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8/16/2019 -Ejercicios-Resueltos-Series-de-Fourier TTTT.pdf

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1

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC.

CALCULO AVANZADO: SERIES DE FOURIER:

Ejercicios resueltos y propuestos.

Prof. Jorge Inostroza L.

1.- Hallar el período de la función: xabSen x f )2

()(

.

Solución:

Si )2()2

(

uSenuSenuSen xab

Sen Si T es el período

)2()22

())(2

()2

(

uSenT ab

xab

SenT xab

Sen xab

Sen

2

2

T ab a bien )( abT el período buscado.

Por ejemplo si xSen x f )5

3()(

y como

3

102

)( Sen x f el período será

3

10.

2.- Probar que si )( x f ,tiene período p; )( x f tiene período

p.

Solución:

pT p x f T x f x f )())(()( ó p

T .

Del mismo modo entonces )(

x f tendrá período pT (Basta cambiar

1 por ).Entonces

el período de xab

Sen

2 será

22

abT

o sea b-a.


2/22

2

Y el período del

xCos

será l

l

22

.

3.- Pruebe que la función :

xSen xSen xSen x f 5513

31)( , es de período 6

Solución.

xSen , tiene periodo 12k

xSen3 “ “3

2 2 k

xSen5 “ “5

2 3 k haciendo 1593 321 k yk k cada una será de período 6 .

Y por lo tanto la función dada.

4.- Pruebe la ortogonalidad de la base: ...............;............;.........;;1 SenkxCoskxSenxCosx

Solución:

01

CoskxdxCoskx

01 SenkxdxSenkx

0........mxdxSenCosnxmxSennxCos

0.......

mxdxCosnxCosmxCosnxCos

0........

mxdxSennxSenmxSennxSen .

5.- Si la función : t Cost Cost f )( es de periodo “p”.Demostrar que existen m,n

enteros tal :n

m

Solución.


3/22

3

m p pt Cost Cos 2)(

n p pt Cost Cos 2)( . Luego el cuocienten

m

.

6.- Pruebe que la función t Cost Cost f )10()10()( , no es periódica.

Solución.

Del ejemplo anterior Si fuera periódica tendríamos:n

m

10

10 )(10 nm

esto no es posible pues el primer miembro es un entero .

7.- Pruebe que la función : t Cost f 2210)( , es de período .

Solución.

)2

21(10)( 2

t Cost f

= )21(50 t Cos , Como Cos 2t tiene período 2

2

1, la función lo es.

8.- Encontrar el período de la función:43

)( t

Cost

Cost f .

Solución.

3

t Cos es de período 6

4

t Cos es de período 8 , luego ambas lo son de período 24

9.- Determinar los coeficientes de Fourier, de la función:

x

x

x

x f

2/0

2/02/

00

)(


4/22

4

Solución.

Los coeficientes serán:

dx x f a )(1

0 =

2/

2

1

dx =……….=

4

.

22

1..........

2

1)(

1 2/

0

Senk k

CoskxdxCoskxdx x f ak

=

)2

1(2

1..........

2

1)(

1 2/

0

Cosk k

SenkxdxSenkxdx x f bk

=

16,12,8,4.......0

...14,10,6,2......1

........2

1

k

k k

impar k k

10.- Encontrar la Serie de Fourier de la función:

x x

x x x f 0..............

0......)(

Solución.

Como lo muestra el gráfico es una función par

luego su Serie será :

1

0

2 Coskxa

a

k , con

00

2 xdxa

impar k k

par k

Cosk k

xCoskxdxak ....2

........0)1(

1........

2

202

La S de F será:

12)12(

)12(2

2 k

xk Cos

11.- Si f(x) = Cos ( x ), ; una constante no entera. Probar que a partir de suSerie de Fourier.

..)..........3

1

2

1

1

1

2

1(2

222222

Sen


5/22

5

Solución.

Se trata de una función par ,luego 0k b y

Sen xdxCosa

21

0

0

2kxdxCos xCosak =

0)()(

1dx xk Cos xk Cos

k

k Sen

k

k Sen

k

xk Sen

k

xk Senak

)()(1)()(1

0

k

Cosk Sen

k

Cosk Senak

1=

k k

Senk

111

Sen

k a

k

k 22

12

.

