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Estudios de Economía Aplicada

ISSN: 1133-3197

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Asociación Internacional de Economía

Aplicada

España

Ferruz Agudo, Luis; Sarto Marzal, J.L.

Performance en la gestión de carteras en contexto de la Teoría de la Utilidad en presencia de riesgo

Estudios de Economía Aplicada, vol. 20, núm. 1, abril, 2002, pp. 81-110

Asociación Internacional de Economía Aplicada

Valladolid, España

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=30120109

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E S T U D I O S D E E C O N O M Í A A P L I C A D A VOL . 20 - I, 2 0 0 2. P Á G S . 81-110

Performance en la gestión de carteras en contexto de la Teoríade la Utilidad en presencia de riesgo

*FERRUZ AGUDO, L.; **SARTO MARZAL, J.L.Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales, Departamento de Contabilidad y Fi-nanzas. Universidad de Zaragoza.Telf.: 976 76 10 00, Fax: 976 76 17 91; * e-mail: [email protected]; **e-mail: [email protected]

RESUMEN

En este trabajo de investigación en Economía Financiera se trata de profundizar en el marco conceptual dela Teoría de Cartera (Portfolio Theory) en el aspecto concreto de la eficiencia o performance en la gestión decarteras realizando una adecuada interacción con la teoría de la utilidad.

Tomando como punto de partida los índices clásicos de eficiencia en la gestión, y más específicamente elíndice de Sharpe, se realizan una serie de consideraciones, valoraciones financieras y propuestas conducentesa la obtención de índices de eficiencia que cumplan determinados requisitos impuestos por la consideración dela teoría de la utilidad en presencia de riesgo así como la correcta consideración de determinada anomalíafinanciera que puede darse en los mercados.

Palabras clave: Cartera, Eficiencia, Utilidad, Riesgo.

ABSTRACT

The aim of this paper is to carry out a detailed analysis of one specific aspect of Portfolio Theory, namelythat of efficiency or performance in portfolio management, one that reflects an appropiate interacion withutility theory.

Taking the classic efficiency indexes as a starting point, and more particularly the Sharpe index, we offer aseries of considerations, financial valuations and proposals that lead to the formulation of efficiency indexes.These indexes comply with various requirements imposed by utility theory in the presence of risk, and alsoreflect a financial anomaly that might arise in the markets.

Keywords: Portfolio, Efficiency, Utility, Risk.

Artículo recibido el 26 de junio de 2000. Aceptado el 28 de marzo de 2001.

1. INTRODUCCIÓN

El concepto de “Utilidad” y “Teoría de la Utilidad” ha sido empleado por la TeoríaEconómica desde el punto de vista del consumidor en el sentido de que el sujeto dispone de

82 L. Ferruz Agudo, J.L. Sarto Marzal

Estudios de Economía Aplicada, 2002: 81-110 • Vol. 20-I

una cantidad limitada de bienes y estos bienes tienen un valor que depende de la propiautilidad que el sujeto le atribuye. En este contexto ha jugado un papel decisivo la denomi-nada segunda escuela de Viena o escuela neomarginalista, que elaboró la teoría del cálculoeconómico individual.

Desde el punto de vista de la Economía Financiera y, más concretamente, desde elenfoque de la eficiencia en la gestión de carteras, dejando aparte y en su merecido sitio alos precursores neomarginalistas y a la línea continuadora dentro del punto de vista delconsumidor, nos centraremos en la utilidad desde el punto de vista de la Teoría de la Deci-sión y de la Teoría de Cartera (Portfolio Theory), incorporando por lo tanto el atributo deriesgo y, en general, las situaciones con consecuencias aleatorias. Se trata de la línea analí-tica en Teoría de Cartera iniciada por Markowitz (1952), con abundante bibliografía a nivelnorteamericano, pero ciertamente escasa a nivel de nuestro idioma, dado lo que nos esconocido, resaltando no obstante diversos trabajos, entre otros, como los de Prieto (1973),De Pablo (1977), López Cachero (1983), Gómez-Bezares (1991) y Suárez (1996).

La introducción de situaciones aleatorias y ambiente de riesgo en el marco conceptualde la Teoría de la Utilidad conduce a una cierta axiomática que reflejamos en el Anexo I,sintetizando las ideas de los autores citados anteriormente, así como de Halter y Dean(1971) y Raiffa (1978). No obstante, es necesaria una cierta reformulación de dichaaxiomática para aproximarla desde un punto de vista técnico-operativo a la Teoría de Car-tera y, en particular, a los índices de eficiencia, lo cual se ve reflejado en el Anexo II.

William Sharpe, junto con Harry Markowitz y Merton Miller han sido Premios Nobelde Economía en 1990, habiendo contribuido de forma decisiva al modelo de valoración deactivos financieros (C.A.P.M. en su acrónimo anglosajón). Entre las muy diversas y genia-les aportaciones de Sharpe destaca, entre otras, el índice de eficiencia en la gestión quelleva su nombre, actualmente en gran proceso de difusión generalizada, incluso en diversaswebs como en la correspondiente a la Bolsa de Madrid (www.bolsamadrid.es). También seincluye ya en prensa financiera de divulgación masiva que podríamos denominar con unacierta especialización como es el caso del diario Expansión o el semanario Inversión.

En este contexto se realiza el análisis financiero del índice de Sharpe (1966, 70, 75, 92,94), pionero en índices de eficiencia y plenamente vigente hoy en día, desde una posturacrítica a efectos de, en su caso, obtener variaciones del mismo o una nueva propuesta demedición de la eficiencia en la gestión de carteras. El objetivo es, en consecuencia, partien-do del índice de Sharpe obtener nuevos ratios rentabilidad-riesgo que, además de posibili-tar una total coherencia con todo tipo de situaciones en los mercados financieros, permitanencajar dichas variaciones o nuevas propuestas con el marco conceptual de la teoría de lautilidad en presencia de riesgo. En este sentido, nuestra propuesta modelizadora de la ren-tabilidad-riesgo busca en consecuencia un enlace desde la cuantificación monetaria haciala utilidad y las funciones de utilidad, de manera que se persigue que los índices de eficien-

83PERFORMANCE EN LA GESTIÓN DE CARTERAS ...


cia puedan ser utilizados como aproximaciones a funciones de utilidad, por lo que conven-dría una cierta reformulación que nos llevaría a nuevas propuestas de índices de eficiencia.

