atarazanas.sci.uma.esatarazanas.sci.uma.es/docs/tesisuma/16279542.pdf · Introducci¶on Dada una...

Grupos de autoequivalencias de

homotop¶³a ¯brada

Antonio J. Garv¶³n Garc¶³a

Memoria presentada para optar al grado de Doctor en

Matem¶aticas por la Universidad de M¶alaga

Aniceto Murillo Mas, Profesor Titular del Departamento de

¶Algebra, Geometr¶³a y Topolog¶³a de la Universidad de M¶alaga

CERTIFICA: que la presente memoria de Tesis Doctoral titu-

lada `Grupos de autoequivalencias de homotop¶³a ¯brada' ha sido

realizada bajo mi direcci¶on por D. Antonio J. Garv¶³n Garc¶³a.

M¶alaga, Noviembre de 1999.

Fdo.: Aniceto Murillo Mas

¶Indice General

Introducci¶on 5

1 Aspectos generales 12

1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Homotop¶³a Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Grupos, nilpotencia y resolubilidad . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4 Autoequivalencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2 Autoequivalencias ¯bradas en el contexto racional 54

2.1 Realizaci¶on de Homotop¶³a ¯brada . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2 Variante del resultado de F¶elix y Murillo . . . . . . . . . . . . 59

2.3 Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3 Autoequivalencias ¯bradas 72

3.1 El grupo EG(E;F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2 Consecuencias y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 Una aproximaci¶on dual 82

4.1 Nilpotencia y resolubilidad de E¤(X) . . . . . . . . . . . . . . 83

3

4.2 Los grupos E(X;A);ª1(X) y E¤(X;A) . . . . . . . . . . . . . 93

Bibliograf¶³a 106

4

Introducci¶on

Dada una cierta categor¶³a C y un objeto de esta X, podemos considerar

las autoequivalencias de X, Aut(X). Con la composici¶on como operaci¶on

interna y con el mor¯smo identidad, 1X, como elemento neutro, dotamos a

Aut(X) de estructura de grupo. ¶Este es el grupo de las autoequivalencias

de X. Si nos centramos en la categor¶³a homot¶opica, cuyos objetos son los

espacios topol¶ogicos punteados y cuyos mor¯smos son clases de homotop¶³a de

aplicaciones continuas que preservan el punto base, tenemos el grupo de las

autoequivalencias de homotop¶³a de X , E(X). En caso de considerar espacios

sin punto base y homotop¶³a libre, se denota a este grupo por E(X )f . En la

actualidad estos grupos a¶un distan mucho de ser objetos bien conocidos.

En 1958, Barcus y Barrat [B-B], estudian E(X) para ciertos CW-complejos

¯nitos y establecen algunos resultados como consecuencia de sus trabajos de

clasi¯caci¶on homot¶opica. En otra l¶³nea diferente, y algo m¶as tarde, en 1964,

Kahn, Shih, Arkowitz y Curjel ([K],[Shi],[Ar-Cur I],[Ar-Cur II]), obtienen in-

formaci¶on de E(X) considerando los estadios de Postnikov de X. Trabajos

posteriores de otros tantos autores estuvieron in°uenciados por estos dos

enfoques. Uno de los primeros problemas que se plantean en la literatura

en relaci¶on con E(X) es el de encontrar condiciones bajo las cuales E(X)

5

Introducci¶on 6

posea ciertas propiedades de ¯nitud. Es relevante en este sentido, el teorema

de Sullivan-Wilkerson [Sull], [Wilk] que asegura que para un espacio X 1-

conexo, que es o bien un CW-complejo ¯nito, o bien que posee una cantidad

¯nita de grupos de homotop¶³a no triviales, su grupo de autoequivalencias de

homotop¶³a, E(X), es ¯nitamente presentado.

