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CONSTANTES OPTIMAS PARA EL OPERADOR DE HARDY-LITTLEWOOD
ACTUANDO SOBRE GRAFOS FINITOS
ANGIE YURANI PUENTES SOLER
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION
PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICAS
BOGOTA D.C.
- 2019 -
CONSTANTES OPTIMAS PARA EL OPERADOR DE HARDY-LITTLEWOOD
ACTUANDO SOBRE GRAFOS FINITOS
ANGIE YURANI PUENTES SOLER
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al tıtulo de:
Matematica
DIRECTOR:
Dr. JULIO CESAR RAMOS FERNANDEZ
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION
PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICAS
BOGOTA D.C.
- 2019 -
Indice general
Introduccion vi
1 Preliminares de Analisis 1
1.1 Algunas propiedades de las funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Espacios metricos y de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Algunas propiedades de operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Operadores acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Funcionales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Desigualdades debiles y fuertes (p, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Metrica y Funciones sobre Grafos 8
2.1 Grafos y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Tipos de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Una metrica para un grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Espacios `p(V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 El Operador Maximal sobre Grafos Finitos 26
3.1 Definicion y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 El caso minimal puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Operador maximal sobre grafos isomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Norma del operador maximal sobre `p(V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Estimaciones y cotas del operador maximal de Hardy-Littlewood . . . . . . . . 52
3.6 Constantes optimas para la norma del operador maximal sobre grafos . . . . . 60
Conclusiones 75
Bibliografıa 76
iii
Agradecimientos
Agradezco de manera especial al profesor Julio Cesar Ramos Fernandez por su paciencia,
apoyo y dedicacion en este trabajo, en mi carrera y en mi vida personal; siempre le tendre ad-
miracion, respeto y un gran afecto. Tambien agradezco a John Mora por soportar mis crisis
durante la realizacion de este trabajo y por nunca dudar en que podrıa terminarlo, y a todas
las personas que se cruzaron en mi camino mientras estaba realizando este trabajo y me dieron
su apoyo y motivacion, en especial a Daniel Bernal, Julian Castiblanco, Camilo Porras, y mis
padres Jaime Puentes y Paola Soler.
iv
Resumen
Este trabajo consiste en estudiar funciones y espacios de sucesiones sobre grafos finitos, y
con ayuda de la medida de conteo lograr describir y observar el comportamiento del operador
maximal de Hardy-Littlewood sobre grafos finitos; luego se establecen propiedades sobre este
operador para ası dar acotaciones y equivalencias asintoticas a su norma p.
Palabras clave: Operador de Hardy-Littlewood, grafos finitos, equivalencia asintotica, esti-
maciones.
v
Introduccion
En el presente trabajo se habla del operador maximal de Hardy-Littlewood, usualmente se
define como
Mf(x) = supr
1
|B(x, r)|
∫B(x,r)
|f(w)| dw, (1)
donde x es un elemento de Rd para lo cual la expresion de la derecha es finita, B(x, r) es la
bola euclıdea en Rd con centro en x y radio r > 0 y |B| denota la medida de Lebesgue del
conjunto B. Se define este operador sobre grafos finitos como
MGf(v) = maxr>0
1
|BG(v, r)|∑
w∈BG(v,r)
|f(w)|, (2)
aquı |BG| se refiere a la cardinalidad del conjunto BG. Este operador debe su nombre a dos
grandes matematicos G. H. Hardy y J. E. Littlewood, los cuales establecieron en 1930 que
esta aplicacion M transforma una funcion f en Lp(Rd) en otra del mismo espacio [7]. Hoy en
dıa este resultado se conoce como la desigualdad maximal de Hardy-Littlewood y establece
que existe una constante Cd > 0 tal que
|Mf > λ| < Cdλ‖f‖L1(Rd), (3)
para todo λ > 0 y para toda funcion f ∈ L1(Rd).
El presente trabajo se realiza en torno a encontrar acotaciones para la norma maximal de
Hardy-Littlewood. Algunas estimaciones para el operador maximal de Hardy-Littlewood fue-
ron establecidas por Busemann y Feller en 1934 [5]. Posteriormente, E M. Stein en [14] de-
muestra que la constante que aparece en la desigualdad
‖Mf‖Lp(Rd) ≤ Cp,d‖f‖Lp(Rd), (4)
es independiente de la dimension del espacio d, quedando como problema abierto hallar la
mejor constante involucrada en la estimacion fuerte de Hardy-Littlewood y establecer estima-
ciones debiles y fuertes para funciones en otros espacios.
vi
INDICE GENERAL vii
El estudio de este y de los operadores maximales relacionados en los espacios de medida ha
recibido una considerable atencion recientemente (algunos ejemplos de esto se encuentran en
los siguientes artıculos [1], [11], [12]). Este tipo de operadores tambien se estudian en relacion
con las funciones armonicas y el operador de Laplace en los arboles en [6] y [9].
Con la aparicion de la ”big data”muchos cientıficos se han motivado a estudiar versiones
discretas de resultados clasicos del Analisis Matematico que permitan modelar el comporta-
miento de esta gran cantidad de informacion que se encuentran en lo que hoy se conoce como
”la nube”. Ciertamente, la teorıa de grafos y la topologıa son de gran ayuda para explicar las
relaciones existentes entre los datos que se encuentran en la nube, visto cada dato como un
nodo o vertice de un grafo finito. Estas relaciones a su vez permiten definir funciones entre
los datos y el conjunto de estas funciones se puede ver como un espacio vectorial donde se
pueden definir distintas metricas o normas.
Se pretende con esta monografıa iniciar estudios en una lınea de investigacion que unifica la
teorıa de grafos con el area del Analisis Matematico y que podrıa eventualmente encontrar
aplicaciones en otras areas del conocimiento como lo son la Computacion y la Informatica.
En este trabajo, se estudian las propiedades del operador maximal de Hardy-Littlewood cuan-
do actua sobre funciones definidas en grafos finitos, se define una distancia o metrica para
un grafo general G, con conjunto de vertices V y conjunto de lados E; y al usar distintas
propiedades de grafos y teoremas se encuentra la constante mas optima para la desigualdad
maximal de Hardy-Littlewood en grafos finitos. Unas de las principales motivaciones para es-
tudiar estimados para la norma p del operador sobre grafos finitos proviene de los resultados
de discretizacion probados para la funcion maximal de Hardy-Littlewood en R en terminos
de deltas de Kronecker. Se ve que la estructura geometrica en el grafo es mucho mas rica ya
que da mejores estimaciones para el operador maximal que, a su vez, caracteriza el grafo en
algunos casos extremos.
Mas precisamente, se dan los detalles de los resultados que aparecen en el artıculo de J. Soria
y P. Tradacete [13]. El trabajo se complementa con los ejemplos ilustrativos que aclara cada
definicion y resultado del artıculo. Tambien, se dan los preliminares necesarios para que la
obra tenga el caracter de autocontenido.
En el primer capıtulo de la monografıa se mencionan los preliminares necesarios del Analisis,
se habla de funciones especıficas, de espacios metricos, de sucesiones sobre estos espacios,
de operadores, funcionales, en especial funcionales sublineales los cuales van a ser de suma
importancia en el trabajo, y de teoremas relevantes en dichos temas.
viii INDICE GENERAL
En el segundo capıtulo se mencionan los tipos de grafos mas relevantes para el estudio del
artıculo [13], como lo son Kn, Cn, Sn y Ln, se definen algunas propiedades importantes en los
grafos, como la conexidad, el grado, el diametro; tambien se menciona lo referente a la metrica
que se define en un grafo, la cual se llama distancia geodesica, se prueba que efectivamente
es una metrica, tambien se ve que con esta metrica el espacio G es completo; y se dan los
ejemplos necesarios para entender esto. Se define el espacio `p(V ), y su norma, por ultimo
se demuestran algunas propiedades sobre estos espacios las cuales son importantes en las
demostraciones que se realizan en el tercer capıtulo.
Mientras que el analisis del operador maximal de Hardy-Littlewood actuando sobre grafos
finitos especıficos se hace en un tercer capıtulo, calculando el operador maximal de Hardy-
Littlewood sobre Kn, Ln, y Sn, luego de esto se acota la norma p del operador sobre estos
grafos. Para la norma p de MLn , y MSn , con 0 < p ≤ 1 se dan algunas acotaciones, mientras
que para MKn se acota la norma p con p > 1.
Capıtulo 1
Preliminares de Analisis
Con el objetivo de dar a esta obra un caracter de autocontenido, en el presente capıtulo
se recopilan ciertos preliminares que seran de gran utilidad en los estudios posteriores. En
la primera seccion, se mencionan algunas propiedades de las funciones reales y convexas.
En la segunda seccion se resume las propiedades mas relevantes de los espacios metricos,
ultrametricos y de Banach. Posteriormente, en la tercera seccion se definiciones y propiedades
de los operadores lineales y funcionales lineales.
1.1 Algunas propiedades de las funciones reales
En esta seccion se recuerdan brevemente, algunas funciones especıficas, el concepto de funcion
convexa y se enuncian algunas de sus propiedades que se utilizan mas adelante.
Para un conjunto S, la funcion delta de Kronecker, es una funcion de dos variables, que aplica
S × S en 0, 1 de tal manera que
δ(i, j) = δj(i) =
1, i = j
0, i 6= j.(1.1)
Se escribe con el sımbolo δij o δj(i), y la primera se usa como una notacion y la segunda mas
como la funcion a trozos que se define en (1.1).
La funcion parte entera f : R → Z aplica los reales a los numeros enteros, la cual se define
como f(x) = [x] = n, si n ≤ x < n+ 1 ([15], pag. 87).
Teniendo estas funciones definidas y claras, se pasa a la definicion de una funcion convexa.
Sea J un intervalo en R, se dice que la funcion real ϕ : J ⊆ R → R es convexa en J si para
1
2 CAPITULO 1. PRELIMINARES DE ANALISIS
cualquier par de puntos x, y ∈ J y para todo λ ∈ [0, 1] cumple que
ϕ (λx+ (1− λ)y) ≤ λϕ(x) + (1− λ)ϕ(y).
En particular, si ϕ : J ⊆ R→ R es convexa, entonces cada para cada x, y ∈ J se cumple que
ϕ
(x+ y
2
)≤ 1
2(ϕ(x) + ϕ(y)) ; (1.2)
pero no toda funcion que satisface la desigualdad anterior es convexa. Las funciones ϕ con-
tinuas que satisfacen la relacion anterior se conocen como funcion convexa de punto medio
([4], pag. 239). La generalizacion de la desigualdad (1.2) se le conoce como la desigualdad de
Jensen, la cual se enuncia a continuacion:
Desigualdad de Jensen: Dada una funcion convexa ϕ : J ⊆ R → R, numeros reales
x1, x2, · · · , xn en su dominio J y numeros positivos ai, se cumple que:
ϕ
(∑ni=1 aixi∑ni=1 ai
)≤∑n
i=1 aiϕ(xi)∑ni=1 ai
.
En particular, si ai = 1 para todo i = 1, 2, · · · , n, entonces
ϕ
(∑ni=1 xin
)≤ 1
n
n∑i=1
ϕ(xi) (1.3)
([3], pag. 113).
1.2 Espacios metricos y de Banach
La nocion o la idea de metrica o medida se remonta de muchos anos atras, al menos se puede
decir que desde los inicios de la geometrıa, la cual segun Herodoto (Siglo V AC) esta asociada
a las tecnicas de medir terreno; hoy en dıa se entiende como una funcion que determina una
distancia entre cada par de elementos de un conjunto, una definicion mas formal es ([2] pagina
60) que dados los objetos en un conjunto X y una funcion d (llamada la metrica del espacio),
se cumplen las siguientes propiedades para x, y, z ∈ X:
(i) d(x, x) = 0
(ii) d(x, y) > 0, x 6= y
(iii) d(x, y) = d(y, x)
(iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
1.2. ESPACIOS METRICOS Y DE BANACH 3
La tercera propiedad se le conoce como la simetrıa y la cuarta es la famosa desigualdad trian-
gular. Un espacio metrico se denota por el par (X, d). Entre los espacios metricos, destacan
aquellos donde la metrica posee una desigualdad mas fuerte que la desigualdad triangular, a
saber, para todo x, y, z ∈ X se cumple que:
d(x, y) ≤ maxd(x, z), d(z, y). (1.4)
A estos espacios metricos se les conoce en la literatura como espacios ultrametricos.
Una bola abierta B(x, r) en (X, d) un espacio metrico, con x ∈ X y r ∈ R+, es el conjunto de
todos los y ∈ X tales que d(x, y) < r; y la bola cerrada B(x, r), es el conjunto de todos los
y ∈ X tales que d(x, y) ≤ r. De lo anterior se tiene que B(x, r) ⊆ B(x, r) para todo x ∈ X([10] pag. 18).
Asociado al concepto de metrica se tiene la nocion de convergencia que se menciona a conti-
nuacion. Se recuerda que una sucesion xnn∈N de un determinado conjunto S ⊆ X, es una
funcion que aplica los naturales N = 1, 2, 3, · · · a dicho conjunto S, es decir cuyo rango
esta en S ([4], pag. 114). En un espacio metrico (X, d), una sucesion xnn∈N se dice que es
convergente ([10], pag. 25) si existe un punto x ∈ X tal que
lımn→∞
d(xn, x) = 0,
y x es el lımite de xn.
Como ejemplo de un espacio metrico, se tiene Rn con la metrica euclidiana que se define a
continuacion
d(x, y) =√
(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2.
Aquı x = (x1, · · · , xn) y y = (y1, · · · , yn) son elementos de Rn.
Una sucesion xn se dice de Cauchy si cumple la propiedad en la cual para todo ε > 0 existe
un entero N , tal que d(xn, xm) < ε siempre que n,m ≥ N ([2], pag. 88). Como una propiedad
destacable, se puede mencionar que si una sucesion es convergente en Rn, entonces es una
sucesion de Cauchy ([4], pag. 132).
Se ven algunas propiedades especıficas de las sucesiones. Una sucesion xn en Rn se dice que
es acotada si xn ∈ B(0,M) para un M > 0 y para toda n ∈ N, siendo 0 = (0, 0, · · · , 0) ∈ Rn
([4], pag. 116). Una propiedad de dichas sucesiones es que una sucesion convergente en Rn es
acotada ([4], pag. 116).
Un espacio metrico (X, d) se dice que es completo si toda sucesion de Cauchy converge en el
espacio ([2], pag. 90).
4 CAPITULO 1. PRELIMINARES DE ANALISIS
Varios ejemplos de espacios metricos son los espacios normados sobre el campo de los numeros
reales, estos son espacios vectoriales los cuales estan dotados de una funcion norma. Mas
precisamente ([4], pag. 76), el espacio vectorial X sobre el campo R, se dice que es normado si
existe una funcion ‖·‖ : X → R+∪0, llamada norma, que satisface las siguientes condiciones
para todo x, y ∈ X y todo α ∈ R:
(i) ‖ x ‖≥ 0,
(ii) ‖ x ‖= 0 ⇐⇒ x = 0,
(iii) ‖ x+ y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖
(iv) ‖ αx ‖= |α| ‖ x ‖.
Un espacio normado se denota por el par (X, ‖ · ‖). Todo espacio normado X es tambien un
espacio metrico ([10], pag. 58) con la metrica definida por
d(x, y) = ‖x− y‖,
donde x, y ∈ X. Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado completo, visto como
espacio metrico.
Se finaliza esta seccion con el siguiente ejemplo el cual es de gran importancia en este trabajo.
Ejemplo 1.2.1. Para 0 < p ≤ 1 se dice que una funcion f : X ⊆ N → R pertenece al
conjunto `p(X) si se cumple que
‖f‖p :=∑j∈X|f(j)|p <∞.
Ahora con 1 < p <∞, f pertenece a `p(X) si
‖f‖p :=
(∑j∈X|f(j)|p
)1/p
<∞.
Por ultimo para p =∞‖f‖∞ := max
j∈X|f(j)|p <∞.
Una metrica para `p(X) es
dp(f, g) = ‖f − g‖p . (1.5)
En estos espacios se cumple:
Desigualdad de Holder: Sea X ⊆ N, y sea 1 ≤ p, q ≤ ∞ con p y q exponentes conjugados;
los exponentes conjugados son aquellos exponentes que cumplen con la siguiente condicion:
1.3. ALGUNAS PROPIEDADES DE OPERADORES LINEALES 5
1p+1
q = 1 ([10], pag. 12). Entonces, para toda funcion de valores reales o complejos f, g ∈ `p(X),
se tiene que:
‖ fg ‖1 ≤ ‖ f ‖p ‖ g ‖q (1.6)
La relacion (1.6) trae como consecuencia la famosa Desigualdad de Minkowski la cual
establece que para funciones f, g ∈ `p(X) se cumple
‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p. (1.7)
Teorema 1.2.1. Un subespacio Y de un espacio de Banach X es completo si y solo si Y es
cerrado ([10] pag. 67).
1.3 Algunas propiedades de operadores lineales
Este trabajo especıficamente estudia el comportamiento de un operador no lineal pero tiene
resultados sobre funcionales sublineales, hay que tener claras ciertas nociones y propiedades
sobre operadores lineales. Un operador T es una funcion que aplica un espacio vectorial X
sobre otro espacio vectorial. Un operador T : X → Y se dice que es lineal si su dominio
D(T ) ⊆ X es un espacio vectorial y su rango R(T ) ⊆ Y es un espacio vectorial sobre el
mismo campo de D(T ) ([10], pag. 82), y si para todo x, y ∈ D(T ) y α ∈ R se cumple que
T (x+ y) = Tx+ Ty,
T (αx) = αTx.
Se define la inversa de un operador lineal, para esto, es necesario recordar que la funcion
T : D(T ) → Y se dice inyectiva si diferentes puntos del dominio tienen diferentes imagenes,
esto es, si para todo x1, x2 ∈ D(T ) se cumple que
x1 6= x2 ⇒ Tx1 6= Tx2.