Luego la representación quedará:

)(

)1(2

1

)(

)1(222

122 k

CoskxSen

k

SenSen xCos

k k

; si x = 0

)(

)1(

2

12

222k Sen

k

.

12.- Determinar la representación en Serie de Fourier para la función

x x

x x f

0

00)(

Graficar la extensión periódica que ella representa y probar que:

12

2

)12(

1

8 k

.

Solución.

Fig.


6/22

6

La serie debe ser de la forma:

1

0

2 SenkxbCoskxa

ak k ; donde :

00 2

1 xdxa

0

1 xCoskxdxak

impar k

k

par k

Cosk k ...............

2

...................0)1(

1

22

0

1)1(11 k

k k

xSenkxdxb . Luego la representación será:

2)12(

)12(2

4)(

k

xk Cos x f

+ Senkx

k

k

2

)1( .

En x = 0 la serie converge al valor de la función, por ser continua

1 2)12(

12

40

k

.

)12(

1

8 1 2

2

k

Sin embargo en converge al valor promedio de los limites laterales o sea a2

y el

resultado es el mismo.

Fig

13.- Hallar la Serie de Fourier parta la función

2/32/

2/2/)(

x x

x x x f .

Solución.

Fig.

Aquí el intervalo es )2/3,2/( por lo que la serie debe tener la fórmula más generalaunque (b-a) = 2 , luego será de la forma.


7/22

7

SenkxbCoskxaa

k k 20 , siendo

2/

2/

2/3

2/

0 )(1

dx x xdxa = 0

2/

2/

2/3

2/

2/3

2/

(1

xCoskxdxCoskxdx xCoskxdxak ) = 0

2/

2/

2/3

2/

2/3

2/

(1

xSenkxdxSenkxdx xSenkxdxbk ) =

=

par k k

impar k

k par k

impar k

k

k

.........)1(

................0

2

1

................0

........)1(3 1

2

Luego la serie de Fourier para esta función queda:

.2

4

)1()12(

)12(

)1(32

kxSen

k

xk Sen

k

k k

Observación.

Nótese que al trasladar el gráfico de la función dada hacia la izquierda en 2/ setransforma en una función par cuya serie no es la misma.

14.- Encontrar la Serie de Fourier y su Serie de Cosenos para la función:

21...............2/310................2/1)(

x x

x x x f

Fig.

Solución.

a) Como el intervalo es de dimensión 2 la Serie tomará la forma:

xSenk b xk Cosaa

kik 20 ,


8/22

8

con 2

0

1

0

2

1

0 )2/3()2/1()( dx xdx xdx x f a 0

1

0

2

1

)2/3()2/1( dx xk Cos xdx xCosk xak =………

impar k k

par k

....

4

...........0

22

1

0

2

1

)2/3()2/1( dx xk Sen xdx xk Sen xbk =………..

impar k k

par k

......3

...........0

Así la S de F quedará:

)12(

)12(3

)12(

)12(422 k

xk k Sen

k

xk k Cos

b) La extensión par de la función hace que la Serie sea

: xk

Cosaa

k 220 con (b-a) = 4

Donde 2

0

0 )(2

12 dx x f a 0 y

2

0 2)(

2

12 xdx

k Cos x f ak

xdxk

Cos xdxk

xCosdx xk

xCosdx xk

Cosak 2

1

2

1

1

0

1

0 22

3

2222

1 =

…………………….= .)24(..........10,6,2.16

22 k k si

k

La Serie:

22 )24(2

)24(16

k

xk

Cos

.(¿)

15.- Sea la función Senx x f )( a) determine el período. b) Pruebe que es par

c) encuentre la S de F. en 2/,2/ .

Fig.


9/22

9

Solución.

SenxSenxCosxSenSenxCos xSen )( , período , que el gráfico

también confirma.

b) SenxSenx xSen )( par.

c) La S de F. será : kxCosaa

k 220 ; pues el intervalo es de magnitud ,donde

122

2/

0

0 xdxSena

2/

0 ).14(

22

1

k

k kxdxCosSenxak quedando .

)14(

22

2

1

k

kxkCos

. Como la serie pedida.

