4) Aplicación del Método de Hamilton-Jacobi para la integración. Partiendo de la Acción S:

11

( , , , , , , ) 0,nn

S S SH q q tt q q

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

(E.H.J)

en lugar de 2n-ecuaciones diferenciales de las ecuaciones de Hamilton, se tendrá una ecuación diferencial para S (generatriz de tipo canónico 2) con integral completa será tipo

1 1( , , , , , , ).n nS S t q q α α=

, , , ( 1, , ),i ii i

S S Sp Q H H i nq P t∂ ∂ ∂′= = = + =∂ ∂ ∂

( , , )para H q p t

1 1( , , , , , , )n nS t q q P P

y las nuevas variables:

0H ′⇒ ≡

0, 0,i ii i

H HQ PP Q′ ′∂ ∂

= = = − =∂ ∂

,,

1, , ,

i i

i i

Q constP consti n

βα

= == ==

( , , ) ,

( , , ) ,

ii

ii

S t qpq

S t q

α

αβα

∂=

∂∂

=∂

( , , ),( , , ),

i i

i i

q q tp p t

α βα β

==

0 0

0 0

( ) ( , , ),( ) ( , , ),

i i

i i

q t q tp t p t

α βα β

==

1 31 3

( , , , , , ) 0,S S SH q qt q q

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

(E.H.J)

Como la Hamiltoniana es independiente del tiempo, y hay variables cíclicas, la ecuación

Puede resolverse probando separación de variables sucesivamente, con el tiempo sólo, se prueba:

1 3 1 3 0 1 3( , , , , , ) ( , , ) ,S W q q E tα α α α= −

Donde W es la acción reducida , con :

1 0( , )S W r z E tα φ= + − La ecuación en derivadas parciales sería:

22 2 2

2

2 2 2 2 221

1 02

22

0

1 1( , , ) 0

2 2

12 2

dando:

S S S S S S SH q t

q t r z r t

W Wr

r z r

r

E

φ φ

α ωα α

ω∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Ω ∂ ∂+ = → + + + = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ Ω ++ + + −Ω =

∂ ∂

+ −Ω

=

Pero aún puede realizarse otra separación de variables para W(r,z) según: 0 1 ( ) ( )r zWS t r W zα α φ + += − +

2 2 2 221

22

2 22

0 1 2

12 2 2

12 2

r

z

dW rdr r

y

dW zdz

α ω α

ω α α α

Ω + + + =

+ = −Ω −

, , 0,i ii i i

S W Sp Q y Hq q P∂ ∂ ∂ ′= = = =∂ ∂ ∂

,,

0,1,2

i i

i i

Q constP consti

βα

= == ==

Son dos ecuaciones diferenciales ordinarias desacopladas y resolubles por integración directa. La contribución en la variable radial se identifica con un problema de una partícula en un y potencial central la contribución en z con una problema en un potencial de un movimiento armónico simple: 2

2 2 212 2

2 20 1 2

2 ( )

2( )

r

z

W dr rr

W z

αα ω

α α α ω

= − − Ω +

= −Ω − −

∫

Ambas integrales son prácticamente inmediatas o se hallan en tablas de integrales elementales. Una vez encontradas las W (y la S) la solución del problema se obtiene de:

Observar que las integrales que dan las Q aparecerían también en la resolución del problema por el método de integración directa, ejm. para la parte radial:

2 23

22 2 22

22

22 2 21

2 2

2( )

( ) .2 2 2

/2 ( )r

Hr p

rpr

p r p r rr

pr r cter

drtr

r

φ

ωφ

ω α

αα ω

∂= =∂

= = − Ω +

Ω ++ + = =

→ = − − Ω +

∫

0

( , ) ,

( , ) ,

ii

i ii i

W qpq

E W qQ t

α

αβα α

∂=

∂∂ ∂

= + =∂ ∂

Comentarios y Cuestiones: ¿cuáles son los puntos de equilibrio en las ecuaciones de movimiento del sistema? ¿Son estables? ¿Por qué las soluciones r(t) y z(t) son periódicas en t? ¿Habrá soluciones periódicas? Interpretación física de la hamiltoniana inicial.