Ahora si T es inyectiva existe la funcion
T−1 :R(T )→ D(T )
y0 7→ x0
que aplica a cada y0 ∈ R(T ) en x0 ∈ D(T ), con y0 = Tx0. La aplicacion T−1 se conoce como
la inversa de T , y se le dice el operador inverso de T ([10], pag. 86).
6 CAPITULO 1. PRELIMINARES DE ANALISIS
Como una propiedad del operador inverso, sea T : D(T ) ⊆ X → Y se llega a que la inversa
T−1 : R(T )→ D(T ) existe si y solo si Tx = 0⇒ x = 0, y de ser ası la inversa es un operador
lineal; si tambien se tiene que dim(D(T )) = n <∞, entonces dim(D(T )) = dim(R(T )) ([10],
pag. 88).
1.3.1 Operadores acotados
Sean X y Y espacios normados y T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal, se dice que T es
acotado ([10], pag. 91) si existe una constante c ≥ 0 tal que
‖Tx‖ ≤ c‖x‖. (1.8)
para todo x ∈ D(T ).
Dicho operador anteriormente mencionado tambien tiene su respectiva norma, esta se define
como:
‖T‖ = supx∈D(T )\0
‖Tx‖‖x‖
([10], pag. 92). Una forma alternativa y usualmente mas usada ya que facilita los calculos,
con x ∈ D(T ), es:
‖T‖ = sup‖x‖=1
‖Tx‖.
En espacios normados de dimension finita se tiene que todo operador lineal es acotado ([10],
pag. 96).
1.3.2 Funcionales lineales
Otro concepto relevante dentro de la teorıa de operadores es el de funcional. Un funcional es
un operador cuyo rango esta contenido en el campo K; en el presente el campo son los reales.
El conjunto de todos los funcionales lineales definidos en un espacio vectorial X es un espacio
vectorial. Este espacio se denota por X∗ y se denomina espacio dual de X.
Es necesario conocer la definicion de funcionales sublineales, un funcional sublineal T : X → K
es un operador que cumple con dos propiedades para todos los elementos de X, T debe ser
subaditivo y ser positivamente homogeneo, lo que quiere decir respectivamente que cumpla
∀x, y ∈ X, y α ∈ R+ con:
T (x+ y) ≤ Tx+ Ty
T (αx) = αTx.
1.4. DESIGUALDADES DEBILES Y FUERTES (P, P ) 7
Es claro que hay una diferencia entre un operador lineal y uno sublineal, mas adelante en el
texto se mencionan los operadores sublineales en un importante lema.
1.4 Desigualdades debiles y fuertes (p, p)
Ya que la idea del trabajo es llegar a una estimacion tipo debil del operador maximal sobre
grafos finitos, es necesario conocer que es una desigualdad tipo debil.
Definicion 1.4.1. Un espacio de medida (X,Σ, µ) se dice finito si µ(X) es un numero real
finito. Y se dice σ-finito (leıdo sigma finito) si X es la union contable de conjuntos medibles
de medida finita.
Definicion 1.4.2. Sea (Ω,Σ, µ) un espacio medible σ− finito y 0 < p ≤ ∞. Entonces el
espacio de Lorentz L(p, q) es el conjunto de todas las clases de funciones Σ medibles tal que
el funcional ‖f‖pq ≤ ∞, donde
‖f‖pq =
(∫∞
0 (t1/pf∗(t))q)
0 < p, q <∞,
supt>0 t1/pf∗(t) 0 < p ≤ ∞, p =∞.
Definicion 1.4.3. Un operador T se dice que satisface una desigualdad del tipo debil
(p, p), con λ > 0, si existe una constante Cd > 0 tal que
|Tf > λ| ≤ Cdλ−1/p‖f‖L1(Rd). (1.9)
Con |Tf > λ| la medida de Lesbegue del conjunto Tf > λ. Por lo que cuando se habla de
estimaciones tipo debiles, se refiere a la estimacion de la constante que cumple la desigualdad
anterior para un operador.
Las estimaciones debiles, implican desigualdades fuertes.
Definicion 1.4.4. Un operador T satisface una desigualdad del tipo fuerte (p, p) si existe
una constante Cp,d > 0 tal que
‖Tf‖Lp(Rd) ≤ Cp,d‖f‖Lp(Rd) (1.10)
para toda funcion f ∈ Lp(Rd).
Y cuando se habla de estimaciones tipo fuertes, se refiere a la estimacion de la constante que
cumple la desigualdad anterior para un operador.
Capıtulo 2
Metrica y Funciones sobre Grafos
En este capıtulo se estudian los espacios donde se ha realizado esta investigacion. En vista
de que estos espacios se definen sobre conjuntos de vertices de un grafo, en las primeras
secciones de este capıtulo, se provee los conceptos basicos sobre teorıa de grafos necesarias
para posteriormente definir los espacios lp(V ).
2.1 Grafos y sus propiedades
En esta seccion se trabajan las diferentes propiedades sobre grafos que se necesitan para
los siguientes capıtulos, conceptos de la teorıa de grafos; se mencionan los grafos simples,
la adyacencia de un vertice, la vecindad, se definen los grafos isomorfos y por ultimo los
subgrafos. Las definiciones y propiedades estudiadas en esta seccion se puede consultar en el
excelente texto de Johnsonbaugh (2015) ([8]).
Definicion 2.1.1. Un grafo (o grafo no dirigido) G consiste en un conjunto V de vertices (o
nodos) y un conjunto E de aristas (o lados) tal que cada arista e ∈ E se asocia con un par
no ordenado de vertices.
Un grafo G con conjunto de vertices V y conjunto de aristas E se denota por G = (V,E).
En el caso que la arista e se le asocie los vertices v1 y v2, entonces se dice que e incide en los
vertices v1 y v2.
Si existen dos aristas e1 y e2 con los mismos vertices incidentes, entonces se dice que e1 es
paralela a e2.
Un lazo es una arista que es incidente en un mismo vertice.
8
2.1. GRAFOS Y SUS PROPIEDADES 9
Definicion 2.1.2. Un grafo simple no dirigido es aquel grafo que no tiene aristas paralelas
ni lazos.
En el grafo de la Figura 2.1 no se tienen aristas paralelas, ni tampoco se tienen lazos; por lo
que ese grafo es simple con 5 vertices y 5 aristas;
Figura 2.1: Grafo simple
Una trayectoria de v0 a vn de longitud n es una sucesion que se alterna entre vertices y
aristas, de n + 1 vertices y n aristas que comienza en el vertice v0 y termina en el vertice
vn, donde la arista ei es incidente sobre los vertices vi−1 y vi para i = 1, · · · , n. Debe estar
claro que esta definicion permite repeticion de vertices o artistas, o ambos. Por esto se tiene
la siguiente definicion, una trayectoria simple entre dos vertices v1 y v2 es una trayectoria
de v1 a v2 sin vertices repetidos; se denota como T (v1, v2).
En el presente trabajo se asume de ahora en adelante que las trayectorias de las que se hablan
son simples.
Figura 2.2: Trayectoria
En la Figura 2.2 se puede ver que hay un trayectoria de v0 a v4.
Un grafo G se dice que es conexo, si dados cualesquiera dos vertices vi y vj en G, existe una
trayectoria de vi a vj .
10 CAPITULO 2. METRICA Y FUNCIONES SOBRE GRAFOS
Figura 2.3: Grafo conexo
Se puede ver en la Figura 2.3 que se puede llegar de un vertice a otro por una sucesion de
aristas, por lo que hay una trayectoria de cada par de vertices.
Definicion 2.1.3. Un ciclo se tiene cuando para un vertice v ∈ V existe una trayectoria
directa de v a v.
Definicion 2.1.4. Un grafo cıclico es un grafo que tiene ciclos.
De aquı que un grafo acıclico es un grafo que no tiene ciclos. En la Figura 2.4 se tiene un
grafo acıclico.
Un vertice vi es adyacente o vecino a otro vertice vj si el grafo contiene una arista ei que
incide en vi y vj .
Figura 2.4: Vecinos
En la Figura 2.4 se observa que los vecinos de v1 son v0 y v2.
La vecindad de un vertice v, se denota por N(v) y esta dado por todos los vertices adyacentes
a v. En la Figura 2.4 se tiene que N (v1) = v0, v2.
El grado de un vertice v, se denota por dG(v), y es el numero de aristas que inciden en v.
En la Figura 2.4, se tiene que dG(v1) = 2.
2.1. GRAFOS Y SUS PROPIEDADES 11
Los grafos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) se dicen que son isomorfos, denotado por G1 ∼ G2,
si existen funciones biyectivas f : V1 → V2 y g : E1 → E2 de manera que una arista e ∈ E1 es
incidente en v, w ∈ V1 si y solo si la arista g(e) ∈ E2 es incidente en f(v), f(w) ∈ V2. El par
de funciones f y g reciben el nombre de isomorfismo de G1 en G2.
En la siguiente figura se muestra dos grafos isomorfos:
Figura 2.5: Grafos isomorfos
Con V1 el conjunto de vertices del grafo de la izquierda y V2 el conjunto de vertices del grafo
de la derecha; si se toma la funcion f : V1 → V2 como:
• f(1) = 1
• f(2) = 4
• f(3) = 2
• f(4) = 5
• f(5) = 3,
para los vertices en la Figura 2.5, ciertamente f es una biyeccion entre los vertices de ambos
grafos.
Similarmente, con E1 el conjunto de aristas del grafo de la izquierda y E2 el conjunto de
aristas del grafo de la derecha; si se toma la funcion g : E1 → E2 como:
• g(e1) = e3
• g(e2) = e1
• g(e3) = e2
• g(e4) = e4
12 CAPITULO 2. METRICA Y FUNCIONES SOBRE GRAFOS
• g(e5) = e5
se tiene que g es una biyeccion y ademas se obtiene
f(j) = j, j ∈ 1, 2, 3, 4, 5
g(e) = e, e ∈ e1, e2, e3, e4, e5.
Y a cada dos vertices vecinos incidentes a una arista, su imagen bajo f tambien seran vecinos
y seran incidentes en la imagen bajo g de la arista. Esto muestra que los dos grafos de la
Figura 2.5 son isomorfos.
Se puede observar, en la Figura 2.5, que los grados de los vertices del primer grafo son los
mismos que los del segundo grafo. Por ser isomorfos los grafos, sus vertices respectivos o
equivalentes deben tener los mismos grados. Con esta observacion, se puede deducir que los
grafos de la siguiente figura no son isomorfos.
Figura 2.6: Grafos no isomorfos
Ya que en la Figura 2.6 se ve que en el grafo de la derecha existe un vertice con grado 1;
mientras que en el grafo de la izquierda no existe ningun vertice con esta propiedad.
Se finaliza esta seccion, mencionando el concepto de subgrafo. Sea G = (V,E) un grafo se dice
que la estructura G′ = (V ′, E′) es un subgrafo de G si se satisfacen las siguientes propiedades:
(i) V ′ ⊆ V y E′ ⊆ E
(ii) Para toda arista e′ ∈ E′ , si e′ incide en v′ y w′, entonces v′, w′ ∈ V ′.
2.2. TIPOS DE GRAFOS 13
Figura 2.7: C5 no es subgrafo de C7
En la Figura 2.7 el grafo de la derecha que se nota como C5 no es un subgrafo del grafo de la
izquierda que se nota como C7.
Figura 2.8: G5 es subgrafo de C7
En la Figura 2.8 se puede ver que al quitar la arista e5 del grafo C5 se cumple que toda arista
incidente en dos vertices en G5 es incidente en los mismos dos vertices en C7; por lo que G5
es un subgrafo de C7.
2.2 Tipos de grafos
En esta seccion se definen y se dan ejemplos de los grafos que se utilizaran en esta monografıa
y mas especıficamente en el proximo capıtulo.
Definicion 2.2.1. Para n ∈ N, el grafo completo, denotado por Kn, es el grafo simple con
n vertices en el que cada vertice es vecino o adyacente a los demas.
En la siguiente figura se muestra un ejemplo de un grafo completo.
14 CAPITULO 2. METRICA Y FUNCIONES SOBRE GRAFOS
Figura 2.9: Grafo completo K7
Definicion 2.2.2. Para n ∈ N, el grafo ciclo con n vertices, se denota por Cn y es el grafo
simple con n vertices y n aristas y en el cual cada vertice tiene grado 2.
En la siguiente figura se muestra un ejemplo de un grafo ciclo.
Figura 2.10: Grafo ciclo C7
Definicion 2.2.3. Para n ∈ N, el grafo estrella con n vertices, se denota por Sn y es el
grafo simple con n vertices en el que un vertice tiene grado n − 1, y los otros vertices tiene
grado 1, por lo que hace la figura de una estrella.
En la siguiente figura se puede observar un ejemplo de un grafo estrella.
2.2. TIPOS DE GRAFOS 15
Figura 2.11: Grafo estrella S8
Definicion 2.2.4. Un arbol A (libre) es un grafo simple, conexo y acıclico. Un arbol con
raız es un arbol en el que un vertice especıfico se designa como raız.
Sea A un arbol con raız v0. Suponga que x, y y z son vertices en A y que (v0, v1, · · · , vn) es
una trayectoria simple en A. Entonces se tiene las siguientes nomenclatura o convencion:
(i) vn−1 es el padre de vn.
(ii) v0, · · · , vn−1 son ancestros de vn.
(iii) vn es un hijo de vn−1.
(iv) Si x es un ancestro de y, y es un descendiente de x.
(v) Si x y y son hijos de z, x y y son hermanos.
(vi) Si x no tiene hijos, x es una hoja (o vertice terminal).
Entre los ejemplos mas importantes de arboles que se usan en el proximo capıtulo se encuen-
tran los arboles lineales que se define a continuacion.
Definicion 2.2.5. El arbol lineal con n vertices, se denota por Ln, es el grafo simple con
n vertices en el que dos vertices tiene grado 1, y los otros n− 2 vertices tiene grado 2, por lo
que hace la figura de una lınea
En la siguiente figura se muestra un ejemplo de un arbol lineal.
Figura 2.12: Grafo lineal L7
16 CAPITULO 2. METRICA Y FUNCIONES SOBRE GRAFOS
En la siguiente seccion se construye un arbol lineal a partir de un grafo.
2.3 Una metrica para un grafo
En esta seccion se considera G = (V,E) un grafo simple y conexo, donde V es el conjunto de
vertices el cual se asume numerable y E el conjunto de aristas entre ellos. Este grafo G se ve
como un espacio metrico (G, dG), donde dG es la distancia geodesica.
Definicion 2.3.1. La distancia geodesica entre dos vertices vi y vj en un grafo G, es el
numero de aristas en la trayectoria mas corta que los conecta, y se denota como dG(vi, vj)
[13].
La funcion anterior esta bien definida, ya que si se supone que hay dos trayectorias mas cortas
que conectan a los mismos vertices, entonces el numero de aristas que conecta los vertices es
el mismo.
Tomando E como la funcion que cuenta el numero de arista en una trayectoria. Con esto se
tiene que
dG(vi, vj) = E [mınT (vi, vj) : vi, vj ∈ G].
Es necesario probar que esta distancia es efectivamente una metrica, entonces se deben com-
probar 4 propiedades para v1, v2, v3 ∈ V :
(1) dG(v1, v2) ≥ 0.
Ya que dG se define como el menor numero de aristas en la trayectoria mas corta de
dos vertices, en este caso v1 y v2, y como sabemos que G es un grafo conexo entonces
se cumple para cualesquiera par de vertices v1, v2 que dG(v1, v2) ≥ 0.
(2) dG(v1, v2) = 0 sii v1 = v2.
→) Si dG(v1, v2) = 0, quiere decir que el menor numero de aristas en la trayectoria mas
corta entre v1 y v2 es 0, por lo que v1 = v2.
←) Si v1 = v2 entonces se tendrıa que el menor numero de aristas en la trayectoria mas
corta serıa 0, ası pues dG(v1, v2) = 0.
(3) dG(v1, v2) = dG(v2, v1).
Ya que se trabaja con G un grafo simple, la menor cantidad de aristas en la trayectoria
mas corta de v1 a v2 es la misma que la de v2 a v1, ası pues dG(v1, v2) = dG(v2, v1).
(4) dG(v1, v2) ≤ dG(v1, v3) + dG(v3, v2).
Se toman dos casos:
2.3. UNA METRICA PARA UN GRAFO 17
i) Cuando el vertice v3 se encuentra en la trayectoria mas corta entre v1 y v2, por lo
que en este caso dG(v1, v2) = dG(v1, v3) + dG(v3, v2).
ii) Cuando el vertice v3 se encuentra por fuera de la trayectoria mas corta entre, v1 y
v2, por lo que dG(v1, v2) < dG(v1, v3) + dG(v3, v2) de no ser ası se volverıa al caso
anterior.
Ya que dG efectivamente es una metrica para el grafo G = (V,E), entonces este grafo es un
espacio topologico con la topologıa inducida por esta metrica. En particular, y como es usual,
para v ∈ V y r > 0, la bola abierta con centro v y radio r se define por
B (v, r) = w ∈ V : dG(v, w) < r .
Ahora, debido a que el conjunto de vertices V es a lo sumo numerable, el valor de la distancia
geodesica es un entero no negativo, claramente para cualquier r > 0 que no sea un numero
natural, se tiene que
B (v, r) = w ∈ V : dG(v, w) ≤ [r] ,
mientras que para r ∈ N, se tiene
B (v, r) = w ∈ V : dG(v, w) ≤ r − 1 ,
Por esta razon, en este espacio metrico se consideran radios que son enteros n no negativos y
para seguir la misma notacion [13], entonces
B (v, n) = w ∈ V : dG(v, w) ≤ n .
La cardinalidad de este conjunto se denotara por |B (v, n)|. Tambien se usara la notacion
BG (v, n) cuando se quiera hacer enfasis sobre el grafo en que se esta trabajando. Se ilustra
lo anterior con un ejemplo.
