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k\SIBIUP Ilateci mt Simon Bolivar 11111110 11111111111 III 00073810 UNIVERSIDAD DE PANAMÁ VICERRECTORIA DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES EXACTAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE MAESTRIA EN MATEMATICA EL TEOREMA DE GELFOND—SCHNEH)ER POR DARÍO HERRERA DÍAZ TESIS PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OPTAR POR EL TITULO DE MAGÍSTER EN MATEMATICA PANAMÁ, REPUBLICA DE PANAMA 2014
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k\SIBIUP Ilateci mt Simon Bolivar
11111110 11111111111 III 00073810
UNIVERSIDAD DE PANAMÁ VICERRECTORIA DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES EXACTAS Y TECNOLOGÍA PROGRAMA DE MAESTRIA EN MATEMATICA
EL TEOREMA DE GELFOND—SCHNEH)ER
POR
DARÍO HERRERA DÍAZ
TESIS PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OPTAR POR EL TITULO DE MAGÍSTER EN MATEMATICA
PANAMÁ, REPUBLICA DE PANAMA
2014
e —4
Titulo de la Tesis EL TEOREMA DE &ELFONb-SCHNEIbER
TESIS
Sometida para optar al titulo de Maestria en Matematica
Vicerrectoria de Investigacion y Postgrado
Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y Tecnologia
APROBADO POR
c;ç2Doctor !Guttez Pp€idente
Ortiz (Dt cí6r~3osue Miembro
Prá&Senio Cornejo Miembro
REFRENDADO POR
REPRESENTANTE DE LA VICERRECTORIA DE INVESTIGACION Y POSTGRADO
FECHA -
Jue.#eS 13 de 1170 2o de eosy
AGRADECIMIENTO
Al Doctor Jaime Gutiérrez, por sugerirme el tema de la presente investigación la
cual me permitio apreciar las relaciones entre las distintas ramas de la matemática
También le agradezco haberse tomado el tiempo en la revision de la misma
Contenido Páginas Sumario Summary i Introducción 2
CAPITULO N°1 El origen de La Teona de Numeros Trascendentes 4 11 Algunas fuentes de La Teoría de Numeros Trascendentes 4 12 Estado de La Teona de Numeros Trascendentes antes de los 23
problemas de Hilbert 11 13 Los 23 problemas de David Hilbert 25 14 El séptimo problema de Hilbert 36
CAPITULO N°2 Preliminares a algunos resultados trascendentes 39 21 Propiedades Elementales 39 22 Algunas Propiedades de los Polinomios 41 23 Sumas Exponenciales Conjugadas Complejas 51 24 Polinomios Simétricos 56 2 5 Algunos resultados del Álgebra Lineal 67 25 Algunos resultados de La Teona de Numeros Algebraicos 72 26 Algunos resultados del Anahsis Complejo 82
CAPITULO N°3 Algunos resultados trascendentes, previos a la solución del séptimo problema de Hilbert 84 3 1 Irracionalidad de potencias de e y su trascendencia 84 3 2 El Teorema de Lrndemann Weierstrass lOO 3 3 Irracionalidad de 115
CAPÍTULO N°4 Pruebas del Teorema de Gelfond-Schneider 125 41 Teorema de Gelfond Schneider 125 42 Prueba de Gelfond 126 43 Prueba de Schneider 134 44 Corolarios del Teorema de Gelfond Schneider 147 4 5 Diferencias y similitudes en las soluciones del séptimo
problema de Hilbert 148
CONCLUSIONES 150 RECOMENDACIONES 152 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 153
LISTA DE ALGUNOS SIMBOLOS UTILIZADOS
Rl El conjunto de los numeros naturales (0 12 }
Ek0 El conjunto de los numeros naturales positivos
ZL El conjunto de los numeros enteros
Q El conjunto de los numeros racionales
ilt El conjunto de los numeros reales
C El conjunto de los numeros complejos
El conjunto de los numeros algebraicos
C(p) Coeficiente principal del polmormo p(x)
gr(p) Grado del polmomio p(x)
mgr(p) Multigrado de un polmomio en vanas indeterminadas
x(a) Altura del numero algebraico a
Norma del numero algebraico y en Q(0)
hall Máximo de los valores absolutos de los conjugados de a
SUMARIO
La presente investigacion pretende exteriorizar las herramientas matemáticas empleadas en la demostración del Teorema de Gelfond Schneider presentando al mismo tiempo el desarrollo histórico matemático que lo genera. La misma la hemos dividido en cuatro capitulos los cuales se encuentran organizados de la siguiente manera En el capitulo n°1 presentamos el desarrollo histórico-matemático que produce el teorema de Gelfond Schneider el capitulo n°2 establece los conceptos matemáticos necesarios para la solución del séptimo problema de Hilbert, en el capítulo n°3 se presentan las pruebas de algunos resultados previos a la formulación de los 23 problemas de Hilbert y en el capítulo n°4 se exhiben las dos soluciones dadas, de forma independiente del septuno problema.
SLJM1%IARY
This research amis to extemalize the mathematical tools used in the demostration of the Gelfond Schneider theorem, presentmg at the same time the lustorical and mathematical development which generated it This work has been dwided mto four chapters which are organized as foliows In the first chapter we Fesent the histoncal and mathematical development that produces the Gelfond Schneider tbeorem the second chapter establishes thl mathematical concepts needed for the solution of Hilbert s seventh problem in the third chapter we present some previous results to the formulation of the Hilbert s23 problems and in the fourth chapter are exhibited two independent solutions given to the l-hlbert s seventh problem
1
INTRODUCCION
Sabemos que los numeros reales pueden dividirse en racionales e irracionales y
también que en algunos casos demostrar que cierto numero es irracional no es tarea
fácil de emprender sin embargo otra que posteriormente ha llamado mas la
atención ha sido la división en numeros algebraicos y trascendentes Los numeros
algebraicos son infinitos numerables y los trascendentes infinitos no numerables por
ende se puede concluir que hay más numeros trascendentes que algebraicos, no
obstante generar numeros trascendentes o demostrar la trascendencia de cierto
numero es aun más complicado (al cabo de todo primero tiene que ser irracional)
En 1900 en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en
Paris David Hilbert propone veintitrés problemas que en su opinión deberían
ocuparse tos matematicos durante el siglo XX En el séptimo problema conjeturo
que ag sería trascendente si a es un numero algebraico diferente de 0 ó 1 y si fi es
un numero algebraico irracional además proporcionó ejemplos como 2112
En 1929 el matemático ruso Alexander Gelfond presentó un primer adelanto de
la solucion del septimo problema de Hilbert, la diferencia radicó en tomar a fi como
un numero cuadratico imagmano irracional Después, Kuzmm (1930) extiende este
resultado a los fi irracionales reales cuadráticos No fue hasta 1934 cuando de forma
2
3
independiente Gelfond y Theodor Schneider solucionan por completo el séptimo
problema de Hilbert, conocido hoy dia como teorema de Gelfond Schneider
En vista de que el teorema de Gelfond Schneider resuelve el séptimo problema
planteado por Hilbert y nos ayuda a demostrar por ejemplo que e es trascendente
es de vital importancia reconocer y comprender los conceptos matemáticos usados
en su demostracion, para poderlo emplear con confianza de aqw que decidimos
realizar la presente investigación
CAPITULO N°1
EL ORIGEN DE LA TEORIA DE NUMEROS TRASCENDENTES
La Teoría de Numeros Trascendentes es un área de la Teoría de Numeros que es
formulada, con sus propios metodos a partir del siglo XX no obstante florece a
partir de fuentes diversas como los son el problema clásico de la cuadratura del
circulo las investigaciones de Liouville y Cantor las investigacion de Henmte
sobre la función exponencial y el séptimo problema de Hilbert (de su famosa lista
de 23 problemas de los cuales debian ocuparse los matemáticos en el siglo XX)
En el presente capitulo presento el desarrollo histórico matematico que suscita la
solución del séptimo problema de Hilbert el cual posteriormente sera conocido
como Teorema de Gelfond Shneider Tambien se presenta la evolucion de la
Teona de Numero Trascendente antes de la formulación de los 23 problemas de
Hilbert culminando con la enunciación de estos ultimos y su estado actual
11 Algunas fuentes de La Teoría de Numeros Trascendentes
Los principales problemas de la Teona de Numeros Trascendentes son probar la
irracionalidad, la independencia Imeal la trascendencia y la independencia
algebraica de ciertos numeros Unas cuantas definiciones serán necesaria para
4
5
definir el concepto de numero trascendente al tiempo que revisamos sus fuentes de
origen
Definición 11 Sea D un anillo La coleccion D[x] definida por
D[x] =(Eoaix'/n EN ya1 ED Vi = O n}
la llamaremos anillo de los polmomios sobre D en la indeterminada x
Observación 11 Algunas caractensticas o propiedades que posee el amilo D son
conservadas por el amilo de polinomios D[x] como lo son
1 Si D es conmutativo entonces D[x] también los es
2 Si 1 esia unidad deD entonces también esia unidad deD[x]
3 Si D es un dominio entero (D no tiene divisores de cero) entonces D[x]
tambien lo es
4 Si D es un cuerpo entonces D[x] es un Dominio Euclidiano y por ende es
valido el algoritmo de la división en D[x]
Ejemplo 11
1 7Z[x] es el anillo de los polinomios en la indeterminada x con coeficientes
enteros
2 Q[x] R[x] ([x] son amitos de polinomios en x con coeficientes racionales
reales y complejos respectivamente Ademas como Q. Rk C forman cada
uno un cuerpo se tiene que Q[xJ R[x] C[x] son dominios euclidianos
donde es válido el algoritmo de la división
6
Defmición 12 Sea p(x) = E=0 a1 x' E D [x]
1 Si a,, O diremos que a es el coeficiente principal de p(x) y lo
denotaremos C(p) y que el grado de p(x) es it el cual denotaremos por
gr(p)
2 Diremos que un polmomio es una constante si es de grado O o es el
polinomio cero
Definición 13 Un numero complejo a se dice que es raiz de un polinomio
p(z) E Q[z] sip(a) = O
El descubrimiento de los numeros irracionales se le atribuye a los pitagóncos
hacia mediado del siglo V a.0 especificamente a Fhpaso de Metaponto quien
presumiblemente demostró que en irracional usando aproximaciones
geométricas Una prueba de la irracionalidad de J2 la encontramos en los
Elementos de Euclides convirtiéndose esto en un teorema incipiente junto con su
prueba, de la Teona de Numeros Trascendentes En la actualidad hay muchas
pruebas de la irracionalidad de V la que presentamos a contmuacion nos ayudará
a comprender los argumentos empleados en la demostración de la trascendencia de
ciertos numeros
Teorema 11 El numero no es racional
Prueba
Supongamos que V2E Q esdecirV=t Donder SENt =(123 }
VA
Definamos dos sucesiones (a} y (b} en forma recurrente mediante las
condiciones
a0 =0 a1=1
a=2a 1 +a_2 n~t2
b0 =1 1,1=1 b=2b_1 +b_2 n~t2
Ahora consideremos los polinomios en Z[z] definidos por
n E N
Claramente
y para n~t1
Es más para n~!1 se tiene que
(1 1) 24 - = (_1)1 y 2a-1a7, -bn-ibn = (-i)n
Probemos esta ultima afirmación por inducción
Para n = 1 obtenemos que
2a? - = 2(1)2 - 1 = 2- 1 = 1 = (_1)2
2a1-1a1 - = 2a0a1 - b0 b1 = O - 1(1) = -1 = (_1)1
Si suponemos que (1 1) es válido para un particular n (1-lipótesis de Inducción,
HO se tiene que para n + 1
8
22 - U
2+1 - n4/nafl+l_l r \2 - (nUn +1_1 r Un+1_2)n
= 2(2a7, + a_j 2 - (2b + b_1)2
= 2(4a + 4aa 1 + a.1) - (4b+ 4bb_1 + b_1)
= 4(24 - b) + 4(2aa_1 - bb_1) + (24_1 -
= 4(-1)"" + 4(_1)ht + (_1)ht por la Hl
= (_1)n(_1)2
= (_1) 2
= (_1)(fl+1)+1
De manera análoga
2a(+l)_la+l - = 2aa+1 - bb+1
= 2a(2a + a.1) - b(2b + b_1)
= 2(24 - b) + (2a,1_1a - b_1b)
= 2(_1)F1 + (1)2 por Fil
= (_1)1+1 + (-1)'' + (-1)"
= (_1)1.1
9
De (1 1) se deduce que para todo n ~t 1 I&(V)1 = 1
En vista de la definición de los & y nuestra suposición de que = podemos
dar otra expresión para 1 P, (vr2-)1 a saber
1=IPn(1/)I124' 21
= - b,) (Va,, +
= I(an-zvJ(a4+ b)I
(a,1r+bs\ =Iar — bsI 2 )
De esta ultima igualdad podemos inferir que ar - bs es un entero
satisfaciendo
O < Iar - bsI = 52
ar+b,1s
Por otro lado (aj y (b) son estrictamente crecientes Veamos esto para (aa)
Por definición z0 Ca1 al = 1<2=a2 ypara n~2
- a,1 = 2a( +1).. 1 + a(+1)2 - a,, = 2a,, + a,,4 - a,, = a,, + a,,....1 > O
De forma análoga se prueba que {b,j es estrictamente creciente para n ~ 2
de donde se sigue que la sucesión [a,,r + b,,s} también es estrictamente creciente
por lo tanto existe un entero fi tal que
2 <ay + bs
lo
Al considerar el polinomio auxiliar I'0 (z) obtenemos un entero ar - bs que
satisface la relacion
O < Jai- - bñsl < 1
lo cual es imposible pues no hay enteros entre O y 1 Mi nuestra suposicion inicial
es falsa y es irracional o
Al suponer en la demostracion anterior que = E Q alegamos que es
raíz de un polinomio de grado uno en 7L[z] Por ende podemos adoptar la siguiente
definición
Definición 14 Los numeros irracionales son aquellos numeros complejos que no
son raíces de mngun polinomio de grado uno en Z[z]
El problema de la cuadratura del circulo fue lo que dio origen en el siglo XIX a
las investigaciones sobre numeros trascendentes dicho problema lo encontramos
desde tiempos antiguos en el papiro Rhind, cuando el escriba Ahmes hacia el año
l650aCda una regla para construir un cuadrado de área "casi igual aladel
circulo
La palabra "trascendente fue utilizada por primera vez por Euler o Leibmz
algunos autores afirman que fue Leibniz quien la utilizo en 1704 otros como
Yandell (2002) afirman que fue Euler alrededor de 1740 quien conjeturo que tales
numeros existian y los llamó 'trascendentes" ya que estos segun el propio Euler
11
'trascienden al poder de los metodos algebraicos En este momento es oportuno
presentar la defimcion de numero algebraico y la de numero trascendente
Definición 15 Un numero a e st se dice que es algebraico si existe un polmomio
p(x)E 71[x] no nulo tal que p(a)= O
Definición 16 Los numeros complejos que no son algebraicos se llaman
trascendentes
Observación 12 Al conjunto formado por los numeros algebraicos lo
denotaremos por
A continuacion presentamos una cronología del estado de la Teona de Numeros
Trascendente antes del reto de Hilbert, la prueba de algunos de estos
acontecimientos se presentan en el Capitulo N°3
12 Estado de la Teona de Numeros Trascendentes antes de los 23 problemas de Hilbert.
En 1727 el matemático suizo Leonhard Paul Euler utilizó por primera vez, de
forma escrita, el simbolo e para un numero y postenormente en 1737 demostró
que este es irracional En 1748 publica Iniroductio in analysin :nfinztzorum y entre
los hechos o resultados más sobresalientes que encontramos en esta publicación,
podemos mencionar
o Prueba que e2 es irracional utilizando su expansión en fracciones continuas
o Obtiene la relacion e"= —1
o Denva la formula e = cos(x) + tsen(x)
12
o Calcula dieciocho digitos de e
o Formula una conjetura para numeros trascendentes
Conjetura de Euler Para cualesquiera numeros racionales a * 1 y b
logab = mb Ina
es trascendente si no es racional in a
Posteriormente excluye casos triviales como 10924
Recordemos la definicion moderna de la función logantmica, para obtener una
versión exponencial de esta conjetura
Definición 17 La función logantmica con base a> O a * 1 se define por
logab =y sLysolosi a = b
Conjetura de Euler (Versión Exponencial) Suponga que a y b son numeros
racionales distintos de cero tales que
= b
Entonces si fi no es racional debe ser trascendente
En esta versión se deduce que es irracional pues en caso contrario sena
trascendente lo cual sabemos es falso pues es raiz del polinomio
p(x) a x1 —2 E Z[x]
13
Motivado por el problema de la cuadratura del circulo Johann Lambert probé en
1766 que ir es irracional En 1815 Jospeh Fourier dio una prueba alternativa de la
irracionalidad de e la cual se convertina en fluente para los metodos de
demostración empleados en la Teoría de Numeros Trascendentes Veamos esta
prueba
Teorema 12 El numero e es irracional
Prueba
Supongamos que e=E con rsE7lys~:1
Como e =2:ñ=o¿ Si consideramos E=0 - se tiene que
r 1 ;- ¿n=0j
es un numero positivo luego
si(L_zo1) = s'(e—Eo*)et
Denotemos esta ultima expresión por N Al realizar algunas operaciones se sigue
que
N
= & (;=5+1 )
1 1 +(+2)!+ )
14
1
N = + F2)( ss+1 X 5;3 5,.2)(5.11) +
En vista de que s ~i 1 5+1 2i 2 se sigue que
1 1 1 1
s+1 (s+2)(s+1)<1
Asi
1 1 1 11 1 N=1+ (s4 2)(s+1)+(s+ 3)(s+ 2)(s+ 1)+ <rii+ii+
, —v - Ln=1
71
Luego
Nc1
De esta forma hemos obtenido un entero N con la propiedad
O<N<1
lo cual es imposible por lo tanto e es irracional o
Aunque se había especulado que los numeros trascendentes existían, hasta 1844
no se había exhibido un numero que fuese de esta clase iue entonces cuando
Liouville demuestra que los numeros algebraicos irracionales no podían
aproximarse a traves de numeros racionales a menos que los denominadores de
15
estos ultunos (besen muy grandes De este hallazgo se sigue que si un numero
irracional puede aproximarse mediante numeros racionales con denominadores
relativamente pequeños este debe ser trascendente Antes de presentar el teorema,
veamos una definición y un teorema prelimmar
Definición 18 Sea aei Un polmomio f(x) en 71[x] se denomina un polmomio
mínimo para a si
gr(f) = mtn(,gr(g)/ g(x) E Z[x] — [01 y g(a) = 01
Si el máximo comun divisor de los coeficientes de f es 1 entonces f se
denomina el polinomio minimo para a
Definición 19 Sea f(x) E ?L[x] el polinomio minimo para un numero algebraico
a de grado n Se dice entonces que a es un numero algebraico de grado n o que el
grado del numero algebraico a es n y lo denotaremos por yr(a) = u es decir
yr(a) = gr(f)
Definición 110 Sea D[x] un anillo de polinomios sobre un dominio entero D Un
polmomio no constante f(x) E D[x] es irreducible sobre D si siempre que
f(x) = g(x)h(x) con g(x) h(x) € D[x] entonces gr(9) = O ó gr(h) = O
Lema 11 Si f(x) E Z[x] es un polinomio mínimo para un numero algebraico a
entonces f(x) es irreducible en Q[x]
12
Lema 12 Sea f(z) E Q[z] y E E Q Entonces
f () = O su !(z) = (qz - p)9(z) para algun g(z) E Q[z]
Del lema anterior se deduce que si f(z) E Q[z] es irreducible de grado mayor
que!