16.- Sea la función y = f(x) seccionalmente continua, par y de período l 4 e impar respecto ala recta l x .Determinar que su Serie de Fourier para f(x) está dada por:

xl

nCosa n 2

)12(

112

con xl

nCos x f

l a

l

n

0

12 2

)12()(

2

Fig.

Solución.

0nb

l l

l

dx x f l

dx x f l

a

2

0

2

2

0 )(1

)(2

1. Pero

l l

dx x f dx x f

2

0 0

)()( l

l

dx x f

2

)(

= l l

dx x f dx x f 0 0

0)()(


10/22


11/22

11

2

0

2

0

0 )(1

)(1

dx x f dx x g A , si hacemos u= u , luego

00)(

1aduu f A

2

0

2

0

)(1

)(1

Coskxdx x f Coskxdx x g Ak

duuCosu f Ak )()(1

duuSenSenCosuCosu f Ak

)()(1

duCosuCosu f A

k )()(1

= k k k

aduuCosu f )1()()()1(1

.

Igualmente para k B .

18.- Sea Rt y ).()( tSenxCos x f

a) Probar que f(x) es par y de período

b) Escriba los coeficientes y la Serie de Fourier si ,0 x

c) Probar que para )(0 t a se tiene : 0''' 000 taata .

Solución.

a) ;)()()( x x f x f sii par x f

)())(()(()( tSenxCos xtSenCos xtSenCos x f luego es par.

?)()(¿ x f x f

).()()())(())(()( x f tSenxCostSenxCosSenxt Cos xtSenCos x f

b)

00 )(

2dxtSenxCosa

02)(

2kxdxCostSenxCosa k

)(2

0

tSenxCosbk

Sen2kxdx.


12/22

12

c) Si

0000 ))((

2)(')(

2)( SenxdxtSenxSent adxtSenxCost a

0

20 .)(

2)('' xdxSentSenxCost a

Luego:

dxtSenxtCosSenxtSenxSen xSentSenxtCostaata )()()(2''' 20

000

.

Pero como: tCosxdxtSenxCosdutSenxSenuSi )()(CosxvSenxdxdv Entonces:

xdxCostSenxtCos xdxCostSenxtCosCosxtSenxSenSenxdxtSenxSen 2

0 0

2

0

)()()()(

Reemplazando se cumple.

19.- Si 20)( xe x f x . Obtener la Serie de Fourier de g(x) ,función par de período 8 tal que g(x) = f(x) en .20 x

Solución.

Fig.

Hacemos g(x) como la extensión par de la función f(x) extendida al 40 x

420

20)(

x

xe x f

x

e

Así g(x) es la extensión par de )( x f e , por lo tanto:

xk

Senb xk

Cosaa

x g k k 442)( 0

;


13/22

13

Con 4

0

2

0

20 )1(2

1

2

1)(

2

1edxedx x f a

x

impar k k par k

k

e xdx

k Cosea

k

k

x

k

4)1(

1)1(

16

8...........

42

1122

22

0

20.- Probar la relación de Parseval:

)(2

)(1 22

202

k k

p

p

baa

dx x f p

.

Solución.

Si p pSC x f ;)( y x p

k Senb x

p

k Cosa

a x f k k

2)( 0

)()()1(2

)()()( 02 f x p

k Senb f x

p

k Cosa f

adx x f x f x f k

p

p

k

Pero 0)(1 padx x f f p

p

k k pb x p

k Sen f pa x

p

k Cos f

222

02

2)( k k

p

p

baa

pdx x f

21.- Hallar la Serie de Fourier de solo cosenos para la función: f(x)= x en 2,0 y mediante larelación de Parseval, probar que :

14

2

)12(

1

96 k

.

Solución.

Haciendo la extensión par de f(x) a 2;2


14/22

14

0a 2

0

2 xdx

impar k

k

par k

xdxk

xCosak 22

2

0

8

0

22

1

Aplicando Parseval:

p

p

dx x f p

dx x38)(1

316 2

2

2

2 y

4

4

44

22

0

)12(

1

96)12(

64

2

4

2 k k a

ak

22.- Si k k b ya son los coeficientes de Fourier para f(x) .Entonces:

0limlim

k k

k k

ba

Solución.