Ejemplo 2.3.1. Se considera el grafo cuyo dibujo es:
Figura 2.13: Grafo P4
18 CAPITULO 2. METRICA Y FUNCIONES SOBRE GRAFOS
Para el vertice 1, se ven cuales son las respectivas bolas:
• B(1, 0) = 1, ası |B(1, 0)| = 1
• B(1, 1) = 1, 2, ası |B(1, 1)| = 2
• B(1, 2) = 1, 2, 3, 4, ası |B(1, 2)| = 4
• B(1, 3) = 1, 2, 3, 4, ası |B(1, 3)| = 4.
Las respectivas bolas con centro 2, son:
• B(2, 0) = 2, ası |B(2, 0)| = 1
• B(2, 1) = 1, 2, 3, 4, ası |B(2, 1)| = 4
• B(2, 2) = 1, 2, 3, 4, ası |B(2, 2)| = 4
• B(2, 3) = 1, 2, 3, 4, ası |B(2, 3)| = 4.
En particular, para un grafo completo, se tiene la siguiente propiedad:
Proposicion 2.3.1. En el grafo Kn, se tiene que la bola BKn(j, r) con centro en el vertice
j ∈ Kn y radio r > 0 viene dada por
BKn(j, r) =
j, si 0 < r ≤ 1,
V, si r > 1.
Demostracion: Por definicion de grafo completo, todos los vertices se relacionan entre sı, al
tener un radio mayor o igual a 1 con cualquier vertice se obtiene todo el conjunto de vertices,
lo que quiere decir que si el radio esta en el segundo intervalo r > 1, toma todos los vertices,
porque el vertice j tiene grado n − 1 lo que significa que todos los vertices son sus vecinos.
De aquı se obtiene que
BKn(j, r) = V.
Si el radio esta en el primer intervalo 0 < r ≤ 1, el unico elemento de la bola es su centro, en
este caso j, por lo que BKn(j, r) = j.
Teorema 2.3.2. El espacio metrico (G, dG) es un espacio metrico completo
Demostracion . El grafo G tiene un conjunto de vertices V a lo sumo numerable.
Se toma xnn∈N una sucesion de Cauchy de vertices en G; entonces para ε = 1/2, existe
N0 ∈ N tal que
dG(xn, xm) < 1/2 (2.1)
2.3. UNA METRICA PARA UN GRAFO 19
para todo n,m ≥ N0, pero dG(v, w) ≥ 1 para todo v, w ∈ V ; y por esta razon, (2.1) implica
que dG(xn, xm) = 0 para todo n,m ≥ N0. En particular, dG(xn, xN0) = 0 para todo n ≥ N0
con lo cual
xn = xN0
para todo n ≥ N0 despues de N0 la sucesion xnn∈N es constante, y por esta razon es
convergente.
Por lo tanto la sucesion de Cauchy converge, y como la sucesion es arbitraria el espacio G es
completo.
Ahora se utiliza esta metrica para construir el arbol lineal LG(v) inducido o definido por un
grafo G = (V,E) de n vertices a partir de un vertice especıfico de V . La idea es organizar
los vertices del grafo G respecto de las bolas B(v, k), con k ∈ N, de tal forma que a partir
del vertice v ∈ V se colocan a la derecha los vertices en B(v, 1) \ v, luego los vertices en
B(v, 2) \B(v, 1) y ası sucesivamente hasta que se hayan agregado todos los vertices del grafo.
Se ilustra esta situacion con el siguiente grafo:
Figura 2.14: Grafo G1
Se va a construir su grafo lineal LG1(5) a partir del vertice v = 5. Entonces se inicia en ese
vertice v = 5. Luego se pone en orden de numeracion de menor a mayor ya que para esto se
nombran los vertices con numeros, los vertices en BG1(v, 1)\v, despues BG1(v, 2)\BG1(v, 1),
y ası sucesivamente, en este caso hasta BG1(v, 3)\BG1(v, 2). El grafo resultante es:
Figura 2.15: Arbol lineal L9(5) de G1
Se ve que al hacer la construccion los grados de los vertices cambian.
20 CAPITULO 2. METRICA Y FUNCIONES SOBRE GRAFOS
Se finaliza esta seccion recordando lo que es el diametro de un subconjunto del espacio metrico
(G, dG).
Definicion 2.3.2. El diametro de G es
diam(G) = maxdG(v, w) | v, w son vertices en G,
lo que quiere decir que el diametro es la mayor distancia entre los vertices del grafo.
Ejemplo 2.3.2. El grafo en la Figura 2.15 tiene diametro 8, que es igual al diametro en la
Figura 2.14.
2.4 Espacios `p(V )
Dado un grafo G = (V,E) y un parametro p > 0, en esta seccion se definen y se estudian las
propiedades del espacio `p(V ). Se asumira que el conjunto de vertices del grafo G es a lo sumo
numerable y que sus elementos se denotan por 1, 2, 3, · · · . Se dice que una funcion f : V → Rpertenece al conjunto `p(V ) si cumple que∑
j∈V|f(j)|p <∞.
Ciertamente cada funcion f : V → R se puede identificar con una sucesion numerica o por
un vector en Rn y por esta razon se puede escribir fj en vez de f(j). Tambien es claro que
el conjunto `p(V ) es un espacio vectorial real con la suma de funciones y el producto de un
escalar por una funcion; de hecho, para f, g ∈ `p(V ) se cumple que
∑j∈V|fj + gj |p ≤ 2p
∑j∈V|fj |p +
∑j∈V|gj |p
<∞.
Adicionalmente las funciones δ1, δ2, · · · , δn, · · · definidas por
δk(j) =
1, j = k,
0, j 6= k,(2.2)
con k = 1, 2, · · · , n, · · · son elementos del espacio `p(V ); de hecho, para cualquier f ∈ `p(V )
y cualquier j ∈ V se cumple
f(j) = fj =∑k∈V
fkδk(j).
En la siguiente grafica se muestra a la funcion δ1 para el conjunto de vertices V = 1, 2, 3, 4:
2.4. ESPACIOS `P (V ) 21
Figura 2.16: δ1(j)
Ahora se va a dotar a `p(V ) de una metrica que lo convertira en un espacio completo. Con
este fin, para p > 0 y f ∈ `p(V ) se define
‖f‖p :=
( ∑j∈V|fj |p
)1/p
, p > 1,∑j∈V|fj |p, 0 < p ≤ 1.
(2.3)
Tambien es conveniente definir
‖f‖∞ := maxj∈V|fj |.
Se observa que para todo k ∈ V se cumple que ‖δk‖p = 1. Tambien se tiene el siguiente
resultado.
Teorema 2.4.1. Para 0 < p <∞, la relacion
dp(f, g) = ‖f − g‖p (2.4)
con f, g ∈ `p(V ), define una metrica para `p(V ).
Demostracion . Claramente la relacion dp definida en (2.4) es no negativa, simetrica y sa-
tisface que dp(f, g) = 0 si y solo si f = g. Ası que resta por mostrar que dp satisface la
desigualdad triangular, la cual trivialmente se cumple en los casos p = 1 y p =∞. Luego, la
demostracion de este resultado se debe hacer en dos casos: 1 < p <∞ y 0 < p < 1.
Caso 1 < p < ∞: Aquı se demostrara que la relacion ‖ · ‖p realmente es una norma. Cier-
tamente, en este caso, para λ ∈ R y f ∈ `p(V ) se cumple que ‖λf‖p = |λ|‖f‖p, ademas se
cumple la celebre desigualdad de Holder la cual establece que
‖ fg ‖1 ≤ ‖ f ‖p ‖ g ‖q (2.5)
22 CAPITULO 2. METRICA Y FUNCIONES SOBRE GRAFOS
siempre que p y q sean exponentes conjugados; es decir, que cumplan con la condicion 1p+1
q = 1,
f ∈ `p(V ) y g ∈ `p(V ) ([10], pag. 14). La relacion (2.5) trae como consecuencia la famosa
desigualdad de Minkowski que establece que para funciones f, g ∈ `p(V ) se cumple
‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p,
la cual da la desigualdad triangular para dp en el caso p > 1. En efecto, si ‖f + g‖p = 0,
entonces no hay nada que mostrar, se prueba para ‖f + g‖p > 0; si f + g = h, la desigualdad
triangular del valor absoluto de numeros reales da que
|hj |p = |fj + gj | |hj |p−1
≤ (|fj |+ |gj |) |hj |p−1.
Sumando sobre j ∈ V , se obtiene∑j∈V|fj + gj | ≤
∑j∈V
(|fj | |hj |p−1) +∑j∈V
(|gj | |hj |p−1)
Para la primera suma de la derecha se aplica la desigualdad de Holder, y se obtiene∑j∈V
(|fj | |hj |p−1) ≤(∑j∈V|fj |p
)1/p(∑j∈V
(|hj |p−1)q)1/q
;
a la derecha se tiene que (p− 1)q = p porque pq = p+ q.
Ahora, de forma similar, en la segunda suma a la derecha se tiene que∑j∈V
(|gj | |hj |p−1) ≤(∑j∈V|gj |p
)1/p(∑j∈V|hj |p
)1/q
.
Ası, con ambas se tiene que
∑j∈V|hj |p ≤
((∑j∈V|fj |p
)1/p
+
(∑j∈V|gj |p
)1/p)(∑
j∈V|hj |p
)1/q
.
Dividiendo por el ultimo factor de la derecha el cual es distinto de cero y notando que 1−1/q =
1/p, se obtiene el resultado deseado.
Caso 0 < p < 1. Se considera la funcion real ϕ(x) = xp + 1− (1 +x)p con x ≥ 0. Se tiene que
ϕ(0) = 0, y su derivada, para x > 0 es
ϕ′(x) = pxp−1 − p(1 + x)p−1 > 0.
Por lo que ϕ es creciente y ası para x > 0 se cumple que 0 = ϕ(0) ≤ ϕ(x), esto es,
0 ≤ xp + 1− (1 + x)p,
2.4. ESPACIOS `P (V ) 23
para todo x ≥ 0. Luego, para j ∈ V tal que |gj | > 0 se considera x =|fj ||gj | ≥ 0 y se obtiene
(|fj ||gj |
+ 1
)p≤(|fj ||gj |
)p+ 1,
y de aquı se obtiene que
(|fj + gj |)p ≤ (|fj |+ |gj |)p ≤ |fj |p + |gj |p
para todo j ∈ V . Ası que sumando sobre j ∈ V se tiene
‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p (2.6)
y dp satisface la desigualdad triangular en todos los casos. Esto demuestra el resultado.
Ahora se muestra la completitud de este espacio, formalmente se tiene el siguiente resultado.
Teorema 2.4.2. Para 0 < p < ∞, el espacio (`p(V ), dp) es completo. En particular, para
1 < p ≤ ∞, el espacio (`p(V ), ‖ · ‖p) es de Banach.
Demostracion.
Sea (fn)n∈N una sucesion de Cauchy en `p(V ), donde
fm = (fm(v1), fm(v2), · · · ).
Entonces para todo ε > 0 existe un N ∈ N tal que para todo m,n ∈ N, con m,n > N se
tienen dos casos en los que
Caso 1 < p <∞.
dp(fm, fn) =
( ∑vi∈V|fm(vi)− fn(vi)|p
)1/p
< ε/2,
se tiene para cada i que
|fm(vi)− fn(vi)|p <(ε/2)p.
Se toma i fijo y en la desigualdad anterior, (f1(vi), f2(vi), · · · ) es una sucesion de Cauchy de
numeros reales, la cual converge porque R es completo; se tiene que fm(vi) → f(vi) cuando
m→∞, es decir que
lımm→∞
|fm(vi)− f(vi)| = 0 (2.7)
24 CAPITULO 2. METRICA Y FUNCIONES SOBRE GRAFOS
esto sucede para todo i, usando este lımite se define f = (f(v1), f(v2), · · · ), se afirma que
fm → f . En efecto de la primera desigualdad se tiene para todo m,n > N con V = vi∞i=1
que ( k∑i=1
|fm(vi)− fn(vi)|p)1/p
< ε/2,
la sucesion de sumas parciales es creciente y acotada superiormente por ε/2, ası pues cuando
k →∞, se ve que ( ∞∑i=1
|fm(vi)− fn(vi)|p)1/p
≤ ε/2 < ε
por esto siempre que m ≥ N
dp(fm, f) < ε,
lo cual implica que fm → f en `p(V ). Esto muestra que fm − f ∈ `p(V ), ya que fm ∈ `p(V ),
y `p(V ) es un espacio vectorial lo cual lo hace cerrado con respecto a la suma; se tiene que
f = fm + (f − fm) ∈ `p(V ).
Ası f pertenece a `p(V ).
Caso 0 < p ≤ 1.
dp(fm, fn) =∑vi∈V|fm(vi)− fn(vi)|p < ε/2,
se tiene para cada i que
|fm(vi)− fn(vi)|p < ε/2.
De manera similar al caso anterior i fijo y se llega a (2.7), esto sucede para todo i, usando
este lımite se define f = (f(v1), f(v2), · · · ), se afirma que fm → f . En efecto de la primera
desigualdad se ve para todo m,n > N con V = vi∞i=1 que
k∑i=1
|fm(vi)− fn(vi)|p < ε/2,
la sucesion de sumas parciales es creciente y acotada superiormente por ε/2, cuando k →∞,
se tiene que ( ∞∑i=1
|fm(vi)− fn(vi)|p)1/p
≤ ε/2 < ε
por esto siempre que m ≥ N
dp(fm, f) < ε,
2.4. ESPACIOS `P (V ) 25
lo cual implica que fm → f en `p(V ). De igual manera que en el caso anterior se tiene que
f = fm + (f − fm) ∈ `p(V ).
Por esto f pertenece a `p(V ).
Capıtulo 3
El Operador Maximal sobre Grafos
Finitos
En este capıtulo se definen y se dan algunas propiedades del operador maximal de Hardy-
Littlewood actuando sobre funciones definidas en un grafo simple, conexo y finito G = (V,E),
con conjunto de vertices V = 1, · · · , n. En primer lugar, en la primera seccion de este
capıtulo, se establece la definicion de este operador, tambien que su norma de operador es
invariante por grafos isomorfos y se calcula su valor en el caso de un grafo completo. En la
segunda seccion, se analiza el cambio de este operador con respecto a los grafos, en particular,
se demuestra que el grafo completo es minimal en el sentido que este operador alcanza su
valor mınimo puntualmente con este grafo. En la tercera seccion de este capıtulo se calcula la
norma de este operador cuando actua sobre grafos isomorfos. Finalmente, se observa la norma
de este operador maximal cuando actua sobre funciones de los espacios `p(V ), obteniendose
cotas optimas para su norma,
3.1 Definicion y propiedades basicas
En el caso que se tenga una funcion f : V → R, el operador maximal de Hardy-Littlewood
sobre el grafo G, denotado por MG, es la transformacion que aplica la funcion f en la funcion
MGf : V → R, definida por
MGf(v) = supr>0
1
|BG(v, r)|∑
w∈BG(v,r)
|f(w)|, (3.1)
donde BG(v, k) es la bola, respecto a la metrica que se ha definido sobre el grafo G, con
centro en el vertice v y radio k > 0, y |BG| es la cardinalidad del conjunto BG, la cual es
26
3.1. DEFINICION Y PROPIEDADES BASICAS 27
la cantidad de elementos que se encuentran en dicha bola. Esta funcion queda bien definida
pues el conjunto de vertices del grafo G es finito.
El diametro de un grafo conexo de n vertices es a lo mas n − 1, ya que se trabaja en un
espacio finito (G, dG) con G un grafo conexo. Como el grafo G del que se habla tiene conjunto
de vertices finito, se puede ver que el supremo en la relacion (3.1) realmente es un maximo;
ademas, el radio de las bolas en (3.1) son naturales que no superan el valor n− 1. Por esto es
que la imagen de f por el operador MG sera la funcion definida por
MGf(v) = maxk=0,··· ,n−1
1
|BG(v, k)|∑
w∈BG(v,k)
|f(w)|. (3.2)
Se debe recordar que BG(r, 0) = r, esto se menciona en el capıtulo anterior. Se puede
observar que debido a la presencia del valor absoluto, este operador no es lineal; de hecho, se
establece formalmente que este operador ciertamente es sublineal.
Proposicion 3.1.1. El operador MG, con G un grafo simple, conexo con n vertices es un
operador sublineal.
Demostracion. Por definicion se tiene que para una funcion f : V → R
MGf(j) = maxr>0
1
|BG(j, r)|∑
w∈BG(j,r)
|f(w)|,
y por propiedades del valor absoluto se tiene para una funcion g : V → R que
MG(f + g)(j) = maxr>0
1
|BG(j, r)|∑
w∈BG(j,r)
|(f + g)(w)|
≤ maxr>0
1
|BG(j, r)|∑
w∈BG(j,r)
|f(w)|+ |g(w)|
= maxr>0
1
|BG(j, r)|∑
w∈BG(j,r)
|f(w)|
+ maxr>0
1
|BG(j, r)|∑
w∈BG(j,r)
|g(w)|
= MGf(j) +MGg(j);
lo cual muestra la subaditividad. Ahora, para cualquier α ∈ R, se tiene que
MG(αf)(j) = maxr>0
1
|BG(j, r)|∑
w∈BG(j,r)
|(αf)(w)|
= maxr>0
1
|BG(j, r)|∑
w∈BG(j,r)
|α||f(w)|
= maxr>0
|α|
|BG(j, r)|∑
w∈BG(j,r)
|f(w)|
= |α|MGf(j).
28 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
Por esto el operador MG es un operador sublineal.
A pesar de que el operador maximal de Hardy-Littlewood sobre un grafo G no es lineal, se de-
fine su norma de la misma forma en que se define para operadores lineales. Mas precisamente,
para 0 < p <∞, la norma del operador MG : `p(V )→ `p(V ) se define por
‖MG‖p = sup
‖MG f‖p‖f‖p
: ‖f‖p 6= 0
, (3.3)
donde, ‖ · ‖p denota la norma-p (o distancia-p) definida en el capıtulo anterior (vease (2.3)).
El siguiente resultado muestra una equivalencia de normas que resulta util para posteriores
pruebas.