La di¯cultad en el estudio de E(X), e incluso en el estudio de temas

relacionados con su ¯nitud, hizo que r¶apidamente se pensase en reducir el

problema a estudiar en lugar de E(X), subgrupos distinguidos de ¶este y

propiedades de estos subgrupos. Entre los distintos grupos que se han con-

siderado destacamos los siguientes: E](X) y E¤(X). Denotamos por E](X) al

subgrupo de E(X) formado por aquellas clases que inducen la identidad en

los grupos de homotop¶³a de X. Denotamos por E¤(X) al subgrupo formado

por aquellas que inducen la identidad en los grupos de homolog¶³a. Traba-

jando con E](X ), inicialmente se demostr¶o, que bajo ciertas condiciones es

un grupo soluble. M¶as tarde, en 1979, Dror y Zabrodsky [D-Z], establecen

la nilpotencia de estos dos grupos.

Dada una ¯braci¶on F ! E ! B se considera el subgrupo de las clases de

autoequivalencias ¯bradas de E , E(E;F ). Este grupo constituye una gene-

ralizaci¶on en el caso ¯brado de E(X ). Basta para ello considerar la ¯braci¶on

X ! X ! ¤. Muchos de los resultados que se hab¶³an venido obteniendo

sobre E(X) se consiguen establecer sobre este grupo. En este contexto cabe

destacar que Scheerer [Schee] extiende el teorema de Sullivan-Wilkerson al

caso ¯brado. Tambi¶en en el contexto ¯brado queremos destacar como James

[J] considera ©1(X), el subgrupo de E(E;F ) formado por aquellas clases que

son hom¶otopas a la identidad en cada ¯bra y establece la existencia de una

Introducci¶on 7

acci¶on nilpotente de E(E;F ) sobre este subgrupo, teni¶endose en particular

la nilpotencia de este subgrupo. Es posible relajar las condiciones impuestas

por James en este resultado, como indic¶o Meiwes [Me].

Utilizando t¶ecnicas propias de la teor¶³a de homotop¶³a racional se ha abor-

dado tambi¶en el estudio de E(X) y de sus subgrupos. Entre otros mu-

chos autores que han trabajado en esta l¶³nea podemos destacar a Arkowitz,

F¶elix, Lupton y Murillo. Esta aproximaci¶on ha demostrado ser especialmente

fruct¶³fera ya que, como es conocido, la teor¶³a de modelos de Sullivan y de

Quillen permite dar un tratamiento totalmente algebraico a problemas ho-

mot¶opicos. En 1998 aparece publicado un art¶³culo de F¶elix y Murillo [F-M I]

en el cual, utilizando t¶ecnicas de homotop¶³a racional, relacionan la nilpotencia

de E](X) con la categor¶³a de Lusternik-Schirelmann del espacio X. Tambi¶en

en este art¶³culo se da un resultado relacionado con ¯braciones, aunque no se

consideran clases ¯bradas. Nuestro trabajo surge con la idea de generalizar

estos resultados al caso ¯brado, intentando tambi¶en establecer relaciones con

invariantes homot¶opicos. Esto lo hacemos desde varias perspectivas. Una

primera l¶³nea consiste en extender, en el contexto racional, los resultados de

F¶elix y Murillo al caso ¯brado. Otra vertiente que tambi¶en hemos consi-

derado es la extender estos resultados en el contexto topol¶ogico general, sin

restringirnos a la categor¶³a racional. La con°uencia entre estas dos aproxi-

maciones nos permite establecer dos cotas distintas de la nilpotencia del

grupo E(E;F ) que m¶as adelante de¯nimos. La ¶ultima l¶³nea que hemos con-

siderado es la de la dualizaci¶on en el sentido de Eckman-Hilton. Intentamos

dualizar tanto los resultados de F¶elix y Murillo (no ¯brados), como los de

James y los nuestros propios. El desarrollo que seguimos es el siguiente: In-

Introducci¶on 8

troducimos en el primer cap¶³tulo todas las de¯niciones b¶asicas, resultados y

herramientas que vamos a utilizar m¶as adelante. En especial recordamos los

aspectos fundamentales de la teor¶³a de homotop¶³a racional. En el cap¶³tulo

2, dada una ¯braci¶on F ! E ! B, introducimos el grupo E(E;F ), que es

la generalizaci¶on natural en el contexto ¯brado de E](X). Este grupo est¶a

formado por clases de equivalencia hf i de homotop¶³a ¯brada de aplicaciones

¯bradas f : E ! E tales que su restricci¶on a la ¯bra [fjF ] es un elemento de

E](F ). Con un enfoque eminentemente algebraico y siguiendo los m¶etodos

de [F-M I] demostramos:

Teorema A

Sea F ! Ep! B una ¯braci¶on de espacios racionales 1-conexos de tipo

¯nito, con ¼¤(p) sobreyectivo. Entonces, E(E;F ) es nilpotente y

nil E(E;F ) · 2cat(E)¡ 1:

Este resultado, enunciado as¶³ por claridad, lo demostramos con mucha

m¶as generalidad (vease teorema 2.2.3). De forma m¶as general, en el cap¶³tulo

3, consideramos el grupo EG(E;F ) asociado a una familia G = fGb=b 2 Bg de

subgrupos, Gb de E(Fb)f . Este grupo est¶a formado por las autoequivalencias

de homotop¶³a ¯brada libre hf i 2 E(E;F )f tales que [fjFb ] 2 Gb para cada

b 2 B. En este cap¶³tulo enfocamos el problema desde un punto de vista

topol¶ogico y obtenemos tambi¶en la nilpotencia de EG(E;F ) para cualquier

¯braci¶on F ! E ! B.

Introducci¶on 9

Teorema B

Si en la familia G todos los grupos son nilpotentes y sus clases de nilpo-

tencia est¶an acotadas por un cierto entero k, y si la categor¶³a de B es ¯nita,

entonces el grupo EG(E;F ) es nilpotente y su clase de nilpotencia es menor

o igual que k + catB.

Cuando se particulariza en el contexto racional a E(E;F ) obtenemos otra

cota de su ¶³ndice de nilpotencia:

Corolario

Sea F ! E ! B una ¯braci¶on de espacios racionales 1-conexos de tipo

¯nito. Entonces, E(E;F ) es nilpotente y adem¶as

nilE(E;F ) · cat(F ) + cat(B) ¡ 1:

De nuevo este resultado es probado con m¶as generalidad como corolario

3.2.3. Por ¶ultimo, en el cap¶³tulo 4, como ya hemos comentado dualizamos

los resultados precedentes en el sentido de Eckman-Hilton. En este caso la

t¶ecnica fundamentalmente empleada son los modelos de Quillen. Ya hemos

de¯nido E¤(X), dual de E](X). Entonces usando el m¶etodo dual al seguido

en [F-M I] se obtiene:

Teorema C

Sea X un espacio racional 1-conexo cuya homotop¶³a o cohomolog¶³a racional

es de dimensi¶on ¯nita. Denotemos por m el orden del mayor grupo de ho-

Introducci¶on 10

motop¶³a o cohomolog¶³a no trivial. Entonces Em¤ (X) es nilpotente y

nil Em¤ (X ) · cocat X ¡ 1:

Siguiendo un proceso distinto, a¶un somos capaces de a¯nar un poco m¶as

ajustando el ¶³ndice de resolubilidad de Em¤ (X ), sol Em¤ (X):

Teorema D

Sea X un espacio racional 1-conexo de tipo ¯nito cuya homotop¶³a o co-

homolog¶³a racional es de dimensi¶on ¯nita. Denotemos por m el orden del

mayor grupo de homotop¶³a o cohomolog¶³a no trivial y sea r el n¶umero de

grupos de homotop¶³a no triviales hasta el grado m. Entonces:

sol Em¤ (X) · r ¡ 1:

Tomemos ahora una co¯braci¶on A! X ! X=A y consideremos el grupo

E(X;A) de equivalencias de homotop¶³a relativa a A de aquellas aplicaciones

f : X ! X que ¯jan A. Este grupo es obviamente dual de E(E;F ). As¶³

mismo introducimos ª1(X) (dual de ©1(E) de James [J]) como el subgrupo

de E(X;A) formado por aquellas equivalencias que inducen la identidad en

la co¯bra. Entonces, en el contexto racional, demostramos:

Teorema E

Sea A ,! X ! X=A una co¯braci¶on de espacios racionales 1-conexos de

Introducci¶on 11

tipo ¯nito. Si A posee cocategor¶³a ¯nita, entonces ª1(X ) es nilpotente y

nil ª1(X) · cocatA:

Por ¶ultimo de¯nimos E¤(X;A), dual de E(E;F ), como el subgrupo de

E(X;A) formado por aquellas clases cuyo mor¯smo inducido en la co¯bra

es la identidad en homolog¶³a. N¶otese que ª1(X) ½ E¤(X;A) ½ E¤(X;A).