Teorema 13 (Teorema de Liouville)
Supóngase que a es un numero algebraico de grado d> 1 Entonces existe una
constante positiva c(a) tal que para todo numero racional 11
C p —< a — — q
Prueba
CASO REAL
Sean aeR y 11 E Q. q> O
Supongamos que 1< k-I En vista de que q ~ lse tiene que 1 < 1 de donde
se sigue
11 p —< < a-- qd q q
As¡ si tornamos c :5 1 obtenemos la desigualdad
17
C p — < a-- qd 1 q
Supongamos ahora que la _
:5 1
Sea f(x) = ax ' + aa_ix"1 + + a1x + a0e71[x] el polinomio mínimo
para a
r()=aa$+aa_iI+ +a1E+a0
— +ai pq 1+aoq4i adP q
Como fesirreducibleygr(f) ~t 2 por el lema l 2 * o
Luego
J,(P\ _INI ' — qd
Donde ¡NI ~: 1 lo que implica que
1 p ja frL)l
En vista de que f(a) = O podemos reescribir la desigualdad anterior como
sigue
(12) Lc q a — tf(a)_f(f)l
18
Ya que adllt y y = f(x) es una funcion diferenciable por el Teorema del Valor
Medio existe entre a y Eta! que
/ p (a —
\ —) ql
(13) I! (a) - f (fi = lf'(qOl la - El kq,I 1 ql
Ahora como q, está entre ayE ya-:5i se tiene que la — qil:51 De
donde
—1:5a—ç<1
—a-1:5—(51—a
a-1:5q~51+a
En vista de que f' es una función continua, y por lo tanto 1! 1 también lo es por
el Teorema del Valor Extremo
If'(q')I :-~ maxflf (0)1/O E [a - 1 a + i]i
Como f(ço) * O pues en caso contrario f (E) = O se sigue que
(14) max(lf'(9 )l/OE[a —1 a + 1]) = M > O
Luego (1 2) (1 3) y (1 4) nos lleva a las desigualdades
a:5lf(Q)lIa_Iz5MIa_ PI
19
p ~ a-- qd— q
Si en esta ocasión tomamos c = min[1 W'1 completamos la prueba del
Teorema de Liouville para adllt
CASO NO REAL
Sea a=a+bt(b*O)yEQ(q>O)
IIm(a)I < lIm(a)l = lb¡ ~l(a_E'%+bJ=l(a+bL)_ = la -11
qd — l' q) 1 ql 1 ql
En este caso basta tomar c = lIm(a)l para obtener la desigualdad de
Liouville o
Corolano 11 El numero £ = E'=1 10—nl es trascendente
Prueba
Supongamos que £ E Q y gr(E) = d
Para aplicar el Teorema de Liouville debemos establecer que £ es inacional es
decir ci> 1 Veamos la expansión decimal de £
£ = Xio n =;++ 100000+ 100000000000000+
=011 000 1000000000000000001000__001000 3 ceros 17 ceros 95 ceros
20
En vista de que la sucesión de los ceros consecutivos en la expansion decimal de
£ crece sin limite esta no puede ser eventualmente periódica, por lo tanto £ debe
ser irracional
Por el Teorema de Liouville existe c> O tal que
(15) qdl ql
para todo racional!
Vamos a construir una sucesión de nunieros racionales que se aproximen a £ y
que contradice la desigualdad (1 5) En efecto para un entero positivo N sea
=
Ya que rN tiene una expansión decimal finita, TN E Q el cual podemos definir
rN - PN - - donde PN = 10N1 E=1 10" Y QN = 10N1
qN
Asi
rí = 10_li == 0 1 10
r2= El 10! = 1 + = 01 + 001 = 011 10 100
21
3
r3 =Xin-n=oi+ooi+000000i =0110001
Luego cada truncamiento de la expansion decimal de £ se da antes de cada
sucesión de ceros
Se tiene que
I_?tíI = N
-> = 10 1 qI
n=1 iz=1 n=N+1
En vista de que
L=N+1 10" = 10-(N+1)1 + 102 + 10-(N+3)I +
= (10-1)(N+1)' + ( lo- 1)(N+2)1 + (10-1)(N+3)1 +
Al compararla con la serie geométrica
lo-" = io-"'' + 10[(1)!+1] + 101(t1)'t2) +
= (10-1)(N+1)1 + (101)(N+1)i+1 + (101)(N+1)'+2 +
1 (N+1)l (N+1)[+1 1 (N+1)'+2
1 =z;=
=() +() +() +
(l\W+1)l (i\ 1
lo) io)
(N+i)
- (ji)1
- 3;! 9 - - 10
22
Es evidente que
< n=N+1 n=(N+1)1
Lo que implica
N 10
£ - qN 9
Aplicando (1 5) y reemplazando qN = 10NI se tiene
C 10 (q )d
C 10 1
10(N+1)I 0dNI
clO"
De donde
o < 9 < (!T) 10dN1-(N+1)I C
Para N k d dN' - (N + 1)! <0 y si N es relativamente grande obtenemos la
desigualdad
0<9<1
Lo que es una contradicción De donde nuestra suposición de que £ es
algebraico es falsa, por lo tanto debe ser trascendente o
En 1873 el matemático francés Charles llermite demostro que e es trascendente
la demostración aparece en su memoria titulada Sobre la función exponencial
publicada en Comptes Rendus (Vol 77) y en la misma utiliza la representacion en
serie para el numero e' -
En 1874 el matemático alemán George Cantor demostro que la "mayoría de los
numeros reales eran trascendentes Veamos una prueba de este resultado
Teorema 14 El conjunto de los numeros algebraicos es numerable
Prueba
Si a es algebraico satisface alguna ecuación polmomial de la forma
(16) p(x)=a0 +a1x+ +ax"=O (n~t1)
Donde p(x) E Z[x] y a*O
A cada ecuación de la forma (1 6) le podemos asociar el entero positivo
(17) laI+Ia..1I+ +1a01+n=m
Ya que la,11caiynki m~t2 para cualquier ecuación dela forma (l6) Sea
¡ c x (N - ti)) el conjunto de pares de enteros (n m) para los cuales se da
(1 7) y definamos P(.m) como sigue
24
P(nm)fp(x)=ao+alx+ +aX"EZ[x]/IaI+la_1I+ +Ia.31+n=m)
Es claro que P m) es finito por lo tanto
t= UPOLM) (nm)EJ
es numerable por ser la unión numerable de conjuntos finitos es decir que el
conjunto de las ecuaciones polinomiales de la forma (1 6) es numerable
De igual manera definamos para cada par de enteros (n m) E ¡ los conjuntos
A(nm) = (a p(a) = Oyp(x) E
Como todo polinomio de grado n no puede tener más de n raíces A(,.) es
finito para todo(n ni) E ¡ por consiguiente
es numerableD
Corolano 1.2 La "mayona de los numeros reales son trascendentes
Prueba
Como el conjunto de todos los numeros reales no es numerable se sigue que el
conjunto de los numeros reales trascendentes R - no es numerable y por lo
tanto la "mayona de los numeros reales son trascendenteso
25
En 1882, Ferdinand von Lindemana usa la representacion en serie de eZ la
fórmula de Euller y algunos resultados sobre numeros algebraicos para probar que
ur es trascendente y por lo tanto ir también es trascendente incluso llego a probar
que e" es trascendente cuando a es un numero algebraico no nulo Este ultimo
resultado se conoce como Teorema de Hermite Lmdemann
En 1884 el matemático aleman Carl Weierstras generaliza el Teorema de
Hermite Lindemann al probar que alet" + a2e"2 + + ale" es trascendente
siempre que a1 a2 a, sean numeros algebraicos no nulos y distintos al tiempo
que a1 a 2 a1 sean numeros algebraicos no nulos
13 Los 23 problemas de David Hilbert.
El 8 de agosto de 1900 en el Segundo Congreso Internacional de Matematicos
celebrado en París el matemático alemán David H.ilbert planteé originalmente 10
problemas sin resolver que él pensaba marcanan el avance de la matemática
durante el siglo XX El articulo impreso de la conferencia de I-lilbert contiene 23
problemas así como una sene de argumentos acerca de por que los matemáticos
debenan enfrentarse a éstos procurando llegar a teonas que arrojasen luz sobre el
problema en cuestión, y sobre temas próximos Entre tales argumentos está el
problema de la braquistocrona de 1696 ongmalmente planteado por el matemático
Johann Bemouilli que pregunta por la curva que une dos puntos en un plano
vertical y a lo largo de la cual una partícula deslizaría desde un punto al otro en el
tiempo más corto Los matemáticos presentes en la conferencia, si bien sabian que
este problema había sido resuelto por vanos matemáticos entre los cuales estaba el
26
Inglés Issac Newton, también sabían que este había generado un variado conjunto
de problemas similares y que la teoría en la cual se encuadraba el problema segwa
llena de vida.
ELilbert nació el 23 de enero de 1862 en Konigsberg una pequeña ciudad en la
Prusia Oriental Ingreso en la Universidad de Konigsberg en 1880 y fue alli donde
tuvo contacto con Hermann Minkowski un prodigio en matematica, quien le
aconsejó no responder al discurso de Pomcaré en el Primer Congreso Internacional
de Matemáticos celebrado en Zunch, en el año 1897 Minkowski le escribe a
Hilbert el 5 de enero de 1900 lo siguiente
Mas atractivo seria el intento de mirar alfirturo en otras palabras ck hacer una caractenzacion de los problemas a los que los matematicos deberzan orientarse en el futuro Con esto pocfrias tener a gente hablando de tu charla incluso durante décadas a partir de ahora Por supuesto la profecía es realmente un asunto difícil (Rüdenberg y Zassenhaus 1973 citado por Gray 2003 p 70)
Siguiendo el consejo de su amigo Minkowski l-Lilbert presentó los problemas
que desafiaron a la Matemática en los inicios del siglo XX los cuales se describen,
brevemente a continuación
1 El problema de Cantor del numero cardinal del continuo
Pide demostrar un teorema que se denva de las investigaciones de Cantor sobre
los cardinales mflnitos Cantor habia probado en 1873 que el cardinal del conjunto
de los numeros naturales era menor que el cardinal del conjunto de los numeros
reales el continuo denotado por c posteriormente propone que el cardinal de cada
subconjunto infinito de R es igual al de los numeros naturales o bien al del
continuo
El teorema en cuestión establece que el continuo de los numeros reales es el
conjunto infinito más pequeño estrictamente mayor que un conjunto numerable por
tal razon al primer problema se le conoce como la Hipótesis del Continuo
Entre 1939 y 1940 Kurt Godel demostró que la hipotesis del continuo no puede
refutarse en la teona axiomática de Zennelo-Frankel Axioma de Eleccion es decir
que puede construirse una teoria de conjunto consistente donde la hipotesis del
continuo sea cierta. Por otro lado entre 1963 y 1964 Paul Cohen demuestra que al
añadir el contano de la hipótesis del continuo al sistema de Zermelo-Frankel
Axioma de Elección también puede construirse una teoria de conjunto consistente
2 La compatibilidad de los axiomas de la Aritmética.
Pide demostrar que los axiomas de la Aritmética son consistentes es decir que
un numero flmto de pasos lógicos basados en ellos no puede llevar a resultados
contradictorios
En 1931 G&leI demuestra que tal como se formula habitualmente la aritmética
es incompleta e indecidible
28
3 La igualdad de los volumenes de dos tetraedros de la misma base y la misma
altura
Consiste en disponer de dos sólidos de igual volumen, tal que ninguno de los dos
pueda dividirse en numero finito de piezas que puedan reordenarse para formar el
En 1902 un estudiante de Hilbert, Max Dehn, demostró que un tetraedro y un
cubo del mismo volumen no pueden fragmentarse y recomponerse de una forma
diferente de modo que cada uno de ellos se trasforme en el otro Dehn menciona
en sus notas que Bricard en 1896 y Sforza en 1897 dieron ejemplos de poliedros
que no pueden ~formarse uno en otro por corte y pegado pero sus argumentos
eran insuficientes
4 El problema de la linea recta como la distancia más corta entre dos puntos
Los investigadores han encontrado este problema bastante vago trata de manen
general de imaginarse geometrías desde puntos de vistas sugestivos que
permanezcan próximas a la geometna euclídea. Mi el problema es un programa de
investigación y Herbert Busemann contribuyó notablemente al desarrollo de este
alrededor de 1966 seguido por Aleksei Pogorelov en 1973 y Z 1 Szabó en 1986
5 El concepto de Lie de grupo continuo de transformaciones sin la hipótesis de
la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo
En este problema Hilbert pregunta si la hipótesis de la diferenciabilidad de las
funciones que definen el grupo por medio del cual Lie establece un sistema de
axiomas geométricos puede ser ignorada y posteriormente deducida de los demás
axiomas geometncos y del mismo concepto de grupo
Andrew Gleason Deane Montgomery y Leo Zippm dieron soluciones
positivas en 1952
6 Tratamiento matematico de los axiomas de la Fisica.
Plantea tratar por medio de axiomas tal como se hizo con la geometría, aquellas
ciencias fisicas en las que las matemáticas juegan un papel importante El
problema no ha sido resuelto del todo matemáticamente sin embargo La mecánica
clásica fije axiomatizada por Hamel en 1903 la termodinamica por Carathéodory
en 1909 la relatividad especial por Robb 1914 y Caratheodoiy en 1924 (de forma
independiente) la teona de la probabilidad fue axiomatizada por Kolmogorov en
1930 y la teona cuántica de campos fue axiomatizada por Wightinan a finales de
los años cincuenta del siglo XX
7 Irracionalidad y trascendencia de ciertos numeros
Hilbert sugiere una investigación completa del hecho de que ciertas funciones
trascendentes especiales tomen valores algebraicos para ciertos argumentos
algebraicos Pide una demostración del hecho de que la expresión a para una
base algebraica y un exponente algebraico irracional representa siempre un numero
trascendente o al menos un numero irracional
30
En 1934 Alexander Gelfond y Theodor Schneider de manera independiente
solucionaron este séptimo problema. Al final del capitulo volveremos a hacer otros
comentarios de este problema y su solucion
8 Problemas de numeros primos
Surge de un articulo de Riemann. El problema plantea demostrar que los ceros
de la función Ç(s) definida por la sene
tienen todos parte real excepto los bien conocidos ceros reales enteros negativos
Si se estableciese esta demostracion, se estaria en condicion, segun Hilbert, de
comprobar con más exactitud la serie infinita de Riemann para el numero de primos
por debajo de un numero dado alcanzar la solución rigurosa del problema de
(ioldbach, atacar la cuestión de si existe un numero infinito de pares de numeros
primos que difieren en dos etc
Este problema, conocido como La hipótesis de Riemann, aun no ha sido
resuelto
9 Demostración de la ley de reciprocidad más general en cualquier campo de numeros
Pide un teorema de reciprocidad para potencias arbitrarias en cualquier campo
de numeros
31
En 1927 Emil Artin conjeturó un resultado que daba todas las leyes de
reciprocidad conocidas cuando se hacia explicito el mismo que llevo a Kurt Flensel
a definir un símbolo residuo de norma generalizado y completar la solución del 90
problema
10 Determinación de la resolubilidad de la ecuación diofántica.
Pide deternunar en un numero finito de operaciones si una ecuacion diofántica
con cualquier numero de incógnitas y con coeficientes numéricos enteros racionales
es resoluble en enteros racionales
En 1970 Yuri Matiyasevich demostró que no existe un algoritmo para resolver
las ecuaciones diofánticas de este décimo problema
11 Formas cuadráticas con coeficientes numéricos algebraicos cualesquiera.
Plantea resolver una ecuación cuadrática dada con coeficientes numéricos
algebraicos en cualquier numero de variables por numeros enteros o fraccionarios
pertenecientes al dominio de racionalidad algebraico determinado por los
coeficientes
Parcialmente resuelto En 1930 Carl Siegel lo resuelve sobre los numeros
enteros y entre 1923 y 1924 Helmut Hasse lo hace sobre los numeros racionales
32
12 Extensión del teorema de Kronecker sobre campos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraico
Los expertos han sefialado vanos errores en la formulación de este problema, no
obstante lo importante es que ha generado un programa de mvestigacion que
permanece abierto ya que depende del cuerpo algebraico particular con que se
inicie
13 La imposibilidad de la solución de la ecuación general de 70 grado por medio de funciones de sólo dos argumentos
En este problema Hilbert plantea que la raiz de la ecuación de séptimo grado es
una fimcion de sus coeficientes que no pertenecen a la clase de funciones
susceptibles de construcción nomografica, es decir que no pueden construirse por
un numero finito de inserciones de funciones de dos argumentos
Resuelto en sentido negativo por Andrei Kolmogorov y su estudiante Vladimir
Arnio den 1957
14 Demostración de la finitud de ciertos sistemas completos de funciones
Hilbert pide demostrar que todas las funciones relativamente enteras de
cualquier dominio de racionalidad dado constituye siempre un campo de integridad
finito Así pues él está interesado en saber si el anillo que forman las funciones
racionales tiene una base finita
En 1962 Masayoshi Nagata produce un contraejemplo a lo planteado en este
problema.
t]
15 Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert
El problema consiste en
Establecer rigurosamente y con una determinacion exacta de los limites de su validez aquellos numeros geométricos que Schubert en especial ha determinado sobre la base del denominado principio de posicion especial o conservacion del numero por medio del calculo enumerativo por el desarrollado (FLilbert, 1900 citado por Gray 2003 p 294 y Yandell 2002 p 269)
Una teona rigurosa se debe a Bartel Leendert van der Waerden en 1930 le sigue
André WeiI en 1946 con la publicación de su Fundamentos de la Geometria
Algebraica.