Proposicion 3.1.2. Sea G un grafo simple, conexo y finito; se tiene para 0 < p < ∞; en
(3.3) que
(i)
‖MG‖p = sup ‖MGf‖p : ‖f‖p = 1 (3.4)
(ii)
‖MG‖p = sup ‖MGf‖p : ‖f‖p ≤ 1 . (3.5)
Demostracion: Para llegar a la igualdad se deben tomar dos casos:
Caso 1. 1 < p <∞, se llega a que
‖MGf‖p‖f‖p
=
wwwwMGf
‖f‖p
wwwwp
=
wwwwMG
(f
‖f‖p
)wwwwp
= ‖MGg‖p,
(3.6)
con ‖g‖p = 1, la primera igualdad se tiene por propiedades de la norma, la segunda se puede
hacer gracias a que el operador MG es sublineal, y la ultima de reescribir g = f‖f‖p .
Caso 2. 0 < p ≤ 1, se ve que
‖MGf‖p‖f‖p
=
wwww MGf
‖f‖1/pp
wwwwp
=
wwwwMG
(f
‖f‖1/pp
)wwwwp
= ‖MGg‖p,
(3.7)
3.1. DEFINICION Y PROPIEDADES BASICAS 29
con ‖g‖p = 1, la primera igualdad se obtiene porque para p ∈ (0, 1] se cumple que ‖αh‖p =
|α|p‖h‖p con h ∈ `p(V ) y α ∈ R, la segunda se realiza gracias a que el operador MG es
sublineal, y la ultima de reescribir g = f
‖f‖1/pp
. De (3.6) y (3.7) se llega al resultado en (3.4).
Por lo que
sup
‖MGf‖p‖f‖p
: ‖f‖p 6= 0
= sup
‖MGg‖p : ‖g‖p = 1
≤ sup
‖MGg‖p : ‖g‖p ≤ 1
;
la igualdad se tiene de tomar el supremo a ambos lados de las igualdades en (3.6) y (3.7), la
desigualdad se tiene de que
g : ‖g‖p = 1 ⊆ g : ‖g‖p ≤ 1,
por esto
‖MGg‖p : ‖g‖p = 1 ⊆ ‖MGg‖p : ‖g‖p ≤ 1.
Para mostrar la desigualdad contraria para 0 < p ≤ ∞ se observa que para
0 < ‖f‖p ≤ 1,
se obtiene que‖MGf‖p‖f‖
≥ ‖MGf‖p,
por lo que
sup‖MGf‖p : 0 < ‖f‖p ≤ 1 ≤ sup
‖MGf‖p‖f‖p
: 0 < ‖f‖p ≤ 1
≤ sup
‖MGf‖p‖f‖p
: ‖f‖p 6= 0
.
Ası, se llega al resultado (3.5).
Ahora se ve el comportamiento de este operador maximal sobre grafos isomorfos. Se recuerda
que dos grafos G1 y G2, que tienen el mismo conjunto de vertices V , son isomorfos si hay una
permutacion de vertices π, tal que v, w ∈ V son los extremos de un lado en EG1 si y solo si
π(v) y π(w) son los extremos de un lado en EG2 , y se nota como G1 ∼ G2.
Con esta definicion, se va a ver la siguiente propiedad.
Proposicion 3.1.3. Si dos grafos G1 y G2 con n vertices son isomorfos sobre el mismo
conjunto de vertices, se tiene que para cualquier funcion f : V → R y para cualquier vertice
v ∈ V se cumple que MG1f(v) = MG2f(π(v)), con π la permutacion sobre el conjunto de
vertices V . Y por esto se tiene que ‖MG1‖p = ‖MG2‖p para todo 0 < p ≤ ∞.
30 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
Demostracion. Ya que en (3.2) se toma en cuenta en la sumatoria un vertice en V arbitrario
y de igual manera se hace con π(v), que es un vertice arbitrario en V . Esto quiere decir que
MG1f(v) = maxk=0,··· ,n−1
1
|BG1(v, k)|∑
w∈BG1(v,k)
|f(w)|
= maxk=0,··· ,n−1
1
|BG2(π(v), k)|∑
π(w)∈BG2(π(v),k)
|f(π(w))| = MG2f(π(v)).
Mas aun, si para 0 ≤ p <∞ se define la relacion ‖MGf‖p para f : V → R con V = 1, · · · , nel conjunto de vertices de G. Se tiene que para 0 < p ≤ 1
‖MG1f‖p =∑v∈V|MG1f(v)|p
=∑
π(v)∈V
|MG2f(π(v))|p
= ‖MG2f‖p,
ahora para 1 < p <∞
‖MG1f‖p =
(∑v∈V|MG1f(v)|p
)1/p
=
( ∑π(v)∈V
|MG2f(π(v))|p)1/p
= ‖MG2f‖p,
y ademas para p =∞
‖MG1f‖∞ = maxv∈V
|MG1f(v)|
= max
π(v)∈V
|MG2f(π(v))|
= ‖MG2f‖∞.
Lo anterior se tiene ya que el conjunto de los vertices permutados es el mismo conjunto de
vertices V . Entonces para dos grafos G1 y G2 isomorfos sobre el mismo conjunto de vertices
V , se cumple que ‖MG1‖p = ‖MG2‖p.
El recıproco, no es cierto tal como se muestra mas adelante en la aplicacion del Lema 3.4.
Para ilustrar el calculo del operador maximal de Hardy-Littlewood, se considera el grafo
completo Kn (Definicion 2.2.1) en la cual todos los vertices se relacionan entre sı.
3.1. DEFINICION Y PROPIEDADES BASICAS 31
Ahora se va a calcular el operador sobre el grafo completo Kn con ayuda de la proposicion
anterior.
Proposicion 3.1.4. Sea f : V = 1, · · · , n → R cualquier funcion definida sobre Kn,
entonces MKnf es la funcion definida en V por
MKnf(j) = max
|f(j)|, 1
n
∑k∈V|f(k)|
. (3.8)
Demostracion: De la definicion del operador maximal de Hardy-Littlewood (3.2) se tiene
que si f : V = 1, · · · , n → R es cualquier funcion definida sobre Kn, entonces su imagen
MKnf es la funcion definida por
MKnf(j) = maxr=0,··· ,n−1
1
|BKn(j, r)|∑
w∈BKn (j,r)
|f(w)|,
usando la Proposicion 2.3.1 para 0 < r ≤ 1, se tiene que∑w∈BKn (j,r)
|f(w)| = |f(j)|,
ya que j es el unico elemento en la bola; ahora
1
|BKn(j, r)|= 1,
por la misma razon.
Usando la Proposicion 2.3.1 para r > 1, se tiene que∑w∈BKn (j,r)
|f(w)| =∑k∈V|f(k)|,
ya que se toman todos los vertices en V ; ahora
1
|BKn(j, r)|=
1
n,
por la misma razon, y por que el conjunto de vertices V tiene n elementos.
Ejemplo 3.1.1. Para la funcion f : 1, 2, 3, 4, 5 → R definida por
f(v) = v + 1, v ∈ 1, 2, 3, 4, 5,
se tiene que MKnf es la funcion
MK5f(j) = maxr=0,1,2,3,4
1
|BK5(j, r)|∑
v∈BK5(j,r)
|f(v)|
= max
|f(j)|, 1
5
∑k∈1,2,3,4,5
|f(k)|
32 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
De aquı se tiene que
MK5f(j) =
max2, 20/5, j = 1,
max3, 20/5, j = 2,
max4, 20/5, j = 3,
max5, 20/5, j = 4,
max6, 20/5, j = 5;
de donde
MK5f(j) =
20/5 = 4, j = 1,
20/5 = 4, j = 2,
4, j = 3,
5, j = 4,
6, j = 5;
Para j = 1, 2 se tiene MK5f(j) = 15
∑v∈Bk5
(j,r)
|f(v)|, y para j = 3, 4, 5, se tiene que MK5f(j) =
|f(j)|.
3.2 El caso minimal puntual
En la siguiente seccion se analiza el comportamiento del operador maximal cuando se hacen
variar los grafos. En primer lugar, se establece que el grafo completo Kn es minimal en el
sentido que se establece en el siguiente resultado:
Teorema 3.2.1. Para cada funcion positiva f : V → R, y cada vertice j ∈ V, se cumple que
MKnf(j) ≤MGf(j), (3.9)
para cualquier grafo G simple, conexo y con n vertices.
3.2. EL CASO MINIMAL PUNTUAL 33
Demostracion. En la Proposicion 3.1.4 ya se ha calculado la funcion MKnf . Usando la
definicion del operador maximal de Hardy-Littlewood se llega a que
MKnf(j) = max
|f(j)|, 1
n
∑w∈V|f(w)|
= max
1
|BKn(j, 0)|∑
w∈BKn (j,0)
|f(w)|, 1
|V |∑w∈V|f(w)|
= max
1
|BG(j, 0)|∑
w∈BG(j,0)
|f(w)|, 1
|V |∑w∈V|f(w)|
≤ max
1
|BG(j, 0)|∑
w∈BG(j,0)
|f(w)|, 1
|BG(j, 1)|∑
w∈BG(j,1)
|f(w)|,
1
|BG(j, 2)|∑
w∈BG(j,2)
|f(w)|, · · · , 1
|V |∑w∈V|f(w)|
= maxk=0,··· ,n−1
1
|BG(j, k)|∑
w∈BG(j,r)
|f(w)|
= MGf(j).
Le segunda igualdad ocurre porque BKn(j, 0) = j ası |BKn(j, 0)| = 1 y∑
w∈BKn (j,0)|f(w)| =
|f(j)|, luego se usa el hecho de que |V | = n; la tercera igualdad sucede porque BKn(j, 0) =
j = BG(j, 0). La primera desigualdad se tiene ya que1
|BG(j, 0)|∑
w∈BG(j,0)
|f(w)|, 1
|V |∑w∈V|f(w)|
⊆
1
|BG(j, 0)|∑
w∈BG(j,0)
|f(w)|, 1
|BG(j, 1)|∑
w∈BG(j,1)
|f(w)|,
· · · , 1
|BG(j, r)|∑
w∈BG(j,r)
|f(w)|, · · · , 1
|V |∑w∈V|f(w)|
.
La ultima igualdad es por la definicion del operador maximal de Hardy-Littlewood.
Entonces para toda funcion f y todo vertice j ∈ V
MKnf(j) ≤MGf(j);
esto es lo que se querıa mostrar.
Observacion 3.2.1. Aquı hay que tener cuidado ya que de maneral general, no se cumple
para cualesquiera dos grafos, es decir, si G1 ⊂ G2, entonces MG1f(j) ≤ MG2f(j) para todo
f : V → R y todo v ∈ V , no se cumple siempre. Observe que si G es un grafo simple y conexo,
entonces G ⊆ Kn.
A diferencia del teorema anterior, de manera general, no existe un grafo maximal tal como se
muestra en el siguiente teorema:
34 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
Teorema 3.2.2. Si G es un grafo con n ≥ 3 vertices, entonces existe un vertice j ∈ V (G),
una funcion f : V → R+, y otro grafo G, tales que V (G) = V (G), y MGf(j) < MGf(j).
Demostracion. Ya que G tiene al menos 3 vertices, es simple y conexo, por esto existe un
vertice j ∈ V con grado dG(j) ≥ 2. Sean k ∈ V un vecino de j y G = LG(j) un arbol lineal
con n vertices definido de la forma que se indica en el comentario posterior a la demostracion
del Teorema 2.3.2, es decir que es un arbol que se construye a partir del grafo G en el vertice
j. Ya que j tiene grado 1 en G, entonces es una hoja de G y ası el arbol lineal LG(j) incia en
j; luego, k es el unico vecino de j en G.
Ahora se considera la funcion
f(v) =
1/3, v = j,
2/3, v = k,
0, v 6= j, k,
como se sabe que dG(j) ≥ 2 se obtiene (dG(j) + 1) ≥ 3 ası 1/(dG(j) + 1) ≤ 1/3. Tambien se
sabe que dG(j) = 1 luego 1/(dG(j) + 1) = 1/2.
El maximo en la definicion del operador maximal de Hardy-Liilewood MGf , es decir el si-
guiente maximo
MGf(j) = maxk=0,··· ,n−1
1
|BG(j, k)|∑
w∈BG(j,r)
|f(w)|
(3.10)
se alcanza cuando en la bola BG(j, k) se toma el radio igual a 1, ya que j es una hoja y
su vecino es k; y solo en estos dos vertices la funcion es distinta de cero, porque si se toma
cualquier otro radio se toman vertices en los que la funcion se anula y el valor de la funcion
no se altera. Se toma el mismo radio para la bola en G.
Entonces
MGf(j) = maxj∈V
1
|BG(j, 1)|∑
w∈BG(j,1)
|f(w)|
= max
1
3
(1
3+
2
3
),
1
(dG(j) + 1)
(1
3+
2
3
) = max1/3, 1/(dG(j) + 1) = 1/3
y
MGf(j) = maxj∈V
1
|BG(j, 1)|∑
w∈BG(j,1)
|f(w)|
= max
1
3
(1
3+
2
3
),
1
(dG(j) + 1)
(1
3+
2
3
)= max1/3, 1/(dG(j) + 1) = max1/3, 1/2 = 1/2;
3.3. OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS ISOMORFOS 35
Lo anterior se tiene ya que se sabe |BG(j, 1)| = dG(j)+1 y que |BG(j, 1)| = dG(j)+1, ahora ya
que dG(j) ≥ 2, en cambio en G el grado de j es 1. Por lo que se llega a que, MGf(j) < MGf(j),
ası pues existe la funcion f para la cual se cumple lo anterior.
3.3 Operador maximal sobre grafos isomorfos
En la seccion anterior se establece que puntualmente no existe un grafo maximo para el ope-
rador maximal; pero queda pendiente entonces establecer si existe o no un grafo donde este
operador obtenga su norma maxima. Por esta razon, en esta seccion se estudia el comporta-
miento del operador maximal de Hardy-Littlewood cuando actua sobre grafos isomorfos. Se
demuestra en la Proposicion 3.1.3 que la norma-p del operador maximal sobre grafos isomorfos
es la misma, es decir ‖MG1‖p = ‖MG2‖p, siempre que G1 y G2 son grafos isomorfos.
Ciertamente la relacion “grafos isomorfos” es de equivalencia sobre el conjunto de los grafos
con n vertices y por ese motivo, el conjunto de esos grafos queda particionado en clases de
equivalencias, mas precisamente, para un grafo G con n vertices, la clase de equivalencia de
G se define por
[G] = H : H es un grafo y H ∼ G .
En esta seccion se define el operador maximal para la clase [G] del grafo G y posteriormente
se establece que la clase del arbol lineal con n vertices es maximal. Se finaliza la seccion con
un criterio para la igualdad de dos grafos usando el operador maximal.
Definicion 3.3.1. Dado un grafo G, una funcion f : V → R y un vertice j ∈ V , se define
M[G]f(j) = maxH∼G
MHf(j).
Teniendo en cuenta la definicion anterior, se da el siguiente resultado para el arbol lineal Ln.
Teorema 3.3.1. Sea Ln un arbol lineal con n vertices. Entonces, para cada grafo G con n
vertices y cualquier funcion f : V → R+,
M[G]f(j) ≤M[Ln]f(j), ∀j ∈ 1, · · · , n.
Demostracion. Sea Ln un arbol lineal con n vertices. Sean G cualquier grafo con n vertices
y sea j cualquier vertice en V = 1, · · · , n. Se construira un arbol lineal L = LG(j) con hoja
en j tal que
MGf(j) ≤MLf(j).
36 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
En efecto, sea L el arbol lineal con n vertices definido de la forma que se indica en el comentario
posterior a la demostracion del Teorema 2.3.2 con una hoja en j. Entonces, por construccion
de este arbol, para cada 0 ≤ r ≤ n− 1, se puede encontrar 0 < s(r) ≤ n− 1 tal que
BG(j, r) = BL(j, s(r)). (3.11)
En efecto, si 0 < r ≤ 1, se toma s(r) = r y en este caso se cumple que BG(j, r) = j =
BL(j, r). Si 1 < r ≤ 2, entonces se ordena NG(j), los vecinos de j en L, para obtener que
BL(j, dG(j)) = j ∪NG(j) = BG(j, r), es decir, en este caso, se toma s(r) = dG(j). Se repite
este proceso tal como se muentra en la Figura 2.15. Ası, para cada f : 1, · · · , n → R+ se
tiene que
MGf(j) = max0<r≤n−1
1
|BG(j, r)|∑
k∈BG(j,r)
f(k)
≤ max0<r≤n−1
1
|BL(j, s)|∑
k∈BL(j,s)
f(k)
= MLf(j) ≤M[Ln]f(j),
donde en la ultima desigualdad se ha usado el hecho que L ∼ Ln pues ambos grafos son arboles
lineales con n vertices. Esto demuestra que M[G]f(j) ≤ M[Ln]f(j) para cada grafo G con n
vertices, cada funcion positiva f definida sobre V y para cada vertice j ∈ V = 1, · · · , n.
Observacion 3.3.1. Es pertinente dar un comentario y un ejemplo que ilustre la manera en
que se selecciona los radios s(r) en la demostracion del resultado anterior. En primer lugar, se
debe destacar el hecho que los radios r y s(r) no son los mismos aunque ambos son elementos
del conjunto 0, · · · , n− 1. Tambien hay que recordar que s(r) son los radios que se toman
en las bolas con centro en el vertice j en el grafo L; estos radios cumplen que al hacer las
respectivas bolas en G con radio r, y en L con radio s(r) con el mismo centro, esas respectivas
bolas sean los mismos conjuntos, lo cual se vislumbra en la relacion (3.11).
Esto se ve mas claramente con un ejemplo, se considera el grafo G con n = 9 vertices cuyo
dibujo es:
3.3. OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS ISOMORFOS 37
Figura 3.1: Grafo G9
Se considera el vertice j = 7. Entonces el arbol lineal LG(7) cuya hoja inicial es este vertice
j = 7 es:
Figura 3.2: Arbol lineal de G9 para j = 7
Se tiene la siguiente relacion
BG(7, 0) = BLG(7)(7, 0),
y de aquı que para r = 0 se selecciona s(r) = 0. Tambien se puede ver que
BG(7, 1) = 7, 5, 6, 8 = BLG(7)(7, 3),
y por esta razon, para r = 1, se toma s(r) = 3. Similarmente, debido a la relacion
BG(7, 2) = 7, 5, 6, 8, 3, 4, 9 = BLG(7)(7, 6)
para r = 2, se debe seleccionar s(r) = 6. En conclusion se obtiene la siguiente tabla que
muestra la relacion entre r y s(r):
38 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
r s(r)
0 0
1 3
2 6
3 8
4 8
5 8
6 8
7 8
8 8
Cuadro 3.1: Relacion entre los radios r y s(r).