Entonces, la demostraci¶on ¿dualÀ del teorema A nos conduce a:

Teorema F

Sea Ai! X ! X=A una co¯braci¶on de espacios racionales, 1-conexos y

de tipo ¯nito, donde H¤(i) es inyectivo. Entonces, E¤m(X;A) es nilpotente y

se veri¯ca:

nilE¤(X;A) · 2cocat(X)¡ 1:

Este resultado aparece con mayor generalidad como teorema 4.2.10.

Durante la consecuci¶on de este trabajo, muchas han sido las personas que

de una u otra manera me han apoyado y ayudado. Especialmente mi fami-

lia y amigos, mis compa~neros de docencia del Departamento de Matem¶atica

Aplicada y todos los miembros del Departamento de ¶Algebra Geometr¶³a y

Topolog¶³a. Quiero con estas cortas lineas agradecer a todas ellas su ines-

timable ayuda y aliento. Por ¶ultimo quiero agradecer a Aniceto Murillo, no

solamente su dedicaci¶on hacia m¶³ como director de esta tesis, sino tambi¶en

el haberme brindado su amistad a lo largo de estos a~nos. Gracias a todos.

Cap¶³tulo 1

Aspectos generales

1.1 Generalidades

A lo largo de todo nuestro trabajo, salvo que expresamente indiquemos lo

contrario, consideraremos espacios que son del tipo de homotop¶³a de CW-

complejos arcoconexos. [X;Y ] denota el conjunto de clases de homotop¶³a de

aplicaciones del espacio X en el espacio Y . Si consideramos x0 un punto base

en X, H : X£I ! Y una homotop¶³a entre las aplicaciones f y g, y ! : I ! Y

es el camino en Y de¯nido por !(t) = H (x0; t), decimos que f y g son !-

hom¶otopas, y escribimos f »! g. Si (X; x0) e (Y; y0) son espacios punteados,

denotamos por [(X; x0); (Y; y0)] al conjunto de clases de homotop¶³a relativa

de aplicaciones basadas. Emplearemos equivalentemente la notaci¶on [X;Y ]¤

cuando no queramos hacer referencia expl¶³cita a los puntos base de X y de

Y . Si f y g son hom¶otopas relativas al punto base escribimos f » g(relfx0g).Para distinguir entre elementos de [X;Y ] y de [X;Y ]¤ hablamos, respectiva-

mente, de clases libres y de clases basadas. Usaremos la notaci¶on [f] para

12

1. Aspectos generales 13

las clases libres, y [f]¤ para las clases basadas.

Decimos que x0 es un punto no degenerado del espacio X, cuando la in-

clusi¶on fx0g ,! X es una co¯braci¶on. Recordemos que en los CW-complejos

siempre es posible tomar como punto base un punto no degenerado.

Las siguientes propiedades de la homotop¶³a libre son inmediatas:

(1) Si f : X ! Y es una aplicaci¶on y c : I ! Y es la aplicaci¶on constante en

f (x0), entonces f »c f.

(2) Si f; g : X ! Y y ! : I ! Y son aplicaciones tales que f »! g, y si

!¡1 : I ! Y es el camino inverso de !, entonces g »!¡1 f.

(3) Si f; g; h: X ! Y y !; !0 : I ! Y son aplicaciones tales que f »! g,

g »!0 h y si !! 0 : I ! Y es el camino producto de ! y !0, entonces

f »!!0 h.

Si x0 es un punto no degenerado de X se tiene tambi¶en:

(4) Si f : X ! Y y ! : I ! Y son aplicaciones tales que !(0) = f (x0), existe

g : X ! Y tal que f »! g.