Siendo:

p

p

k k baa

dx x f p

)(2

)(1 2202 y que la serie es convergente, entonces su

termino general tiende a cero o sea .000)(lim 22

k k k k k

baba

Ejercicios propuestos.

1.- Escribir la Serie de Fourier de las funciones:

a) xe x f x)( b) 10)( x xSen x f

c)

x x

x x x f

0

0)( Graficar la extensión periódica d) xe x f )( -1


15/22


16/22

16

CALCULO AVANZADO: INTEGRAL DE FOURIER.

Ejercicios resueltos y propuestos.

1.- Encontrar la integral de Fourier para la función:

0

02/100

)(

xe

x x

x f

x

Solución.

Si la integral converge, escribimos:

0

)()(1

)( dwSenwxw BCoswxw A x f

donde :

dvwvSenv f w BdvwvCosv f w A

)()()()()()(

01

)()()(

20

wwSenwvCoswve

dvwvCosew Av

v =21

1

w

20

2 101

)()()(

w

w

w

wCoswvSenwvedvwvSenew B

vv

Luego:

0

2

1

1)( dw

w

wSenwxCoswx x f

Si x = 0 dw

w

0

2

1

1

2

2.- Demostrar que :

10

14/1

102/11

0 x

x

x

Coswxdww

Senw

Solución.

La integral corresponde a una función par puesto que 0)( w B , luego consideremos la

función extendida par:

10

14/!

102/1

)( x

x

x

x f

Así

00

1)(2/12)( Coswxdw

w

senw x f

w

SenwCoswvdvw A


17/22

17

3.- Demostrar que:

x

xSenxSenwxdw

w

wSen

0

2/1

1

1

02

.

Solución.

La integral representa a una función impar, pues 0)( w A y21

)(w

wSenw B

, luego debemos

considerar la extensión impar :

x

xSenx x f i 0

2/1)(

De ese modo

vSenvSenwvd Senwvdvv f w B yw A 2/1)()(0)(

0 0 )1()1(2

1

)( dvvwCosvwCosvSenvSenwvd w B

0

)1(1

1)1(

1

1

2

1)(

vwSen

wvwSen

ww B

22 1

)1()1()1()1()1(2

1)(

w

SenwwSenwwSenw

ww B

Así

0211)(

Senwxdww

Senw x f i

y corresponde con f(x) si ),0( x

4.- Representar mediante una integral de Fourier del tipo

0

)(1

Coswxdxw A

a la función:

20

212

10

)(

x

x x

x x

x f

Solución .

Lo que se pide es representar a una función par por lo que hacemos la respectiva extensiónde la función dada. Así

1

0

2

10

)()2()(2)()(2)( dvwvCosvdvwvvCosdvwvCosv f w A usando tablas.


18/22

18

2

1222)(

w

wCosCosww A y por lo tanto:

Coswxdww

wCosCosw x f

0

2

1222)(

5.- Si f(x) es una función par con su integral

0

)(1

)( Coswxdww A x f

.Demostrar

que:

0

2

22 )()(*)()(*

1)(

dw

w Ad w AdondedwwxCosw A x f x

Solución.

Como

0

2 )()(*1

)( dwwxCosw A x f x

pues es una función par y como

0 0

)()(2)()(1

)( dvwvCosv f w AcondwwxCos x f

Entonces

0 0

22

2

)()(2)()(2 dvwvCosv f vdw

Ad dvwvSenvvf

dw

dA, comparando con

)(* w A

0

2 )()(2 dvwvCosv f v2

2 )()(*

dw

w Ad w A .

Observación:

Para representar la función:

a x

a x x x f

0

0)(

2

Consideramos la extensión par de

a x

a x x f

0

01)( y aplicamos lo anterior en que

w

Senwaw A

2)(

6.- Sea

0 )()(

1

)( dwwxSenw B x f . Hallar la integral de Fourier de la funciónSenx x f x g )()( .

Solución.