De aquı se puede ver que el conjunto 0, 1, 2, · · · , 8 de los radios r y el conjunto 0, 3, 6, 8de los radios s(r) no son los mismos.
Ahora se estudia la relacion entre la geometrıa de un grafo y su operador maximal, y se prueba
que un grafo G esta determinado completamente por MG. De hecho se muestra una cierta
inyectividad del operador maximal con respecto a los grafos. Mas precisamente, se tiene el
siguiente resultado:
Teorema 3.3.2. Sean G1 y G2 dos grafos con V (G1) = V (G2) = V = 1, · · · , n. Los
siguientes enunciados son equivalentes:
(i) G1 = G2.
(ii) Para toda funcion f : V → R se cumple que MG1f = MG2f .
(iii) Para todo vertice k ∈ V , se cumple que MG1δk = MG2δk.
Demostracion. Se inicia la prueba con la siguiente equivalencia (i) ⇒ (ii). Se supone que se
tiene dos grafos G1 y G2, con conjunto de vertices V (G1) = V (G2) = V y tales que G1 = G2.
Sea f : V → R cualquier funcion, entonces ciertamente para cualquier v ∈ V se cumple que
MG1f(v) = maxk=0,··· ,n−1
1
|B(v, k)|∑
w∈B(v,k)
|f(w)| = MG2f(v).
Lo cual muestra la primera implicacion ya que f es arbitrario.
3.3. OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS ISOMORFOS 39
Para la segunda implicacion (ii) ⇒ (iii); ya se tiene que MG1f = MG2f para toda funcion
f : V → R. En particular para la funcion δk : V → R, definida en (2.2), y para cualquier
vertice v ∈ V , se tiene que
MG1δk(v) = MG2δk(v),
lo que demuestra la implicacion.
Ahora se muestra que (iii) ⇒ (i). Se supone que para cada k ∈ V , se cumple que MG1δk =
MG2δk de (iii), lo cual significa que MG1δk(j) = MG2δk(j) para todo j ∈ V y de aquı que
MG1δk(j) =1
|BG1(j, dG1(j, k))|= MG2δk(j) =
1
|BG2(j, dG2(j, k))|. (3.12)
Para mostrar que G1 = G2, es suficiente mostrar que NG1(j) = NG2(j), para cada vertice
j ∈ V . Se debe asumir que |NG1(j)| = r, con r = dG1(j) y escoger un orden apropiado de
NG1(j) = v1, v2, · · · , vr de tal manera que dG2(j, v1) ≤ dG2(j, v2) ≤ · · · ≤ dG2(j, vr). De
aquı que BG2(j, dG2(j, v1)) ⊆ BG2(j, dG2(j, vr)) y, usando (3.12), tambien se tiene que, para
todo l ∈ 1, · · · , r,
1 + r = |BG1(j, 1)| = |BG1(j, dG1(j, vl))| = |BG2(j, dG2(j, vl))|; (3.13)
donde la primera desigualdad se debe a la definicion de r, la segunda es porque vl es vecino
de j y por esta razon dG(j, vl) = 1, y la tercera igualdad es por (3.12). Por lo que, para todo
l ∈ 1, · · · , r,BG2(j, dG2(j, v1)) = BG2(j, dG2(j, vl)), (3.14)
esto se tiene gracias a que en (3.13) se considera la misma cardinalidad para cualquiera de los
radios, lo que quiere decir esto es que
|BG2(j, dG1(j, v1))| = 1 + r = |BG2(j, dG2(j, vl))|;
lo cual implica que dG2(j, v1) = dG2(j, vl). De hecho, si dG2(j, v1) < dG2(j, vl), para algun vl,
entonces BG2(j, dG2(j, v1)) ⊂ BG2(j, dG2(j, vl)), lo cual contradice (3.14), ya que no cumple
la igualdad. Finalmente, se debe ver que dG2(j, v1) = 1, como dG2(j, vl) = 1, para todo vl y
ademas dG2(j, v1) = dG2(j, vl), ası se llega a la igualdad deseada.
En efecto, si dG2(j, v1) > 1, entonces BG2(j, dG2(j, v1)) contiene un vertice u ∈ NG2(j), lo cual
necesariamente satisface que u /∈ j ∪ v1, · · · , vr. Por lo tanto,
1 + r = |BG2(j, dG2(j, v1))| ≥ 2 + r,
lo cual es una contradiccion.
40 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
De este argumento, se obtiene que NG1(j) ⊆ NG2(j). Invirtiendo los papeles de G1 y G2, o
usando que
|NG1(j)| = |BG1(j, dG1(j, v1))| − 1 = |BG2(j, dG2(j, v1))| − 1 = |NG2(j)|,
se concluye que NG1(j) = NG2(j). Esto culmina la demostracion del teorema.
3.4 Norma del operador maximal sobre `p(V )
En esta seccion se ven las propiedades de la norma del operador maximal de Hardy-Littlewood
cuando actua sobre funciones en `p(V ) con 0 < p ≤ 1, en particular, se obtiene una expresion
para ‖MG‖p, en terminos de las funciones δk definidas en (2.2). Se ilustra este calculo con
ciertos grafos de 4 vertices. En el caso de grafos finitos se tiene:
Lema 3.4.1. Sea G un grafo con n vertices, y T : `p(V )→ `p(V ) un operador sublineal, con
0 < p ≤ 1. Entonces,
‖T‖p = maxk∈V‖Tδk‖p.
En particular, ‖MG‖p = maxk∈V‖MGδk‖p y ‖M[G]‖p = max
k∈V‖M[G]δk‖p.
Demostracion. Ya que para cualquier 0 < p ≤ 1 y k ∈ V , se tiene que ‖δk‖p = 1, entonces
‖T‖p ≥ maxk∈V‖Tδk‖p. Para ver la otra desigualdad, sea f : V → R, con ‖f‖p ≤ 1, se toma
esta norma y se calcula la norma del operador con la norma equivalente que se enuncia en la
Proposicion 3.1.2; existen numeros reales a1, · · · , an tales que,
f =∑k∈V
akδk,
con∑k∈V|ak|p ≤ 1. Usando la desigualdad vista en el Capıtulo 2 (vease (2.6)), las propiedades
de valor absoluto y la definicion de ‖ · ‖p, para 0 < p ≤ 1, la cual se puede tomar por la
Proposicion 3.1.2, se tiene que
‖Tf‖p =∑j∈V|Tf(j)|p =
∑j∈V|T(∑k∈V
akδk
)(j)|p
≤∑j∈V
∑k∈V|ak|Tδk(j)
p ≤∑j∈V
∑k∈V|akTδk(j)|p
=∑k∈V|ak|p
∑j∈V|Tδk(j)|p =
∑k∈V|ak|p‖Tδk‖p
≤ maxk∈V‖Tδk‖p,
3.4. NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE `P (V ) 41
donde la primera desigualdad se tiene pues T es un operador sublineal, la segunda desigualdad
se obtiene usando la desigualdad (2.6), la tercera igualdad se tiene ya que ak no depende de
j, la cuarta igualdad se tiene de la definicion de norma ‖ · ‖p, y la tercera desigualdad se tiene
ya que cada norma es menor a la maxima norma y que∑k∈V|ak|p ≤ 1.
Observacion 3.4.1. De la demostracion del resultado anterior, se observa que este resultado
no es valido para p > 1, pues para estos valores de p no es posible el paso de este exponente
a los sumandos en la segunda desigualdad.
Como una aplicacion de el Lema 3.4.1, se halla ‖MG‖1 para seis grafos con 4 vertices, se notan
los vertices de la siguiente manera j, para que no hayan confusiones al hacer las cuentas nece-
sarias; las bolas que se usan en los calculos tienen centro j ∈ 1, 2, 3, 4, y radio k ∈ 0, 1, 2, 3(ya que estos de manera general se encuentran entre 0, · · · , n− 1, y aquı n = 4):
Grafo L4 . Especıficamente, sin perdida de generalidad, para mantener un orden, se tomaran
los vertices 1, 4 de grado 1 y los vertices 2, 3 de grado 2; por lo que el grafo es el siguiente:
Figura 3.3: Grafo L4
Para el vertice 1, se tiene que
• B(1, 0) = 1, B(1, 1) = 1, 2, B(1, 2) = 1, 2, 3, y B(1, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(1, 0)| = 1, |B(1, 1)| = 2, |B(1, 2)| = 3 y |B(1, 3)| = 4.
De aquı que
ML4δk(1) =
1, k = 1,
12 , k = 2,
13 , k = 3,
14 , k = 4.
Las respectivas bolas con centro 2, son:
42 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
• B(2, 0) = 2, B(2, 1) = 1, 2, 3, B(2, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(2, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(2, 0)| = 1, |B(2, 1)| = 3, |B(2, 2)| = 4 y |B(2, 3)| = 4.
De aquı que
ML4δk(2) =
13 , k = 1,
1, k = 2,
13 , k = 3,
14 , k = 4.
Para el vertice 3:
• B(3, 0) = 3, B(3, 1) = 2, 3, 4, B(3, 2) = 1, 2, ˜3, 4, y B(3, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(3, 0)| = 1, |B(3, 1)| = 3, |B(3, 2)| = 4 y |B(3, 3)| = 4.
De aquı que
ML4δk(3) =
14 , k = 1,
13 , k = 2,
1, k = 3,
13 , k = 4.
Y para el vertice 4:
• B(4, 0) = 4, B(4, 1) = 3, 4, B(4, 2) = 2, 3, 4, y B(4, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(4, 0)| = 1, |B(4, 1)| = 2, |B(4, 2)| = 3 y |B(4, 3)| = 4.
De aquı que
ML4δk(4) =
14 , k = 1,
13 , k = 2,
1, k = 3,
13 , k = 4.
Por lo que:
• ‖ML4δ1‖1 = 1 + 13 + 2
4 = 116 ; ‖ML4δ2‖1 = 1
2 + 1 + 23 = 13
6 ; ‖ML4δ3‖1 = 13 + 1 + 1
2 = 136
y ‖ML4δ4‖1 = 24 + 1
3 + 1 = 116 .
Entonces
‖ML4‖1 = max
11
6,13
6
=
13
6.
3.4. NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE `P (V ) 43
Grafo C4. Todos los vertices 1, 2, 3, 4 son de grado 2. El grafo que se menciona es el siguiente
Figura 3.4: Grafo C4
Para el vertice 1, se tiene que
• B(1, 0) = 1, B(1, 1) = 1, 2, 4, B(1, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(1, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(1, 0)| = 1, |B(1, 1)| = 3, |B(1, 2)| = 4 y |B(1, 3)| = 4.
De aquı que
MC4δk(1) =
1, k = 1,
13 , k = 2,
14 , k = 3,
13 , k = 4.
Las respectivas bolas con centro 2, son:
• B(2, 0) = 2, B(2, 1) = 1, 2, 3, B(2, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(2, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(2, 0)| = 1, |B(2, 1)| = 3, |B(2, 2)| = 4 y |B(2, 3)| = 4.
De aquı que
MC4δk(2) =
13 , k = 1,
1, k = 2,
13 , k = 3,
14 , k = 4.
Para el vertice 3:
• B(3, 0) = 3, B(3, 1) = 2, 3, 4, B(3, 2) = 1, 2, ˜3, 4, y B(3, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(3, 0)| = 1, |B(3, 1)| = 3, |B(3, 2)| = 4 y |B(3, 3)| = 4.
44 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
De aquı que
MC4δk(3) =
14 , k = 1,
13 , k = 2,
1, k = 3,
13 , k = 4.
Y para el vertice 4:
• B(4, 0) = 4, B(4, 1) = 1, 3, 4, B(4, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(4, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(4, 0)| = 1, |B(4, 1)| = 3, |B(4, 2)| = 4 y |B(4, 3)| = 4.
De aquı que
MC4δk(4) =
13 , k = 1,
14 , k = 2,
13 , k = 3,
1, k = 4.
Por lo que:
• ‖MC4δ1‖1 = 1+ 23 + 1
4 = 2312 ; ‖MC4δ2‖1 = 1
2 +1+ 23 = 13
6 ; ‖MC4δ3‖1 = 14 +1+ 2
3 = 2312 ;
‖MC4δ4‖1 = 23 + 1
4 + 1 = 2312 .
Entonces
‖MC4‖ = max
23
12
=
23
12.
Observe que en los calculos anteriores se ha establecido que
MC4δk(j) =
1, j = k
13 , j = k − 1, k + 1(k mod 4)
14 , j = k + 2(k mod 4)
Grafo S4. Mas claramente, los vertices 2, 3, 4 son de grado 1 y el vertice 1 de grado 3 ;
por lo que el grafo es el siguiente:
3.4. NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE `P (V ) 45
Figura 3.5: Grafo S4
Para el vertice 1, se veran cuales son las respectivas bolas con centro 1.
• B(1, 0) = 1, B(1, 1) = 1, 2, 3, 4, B(1, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(1, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(1, 0)| = 1, |B(1, 1)| = 4, |B(1, 2)| = 4 y |B(1, 3)| = 4.
De aquı que
MS4δk(1) =
1, k = 1,
14 , k = 2,
14 , k = 3,
14 , k = 4.
Las respectivas bolas con centro 2, son:
• B(2, 0) = 2, B(2, 1) = 1, 2, B(2, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(2, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(2, 0)| = 1, |B(2, 1)| = 2, |B(2, 2)| = 4 y |B(2, 3)| = 4.
De aquı que
MS4δk(2) =
12 , k = 1,
1, k = 2,
14 , k = 3,
14 , k = 4.
Para el vertice 3:
• B(3, 0) = 3, B(3, 1) = 1, 3, B(3, 2) = 1, 2, ˜3, 4, y B(3, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(3, 0)| = 1, |B(3, 1)| = 2, |B(3, 2)| = 4 y |B(3, 3)| = 4.
46 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
De aquı que
MS4δk(3) =
12 , k = 1,
14 , k = 2,
1, k = 3,
14 , k = 4.
Y para el vertice 4:
• B(4, 0) = 4, B(4, 1) = 1, 4, B(4, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(4, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(4, 0)| = 1, |B(4, 1)| = 2, |B(4, 2)| = 4 y |B(4, 3)| = 4.
De aquı que
MS4δk(2) =
12 , k = 1,
14 , k = 2,
14 , k = 3,
1, k = 4.
Por lo que:
• ‖MS4δ1‖1 = 1 + 32 = 5
2 ; ‖MS4δ2‖1 = 34 + 1 = 7
4 ; ‖MS4δ3‖1 = 34 + 1 = 7
4 ; ‖MS4δ4‖1 =34 + 1 = 7
4 .
Entonces
‖MS4‖1 = max
5
2,7
4
=
5
2.
Grafo K4. Todos los vertices 1, 2, 3, 4 son de grado 3; por lo que el grafo es el siguiente
Figura 3.6: Grafo K4
Para el vertice 1, se veran cuales son las respectivas bolas con centro 1.
3.4. NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE `P (V ) 47
• B(1, 0) = 1, B(1, 1) = 1, 2, 3, 4, B(1, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(1, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(1, 0)| = 1, |B(1, 1)| = 4, |B(1, 2)| = 4 y |B(1, 3)| = 4.
De aquı que
MK4δk(1) =
1, k = 1,
14 , k = 2,
14 , k = 3,
14 , k = 4.
Las respectivas bolas con centro 2, son:
• B(2, 0) = 2, B(2, 1) = 1, 2, 3, 4, B(2, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(2, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(2, 0)| = 1, |B(2, 1)| = 4, |B(2, 2)| = 4 y |B(2, 3)| = 4.
De aquı que
MK4δk(2) =
14 , k = 1,
1, k = 2,
14 , k = 3,
14 , k = 4.
Para el vertice 3:
• B(3, 0) = 3, B(3, 1) = 1, 2, 3, 4, B(3, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(3, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(3, 0)| = 1, |B(3, 1)| = 4, |B(3, 2)| = 4 y |B(3, 3)| = 4.
De aquı que
MK4δk(3) =
14 , k = 1,
1, k = 2,
14 , k = 3,
14 , k = 4.
Y para el vertice 4:
• B(4, 0) = 4, B(4, 1) = 1, 2, 3, 4, B(4, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(4, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(4, 0)| = 1, |B(4, 1)| = 4, |B(4, 2)| = 4 y |B(4, 3)| = 4.
48 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
De aquı que
MK4δk(4) =
14 , k = 1,
14 , k = 2,
14 , k = 3,
1, k = 4.
Por lo que:
• ‖MK4δ1‖1 = 1 + 34 = 7
4 ; ‖MK4δ2‖1 = 34 + 1 = 7
4 ; ‖MK4δ3‖1 = 34 + 1 = 7
4 ; ‖MK4δ4‖1 =34 + 1 = 7
4 .
Entonces
‖MK4‖1 = max
7
4
=
7
4.
Grafo D4. Especıficamente los vertices 2, 4 son de grado 3 y los vertices 1, 3 de grado 2;
por lo que el grafo es el siguiente
Figura 3.7: Grafo D4
Para el vertice 1, se veran cuales son las respectivas bolas con centro 1.
• B(1, 0) = 1, B(1, 1) = 1, 2, 4, B(1, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(1, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(1, 0)| = 1, |B(1, 1)| = 3, |B(1, 2)| = 4 y |B(1, 3)| = 4.
De aquı que
MD4δk(1) =
1, k = 1,
13 , k = 2,
14 , k = 3,
13 , k = 4.
Las respectivas bolas con centro 2, son:
3.4. NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE `P (V ) 49
• B(2, 0) = 2, B(2, 1) = 1, 2, 3, 4, B(2, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(2, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(2, 0)| = 1, |B(2, 1)| = 4, |B(2, 2)| = 4 y |B(2, 3)| = 4.