(5) Si f; g : X ! Y y !; !0 : I ! Y son tales que f »! g y ! » !0(relf0; 1g),entonces f »!0 g.

De esta forma obtenemos el siguiente resultado, consecuencia de (2),(3)

y (5).

Lema 1.1.1. Sean f0; f1 : (X; x0)! (Y; y0), g0; g1 : (X; x0) ! (Y; y1) aplica-

ciones con f0 » f1(relfx0g), g0 » g1(relfx0g) y sea ! : (I; 0; 1) ! (Y ; y0; y1)

un camino en Y . Si f0 »! g0, entonces f1 »! g1.


Sea f : (X; x0)! (Y; y0) y ! : (I; 0; 1) ! (Y ; y1; y0). Sabemos por (4) que

existe g : (X; x0) ! (Y; y1) tal que g »! f. Por otro lado se deduce de (5) y

del lema 1.1.1 anterior que la clase de homotop¶³a de g depende ¶unicamente de

las clases de homotop¶³a de f y !. Tenemos as¶³ una aplicaci¶on bien de¯nida

h[!] : [(X; x0); (Y; !(0))]! [(X; x0); (Y; !(1))]

que asocia a cada clase basada [f ]¤ la ¶unica clase basada [g]¤ tal que g »! f.

Esta aplicaci¶on presenta adem¶as, un buen comportamiento respecto al

producto de caminos.

Lema 1.1.2.

(a) Sean !1; !2 : I ! Y dos caminos en Y tales que !1(1) = !2(0) y sea

!1!2 el camino producto de ambos. Se veri¯ca que h[!1!2] = h[!1 ]h[!2].

(b) Si cy0 : I ! Y es el camino constante en y0, entonces h[cy0 ] = 1, siendo 1

la identidad de [(X; x0); (Y; y0)].

De¯nici¶on 1.1.3. Dado un grupoG y un conjuntoA, una acci¶on deG sobre

A es una aplicaci¶on G£A! A que asocia al par (g; a) el elemento de A que

notamos por g ¢ a y que veri¯ca:

(a) g1 ¢ (g2 ¢ a) = (g1g2) ¢ a 8g1; g2 2 G; a 2 A;

(b) 1 ¢ a = a 8a 2 A:

En particular, y de acuerdo al lema anterior, cuando se consideran lazos

se tiene la acci¶on del ¼1(Y; y0) sobre [(X; x0); (Y; y0)] de¯niendo

[!] ¢ [f] = h[!]([f])


Proposici¶on 1.1.4. Sea Á : [(X; x0); (Y; y0)]! [X;Y ] el homomor¯smo na-

tural que asocia a cada clase basada su clase libre.

(a) La acci¶on del ¼1(Y; y0) sobre [(X; x0); (Y; y0)] es trivial si y s¶olo si el

homomor¯smo natural Á es inyectivo.

(b) Si el espacio Y es arcoconexo el homomor¯smo Á es sobreyectivo.

Demostraci¶on:

(a) ()) Suponemos que la acci¶on es trivial y que Á([f ]¤) = Á([g]¤), es decir,

[f] = [g]. Existe entonces una homotop¶³a H entre f y g. Sea !

el lazo de¯nido por !(t) = H(x0; t), entonces f »! g, por tanto

h[!]([f ]¤) = [g]¤. Pero como la acci¶on es trivial h[!]([f]¤) = [f]¤,

por lo que [f]¤ = [g]¤.

(() Suponemos ahora Á inyectiva. Veamos que la acci¶on es tri-

vial. Para ello consideremos ! 2 ¼1(X; x0), [f]¤ 2 [X;Y ]¤, y

sea [g]¤ = h[!]([f ]¤). Por construcci¶on de h[!], f »! g, es decir,

[f] = [g]. Pero por la inyectividad de Á resulta que [f]¤ = [g]¤.

As¶³ h[!]([f]¤) = [f ]¤ y por tanto la acci¶on es trivial.