Similares análisis financieros podrían efectuarse para otros índices clásicos como losde Treynor (1965) y Jensen (1968) y, en general para cualquier índice de eficiencia renta-bilidad-riesgo, obteniéndose resultados homólogos con las correspondientes matizaciones.

En el segundo epígrafe del presente trabajo se realiza una introducción a la problemáti-ca rentabilidad-riesgo en contexto de la teoría de la utilidad en presencia de riesgo. En latercera sección se concretan y especifican los análisis rentabilidad-riesgo y utilidad en elcaso del índice de Sharpe, determinándose cuestiones que necesariamente deben ser teni-das en cuenta al utilizar dicho índice, así como las implicaciones que se derivan a efectosde realizar variaciones o nuevas propuestas partiendo del índice original, todo ello en elmarco de una aproximación a la medición de la utilidad o satisfacción para el inversor.Finalmente, se cierra el trabajo con un apartado de resumen y conclusiones.

2. TRATAMIENTO CONJUNTO DE LA RENTABILIDAD-RIESGOY CONSIDERACIONES SOBRE LA UTILIDAD

2.1. Orientaciones generales

Al tomar decisiones, en general, y decisiones financieras, en particular, en una primeraetapa inicial suele ser suficiente analizar un solo atributo decisional como puede ser larentabilidad. No obstante, a medida que se profundiza en aspectos decisionales, suele serconveniente, prudente y realista, cuando no absolutamente necesario, introducir varios atri-butos decisionales, siendo el riesgo en el caso de las decisiones financieras otro importanteatributo en el contexto que nos ocupa.

En consecuencia, o bien se toman decisiones en contexto multicriterio, o bien son nece-sarias funciones decisionales que mezclen y combinen adecuadamente dichos atributos.

En general, la Teoría de Cartera ha señalado, mediante la muy amplia literatura finan-ciera al respecto, que considerar los atributos de rentabilidad y riesgo puede ser suficientepara tomar muchas decisiones financieras. No obstante, somos también conscientes de laslimitaciones de esta posible simplificación en determinados escenarios donde puede sernecesario el introducir otros atributos como la liquidez, la asimetría de las funciones dedensidad en cuanto a la distribución de los rendimientos, etc.

El problema, no definitivamente resuelto, estriba en la adecuada combinación o mezclaentre la rentabilidad y el riesgo. Es conocido en este sentido que la mejor contribución a laresolución de este problema ha sido el C.A.P.M., que implica una relación marginal desustitución lineal entre la rentabilidad y el riesgo, siendo el C.A.P.M. un modelo de valora-



ción ex- ante a nivel teórico y de eficiencia y equilibrio en los mercados financieros. Re-cientemente, Gómez-Bezares (1999, pág. 18) reseña la opinión razonada, que compartimosplenamente de que “el C.A.P.M. no es un modelo completo, sino una simplificación de larealidad; no debe, por lo tanto, extrañarnos que tenga fallos. Pero sí creo que es un modeloútil y lo seguirá siendo hasta que tengamos otro claramente mejor”.

El propio Sharpe (op.cit.) al diseñar su índice de eficiencia en gestión de carteras, tras-lada de alguna manera la linealidad del C.A.P.M. a su ratio, de manera que las líneasisoperformance o isoeficiencia resultantes de su aplicación son líneas rectas, tal y comopuede verse en un análisis financiero pormenorizado sobre estos aspectos en Ferruz, Porti-llo y Sarto (1998a,1998b). La repercusión financiera es una sustitución de proporcionali-dad lineal directa entre rentabilidad y riesgo.

A partir de éstas y otras reflexiones, nuestro objetivo fundamental es analizar la posibi-lidad de que el índice de Sharpe, o bien alguna variación del índice original, o bien varia-ciones de otros índices, o nuevas propuestas modelizadoras, puedan ser utilizadas comoaproximaciones a funciones de utilidad en ambiente de riesgo en el sentido de que se cum-plan determinados requisitos básicos de tipo lógico-financiero. Todo ello, por supuesto, enel contexto de una utilidad subjetiva de los inversores, pero a la que le exigimos unosmínimos requisitos objetivos y de coherencia con el marco conceptual financiero y de lateoría de la utilidad en presencia de riesgo.

2.2. Conexiones analíticas rentabilidad-riesgo y utilidad

El propio Markowitz (1952, 87) ya señaló acertadamente la necesidad de considerar lafunción de utilidad de los inversores para determinar la combinación óptima entre rentabi-lidad-riesgo. En este sentido, identificó analíticamente, por primera vez, estos dos atribu-tos esenciales, de manera que para aceptar niveles mayores de riesgo, cualquier inversorexigirá una rentabilidad esperada superior.

Dado que, cuanto mayor es la rentabilidad, permaneciendo el riesgo constante, mayores la utilidad o satisfacción para el inversor, y cuanto mayor es el riesgo, permaneciendoconstante la rentabilidad, menor es la utilidad, el dilema de la compensación o trade-off deambos atributos es un problema que tenemos que resolver satisfactoriamente desde el enfo-que del marco conceptual financiero y desde el enfoque de la teoría de la utilidad en pre-sencia de riesgo.

En el anexo I se indica una axiomática general de la utilidad en presencia de riesgo.Seguidamente, se trata de reconducir dicha axiomática desde el enfoque de la Teoría deCartera y la racionalidad financiera en base a indices de eficiencia que contemplen losatributos de rentabilidad y riesgo, lo que queda recogido en el anexo II.



Analíticamente, la función de utilidad del inversor quedaría, por tanto, bien definidamediante los atributos de rentabilidad y riesgo. Lo cual nos lleva a formular el primerpostulado relativo a la utilidad o satisfacción para el inversor en contexto de eficiencia y degestión de carteras.

Postulado I: La utilidad o satisfacción depende de la rentabilidad y el riesgo

U = f(Ep, σp )Siendo:Ep la rentabilidad de la cartera medida por su esperanza matemática.σp el riesgo de la cartera medido por su desviación típica.

El comportamiento racional del inversor frente a la rentabilidad y al riesgo en relacióncon la utilidad o satisfacción que le proporciona el resultado de la combinación rentabili-dad-riesgo nos lleva a formular nuevos postulados.