De aquı que
MD4δk(2) =
14 , k = 1,
1, k = 2,
14 , k = 3,
14 , k = 4.
Para el vertice 3:
• B(3, 0) = 3, B(3, 1) = 2, 3, 4, B(3, 2) = 1, 2, ˜3, 4, y B(3, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(3, 0)| = 1, |B(3, 1)| = 3, |B(3, 2)| = 4 y |B(3, 3)| = 4.
De aquı que
MD4δk(3) =
14 , k = 1,
13 , k = 2,
1, k = 3,
13 , k = 4.
Y para el vertice 4:
• B(4, 0) = 4, B(4, 1) = 1, 2, 3, 4, B(4, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(4, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(4, 0)| = 1, |B(4, 1)| = 4, |B(4, 2)| = 4 y |B(4, 3)| = 4.
De aquı que
MD4δk(4) =
14 , k = 1,
14 , k = 2,
14 , k = 3,
1, k = 4.
Por lo que:
• ‖MD4δ1‖1 = 1 + 34 = 7
4 ; ‖MD4δ2‖1 = 23 + 1 + 1
4 = 2312 ; ‖MD4δ3‖1 = 3
4 + 1 = 74 ;
‖MD4δ4‖1 = 23 + 1 + 1
4 = 2312 .
Entonces
‖MD4‖1 = max
23
12,7
4
=
23
12.
50 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
Grafo P4. Especıficamente el vertice 1 de grado 1,el vertice 2 de grado 3 y los vertices
3, 4 de grado 2 ; por lo que el grafo es el siguiente
Figura 3.8: Grafo P4
Para el vertice 1, se veran cuales son las respectivas bolas con centro 1.
• B(1, 0) = 1, B(1, 1) = 1, 2, B(1, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(1, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(1, 0)| = 1, |B(1, 1)| = 2, |B(1, 2)| = 4 y |B(1, 3)| = 4.
De aquı que
MP4δk(1) =
1, k = 1,
12 , k = 2,
14 , k = 3,
14 , k = 4.
Las respectivas bolas con centro 2, son:
• B(2, 0) = 2, B(2, 1) = 1, 2, 3, 4, B(2, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(2, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(2, 0)| = 1, |B(2, 1)| = 4, |B(2, 2)| = 4 y |B(2, 3)| = 4.
De aquı que
MP4δk(2) =
14 , k = 1,
1, k = 2,
14 , k = 3,
14 , k = 4.
Para el vertice 3:
• B(3, 0) = 3, B(3, 1) = 2, 3, 4, B(3, 2) = 1, 2, ˜3, 4, y B(3, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(3, 0)| = 1, |B(3, 1)| = 3, |B(3, 2)| = 4 y |B(3, 3)| = 4.
3.4. NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE `P (V ) 51
De aquı que
MP4δk(3) =
14 , k = 1,
13 , k = 2,
1, k = 3,
13 , k = 4.
Y para el vertice 4:
• B(4, 0) = 4, B(4, 1) = 2, 3, 4, B(4, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(4, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(4, 0)| = 1, |B(4, 1)| = 3, |B(4, 2)| = 4 y |B(4, 3)| = 4.
De aquı que
MP4δk(1) =
14 , k = 1,
13 , k = 2,
13 , k = 3,
1, k = 4.
Por lo que:
• ‖MP4δ1‖1 = 1 + 34 = 7
4 ; ‖MP4δ2‖1 = 12 + 1 + 2
3 = 136 ; ‖MP4δ3‖1 = 1
2 + 1 + 13 = 11
6 ;
‖MP4δ4‖1 = 12 + 1
3 + 1 = 116
Entonces
‖MP4‖1 = max
7
4,13
6,11
6
=
13
6.
Observacion 3.4.2. Se finaliza esta seccion con un par de comentarios. En primer lugar,
gracias al ejemplo anterior, se puede dar una relacion de orden entre los grafos y, a su vez
tambien se puede dar una relacion de orden entre las normas correspondientes de sus opera-
dores maximales.
P4// D4
C4oo
S4
OO
K4 L4
OO
Las flechas en el diagrama significan estar contenido propiamente en el otro grafo, lo que
quiere decir que es un subgrafo propio, ası pues P4 es un subgrafo propio de D4, y lo mismo
52 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
con los otros grafos. En el diagrama se ve que todos los grafos estan contenidos en K4.
‖MP4‖1
‖MD4‖1oo // ‖MC4‖1
oo
‖MS4‖1 ‖MK4‖1
OO
‖ML4‖1
Las flechas en el diagrama significan ser menor que entre las normas, ası pues ‖MP4‖1 es menor
que ‖MS4‖1, y la flecha doble significa igualdad. En el diagrama se puede ver que ‖MK4‖1 es
la menor norma.
En particular se logra ver, que se pueden tener grafos no isomorfos con normas iguales, como se
ve en el ejemplo ‖MC4‖1 = ‖MD4‖1 y ‖ML4‖1 = ‖MP4‖1. El diagrama anterior, sin embargo
lleva a tener las siguientes dudas: Dados dos grafos G1 ⊆ G2 con n vertices, ¿es siempre
verdad que ‖MG2‖p ≤ ‖MG1‖p? Hay que tener claro que G1 ⊆ G2 no implica, en general la
desigualdad puntual MG2f ≤MG1f .
3.5 Estimaciones y cotas del operador maximal de Hardy-
Littlewood
Ahora se establecen algunos estimados para ‖MKn‖p. En la siguiente seccion se ve que, para
0 < p ≤ 1, hay algunas acotaciones determinadas para la norma de MKn , y gracias a esto se
encuentran algunas acotaciones para la norma del operador maximal sobre otros grafos.
Se usa la siguiente notacion A . B, siempre que exista un C > 0 (independiente de los
parametros involucrados, como la dimension n ∈ N o 0 < p ≤ ∞) tal que A ≤ CB. De
manera similar para A & B. Como es usual, A ≈ B significa que A . B y A & B.
Proposicion 3.5.1. Para el grafo Kn se tienen las siguientes estimaciones:
(i) Si 0 < p ≤ 1, entonces
‖MKn‖p = 1 +n− 1
np.
(ii) Si 1 < p <∞, entonces(1 +
n− 1
np
)1/p
≤ ‖MKn‖p ≤(
1 +n− 1
n
)1/p
. (3.15)
En particular, ‖MKn‖p ≈ 1. De hecho, se tiene que
1 ≤ ‖MKn‖p ≤ 2
3.5. ESTIMACIONES Y COTAS DEL OPERADOR MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD53
Demostracion. (i) En efecto, por el Lema 3.4.1, se tiene que
‖MKn‖p = maxk∈V
‖MKn δk‖p
;
pero de (3.8), se sabe que para cualquier j ∈ V se cumple
MKnδk(j) = max
δk(j),
1
n
∑l∈V
δk(l)
= max
δk(j),
1
n
=
1, j = k,
1n , j 6= k.
De aquı que para cualquier k ∈ V se cumple
‖MKn δk‖p =∑j∈V|MKnδk(j)|
p
=n∑j=1
(max
δk(j),
1
n
)p= max
δk(1),
1
n
p+ max
δk(2),
1
n
p+ · · ·+ max
δk(k),
1
n
p+ · · ·+ max
δk(n),
1
n
p=
1
np+ · · ·+ 1
np+ · · ·+ 1p + · · ·+ 1
np+ · · ·+ 1
np
=n− 1
np+ 1.
Ası,
1 +n− 1
np= ‖MKn‖p.
Lo que muestra el resultado en el item (i).
(ii) Se considera el caso 1 < p <∞. Se tiene que
‖MKn‖p = sup‖MKnf‖p : ‖f‖p = 1
.
Cada f ∈ `p(V ), se puede escribir en la forma f =∑
k∈V fkδk, siendo fk numeros reales. Por
esta razon, ‖f‖pp =∑
k∈V |fk|p y
‖MKn‖p = sup
(∑k∈V|MKnf(k)|p
)1/p
:∑k∈V|fk|p = 1
= sup
(∑k∈V
max
|fk|,
1
n
∑j∈V|fj |p)1/p
:∑k∈V|fk|p = 1
.
Ahora bien, para p > 1, la funcion ϕ(t) = tp con t ≥ 0 es creciente y convexa. Por esta razon,
se tiene que
max
|fk|,
1
n
∑j∈V|fj |p
= max
|fk|p ,
(1
n
∑j∈V|fj |)p
≤ max
|fk|p ,
1
n
∑j∈V|fj |p
,
54 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
donde la ultima relacion se debe a la desigualdad de Jensen (vease (1.3)). Luego, se puede
escribir,
‖MKn‖p ≤ sup
(∑k∈V
max
|fk|p ,
1
n
∑j∈V|fj |p
)1/p
:∑k∈V|fk|p = 1
= sup
(∑k∈V
max
|fk|p ,
1
n
)1/p
:∑k∈V|fk|p = 1
;
lo cual es equivalente a la expresion
‖MKn‖p ≤ sup
( n∑i=1
max
xpi ,
1
n
)1/p
: xi ≥ 0,
n∑i=1
xpi = 1
.
Ahora, si xpi ≤ 1/n, para todo 1 ≤ i ≤ n, se llega a
‖MKn‖p ≤ sup
( n∑i=1
1
n
)1/p
: xi ≥ 0,
n∑i=1
xpi = 1
= 1.
Por otro lado, si xpi0 > 1/n, para algun ındice i0 ∈ 1, · · · , n, entonces
‖MKn‖p ≤ sup
( ∑xpi>1/n
xpi +∑
xpi≤1/n
1
n
)1/p
: xi ≥ 0,n∑i=1
xpi = 1
≤(
1 +n− 1
n
)1/p
.
(3.16)
La ultima desigualdad se tiene ya que∑
xpi>1/n
xpi ≤ 1 y∑
xpi≤1/n
1n ≤
n−1n , en el caso en el que
solo se tiene un i0 se cumple la igualdad, si hay mas se tiene la desigualdad estricta. Esto
establece la cota superior en (ii).
Para establecer la cota inferior en (ii), se usa el hecho que para cualquier k ∈ V se tiene que
‖δk‖p = 1 y por esta razon,
‖MKn‖p ≥ ‖MKnδk‖p =
(∑j∈V|MKnδk(j)|
p
)1/p
=
(n− 1
np+ 1
)1/p
,
donde los ultimos calculos son los mismos que se realizan en el caso 0 < p < 1. Esto demuestra
el resultado.
Observacion 3.5.1. Es pertinente un comentario sobre la segunda parte del teorema anterior.
En general, el calculo de la norma del operador maximal de Hardy-Littlewood es una tarea
muy difıcil de realizar, incluso para el caso del grafo completo Kn. De la Proposicion 3.5.1,
3.5. ESTIMACIONES Y COTAS DEL OPERADOR MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD55
se sabe que 1 ≤ ‖MKn‖p ≤ 2, para todo n ∈ N y todo p > 1. Todavıa mas, las cotas que se
obtuvieron en (3.15) no son optimos en general. Para ilustrar esto, se va a considerar el caso
n = 2 y el grafo K2. Entonces, de la Proposicion 3.5.1, solo se puede decir que(1
2p+ 1
)1/p
≤ ‖MK2‖p ≤(
3
2
)1/p
.
Ahora, en este caso, el conjunto de vertices es V = 1, 2 y para toda funcion no nula
f : 1, 2 → R, se tiene que
MK2f(j) = max
|f(j)|, 1
2
(|f(1)|+ |f(2)|
),
donde j ∈ V . Luego, si se definen
α = mın
|f(1)|, |f(2)|
,
β = max
|f(1)|, |f(2)|
,
se tiene que ‖f‖pp = αp + βp y ‖MK2f‖pp = 1
2p (α+ β)p + βp pues p > 1 y de aquı que
‖MK2f‖pp
‖f‖pp=
(α+ β)p + 2pβp
2p (αp + βp)=
(αβ + 1
)p+ 2p
2p((
αβ
)p+ 1) . (3.17)
Luego, haciendo t = αβ ∈ [0, 1], se concluye que
‖MK2‖pp = sup
0≤t≤1
(t+ 1)p + 2p
2p (1 + tp).
y hallar ‖MK2‖pp, se reduce a hallar el maximo de la funcion
ϕp(t) =(t+ 1)p + 2p
1 + tp
con t ∈ [0, 1]. Su derivada es:
ϕ′p(t) =p(1 + t)p−1(1 + tp)− ((1 + t)p + 2p)(ptp−1)
(1 + tp)2
=p(1 + t)p−1(1 + tp)− (1 + t)pptp−1 − 2pptp−1
(1 + tp)2
=(p+ ptp − ptp−1 − ptp)(1 + t)p−1–p2ptp−1
(1 + tp)2
=(p− ptp−1)(1 + t)p−1–p2ptp−1
(1 + tp)2,
56 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
igualando a cero el resultado anterior se llega a la siguiente ecuacion
(p− ptp−1)(1 + t)p−1–p2ptp−1 = 0
(p− ptp−1)(1 + t)p−1 = p2ptp−1
(1 + t)p−1 =p2ptp−1
(p− ptp−1)
(1 + t)p−1 =2ptp−1
(1− tp−1), (3.18)
Ası pues la raız de ϕp es la constante t que cumple la ecuacion (3.18), pero tambien depende
del p, por esto se nota como tp. Para 1 < p < ∞, este supremo se alcanza en la unica raız
tp ∈ (0, 1) de la ecuacion (3.18) como se ve arriba. Si p = 2 entonces (3.18) es igual a
(1 + t)2 =22t
1− t
(1 + t)2(1− t) = 4t
(1 + 2t+ t2)(1− t)− 4t = 0
1 + 2t+ t2 − t− 2t2 − t3 − 4t = 0
t(3 + t+ t2)–1 = 0
En particular, si p = 2, entonces t2 =√
5 − 2 y ‖MK2‖2 = (3 +√
5)1/2/2. Sin embargo, de
(3.15) solo se obtiene que√
5/2 < ‖MK2‖2 < (3/2))1/2.
Se observa que la cota inferior de la estimacion en el item (ii) se obtiene evaluando el operador
maximal en las funciones δk que en particular, son funciones caracterısticas. Esto motiva a
considerar la norma del operador de Hardy-Littlewood cuando se restringe el conjunto de las
funciones a la clase de las funciones caracterısticas de subconjuntos de V ; mas precisamente,
para el grafo completo Kn, se define la cantidad
‖MKn‖p,rest = max
‖MKnχA‖p‖χA‖p
: A ⊂ V,
la cual se llama la norma-p restringida. Claramente, se puede ver que ‖MKn‖p,rest ≤ ‖MKn‖p.El siguiente resultado muestra que, para algunos valores particulares de n ≥ 2 y p > 1, se
puede obtener un mejor resultado que el obtenido en la Proposicion 3.5.1. Se debe recordar
que p′ denota el conjugado de p, definido como en el Capıtulo 1, y [x] es la parte entera del
numero real x.
Proposicion 3.5.2. Sean n ≥ 2 y p > 1.
3.5. ESTIMACIONES Y COTAS DEL OPERADOR MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD57
(i) Si n ≤ p′, entonces
‖MKn‖p,rest =
(1 +
n− 1
np
)1/p
.
(ii) Si n ≤ p, entonces
‖MKn‖p,rest =
(1 +
(n− 1)p−1
np
)1/p
.
(iii) Si n > maxp, p′, p ∈ Q con p = p1/p2 y p1 divide a n, entonces
‖MKn‖p,rest =
(1 +
(p− 1)p−1
pp
)1/p
.
(iv) Si n > maxp, p′, pero p no es de la forma anterior, y [n]p = [n/p′], con [n/p′] la parte
entera de n/p′, entonces
‖MKn‖p,rest =
(1 +
1
npmax
(n− [n]p
)[n]p−1p ,
(n− 1− [n]p
)([n]p + 1
)p−1)1/p
.
En particular, si n > p′ se tiene que
‖MKn‖p ≥ ‖MKn‖p,rest >(
1 +(n− 1)
np
)1/p
.
Demostracion. Por la Proposicion 3.1.4, para A ⊂ V , con |A| = k < n, se tiene que
MKnχA(j) = max
|χA(j)|, 1
n
∑k∈V|χA(k)|
.
Con lo cual
MKnχA(j) =
1, j ∈ A,
k/n, j /∈ A.
Luego, si se supone, sin perdida de generalidad, que A = 1, · · · , k, entonces se tiene que
n∑j=1
MKnχA(j)p = maxχA(1),
k
n
p+ max
χA(2),
k
n
p+
· · ·+ maxχA(j),
k
n
p+ · · ·+ max
χA(n),
k
n
p= 1p
∑j∈A
1 +(kn
)p∑j /∈A
1
= 1pk + (n− k)(kn
)p=
(n− k)kp
np+ k,
58 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
Ası que en este caso, se obtiene
‖MKnχA‖p =
( n∑j=1
MKnχA(j)p)1/p
=
(k + (n− k)
kp
np
)1/p
.
Ahora se ve que ‖χA‖p = k1/p. En efecto, como p > 1, se puede escribir
‖χA‖p =
( n∑j=1
(χA(j))p)1/p
=
( k∑j=1
(χA(j))p +
n∑j=k+1
(χA(j))p)1/p
=
(1p + · · ·+ 1p + 0p + · · · 0p
)1/p
= k1/p.