16 Problema de la topologia de curvas y superficies algebraica
La primera parte del problema pregunta por el numero de lazos que puede tener
una curva algebraica real de un grado dado y cómo pueden estar dispuestos La
segunda parte por el numero máximo y la posicion de los ciclos límites de Porncare
para una ecuacion diferencial de primer orden, bajo ciertas condiciones
Los mejores resultados sobre la topologia de curvas se deben a Ilia ltenberg y
Oleg Viro en 1996 De igual forma, encontramos resultados parciales para los
ciclos limites de flujos dados por polmonuos debidos a Yun llyashenko y Écalle a
principios de los noventa
17 Expresión de formas definidas por cuadrados
Pide esencialmente demostrar que toda forma definida no puede expresarse
como un cociente de sumas de cuadrados de formas
34
En 1927 Emil Artin y Otto Schreier resuelve el problema para campos cerrados
reales La cota supenor sobre el numero de ferinas requendas se debe a Pfister en
1967 y la solución negativa en general se debe a Du Bois en el mismo año
18 Construcción del espacio a partir de poliedros congruentes
El problema se divide en tres partes a saber
Determinar si el numero de grupos cnstalográficos en los espacios euchdeos
de grandes dimensiones es finito
11
Determinar si se puede llenar el espacio con regiones fundamentales
idénticas que no esten asociadas con un grupo cristalográfico
un
Determinar la manera más eficiente de llenar el espacio con vanos solidos
regulares
La primera parte fue resuelta en 1910 por Ludwig Bieberbaeh, la segunda fue
respondida afirmativamente en 1928 por K Reunhardt en dimension 3 y por Heesch
en 1932 en dimensión 2 La tercera sigue sin resolver no obstante hay una
respuesta elaborada por Thomas Hale en el 2000 que está siendo revisada
19 ¿Son siempre necesariamente analiticas las soluciones de problemas regulares en el calculo de variaciones9
En este problema Hilbert conjeturó que las soluciones de las denominadas
ecuaciones lagrangianas serian siempre regulares
La solución a esta conjetura la da el matemático Serge Bernstem en 1904
Desde entonces existen diversas vanacuones de este problema, dependiendo del
35
numero de ecuaciones o de variables involucradas dando origen a un programa de
mvestigaciolL
20 El problema general de los valores de contorno
Pide condiciones bajo las que una gran clase de ecuaciones tienen soluciones
particularmente regulares y teoremas regulares que garanticen la existencia de
soluciones
Por la generalidad del problema es considerado un programa de investigación,
donde han intervenido un sin numero de matemáticos e incluso se ha fusionado con
el problema anterior
21 Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que tienen prescrito un grupo monodronuco
Pide demostrar que siempre existe una ecuación diferencial lineal de la clase
fuchsiana, con puntos singulares y grupo monodroinico dado Generalmente se
denomina el problema de Riemann Hilbert y fue resuelto en sentido negativo por
Anosov y Bohbruch en 1994
22 Umformización de relaciones anahticas por medio de funciones automorfas
Poincaié había demostrado que era posible uniformizar cualquier relación
algebraica entre dos variables a través del uso de funciones automorfas de una
variable A raíz de lo demostrado por Poincaré Hilbert plantea lo siguiente
No esta demostrado si las dos funciones univaluadas de la nueva variable puede escogerse de modo que mientras esta variable recorre el dominio regular de
SISTEMA DE BIBLIOTECAS DE LA
UNIVERSIDAD DE PANAMA (SIRIIIP'kr
dichas funciones se alcanza y representan realmente todos los puntos regulares del campo analítico dado (Hilbert, 1900 citado por Gray 2003 p303)
Hilbert también pidió que el teorema de uniformización se extendiera a
funciones de tres o más variables
Este problema fue resuelto por Jules Henn Pomcaré y Paul Koebe de manen
independiente en 1907
23 Desarrollo adicional de los métodos del cálculo de variaciones
Hilbert hace una presentación extensa de este problema y pide
principalmente desarrollar los métodos del cálculo de variaciones por ende ha sido
catalogado como un programa de investigación
14 El séptimo problema de Hilbert.
Ya se ha planteado en la sección anterior que en el septimo problema, en su
fonnulacion original Hilbert pide hacer un estudio general de qué sucede cuando
ciertas funciones trascendentes toman valores algebraicos él especula que si f(z)
es una funcion trascendental entonces «a) es un numero trascendente siempre que
a sea un numero algebraico no nulo Esta interrogante surge de los problemas
resueltos por Hermite y Lmdemann sobre la función exponencial pero lo que se
convirtió en imperativo fue probar que y e' representaban numeros
trascendentes o al menos numeros irracionales y de manera general que
37
La expresión aio para una base algebraica y un exponente algebraico
irracional fi representa siempre un numero trascendente o al menos un numero
irracional
Si comparamos la conjetura de Euler de 1748 con la de Hilbert de 1900 podemos
apreciar que la diferencia estriba en la naturaleza aritmética de los numeros en
consideración
En 1929 el alemán Carl Ludwig Siegel demostro que la función de Bessel 10(x)
toma valores trascendentes para argumentos algebraicos y en la prueba enuncia un
lema, lema de Siegel que permite construir ciertas funciones auxiliares afirmando
que tales funciones serían utiles como en efecto lo fue en la prueba del séptimo
problema.
La solución de casos especiales del septimo problema de Hilbert fue dada, por
primera vez por el Ruso Alexander Osipovich Gelfond en 1929 y aparecieron en
Comptes Rendu Lo primero que prueba Gelfond es que e' es trascendente y
seguidamente que 2 tambien los es empleando resultados de 1914 de George
Polya sobre funciones enteras
La trascendencia del numero de Hilbert, 21 fue probada en 1930 por el
matemático ruso de nombre R O Kuzmrn
De forma independiente la solución general del séptimo problema fije dada por
Gelfond, el 1 de abril de 1934 y por un estudiante de Siegel el alemán Theodor
38
Schneider el 28 de mayo de 1934 y a partir de la fecha se conoce como el
Teorema de Gelfond Schneider
CAPITULO N° 2
PRELIMINARES A ALGUNOS RESULTADOS TRASCENDENTES
Una vez conocido el origen de la Teoría de Numeros Trascendentes en este
capitulo se presentan las herramientas matemáticas necesarias para la solución de
séptimo problema de Hilbert y para la prueba de algunos resultados sobresalientes de
esta teona, descritos en el capitulo n°1
2 1 Propiedades Elementales
Propiedad 2 1 Para enteros N ~: it -2t k ~ 1 se tiene que
(a) Ni 1
(N+n)' - it!
( it \ (ifl_(n+1 k
Propiedad 2 2 Dados dos enteros cualesquiera, su suma y su diferencia tienen la
misma paridad
Propiedad 2.3 Sea K r € 71 + con r ~i 2 entonces existe un entero T0 = T0 (K)
tal que para todo T>T0 se tiene que
3T
(4KT)2 (l6KrZtd1) <rr
Prueba.
Sea T> r(161)° Entonces
J!J
40
(16)8 <r(168 <T
(16)8 c 7'
[(16)8JT < T T
[(16)T]8 crT
(21) (16)T c Tírl
K8 <r(16 <7'
K 8 <T
(K 8 )T <TT
(KT)B <TT
(22) KTcTro
<r(16° <T
3
r 16K2 <7'
(ri6K)T < T
(r 214T)8 <rr
3
(2.3) r2T < Tu
«< r SK = r 2(41 )
4K?' < (rO9T
(4KT)16 < (r°")'6
(4rJ)16 < (r16" ) '
(4KT)? c (r1 ')8 c r
16
(4KT) <7'
41
(2 4) (4KT)2 <Tr i
Luego por (2I) (2 2) (2 3) y(24)
(4KT)2 (16Kr2)T = (4K7)2(16)TKT (r M5
TTrT <TITiTITI
T = Tio
22 Algunas Propiedades de los Pohnomios
Lema 21 Sea f(z) = E, c»zt' E Z[z] pan enteros j y k satisfaciendo 1:5j:5k pruebe que
J k / N-1 \ z. / Nj -1 y z"\ y z'\ x r(z)=X (N'cN L1 —r)=X(KNI L1
72=1 N-J n=N-j / 1=1 n=Ng-p+1 /
Prueba
E1f72(z) =f'(z)+f 2(z)+f 3(z)+ +f(z)
= >L NcNzN_l + , N(N -
+ EZ N(N - 1)(N - 2)cNz" +
+ N(N - 1)(N —2) (N —J + 1)CNZ' )
1 k z2 zN_3 2N-J \
fn(z)= X NIcN ((Nl),+ (N2)l + (N3),+ +(Nj)I) n=1 N=J
= E=1(N I CN T)
42
vN+(&l)1 z"\ - çk(rl) E1f"(z) - '-'N=j-(j-l) (EN + (1 - 1)]' CN+Q_i) '-'n=N+Q-1)-j)
= t:Y' ((pi +j_ 1)' CN+J_l 1-'n=(N-i-j-1)-Q+1)-t-1
v(+O-1)-1 ZIt
= 1=1 (1+3 - 1)! Cz+J_1L.fl1+o_I)_o+l)+l ni
Reescribiendo
L= k -j +1
N1 =1+(j-1)
KNI = (t+j -
p=J+1
Se tiene que
) ,. / Nj-1
xfht(z)= > (KN, : n=1 11 nN1-p+1 /
Lo que completa fa prueba. o
Lema 2 2 Sean g(z) h(z) E D[z] entonces
(g(z)h(z)) =
Prueba (Por induccion)
Paran 1
Sean.g(z) = y h(z) = E =o bL xL Entonces
43
y (z) = E+ 1)ax' y h (z) = E'-1(i + 1)b11xt t=o
(s(z)h(z))' = g'(z)h(z) + g(z)h (z)
1 (g(z)h(z))' = ((L + 1)at+ix') h(z) + g(z) + 1)bi+ixt)
(g(z)h(z)) = (E 1(z +
+ (EQaLx' )(Ef;(c + 1)bj+1x')
= (albo + b1%) + (2a1b1 + 2a2b0 + 2b2a0)x +
+(m + s) (aobm+s + aibm+s_i + a2bm+s_ 2+ +
am+sbo)
= Y.7Lts _l d j xJ
Donde dj = (j + 1)
g(z)h(z) = (Eoa1x' )(E=0b1x 1 )
= a.3b0 + (a0b1 + a1b0)x + + (a0b 5 + a1b 1 + +
an+sbo)x"s
=
Donde c =
44
Luego
(g(z)h(z)) = +
- çm+S-1 - £j=O (o + 1)E::Ja1bj+i_jxJ
Por lo tanto
(g(z)h(z))' = y (z)h(z) + y(z)h'(z)
= ()g1_O(z)h(z) + (f)y(z)h1(z)
= E)=0 C) gl_k(Z)hk(Z)
Supongamos que se tiene para n Hipótesis de Inducción (H 1) Veámoslo para
n+1
En efecto
(9(z)h(z))12+1
= [(y(z)h(z)fl
= [E=o()gzia"(z)]' Por 1
= E=0 C) (yn—k(z)hk(z))'
=j=o () (yn—k+1(z)hk(z) + .gn—k(z)hk+l(z))
45
(g(z)h(z))'"' = z;:=0 C) gn-k+1(z)hk(z) + E=0 C) gn_k(z)hk+1(z)
n-k+1 = E=0 ) gn+l_k(Z)hk(Z) + E (k - (z)hC(z)
= g'(z)h°(z) + EJ=l [ ") + C)I gn+l-k(z)hk(z)
+g°(z)h""(z)
= gt'(z)h(z) +=1 (fl + 1) gn+lk(z)hk(z) + g(z)h' 1(z)
La ultima expresión se obtiene por (b) propiedad 2 1
Fmalmente se tiene que
(g(z)h(z)ft1 - n+1 (n+1
k )gn+1_k(Z)hk(z)D
Lema 23 Sean a j enteros positivos y f(z) = z'(z - a) 41 E Z[z] entonces
(a)f(z) = /-'n=J
(b)E 1 f"(a) = o
Prueba Parte (a)
f(z) = z(z -
= Et1 (' 1) zJ+2(a)ht
= z [o ')z.iti + + (1 1)zi_1(_a)2
u + 1 t» +
• o 1)Z1-2 (—a)3 + + V + (~a)]+']
46
f(z) = (1 ')z21+1 + (1 1)z21(_a) + o3 1)z21_1(_a)2 +
+c )zJ(_a)J+1
f(z) =
i) _a 1+1 + (3 -4- 1)zIt'(-_ay + + (-ji
+ (1 1)z21(_a) + (1 ')z21+1
2j+1' j+1 f(z) = >,, t2j + 1 -
- VZJfl n - '-jn=J cnz
\ Donde c (211++11—
= 4 (—a)2' 1. " lo que prueba la parte (a)
Parte (b)
Si z = a se tiene que
>fn(a) = ['(a) +f 2(a) + +f(a)
Ahora como f(z) = z(z - a) Al tomar g(z) = z3 y h(z) = (z -
por el lema 2 2
47
f"(a) = 0
gl_k(a)hk(a) + o
92 _k(a)hk(a) +
J?fl(a) = (j) g'(a)h(a) + (I)q(a)h'(a) + ( 2 )gZ(a)!z(a)
+(2) g1(a)hl(a) + ()g(a)h2(a) +
+ ()g.'(a)it(a) + ()g.i_1(a)h1(a) +
+ (,')g(a)iii(a)
= (J jaJ_1(a - a)1' + Q) a'Q + 1)(a - OJ
+ ()( -1)a2(a - a)1+1 +(2) jaJ-'(j + 1)(a -
+ 1)j(aa)1' + + ()oo - 1)0 -2) 1](a - a)I+1
+()rj(j -1)(j-2) 2]a(1+1)(a—a)I+
+c)aJ[(J+1)J(j-1) 21(a—a)
Por lo tanto
= Oo
El
OBSERVACIÓN 21 El resultado del Lema 23 lo podemos generalizar es
decir si f(z) = - 1)(z - 2)" (z - d)" entonces empleando
reiteradamente el Teorema del Binomio de Newton se demuestra que
(d+1)p-1
f(z) = > N=p-1
Y utilizando el Lema 2 2 obtenemos que para t = 12 3 d
Lema 24 Dado f(z) = z'(z - a)" = E J l I CN ZN donde a E Z
2p-1
Z lcNI=(1+a)" N=p-1
Prueba
f(z) = - a)"
= + ()z"'(—a) + +
= ()z2P_1 + (1)z2P_2 _a+ ()z 2P_3e.-aY + +
= () (—a)PzP + (, ' ) (—a)"z" + + () (—a)z 2P 2 + () z2'
= () (—a)PzP + () (—a)"'zP + + (,," ) (—a)Z 2" 2 + () z2''
49
Luego
22-1 = + k'I + + )C2p_1I
= I() (—a)PI + (Ç) (— a)P_1 1 + + K) (—a)°
E.PlICNI = () a' + () +
= E 0 () a_C
= (a + 1)P o
Lema 23 Sea (z - =, ()
(t)Pz?t para enteros t = 12 3 15
Pruebe que
(a) max ptlk (—t)P9} :5t' Eo () = (2t)" n=O1 ni
11f 1' max íI(P (_t)PTI I)) ~ fl 1(2t)P
kn=O1 p tI\nJ
Prueba
Parte (a)
MaX fl('fl (-t)PI) = max tIc) (-t)Pl l()
n=O1 _,p tRni (_t)P_hI I) (-t)°fl
={()tP 1)tP-1 Ql :5
Ahora del Binomio de Newton
41J
(x + y)7' = E 0 x7'"y"
Sir = y = 1
Por lo tanto
p
rnax íI(P (_t)P9} ~ >: () = (2t' 7t=O1 7' tlkn,
La parte (b) se deduce de (a)o
Lema 2 6 Sea P(z) e 7L[z] y gr(Y) = d Entonces
es un numero racional que puede escribirse con denominador ba
Prueba
Sea -T (z) = E0 rz't E 71[z] ra * O y d par Entonces
(J) =ro+riJ#~r2(Ji)
2
+r3(jj)
3
+ d-1
+I) +rd(,,/I ¿1
)
1 = T —ri,j+rz(,4)
Ija\ Iga —r3(4) +
Icz% _ra_i(,4s) +ra(4)
Luego
51
ip (j) 2r0 + 2r2 (,J#) + + 2rd (Tf
=2r0 +2r2 + +2r
I a a2 2r0(b) + 2r2a(b)1 + + 2rd_2(a)
d-2(a)'2 + 2rd(a)42
2r0+2r2s+ +2Td-= b7 (b)
¿4-2 ¿4+2 ¿4 ¿4 = 2robd+2r2a(b)1+ +2rd_2(a) 2 (b)2 +2rd(a)(b)
E bd
Por la propiedad 2 2
Si des impar
P(j)+P(—.J#)=2r0+2r2(,J#)+ +2r_i(J) d-1
¿4-1 d-3 d-i - 2r0(b)-r+2r2a(b)T+ +2rd_s(a)r -
(b) 2
¿4-1 ¿4+1 = 2ro(b)d+2r2a(b) 1 + +2rd_l(a)9(b)r
10 E
De nuevo por la propiedad 22 o
23 Sumas Exponenciales Conjugadas Completas
Definición 2 1 Conjugados
Sea a un numero algebraico Las mices del polinomio minimo para a son
llamados los conjugados de a
52
Ejemplo 2 1
a1 = 1)1 + vr5 es algebraico con polinomio minimo p(x) = 0— 2x2 —2
Luego los conjugados de a1 son
al a2 a2 =—.J1+i/ a3 =ç,/-1+ih
Definición 2 2 Conjunto completo de conjugados
Se dice que un conjunto fimto de numeros algebraicos S es un conjunto completo
de conjugados si para todo a E 5 5 contiene todos los conjugados de a y en caso de
que a aparezca m veces tambien cada uno de sus conjugados debe aparecer m veces
Ejemplo 2.2
+ -Ii + 'fi ty'—i + 'fi —tI—i + por el ejemplo anterior es un
conjunto de conjugados por lo tanto es un conjunto completo de conjugados
Ejemplo 2.3
(2fl ~2-f2- 2V-3- -2V1 es un conjunto completo de conjugados Vemos que
2V —24 son conjugados con polinomio mínimo p(x) =x2 —8 y 2V —2ifi
tambien son conjugados con polinomio nmumo q(x) = -12
Ejemplo 24
(z/ —2,r2- 2fi -zV —2V2) no es un conjunto completo de conjugados Vemos
que —zV aparece dos veces sin embargo su conjugado 2N(-2 solo una vez
53
Definición 23 Una suma finita de términos exponenciales ea' + eaa + + eaL
se dice que es una suma exponencial conjugada completa si la coleccion de los
exponentes [a1 a2 a,] es un conjunto completo de conjugados
Lema 2 7 Sea Pi Pa PL t1 t2 VM numeros complejos distintos y sea
r1 r2 TL t1 t2 4, numeros complejos no nulos Si el producto
EF=1 r,e')GJ 1 tmetm)
Es expandido e iguales términos exponenciales son combmados entonces el
resultado es una expresión de la forma
=1 se°'
pasa algun entero positivo N distintos exponentes de la forma w,1 = Pi + Vm Y
numeros complejos s, donde al menos uno de estos numeros complejos s,1 es
distinto de cero
Prueba
Es claro que
(2.5) (EF=irie( Oo2__itmeT m) = E lsIsL r,tmePOT m lSmsM
Sea H=(p,+r/1:5l:5L 1:5m:5M) Entonces 1-1 tiene más de un
elemento luego podemos escribir
H[w1 w2 WN}
Para distintos co E CyalgunN EN
Si sn = E rjtm 1 m tal que Pi + Vm = w, Entonces podemos escribir (2 5)
como sigue
54
(; riePi) (2 tmetm) = 2.