Postulado II: La utilidad aumenta al aumentar la rentabilidad si el riesgopermanece constante:

0>pE

U

δδ

Postulado III: La utilidad disminuye al aumentar el riesgo si la rentabilidadpermanece constante:

0<p

U

δσδ

Expresiones, a partir de las cuales (postulados II y III), se puede representar analítica-mente la regla de marco conceptual financiero en el sentido de relación positiva entrerentabilidad y riesgo, es decir de prima de rentabilidad al aumentar el riesgo. Lo que noslleva al postulado número cuatro.

Postulado IV: Prima de rentabilidad positiva al aumentar el riesgo. El aumentodel riesgo debe compensarse con un aumento en la rentabilidad.

0>p

p

d

Ed

σ

Este postulado es una consecuencia o inferencia de los dos anteriores.



Llegados a este punto, es conveniente realizar una serie de reflexiones, análisis y consi-deraciones:a) La utilidad que le reporta al decisor financiero la rentabilidad y el riesgo podría medir-

se, en un principio, con funciones de utilidad total y marginal, de manera que existiríanconexiones numéricas entre cantidades y combinaciones concretas de rentabilidad yriesgo con mediciones de la utilidad. El primer problema técnico-operativo que se plan-tea en este contexto es que la utilidad tiene un carácter subjetivo y su medición presentadificultades o bien no parece posible.

b) La utilidad de la combinación rentabilidad-riesgo puede resolver parte de su problemá-tica cuantitativa aceptando que es una magnitud intensiva, de manera que el decisorpueda siempre pronunciarse con relaciones de indiferencia o preferencia entre dos esta-dos concretos de rentabilidad-riesgo, aunque no pueda precisarse la cuantía de tal prefe-rencia o de tal indiferencia.

Esta formulación es fundamental para establecer relaciones de orden total en el es-pacio rentabilidad-riesgo. Se trata del planteamiento que permite aceptar la existenciade líneas de indiferencia financiera.

c) Las líneas de indiferencia financiera o curvas isoutilidad son, en general, en Economía,de tipo descendente al representarlas gráficamente por medio de dos ejes de coordena-das en los que se toman, respectivamente, cantidades de dos bienes. En cambio, enTeoría de Cartera, al trabajar con la rentabilidad y el riesgo, se trata de líneas ascenden-tes con riesgo en abcisas y rentabilidad en ordenadas.

La expresión analítica de la familia de curvas de indiferencia vendría cuantificada porla función índice de utilidad, de manera que a cada curva de indiferencia rentabilidad-riesgo le corresponde un único número que indica del índice de utilidad, pero no la propiautilidad. Dichos índices de utilidad tienen como misión fundamental establecer relacionesde indiferencia o de preferencia, pero no medir la utilidad.

En consecuencia, como índices de utilidad pueden tomarse funciones monótonas cre-cientes, arbitrariamente elegidas cumpliendo los requisitos lógico-financieros. De maneraque los índices crecerán si crece la utilidad y, por otra parte, evitarán las indeterminaciones.Analíticamente, para los atributos rentabilidad Ep y riesgo σp se tendrá:

I = F[U(Ep;σp)] = F[Φ(Ep;σp)] = f(Ep;σp)Siendo:I: el índice de utilidad rentabilidad-riesgo.Φ(Ep;σp) = U(Ep;σp) = UF(U) = F[Φ(Ep;σp)] = f(Ep;σp): es la función arbitraria de U, monótona creciente y que

representa la función índice de utilidad.



Para introducir elementos objetivos en la medición biatributo que supone el espaciofinanciero rentabilidad-riesgo, debe introducirse el concepto de relación marginal de susti-tución que, en nuestro caso, sería el límite de la relación por cociente en los intercambiosrentabilidad-riesgo para que la satisfacción del decisor financiero permanezca invariante.

Analíticamente:

p

p

p

p

p

Epp d

dEElimR

σσ∆∆

σ∆σ ==

→)(

0

De manera que (dEp) y (dσp) se relacionan con la función obtenida al ser constante lafunción índice de utilidad:

I = f (Ep; σp) = constante

Por otro lado, la relación marginal de sustitución tiene un marcado carácter objetivo. Eldecisor financiero únicamente participa para indicar su indiferencia, su mantenimiento delnivel de satisfacción.

Dado que I = f (Ep; σp) representa determinado índice de utilidad y su ecuación suponela constancia de I estamos frente a una función implícita entre Ep y σp.

En consecuencia:

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pEpp

EEU

EU

EEU

EU

F

F

EEI

EI

d

dER

∂

∂=

∂

∂×=

∂

∂==);(

);(

);(

);(

´

´);(

);(

σδσ

σδ

σδσ

σδ

σδσ

σδ

σσ

Cociente que representa la relación entre la utilidad marginal del riesgo y la utilidadmarginal de la rentabilidad.

Además, en conexión con la Teoría de la Utilidad, desde el propio Markowitz (op. cit.)todos los expertos en gestión de carteras como, por ejemplo, Gómez Bezares (1993) suelenindicar que, para que la utilidad o satisfacción del inversor averso al riesgo permanezcaconstante (curvas isoutilidad), la variación incremental rentabilidad-riesgo debe ser cre-ciente. Por tanto, para un incremento dado del nivel de riesgo, el inversor averso a dichoriesgo exigirá incrementos más que proporcionales de rentabilidad. En consecuencia, po-demos enunciar el siguiente postulado.



Postulado Va: Rendimientos marginales estrictamente crecientes con el riesgo.Al aumentar el riesgo los aumentos de rentabilidad son más quedirectamente proporcionales.

0)( 2

2

>p

p

d

Ed

σ

Por lo que, en presencia del riesgo los inversores racionales aversos al riesgo tienen uncomportamiento a nivel de utilidad que implica una relación marginal de sustitución renta-bilidad-riesgo que exige un tratamiento que podríamos denominar de “convexidad” en eltrade-off rentabilidad-riesgo.

Resulta razonable que si por pasar del 3,9 % al 5,7% (aumento de 180 puntos básicos derentabilidad), el inversor está dispuesto a asumir un aumento en el nivel de riesgo del 3,4%al 8,5% (510 puntos básicos de riesgo), por otros 510 puntos básicos de aumento en elriesgo sea razonable pedir una compensación de más de 180 puntos básicos de rentabilidadsi se pretende que las combinaciones reporten un mismo nivel de utilidad.