Ejercicio 1 (Una hora)Se considera un sistema lagrangiano de dos grados de libertad con lagrangiana

2 21 2

1 ( ) 2

L q q U= + − ,

en donde 2 211 2 1 2 2 12 ( ) ( )U q q q q q qα= + + + , siendo α una constante. Se pide:

A.- (7 puntos)1) Fuerzas generalizadas 1Q y 2Q asociadas al potencial U .2) Ecuaciones de Lagrange del movimiento.

3) Función de energía ( , , )E H q q t= & , función de las variables generalizadas ( , )q q& .4) Una constante de movimiento.

B.- (3 puntos , 1.5+1.5)Si se incorpora al sistema la ligadura (no holónoma) 2 1 1 2 , con 0,kq q q q k ≠− =

8) Nuevas ecuaciones de Lagrange del movimiento usando el método de losmultiplicadores de Lagrange ( notarlos como µ ).

9) Para la función E obtenida en 3), evaluar en este caso /E dE dt=& .

1)Aplicando la definición 1 1

1 1

2 22 2

d U UQ qdt q qd U UQ qdt q q

∂ ∂ = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ = − = − ∂ ∂

&

&

2)Por la ecuaciones de Euler-Lagrange: 1 1

2 2

00j

j j

q qd T T Qq qdt q q

+ =∂ ∂− = → + =∂ ∂

&&&&&

Observar que el término 1 2 2 1( )q q q qα +& & es de la forma 1 2( )dF d q qdt dt

α=

3)De la definición: 2 2 2 21 2 1 2

1 1( , ) - = = ( ) + ( )2 2

LH q q q L E q q q qq

∂= + +∂

& & & &

4) Como 0, .H E ctet

∂ = =∂

Nota: también son constantes2 2

2 1 1 2 , ( ) 1,2. (sólo dos constantes están en involución). j jq q q q y q q para j− + =& & &

5) 1 1 2

1

2 2 12

Lp q qqLp q qq

α

α

∂ = = − ∂ ∂ = = − ∂

&&

&&

6) Con 5), 2 2 2 21 2 2 1 1 2

1 1( , ) [ ( ) ( ( ) ] + ( )2 2

H q p p q p q q qα α= + + + +

7) 2

1 1 2 1 2 12

2 2 1 2 1 2

(1 )

(1 )j jj j

q p q p p qH Hq y pq p qp q p p q

α α αα α α

= + = − − +∂ ∂ = → = − → = +∂ ∂ = − − +

& && &

& &

8) Sólo hay un multiplicador de Lagrange (se considera la ligadura anholónoma

tipo ( , ) ( ) 0rk k rr

B q t q B t− =∑ & con 1 .rr y B k= = ) se tiene:

: 1 1 2

2 1 1 22 2 1

0j j j

q q qd L L junto con q q q q kq q qdt q q q

µφµ φµ

+ =∂ ∂ ∂− = → = − − = + = −∂ ∂ ∂

&&& &

&&& &

9) Con E de 1) y con las ecuaciones de 8):

1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1( )dE E Eq q q q q q q q q q q q q q k Edt q q

µ µ∂ ∂= ⋅ + ⋅ = + + + = − = =∂ ∂

&& && & & & && & && & &&

5

¿Puede resolverse el sistema de ecuaciones en los casos con y sin ligadura?

6

Ejercicio 2 (Una hora)El sistema lagrangiano correspondiente a una partícula puntual de masa m y carga q que se muevebajo la acción de su peso y de un campo magnético uniforme 0 ( )B B k m q k= = Ω

r rr , tiene por

Lagrangiana 2 2 2 2 21 1 ( )

2 2L m r r z m g z m rφ φ= + + − + Ω& && &

usando coordenadas cilíndricas como coordenadas generalizadas ( , , )q r zφ≡ . Se pide

A.- (6 puntos, 1.5 puntos cada apartado)

1) Momentos canónicos ,r zp p y pφ .2) Hamiltoniana del sistema ( , )H q p .3) Dos constantes del movimiento, dadas en función de las variables generalizadas ( , )q q& .4) Plantear la ecuación de Hamilton-Jacobi para la acción ( , , , )S r z tφ usando el método de separación

de variables (si es posible). B.- (4 puntos)

5) Probar que la la ecuación para la variable radial adopta la forma 3 0m r a r br+ + =&& yy dar el valor de a y b. (2 puntos)

