15, 12 Y9 cm. Recórtenlo con cuidado para evitar accidentes.

Ahora dibujen las medianas y márquenlas con color rojo resaltando el pun-to de intersección. Tracen sus alturas de color azul y encuentren el ortocen-tro. Por último, identifiquen las mediatrices de color verde y encuentren elcircuncentro. Con un lápiz de color negro unan los tres puntos encontrados.

Investiguen cómo se llama la recta que une al circuncentro, ortocentro ybaricentro. Anoten qué propiedades tiene.

Encuentrenel punto en donde el triángulo se mantiene en equilibriocuando es sostenidopor un dedo. Realicenun resumenyexpóngalofren-te al grupo así como las posiblesaplicacionesenlaarquitectura.

Ejemplos:1. Encontrar el valor del <r.Aen el triángu lo ABCsi:

50°+ 72°+ A = 180°

ALl6

DespejandoA:

A = 180° - 50° - 72°

Resolviendo:A = 58°

2. Hallael valor de losángulos en el triángulo PQR,si 13x + 17x + 15x = 180°.

R~ 17xQ 15x P

13x+ 17x+ 15x= 180°

45x = 180°180° °

x = 45° = 4

Portanto, losángulos miden:

<tP = 13x = 13W) = 52°

<tQ = 17x = 17W) = 68°

<tR = 15x = 15W) = 60°

Sisesuman lostres ángulos se comprueba la condición inicial:

52° + 68° + 60° = 180°

3. Calculalosvalores de x y de y en el siguiente triángulo:

~10x+5y 55" A 12x+y

IUr:!~~@

Paraencontrar el ángulo faltante recordemosque la suma de los ángulosinterioresde un triángulo es igual a 180°, por lo que:

A + 70° + 55° = 180°

A = 180° - 70° - 55°

A = 55°

f) ~araInvestigar

En algún libro de geometría dela biblioteca de tu In.

el concepto de la recta

de Euler y realiza un esquema

en una cartulina para

lo frente al grupo.

¿pabíasA los triángulos que?obtusángulosy acutángulostambiénselesconocecomotriángulosobli.cuángulos.

L

Para¡,.saber

"

En la geometría, los concep-tos elementales permiten laconstrucción de conceptos más

complejos.

oconeXiones

El conocimiento de los ángulos

se aplica en física, por ejemplo,

cuando se realizan diagramas de

caida de un cuerpo libre. Estos

diagramas representan la interac-

ción de los cuerpos y las fuerzas

que inciden en ellos.

i!~

@

Pararesolver losvaloresde xy y sepueden plantear lasecuaciones(1)y(2jJconsiderando Quelos ángulos son suplementarios.

Ecuación1

10x + 5y + 550 = 1800

10x + 5y = 1800- 550

10x + 5y = 1250

Ecuación2

12x + y + 550= 1800

12x + y = 1800- 550

12x + y = 1250

Como puedes observar, nos Queda un sistema de ecuaciones con dosin.cógnitas, el cual se resuelve por el método de suma y resta:

10x+5y=125 (Ecuación1)

12x + y = 125 (Ecuación2)

(10x + 5y = 125) -12

(12x + y = 125)10

-lzfu - 60y= -1500lz{)x + 10y = 1250

-50y = -250

-250y=-=5-50

Sustituyendoen laecuación(1)el valordey tenemos:10x+5y=125

10x+ 5(5)= 125

10x+ 25 = 125

10x = 125 - 25

10x = 100

x = 100 = 1010

4. Encontrarel valor dex enel triángulo siguiente:

Comolostresángulos marcados son exteriores del triángulo y sabemosque, deacuerdoa laspropiedadesde los triángulos, su suma es igual a 360°, entonces:

9x + 18° + 21x +30° + 12° - 6x = 360°

Resolvemos:9x + 21x - 6x = 360° -18° - 30° - 12°

r

24x = 300°

300° = .:12.5°x= 24

Investiguenen el laboratorio de su escuelacuálesson los símbolos de se-guridadque existeny en cuálesde ellos se utilizan triángulos. Realicenuncartelen el que expliquen qué significa cada uno. Encasode ser necesarioinvestiguenen Internet.