La denominada ley de decrecimiento de la relación marginal de sustitución en TeoríaEconómica se convierte, en un espacio financiero rentabilidad-riesgo, en una ley de creci-miento de dicha relación marginal de sustitución.

Es decir, la conjunción del Postulado IV (prima de rentabilidad positiva al aumentar elriesgo) junto con el Postulado V (rentabilidad marginal creciente al aumentar el riesgo)queda reflejada en un espacio financiero rentabilidad-riesgo mediante líneas de isoutilidadcrecientes convexas tal y como se observa en los gráficos 1 y 2.

Gráfico 1. Líneas isoutilidad con rentabilidad marginal creciente

con el riesgo para un decisor financiero averso al riesgo.

Ep

σp



Gráfico 2. Líneas isoutilidad con rentabilidad marginal creciente

con el riesgo para un decisor financiero más averso al riesgo que el del gráfico 1.

Ep

σp

Postulado Vb: Rendimientos marginales crecientes o constantes con el riesgo.Al aumentar el riesgo los aumentos de rentabilidad crecen de una maneradirectamente proporcional o más que directamente proporcional.

0)2

2

≥p

p

(d

Ed

σ

La situación de rendimientos marginales constantes con el riesgo vendría ilustrada enlos gráficos 3 y 4.

Gráfico 3. Líneas isoutilidad con rentabilidad marginal constante

para un decisor financiero averso al riesgo.

Ep

σp



Gráfico 4. Líneas isoutilidad con rentabilidad marginal constante

para un decisor financiero más averso al riesgo que el del gráfico 3.

Ep

σp

En cambio, desde una postura general y axiomática no tiene lógica financiera introducirexpresiones como la siguiente:

0)2

2

<p

p

(d

Ed

σ

que indicarían unas relaciones marginales decrecientes con el riesgo injustificadas desde elpunto de vista de las compensaciones con los resultados, que evidentemente puede darseen la realidad en determinados sujetos y en determinadas situaciones, pero que entendemosque carecen de lógica financiera. A nivel de decisores, en un contexto empírico y social,puede ocurrir de todo, pero a nivel de mercado es insostenible en el largo plazo.

Debe pues observarse que el lugar geométrico de los puntos (Ep, σp) que dan la mismautilidad se denomina función de indiferencia de utilidad, curva de indiferencia de utilidado curva isoutilidad. La mayor pendiente y/o convexidad de dichas líneas o curvas de indi-ferencia indica la mayor aversión al riesgo y, por lo tanto, la exigencia de mayores primasde compensación de rentabilidad por el riesgo asumido.

Debe observarse que el postulado Vb indica una postura más general y abierta que elpostulado Va al admitir rendimientos o rentabilidades marginales constantes con el riesgo,si bien lógicamente siempre exigiendo compensaciones de rentabilidad por asumir mayo-res riesgos.

El admitir este postulado Vb, más general que el Va es un elemento crucial y crítico enel análisis de la eficiencia y de la utilidad. Nuestra postura en este sentido es la de ser



riguroso con el principio de rendimientos marginales estrictamente crecientes con el ries-go, por lo cual en nuestros análisis de eficiencia sólo incluiremos como de plena ortodoxiafinanciera ese tipo de situaciones.

Entendemos que podría detectarse alguna anomalía decisional financiera si relacionan-do tres fondos de inversión A, B y C en los que se producen unas variaciones de rentabili-dad del 5% al 8% y al 11% respectivamente (300 puntos básicos cada vez, en dos tramos),con unas variaciones de riesgo del 10% al 20% y al 30% respectivamente (100 puntosbásicos cada vez, en dos tramos) pudiéramos ser indiferentes entre la alternativas o bienque el fondo C pudiera ser preferido a los otros.

Postulado VIa: Utilidad positiva marginal estrictamente decreciente con la rentabilidad.

En contexto de teoría de la utilidad se suele aceptar el principio que podríamos denomi-nar de utilidad marginal decreciente con la riqueza. En nuestro contexto, este principioparece conveniente reconducirlo a una utilidad marginal decreciente con la rentabilidadque tendría la siguiente expresión analítica:

0)(

),2

2

<p

pp

E

U(E

δ

σδ

En los gráficos 5 y 6 se ilustra dicho comportamiento en el caso de utilidad marginaldecreciente, presuponiendo claro está el cumplimiento del postulado II.

Gráfico 5. Función de utilidad total respecto a la rentabilidad

con nivel constante de riesgo.

U

Ep



Gráfico 6. Función de utilidad marginal respecto a la rentabilidad

con nivel constante de riesgo.

δU/δEp

Ep

Postulado VIb: Utilidad positiva marginal decreciente o constante con la rentabilidad.

Al igual que en el postulado Va, podría relajarse la hipótesis de utilidad marginal decre-ciente con la rentabilidad y admitirse una postura más general de utilidad marginal decre-ciente o constante con la rentabilidad.

De manera que analíticamente se tendría:

0)(

),2

2

≤p

pp

E

U(E

δ

σδ

En el contexto del presente planteamiento, entendemos que carecería de lógica finan-ciera el hecho de contemplar situaciones de utilidades marginales crecientes. Pero no obs-tante, por poder ocurrir desde luego podría ocurrir en la realidad empírica y social de losdecisores y mercados financieros. Este tipo de absurdo financiero, al menos desde el puntode vista conceptual, vendría expresado por la siguiente representación analítica:

0)(

),2

2

>p

pp

E

U(E

δ

σδ

Y por lo que se refiere a la visualización gráfica, el reflejo del comportamiento de lautilidad total y de la utilidad marginal constante vendría ilustrado en los gráficos 7 y 8,respectivamente.



Gráfico 7. Función de utilidad total constante respecto a la rentabilidad

siendo constante el nivel de riesgo.

U

Ep

Gráfico 8. Función de utilidad marginal constante respecto a la rentabilidad

siendo constante el nivel de riesgo.

Postulado VIIa: Utilidad negativa marginal estrictamente creciente con el riesgo.

Similarmente al comportamiento de la rentabilidad, nuestro decisor financiero racionalaverso al riesgo (en el sentido de preferir menos riesgo a más riesgo y que si acepta aumen-tos en el nivel de riesgo es porque le compensan más que lineal y proporcionalmente losprobables aumentos de rentabilidad) si mantiene constantes los niveles de rentabilidad yaumenta el riesgo esta situación le tiene que provocar una desutilidad creciente al aumentarlos niveles de riesgo. Es decir la insatisfacción que le produce pasar de un nivel de riesgo

δU/δEp

Ep



del 2% al 4% manteniendo el mismo nivel de rentabilidad es menor que la mayor insatis-facción que le produce pasar del 4% al 6% manteniendo el mismo nivel de rentabilidad.