(b) Suponemos ahora Y arcoconexo y queremos ver que Á es sobreyecti-

va. Sea [g] 2 [X;Y ]. Un representante de esta clase es una aplicaci¶on

g : X ! Y , no necesariamente basada. Sea y1 = g(x0). Por ser Y arco-

conexo podemos unir y0 con y1 mediante un cierto camino !; !(0) = x0

y !(1) = x1. De acuerdo con el apartado (a) del lema anterior, existe

f : X ! Y tal que f »! g, por tanto f(x0) = y0, es decir, f es una


aplicaci¶on basada. Hemos encontrado un elemento de [X;Y ]¤, [g]¤ tal

que Á([g]¤) = [f], por tanto Á es sobreyectiva.

Corolario 1.1.5. Si la anterior acci¶on es trivial y el espacio Y es arcoconexo,

clases libres y basadas coinciden.

Ejemplos 1.1.6.

(a) Espacios simplemente conexos: Si el espacio X es simplemente co-

nexo es trivial que las clases basadas y las clases libres son las mismas.

En primer lugar por ser arcoconexo el homomor¯smo Á es sobre. En

segundo lugar por ser ¼1(X ) = 0 la acci¶on es trivial y as¶³ el homomor-

¯smo Á es inyectivo.

(b) H-espacios: Si Y es un H-espacio, la existencia de la multiplicaci¶on

homot¶opica, ¹, implica que la acci¶on del ¼1(Y; y0) es trivial. Veamos

por qu¶e:

Consideramos f : (X; x0) ! (Y; y0), ! : I ! Y y construimos una ho-

motop¶³a H : X £ I ! Y ¿mezclandoÀ f y ! mediante ¹.

H(x; t) = ¹(f (x); !(t))

Son detalles comprobar que H0 » f, H1 » f y ! » H(x0; ), es decir f

es !-hom¶otopa a f ya que trivialmente H0 es H(x0; )-hom¶otopa a H1.

As¶³

h[!][f] = h[H (x0 ; )][H0] = [H1] = [f]

y la acci¶on es trivial.


Por tanto si Y es un H-espacio (arcoconexo) las clases libres, [X;Y ], y

las basadas, [X;Y ]¤ son las mismas.

(c) Espacios simples y grupos de homotop¶³a: Un ejemplo especial-

mente interesante de espacios lo constituyen los simples. Recordemos

que un espacio se dice que es simple si la acci¶on de ¼1(X; x0) sobre los

grupos de homotop¶³a de orden superior es trivial. Son importantes ya

que, de acuerdo con la proposici¶on anterior existen biyecciones

¼n(X) = [Sn; X]:

Es claro que los casos anteriores, espacios simplemente conexos y H-

espacios, son ejemplos de espacios simples.

1.2 Homotop¶³a Racional

Recordemos brevemente algunos conceptos b¶asicos y de¯niciones relativas

a la teor¶³a de Homotop¶³a Racional. Son referencias obligadas para conocer

esta teor¶³a las siguientes: [Sull], [Qui], [H], [F-H] y [T]. A ellas adem¶as nos

referimos para todos los resultados que aparecen sin demostraci¶on. Vamos a

considerar K-espacios vectoriales siendo K un cuerpo de caracter¶³stica 0.

Diremos que V es un espacio vectorial graduado si es una suma directa

de espacios vectoriales V = ©p¸0V p. Un elemento x 2 V p se dice homog¶eneo

de grado p y escribimos jxj= p.

Este concepto generaliza al de espacio vectorial ya que siempre es posible

considerar cualquier espacio vectorial como espacio vectorial graduado con-


centrado en grado 0. En particular el cuerpo base K se considera concentrado

en grado 0. Un espacio vectorial graduado V se dice de tipo ¯nito si para

cada p la dimensi¶on de V p es ¯nita.

Una aplicaci¶on lineal f : V ! W entre espacios vectoriales graduados

decimos que es de grado q 2 Z si f (V p) ½ W p+q; p 2 Z. Los mor¯smos

entre espacios vectoriales graduados son las aplicaciones lineales de grado 0.