Donde al menos uno de los s, no es cero Para probar esta afirmación sea
Pi =a,+Lb¡ 1=12 L consideremos
[Pi1 PIK} C (Pi P2 Pt}
el subconjunto con parte real máxima, es decir
Pik =a+tbIk l:!~k:5K y
a~ta,1=12 L
Tomemos ahora b=max(b,k 1:5k:5K) Entonces para unl, 1:5tp:5K
Pi, = a + Lb es tinco pues en particular los (-'1k son distintos
Si procedemos de forma análoga para fr1 tMl se tiene que hay un unico
tmo C+LdE[Tm Tmj C (Ti VM1
Ahora se tiene que (d = Pi, + Vmo se obtiene de manera tinca de la suma de
Pi,,Y TmØ pues si hay algun Pi y algun Vm distintos de P, y r, respectivamente
tal que w. = Pi +Tm entonces
Re (pi + = Re(p1 + Vm)
im(pi, + = Im(p, + TM)
55
Lo cual contradice la condición de parte real e imaginaria máxima de Pi, Y TMO
De donde ePI,+tme tiene un coeficiente txmco si = rz,tmo el cual es distinto de91 no
cero por hipótesis o
Lema 28 El conjunto (i a2 aL} es un conjunto completo de conjugados si
y sólo si el polinomio (z - al) (z - a2) (z - al.) tiene coeficientes racionales
Prueba
Sea (a1 a2 aL) un conjunto completo de conjugados Reagrupemos los
conjuntos de conjugados
a11, a12 atM1 a21 a2M2 aLl aLML
Sea fj(z) = (z - al,) (z - a12) (z - cr,M,) 1 = 12 L Entonces ñ es el
polinomio minuno para el conjunto de conjugados (a11 a12 alM1 } luego
f1(z) C Q[z] Porlotanto
= (z — ai)(z — a2) (z - at) E Q[z]
Supongamos ahora que
f(z) = (z — a,)(z — a) (z — aL) E Q[z]
Si algun o algunos a1 son racionales estos formarán ini conjunto completo de
conjugados digamos (a,/K + 1 :5 1:5 L) Entonces,
(26) f(z) =(z —a1)(z—a2) (z — a,3(z — aK+l) (z — at) g(z)
56
Es claro que g(z) = (z - a1)(z - a2 ) (z - aK) E Q[z] Si y es irreducible
entonces es el polmomio minuno para a1 aK y por ende {a1 aK} es un
conjunto completo de conjugados Luego [a11 ,aKl u {a,/K + 1 :5 1 :5 L} es un
conjunto completo de conjugados
Si es reducible entonces
gp1 p7
donde cada Pj E Q[z] es irreducible y i ~! 1 Por (2 6)
Pi (Z) = (z - a i)(z - a72) (z - aJK,)
Se tiene que p3 E Q[z] es el polmomio mimmo para a 1 a 1 luego
(a11 ajK J} es un conjunto completo de conjugados
Como
¡ t i [a1 aK}=UU(aIl «"ji
)=1 ¡21
Se tiene que (a1 «K) es un conjunto completo de conjugados por ser la union
de conjuntos completos de conjugados y por la misma razón
(a1 aK) u (a,/K + 1:5 1:5 L) es un conjunto completo de conjugados a
24 PolinomIos Slmétncos
Antes de presentar algunos resultados sobre polinomios simétricos es necesario
generalizar la definicion 1 1 a vanas indeterminadas
57
Definición 24 Sean LE: Z+ n'=(ni n2p n,) y n= (ni n2 n1,)
elementos de lkl' Diremos que n' <ñ si para la primera 1 tal que n * n, se
tiene que ni <1
Observación 2 2 Para cualesquiera n n' E H' se tiene que n = ti n c n' o
c n por lo tanto (NL <) está totalmente ordenado También por simple
inspección se tiene que paran n' n' E ftJ" si
n C ti' => n + n" C ñ'+
Definición 2 5 Llamaremos anillo de los poimomios sobre Q (ó Z) en las
indeterminadas z1 z2 ZL y lo denotaremos Q[z1 z2 ZL] (6 7L[z1 z2 ZL]) a
la colección
E=,0 E,0 co11 n2 nozrl z;:L
Donde
(i) z?=1Yt=[12 14
(u) e, EV VI =(12 L}
(ni) C(1 t) E Q (o Z, respectivamente), y O :5 n1 :5 e1
EL (iv) Si f(z1 Z2 ZL) = Eo Z-0 C(n1 n,)zrt zL con c1 EL) * O
9(z1 z2 ZL) = E'.0 E.0 b(' )Zi' z L con b1 PL) * O nLni
Son elementos de Q[z1 z2 zL](ó Z[z1 z2 ZL]) entonces = y si y
solo si EI=iLl V1=f1 14 Y(n1 flL) "(fl1 t4) VO:5n,:5e,
va :5 ni :5
58
Observación 2.3 En algunos casos simplificaremos p(z1 z2 Zt) por
simplemente p y
EL p(z1 z2 ZL) = E 1 .0 E.00(n1 núZr' z' por p = Eñ cñZñ donde
Z'=z" zrt para n= (ni n2 1k)
EL Definición 2 6 Sea p(z1 z2 ZL) = E=0 E=0 C(n1 nOei zrL un
polinomio no nulo en Q[z1 z2 ZL] Entonces
(i) El multigrado de p denotado por mgr(p) esta dado por
mgr(p) = max((ni ni.) E NL! C(ni nO * O)
(u) El coeficiente principal de p denotado por C(p) está dado por
C(p) = Cmgr(p) E Q
(iii) El mononuo principal de p denotado por M(p) está dado por
M(p) = zmor(p)
(iv) El término principal de p denotado por T(p) esta dado por
T(p) = C(p)M(p)
Definición 2 7 Un polinomio f(z1 z2 ZL) E Q[z1 z2 z,] es simétrico si
f(zT(1) Zt(L)) = f(z1 Zt)
Para todas las posibles permutaciones Zr(i) ZT(L) de las variables z1 2L
Defmicion 28 (Orden monomial en Q[z1 z2 ZL])
Supongamos que M = czr' zrL y M' = c'z z son dos monomios en
Q[z1 z2 ZL 1 con la posibilidad de que todos o algunos de los exponentes son
59
iguales Se dice que el monomio es menor que el monomio M ( o que M es
superior a ) y lo denotaremos M' <M si (it1 it2 n) <(u1 n2 ni.)
Definición 29 Dadas las variables z1 ,Zt Se definen los polmomios
al a2 CL6Q[ZlZ2 ZL]Por
c1(z1 ZL)Z1+Z2+ +Zt
U2 (Z1 zt) = Z1Z2 + Z1Z3 + + Z14 +Z2Z3 + + Z2ZL + +ZL_1ZL
a,(z1 ZL) = Er(1)< < (1) Zr(l) Zr(1)
at(zj z,) = ZiZz Zj
Observación 2 4 De la definicion anterior se desprende que al es un polinomio
simetnco para todo 1 = 1 L y diremos que (al aj son los polinomios
simétricos elementales de Q[z1 ZL]
Ejemplo 2 5 Dado el ordenamiento de monomios M(a1) = z1 z1 ya que de
la defimcion 2 6
mgr(o) = (i 000) mgr(c2) = (i 1 oo) mgr(oj) =
"1 1 0 0'!I mgr(o ) = 1'11 \ _1
¿—veces L-1 / ' L—veces /
Por lotanto M(a1)=z1 z1 yC(ci1)=1
ZE
Lema 29 Para polinomios no nulos f g E Q[z1 z2 Zt]
mgr(fq) = mgr(f) + m.gr(g) y
CCfg)=C(f)C(p)
Prueba
Supongamos que mgr(f) = n y mgr(q) = es decir
f= cZñ +E1c1Zt COflCñ * O
9 = Cñt + E,<ñ cZJ conc *0
Multiplicando término a término fg tiene un término no nulo
CñC Zñ'
Todos los otros términos tienen multigrado de la forma.
n+j L+fl'ÓL+J
Como L <n y j <n' todos estos términos tienen multigrado menor que n + n'
Luego
mgr(fg) = mgr(f) + mgr(g) y C(fy) = C(f)C(g)
Lema 2 10 Sea p(z1 z2 ZL) un polinomio simétrico Si M = czr' zLnL es
el termino principal de p entonce
flt:5flt-1:5 :5fl2:5fl1
Prueba
61
Sea n = (it1 it2 ni.) el multigrado de 3'! como p es simétrico
C4 )Z ) Z ) es un término de p de donde (n(i) t(z) es el
multigrado de algun monomio no cero de p Ya que (it1 it2 es el máximo de
los multigrado de todos los monomios de (it1 it2 itt) es el máximo en NL para
todas las permutaciones no triviales de donde
flL5JL_1:5 :5712 5nl
Lema 2 11 T(6r1c 2 chlL) = zr12l +flLzflZ+fl3+ +flL zrt
Prueba
Del ejemplo 2 5 y el lema 2 9 para enteros no negativos u1 nI.
mgr(ctc aro=(ni+n2+ +71Lfl2+fl3+ +flt njy
c(ur'a'2 c) = 1
Por lo tanto
T( arta:2 a) = Zr1+I2+ +n 2+n3+ +flL L
Teorema 2 1 Todo polmomio simétrico en Q[z1 z2 Zt] es un polinomio en
los polmormos simétricos elementales con coeficientes racionales Esto es si
p(z1 z2 ZL) E Q[z1 z2 2] es un polinomio simétrico entonces existe un
polinomio f con coeficientes racionales tal que
p(z1z2 zj=f(o1c2 aJ
Ymgr(f) 5m9r(p)
Prueba
62
La prueba será por inducción en el multigrado del polinomio
Un polmomio en Q[z1 22 zj con multigrado (00 0)está en Q y
Q c Q[aj u2
Sea ñ = (n1 n2 t) * (0 0 0) en NL y supongamos que el lema es válido
para todo polinomio simétrico con multigrado menor que n
Si p(z1 22 ) E Q[z z2 zt] es un polinomio simétrico tal que
mgr(p) = n entonces
p = CZ ZLnL + ctZ' ñ cfi
Donde Cñ * O
Consideremos
(27) p_cñar12a$2_3 ar±'_a
Por el lema 2 II T(cña1n1_I2az aL2L-1 Ll a) = cñzr' el cual se
simplifica con el término superior de p
Si p = fli-fl z L CL no hay nada que probar En caso contano (2 7) es
simétrico ya que ambos térnunos en la diferencia son simétricos y
mgr(p - CCrl-n2 a) cii
Por la hipótesis de mduccion
1,— ca" 0L E Q[a1 a2 CL]
Luego existe 9(a a2 aje Q[a1 a2 at] tal que
63
¡3 - arL = g(°i a2 0L)
p=g (al a2 aj+cña711 i -
T12 aLL
P = f(a 0'2 aL)
Donde mgr(f) :5 mgr(p)o
Observación 2 5 En vista de que en la prueba del teorema 2 1 no se llegó a dividir
entre los elementos de Q el teorema es válido si se reemplaza Q por Z.
El siguiente lema generaliza el lema 2 6
Lema 2 12 Sea G(z) E Z[z] dado por G(z) = y a1 a2 aL las
mices de G(z) Sea Y(z) un polmomio con coeficientes enteros Entonces
Y(a1) + Y(a2) + + Y(aL)
es un numero racional con denonunador igual a
Prueba
Sea
P(x1x2 XL) =Y(Xl)+Y(X2)+ +Y(xL)
Es claro que P es simetrico entonces, por el Teorema 2 1 podemos escribirlo en
término de los polinomios simétncos elementales 0i 2 °L en x1 X2 XL es
decir
P(x1 X2 XL) = F(a1 a2 aL)
Donde F es un polinomio con coeficientes enteros Luego P(a1 a2 aL) es un
polinomio en
(28) a1+a2+ +aL a1a2+a1a3+ +aL_laL a1a2 aL
64
Ahora
G(z) = atz" + at_iz"' + + a1z + a0
=at (zL +_izL1+ + fLz+f)
= «t fl1]L &z
= aL(z' - (a1 + «2 + + ajzL_l
+(a1a2 + a1a3 + + aL_laL)z' 2 +
+(_1)L(aia2 aL))
De donde (2 8) son los coeficientes de los cuales son racionales Por lo tanto aL
^a, a2 aj=J'(a1)+J'(a2)+ +Y(aL)
es un numero racional
Ahora aLal aLa2 «taL son las mices de
af['G () = 2L + at_iz' + atat.zzt2 + + at1a0
De donde los polinomios simétricos elementales en aLal aLa2 aLaL son
enteros
Si p(x1 X2 XL) es un polinomio simetnco homogeneo de grado
r :5 gr(P) = gr(Y) con coeficientes enteros entonces
ap(a11 a2 «) = p(aLal,aLa2 jatat)
As¡ ap(a1 a2 at) es un entero
Expresando P como una suma de polinomios homogéneos se llega a que
at9T(P) p(ai a2 at) E Z
Por lo tanto Y(a1) + Y(a2) + + Y(a) se puede escribir como un numero
racional con denominador aL9TT) 0
65
Lema 2 13 Sea (a1 a2 a] un conjunto completo de conjugados y
P(x1 XL) E Q[x1 Xt] un polinomio simétrico Entonces PCa1 at) es una
combinación lineal racional de los coeficientes de P
Prueba
Por el Teorema 2 1 P(x1 XL) es un polinomio sobre Q en a1 0L Luego
P(a1 aL) es un polinomio en
(29) a1+a2+ +tiLtilti2+U1ti3+ +tiL_ltiL tila2 a
Ahora por el Lema 2 8 f(x) = (X - a1)(X —ti2) Cx - at) E Q[x]y(2 9)son
sus coeficientes los cuales están en Q o
Lema 2 14 Si {Yl Y2 es un conjunto de numeros algebraicos arbitrarios y
f(xi x2 x1) = a1x1 + a2x2 + + a1x1 E Z[xi x2 Xj] Entonces
(f (r1 y2 y1)/ r es conjugado dey3 Vj = 12 J
es un conjunto completo de conjugados
Prueba
Por el lema 2 8 es suficiente probar que
P(Z) = fi (z - 2 -TI» e Q[z] T1C0flJU9040 deyj
j=12 1
Reescribiendo p(z) como
Ej ( fl (z — f(r t2 rl))rjconjugadode yj T1conjo de Ti
j=2 1
Se tiene que
66
h(z) = fJ (z — f(ri tz vi)) r1conjugado de Yi
es una fimción polmomial simétrica en los conjugados de Yi En efecto
Si los conjugados de Yi son Yii Y12 Yin f(vii Y2 yj) = a1y11 + a2 y 2 + +
a»'j Entonces
h(z) = (z - f(vii y2 ii)) (z - f(v1 y2 rs ))
= n1( - a2r2 - - a1r1 - y
= 11 1(y - a1y)
= yfl - g1yfll + ,2y 2 - + (-1)7'o
Donde los c son polinomios simétricos elementales de los conjugados de Yi y por
ende todos son racionales por lo tanto
h(z) E q[z y2
Empleando el mismo argumento para cada r1 j = 2 J , se tiene que
p(z) E Q[z]
Por el Lema 2 8
(f(ri r2 TI)/ y3 esconjgado de y3 Vj=12 1) es un conjunto completo de conjugados o
Ejemplo 2 6
[v iñ es un conjunto de numeros algebraicos
Si f(x1 x2) = 2x1 + 3x2 entonces
V& v') f(-V V) f& -v) f(-V -il)}
Viene dado por [2'ñ + 3-f3- -212 + 3fl 212 - 3-,r3- -212 - 31) y
212+31-212+31212-3V5-212-3i3- es un conjunto de
conjugados por ser los ceros del polinomio p(z) = - 70z2 + 361 por lo tanto
es un conjunto completo de conjugados
Lema 2 15 El producto de dos sumas exponenciales conjugadas completas es
una suma exponencial conjugada completa.
Prueba
Sean cal + e"2 + + caL y c' + e02 + + eflM dos sumas exponenciales
conjugadas completas Es claro que
(2 10) (cal + ea2 + + e&L )(e' + eP2 + + ePM ePm iSm~M
Si aplicamos el Lema 2 14 al polinomio f(x1 x2) = x1 + x2 se tiene que
(al +/Jm 1:51:5L 125m5M}
es un conjunto completo de conjugados por lo tanto (2 10) es una suma exponencial
conjugada completan
En las tres secciones que siguen se presentan resultados del álgebra y del analisis
complejo que necesitaremos para pruebas subsiguientes algunos solo seran
enunciados en vista de que la mayona de la literatura que trata de estos temas
presentan las pruebas completas y claras de estos hechos
2 5 Algunos resultados del Álgebra Lineal
Las pruebas de los dos siguientes Lemas pueden encontrase por ejemplo en
Burgos 2006 páginas 81 y 102
68
Lema 2 16 Considérese cualquier sistema de ecuaciones lineales que sea
horno geneo
a11x1 + a12 x2 + + a1 x = O
(211)
a1x1+a2x2+ +Q,rnXn O
Entonces (2 11) tendrá alguna solución no nula si y sólo si det[a11 ] = O
Lema 2 17 (Determinante de Vandermonde)
Si r1 x2 x, son nurneros entonces
X1 X2 X3 Xn =fl(xj —x,) n-1 n-1 n-1 n-1 1<1 X 1 x2 x3 Xn
Lema 2 18 (Lema de Siegel 1929)
Sea
a11r1 + a12 x2 + Ü1NXN =
(212)
aMin + GMZXZ + aMNxN = O
Mecuaciones en N incógnitas tal que
['fl!fl&i
amn 1:5m5M 1:5n:5N y
Iamnl:5A AE7L
Entonces existe una solución no trivial (x1 x2 XN) E 7C" tal que
Zi
Ix1 <1+(NA)N&? n=12 1V
Prueba
Escribamos
(InXi+ +LIflINX,j=Ym m=12 M
Es decir
a11x1 + a12x2 + O1NXN = Yi
(2 13)
aMlxl + aMzxz + aMNXN = YM
As' a cada X = (x1 x2 XN) (2 13) lo envía Y = (yi Y2 Y,,)
Sea q E t
Si N=2 entonces en el cuadrado bidimensional de vertices
(—q q) (q q) (q —q) y(—q —q) hay 2q + 1 enteros en el eje x y 2q + 1 enteros
en el eje y, por lo tanto hay (2q + 1)2 reticulos enteros
Si 1V = 3 hay (2q + g3 reticulos enteros
De manera general para 1V arbitrario hay (2q + 1)V reticulos enteros en el cubo
1V - dLmenstonal para lx 1 :5 q Luego los correspondientes valores Ym satisfacen
IymI = :5 Elam.IlXni 5 NAq
Mi si las coordenadas de los puntos reticulares X están en el rango de (2q + 1)"
las coordenadas correspondientes de los puntos reticulares Y estan entre 2NAq + 1
valores 0 ±1 ±2 ±NAq Luego los puntos reticulares Y tienen a los más
(2NAq + 1)M localizaciones por lo tanto se tiene que
70
(2 14) (2q + l), > (2NAq + 1)M
Para demostrar esta ultima afirmación escojase un entero q tal que 2q es el uruco
entero par en el intervalo de longitud 2 definido por
(215) (NA)NM-1:52q<(NA)VM+1
La primera parte de la desigualdad (2 15) implica que
(NA)Nw-1 :52q
(NA)Ñ%? —< 2q + 1
(NA)M <— (2q + 1)N-M
De donde se sigue que
(2NAq + 1)M = (NA)M (2q + i)M
<(NA)M(2q + 1)M
25 (2q + 1)_M(2q + 1)M
= (2q + 1)N
Como X recorre los (2q + 1)tV puntos reticulares definido por Ixt :5 q los
correspondientes puntos reticulares Y no son todos distintos es decir que existe por
lo menos un punto Y correspondiente a
= (XI x) y X = (xÇ XN)
Entonces
= (x - xÇ x,, - x) da la solución no trivial a (2 12)
Además
1V 14- x' 'j ~ 141 + Ix'I ~ q + q = 2q c (NA)irM + lo
71
Ejemplo 2 7
Sean DKTrs E7Cs<r
Para cada k t tal que l5k:5KyO:5t:5T-1 consideremos
L.dm=OCan;O Re[(m + m)t]rkmsk(0 _1_m)(_1)xmn = O (2 16) VD-1 rO 1
(2 17) i..m=ono o-ic.s D-1 Im[(m + nL)t]rkTflsk(O_Fm)(_1)kflx = o
Entonces (2 16) y (2 17) dan lugar a 1(7' ecuaciones respectivamente con
coeficientes enteros en D2 variables Xmn desconocidas es decir que obtenemos un
sistema homogeneo en 21(7' ecuaciones en D2 incógnitas con coeficientes enteros
Paracadam ntalqueO:5m:5D-1 0:5n5D-1seÜeneque
I(m+nÚtI = (,)
mt_6 (nt)9 :5 21mtn1
t+1 Como Cm + ni)' tiene t + 1 términos de los cuales no más de son complejos
IRe(m + ni)'¡t+1
2 (2mn)t
Luego
IRe(m + :5 j! ld (2mn)trhhtsk(0 _1_m)
(2D9TrhCOrIC(O_ 1lfl
< T442D2)Tr!(Or_t(
L+-1 (2D2f'r KD
72
lRe(m + nz)trsk3_1_m)(_1)b09 :5
< 2(T + 1)(2D2)Tr)
5 (T + 1)(2D)2Tr)
De manera análoga se tiene que
lm(m + nt)trtsc(t)_1_m)(_1)khhI :5 (T + 1)(2D)2Tr E 71