Analíticamente se tiene en consecuencia la siguiente expresión:

0)(

);2

2

>p

ppU(E

σδ

σδ

Asimismo, la visualización correspondiente a dicho postulado, que presupone el cum-plimiento del postulado III, se observa en los gráficos 9 y 10.

Gráfico 9. Función de utilidad total respecto al riesgo con rentabilidad constante.

U

σp

Gráfico 10. Función de desutilidad marginal respecto al riesgo con rentabilidad constante.

δU/δσp

σp



Postulado VIIb: Utilidad negativa marginal constante con el riesgo.

En este caso, la ilustración gráfica, que también presupone el cumplimiento del postula-do III, se observa en los gráficos 11 y 12.

Gráfico 11. Función de utilidad total constante respecto al riesgo con

rentabilidad constante.

U

σp

Gráfico 12. Función de desutilidad marginal constante respecto al riesgo con

rentabilidad constante.

δU/δσp

σp

Como consecuencia de todos los postulados expuestos quedaría un marco conceptualmínimo objetivo que debería exigirse a cualquier índice de eficiencia en la gestión quebuscase o pretendiese ser una aproximación a la utilidad o satisfacción del inversor enpresencia de riesgo. Dicho marco conceptual mínimo queda reflejado sintéticamente en elAnexo II.



A partir de dicho planteamiento se realiza seguidamente la valoración del índice deSharpe en contexto de rentabilidad-riesgo y aproximación a la utilidad o satisfacción parael inversor, así como en el contexto de determinadas anomalías que pueden ocurrir en losmercados financieros.

3. ÍNDICE DE SHARPE: RENTABILIDAD, RIESGO Y UTILIDAD O SATISFAC-CIÓN PARA EL INVERSOR

Seguidamente se analiza el índice de Sharpe desde la óptica de los condicionamientosimpuestos a la rentabilidad y al riesgo en el marco general de la utilidad o satisfacción parael inversor. En este sentido, parece adecuado incluir el índice de Sharpe en contexto deteoría de la utilidad ya que la utilización de los mercados financieros de este índice a nivelde divulgación masiva implica, de alguna manera, que existe el acuerdo de utilizar estamedida de eficiencia como un nivel de satisfacción o utilidad.

Del análisis financiero realizado se desprenden interesantes conclusiones en un doblecontexto: a) Comprobación de si este índice refleja una total coherencia en cualquier tipode escenario de los mercados financieros, todo ello desde una perspectiva práctica y deaplicabilidad a efectos de rankings, comparaciones, etc. b) Comprobación de si éste índicepuede utilizarse como aproximación a función de utilidad o satisfacción para los inversores,para los mercados financieros.

El propio contexto crítico de análisis financiero permite exponer una serie de reflexio-nes a efectos de obtener variaciones del índice original que encajen lo máximo posible conel marco conceptual de la teoría de la utilidad en presencia de riesgo.

3.1. Análisis financiero del índice de Sharpe en contexto de teoría de la utilidad.

Seguidamente, se analiza en la presente sección el índice tradicional de Sharpe (1966).Si bien en Sharpe (1994) se realizan una serie de consideraciones y generalizaciones, lalínea argumental que se expone a continuación no se ve afectada.

Recordando el índice original de Sharpe, tenemos la siguiente expresión:

p

f

p

R -E S p

σ=

De manera que el índice de Sharpe está midiendo los puntos adicionales de rentabilidadde la cartera con respecto al activo libre de riesgo por punto adicional de unidad de riesgo



total soportado por la cartera, medido este último por la desviación típica de los rendimien-tos. En consecuencia, a nivel de aproximación a función de utilidad el índice de Sharpecumple los requisitos de ser una función de la rentabilidad y el riesgo:

Sp = I(Ep, σp)

El análisis de derivadas parciales de acuerdo con el anexo II permite obtener los si-guientes resultados:a) Variaciones del índice ante cambios de la rentabilidad, con riesgo constante. Se cumple,

por tanto, la condición I.

01

>=pp

p

E

Sä

σδδ

b) Variaciones marginales del índice al aumentar la rentabilidad, con riesgo constantes. Secumple, por tanto, el postulado II en el sentido general, admitiendo variaciones margi-nales constantes.

0=2

p

p2

)(E

S

δδ

c) Variaciones del índice ante cambios del riesgo, con rentabilidad constante:

02

<−=p

f p

p

p R -ES

σδσδ

Si se cumple que Ep > Rf lo que conlleva el cumplimiento del postulado III.d) Variaciones marginales del índice al aumentar el riesgo, con rentabilidad constante.

0)(22)(

>−×

=××−

=3

p

fp

4p

pfp

2p

p2 RERE

)(

S

σσσ

σδδ

Condición que se cumple si Ep > Rf por lo que se cumple estrictamente el postulado IV.e) Relación marginal de sustitución rentabilidad-riesgo. Partiendo de la expresión del ín-

dice, se obtiene que:

Ep = Sp σp + Rf

Por lo que de dicha relación funcional Ep = f(σp) se obtiene:

pp

pS

d

Ed=

σ



De manera que:

0=2

p

p2

d

Ed

σ

Lo que supone el incumplimiento del postulado V.

3.2. Algunas reflexiones y propuestas de solución a los aspectos críticos del índice deSharpe

3.2.1. Comportamiento del índice de Sharpe con respecto a la rentabilidad.

El análisis financiero efectuado únicamente permite detectar que la variación marginaldel índice al aumentar la rentabilidad es constante, lo cual no nos parece un elementocrítico de envergadura; si bien, no es menos cierto que preferiríamos disponer de un índiceque cumpliera una variación marginal decreciente del índice ante cambios en la rentabili-dad, dado un determinado nivel de riesgo.