De aquı se obtiene que
‖MKn‖p‖χA‖p
=1
k1/p
(knp + (n− k)kp
np
)1/p=(knp + (n− k)kp
npk
)1/p=(
1 +(n− k)kp−1
np
)1/p.
y por esta razon
max
‖MKn‖p‖χA‖p
: A ⊂ V
= max1≤k≤n−1
(1 +
(n− k)kp−1
np
)1/p=(
max1≤k≤n−1
1 +
(n− k)kp−1
np
)1/p=(
1 + max1≤k≤n−1
(n− k)kp−1
np
)1/p=(
1 +1
npmax
1≤k≤n−1(n− k)kp−1
)1/p;
Se toma k hasta n− 1 porque A ⊂ V y ası k < n. Esto es,
‖MKn‖p,rest =
(1 +
1
npmax
1≤k≤n−1(n− k)kp−1
)1/p
. (3.19)
Para calcular el maximo en (3.19), se considera la funcion ϕ(x) = (n−x)xp−1, para x > 0. Se
realiza de un analisis de la funcion para ver puntos crıticos y demas; ası se ve que x = n/p′ es
un punto crıtico de ϕ; esto es como ya se muestra que, ϕ′(n/p′) = 0. En efecto, se tiene que
ϕ′(x) = n(p− 1)xp−2 − pxp−1
= npxp−2 − nxp−2 − pxp−1
= xp−2 (n(p− 1)− px) .
(3.20)
3.5. ESTIMACIONES Y COTAS DEL OPERADOR MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD59
Luego, como x > 0, ϕ′(x) = 0 si y solo si x = n(p− 1)/p = n/p′. Adicionalmente, se tiene que
ϕ′(x) > 0 si x < n/p′; ası que ϕ crece en el intervalo (0, n/p′). Tambien ϕ′(x) < 0 si x > n/p′
y ϕ decrece en el intervalo (n/p′,∞). Por tanto, ϕ alcanza su valor maximo en xmax = n/p′.
(i) Ahora bien, si n ≤ p′, entonces xmax ≤ 1 y en este caso, ϕ es una funcion monotona
decreciente en [1, n− 1]. De aquı que
max1≤x≤n−1
ϕ(x) = ϕ(1) = n− 1
y por tanto, reemplazando en (3.19) se obtiene
‖MKn‖p,rest =
(1 +
1
np(n− 1)
)1/p
=
(1 +
n− 1
np
)1/p
.
(ii) Si n ≤ p, entonces p′ = pp−1 por lo que n–n/p = n/p′, y tambien que n/p ≤ 1, de
donde −1 ≤ –n/p , sumando a ambos lados n se tiene que n–1 ≤ n–n/p por lo tanto
n–1 ≤ n/p′, ası xmax = n/p′ ≥ n−1 y la funcion ϕ es monotona creciente en el intervalo
[1, n− 1]; ası que en este caso,
max1≤x≤n−1
ϕ(x) = ϕ(n− 1) = (n− 1)p ,
de donde se obtiene que
‖MKn‖p,rest =
(1 +
1
np(n− 1)p−1
)1/p
=
(1 +
(n− 1)p−1
np
)1/p
.
(iii) Si n > maxp, p′, p ∈ Q, con p = p1/p2 y p1 divide a n, entonces el punto crıtico
xmax = n/p′ es un entero entre 1 y n− 1, por lo que el maximo en (3.19) se alcanza en
ese punto. En este caso, se tiene
max1≤x≤n−1
ϕ(x) = ϕ
(n
p′
)=
(n− n
p′
)(n
p′
)p−1= n
(1− 1
p′
)np−1
p′p−1
= np1
p
1
p′p−1
=np
p
(p− 1)p−1
pp−1
=np
pp(p− 1)p−1.
60 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
Por esto, se obtiene
‖MKn‖p,rest =
(1 +
1
npnp
pp(p− 1)p−1
)1/p
=
(1 +
(p− 1)p−1
pp
)1/p
.
(iv) Si n > maxp, p′, pero p no es de la forma anterior, entonces el punto crıtico xmax =
n/p′ ∈ [1, n − 1], pero no es un entero, por lo que el maximo en (3.19) se alcanza en
[n]p = [n/p′] o bien en [n]p + 1. En este caso,
ϕ ([n]p) = (n− [n]p) [n]p−1p ,
y
ϕ ([n]p + 1) = (n− [n]p − 1) ([n]p + 1)p−1 .
Reemplazando en (3.19)
‖MKn‖pp,rest = 1 +
1
npmax
(n− [n]p
)[n]p−1p ,
(n− 1− [n]p
)([n]p + 1
)p−1,
lo cual corresponde a la evaluacion del entero mas cercano. De lo anterior se tiene que
si n > p′, entonces
‖MKn‖p,rest > (1 +n− 1
np)1/p
por que
max
(n− [n]p
)[n]p−1p ,
(n− 1− [n]p
)([n]p + 1
)p−1> n− 1.
Ya que, si p′ < n ≤ p, entonces p > 2, lo cual es equivalente a la desigualdad(1 +
(n− 1)p−1
np
)1/p
>
(1 +
(n− 1)
np
)1/p
;
esto se tiene ya que (n− 1)p−1 > (n− 1) con p > 1. Esto demuestra el resultado.
3.6 Constantes optimas para la norma del operador maximal
sobre grafos
En esta seccion se muestran los resultados importantes de esta investigacion los cuales son
partes del artıculo de Soria y Tradacete [13]. En primer lugar, para 0 < p ≤ 1, se establecen
cotas optimas para ‖MG‖p, la norma de MG, para G un grafo simple, conexo con n vertices. Se
3.6. CONSTANTES OPTIMAS PARA LA NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS61
veran que estas cotas caracterizan los grafos donde se obtienen estos valores. Como aplicacion
de lo anterior, se demuestra que la norma-1 de la clase del grafo lineal Ln coincide con la
norma de la clase del grafo estrella Sn. El capıtulo culmina con una estimacion de la norma-p
de MSn para 1 < p <∞.
Se enuncia y demuestra el resultado principal de esta seccion.
Teorema 3.6.1. Para todo grafo simple y conexo G con n vertices y 0 < p ≤ 1 se tiene que
1 +n− 1
np≤ ‖MG‖p ≤ 1 +
n− 1
2p.
Demostracion. Primero se establece la cota inferior. Por el Teorema 3.2.1 se tiene que
MKnf(j) ≤ MGf(j) para todo j ∈ V . Por lo tanto, la Proposicion 3.5.1 da la cota inferior
estimada
1 +n− 1
np= ‖MKn‖p ≤ ‖MG‖p.
Ahora se va a establecer la cota superior de ‖MG‖p. Se sabe del Lema 3.4.1 que
‖MG‖p = maxi∈V
‖MG δi‖p
.
Ademas, para cualquier i ∈ V se tiene que
‖MGδi‖p = MGδi(i)p +
∑k∈V \i
MGδi(k)p = 1 +∑
k∈V \i
(1
|Bk|∑j∈Bk
δi(j)
)p, (3.21)
donde Bk = BG(k, r) con r ≥ 1. Hay que notar que para k ∈ V \i necesariamente |Bk| ≥ 2,
ya que para que la funcion δi sea distinta de cero la bola debe contener al vertice i, y claramente
contiene al vertice k 6= i, por lo que la bola tiene como mınimo 2 vertices.
Por esto, se tiene que (1
|Bk|
)p≤(
1
|2|
)p,
1
|Bk|p≤ 1
|2|p.
Como δi(j) = 1 con j = i, pero si i 6= j, entonces δi(j) = 0 con j ∈ Bk, por lo que( ∑j∈Bk
δi(j)
)p≤ max
k∈V
( ∑j∈Bk
δi(j)
)p,
= max0p, 1p
= max0, 1 = 1.
62 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
Ahora reemplazando en (3.21) se tiene que∑k∈V \i
(1
|Bk|∑j∈Bk
δi(j)
)p≤ max
k∈V
∑k∈V \i
(1
|Bk|∑j∈Bk
δi(j)
)p=
1
2p
∑k∈V \i
1
=1
2p(n− 1)
=(n− 1)
2p.
Ası, se llega a que
‖MGδi‖p ≤ 1 +n− 1
2p.
Ya que esto se tiene para cada i ∈ V , por el Lema 3.4.1 se obtiene el estimado de la cota
supeior
‖MG‖p ≤ 1 +n− 1
2p.
Esto culmina la demostracion.
En la demostracion de la cota inferior del resultado anterior, se pudo ver que cuando el grafo G
es el grafo completo Kn, se obtiene la igualdad. En este sentido, esa cota se considera optima.
Adicionalmente, esa cota inferior caracteriza al grafo completo Kn tal como se muestra en el
siguiente resultado.
Teorema 3.6.2. Sea 0 < p ≤ 1. Se tiene que G = Kn si y solo si
‖MG‖p = 1 +n− 1
np.
Demostracion. Por la Poposicion 3.5.1, se tiene que
‖MKn‖p = 1 +n− 1
np.
Se va a demostrar que si G es cualquier grafo simple y conexo con n vertices, distinto de Kn,
entonces G debe necesariamente satisfacer
‖MG‖p > ‖MKn‖p = 1 +n− 1
np.
Para ver esto se supone que G 6= Kn. Entonces, como el grafo G es conexo, existen vertices
i, j ∈ V tales que i 6= j y dG(i, j) > 1 ya que en Kn se cumple dKn(n,m) = 1 para todo
n,m ∈ V . Se consideran los conjuntos
A = B(i, 1) = k ∈ V : dG(i, k) ≤ 1 y B = B(j, 1) = k ∈ V : dG(j, k) ≤ 1.
3.6. CONSTANTES OPTIMAS PARA LA NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS63
Se observa que A = NG(i) ∪ i y B = NG(j) ∪ j. Como el grafo G es conexo entonces
tanto el vertice i como el vertice j tienen algun vertice vecino en G, por esto las respectivas
bolas anteriormente mencionadas como mınimo tienen dos elementos, ası pues se puede decir
que |A|, |B| ≥ 2. Se van a analizar dos casos:
(a) mın|A|, |B| ≤ n/2.
(b) mın|A|, |B| > n/2.
En el caso (a), se debe suponer sin perdida de generalidad que |A| ≤ n/2. Se escoge cualquier
k ∈ A tal que k 6= i (es decir, dG(i, k) = 1) y definir δk como ya se definio en el Capıtulo 1 en
(1.1). Entonces, ya que MGδk(l) ≥ 1/n, para todo l ∈ V ,
‖MGδk‖p =
n∑l=1
MGδk(l)p
= MGδk(k)p +MGδk(i)p +
∑l 6=i,k
MGδk(l)p
≥ 1 +
(1
|A|∑m∈A
δk(m)
)p+n− 2
np.
Usando la hipotesis (k ∈ A y |A| ≤ n/2), ahora se obtiene
‖MG‖p ≥ ‖MGδk‖p ≥ 1 +
(2
n
)p+n− 2
np> 1 +
n− 1
np.
Esto termina la prueba en el caso (a).
Ahora se considera el caso (b), en el cual ambos A y B tiene cardinalidad estrictamente mayor
que n/2. En particular, se tiene que A ∩ B 6= ∅. Si se escoge un k ∈ A ∩ B y se considera la
funcion δk como arriba, entonces
‖MGδk‖p = MGδk(j)p +MGδk(k)p +
∑l 6=i,j,k
MGδk(l)p
(1
|A|∑m∈A
δk(m)
)p+
(1
|B|∑m∈B
δk(m)
)p+ 1 +
n− 3
np.
Por lo tanto, usando el hecho de que k ∈ A ∩B y |A|, |B| ≤ n− 1, se tiene que
‖MG‖p ≥ ‖MGδk‖ ≥2
(n− 1)p+ 1 +
n− 3
np> 1 +
n− 1
np.
Esto prueba la proposicion en el caso (b).
Ahora se analiza la cota superior de ‖MG‖p cuando 0 < p ≤ 1. Se va a demostrar que esta
cota tambien es optima y que se obtiene esta cota para un grafo G si y solo si es isomorfo al
grafo estrella Sn.
64 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
Teorema 3.6.3. Sea 0 < p ≤ 1. Se tiene que G ∼ Sn si y solo si
‖MG‖p = 1 +n− 1
2p.
Demostracion.
⇒) Primero se calcula ‖MSn‖p, pero para esto hay que conocer primero como es el operador
MSn , ya que se usa el Lema 3.4.1, se tiene que
‖MSn‖p = maxl∈V
‖MSnδl‖p
por esto se analiza el valor del operador MSnδl(j). δl cumple ciertas propiedades las cuales
van a ser de ayuda a la hora de encontrar los valores de MSnδl(j).
Sea k ∈ V el vertice de grado n − 1 en Sn, se tiene que, ‖δl‖p = 1 con cualquier p ∈ (0,∞).
Se afirma que
MSnδl(j) =
maxδl(j),
1n
, j = k,
maxδl(j),
δl(j)+δl(k)2 , 1n
, j 6= k.
(3.22)
En efecto, se tienen varios casos segun los valores de j y del radio r:
Caso 1 Si j = k y r ≥ 1, entonces el grado de j es n−1 ya que el grado del vertice k es n−1,
por esto |BSn(j, r)| = n con r ≥ 1.
Caso 2 Si j = k y r = 0, entonces como ya se dijo el grado de j es n − 1 pero el radio es
igual a 0, se concluye que |BSn(j, 0)| = 1.
De estos dos casos se tiene que si j = k, entonces
MSnδl(j) = max
1
|BSn(j, 0)|∑
w∈BSn (j,0)
|δl(w)|, 1
|BSn(j, 1)|∑
w∈BSn (j,1)
|δl(w)|
= max
1 · |δl(j)|,
1
n·∑w∈V|δl(w)|
= max
δl(j),
1
n
,
la segunda igualdad se tiene ya que BSn(j, 1) = V por que el grado de j es n − 1, la tercera
igualdad se obtiene porque f es positiva y ‖δl‖1 =∑
w∈V |δl(w)| = 1, porque∑
w∈V |δl(w)| =δl(l) = 1.
Ahora se toman en cuenta otros dos casos:
Caso 3 Si j 6= k y el radio de la bola es 0, se ve que |BSn(j, r)| = 1.
3.6. CONSTANTES OPTIMAS PARA LA NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS65
Caso 4 Si j 6= k se tiene que el grado de j es 1 (ya que todo esto es sobre el grafo estrella Sn),
luego |BSn(j, 1)| = 2 y si el radio se toma mayor a 1 lo que quiere decir que r 6= 1 y r 6= 0, se
llega a que |BSn(j, r)| = n.
Por lo que de estos dos casos se llega al siguiente resultado
MSnδl(j) = max
1
|BSn(j, 0)|∑
w∈BSn (j,0)
|δl(w)|,maxj∈V
1
|BSn(j, 1)|∑
w∈BSn (j,1)
|δl(w)|,
· · · , 1
|BSn(j, r)|∑
w∈BSn (j,r)
|δl(w)|
= max
1 · |δl(j)|,
1
2(δl(j) + δl(k)),
1
n
∑w∈V|δl(w)|
= max
|δl(j)|,
δl(j) + δl(k)
2,
1
n
.
Esto demuestra lo afirmado. Ahora se debe calcular ‖MSnδl‖p, el calculo se obtiene al analizar
el valor de l ∈ V :
MSnδl(j) =
maxδl(j),
1n
, j = k,
maxδl(j),
δl(j)+δl(k)2 , 1n
, j 6= k.
Caso 1 Para l = k se tiene que
‖MSnδl‖p = ‖MSnδk‖p
= |MSnδk(1)|p + |MSnδk(2)|p + · · ·+ |MSnδk(k)|p + · · ·+ |MSnδk(n)|p
= (n− 1)1
2p+ 1.
Caso 2.1 Para l 6= k y si todos los vertices son distintos de l se tiene que
‖MSnδl‖p = |MSnδl(1)|p + |MSnδl(2)|p + · · ·+ |MSnδl(k)|p + · · ·+ |MSnδl(n)|p
= (n− 1)1
3p+
1
2.
Caso 2.2 Para l 6= k pero con al menos un vertice igual a l
‖MSnδl‖p = |MSnδl(1)|p + |MSnδl(2)|p + · · ·+ |MSnδl(k)|p + · · ·+ |MSnδl(n)|p
= (n− 2)1
2p+ 2
1
2
= (n− 2)1
2p+ 1.
Ahora, con lo anterior y el Lema 3.4.1 se calcula la norma p del operador MSn ,
66 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
‖MSn‖p = max‖MSnδl‖p
= max
1
2+n− 1
3p, 1 +
n− 2
2p, 1 +
n− 1
2p
= 1 +
n− 1
2p.
por esto
‖MSn‖p = 1 +n− 1
2p. (3.23)
⇐) Ahora, se supone que G no es isomorfo a Sn, y por eso n ≥ 3. Entonces existen 2 vertices
diferentes i, j ∈ V cuyos grados satisfacen que dG(i), dG(j) > 1. Para encontrar la norma p
del operador en este caso se usa el Lema 3.4.1 el cual establece que ‖MG‖p = maxl∈V , se
considera el conjunto
A = k ∈ V : MGδl(k) = δl(k);
se puede ver que l ∈ A pues
MGδl(l) = maxk=0,··· ,n−1
1
|BG(l, k)|∑
v∈BG(l,k)
|δl(v)|
= max
k=0,··· ,n−1
1
|BG(l, k)|
=
1
|BG(l, 0)|
= 1 = δl(l).
Ahora para k /∈ A, se tiene en particular que k 6= l; por esta razon, δl(k) = 0 con lo cual
MGδl(k) 6= 0.
Por lo tanto, se tiene que
‖MGδl‖p =∑k∈A
MGδl(k)p +∑
k∈V \A
MGδl(k)p ≤∑k∈A
δl(k)p +∑
k∈V \A
1
(dG(k) + 1)p.
Ahora, si ambos i, j ∈ A, entonces |V \A| ≤ n− 2 y con esto
‖MGδl‖p ≤ 1 +n− 2
2p< 1 +
n− 1
2p.
En otro caso, si i /∈ A, entonces ya que A 6= ∅, se obtiene que
‖MGδl‖p ≤ 1 +1
(dG(i) + 1)p+n− 2
2p≤ 1 +
1
3p+n− 2
2p< 1 +
n− 1
2p.
3.6. CONSTANTES OPTIMAS PARA LA NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS67
Similarmente, lo mismo pasa si j /∈ A. Por lo tanto,
‖MG‖p ≤ max
1 +
n− 2
2p, 1 +
1
3p+n− 2
2p
< 1 +
n− 1
2p.
Lo cual es una contradiccion. Esto prueba el resultado.
Se ilustran los resultados anteriores con los siguientes ejemplos.