6) Estudiar la estabilidad del punto de equilibrio de esta ecuación (trazar el diagrama defases aproximado)

7) Variable de acción Iφ asociada a φ -si se impone la ligadura 0 ( 0)z z= =& -

1) Los tres momentos canónicos: son 2 ( 2)r

z

jj

p m r

p mr

p mz

Lpq φ φ

=

= + Ω

=

∂ = → ∂

&&

&&

2) De la definición: 2

2 2 2 22

1 1 1( , ) ( )2 8 2r z

pH q p p q L p p mgz m r p

m rφ

φ= ⋅ − = + + + + Ω − Ω&

3) Dos constantes: 2 2 2 2

0

21

1como : 0 ( , ) ( ) ( .)2

y es cíclica: ( ) ( .)2

H E H q q m r z r mgz ctet

p mr cteφ

φ α

φ φ α

∂ = ⇒ = = + + + =∂

Ω= + =

&& & &

&

También 2 2 2 2 2 2

2 3/ (2 ) / (2 ) / (2 ) / 8z rp m mgz y p m p mr m rφα α= + = + + Ωson constantes del movimiento fácilmente identificables,el problema es de física elemental.

Ejemplos.Determinad la Hamiltoniana y las ecuaciones de Hamilton de lossiguientes sistemas:

a) Péndulo simple

b) Partícula relativista con Lagrangiana 2 2 21 / ( )L mc x c U x

c) Péndulo con excitación paramétrica

x

z

M gR

x

z

0 (1 cos( )).h h t

R g

d) Péndulo simple contenido en un plano que rota alrededor del eje vertical con velocidad angular constante.

t

g R

a) Péndulo simple

b) Partícula relativista con Lagrangiana 2 2 21 / ( )L mc x c U x

x

z

M gR

2 212 1 cos ,L MR RMg 2

2, ,L pp MRMR

221

( , ) 2( , ) (1 cos ),

p MRH p E p RMg

2 , sin ,d H p dp H RMgdt p MR dt

2

2 2( , ) ( ),

1 /L mcE x x x L U xx x c

22

22 2

/, ( / ) ,

1 /1 /

p mcL mxp x cx p mcx c

2 2( , )

( , ) 1 ( / ) ( ),x x p

H x p E mc p mc U x

2

( / ) ,1 ( / )

,

dx H p mdt p p mcdp H Udt x x

c) Péndulo con excitación paramétrica

x

z

0 (1 cos( )).h h t

R g

2 2 2 210 02 ( ) sin ( ) 2 sin sin( )

( cos ),

L m R h t h R t

mg h R

20 sin sin( ) ,Lp m R h R t

2 2102 2 sin sin( ) cos ,E p m R h R t mgR

02 sin sin( ),p h tmR R

21

02( , , ) sin sin( ) cos ,pH p t m h t mgRmR

02

0 0

sin sin( ),

sin sin( ) cos sin( ) sin ,

H p h tp mR R

H pp m h t h t mgRmR

Coordenada generalizada:

d) Péndulo simple contenido en un plano que rota alrededor del eje vertical con velocidad angular constante.

t

g R

x

y

z,q sin ( cos sin ) cos ,r R i t j t kR

2 2 2 2 212 ( sin ) (1 cos ),L T mgz m R R mgR

2 2 2 2 21 12 2 sin cos ,L mR m R mgR

2 2 2 2 21 10 02 2 sin cos , gL mR

R Frecuencia de oscilación

de péndulo (ángulo pequeño)

Principio de Hamilton:2 2

1 1

2 2 2 2 21 102 2( sin cos ) 0,

t t

t t

S Ldt mR dt

,Lp

2 2 2 21 102 2( , ) sin cos ,E

2 2 2 21 102 2( , ) sin cos ,H p p

2 20

,

sin(2 ) sin ,

H pp

Hp

Êjercicio.Determinad la Lagrangiana de un sistema con Hamiltoniana:

2 2 21 12 2( , ) ,H q p p q p q

2 2, ,Hq p q p q qp

22 2 21 1

2 2( , ) ( ) ,p q q

L q q qp H q q q

Estudio del sistema Hamiltoniano

0 0 0 0

,

,

( ) , ( ) ,

dq Hdt pdp Hdt qq t q p t p

( , )H q p

( , ) .H q p const

Puntos de equilibrio (singulares o críticos):e

ee

qx

p

0, 0,e ex x

H Hp q

En los puntos de equilibrio: 0, 0,dq dpdt dt

( ) ,ee

e

qx t x t

p

( )( ) ,

( )q t

x tp t

0 11 0

HqdxHdtp

,J H

00 0

0

( ) ,q

x t xp

Estabilidad de un punto de equilibrio. Definición:

Un punto de equilibrio se dice que es estable si para todo existe un tal que para todo que verifique la solución , con condición inicial , satisface para todo la desigualdad

ex 0 ( ) 0 0x 0 ,ex x ( )x t 0x 0t t

( ) .ex t x

q

p

ex

0x ( )x t

Teorema de Lagrange (estabilidad de un punto de equilibrio)Si la posición de equilibrio es un extremo estricto (máximo o mínimo) de , entonces dicha posición es de equilibrio estable.( , )H q p

ex

Sea . Para , suficientemente pequeño, y suponiendo que el extremo estricto es un mínimo, la componente conexa del conjunto conteniendo a será un entorno arbitrariamente pequeño de . Dicha región es invariante durante el movimiento del sistema ya que es una integral primera. Por lo tanto, una condición inicial, , próxima a , dará lugar a una trayectoria en el espacio de fases que se mantiene todo el tiempo próxima a .

0

( , )H q p0x

ex : ( , )x H q p h

( , )e eH q p h

ex

ex

ex

q

p

z

ex

( , )z H q p

z h

: ( , )x H q p h 0x

q

p

ex

0

Comportamiento del flujo de fase en el entorno de los puntos de equilibrio.

2 2 22 2

2 2

( , ) ( , )

1 ( , ) ( , ) ( , )( ) ( ) 2 ( )( )2

e e

e e e e e ee e e e

H q p H q p

H q p H q p H q pq q p p q q p pq p p q

2 2

2

2 2

2

( , ) ( , )1 ( ) ( ), ,2 ( , ) ( , )

e e e e

Te e e e

e e e e

H q p H q pq p q

x x A x x AH q p H q p

p q p

22 2 2

2 2

( , ) ( , ) ( , )det 0,e e e e e ee

H q p H q p H q pAp q p q

q

p

ex

0

CENTROPUERTO

.H const .H const

Caso particular: 212 ( ),L q U q 21

2 ( ),H p U q

Extremos de H : 0, 0,eH p pp

( ) 0, ,e eH U q q qq

Mínimos o máximos de U: ( ) 0,ëU q

2 21 12 2( , ) ( ) ,e e eH q p H p U q q

0, max ;eU de U H no es extremo estricto !

( ) 0, min ;e eU q de U H sí es extremo estricto !

q

p

eq

q

p

eq

2 21 12 2 ( )e ep U q q const

( ),e ep U q q

Linealización ec. Hamilton

, ( ),e eH Hq p p U q qp q

( ),e eq U q q exp exp ,e eq A t U B t U

exp exp ,e e e ep A U t U B U t U

2 21 12 2 ( )e ep U q q const

sin( ), cos( ),

e

q A t p A t

U

Comportamiento global de la solución

q

U

2q3q 1q

q

p

212 ( )H p U q cte

3U

2U

1UaU

cU

bU

Péndulo simple: Estudiad cualitativamente el entorno de los puntos de equilibrio.

x

z

M gR

2 210 02 cos , ,gL

R ,Lp

2 2102

20

cos ,

cos ,

H p

U

( , ) ( , 2 ), ,H p H p ,

2 20 0sin , cos ,U U 0, min ; , max ;de U de U

-2 p -p p 2 p

-1

120/U

-2 p -p 0 p 2 p

-2

-1

0

1

2

-2 p -p 0 p 2 p

-2

-1

0

1

2p

20

1H

20

1H

.H const

Péndulo simple contenido en un plano que rota alrededor del eje vertical con velocidad angular constante: estudiar la estabilidad de los puntos de equilibrio, flujo de fase, etc, en función del parámetro , siendo .

t

g R

0/ 0 /g R 2 2 2 2 21 1 1

02 2 2( , ) sin cos ( ),H p p p U 2 2 2 21

0 02 sin(2 ) sin , cos(2 ) cos ,U U 2

20 1 22

02 2 2 2

3 0 0

0, (1 cos )sin 0, , 0, ,

arccos( / ) ( ),

e e

e

U

2 2 2 2 2 2

1 0 0 0

42 2 20

2 3 04

( ) , (min); (max)