De manera que todo está de acuerdo con la ortodoxia financiera que se viene estable-ciendo, salvo el destacable aspecto crítico relacionado con el incumplimiento del axiomade variación marginal decreciente con Ep. No obstante pueden aceptarse índices y funcio-nes de utilidad que no cumplan dicho axioma estrictamente siempre y cuando el tratamien-to del riesgo sea el correcto. En este sentido, De Pablo (1977, pág. 47) llega a la conclusiónde que las leyes financieras son un caso particular de funciones de utilidad donde la utili-dad marginal del dinero es constante, que es similar a la problemática que estamos anali-zando, pero con respecto a la rentabilidad. De cualquier manera, las variaciones marginalesconstantes del índice al modificarse la rentabilidad, no conducen a rankings inconsistentes,de la misma forma que las variaciones marginales constantes del índice ante cambios delriesgo tampoco. Si bien, en este segundo caso, el índice de Sharpe, tal y como se ha visto,presenta una segunda derivada con respecto al riesgo estrictamente positiva.

3.2.2. Comportamiento del índice de Sharpe con respecto al riesgo.

- El índice funciona correctamente en cuanto al riesgo salvo si Ep – Rf es negativo, lo cualcarece de lógica financiera en el largo plazo, pero puede ocurrir perfectamente en deter-minados escenarios coyunturales en los mercados financieros.

- El índice presenta un comportamiento anómalo en cuanto al riesgo si nos situamos en lapostura general de una línea de isoeficiencia en la que deben existir incrementos cre-cientes a escala de rentabilidad al aumentar el riesgo, lo que evidentemente no cumpleel índice ya que las líneas de isoeficiencia son líneas rectas.



3.2.2.1. La anomalía Ep < Rf

En relación al riesgo, en principio el índice funciona correctamente ya que a más riesgo,con igual rentabilidad, menor índice que está midiendo una aproximación para la satisfac-ción para el inversor (primera derivada del índice con respecto al riesgo). Asimismo, dadoun nivel de eficiencia, a más riesgo más rentabilidad (primera derivada de la rentabilidadcon respecto al riesgo). No obstante, para el correcto funcionamiento del índice, en amboscasos Ep > Rf, es decir que se observa analíticamente que si la rentabilidad de la carteraanalizada es inferior a la del activo libre de riesgo (Letras del Tesoro, normalmente) en elperíodo analizado aparece una inconsistencia manifesta del índice tal y como han señaladoFerruz y Sarto (1993,95,96,97a,97b,97c,97d,99,2000), proponiendo variaciones del índi-ce. En este sentido, se propone la aplicación de primas de rentabilidad a nivel relativo, enlugar de considerarlas en términos absolutos como hace el índice original de Sharpe.

En consecuencia, dicho índice alternativo sería el siguiente:

p

fp*p

/RES

σ=

Algebraicamente, se observa que el índice Sp* resuelve la inconsistencia o anomalía

mencionada que, en ocasiones, puede perfectamente ocurrir y de hecho ocurre, bien por lavolatilidad de los mercados o bien, en el largo plazo, por los propios ciclos económicos yfinancieros, así como por problemas de eficiencia en la gestión.

La mera resolución algebraica de esta inconsistencia quizá debería ser suficiente paradarle cierta validez generalizada a este nuevo índice propuesto. No obstante, es posibleigualmente dar a esta medida un auténtico sentido y significado financieros en base a lossiguientes motivos:- De la misma manera que en análisis de inversiones el Tanto Interno de Rendimiento es

una alternativa en términos relativos al Valor Actual Neto, el índice Sp* puede conside-

rarse una adecuada alternativa al índice original. En este mismo sentido, no debe olvi-darse que el V.A.N. debe ponderarse por la inversión inicial para obtener la relaciónbeneficio-coste (R.B.C.) en comparaciones de proyectos de inversión con diferente des-embolso inicial. En esta misma dirección va, por tanto, la variación propuesta.

- Debe tenerse muy en cuenta que los análisis de performance o eficiencia en la gestióndeben ser completados con estudios de la evolución de dicha performance o eficiencia,tanto subdividiendo los intervalos de tiempo de las bases de datos como con el mismocambio de los propios períodos de análisis, tal y como realizan Ferruz y Sarto (1999).En este contexto, el valor de los activos libres de riesgo, considerado inicialmente como



constante, se convierte también en una variable de cierta importancia y notable volatilidad.Este fenómeno puede ser más que notable para la clasificación de la eficiencia de lascarteras ya que, dado un nivel de riesgo, no es lo mismo obtener un determinado exce-dente de rentabilidad sobre la renta fija variando el propio indicador de rentabilidad dela renta fija. En este sentido, este efecto de pura gestión y eficiencia en la cartera, vienerecogido fielmente por el índice Sp

*

3.2.2.2. Otros elementos críticos en el índice de Sharpe con respecto al riesgo.

Desde nuestro punto de vista, el aspecto más crítico que presenta el índice de Sharpe esel tratamiento del riesgo a nivel de relación marginal de sustitución con la rentabilidad.Este comportamiento del índice nos lo muestra la segunda derivada de la rentabilidad conrespecto al riesgo, manteniendo el nivel del índice de eficiencia constante, ya que las líneasde igual nivel de eficiencia muestran una relación marginal de sustitución constante en vezde creciente.

Derivado de dicha problemática pueden darse inconsistencias decisionales tal y comose observa a continuación.

EJEMPLO. Sean 3 carteras A, B y C con los siguientes valores respectivos de rentabilidadmedia y de riesgo:

A ( 5 , 10 )B ( 8 , 20 )C ( 11 , 30 )

Por otra parte, se dispone de un activo libre de riesgo con rentabilidad media del 3%.Aplicando el índice de Sharpe a las tres carteras se obtiene:

2,010

==3 - 5

S

A

25,020

==3 - 8

S

B

266,030

==3 - 11

S

C

Es decir, según la medida de performance de Sharpe, la cartera C es preferida a lacartera B y ambas son preferidas a la cartera A.

Como se puede observar, los incrementos de rentabilidad vienen acompañados de nive-les de riesgo mayores. De A a B hay un incremento de rentabilidad de 3 puntos con unincremento de 10 puntos de riesgo, frente al incremento de 2 puntos de rentabilidad y 10 de



riesgo que hay de diferencia entre el activo de renta fija y A. Se observa, por tanto, laexistencia de una relación marginal creciente.

Sin embargo, siguiendo este razonamiento, en la relación entre B y C surgen anomalías.El índice de Sharpe indica que C es preferida a B, sin embargo no se cumple la relaciónmarginal creciente ya que, habiendo de nuevo un incremento de 10 puntos de riesgo, elincremento de rentabilidad debería ser superior a 3 puntos.