19/22

19

Como f(x) es una función impar, g(x) es par ,luego:

0

)()(1

dwwxCosw A I g

donde

0

)()(2)( dvwvCosv g w A

0

)()(2 dvwvSenvCosv f

0

)1()1()( dvvwSenvwSenv f

0 0

)1()1(2

1)1()()1()()( w Bw BvdvwSenv f vdvwSenv f w A .Luego

bastaría con conocer el coeficiente ).(w B

7.- Si f(x) es una función par con integral:

0

.)()(1

)( dwwxCosw A x f

Entonces

dwwxSendw

dA x xf )(

1)(

0

.

Solución

Para

0

)()(*1

)( dwwxSenw B x xf

donde

0

)()(2)(* dvwvSenvvf w B .Pero como

0

)((2 Senwvdvvvf dw

dA pues

0

)()(2)( dvwvCosv f w A )(* w Bdw

dA .

8.- Probar que si

0

)()()()(1

)( dwwxSenw BwxCosw A x f

. Entonces se cumple:

.)()(1)(0

222 dww Bw Adx x f

Solución.

dw f wxSenw B f wxCosw Adx x f f f )()()()(1

)(0

2

dww Bw A )()(1 2

0

2

.

9.- Aplicando lo anterior probar que:

adw

w

awSen

2

2 )(.


20/22

20

Solución.

Si tomamos: )( x f a xa , función par

entonces: 0)(2

)(2)(0

a

wvSenwdvwvCosw A

a

= )(2

waSenw

)(4

)(2

2

22

waSenww A

Por otra parte:

a

a

a

a

adxdx x f 222 2)(

Luego: dww

waSendww Aa

0 0

2

2222 )(41)(

12

dw

w

waSena 0

2

2 )(

2

o bién

dww

waSena

2

2 )(

10.- Probar que :

xdwwxSenw

wCos

w

wSen x 0)(

)()(2

02

Solución.

Como se puede apreciar se trata de una función impar o sea

x

x x x f

0)(

0

)()(1

)( dwwxSenw B x f

donde

)(2

)(2

)(2)(2

0

wSenw

wCosw

dvwvvSenw B

dwwxSenw

wCos

w

wSen x x f )(

)()(2)(

02

11.- Utilizar la función: 0)( x xe x f x , para deducir que

dwwxSenw

w

dwwxCosw

w

)()1(

2)()1(

1

022

022

.

Usar además esta igualdad y la convergencia para deducir que:

0 022

2

22 )1()1( w

dww

w

dw.-


21/22

21

Solución.

a) Considerando la extensión par de la función dada:

0

)()(1

)( dwwxCosw A x f p

con:

0 0 22

2

)1(

)1(............)(2)()(2)(

w

wdvwvCosvedvwvCosv f w A v

p

dwwxCosw

w x f p )()1(

)1(1)(

022

2

.

b) Considerando la extensión impar de la función dada.

0

)()(1

)( dwwxSenw B x f i

donde

022 )1(

2.............)(2)(

w

wdvwvSenvew B v luego

0 22 )()1(

21

)( dwwxSenw

w

x f i

Entonces ambas funciones coinciden en x>0 o sea son iguales las integrales.

022

022

2

)()1(

2)(

)1(

)1(dwwxSen

w

wdwwxCos

w

w

En a) si x = 0

022

2

0)1(

)1(1dw

w

w

0 022

2

22 )1()1( w

dww

w

dw


22/22

Ejercicios propuestos.

1.- Sea: x xe x f )( . Pruebe que:22 )1(

4)(0)(

w

ww Bw A

2.- Sea

10

11)(

x

x x f Verifique que

w

Senww Aw B

2)(0)(

y que

0

)(2

dwwxCosw

Senw

converge a ½ si x =1 ó x = -1.

3.- Represente la función como una Integral de Fourier y discuta su convergencia en

cada punto.

a)

x

x x x f

0)( b)

100

10)(

x

xk x f

c)

50

511

152/1

)(

x

x

x

x f d) x xe x f )(

4.- Haciendo la extensión adecuada encontrar la Integral de Fourier de Senos y deCosenos para:

a)

100

100)(

2

x

x x x f b)

50

50)()(

x

x xCosh x f

5.- Para 0)( ; xe x f kx , Hallar las Integrales de Senos y de Cosenos.

6.-Si 0)( xCosxe x f x Hallar la integral de Fourier, además la de Senos y lade Cosenos.

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