Asimismo,hablen con su profesor para que seorganice una visita guiada aalgunafábrica,taller o negociode su comunidad y elaborenotro cartelen elqueseobservecuálesson lossímbolosde seguridadindustrial.

Par-a racticar1.Enlossiguientestriángulosencuentralosángulos

quehacenfalta.

a)

~ 1300 a

e)

e)

b)

d)

f)

115045'

L

2. Encuentra los valores de x y de y en los siguientes

triángulos.

a)

~~

e)

e)

1500

2x - By

b)

~

d)

f)

BO° y

eae::m~~@

---Logros

Evaluaciónsumativa

1. Enuna hojadecuadrículadibuja un triánguloen el quesusalturas,susmedianasy susme-diatricesseanlasmismas.

2. Encuentraeláreadeun triánguloisóscelescuyaalturaesiguala 5cmy la longituddesubasesea26centímetros.

3. Demuestraque el valordel áreadel triángulo isóscelesque sepresentaa continuacióneslamismasidivideseltriánguloporlamitadysumasel áreade losdostriángulosresultantes.

10cm

4. Encuentrael valorde losángulosen lossiguientestriángulos.~ I ~

24x+ 18

e)

10x+ y

Cierrede secuencia

Elaborenun cartelparala seguridaden unafábricao negocioque utilice triánguloso ángulos.Exponganensusalónlosdiferentescarteles.Realicenunavotaciónparaelegirel mejor.

Integración

1.Realizaun mapaconceptualutilizandolossiguienteselementos:------2. Definecontus propiaspalabraslossiguientesconceptos:

Ángulosadyacentes

Ángulosopuestosporel vértice

Ángulosalternas internos

Ángulosalternas externos

Ángulos correspondientes

3. Escribeladiferenciaentreunángulocomplementarioy unosuplementario.

4. Dibujaun triánguloescalenoqueseaal mismotiemporectángulo.

5. Indica cuánto vale la suma de los ángulos interiores y exteriores de un triángulo.

6.¿Cuáleselángulocomplementariode85°16'23"?

7. Encuentraun pardeángulossuplementariosde tal formaqueunoseael triple del otro.

Ir'-,Integración

,"'t(oevaluaciÓn'i~ .- ~..~

Resuelve en tu cuaderno los problemas y compara tus resultados con los de tus compañeros.

1. Unrelojmarcalas03:55 horas. ¿Quévalor tiene el ángulo que forman las manecillas? Escribetu resultado considerando el ángulo positivo y el negativo.

2. Convierte a notación decimal los siguientes ángulos (puedes utilizar tu calculadora).

a) 22° 20' 16" b) 125° 17' 4" c) 67° 3' 58"

3. Clasifica los siguientes ángulos con respecto a su medida.

a) 360° b) 180° c) 125°

I

I

I

d) 90° e) 45°

4. Encuentra el valor de los ángulos en las siguientes gráficas.

150.40x+2 8x+ 9y

I

III

I

3x+y10x+ y

15x+ y

15x+ 6y

3x+y

40.

IOx~-72E

5. Encuentra las medidas de los ángulos de un triángulo rectángulo, de tal manera que uno de sus

ángulos agudos sea 36° mayor que el otro.

6. Encuentra el área de un triángulo isósceles cuya base mide 10 cm y sus lados miden 13 cm. Si

es necesario realiza la gráfica.

- -7. Calcula los valores de los ángulos en la siguiente gráfica. Considera que las rectas AB y CD son

paralelas.

A B

e o

-- -

Integración

9.Determinael valor de losángulosenlossigüientes triángulos.

.8,Enuntriánguloisósceleselángulodiferentevale78°,encuentrasus<:ingulosinterioresyexteriores.

.~k)¿'/\

2¡ctl'~1x-40

Excepcional

Demuestraconsiderablecomprensióndel problema.Todoslosrequerimientosestánincluidosen lapuesta.la o lassolucionesofrecidassoncorrectas.

Admírable

Aceptable

Deficiente

Malo

F

-