Un espacio vectorial graduado diferencial es un par (V; d) donde V es un

espacio vectorial graduado y d es una aplicaci¶on lineal de grado 1 que cumple

d2 = 0.

Los mor¯smos, f : (V; d) ! (V 0; d0), entre espacios vectoriales graduados

diferenciales, son aquellos mor¯smos de espacios vectoriales graduados, que

respetan las diferenciales, esto es, d0f = fd. Si (V; d) es un espacio vec-

torial graduado diferencial, el espacio vectorial graduado de la cohomolog¶³a

se de¯ne como H(V; d) = ker d= Im d donde la graduaci¶on es la inducida de

manera natural por V .

Claramente todo mor¯smo graduado y diferencial f, induce un mor¯smo

H(f _) : H(V; d) ! H(V 0; d0) entre los respectivos espacios de cohomolog¶³a.

Cuando H(f) es un isomor¯smo diremos que f es un quasi-isomor¯smo y

escribiremos f : (V; d)'! (V 0; d0).

Un ¶algebra graduada es un espacio vectorial graduado provisto de una

multiplicaci¶on asociativa con unidad, que veri¯ca Ap ¢ Aq ½ Ap+q, p; q ¸ 0.

Decimos que el ¶algebra graduada A es conmutativa si ab = (¡1)jajjbjba, para

toda pareja a,b de elementos homog¶eneos. A se dice conexa si A0 = K, y

1-conexa cuando es conexa y A1 = 0.

Si A y A0 son dos ¶algebras graduadas, su producto tensorial AA0 es un


¶algebra graduada con el producto:

(a a0)(b b0) = (¡1)ja0jjbjab a0b0; a; b 2 A; a0; b0 2 A0:

Una derivaci¶on de grado p en A es una aplicaci¶on lineal µ de grado p tal que

µ(a b) = µ(a)b+ (¡1)pjajaµ(b), para toda pareja de elementos homog¶eneos de

A. Una diferencial d de ¶algebras graduadas es una derivaci¶on de ¶algebras de

grado 1 tal que d2 = 0.

Al par (A; d) formado por un ¶algebra graduada A y una diferencial de

¶algebras graduadas d se le denomina ¶algebra graduada diferencial, o ¶algebra

graduada diferencial conmutativa si el ¶algebra graduada A es conmutativa.

La cohomolog¶³a H(A; d), de un ¶algebra diferencial graduada (A; d), here-

da de A, de forma natural, una estructura de ¶algebra graduada. Decimos

que un ¶algebra graduada diferencial, (A; d), es c-conexa (cohomologicamente

conexa) si H0(A; d) = K.

Dos ¶algebras graduadas conmutativas diferenciales 1-conexas, (A; dA) y

(B; dB), se dice que tienen el mismo tipo de homotop¶³a o que son homot¶opica-

mente equivalentes cuando est¶an conectadas por una sucesi¶on de mor¯smos

que inducen isomor¯smos en cohomolog¶³a (quasi-isomor¯smos) y que van en

uno u otro sentido:

(A; dA)'Ã (A0; d0)

'! ¢ ¢ ¢ 'Ã (B; dB)

A partir de V un espacio vectorial graduado construimos el ¶algebra ten-

sorial generada por V , T(V ):

T(V ) =M

n¸0

T n(V )


donde T 0(V ) = K y TnV = (

nz }| {V V ¢ ¢ ¢ V ). Recordemos que la graduaci¶on

en T (V ) no es la dada por la longitud de los elementos, sino la inducida por V .

A partir del ¶algebra tensorial construimos el ¶algebra graduada conmutativa

libre sobre V , ¤V :

¤V = T (V )=I

donde I es el ideal generado por vv0¡(¡1)jvjjv0jv0v, siendo v; v0 elementos

homog¶eneos de V .

De¯nici¶on 1.2.1. Sea (¤V; d) un ¶algebra graduada diferencial conmutativa.

Decimos que (¤V;d) es un ¶algebra de Sullivan si se veri¯can las siguientes

condiciones:

² V 0 = f0g y V =1[

i=0

V (i) siendo cada V (i) un subespacio vectorial

graduado de V con V (i) ½ V (i + 1); i ¸ 0.