Si 2KT c D2 por el Lema de Siegel existe una solución no trivial
(xoo XO(D_1) Xio X1(1)_1) X(D_1)0 X(D_1)(D_1)) €
Tal que
2KT IXmn I < 1 + (D2(T + 1)(2D)ZTrl)D2_2Icr
25 Algunos resultados de La Teoría de Numeros Algebraicos
Definición 2 10 Un numero algebraico a se dice que es un entero algebraico si
su polinomio minmio es mómco
Definición 2 11 Sea [Q(8) Q] = n ya = = r(0) E Q(0)
Si O 02 O, son los conjugados de O Entonces los numeros a = r(09
j = 1 n son llamados los conjugados de a en Q(0)
Lema 2 19 Sean a fi numeros algebraicos en Q(0) [Q(0) Q] = h
a=a1 a2 ah P=P1P2 Ph los conjugados de a yfienQ(0)
respectivamente Entonces los conjugados de a + fi y ap en Q(0) son,
respectivamente
ai+fii ah 4- fih y a1/31 ahfih
73
Prueba
Como a 6 E Q(0) los podemos expresar como sigue
a = E;Jc10' = r(0)y fi = Eto'bgO' = s(0)
Sean r(x) = EtJ C2X t s(x) = bgx t E Q[X] y 01 02 °h los conjugados
de 9 con polmomio mínimo p(x) Por el algoritmo de la división en Q[x]
r(x)s(x) = q(x)p(x) + t(x) con O :5 gr(t) :5 h - 1
En vista de que para l5j5h p(0j)=Ose tiene que
a1IJj = r(0js(0j) = t(Ol)
Por lo tanto alfil son los conjugados de «/3 en Q(0) j = 12 h
Por otro lado
a + fi = r(0) + s(9) = EtJ c101 + EJ b,0 1 = + bjO' y
a1 + Pi = r(91 ) + s(01) = E(c, + b30 o
La prueba de los siguiente lemas se puede encontrar por ejemplo en Pollar &
Diamond 1998
Lema 2.20 Si a es un numero algebraico entonces existe un entero positivo r tal
que ra es un entero algebraico
Lema 221 Si «i «2 «L E entonces existe un entero algebraico
0 E Q(a1 «2 CO tal que Q(a1 «2 aL) = Q(0)
Definición 2 12 Si [Q(0) Q] = ny ai a2 a,, una base para Q(9) Entonces
el discriminante del conjunto a1 «2 an está definido por
74
A[a1 «2 «nl = 1a112
donde taJ 1 ese¡ determinante
al al «A
y
n n it a1 a2 a
4 i = 12 n son los conjugados dea1 en Q(0)
Lema 2 22 Si [Q(0) Q] = h Entonces existe una base para Q(9) compuesta
por enteros algebraicos fi1 fi2 Ph tal que todo entero algebraico en Q(0) se puede
expresar de forma unica como afJ + a2 f12 + + ahfih donde a1 E Z L = 12 h
Además A[fl1fi2 fihlE7L — tO)
Definición 2 13 Si [Q(0) Q] = h y a es un numero algebraico en Q(9) La
norma de a en Q(9) denotada por NQ(e)(a) está definida por NQ(e)(a) =
a1a2 «A Donde « (t = 12 h) son los conjugados de a en Q(6)
Lema 223 Si [Q(9) Q] = h y a fi numeros algebraico en Q(0) entonces
i) Nq(e)(afi) = (NQ(o)(a))(NQ(g)(ft))
u) NQ($)(a)=O suy sólo sia = O
iii) Si a es un entero algebraico entonces NQ(g)(a) E 7Z
tv) Si a es racional entonces NQ(g)(a) = a"
75
Lema 2.24 Sea O E Q de grado it Consideremos p ecuaciones en q incógnitas
con O<p<q
a11C1 + a122 + + aiq.q = O
(2 18)
+ a22 + + apqCq = O
Donde a1 son enteros algebraicos en Q(0) tal que Iku fl :5 A para A 1: 1
i12 p j=12 q
Entonces existe una constante positiva e que depende de Q(9) e independiente de
los aij p y q tal que (2 18) tiene una solución no trivial Ç1 e2 Zq en enteros
algebraicos en Q(0) tal que
IICklI Cc + c(cqA) -P k = 12 q
Prueba
Sea ¡Ji $2 Ph una base de enteros algebraicos para Q(0) la cual está
garantizada por el Lema 222
Si a es un entero algebraico en Q(0) entonces
(219) a=gifli+92fl2+ +ghflh 91 €Z i=12 it
Denotemos los conjugados de a y (Jj (j = 1 it) en Q(0) respectivamente
a = a 1 a 2
Po.olo2 oh J Pj Pj Pj
76
Tomando conjugados en (2 19) por el Lema 2 19 se tiene que
&=gifl+g2fl+ +gftfl j
92#21 +gj
glfllh +g,j3/
Por el lema 2 22 IPJ 1 * O por lo tanto podemos resolver estas ecuaciones para
los gj como una combinación ¡mea¡ de los al cuyos coeficientes dependen
unicamente de la base
Luego
(210) lgjI<ciIlalJ j=12 h
Donde la constante positiva c1 depende de Q(0) pero es independiente de a
Si (2 18) tiene una solución en enteros algebraicos en Q(9) los podemos escribir
como sigue
(2.21) Z, == 12 q %E 71
Luego (2 18) la podríamos reducir a
(212) E «ktl = E 1 akg(EJt1 xgj f3) = E?1 E=1 «ICIPJXIJ = O
k=12 p
77
El problema se reduce en hallar enteros x 1 que satisfagan (2 22) Ahora los
enteros algebraicos akIli) pueden expresarse en término de la base de enteros
algebraicos es decir
(2 23) «k1í3J = t= m,1i,.fJ
Donde k=1 pt=l qj=1 hymkojr EZ
Reescnbiendo (2 22)
EiE=lE=lmkgJrxqPr = 0 k = 12 p
Como los Pr son linealmente independiente sobre los numeros racionales
(2.24) V1E2=lmkqrxgj = O k = 1 p r = 1 h
Se tienen ph ecuaciones en qh mcógnitas xq y en vista de que O c p c q
O <ph <qh
A partir de (2 23) obtenemos de (2 20)
lmkljrI <clIIakLPulI :5 c1atfl1
:5 cAflP1fl
:5c2A
Donde c2 kc1IIfJjfl Vj = 12 h tal que c2A r= Z+
Ahora podemos aplicar el Lema de Siegel a (2 24) es decir que existe una solución
no trivial de (2 24) tal que
ph
IXIJJ < 1 + (qhc2A)hPh = 1 + (hc2qA)rP
Luego de (2 21)
78
ne1ii < h(maxIlfijlI) [i + (hc2qA)]
-e- Cc + c(cqA)-v
Donde e k máx(hc2 Ilfi1II) j = 12 It además es claro que c depende del
cuerpo Q(9) y es independiente de a1 p y q
Como al menos uno de los x0 no es nulo se sigue de (221) que al menos uno de
los stges una solución no nula ya que los fij son Q —Imealmente independientes o
Ejemplo 2 8
Sean a fi numeros algebraicos con a * 01 y fi E Q y consideremos
(2 25) EL E7 1(' + fi))ae(1+PJ)bo9a)tj = o
Donde a=O1 n—lb=12 m
Reesenbiendo (2 25)
E71 E7 1(z + fi))a(eb09a)lt(ePh09a)."gj = o
(2 26) E7 E7=1@ + fij)a(a)tb(y)Jbe = o
Donde y = aO
Sea OEiy supongamos que yEt tal que afiyEQ(9) Además como lfi
son linealmente independientes los t + fij son distintos Luego de (2 26) se obtienen
mn ecuaciones lineales en q2 incógnitas Ji, cuyos coeficientes son numeros
algebraicos distintos en Q(G) de la forma (z +
79
Escojamos m n q de tal forma que q>4m2 q2 sea multiplode2m n= -Si y
q un cuadrado perfecto entonces es claro que mit <q2 Procedamos a acotar los
coeficientes de (2 26)
(t + flj2()li(y)Jb = [z, () ¿a_kQp)k] att' y"
= [La + al La-i(ip)l a! (a-1)l " + 0$) + + osy1]aU1yi1
En esta ultima expresión aparecen monomios en a fi y y con grado a lo sumo
tb+jb+a:5qm+qm+n-1=n-1+2mq<n+2mq
Por el Lema 2 20 existe un entero c1 > O tal que c1a c1 fi c1y son enteros
algebraicos luego
(217) cr2mhlo+Jpratb yJb a=O1 n-1 b= 12 m
Son enteros algebraicos
Por otro lado ya que ui +jfihI :5 ll'fl + l[iIlIIfihI :5 q + qJij9ll = q(1 + U/II) Si
= máx(lIalI lvii 1 + tI/JIJ} entonces para cada entero algebraico en (2 27) y sus
conjugados se tiene la siguiente cota.
Icr2'(t + jfl ata' y1" :!i
n+2mq( ' 2qm <c1 qc2i c2
= (c1c2)' (c1c2)2m]q?
= (c1c2)[(c1c2)2m](y2mn)11
80
np' c+2t"(t +jí3)aatbyib 1 < (ci c2)n[(cicz ) 2mP(/2) i
c (cic2)n[(cic2)2m]fl(V2Efn
= [(c1c2)2m+1]n(iñi)un ni
=
Donde c3 = (cic2)211sJ2 y es claro que c3 c1 c2 ni son mdependientes de n
Ahora podemos aplicar el Lema 2 24 a (2 25) con A = cn Luego existe una
solución no trivial de enteros algebraicos 4q tal que
mp'
IJ'tgj fi <c + c [c(2mn)c2n]2lmfh_mht
= c + 2c2mn4n4
<3c2mnc2iJ
<3c241t4n
<3(c2)4Ttc2n
= qn
Donde c4 = 12c 2c3 y es claro que es independiente de it
Definición 2 14 Sea a un numero algebraico de grado d con polinomio mínimo
p(x) = Ej=ocjx1 E Z[x] Se define la altura de a denotada por x(a) como la
altura de su polinomio mrnimo es decir
,c(a) = ,c(p) = max{lcol kI ICaI}
81
Lema 2.25 Sea a un numero algebraico de grado d con polinomio mínimo
p(x) = EJtQ CJX' E 7L[x] Entonces los numeros 1 a a2 a son linealmente
independientes sobre Q Además, para cada entero n n 2: d la cantidad a" puede
expresarse como una combinacion lineal racional de 1 a a2 a'_' Esto es,
existen flUflieiOS racionales Co n c1 tal que
q"= Co n +c1 a+c2 a2 + +cd_i fla' 1 y
max tkI1 :5 (1 + x(a))n+J.-d
OSjId-i
y además cada numero racional c1 puede expresarse como una fracción con
denominador iguala Cdn+i-d
Lema 216 Sean Pi P2 Pt E Q(0) donde O es un entero algebraico de grado
dy altura x(9) Si para cada l=12 L
01 =r+r,20+ +rMO
Con r1 EQ tal que r,:5B,j=12 d para alguna constante B, Entonces
fl1p2 PL=rl+rzO+ +raOd _i
rj E Q satisfaciendo
maxfkJ} :5 d"B1B2 B(2x(9)f iSJSd
Más aun, si den(pi) denota el mínimo comun multiplo de los denominadores de
los coeficientes racionales ni r12 Tid entonces cada numero racional r1 puede
expresarse con denominador de la forma
den(P1)den(P2) den(JJL)
82
27 Algunos resultados del Análisis Complejo
Los siguientes resultados del análisis complejo pueden ser consultados en
Churchill & Brown, 2004
Lema 227 Si una función es analítica en un punto admite derivadas de todo
orden en ese punto y las derivadas son funciones analíticas en ese punto
Lema 2.28 (Principio del Módulo Máximo)
Si f(z) es analítica en un dominio D y en su frontera C donde C es una curva
cerrada simple entonces If(z)I alcanza su máximo en la frontera C y no en su
mtenor a no ser que f(z) sea constante
Lema 2 29 Una función f analitica en z0 tiene un cero de orden m en to 51 y
sólo si existe una función y analitica y no nula en z0 tal que f(z) = (z - z0)m9(z)
Definición 2 15 Sea F una función y R E llt' Definimos el conjunto
Z(F R) = fr E C F(z) = O Izi :5 R
con la condición de que si z0 E Z(F R) es un cero de F con multiplicidad m
entonces z0 aparece m veces en el conjunto Z(F R) El cardinal del conjunto Z(F R)
lo denotaremos por card(Z(F R))
Lema 2.30 Sea F una función entera y supóngase que existe un numero real k tal
que para todo numero real suficientemente grande R
maxlIIF(z)I} = IFIR :5IZISR
Si existe un E> O y una sucesión creciente no acotada de numeros reales
R, R 2 tal que
83
Rr e <card(Z(F R))
para todo n = 12 entonces F es idénticamente nula.
CAPITULO N° 3
ALGUNOS RESULTADOS TRASCENDENTES, PREVIOS A LA SOLUCIÓN DEL SEPTIMO PROBLEMA DE HILBERT
Tal como lo anunciamos en el capitulo n°1 esta sección está dedicada a
presentar las pruebas de algunos resultados previos a la formulación de los 23
problemas de Hilbert y a la solución del séptimo problema planteado por él
3 1 Irracionalidad de potencias de e y su trascendencia.
Teorema 3 1 e' es irracional para todo entero a > 1
Prueba.
Supongamos que e" = E Q entonces
r - sea = o
(3 J) r—sE0= = o— ni n ni ni
N E
Sea f(z) = z'(z - = E21 CN Z N E 7L[z] N=p-I por la parte (a) del Lema 2 3
Al multiplicar (3 1) por ,1 _1 Ni CN se tiene que
rE) 'lN'cN 5 tNp_i(N'CNE:)+5 ttp_l(N1 CNt_p~l)
+sEt 1 (Ni Cpj
84
85
Por el Lema 2 1 yla parte (b)del Lema 23
271-1 (NICNN-1 y att
/> L
N=p-1 n=N —p+1
Luego
VN—P a"\ (3 2) rI21 N' CN = s (E'; (iv' CN Len —o r) + N-p-1
N=p-1 (NI Cff an
Definamos
N-p z71\ ;(z) = E! ç (iv' CN — j) Polinomio de aproximación
;(z) = EJ!1 (iv' CN Cola de la serie
Podemos reescnbir (3 2) como sigue
2p-1
r 1 N'cN=sJ'P(a)+sTP(a) N=p-1
Mf
Ir! Z'_lN'cN—SYP(a)I = 14(a)I
Vamos a obtener una cota superior para Ç(a)
'ç.2p1 = tN=p-1 (NicNEw
— 22p
-1 (Ni CN E'=
86
_____ - 2p-1 / E';1_1 (Ni CN E'=0 (n~N)!) - £aN=p-1 (CN Ljii=O (n+N)I)
-
- '
2p-1 Nta"a N=p-1
(Cu 2:n-=. N)(n+
NtaT' - vZrl __
- LiNp-1 (eNe E'=o n+N)l)
~ EN= (cNa' E,oin ) por (a) propiedad 2 1
Así
l7(a)I < - I'.NP-1 (cNd' E;=0)I
- iyZpl -
I_N=p_l(cNa?Jehl)I
:5
:5
= e'a2P_'(1 + a)" por el Lema 24
= eaazPa-l(1 + a)"
= ez![a2(1 + a)]"
= K1K2"
Donde K1 =Ç yK2 =a2(1+a)
Concluimos que
87
Ir! = 1s5;Áa)I :5sK1K2P
(3.3) IrEf4,'_lN'cN —s3,(a)I :5 sK1K?
El lado izquierdo de la desigualdad anterior es un entero positivo que tiene como
factor a (i, - 1)1 En efecto
Sabemos que f(z) = 2p-1
CffZ 4 E Z[z] por ende CN E 7L
Así
213-1. rE1 Ni CN E Z
y evidentemente tiene a (y - 1)' como factor
Por otro lado
= 2p-1 n=O ni
- v2p-1 '-N=p (N'cNE:g)
p'cp E:jj +(p+ 1)'cp+iEo+(p+ 2)'cp+2EoÇ+
P-1
+(2p— 1)1 c2p_I1.j-
(34) ?p(a)p'cp +(p+1)'cp+i[1+a]++2)1 cp+2 11+a+1+ 51 a 1 1
+(2p-1)'c2p_j[1+a++ +(p_l)IJEZ
88
y también tiene como factor a (y - 1)I
Por lo tanto
Zp-1
r 1 N'CN—sP7J (a) N=p-1
es un entero que tiene como factor a (ji - 1)'
Al dividir (3 3) entre (y - 1)' obtenemos la desigualdad
1_T E2' NI (35) (,-1,, N=p-1 CN - (Pl)!;(a)I :5 sil1
(p-i)1
cuyo lado izquierdo sigue siendo un entero es más es distinto de cero Para ver
esta afirmación probaremos que
(36) r
N' CN - (p-1)! 5(a) iÉ O mod i
Por (3 4)
Sin embargo
2p-1
(p-1)' > N'cN*Omodp N=p-1
Pues en caso contrario al escoger un primo p tal que p > máx(a r} se tendría
que si
89
/ r vZP-1 Ni cN)
Entonces como p > r
p/[cp_i + PCp + (ji + 1)pc +1 + + ( 2p - 1)(2p - 2) PC2p_1]
Luego
P/Cp_i
Y en vista de que
= Ja'9 * O
Se tiene que
p/a
Lo cual es imposible pues p > a Así completamos la prueba de (3 6)
Como p es arbitrario al escoger un p relativamente grande es decir p —'oose
tendría en vista de que K1 y "2 no dependen de y de (3 6) que
2p-1
X NIcN— (/ )iYp(a)C1 N=p-i
Lo cual es imposible pues no hay enteros entre O y 1 luego nuestra suposición
es falsa y ea tiene que ser irracional o
Z@1
Corolano 3 1 Para todo numero racional 11 distinto de cero esa es irracional
Prueba
Supongamos que 3 11 E Q no nulo tal que
es eQ es decir es =pqEzq*O q
Sin pérdida de generalidades supongamos que a 1: 1 Luego
Elevando a la potencia b
= (P)" E Q
Lo que contradice el Teorema anterior por lo tanto nuestra suposición es falsa y
a es es irracionalo
Teorema 3 2 El numero e es trascendente
Prueba
Supongamos que e es algebraico entonces existen enteros r0 r1 ra con
rd * O tal que
(37) r0 +r1e+r2e2 + +rde" =0
Construyamos un pohnomio E,,(z) tal que
se aproxime a e
7,(2) se aproxime a e2
91
se aproxime a ed
Para tal efecto definamos
f(z) = - 1)(z - 2)P (z -
Rescnbiéndolo (ver observación 2 1)
(dtl)p-1
f(z) =
N=p-1
Multipliquemos (3 7) por z:°p-i"' Ni cN
(d+1)p-1 (d+1)p-1 (d+i)p-I
N'c,,+r1e 1 N'c,,+ +rae" N'cN=O N=p-i N-p-1 N=p-1
(38) z:J2r'N'CN +rle1Ejf42r lNIcN + + re'2f.tÇ 1N'cN = O
Para 1:5t:5d
(d.i-1)p-L
et > N-p-1
(d+i)p-i / N-p \
x M=p-I 71=0
N-i tn
Cl~
L ;~l_)
N=p-i nN-p+i
v(d+1)rl ' +44Jp_1 (NiIT C,4z,N—r
Por el lema 2 1
P-1 (dt1)p-1 / N-1
¿ Ln n=t H=p-i n=N-p4l / 1
92
De nuevo por la observación 21 para t= 123 d el término medio se
anula. Por lo tanto
(d+1)p-1
Ncp-1
(d+1)p-1
N=p-1
Ni c«= (N!cNX ! 1+
/ N-p
n=O
(d+1)p-i
/ N=p-I
Ni CM
n=N
Donde
- v(d+1)r1 - t.aNp-1 (NI CH E ) Polinomio de aproximación
(d+1)p-1 ;(z)= EH P 1 (N'cHEN54) Cola delaserie
Reescnbiendo (3 8)
(d+1»-1
N' CH + r1(Yj,(1) +Z,,(1)) + + + T(d)) = O N=p- 1
(d+1»-1
r0 X N' CN + r17,(1) + + r2%,(d) = —r12,(1) - - N=p-1
(39) r Et) 1 N' C + E=i r7',,(t) = - rT,,(t)
Procediendo como lo hicimos en (3 3) se demuestra que el lado izquierdo de
(3 9) es un entero que tiene como factor a (p - 1)' así que al dividir entre este
factor y tomar valor absoluto a ambos miembros de la igualdad, (3 9) se reescnbe
[.')iiJi]
93
d 1 d vrt __ 1 r
Np-1 t1 It1
Tal como lo hicimos para obtener una cola superior para ;(a) en la
demostración del teorema 3 1 para t= 123 dse tiene que
(d+1)p 11)1`(3 10) ¡Ç(t)J ~ et
- L.N=p.-1 ICrvI
Por definición
f(z) =z 1(z-1)(z-2)P (z—d)
= fl 1(z - ty
- (d+1)p-1 N - N-p-1 CNZ
Por el Lema 2 5
ICNJ :5 [l (2oP 5 [(2d)'9
Ahora podemos seguir acotando l;(t)I
02+1», 1 (d+1)p-i i 1(t)I :5 ett - L.Np-1 ICNI
:5 ett ' 1 p_1(dp + 1)[(2d)']P
:5 ett( 1)P 10[(2d)9P
Así para l:5t:5d
94
I1(t)I :5
= edd_1d( 2 )P[(2d)u]P
= t-d Ç tl (ddzPP [( 2d)IP
= Ç [d22dd2a]P
= Ç Ed(2d9d1
ea
= =y K2 =
Luego
_____ a r 1 _ro Ej2'N'cN +Etll)!POI =
3 11) kp-i)!