Gráfico 13. Representación gráfica de las relaciones rentabilidad-riesgo de cada cartera.

σp

Ep

Rf=3

SB=0,25

SA=0,2

SC=0,266

30

5

10 20

8

11

3.3. Posibles soluciones que contemplen la aversión al riesgo.

3.3.1. Sin incluir elementos subjetivos.

Siguiendo a Gómez Bezares (1993, pág. 74) y reflejando el consenso de la literaturafinanciera sobre el tema, en un espacio rentabilidad-riesgo podemos hablar de líneas ocurvas de indiferencia en sentido de que reporten igual utilidad para el inversor y “aunquecada individuo tendrá las suyas propias, podemos afirmar que, bajo unas condiciones rela-tivamente aceptables, todas tendrán una forma similar: crecientes y con una pendientecreciente”.

Teniendo en cuenta dichos condicionantes y nuestra propuesta axiomática de la rela-ción rentabilidad-riesgo en contexto con la teoría de la utilidad, para que un índice de



performance pueda ser utilizado como aproximación a funciones de utilidad necesaria-mente debe asumir funciones de tipo cuadrático, relegando la linealidad a un paso previointroductorio necesario pero que debe ser superado si se quiere reflejar el marco generalmínimo de tratamiento del riesgo desde una perspectiva normativa, formal y objetiva.

En consecuencia, una posible solución inicial podría ser ponderar la variación relativade rentabilidad de la cartera con respecto a los activos libres de riesgo no por la desviacióntípica sino por el riesgo medido por la varianza, lo cual se aplica seguidamente al índicealternativo de Sharpe en el contexto del presente artículo:

2

/

p

fp**p

RES

σ=

Otra propuesta alternativa sería obtener la variación relativa de rentabilidad de la carte-ra con respecto a un benchmark o índice de referencia, existente o bien especialmentecreado para obtener la adecuada referencia de la cartera, ponderado todo ello con el riesgomedido por la varianza:

2p

refp***p

/IES

σ=

Estos dos últimos índices cumplen todos los postulados del anexo II. No obstante, sólodeben ser utilizados si Ep<Rf o si Ep<Iref por los motivos que seguidamente se exponen.

Partiendo del índice de Sharpe se observa a partir de la relación entre la rentabilidad y elriesgo:

Ep = Sp σp + Rf

que en el caso de que el riesgo sea nulo, la rentabilidad correspondiente es el valor Rf

correspondiente a la rentabilidad libre de riesgo.Este resultado se corresponde con la lógica financiera y podría ser tomado como un

postulado más.Sin embargo, tomando la alternativa propuesta Sp

* para evitar incorrectas clasificacio-nes de carteras, se observa que:

Ep = Sp* σp Rf

Es decir, que a un nivel de riesgo nulo le corresponde una rentabilidad igualmente nula,incumpliéndose el postulado anteriormente indicado.



Este problema se repite para el índice Sp** cuyo objetivo fundamental se centraba en la

contemplación de la aversión al riesgo. En este caso:

Ep = Sp** σp

2 Rf

Por lo tanto, este índice Sp** sólo debería ser utilizado si, en estudios coyunturales,

existe un determinado subconjunto de carteras con rentabilidad promedio inferior a la co-rrespondiente al activo tomado como referencia.

Si no sucede esta situación anómala, el estudio debería partir de nuevo del índice tradi-cional de Sharpe, si bien debería modificarse utilizando la varianza para contemplar unaaversión creciente ante incrementos del riesgo. Es decir:

2p

fp****p

R -ES

σ=

Ya que, en este caso:Ep = Sp

**** σp2 + Rf

Se cumple que, para un nivel de riesgo nulo, la rentabilidad correspondiente es igual a laofrecida por el activo libre de riesgo.

Razonamientos similares se aplicarían para Sp*** y su correspondiente índice transfor-

mado.Seguidamente, comprobaremos analíticamente cómo el índice Sp

**** cumple todos lospostulados del anexo II.

01

>=2

pp

p

)(E

S

σδδ

0)(22)(

<−×

−=××−

−=3

p

fp

4p

pfp

p

p RERES

σσσ

δσδ

0=2

p

p2

)(E

S

δδ

0)(63)(2

>−×

=××−×

=4

p

fp

6p

2pfp

2p

p2 RERE

)(

S

σσσ

σδδ

02 >××= ppp

pS

d

Edσ

σ

02 >×= p2

p

p2

Sd

Ed

σ



Como se observa en esta última derivada, este índice toma en consideración la relaciónmarginal de sustitución creciente.

Asimismo, no debe olvidarse que, para el correcto cumplimiento de las derivadas par-ciales primera y segunda del índice de performance con respecto al riesgo, siempre debecumplirse que la rentabilidad analizada sea superior a la del activo libre de riesgo.

3.3.2. Inclusión de elementos subjetivos.

Tomando como referencia el índice Sp**** recientemente indicado y, por otro lado, con-

siderando la subjetividad del inversor, se tendría la siguiente expresión:

Ep = λ Sp**** σp

2 + Rf

Donde el parámetro l sería indicativo de la posición del inversor con respecto al riesgo.La expresión del índice quedaría así:

2p

fp****p

R -ES

λσ=

En este sentido:- Si λ es igual a 1/σp, se obtendría el caso particular del índice de Sharpe, es decir, el

valor de l.- Si 0 < λ < 1/σp, este rango de valores recoge a los sujetos que tienen una aversión

decreciente ante el riesgo.- Si λ > 1/σp, el rango recoge a inversores con aversión creciente ante el riesgo. Y lo

serán más cuanto mayor sea el valor de dicho l.Debe observarse que si Ep<Rf el índice a utilizar sería:

2p

fp*****p

R /ES

λσ=

RESUMEN Y CONCLUSIONES

1. Las medidas de eficiencia en la gestión de carteras, también denominadas medidas deperformance, tratan de resolver la combinación y trade-off entre rentabilidad y riesgo a



efectos de obtener un único parámetro que permita realizar rankings de gestión y com-paraciones entre carteras.

2. De entre las medidas clásicas de performance el objetivo básico de este análisis se hacentrado en el índice de Sharpe, si bien pueden realizarse consideraciones similares deotros índices como los de Treynor y Jensen y, en general, a cualquier índice de perfor-mance.

