Ejemulo 2:

Considere el sistema mostrado a continuación:

t.1(" + IX" + S)

PID

Como la planta tiene un integrador , se emplea el siguiente método

Haciendo Ti = 00 y Td = O, se obtiene la FTLC :

C(s) Kp-=R(s) s(s+lXs+5)+Kp

Fig 2.1 Respuesta temporal del sistema con Kp=1 ante un escalón unitario

C(s)

. Cálculo de Kcr -. criterio de Routh

La

SJ

52

ecuac

1

6

30 - Kp

6Si

SO Kp

2

1.8

..

1.4

12

, 1

0.8

o.e

O."

02

OO 5 10 15 20

tiempoFig 2.2 Respuesta temporal del sistema con Kp=30 ante un escalón

Sistema Críticamente estable.

. Cálculo de la frecuencia de oscilación sostenida

Se reemplaza s = jw en la ecuación característica

(jw)J + 6(jW)2 + S(jw) + 30 = O

de donde: W2= 5 ~ w =.,f5

2/r - 21r = 2,81. Pcr =-- "s - .. W""¡:J

SJ+6S2+5s+Kp=O

Kcr JD

unitario

6(5-w2) + jW(5-W2) = o

Cálculo de Kp,Ti, Td.(Ziegler.

KpTiTd

-

~1+ 1,~5.S +0,35124,5):. Gc = 1

Cálculo de la FfLC y respuesta temporal.e 6.3223.5% + 18.8+ 12,811R = 8. +6.13 +11,3223.8% +18.5+12,111

1~ ~

1.8

1.4

1.2

1

~ r(t)0.8

0.8

0.4

0.2

OO 5 10 15 20

tiempoFig 2.3 Respuesta temporal del sistema controlado con un PID ante un escalón unitario.

Nichols)-0,6 Kcr0,5 PcrO, 125Pcr

181,4050,35124

-

Representación en variables de estado(facilita la respuesta temporal computacional)

Xt=C

X4=X3 '+ 19t9338

ooo

=

XI

Y = [1 O O O X2

X3

x.

., - 6,3223uX2= XI XJ = X2

u=rt

y = e = Xl.~,

o XI

O Xl

1 x3

-6 x.

o6,3223

-19,9338 u

60,8308

+

[¡emulo 3 :

Considere al sistema mostrado en la figura 1, donde un motor DC mueve una válvula de

control lo cual suple un flujo a una máquina hidráulica, corriente abajo de la válvula

En estado estacionario VR=6mA para un requerimiento de 20 gaVrninrequerimiento es de 100 gal/min ::t 2%,

El escalón de 6-14 mA es muy rápido, lo que implica una respuesta rápida del sistema

Las características de la válvula pueden asumirse lineales en la medida que la rata de

flujo a través de ella varía directamente con el desplazamiento del vastago. 100%

abierta ~ 150 gpm. La carrera del vástago es de 1,5".

Para el amolificador/controlador: Este maneja señales estandar en un rango de 4-

la salida del controlador VSC = +48V, y

Medidor de nuio: es un transductor e

Este produce: 4 mA si el flujo es de O ~

valor nunca se alcanza porque el máximo

Válvula de Control: La válvula abre

vástago a una velocidad de 1 pulglseg.

Figura 1 : Control de flujo

f: 5%. Cuando elVR=14mA.

un rango de 4-

~v. Cuando VM

l1enta a 20 mAVSC = -48V

Este

raíz .r

moviendose el

lteslJuesta de la velocidad del motor de la válv..la. La respuesla eu lieR.1f)O ..conjunto ptOlor-válvula, obtenida de las especificaciones del equipo es de tr = 5S!

niseg.

v - -----9OK - tr= tiempo tomado por el vástago para

pasar del 10% - 90% de su máx.velocidad. =55Omseg

11MO t;;z t figura :2 Velocidad del vástago

550 mIes.-tr-

Esuecificaciones de control

I-Se desea que el sistema pase de 20gpm a lOOgpm , (80gpl11=8mA). La válvula deberá

permitir a lo más tardar de I seBo un nujo de 100 gpm ,lo que implica que t. es llteIIOr o

igual que 1 seB.

2- t,:s 7oom.reg 3- Mp(%):S 10% 4- fJ :S 200m.feg.

5- A1F ~ 60°

Donde tcl: tiempo para alcanzar el 50% del valor en estado estacionario. t If*,~

t... : lien~po para alcanzar el 100% de1' valor en estado estacionario. t \~

ts: tiempo de estalJlecimielllo.

2-

. .- ..11 /.

/1. /' .

10 I

J : .41 1. '. / . .

I .20 / ' f

I I10 / .

I . I

00 :0.1 i 1 1.5 2 U

~td :~.. -,.r~ t..

La respuesta en tieJD4i>O c6d.~ del equipo es de tr = 5500550-

tr= tiempo tomado por el vástago p..apasar del 10% - 90% de su máx.velocidad. =550mseg

Velocidad del vástago

c.,.tu~ e..~(" ~t4nto

t U! *'~

t\~

SOLUC~

Los pasos siguientes se avocan al cálculo de cada una de las funciones de transferencia

del diagrama de bloques de la figura 3.