<K1 (z 1IrI K2 \
- = Q,-1)l)
Para p>max(r0 12 ci)
(3 12) r0 ç.(d+1)p-1 NI CN o mod p (p-1)I L.N=p-1
En efecto como p > r0
Si ¡ '.'N=p-t (p-1)I J
P/[Cp_1 + PCp + + ((d + l)p - 11 PC(a+1)p_11
95
Se tiene que
P/Cp_i
Y en vista de que
= 11P2P dI = fJtv
Se concluye que
p/t
Para algun t = 12 d
Entonces
p/t
Lo cual es imposible pues p> t Así completamos la prueba de (3 12)
Por otro lado
a
PI>.:rt
(P -
Por lo tanto
a ro
(p-1)' N-p-1 C=1
Es un entero distinto de cero
96
Como p es arbitrario al escoger un p relativamente grande es decir p - w se
tendría en vista de que K1 y K2 no dependen depyde(3 II) que
(d+1)p-1
O<(p1)I 1 N=p-i
d t' T
ci t=1
Lo cual es imposibleo
TTeorema 3.3 Pan todo numero racional distinto de cero e es irracional
La demostración es análoga a la del Teorema 3 1 por lo cual no seremos tan
detallistas en la prueba.
Prueba
SeaEQ—(O} y
Supongamos que ea = E Q Entonces
r - sea = O
Multiplicando por r - se se tiene que
(r - sea)(r - se) = O
52 + r2 - rsea - rsea =
(3 13) (2 + r2) - rsea - rse = o
Sea
f(z) = - a) (z + a)P
97
f(z) = -
=zP_1 [b(z 2 _)1l'
(3 14) f(z) = - a1
= z1 () (bz2)'(—a)"
= z [() (bz2) + () (bz2 ) 1(—a)1 + + () (—a)P]
= () bz' + () b 1(—a)z33 + + () (a)PzP
(3 15) f(z) = CO ) (—a)z 1 + (Ç) (—a)'bz 1 + () (—a) 2 b 2z 3 +
Así
f(z) = E 1CN 2N E Z[Z]
Multiplicando (3 13) por E N' CH
(316)(S2 + r 2 )E,! l NIcN - Cli - rse_aEt j NlcN = o
Para t = a —a
3p-1
et ll'CN
3p-1
> (N'cNkv
-p ' LI+
3p-i
> (NIcN L.
' i
N=p-1 N=p-1 n.o / Ncp-1 \ n=N-P+1 /
,3p-1 + LNp-1 (NI Cli
98
Por el Lema 2 1
} v3P1 CNEN_1(317) rcz) - (Ni
inni n=-p+1\)
Parat=a —a por el Lema 22
E:f'9t) = f'(t) +f 2(t) + f 1(t) nl
a p-1 = (y, - 1)t 2 [b (t2 - + 2bpz [b (t2 -.....)]
E=0 C) [{b (t2 -
l-1 a ' (k)
+> (P 1) [tP_h] -t-k) [{b (tZ _._)) ]
k=O
De donde
(318) Ef'(t)=O para t=a —a
Por lo tanto
3p-L
et
3p-1 / N-p \ tn 3p-1
(NI C!)
N=p-i N-p-i n.o N=p-i n=N
=E,(t)+T(t)
Reescribiendo (3 13)
(ç2 + r2) 3p-1 N=p-1 N' CN - rs (;(a) +Y, (a» - rs (J,(—a) +
99
(2 + r2) JL,' 1 Ni CN - rs (;(a) + = rs (;(a) +
Acotemos 1(a) +
Procediendo como lo hicimos para acotar 2,(a)
+ Ç,(—a) 5 I'&)I + I;(—a)I
:5 eU a3P1 EL" 11c1 + e_a3P_1EL!l..iIcNI
= eUa3PlIa + bI + e_a a3 _'Ia + bI" por (3 15)
= a3"11a + bIP(ea + eU)
Igual que en el teorema 3 1 se demuestra que
E 71[z]
Sea N = 1b3rl(sZ+rZ)3p_1 lN'CN b3'rs
(pl)! = - -
(p-1)1 (;(a)+;e-a»I
Ib3 P rs 1 O < N
<lb3P'rsÇ3p_11 + bIP(eU + e)
- (p—i)1
= lb3Prsi [(a)3P_1'] ¡a + be" (eT + e_Tab)
b(p-1)'
Ii ¡\ 3p - IrsÇeJ5~e4V) (b3)'ÇE)!] Ial-bI"
- b(jj) (p-fll
(319)
Por el Lema 26 N es un entero así que al escoger un p relativamente grande es
decir —* co se tendría en vista de que K1 y K2 no dependen de p y de (3 19)que
OcNcl
Lo cual es nuevamente unposibleo
Corolano 32 El numero ir es irracional
Prueba Supongamos que ir es racional es decir ir = 1 Por el Teorema 3 3
es irracional pero
Luego nuestra suposición es falsa yir es irracionalo
3.2 El teorema de Lindemann-Weierstrass
Teorema 34 (Caso especial del Teorema de Lmdemann Weierstrass)
Sean a1 a «M numeros algebraicos no nulos y distintos donde
(a1 a2 am } es un conjunto completo de conjugados Supongamos que
Po fi1 PM son enteros no nulos tal que si a1 y «j son conjugados se tiene que
P1 = fij Entonces
(320) fi0 + E=1 fimeam * 0
101
Prueba
Supongamos que
í30 + 2?mm
= o
Como {al a2 «M } es un conjunto completo de conjugados introduzcamos
un cambio de variable para agrupar conjuntos de conjugados
«u a12 «1M1
«21 «22 «2M2
aLl «1,2 «LML
Donde [a,1 «,z a,M, ) es un conjunto de conjugados, 1 = 12
L
De acuerdo con nuestro reordenamiento /31 denota los coeficientes
ágil = $12 = = Pm,
Así se tiene que
(321) p0+ EL 1p,(EM711
I=1 ) ealm\=O
Sea
102
(322) J(z) = (z - a11)(z - a12 ) ( z -
Ya que (a,1 a12 al,.,,) es un conjunto completo de conjugados, por el Lema
j4:]
(323) fj(z)EQ[z]
Entonces existe d, E Z tal que
(3.24) d,f,(z) E Z[Z]
Definamos el polmormo auxiliar
f(z) = (d1d2 [fj(z)1 E Z[Z]
- v(M+1)p 1 - 'N=p-1 - Ver observación 2 1CNZ
Es claro que
= ±(d1d 2 dLa1a2 «M)P y
c,,_1 * O porque los am son distintos de cero m = 1 M
Por el Lema 2 1
(3.25) Ef"(z)= E'4t-1 (Ni CN
Aplicando reiteradamente el Lema 22 se tiene que para aE[al «2 «M)
(326) E11-1
103
Multiplicando (3 21) por 'N' N!CN se tiene que
(p-1)!
L / )iM+1»_iwcN
N=p-1 N >P(> ea,m ) =
mi N=p-1 Po + O' - 1)' O' - 1)'
1=1 \m=i /
(3.27) Nl CN + i)! Et1 p1 1= N-1 Pl' CN) (EL1 eaIm) = o
Ahora para cada a E (a1 a2 «MI = (a11 «13(1 «Li aLML)
e" N'cN=
N=p-1 N--V-1
/ N_Pan\
(N'cN —I+ nl, vz=O /
(M+1)p-i
> N=p-1
/ N-1 ' (tvuc,,, ni
n=N-p+1 /
+ Et;?r' (Nl CM
Por (3 25) y (3 26)
(M+1)p-1 (M#1)p-I / N-p \ e" NTCN=
N=p-I iY=p-1 n=O /
(NICN ) Np-1 nN
=Yt,,(a) +3,(a)
Donde
= (Nl CM Polinomio de aproximación
= E(3f+1)7P1 (N' CM E=N) Cola de la serie
Reescnbiendo (3 27)
104
po
¡ / Mg
'ç. _____
l N'cN (p l)Ixrn(X(;cm)+;catm)))= o
Ncp-1 1-1 i,i=
Luego
(318) fiO M+1)p-1 N!CN+ Et1 Pi vMi ---E
MI T(a,\ Np-1 (p-1)I =tm=i pji f= (Y-m=l __1)!)
Para = p - 1 la suma interior en ;(z) es vacia y por lo tanto es igual a cero
lo que implica que
(M+1)p-1 (N'CNz:g) =P'C+(p+ 1)'c +1(1+z) N=p
z 2' +(p+2)'cp+2(1+z+jj.)+ EZ[z]
De donde
(329) *2(z) (P '1)1 Pp [z] E 7L[z]
Como gr(;) = Mp - 1 y a11 a12 alM, son los ceros de /j(z) E Q[z] por
Lema 12y(329)
Mg al
Li (p - 1)' - d1Mt1 E Q
M=1.
Reescribiendo (3 28)
vMl y( m) v(M+1)r1 NICpj VL ag$j ______ (330) Po N=p-1 (p-1)! + 'l=1 d,MP.1 = - Ef=1 fit t'-m=i 01-1)!)
Multiplicando (3 30) por DMP = (d1d2 dJMP E Z
los
(M+flp-1 L Mp PODMP N t' !cN / \
alpídi
N=p-1 1=1
D
1=1 (M=I
Yaque - EZ se tiene que di
v(M+1)P-1 NICN (3.31) N = /J0DMP '-'N=p-1 (p-1)I + Ef=ia,uJ,d, ()M1 E Z
Reescribiendo (3 31)
(3.32) N = fi0DMPc_1 + (poDM1 EN=p (M+1)p-1 NICN (p-1)! + EL a1fi,d, (2.)MP)
Como p/a1 para cada 1 entonces p divide al entero contemdo en el paréntesis
de (3 32)
Por hipótesis fi0 * O luego si escogemos p > máx(Ifio I O k-ill se tiene que
fi0DMPc_1 es un entero distinto de cero y no divisible entre p por lo tanto p no
divide a JV Ahora podemos seguir reescribiendo (3 31) como sigue
L /M
N— plDMp(V73(a1m)\ --
1=1 \m=i /
Luego
1. /14j
¡NI - >2ÍJIDMS - tL.(p_1)rlI
1 1=1 \m1
Por la desigualdad triangular y en vista de que N es distinto de cero
"vMi IPIDM1Tv(atm)I (333) 0 <N :
5 EL= (L.m=j 07-1)! )
106
Empleando los mismos argumentos para acotar 3,(a) en el teorema 3 1
obtenemos que
(M+1)p-1 (3.34) 17(a)I --5 ea Ial(M+1)p 1 - L.N=p-1 kNl
Para todo aE (a «2 «Ml
Modificando ligeramente los argumentos de la prueba del Lema 2 5
p
max fI(" (_ai)Pj} 5 Iazl" > () = IZad" ,i=O1 Ukn) n=O
Y en vista de que
M (M+1)p-1
f(z) = Dz1 fl(z - ajP =
CNZ" ¿=1 N--p-1
Obtenemos
ICNI :5 D" J1I2a11" —< DP((22)M)P
Donde A = máx(1a11 laMi)
Ahora podemos seguir acotando V(a)l para todo a E (a1 «2 «M } De
(3 34)
1'(«)1 :5 e2(Mt1)P_1(Mp + 1)DP((2a)M)P
= eka(M11)P1MPDP((22)M)P Mp + 1 :5 M"
I;(a)I = ÇÁMPÁPA0DPWIMP
107
= Ç (2Ma2MY7(2MD)P
= Ç222 )M)P(mD)P
-
Donde K1 = A
y '(2 = )JVID(222 )M
Sea fi = máx$jf311 1P21 IPLI) entonces de (3 33)
, (Mg IPDMt7(alm)I)
O<N~>mci (p — 1)!
~ BMK1 (p — 1)!
Como DM111 y DMK2 son constantes independientes de p concluimos que para
un p suficientemente grande
OCINI<1
Lo cual es imposible por lo tanto
po + * 00
Teorema 35 (Lmdemann Weierstrass)
Sean ao a1 a2 «M M + 1 numeros algebraicos distintos Entonces
e('O ea, eaM
Son linealmente independientes sobre los numeros algebraicos esto es si
Po Pi PM son numeros algebraicos no todos nulos entonces
t,=oPme * 0
108
Antes de presentar la prueba, un ejemplo sencillo nos puede ilustrar los detalles
de la misma
Ejemplo3 1
Consideremos los numeros algebraicos a0 = a1 = %r3-Po = ¡Ji =
El Teorema de Lindemann Weieslrass nos garantiza que
(335) vs - * o
Vamos a emplear el Teorema 34 para venficar (3 5)
Supongamos que
(336) - = o
Multipliquemos (3 36) por expresiones análogas reemplazando a0 y a1 por sus
conjugados en todas las posibles combinaciones
(v' e - vVS') - v7S) (V!S - /7e) (e - = o
Luego
144 + 35e-2 + 35e2 + 35e_25 + 35e2 -
—12ae - 12Ve - 12ae = o
Factonzando
(337) 144 + 35(e_2 + e 2,112 + + e2)
—izV(e"" + + + e) = 0
Si no fuese por el coeficiente irracional —12-J-3-5- 12ñ aplicaríamos el Teorema 3 4
y la igualdad anterior no podría darse por ende (3 35) quedaría venficado
Observemos que
e2 + e2 + e2 + e2 e' + + +
Son sumas exponenciales conjugadas completas
Multipliquemos (3 37) por una expresión análoga, reemplazando —12,V-3-5por su
conjugado 12vr3-5
[144 + + e2 r2 + + e2)
- 12V(e"' + + + e1145)] 1144
+ 35(e -2V-2 + e2fi + + e2)
+ 12(e' + + + = o
Luego
5476 + 1225e + 1225e + 1225e" + 1225e
_2590e_22I - 2590e2 2 - 2590e 2'213-
_259Oe21121fi = o
Factonzando
110
5476 + 1225(e" + e4r2 + +
—2590(e -2..12-2,5 + e2_2a + + e2+2) = o
Por el Teorema 3 4 la igualdad anterior no puede darse por lo tanto (3 35)
queda verificado
Prueba del Teorema de Lmdemann Weierstrass
Supongamos que existen numeros algebraicos no todos nulos tales que
(338) E =o Pmetmm = o
Multiplicando (3 38) por expresiones análogas reemplazando cada am por sus
conjugados en todas las posibles combinaciones
(J30ePo +fJ1eP1 + + fJMePM)=O PM conjugado de am
m=O1 ,Al
Si cada am tiene grado n, el producto en (3 38) está compuesto de n,
factores
En vista de la simetri a con respecto a los conjugados después de multiplicar y
factonzar los coeficientes comunes se llega a
(339) k0E0 +k1E1 + + kLEL =O
Donde los k,son combinaciones lineales enteras de productos de los /3m y El son
sumas exponenciales conjugadas completas para 0 :5 1 :5 ¿ y :5 m :5 M
111
Por el Lema 27 No todos los k, son nulos Sin pérdida de generalidades asumamos
que todos los k1 son distintos de cero
Ahora transformamos los coeficientes en enteros multiplicando (3 39) por
expresiones análogas reemplazando cada k, por sus conjugados en todas las
posibles combinaciones
fl (y0E0+y1E1+
y1conjugado de kg 1=01 .L
Al expandir este producto y factonzar coeficientes comunes obtenemos
(340) SO -CO +61c1 + +SjEj 'O
Donde los Sj son polinomios simetncos en los ¡8m y sus conjugados con
coeficientes enteros además los Ek son productos de los E, Por el Lema 2 13 los Sj
son numeros racionales y por el Lema 2 7 no todos se anulan
Sin pérdida de generalidades podemos asumir que todos los Sj son enteros
distintos de cero en caso contrario se eliminan los términos nulos y se multiplica
por el mínimo comun multiplo de los denominadores de los S
Por el Lema 2 15 s, son sumas exponenciales conjugadas completas de tal
manen que en los exponentes se puede tomar conjugados dos a dos y llevar (3 40)
a las condiciones del segundo término del lado izquierdo de (3 20)
Para que (3 40) reuna todas las condiciones de (3 20) es necesario que para
algunk tk = e° = 1 Supongamos que ek * 1 Vk
112
Consideremos 5o = + e" + + e"i donde y1 y2 y1 son numeros
algebraicos no nulos y constituyen un conjunto de conjugados
Sea có = e%'1 + e_t2 + + e_Vi Es claro que 4 es una suma exponencial
conjugada completa.
Por el Lema 2 15 también es una suma exponencial conjugada completa.
Esta suma contiene al menos] veces e° por ende
= ¡ + 4'
donde 4' es alguna suma exponencial conjugada completa.
Como para cada k1 * k 2 los exponentes que aparecen en ek, son distintos de
los que aparecen en Ek. se tiene que para k * O 4k no contiene ningun término
e0 Multiplicando (3 40) por 4 obtenemos
(341) 16 + 604 + 64' + 6s' + + 6kÇ = 0
Donde los &kson enteros no nulos y cada sÇ es una suma exponencial conjugada
completa sin término e° por ende 160 es el unico termino libre de factores
exponenciales
Por el Teorema 34 (3 41) es distinto de cero y por lo tanto (3 38)tambiénn
Corolano 3.3 (Teorema de llermite Lmdemann)
El numero e" es trascendente para cualquier numero algebraico a distinto de
cero
Prueba
Sea a E Q - (01 y supongamos que ea es algebraico es decir
113
ea = fi
Para algun numero algebraico fi obviamente distinto de cero
Si /? E Q - {0} entonces
po a _ o1e -'
_puuJ + fi1ea = o
¡30e° + fiiea = o
Lo cual contradice el Teorema 3 5 pues O a son numeros algebraicos distintos y
Po = —IJiP fil son no nulos Luego ea es trascendenteo
Corolano 34 El numero ir es trascendente
Prueba.
Supongamos que ir es algebraico Como el producto de dos numeros
algebraicos es algebraico se tiene que
nr E 0 - (0)
En vista del corolario 3 3
elir = —1
es trascendente lo cual es totalmente falso por lo tanto ir es trascendente
Corolano 35 Si a E Q - [0 11 entonces toga es trascendente
Prueba
Supongamos que toga es algebraico Como toga * O pues a * 1 por el
corolario 3 3 e 109a = a es trascendente lo que nos lleva a una contradicción.