Ejemplo 3.6.1. Del Teorema 3.6.1, se puede ver con ayuda del Ejemplo 3.4, que para todo
grafo G simple, conexo y con 4 vertice se cumple que su norma ‖MG‖1 esta acotada de la
siguiente manera7
4≤ ‖MG‖1 ≤
5
2
Reescribiendo las fracciones de forma conveniente se ve que las acotaciones dadas son preci-
samente las que se muestran en el teorema para n = 4
1 +3
4≤ ‖MG‖1 ≤ 1 +
3
2
1 +4− 1
4≤ ‖MG‖1 ≤ 1 +
4− 1
2;
Ejemplo 3.6.2. Para ilustrar el Teorema 3.6.2, se considera el Ejemplo 3.4.
⇐) Tomando G = K4 se sabe del Ejemplo 3.4 que
‖MK4‖1 =7
4,
reescribiendo la fraccion
‖MK4‖1 =(
1 +4− 1
4
),
ası se comprueba una implicacion del teorema.
⇒) Si se tiene que
‖MG‖1 =(
1 +5− 1
5
),
Se puede reescribir
‖MG‖1 =9
5;
ahora se debe comprobar que el resultado anterior es igual a ‖MK5‖1, lo cual por el Lema
3.4.1 es igual a maxk∈V‖MK5δk‖1 , con V = 1, 2, 3, 4, 5; haciendo los calculos de manera similar
al Ejemplo 3.4 se obtiene que
‖MK5‖1 =9
5.
De aquı se tiene entonces que G = K5.
68 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
Ejemplo 3.6.3. Para ilustrar el Teorema 3.6.3 se usa el Ejemplo 3.4, teniendo claro que todo
grafo es isomorfo a sı mismo.
⇒) Si G = S4 entonces se cumple la primera igualdad
‖MS4‖1 =5
2,
y la segunda reescribiendo la fraccion
‖MS4‖1 =(
1 +4− 1
2
).
⇐) Si se tiene que
‖MG‖1 =(
1 +7− 1
2
)= 4,
la primera igualdad se tiene del teorema y la segunda de solucionar la resta y la suma; hay
que llegar a que el resultado anterior sea igual a ‖MS7‖1, lo cual por el Lema 3.4.1 es igual a
maxk∈V‖MS7δk‖1 , con V = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; haciendo los calculos de manera similar al Ejemplo
3.4, por esto
‖MS7‖1 = 1 +6
2= 4.
Por lo que G = S7.
Ahora se usan los resultados anteriores y el calculo de ‖MSn‖1 para obtener la norma-1 de la
clase [Ln]. Esto se hace formalmente en la siguiente proposicion.
Proposicion 3.6.4. Para n ≥ 3, se tiene que
‖M[Ln]‖1 = ‖M[Sn]‖1 = ‖MSn‖1 =n+ 1
2.
Demostracion. Se usa el Lema 3.4.1 para estimar ‖M[Ln]‖1. Con este fin, sea L cualquier
arbol y j, k ∈ V , con j 6= k, se toma cualquier arbol lineal L para el cual k es una hoja y j es
un vecino de k, con esto
MLδj(k) = maxr
1
|BL(k, r)|∑
w∈BL(k,r)
|δj(w)|
=1
|BL(k, 1)|∑
w∈BL(k,1)
|δj(j)| =1
2;
el maximo se alcanza con el radio igual a 1 porque la bola BL(k, r) mas pequena que contiene
a j es la bola BL(k, 1), por esto
MLδj(k) =1
2.
3.6. CONSTANTES OPTIMAS PARA LA NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS69
Para calcular el operador en [Ln], se ve que el maximo se alcanza cuando al igual que en L,
k es una hoja y j es su vecino, de no ser ası se ven algunos casos:
Caso 1 k una hoja y j su vecino ası tiene que
MLnδj(k) =1
2.
Caso 2 k una hoja y j no es vecino de k en este caso
MLnδj(k) = 0
Caso 3 k no es una hoja y j no es su vecino, ya que no se conoce el grado de k o j, entonces
MLnδj(k) ≤ 1
2.
Caso 4 k no es una hoja y j es su vecino, en este caso ya que no se conoce el grado de k se
ve que
MLnδj(k) ≤ 1
2;
de esto1
2≥M[Ln]δj(k).
Luego se debe tomar el maximo y con el Lema 3.4.1 se tiene MLnδj(k) = 12 .
Ya que M[Ln]δj(j) = 1 y M[Ln]δj(k) = 12 , ası
‖M[Ln]δj‖1 = M[Ln]δj(j) +∑k 6=j
M[Ln]δj(k),
entonces ‖M[Ln]δj‖1 = 1 + n−12 , lo cual prueba que
‖M[Ln]‖1 =n+ 1
2.
Ahora se calcula ‖M[Sn]‖1; usando el Lema 3.4.1.
Sea S un grafo isomorfo a Sn y sea k ∈ V el vertice de grado n − 1 en S. Se debe calcular
MSδj(k) para todo l ∈ V , se toman en cuenta algunos casos
Caso 1 Si j = k el grado de j es n − 1 ya que el grado del vertice k es n − 1, por esto
|BSn(j, r)| = n con r ≥ 1.
Caso 2 Si j = k como ya se dijo el grado de j es n− 1 pero el radio es igual a 0, se concluye
que |BSn(j, 0)| = 1.
70 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
De estos dos casos se tiene que si j = k, entonces
MSδj(k) = max
1
|BS(j, 0)|∑
w∈BS(j,0)
|δj(w)|, 1
|BS(j, 1)|∑
w∈BS(j,1)
|δj(w)|
= max
1 · |δj(k)|, 1
n·∑w∈V|δj(w)|
= max
1,
1
n
=
1
n
la segunda igualdad se tiene ya que BSn(j, 1) = V por que el grado de j es n − 1, la tercera
igualdad se obtiene porque δ es positiva y∑
w∈V |δj(w)| = 1.
Ahora se toman en cuenta otros dos casos para ver mas claramente por que se define ası MSnf .
Caso 3 Si j 6= k y el radio de la bola es 0, se ve que |BSn | = 1.
Caso 4 Si j 6= k se tiene que el grado de j no es n− 1 por lo que el grado de j es 1 (ya que
todo esto es sobre el grafo estrella Sn), luego |BSn(j, 1)| = 2 y si el radio se toma mayor a 1
lo que quiere decir que r 6= 1 y r 6= 0, se llega a que |BSn(j, r)| = n.
Por lo que de estos dos casos se llega al siguiente resultado
MSnδk(j) = max
1
|BSn(j, 0)|∑
w∈BSn (j,0)
|f(w)|,maxj∈V
1
|BSn(j, 1)|∑
w∈BSn (j,1)
|δk(w)|,
· · · , 1
|BSn(j, r)|∑
w∈BSn (j,r)
|δk(w)|
= max
1 · |δk(j)|,
1
2(δj(j) + δj(k)),
1
n
∑w∈V|, δj(w)|
= max
0,
1
2,
1
n
=
1
2.
De lo anterior se concluye que
‖MSn‖1 =1
2(3.24)
Para el operador M[Sn]f se realiza un analisis similar. Usando (3.24) y el hecho de que ‖δj‖1 =
1 se tiene que
‖M[Sn]δj‖1 =∑k∈V|M[Sn]δj(k)| = M[Sn]δj(j) +
∑k∈V \j
|M[Sn]δj(k)|
= 1 +∑
k∈V \j
1
2
= 1 +n− 1
2
=n+ 1
2.
3.6. CONSTANTES OPTIMAS PARA LA NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS71
Con esto se termina la prueba.
Para el siguiente resultado se debe tener claro que en ≈ se hace referencia a una equivalencia
asintotica, y que log n se define como el logaritmo natural.
Teorema 3.6.5. Para n ≥ 2 se tiene
‖MLn‖p ≈
(n1−p−11−p
)1/p, 0 < p < 1,
log n, p = 1.(3.25)
Demostracion. Se define Ln = LG(1), para un grafo G con n vertices, donde 1 y n son hojas.
Lo siguiente se conoce gracias el orden de4d los vertices, para que el vertice 1 ∈ BLn(j, k)
entonces dLn(j, 1) ≤ k por esto el mınimo valor de k para el cual se cumple que 1 ∈ BLn(j, k)
es j − 1, lo cual se ve mas claramente al pensar en la geometrıa del grafo. El mınimo vertice
j ∈ V tal que BLn(j, j − 1) = V es [n/2], y como el objetivo es trabajar la cardinalidad mas
pequena de la bola BLn(j, k), entonces j ≤ [n/2]; y la cardinalidad de la bola BLn(j, j − 1) =
2(j − 1) + 1 = 2j − 1
MLnδ1(j) =1
2j − 1, 1 ≤ j ≤ [n/2].
Por lo tanto,
‖MLn‖1 ≥ ‖MLnδ1‖1 ≥[n/2]∑j=1
1
2j − 1& log n;
la segunda desigualdad se tiene de la definicion que se dio para MLnδ1(j), y la tercera se tiene
la serie de logaritmo natural:
log(n) =
∞∑j=1
1
2j − 1
(n2 − 1
n2 + 1
)2j−1, (3.26)
por esto
[n/2]∑j=1
1
2j − 1≥ C
∞∑j=1
1
2j − 1
(n2 − 1
n2 + 1
)2j−1
[n/2]∑j=1
1
2j − 1& log(n)
y
1 + log n ≤ C1 log n
1 + log n . log n,
Tomando en cuenta lo anterior, para la desigualdad contraria, se tiene porque los vertices k
y n − k + 1 en el grafo Ln tienen los mismos grados, ya que la forma del grafo es una lınea,
72 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
gracias a esto se observa que ‖MLnδk‖1 = ‖MLnδn−k+1‖1; entonces teniendo en cuenta que el
mınimo radio de la bola con centro vertice que se encuentra en la mitad del grafo Ln para el
cual la bola es igual a V , es n/2 en este caso; usando el Lema 3.4.1;
se obtiene
‖MLn‖1 = max1≤k≤[n/2]
‖MLnδk‖1
≤ max1≤k≤[n/2]
[k/2]∑j=1
1
k+
[(k+n)/2]∑j=[k/2]+1
1
2|k − j|+ 1+
n∑j=[(k+n)/2]+1
1
n− k + 1
. max
1≤k≤[n/2]1 + log n
= 1 + log n . log n.
Similarmente, para 0 < p < 1 se tiene
‖MLn‖p ≥ ‖MLnδ1‖p ≥[n/2]∑j=1
1
(2j − 1)p&n1−p − 1
1− p.
Como antes,
‖MLn‖p = max1≤k≤[n/2]
‖MLnδk‖p
≤ max1≤k≤[n/2]
[k/2]∑j=1
1
kp+
[(k+n)/2]∑j=[k/2]+1
1
(2|k − j|+ 1)p+
∑j=[(k+n)/2]+1
1
(n− k + 1)p
. max1≤k≤[n/2]
k1−p
2+
2((k − 1)1−p–(k–n− 1)1–p)
1–p+
(n–k + 1)1−p
2
.n1–p–1
1–p;
la primera equivalencia asintotica se obtiene de expandir la segunda sumatoria, y de reescribir
las otras dos ya que ninguno de los sumandos de esas dos sumatorias depende del ındice; y la
segunda equivalencia asintotica se obtiene al hacer la respectiva suma.
Hay que notar que si n ≤ 4, entonces ‖M[Ln]‖1 > ‖MLn‖1. Efectivamente, por el Teorema
3.6.3 y el hecho de que Ln Sn, entonces se tiene
‖MLn‖1 < ‖MSn‖1 = ‖M[Ln]‖1.
Calculos similares dan la misma estimacion para el grafo cıclico Cn.
Para terminar esta seccion, se completa la informacion acerca del estimado tipo fuerte (ver
Definicion 1.4.4), en el rango 1 ≤ p <∞, para el grafo estrella.
3.6. CONSTANTES OPTIMAS PARA LA NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS73
Proposicion 3.6.6. Si 1 ≤ p <∞, entonces
(1 +
n− 1
2p
)1/p
≤ ‖MSn‖p ≤(n+ 5
2
)1/p
,
es decir, ‖MSn‖p ≈ n1/p.
Demostracion. Primero se calcula ‖MSn‖p. Sea k ∈ V el vertice de grado n − 1 en Sn. Se
tiene que, para cualquier f : V → R+, con ‖f‖1 = 1,
MSnf(j) =
maxf(j), 1n
, j = k,
maxf(j), f(j)+f(k)2 , 1n
, j 6= k.
(3.27)
Con esto se ve que
MSn =
maxf(j). 1n∑
jnV |f(j)| j = k,
maxf(j).f(j)+f(k)21n
∑jnV |f(j)| j = k,
(3.28)
f es una funcion convexa, en la demostracion el Lema 3.4.1; se sigue de (3.28). y de que si
f ≥ 0
‖MSn‖pp = maxj 6=k
f(j)p,
1
np
∑jnV
|f(j)|p
+ maxj 6=k
f(j),
(f(j) + f(k)
2
)p,
1
n
∑jnV
|f(j)|p
≤∑j∈V|f(j)|p +
1
np
∑jnV
|f(j)|p +∑j∈V
(f(j) + f(k)
2
)p= ‖f‖pp +
1
np‖f‖pp +
∑j∈V
(f(j) + f(k)
2
)p= ‖f‖p +
n
np‖f‖+
∑j∈V
(f(j) + f(k)
2
)p.
La segunda desigualdad se da para 1 ≤ p <∞ ya que 1/2 ≤ 1/2p; la primera igualdad sale de
reescribir el producto de las n, la segunda igualdad es por el resultado de estos productos; y
la tercera desigualdad se justifica porque f(1)p ≤ ‖f‖pp, ya que f(1)p es uno de los sumandos
74 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS
de la norma ‖f‖pp. Por lo tanto
‖MSnf‖pp ≤ ‖f‖pp +n
np‖f‖pp +
n∑j=1
(f(j) + f(1)
2
)p≤ ‖f‖pp + n1–pnp−1‖f‖pp +
1
2
n∑j=1
(fp(j) + fp(1)
)= ‖f‖pp + n1–p+p−1‖f‖pp +
1
2
( n∑j=1
fp(j) +n∑j=1
fp(1)
)
= ‖f‖pp + ‖f‖pp +1
2
(‖f‖pp + nfp(1)
)≤ 2‖f‖pp +
1
2
(‖f‖pp + n‖f‖pp
)=n+ 5
2‖f‖pp.
Para la otra desigualdad, de (3.23) se tiene que ‖MSn‖p ≥ (1 + n−12p )1/p.
Conclusiones
Un grafo simple, conexo y con un conjunto de vertices V a lo sumo numerable se puede dotar
de una metrica (la metrica geodesica) que lo convierte en espacio metrico completo, por tal
motivo se puede analizar la teorıa de operadores sobre estos espacios.
Para un grafo G con un conjunto de vertices V a lo sumo numerable, y un parametro p > 0,
se definen los espacios `p(V ) que son espacios metricos completos; de hecho, para p ≥ 1 son
espacios de Banach.
El operador maximal de Hardy-Littlewood caracteriza los grafos finitos de tal manera que dos
grafos G1 y G2 son iguales si y solo si MG1δk = MG2δk para todo k ∈ V . Puntualmente, el
grafo Kn es minimal para el operador maximal de Hardy-Liittlewood.
Para p ∈ (0, 1], el operador maximal de Hardy-Littlewood actuando en `p(V ) alcanza su
norma optima en el grafo Ln y de hecho tambien se hacen estimaciones para esta norma en
el grafo Sn y en el grafo Kn; el valor de esta norma para todo grafo simple, conexo y con un
conjunto de vertices numerable se encuentra entre 1 + n−1np y 1 + n−1
2p .
Para 1 < p < ∞, la norma p del operador maximal de Hardy-Littlewood sobre cualquier
grafo simple, conexo y con un conjunto de vertices numerable es un valor mayor o igual a(1 + n−1
np
)1/p
.
75
Bibliografıa
[1] D. Aalto y J. Kinnunen. The discrete maximal operator in metric spaces. J. Anal. Math.
111 (2010), 369–390.
[2] T. Apostol. Analisis matematico Editora Reverte, S.A. 2, Barcelona. (2006).
[3] G. de Barra. Measure theory and integration. Woodhead Publishing limited, Oxford, Cam-
bridge, Philadelphia, New Delhi. (2003).
[4] R. Bartle. Introduccion al Analisis Matematico Editora Limusa. 2, Mexico. (1980).
[5] H. Busemann y W. Feller. Zur differentiation der Lebesgueschen integrale. Fund. Math.
22 (1934), 226–256.
[6] M. Cowling, S. Meda y A.G. Setti. Estimates for functions of the Laplace operator on
homogeneous trees. Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), no. 9, 4271–4293.
[7] G. H. Hardy y J. E. Littlewood. A maximal theorem with function-theoretic applications.
Acta Math. 54 (1930), 81–116.
[8] R. Johnsonbaugh. Matematicas Discretas. Pearson Educacion. Mexico. (2015)
[9] A. Koranyi y M.A. Picardello. Boundary behaviour of eigenfunctions of the Laplace
operator on trees. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. 13 (1986), no. 4, 389–399.
[10] E. Kreyszig. Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley and sons.
Nueva York, Santa Barbara, Londres, Sydney, Toronto. (1978).
[11] C.C. Lin, K. Stempak y Y.S. Wang. Local maximal operators on measure metric spaces.
Publ. Mat. 57 (2013), no. 1, 239–264.
[12] A. Naor y T. Tao. Random martingales and localization of maximal inequalities. J. Funct.
Anal. 259 (2010), no. 3, 731–779.
76
BIBLIOGRAFIA 77
[13] J. Soria y P. Tradacete. Best constants for the Hardy-Littlewood maximal operator on
finite graphs. J. Math. Anal. Appl. 436 (2016), no. 2, 661–682.
[14] E. Stein. The development of square functions in the work of A. Zygmund. Bull. Amer.
Math. Soc. (N.S.) 7 (1982), no. 2, 359–376.
[15] A. Venero, Analisis Matematico. Ediciones Gemar . no. 2, Lima. (2012).