3. Como consecuencia de las consideraciones relativas a la Teoría de la Utilidad en pre-sencia de riesgo, se ha elaborado un mínimo marco conceptual axiomático objetivo quepermite analizar cualquier índice de eficiencia rentabilidad-riesgo que pretenda ser unaaproximación a la utilidad o satisfacción para el inversor.

4. La aplicación de los denominados postulados de un índice de eficiencia (proxy de utili-dad) en el espacio rentabilidad-riesgo para sujetos aversos al riesgo permite detectaraspectos más o menos críticos en el índice de Sharpe, que suponen o bien anomalíascoyunturales en los mercados financieros de acuerdo con el marco conceptual (Ep<Rf),lo cual puede originar clasificaciones inconsistentes, o bien aspectos que pueden tenercierta importancia desde el punto de vista de la racionalidad financiera decisional encontexto de la Teoría de la Utilidad en presencia de riesgo.

5. El análisis detallado de los aspectos críticos detectados en el índice de Sharpe es unpaso previo a obtener reformulaciones y nuevas propuestas sobre este índice a efectosde que se resuelvan tanto las inconsistencias decisionales relacionadas con los rankingsde carteras como el cumplimiento de todos los postulados básicos a exigir a un índice deeficiencia como aproximación a la utilidad.

6. Teniendo en cuenta la subjetividad que puede caracterizar a la aversión al riesgo, tam-bién se realizan modificaciones y propuestas de índices de eficiencia, de manera que elíndice de Sharpe y, en general, los índices de eficiencia se reformulan en un plantea-miento global y quedan como casos particulares de un marco conceptual que se desarro-lla en el presente trabajo.

Agradecimientos

Los autores, miembros de GIECOFIN (Grupo de Trabajo e Investigación en Economía Financiera) desean

agradecer los comentarios y sugerencias de la evaluación anónima, que han contribuido a mejorar el presente

trabajo. Asimismo, los autores desean agradecer a la D.G.E.S. y al M.E.C. la concesión del Proyecto de Inves-

tigación PB97-1003; así como los Proyectos 268-77 y 268-84 de la Universidad de Zaragoza. Obviamente, los

posibles errores cometidos son de exclusiva y absoluta responsabilidad de los autores.



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ANEXO I

AXIOMAS DE LA TEORÍA DE LA UTILIDAD PARA TOMA DE DECISIONESEN AMBIENTE DE RIESGO

Los axiomas que describen el comportamiento racional frente al riesgo pueden extraer-se de la literatura financiera de la denominada escuela americana, destacando, entre otros,Von Neumann, Morgenstern, Marschack, Friedman, Raiffa, Savage y Samuelson. Dichosaxiomas, en el caso español, aparecen sistematizados, entre otros autores, en Prieto (1973,pp. 151-154), De Pablo (1977, pp. 36-38) o Gómez-Bezares (1989, pp. 19-22).

Seguidamente se reflejan, sintéticamente dichos axiomas a partir de un conjunto deperspectivas aleatorias sobre las que un agente racional debe elegir en ambiente de riesgo.

I) El decisor tiene un método de preferencias coherente, de manera que ante las perspecti-vas aleatorias A y B puede decir:

A es preferido o equivalente a BO bien: A es menos preferido o equivalente a B

Siendo ésta una relación de preferencias transitiva.

II) Si a A y a B les corresponden unas funciones de distribución F1(x) y F2(x) tales queF2(x) < F1(x) para todo x, entonces:

)(Pr)(Pr xBobxAob ≤<≤ para todo x

y, por tanto: A es menos preferido o equivalente que B

Es el denominado axioma de la preferencia absoluta.

III) Considerando la perspectiva aleatoria compuesta C, de manera que:

C = [pA,(1-p)B]

Siendo p la probabilidad de A y (1-p) la probabilidad de B.Si existen las perspectivas aleatorias A1, A, A2, de manera que:

A1 es menos preferida o equivalente a AA es menos preferida o equivalente a A2



Entonces existirá un valor de p tal que:

C = [pA1;(1-p)A2] será indiferente a A.

IV) Sea A1 indiferente a A2. El axioma de independencia indica que:

[pA1;(1-p)A] es indiferente a [pA2;(1-p)A]

Para todo valor de p entre 0 y 1.De manera que si se siguen estos cuatro axiomas, se puede definir una función de utili-dad U tal que:

Si A1 es menos preferido o equivalente que A2 entonces:U(A1) < U(A2)U[p A1 ; (1-p) A2] = p U(A1) + (1-p) U(A2)

ANEXO II

AXIOMAS DE UN INDICE DE EFICIENCIA, APROXIMACION A LA UTILIDADO SATISFACCION PARA EL INVERSOR, EN EL ESPACIO RENTABILIDAD-RIESGO PARA SUJETOS AVERSOS AL RIESGO.

Sea Ep la rentabilidad media de una cartera y σp su riesgo medido por la desviación típica.Las condiciones a cumplir por un índice de eficiencia I = f(Ep;σp) para que pueda ser utili-zado cumpliendo requisitos de tipo lógico-financiero, dando por supuesto que I es funciónmonótona creciente y derivable, son los siguientes:

I) 0>pE

I

δ

δ

De manera que, dado un nivel de riesgo, el índice aumenta al aumentar la rentabilidad yaque es un atributo deseado por los inversores a igualdad de riesgo (eficiencia en sentido deMarkowitz).

II) 0)(

≤2

p

2

E

I

δδ



Por lo que la eficiencia positiva (overperformance) marginal de la rentabilidad para nivelesdados de riesgo es decreciente o constante.

III) 0)(

<p

I

σδδ

Es decir, dado un nivel de rentabilidad, al aumentar los niveles de riesgo se disminuyen losniveles de performance ya que el riesgo es un atributo no deseado por los inversores aigualdad de rentabilidad (eficiencia en sentido de Markowitz).

IV) 0)(

≥2

p

2I

σδδ

De manera que la eficiencia negativa (underperformance) marginal del riesgo, al mante-nerse el nivel de rentabilidad, es creciente o constante.

V) 0)(

>2

p

p2

d

Ed

σ

Indicándose que, al aumentar el riesgo, la rentabilidad debe aumentar más que proporcio-nalmente dado un determinado nivel de eficiencia o performance.

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