Luego nuestra suposición es falsa y toga es trascendente o
114
El siguiente corolario nos permite generar numeros trascendentes tanto como lo
deseemos
Corolano 36 Se a0 «i «M M + 1 numeros algebraicos distintos y no
nulos Entonces para numeros algebraicos no nulos Po fi1 I3M el numero
es trascendente
Prueba
Supongamos lo contrario es decir
= —fiM+1 E Q -(°)
Entonces
M+1
Pmeam = o
Donde aM+i = O y por lo tanto a0 a1 UM aM+l son numeros algebraicos
distintos y «ao e" e"M no son linealmente independientes sobre Q lo que
contradice el Teorema 3 5 Luego nuestra suposición es falsa y
es trascendenteo
115
33 Irracionalidad de 9
Teorema 36 9 es irracional
Prueba
Supongamos que
en=— E Q
Como e7'>l se tiene que s < r
Sea
(3 41) D = 2V1ff E 71 donde T >
Consideremos el polinomio no nulo
0-1 D-1
p(x y) = Z a,xmy" e Z[x y] mno m=O
Donde a son las soluciones enteras no nulas que garantiza el Lema de Siegel
en del sistema del ejemplo 2 7 deI Capitulo N°2
Para 0:5m5D-105n:5D-1
Sabemos que
2Kr Iam,j < 1 + (D2(T + 1)(2D)2Tr)DzKt
Y por (341) 2K7
D2_2KT'
Luego
Iamnl <1 + (D2(T+ 1)(2D)2Tr ))
Como Ia,I (D2(T + 1)(2D)2Trt)) E Z se nene que
116
IaI <5 (D2(T + 1)(2D)2Tr)
:5 4KT(T +
31 5 4KT(T + 1)(16KT)Tr2 T
1. T2
:5(41t7)(4KT)(16KT)T 2KZ
5 (4KT)2(16KT)T (r2J)T
:5 (4KT)2 16TKT (r 21d1 T )iT
Por la propiedad 23
7777 Iamnl <TIT8 TI T'T
De donde
(342) máx(Ia,fl <T 157
Sea f(z) = p(eZ elZ) Entonces
f(z) = Etamn(ebOm(e L2)n
(3 43) f(z) - - L VD-1
fl fl=O EtJ amne(mhtu)z
Luego
(3 44) ft(z) = 'ç'D-1 yD-1 s.m=Os.n=O a,,,(m + m)te(m+7 )2 o :5 t.-5 T - 1
117
Ahora si evaluarnos las derivadas defenz=kir k=12 K yen vista de
que e kir = (t)c y e = (_1)k ,obtenemos que
(3 - 2:'-'-1 ft() - oED1( (m + ni)' (t) (_i)tm
= Ptjc
Para 1:5k:SK 0:5t:5T-1
Multiplicando (3 45) por sc1) llegamos a la siguiente igualdad
(346) ,_.m=oEtJ(m + ni )trktflsk(D_1_tfl) (1)''amn = s_1)ptk VD-i
Para 1:5k:5K 0~t~5T-1
En vista de que en las KT ecuaciones en (3 46) aparecen involucrados numeros
complejos obtenemos las siguientes 2K?' ecuaciones
k(D-1) ' ReJjf;(m + nL)tr I s 0_1_m)(_1)b1amfl ) = Re (s Ptk) Y
+ nL)trs »1m)(_1)bfhamfl ) =
Lo que equivale a
vD-1 vD-1 Lnn=oL.rn=O Re[(m + nt)t]rk7 flsk(D_ 1_m)(_l)kfl = 5 ktCD_1)Re(ptk)
ç'D-1 VD-1 Lm=QL.n=O lm[(m + nt)t ]rl sa_1_m) (_1)lmamn = s c(D_1)lm(ptk)
Para 1:5k:5K 0:5t:5T-1
En virtud del ejemplo 2 7
0-1 0-1
Re[(m + nj)t]rkfls11(D1ifl)(_1)kflg = O Trt=Q it=O
118
D-1 D-1
> E Im[(m + = O m=O tz=O
Luego f(z) = p(eZ e) satisface la siguiente condición
ft(kg)_o k=12 K t=012 T-1
Ya que p(x y) * O f(z) * O Luego la serie de potencia para f(z) centrada en
z = lar tiene al menos un coeficiente no nulo Sea M el entero más pequeño tal que
fM(kff)*O 1:5k0:5K
Así Mdepende del parámetro K y > T
De (3 44)
D-1 D-1
fM(z) = a,,(m + nt)Me(m+ht
m=O n0
Al evaluar f en k0 ir se tiene que
jr £jm=oE n (m + j)M (_1)hboht M(k ff- ) - VD-1 am
Multiplicando la previa identidad por sko1) se tiene que
- D—i "D-1 - zam=oLn=o amn(m + ni)M(r)komsko(D_1_m)(_l)kon
= zg1s a [zt (7) mM(nz)M_hI rkoms(D_1_m)(_1)co
De donde
119
(347) stC0t)_1)fM(kow) = Ak, + LBk0 E 71(z)
Por el Lema 229 podemos considerar la función analítica
(348) G(z) = f(z) (z_n)M(z_27r)M (z_klr)M
Como f es analítica, podemos expresarla como una serie de potencia centrada en
z = k0ir es decir
f(z)
= ni
n=O
-
L.
f"(kow) n= ni
(z - koiryt - M
= (z - koir)M E;=M '"'(z - koir)M
ni
De donde
f(z) - _______
(z_kolr)M - -.n=M - ko,r)t ni
M
- fM(kon) fM+l(kofl)
- MI + (M+1)l (z - k0ir)1 + (z - k0ir)2 +
(M+2)I
Luego por (3 48)
G(z) fl (z - kir) = fM(k) fM+l(kff)
1~kSK M' + CM + 1)'
(z -
k*k0
+ IM+Z(k
(z - k0ir)2 + (M+2)I
En particular para z = k0ir se tiene que
120
G(k0w) fl M' (kir - kir)M
= ÍM(koir) ÍM+1(kolr)
+ CM + 1)' (k0ir - k0ir)1
isksK k*k0
fM+2(ko ff) +
(M+2)I (k0ir - k0ir)2 +
Luego
ÍM(kw) = M' G(k 0ir) fl (k0w - kw)M
isksK k*k0
Por (3 47)
Isko(D_1)fMk owI 2 = Sko(D_1)M? G(k0w) fi (kir - kw)M
1~kSK k*k0
Es un entero positivo
Ahora si O iR > Kw entonces O 9R <R - Kw y por el Principio del Módulo
Máximo
IG(kon)I ~ ?n{IG(z)I1 = 7naxIG(z)IR l!(z) IR
Q3 (IR - kirfl"M IZISR 15kSK
- lf(z)IR - IR_KffhhtM
lf(z)IR < (O 9R)KM
Para seguir acotando el lado derecho de la desigualdad anterior haremos uso de
(3 43), el grado del polinomio y el valor de R
En vista de que
121
=emR <e (D—I)R <e2t»t
Por (3 43)
If(Z)IR 5 DZmaxflamnl}ezt»?
c(4KT)T' STe4Rlkf Por (3 42)
<Ti'i T1 STe4RIRY Por la propiedad 2 3
T& TL5Te4 <Ti s62sr4RIW
<T'e"
= e1 6TLOYTe4IWAW
Así
(349) If(z)IR < e16Tb00Te4WR't
Como ¡Al = lsK ) _1)fM(kow)12 es un entero positivo pues k0 :S K se tiene
que
109J1l = 1oglsID_1)fM(kog)I Z
= 2109 Isl(1)fM (ko,r)J
= 2log G(k0ir) HIsicsK(kolr - k,OM k*k0
5 2 [109SK(D-1) + logMM + logIG(k0ir)I + log flisksKIir(k - ko)IM] k*k0
<2[logsK(D1) + I0PMM + logIG(k0u)I + Klog(Kir )M]
<2 [K(D - 1)logs + MlogM + lo,g ((J'M) + MKlog(Kir)]
122
logISlI <2[K(D - 1)logs + Mlo.gM + 1091f(Z)IR - KMlog(O 9R)
+KMlog(Kzr)]
Ahora por (3 49)
logIdII <2[K(D - 1)logs + MlogM + 1og(et6nb0e4R)
—KMlog(O 9R) + KMlog(Kir)]
(350) log MI <2[K(D - 1)1ogs + MlogM + 1 6TlogT + 4RVR?
—KMlog(O 9!?) + KMlog(Kir)]
Si tomamos R = K = 24 y T> ináx (r016)(24fl8 (24)3s2 (241r)12}
se tiene que
K(D - 1)logs = 24(24247 - 1)logs
<24(2V2T)1ogT
<2(24)T1ogM
= 2[(24)]frftogM
<2fl1T
1ilogM
<2W1MI
1IogM
= 2MlogM
De donde
(331) K(D - 1)logs < 2MlogM
Por otro lado
123
(3 52) KMlog(Kir) = 24M1og(247r)
= 2(12)Mlog(24ir)
= 2Mlop(247r)12
<2MlogM y
(353) 4R/7ff =
5 4 () (24)L/3?VM
= 2M [() (24)]
< 2M(12)
c 2Mlog(24ir)12
<2MlogM
Además es claro que
(354) MlogM <2MlogM
(335) 1 6TlogT < 2MlogM
Ahora por (3 51) (3 52) (3 53) (3 54) y (3 55)
1ogd1 <2[ZMlogM + 2MlogM + 2MlogM + 2MlogM
+2MlogM - 24M1og (co 9) (3) vi)i
1ogSl <2[2MtogM + 2Mlo9M + 2MlogM + ZMlogM
+2MlogM - 24Mlog (Mi)]
124
logIdll <2[1OMIo9M - 12MlogM]
(356) 1ogIc/l <-4MlogM
Así si se cumplen las condiciones impuestas a R K T y D = es un
entero por (3 56)
loglc/lI <-4MlogM
<-4TlopT < O
Luego
0<1111<1
Lo cual es imposible y por lo tanto nuestra suposición es falsa y asi
eff
es inacional o
CAPITULO N° 4
PRUEBAS DEL TEOREMA DE GELFOND-SCHNELDER
El presente capítulo presenta las soluciones dadas independientemente por
Gelfond y Schneider en 1934 del séptimo problema planteado por Hilbert, en el
Segundo Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 Primeramente
formulémoslo como se conoce en la actualidad.
4 1 Teorema de Gelfond-Schne'der
Damos dos formulaciones equivalentes al teorema que resuelve el séptimo
problema de Hilbert
Teorema 4l Siayfi son numeros algebraicos con a*Oa*1 ysifiEQ
entonces algun valor de a# es trascendente
Teorema 4.2 Si a y y son numeros algebraicos no nulos y si a * 1 entonces
Logy es racional o trascendente loga
Prueba de la equivalencia.
El Teorema 4 1 implica el Teorema 42
io Supongamos que fi = - es irracional algebraico entonces y = aP es toga
trascendente por el Teorema 4 1 contradiciendo la hipótesis del Teorema 4 2
125
126
El Teorema 42 implica el Teorema 4 1
Supongamos que y = ates un numero algebraico distinto de cero entonces fi es
racional o trascendente por el Teorema 42 contradiciendo la hipótesis del teorema
4 1 o
4.2 Prueba de Gelfond
SeaafiE cona*OlyfiCQ
Supongamos que y = aP = E 4 y E Q tal que
a fi yEQ(0) con [Q(0) Q] =h
Sea m=2h+3 Escojamos q>4m2 de tal forma que q2 sea multiplode2m
n=f- yquncuaxinaoperi'ecto Entonces es claro que n>qymncq2 =t
Sea
p(x y) =
Donde los gj son enteros algebraicos en el cuerpo Q(0) que se obtienen de la
solución del sistema (2 25) del ejemplo 2 8
Definamos la función entera,
(41) f(z) = p(eZ ePz)
= E1E71 jj(e2)1(ePz)'
= z1=1 E7 ¿gjeU+P1)z
La a - estiria derivada de f viene dada por
(4.2) fü(z) = + pj)ae+Pi)z
Del ejemplo 2 8 sabemos que
127
mi. (4.3) IIetiIl <c + c [C(2mn)c~nn!21
= c + 2c2mncn
<3c2mnc#?t;
<3c24h2cd
<3(c2)h14ul41,J
=
Donde cesla constante de] Lema 224 y
(4 4) c4 = 12C2 C3 = (c1c2)21+1V2— c2 = max(¡lafl lIII 1 + 111311)
(43) fa(b(loga))..o a=O1 n — lb=12 ni
Ahora bien, f'(b(1oga)) no se anula para todos los valores de
a=O1 t-1 b=12 m Para demostrar esta ~ación podemos sin
pérdida de generalidades fijar b = 1 suponer lo contrario es decir
f'(1oga)—O a=012 t-1
Luego
Q > ÇJ( +pj)aeo+PD1ona = o (=1 1=1
Como los fy no son todos nulos y en vista de que tenemos t ecuaciones en t
incógnitas por el lema 2 16
D = detl(L + /Jj)1e(hlPDh09f9 = o
Donde
128
e(1+P)boBa
(q+qg9)loga
D (1 + $)e(1+B09t1 (1 + 2P)e(1+2091 (q + qfl)e(Q+B)1d9a
(1 + p)t_le(1+P)109•X (1 + 2p)t_1e(1+2P)b00a (q + qfl)t 1e(Q+QB)t ga
= detl(z +jfl)j Hlsisq e(+IP)b09t 1SJSq
En vista de que ejP)b09a * O Vi j se tiene que
detl(i +J fi)aI = O
Pero esta ultima expresión es el determinante de Vandermonde y por el Lema
217 se anula si
= i' +j'fi
para algunos i i' j' distintos lo cual es imposible pues fi sena racional
contradiciendo la hipótesis por lo tanto existe un entero p 2: it y 8 con
1:5B:5m tal que
(46) fa(b(loga)) = O y y = f(8(10ga)) * O
Para a=O1 p— lb=123 m
De paso (4 6) revela que f(z) no es idénticamente nula.