( ) 0, max , ( ) 1 0, (min)

e

e e

U inestable

U inestable U estable

-p - p2 pp

2

-1

120/U

0

0

3 / 4

1

3 / 2

2

0 0.5 1 1.5 2 2.50

p4

p2

e estable

0/

-p - p2

0 p2

p

-2

-1

0

1

2

-p - p2 0

p2 p

-2

-1

0

1

2

20/ .H const 0/ 0

-p - p2

0 p2

p

-2

-1

0

1

2

-p - p2 0

p2 p

-2

-1

0

1

2

0/ 1 / 2

-p - p2

0 p2

p

-2

-1

0

1

2

-p - p2 0

p2 p

-2

-1

0

1

2

0/ 1

-p - p2

0 p2

p

-2

-1

0

1

2

-p - p2 0

p2 p

-2

-1

0

1

2

0/ 2

Tipos de funciones generatriz:1 1 ,F Fpdq PdQ dq dQ

q Q

1 1( , ( , ), ,)F q Q F q Qp Pq Q

2 2( , ) ( , ), ,F q P F q Pp Qq P

3 3( , ) ( , ), ,F Q p F Q pq Pp Q

4 4( , ) ( , ), ,F p P F p Pq Qp P

,pdq PdQ dF

a) Tipo 1: 1( , ),F F q Q

( , ), ( , ),q Q P p Q P

b) Tipo 2: 2 ( , ) ,F F q P QP 2 2 ,F Fpdq PdQ dq dP QdP PdQq P

( , ), ( , ),q Q P p Q P

c) Tipo 3: 3( , ) ,F F Q p qp 3 3 ,F Fpdq PdQ dQ dp qdp pdqQ p

( , ), ( , ),q Q P p Q P

d) Tipo 4: 4 ( , ) ,F F p P qp QP 4 4 ,F Fpdq PdQ dp dP qdp pdq QdP PdQ

p P

( , ), ( , ),q Q P p Q P

para cierta función . Tª: Una transformación es canónica si y solo si los corchetes de

Poisson de las funciones verifican:,j jQ P

Sea un sistema con Hamiltoniana , y las correspondientes ecuaciones canónicas

( , , )H q p t

( , , )H Q P t

La transformación de variables se dice que es canónica si las ecuaciones del movimiento en las nuevas variables se pueden escribir de la forma

( , , ), ( , , ),j j j jQ Q q p t P P q p t

TRANSFORMACIONES CANÓNICAS:

, 0, , 0, , .j k j k j k jkQ Q P P Q P

, , 1, , .j jj j

H Hq p j np q

, , 1, , ,j jj j

H HQ P j nP Q

Cuando la transformación canónica es independiente del tiempo, la nueva Hamiltoniana es . ( , ) ( , )

( , , ) ( , , )q p Q P

H Q P t H q p t

El corchete de Poisson de dos funciones , de las variable

cánonicas y del tiempo, es independiente de las variables canónicas utilizadas: .

,u v

, .j jj j j j j j j j

u v u v u v u v u vq p p q Q P P Q

17

Función generatriz de una transformación canónica

.j j j jj j

p dq Hdt P dQ H dt dF

La aplicación del Principio de Hamilton ante una transformación canónica nos lleva a:

Un cálculo análogo al efectuado para un grado de libertad nos conduce a los siguientes cuatro tipos básicos de función generatriz:

1 1( , , ) ( , ), ,,j j

j j

F q Q t F q Q tp Pq Q

2 2( , , ) ( , , ), ,j jj j

F q P t F q P tp Qq P

3 3( , , ) ( , , ), ,j jj j

F Q p t F Q p tq Pp Q

4 4( , , ) ( , , ), ,j jj j

F p P t F p P tq Qp P

a) Tipo 1: 1( , , ),F F q Q t

b) Tipo 2:

c) Tipo 3: 3( , , ) ,j j

j

F F Q p t q p

d) Tipo 4: 4 ( , , ) ( ),j j j jj

F F p P t q p Q P

2 ( , , ) ,j jj

F F q P t Q P

( , ) ( , )

, 1,2,3,4.q p Q P

FH H

t