Ganancia Kc.Kl del amplificador-Ganancia Kc.Kl del amplificador- controlador (s pan)

E\~fI'plificador/controlador se representa por el producto de ganancias Kc.KI. La

ganada del amplificador Kc, se calcula según la ecuación que se muestra a

continuación:

48

4o

La ganancia del controlador K 1, se deja igual a K 1 = 1 por los momentos.

Parámetros del motor

Ganancia del motor.Kmv - lpulgl ses o 020833pulg/

48V' 7V.48V l/V .seg

Cálculo de Tm : se obtiene a partir de la fig ura 2 donde tr = 550 mseg.

-11/En h la respuesta del sistema es : para 90% 1 - e /T..

-11;'En tila respuesta del sistema es: para 10% 1- e i'r..

.

Figura 3: Diagrama de bloques de control de flujo

= 48V - V/16mA - 3 /mAKc

Relacionando a ambas

1/9= e-(11-11) I Tm

O 111 = e ~U.sITm,

Parámetros de la válvula

. Cálculo de Kr :

salida.

150gpmKr= =.100

1,5 plllg

se relaciona el desplazamiento del vastago con la rata de flujo de

Parámetros del transductor diferencial de presión

. Cálculo de KT : ganancia del medidor de flujo

16mA = 0,1 mA/gpmKT= 160gpm

Sustituyendo todos los parámetrso encontrados, se construye el diagrama de bloques de

control mostrado en la figura 4.

Función de transferencia de lazo abierto (FILA)

.. 0,624FTLA: G(jw) H(jw)= jw(O,25jw + 1)

Tm=O,25 seg.entonces

gpm/pulg

Q(I)

Figura 4. Diagrama de bloques de control

(1)

Función de transferencia de lazo cerrado (FfLC)

FTLC: Q(s)

Respuesta temporal a lazo cerrado

R(s) =8/s por)o que

200 200Q(s)= =S(S2 +4s+2,5) ~~s+O,775)(s+3,225)

q .(t)= 80+25,31e-3,22St-lO5,3e.o.77s.

q(t)= q (t)+ 20gpm.

Step

Figura 6 : Respuesta temporal del sistema a lazo cerrado con KI = 1

25(2)

(3)

(4)

(5)

Auto-ScaleGraph

Situación de los parámetros , obtenidos de las figuras 5 y 6.

DISEÑO DE CONTROLADORES

Se debe decidir qué tipo de controlador se empleará de manera de alcanzar las

especificaciones: P? PI? PD? PID?

Análisis:

- Eliminamos PI porque el sistema en estudio es del Tipo 1 y excitamos con un escalón,

por lo que ess=O

- Empezamos con control Proporcional (P)

De los datos anteriores se deduce que tenemos a un sistema lento, por lo tanto

aumentando la ganancia aumentamos la velocidad de respuesta del sistema.

Retornando las ecuaciones del sistema en estudio:

R(s)=8/s

O,(;z,tpK,FTLC= o 2512 + S + O,624K,

,

= .J2,SK. rarsegw.

-Debemos evaluar K¡:. para varios valores de KI calculamos Wn

-Sabemos que ~ optimos están en el rango 0,4< ~ <0,8

200K.:. Q(s) = s(S2 +4s+2,SK.)

4~ = .JlOKty

~y

Figura 7. Respuesta temporal para varios valores de Kl.

De la figura 7 se extrae que si aumenta Kl disminuye tr yaumenta Mp.

-ts se excede del valor

Si se construye

MF == 42° lo cual

control adicional al P para alcanzar especificaciones.

cado.especifi

6~Sjw(O,2Sjw + 1)

se encuentra que elel Bode de la FTLA=

incumple con las especificaciones, entonces necesitamos un

Se selecciona el P+D.

Se deja a K,=10 ya que el

Figura 9: Diagrama de bloques de control con PD

Recalculando las correspondientes funciones de transferencia de lazo abierto y

correspondientes, se obtiene:

efecto derivativo D tiende a estabilizar el sistema.

cerrado

(6) FTLA GHc= O,832k](s+ 3kt / k)

s(5+4)

(7) FfLC= 1 8,32k) (S + 3k1 / k])

s + (4 + 8,32k3 )5+ 2,5k,

Queremos calcular kJ=T,¡ / /

Para ello decimos que el cero de FTLA es s=a donde a= -3kdk3

:. ~= 4-2,5k,/a - 4-2.Sk,/a. "2~2.Sk, - .JlOO :O.4-2,5/a

Si suponemos ~=O,704 e igualamos a (11) encontramos que

a ~ -.8,14 Y kJ ~ 3,7

Si graficamos la respuesta en tiempo con estos resultados encontramos:

magnitudescalón de

(8) Wn= ..j23k.-5

4 + O,833K)

2~2,5k1

=> a=-30/k]

(9) ~ =

(11)

una

8 Y Kl=lO.

.De la figura 10 se extraen los parámetros :

t~O,2seg tr<O,7seg Mp<lO% ts>lseg.

Se intenta mejorar la respuesta temporal, de manera de ajustarse a las especificaciones,

de manera que los parámetros quedan como:

Td=K3=5.5

td = 0.12 seg.

tr= 0.59 seg.

ts = 1 seg.

Mp = 1.8470

a = - 5.45 rad/seg.

~ = 0.86

120

p100

-EO-,960:S-u.

40 Sistema Original

20

OO 1 2 3 4 5 6

TiempoFig 11. Comparación del sistema sin compensar, con controlador P y controladorPD