Por el Lema 220 existe un entero c1 tal que
c1a c1 f3 c1y
son enteros algebraicos en Q(8) y en vista de que los (ti también están en Q(9)
procediendo como en el ejemplo 2 8 llegamos a que
es un entero algebraico en Q(9)
Como q<n:5p se tiene que
129
P - Ç+2m <cf +ZPnP = (c+2m) -
cp
Donde c5 - - c11+2tit y c1 m son independientes de p y n
Es claro que c'p también es un entero algebraico en Q(0) luego por el lema 224
1 :5 INQW,(cu)I = I(1vo()) (NQ(e)(p))J =
De donde
(4 7) INw&,(p)I t y
es claro que h es independiente de n y p
Por (4 6)
1 = fP(B(loga)) = z?1E71e11(' +jfl)PaWy1l * o
Luego de (4 3)y(44)
(48) lIíiII :5 q2 ,q(111,J11 hL +jj3P IIahI'° IIvIh'0} 1!Sjsq
Como <n :5py q2 = t= Zmn < 2' para n suficientemente grande se tiene
que
11911 <2h1czJ(qc2)Pcc
:5 (2c4c+2m)PnqP
En vista de que = 2mn qP = (il2mnf = (VZifn < se sigue
que
130
IIizII <(2c4c"mi/2rfpp
= (2c44+2m.ñ) p pP
(49) IIH = cp = 2c4c1+2msJZi
Por (4 6) la flinción entera f(z) = p(eZ efiz) tiene ceros de orden al menos p en
los puntos z=b(loga) para b=12 m luego por el lema 229 existe una
ftincion G analítica y no nula en dichos puntos tal que
'4 10 f(z) ' " " ' - (z-loga)P(z-210ga)P (z-mloga)P
Ademas por ser f entera
f(z) = , (B(loga)) (z - Bloga)" al
—v f2(Bloga) — L.a=p al (z - Bloga)a
= (z - B1oga) z;=p ,a( toga) (z - Bloga)"P al
f(z) - f°(aloga) (z-Bloga)P - ¿a=p al (z - B1oga)°
G(Bloga) = fP(Bioga) pl 1115b5m(8109a-btogaY'
bsB
f(B1oga) = pl G(Bloga) fllsbsm((B - b)loga)" b*B
Entonces
(4 11) 11 = p' G(Bloga) fllsbsm((B - b)logaf b*B
Si escogemos R = E IlogaI entonces (para n suficientemente grande)
131
I1ogaI ii: f llogcrl kI1ogaI
=22q) IlogaI
=I1ogaI
> mI1oga
> BllogaI
Luego por el Principio del Módulo Máximo para R = 11 llogaI
IG(Btopa)I :5 maxflG(z)I) = IG(z)IR 5
Ií( )IR
IzIsR mm (JIlogaI —b(loga)I}" lsbsm q
If(z)IR
lItogaI_m(1oga)["
If(z)IR mp
- lf(z)IR
Ilogal-mIlogaI
If(z)IR lZogaImP!_mI m
De donde
(4 12) IG(z)IR !C-lf(z)IR
mp llogaImPI_mI
Por otro lado
Iex,(z(t +ifl))I 5 explz(t +41)1
:5 exp fE Ilogal(q + qIPI)}
= exp(p(1 + l$I)ilogaU
132
exptp(1 + IPI)llogaIl = p(t+IflI)IlogaI
= ((1+Ifll)Ilogal)P
= C 1 7 C7 = e(1+IPDI10 9aI
De (4 1) y la desigualdad anterior
If(z)IR :5 q2 c L n9cÇ
<2"cc7 n = 2mn < 2' ngrande
<2PccÇn
= Cip !! n2 c8 = 2c4c7
Ahora podemos seguir acotando (4 12)
IG(z)I R :5 lf(z)IR
RogaImPl_mlhTw
p c8 p2 -
(1—nt)"tt'izogczIm
puesp>n
- q 2q
- — IlogaImP
Ahora de (4 11)
lid = p' IG(Bloga)I 1115b5m«8 - b)loga)"I b*B
p4ps)flP
(n=1lB - blP) (n'i'=iiiooal) - IlogaImP b*B b*B
<PI ()mP
(rn'=11B - blP) b*B
133
IuI c(ce2m(2m (HZL_118 - bI)) r PP. (?)m1)
MP = 9 p i p,
f 1mp <c9 ppz
E I7:)
p ,E mp = 9 p732p 2
p p+E!E c9 p 2 2
2p+p-mp
=4'p 2
Cqpp3p-mp 2
p(3-M) C9 p 2
Donde c9 = ce2m(2m) (HL1 1 - bi) y claramente es independiente de ny p b*B
Luego de la desigualdad antenor y (4 9)
INQ OOOI cc9pp(3
2-m)
(c h-1
6 p)
(4 13) =
Donde c10 = y claramente es independiente de n y p
Ahorade(47)y(4 13)
55 toiOOl <cf0p-P
134
De donde
En vista de que c10 e5 h son independientes de it y p la ultima desigualdad
contradice el hecho de que p ~: it y it lo podemos escoger arbitrariamente grande
por lo tanto nuestra suposición es falsa y algun valor de a debe ser trascendente o
43 Prueba de Schneider
Seaa E' cona*OlyfieQ
Supongamos que y = aP = ePOOffla) e y E Q tal que
a /3 y E Q(0) con [Q(0) Q] = h
Escojamos un entero positivo q tal que
Di = -f2—hq'2 yD2 ='fiKq
son enteros (basta tomar q = 2hp2)
Sea
p(x y) = '- m n
in=O n=O S171n,,
Y
Donde e E 71
Definamos la función entera
135
(4 14) f(z) = p(z e(l09)Z)
Tal que
(415) f(a+bffl=0 0:5ab<q
Veamos que tal función está bien definida y cumple (4 15) lo que se reduce a
encontrar los enteros apropiados ¿mfl En efecto
f(a + bfl) = p(a + bf3 e( 109t)(M))
= D1l vD2_le (a + bp)metooa(a+bP)n t'm=Q L.n=O
- Di-1ç.D2-1 - L.m=o n=o emn(a + bp)maml(aP)hhUJ
Para que se dé (4 15) se tendría que
(416) EE l (a+bfl)mahh4z y =0 para o~ab<q coeficientes Incógnitas
Tenemos q2 ecuaciones lineales en D1D2 incógnitas con coeficientes algebraicos
En vista de que a fi y E Q(0) los podemos representar como sigue
a = Pa(9 ) = EJc1Ot
ç'h-1 b10' fi = pp(9) -
-
Y = pv(0) = E:Ø W1OL
donde c1 E Q
donde b1 E Q
donde wg E Q
Es claro que para 0:5a b < q f(a+bfflEQ(0) por lotanto
(417) f(a+bfl)=E,+E2O+ +Ehüht _l
Donde E, E2 Eh dependen del par (a b)
Ahora (4 16) lo podemos reescribir como sigue
(418) 2: 2: (a + bpp(0))vn
(pa(0)f (py(0))nb
emn = on=Om=O
Al desarrollar esta ultima expresión y emplear el Lema 225 observamos que
SISTEMA DE BIBLIOTECAS DE LA UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
136
Ej = Ej(a b' = L D1_l EJj' wj(m n a bflmn ) m=O
Donde cada coeficiente w3(m n a b) es la suma de DI D2 términos racionales de
la forma rj(m n ab)
En vista de que 1 0 2 9h-1 son Q —linealmente independientes para cada
par (a b) tal que 0:5 a b <q
f(a+bfi)=O E1 =E2 = =Eh =O
De donde obtenemos un sistema homogéneo de hq2 ecuaciones lineales en D11)2
incógnitas tal que D1D2 = 2hq2 > hq2
Vamos a encontrar una cota para los coeficientes wj(m n a b) Para tal efecto
consideremos los coeficientes en (4 18) es decir para cada par (a b) vamos a
considerar
(419) (a+bpp(o))m
(pa(a))na (pY(0))
Con 0 :5m5D1-1 0:5n:5D2 -1 0:5ab<q
Aplicando el Lema 2 26 a (4 19) se tiene que si
fi1fi2 13ma+b(Pp(0))
Pvn+i = 13m+2 = = f3m+n = (pa(9)f
Pm+ni-i = fim+n+2 = = I3m+2n = (py(o))"
Entonces para l= 12 m
a + b(pp(0)) = a + bX b
10' = (a + bb0) + bb1O + bb202 + + bb_19"
137
Como
a+bbo cq+qx(pp)c2qx(pp) y bbj<qx(pp)1:SL:5h-1
Podemos torn., Bi = 2qx(pp) 1 = 12 m
Para l=m+lm+2 m + n en vista deque a=pa(9)=EjcjO1
Podemos tomar B, = pues lcd :5 x(p)
De manera análoga, para l=m+n+lm-1-n+2 m+ 2n podemos tomar
= hq (x(p,,)f (2x(0))
Ahora, en vista de que para cada
0:5m:5D1 -10:5n5D2 -10:5abcq
nb (a + bpp9))m(p(9))7m(py(9)) = r1 + r29 + + rh8"1
Con rj =rj(m n ab) De nuevo por el Lema 2 26
maxjrj} :5 hm ' (2qx(pp))m (h(x(p)f(2x(9))" )" 1!SJSh
(h (x(p,,))" (2x(9))" )' (2X(8))ht(ml2t)
De donde
qQ2
max(j7)l) 5 (x(pp))°' (x(pa))' .x(p,j) (2u(e))1+2D2I202) 1 sjsk
Ahora (4 18) puede tomar la forma
D1-1 D2-1
f(a + bfl) = Z (r1 + r20 + + rho"')e,flfl = o
iiz=O n=O
Con
ti 2h qD2 maxtIv)I} 5 qDi [vtx(pp)(2x(o)) ] [h2(zx(e))2h1 ]02 [h2x(p)w(py)(2x(o))
] isjsli
= cD1c D1 3
D2 1
Donde
c1 = 2hx(pp)(2x(o))ht C2 = h2(2x(e))2h c3 = h2x(pa)x(py)(2x(0))2ht
Reescnbiendo q como eLORQ
maxjjr1(m n a b)l} :5 lSJSh
logqD (zogq)DiD2 C:D2
= = c1e c5 = c2c3 5 c4
Así
(420) maxflrj(m n a b)I} :5 lSJSh = máxfc4 c5)6 C6
Al multiplicar (4 17) por
) 8 = M C M {Den(pp(e))0'}M C M [Den(pa(o)f" }M C M fi,t(r(o))qD2 ;
Donde la abreviatura Den significa denominadores de obtenemos
(421) 6f(a+b$)=A1 +A29+ +AhO' 1
es un entero algebraico en Q(9) y como en (4 17) al compararlo con (4 18)
D1-1 D2-1
Aj=AJ(ab)=X Xtj(mnabxmn m=O vi=O
138
139
Donde cada coeficiente t, (m n a b) es un entero que resulta de la suma de D11)2
términos de la forma Srj(m n a b)
Por (4 20) se tiene que
(4.22) n a b)I :5 DiD25c6D1(b00f»+
<5D1(looq)+qD2 D1(loo)+D2
= D1 D2cÇiU0+Qh)2
Ahora, para cada par (a b) igualamos los Al A2 Ad acero es decir
Aj(a b) - VD1m=o '
1V021 - "n=O t3 (m n a = O y
obtenemos un sistema homogéneo de Faq 2 ecuaciones lineales con coeficientes
enteros en D11)2 incógnitas con
D1D2 > Faq 2 y Iti(m n a b)i
Por el lema de Siegel existe una solución no nula de enteros 'mn tal que
142
(4.23) ImnI < 1 + [(D1D2)2cÇ1 08+21212_tu12 = 1 + (DiDz)2cÇ1l09»?0
Como q es relativamente grande podemos sin pérdida de generalidades reescribir
(4 23) como sigue
l4çmnI <1 + (D1D2)2c1O0f11
= 1 + 4h2q4cÇ1(°9'c2
= 1 + 424lo9q ( .J _ii )2bo9 e q2
3 3
(4hY"° (4)Lo9 ( aiJQ2IOQ4? (fi)qzloYq
140
Así
3
(4.24) limnI :5 Cafllo9q
Por lo antenor tenemos que
p(x y) = Emo Lsno D2-1IMnXmyn
f(z) = p(z e(l09)z)
Están bien definidos además
f(a+bfJ)=O 1:5ab<q
Para seguir trabajando debemos aseguramos de que no es idénticamente nula.
Para tal efecto vamos a demostrar que si p E C - {O} entonces f(z e) t O para
todo polinomio no nulo p(x y) E 71[x y]
Prueba. Sea
(4.25) p(x y) = D2;1 emnXmf E Z[x y]
no nulo y supongamos que
(416) f(zePZ)=O VZEC
Reescnbiendo (4 25)
p(x y) = EJ p(y) xm donde PM(Y) = mn y" E Z[y]
Así
p(x Y) = Po(Y) + p1(y)x + + PDl _l (V)XDi y
Po(Y) = eoo + eoiY + +
Pi(Y) = eio + ¿uY + +1iD2-ly 02-1
141
PD,-1(Y) = ¿(Di-1)O + e(D1-1)1Y + +
Luego hay un numero finito de valores Yo (D2 - 1)(D - 1) para los cuales la
función
g(x) = p(x Yo) O
Losyo ta1quepm(y0)0 m=12 D1 -1
Seay0 talquepm(y0)*O m=12 D1 -1 Entonces p(x yo) EZ[x]
En vista de que p*O si zo =!
G(z) = p(z ePZo) = p(z e)
_vDrlvDrlr m n - m=o -'n=o synnZ e
= p0(e) + p1(e)z + p2(z)z2 + +
Es no nula, pues de lo contrario
pm(e)=O m=O1 D -1
Lo que es imposible pues e es trascendente por lo tanto
(4.27) G(z) = p(z ePZo) E C[z] no es nulo
Ahora, para cada entero k
1 irik"1 (
Zn G (Zo+- Z--1pZo+--
dk ePzo)
/ 2in = p (zo + k - ePo42 )
1 2irik p (zo = pz0+— e
.s-!!!9)
142
Luego el polinomio G tiene mfimtos ceros lo que contradice (4 27) por lo tanto
nuestra suposición es falsa y f(z ePZ ) * O
Al igual que en la prueba de Gelfond, se necesita un valor no nulo que dependa
de la función f que nos lleve a una contradicción Para encontrar tal valor fijemos q
en (4 15) y apliquemos el lema 2 30 a la función auxiliar f definida por Schneider
en (4 14)
Por el Principio, del Módulo Máximo y la desigualdad triangular
1! IR = flax(D1D2maxtIeiI1IzI1e21b09tntItI)
< DtD242b09 R01eh)2 09(hIR
:5
5
Donde la desigualdad anterior es válida para k> 1 y R suficientemente grande
3
ya que D1 D2 cf Logi no dependen de R
En vista de que f no es idénticamente nula, el lema 2 30 implica que para una
escogencia de E > O y todo numero real R > q relativamente grande f no puede
tener más que R k,, ceros en Z(F R) Más concretamente si tomamos k = y
1
(4.28) card(Z(F R)) ~ di
143
Ahora, si f se anula en todos los puntos z = a + bfl donde a b son enteros
positivos podemos en vista de que 1+IflI>1 es fijo tomar un R > q
relativamente grande tal que
R(1+IflI)tR
Y en donde
card(Z(f R))k R 2 pues Q
Lo que contradice (4 28) por lo tanto muestra suposición en falsa y existen
enteros positivos a b tal que f(a +bfl)*O
Ahora, si escogemos Q = min{a b } se tiene que
f(a+bfl)=O O:Sa<Q 05b<Q
Mientras que existe un par de enteros (a b) satisfaciendo O :5 a :5 Q
0z5b :5Q donde o es igual aQ tal que
f(a +b/3)*0
Tal como se hizo para llegar a(42l)
(4.29) p=6f(a +bfl)=A1+A2 8+ +Aft 61
Es un entero algebraico en Q(0) y
maxflAI} :5 D1D26 max{tmnI}maxljtj(m n a b )I} IsJsIt i
:5 Dff.22(6 )D1I09Q+D2Q2t09 Dj(109Q)+QD2 8
3
5 L112DI(5 )D1I09Q+D2QCQ2100CLI1(109Q)+QD2
144
Procediendo como lo hicimos para llegar a (4 24) obtenemos que
(430) max(JA1 1) .59 isJsh
Sea 01 = 0 02 8, los conjugados de O entonces por el lema 2 23
(431) NQ(g)(y) = flt1(A1 + A201 + + AftO) E Z - (0)
Finalmente vamos a probar que 1 NQ(g) (u) 1 nos lleva a la contradicción esperada
En efecto
INQ O)(u)I = lA1 + A20 + + AhO''i 11=2IA1 + A281 + + AhO 1 I
(432) INQ OÑOI = 16 f(a + b fi f11t2JA1 + A201 + + Ah07 1I
Ahora, para 2:5t:5d por la desigualdad triangular y(430)
Vi + A201 + + AftOr1I :5 h maxfIA iii max{1 1811 lOhI} 1 lSjSh
:5 10
Por lo tanto
h-1 (433) 11 ?=21A1 + A201 + + AhOr'I s
(C1
4,02lo§Q )
< Q1I09Q
Para acotar el otro factor de (4 32) definamos la función entera
6 G(z) =
f(z) Q-1 Hwro [t(z - (a + b#»
Luego
ISf(a +bfl)I=IG(a +bfl)iflfl4i(a —a)+(b —b)fll
145
Dado que a<Q y b<Q paraR>Q(1+l/?I) la +bf?I<Ry por el
Principio del Módulo Máximo
16 f(a + b fl)l 5 IGIRfl flI(a - a) + (b - b)fll
18 ¡IR !nt fl(z_(a+bfl))JR
n Hi (a - a) + (b - b)fll
Ahora,
18
16 flR - -'-'
- £.dm=O L.n0 (mi, zm(e(Lo9a)z )I
3
< 6 D1D
- 2c8
3
~ 6 DiD2c2b09IRhul (e IRe(10sa)IR)D2
De nuevo procediendo como lo hicimos para llegar a (4 24) y en vista de que
R > Q > q se llega a
3
(434) 16 1 IR <72
Por otro lado es claro que
(435) nHg;t(a - a) + (b - b)j3l s (Q(i + lPDf2
Además ya que R>Q(1+IflI)yla+bfll:5Q(1+Ifll) para z=R se sigue
que
(436) in fl(z - (a + bIJ))I R ~ Iri it:O - (a + bfl))IRb=O
~ (R - Q(1 +
Ahora, si tomamos R = Q + Q(1 + 1/JI) se tiene por (4 35) y (4 36) que
146
ntrita -a)+(b -b)$1 < ((1 + 1= nt( z_a+bs»lR
= ((1 +
Luego para una constante apropiada c13
(437) u; F1t1(a -a)+(b -b)pI
Int n(z_(a~bfl))IR
eQ10yQ
b=o
Así por (4 34) y (4 37) se tiene que
1
(438) 16 f(a + b 13)1 < qZlogR+flR -EQ 21O9Q
12
Si escogemos q e indirectamente Q lo suficientemente grande se tendrá que
Q16 > Q(1 + 1131) lo cual implica que R <2Q1+E y la desigualdad (4 38) la
podemos reescnbir como sigue
18 f(a + b 13)1 < qi1og(2Ql+t)+q(2Qt4 ) -tQ2togQ C1
3
~(i+E)Q1I09Q+Q1'_eQ2logQ
Si fijamos e = 1 y combinamos (4 33) con la desigualdad previa, se tiene por
(4 32) que
(439) JNQ(g)(j4)I < QLogQftIogQ+Q2_Q2bo9Q
11 Ci4
En vista de que podemos tomar c14 lo suficientemente grande (4 39) lo podemos
reescnbir como sigue
147
3 Q2109Q+Q2 4Q210gQ
(4 40) INQ &,OOI <Cis
Como escogimos q y Q lo suficientemente grande el término negativo
1 2
- Q LogQ domina el crecimiento lento del término positivo QzLogQ + Q por lo
tanto para una selección de q lo suficientemente grande
O < INoÑOI < 1
Obteniendo la contradicción esperadao
44 Corolanos del Teorema de Gelfond-Schneider
Corolano 4 1 (Teorema de Gelfond 1929) e'T es trascendente
Prueba
Supongamos que a = e'T es algebraico y tomemos fl = t Es claro que fi es
algebraico y además no es racional luego por el Teorema de Gelfond Schneider
(Teorema4 1)
= (9)1
= = —1
es trascendente lo cual es obviamente falso Por lo tanto nuestra suposición es falsa
y e'T es trascendente o
Corolario 4.2 (Teorema de Kuzmin 1930) 2'~-2 es trascendente
Prueba.
Supongamos que y = 2"2 es algebraico y tomemos a = 2 Ya que
,,,2,r2 09 =
log2
148
es irracional por el Teorema de Gelfond-Schneider (Teorema 42) -12- es
trascendente lo cual es falso Se sigue por lo tanto que es trascendente o
Por el teorema de Gelfond Schneider podemos seguir obteniendo más numeros
trascendentes como loor (para cualquier numero racional positivo r que no sea una
10910
potencia de 10) I/ 4 ¿
4.5 Diferencias y similitudes en las soluciones del séptimo problema de Hilbert
Los métodos empleados por Gelfond y Schneider tienen mucho en comun, a saber
1 Asumen que a# es algebraico
2 Construyen una función auxiliar empleando el lema de Siegel con un gran
numero de ceros en cierto disco
3 Prueban que existe un numero algebraico no nulo que dependen de la función
y que el mismo nos lleva a una contradicción al emplear principalmente el
principio del módulo máximo
La diferencia de las pruebas estriba, en las técnicas empleadas para recorrer los
pasos descritos en el párrafo anterior Mientras Gelfond construye la función auxiliar
f(z) = p(eZ ePZ) la cual tiene ceros de multiplicidad relativamente grande y
dependen de un solo parámetro (multiplos enteros de toga) Schneider construye la
función f(z) = p(z e(109)' ) con ceros de multiplicidad uno y los mismos
dependen de dos parámetros enteros (a + bfl) En la prueba de Gelfond la función
auxiliar se garantiza más expeditamente que en la de Schneider Otra diferencia
149
notable está en la obtención del numero algebraico p * O el cual como apreciamos
es más complejo de deducir en la prueba de Schneider
Es importante señalar que la prueba que presentamos de Gelfond es una síntesis
de las pruebas presentadas por Niven (1985) Siegel (1949) y Gelfond (1960)
mientras que para ¡aprueba de Schneider decidimos seguirla ofrecida por Burger y
Tubbs (2010) misma que se deduce de la prueba del Teorema de Mzchel
Waldschnndt
Para terminar resaltamos que las diferencias técnicas de las pruebas que
presentamos se mantienen en la versión de Fel dman y Nesterenko (1998) Siegel
(1949) y Hilbert s Seventh Problem Soluüons and extensions mientras que las dos
ultimas emplean el determinante de Vandermonde en ambas pruebas en la técnica
empleada para encontrar el numero algebraico distinto de cero
CONCLUSIONES
Los problemas planteados por Hilbert, en el segundo Congreso celebrado en
Paris motivaron que un sinnumero de matemáticos dedicarán sus esfuerzos a
resolverlos a tal punto que aquel que resolviese uno de estos problemas entraba a lo
que se denominé "la clase de honor de la comunidad matemática La historia de
estos problemas y su solución trae consigo el desarrollo de la Matemática del siglo
XX ya que su proponente recoge en ellos prácticamente la totalidad de la
matemática de aquel entonces La mayoria fueron resueltos pero tal como se lo
propuso l-hlbert, el área en los cuales se encuadran sigue lleno de vida y reflejan las
insospechadas relaciones entre las ramas de la Matemática. Así por ejemplo vimos
que la solución del séptimo problema establece la relación entre la teoría de numero
algebraica, el álgebra lineal la teoría de polinomios el análisis complejo y claro esta
la teoría de numeros trascendentes Podemos decir que se cumplió la profecía de
Minkowski en su carta a Hilbert
La Teoría de Numeros Trascendentes florece a partir de fuentes diversas y algunas
de estas de tiempos antiguos sin embargo es a partir del Teorema de Liouville
(1844) que se logra obtener el primer numero trascendente concreto Posteriormente
Hermite (1873) y Lindemann (1882) demuestran, respectivamente la trascendencia
de e y ir Seguidamente el teorema de llermite Lindemann y su generalización,
Teorema de Lindemann Weierstrass (1884) permitió generar más y más numeros
150
151.
trascendentes Esta generación de numeros trascendentes continuo con las soluciones
M séptimo problema de Hilbert en 1934
Las soluciones del séptimo problema de Hilbert tienen mucho en comun en sus
métodos, pero las técnicas empleadas para recorrerlo son diferentes por ende
podemos concluir que este problema fue solucionado de forma independiente por
Gelfond (Rusia) y Schneider (Alemania) y de aquí que se conozca como Teorema de
Gelfond Schneide
RECOMENDACIONES
Entre las principales recomendaciones tenemos
• Realizar con mayor detenimiento una investigación de cada uno de los
problemas planteados por Hi]bert y las soluciones dswlsig a estos
Presentar y comparar diferentes pruebas de algunos teoremas presentados en
esta investigación por ejemplo del Teorema de Lmdemann Weiestrass
• Estudiar a profundidad el desarrollo histórico-matemático de la Teoría de
Numeros Trascendentes
• Ahondar en el Teorema de Michel Waldschrmdt y en el trabajo de Alan Baker
de 1966 de los cuales se puede obtener como corolario el Teorema de
Gelfond-Schneider
152
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