² d : V (i)! ¤V (i¡ 1); i ¸ 1 y d se anula en V (0).

Un ¶algebra de Sullivan se dice que es minimal si cumple que

Im d ½ ¤¸2V;

donde ¤¸2V representa a los elementos de ¤V de longitud mayor o igual que

2.

De¯nici¶on 1.2.2. Sea (B; d) un ¶algebra graduada diferencial conmutativa

c-conexa. Un ¶algebra de Sullivan relativa a (B; d) es un ¶algebra graduada

diferencial conmutativa de la forma (B¤V; d) tal que la inclusi¶on (B; d) ,!(B ¤V; d), que envia b en b 1 es un mor¯smo de ¶algebras graduadas

diferenciales y tal que cumple lo siguiente :


² V 0 = f0g y V =1[

i=0

V (i) siendo cada V (i) un subespacio vectorial

graduado de V con V (i) ½ V (i + 1); i ¸ 0.

² d : V (0) ! B y d : V (i)! B ¤V (i¡ 1); i¸ 1.

Fij¶emonos que un ¶algebra de Sullivan es un ¶algebra de Sullivan relativa a

(K; 0). Decimos que un ¶algebra de Sullivan relativa es minimal si se veri¯ca

que

Im d ½ B+ ¤V +B ¤¸2V

siendo B+ los elementos de grado positivo de B.

Las ¶algebras de Sullivan permiten dar un concepto expl¶³cito de homotop¶³a

entre mor¯smos y esto las hace especialmente interesantes. Consideremos

¤(t; dt), el ¶algebra graduada conmutativa libre de base ft; dtg, con jtj = 0

y jdtj = 1, con diferencial d(t) = dt. Haciendo t = 0 y t = 1 se obtienen

mor¯smos de ¶algebras diferenciales graduadas

²0; ²1 : ¤(t; dt) ! K

De¯nici¶on 1.2.3. Sea (¤V; d) un ¶algebra de Sullivan, (A; dA) un ¶algebra

graduada conmutativa y sean Á0; Á1 : (¤V; d) ! (A; dA) dos mor¯smos entre

ellas. Una homotop¶³a entre Á0 y Á1 es un mor¯smo

Á : (¤V; d)! (A; dA) ¤(t; dt)

tal que (1 ²0)Á = Á0 y (1 ²1)Á = Á1, siendo 1 la identidad de A. Si

existe una homotop¶³a entre Á0 y Á1 decimos que son hom¶otopas y escribimos

Á0 » Á1.


La relaci¶on de homotop¶³a es una relaci¶on de equivalencia y esto per-

mite hablar de las clases de homotop¶³a de mor¯smos de un ¶algebra de Sulli-

van en un ¶algebra cualquiera. Una propiedad importante es que mor¯smos

hom¶otopos inducen la misma aplicaci¶on en cohomolog¶³a.

Se puede tambi¶en dar un concepto de homotop¶³a relativa entre ¶algebras

utilizando ¶algebras de Sullivan relativas. Sea (B ¤V; d) un ¶algebra de

Sullivan relativa a (B; d) y sea (A; dA) un ¶algebra diferencial graduada con-

mutativa.

De¯nici¶on 1.2.4. Una homotop¶³a relativa a (B; d) entre dos mor¯smos que

coinciden en B, Á0; Á1 : (B ¤V; d) ! (A; dA), es un mor¯smo

Á : (B ¤V; d)! (A; dA) ¤(t; dt)

tal que (1 ²i)Á = Ái i = 0; 1 y tal que Á(b) = Á0(b) = Á1(b), para todo

b 2 B. Si tal homotop¶³a existe decimos que Á0 y Á1 son hom¶otopos relativos

a B y escribimos Á0 » Á1(relB).

Al igual que la homotop¶³a, la homotop¶³a relativa es una relaci¶on de equi-

valencia y se veri¯ca tambi¶en que mor¯smos hom¶otopos relativos dan apli-

caciones iguales en cohomolog¶³a.

Un resultado b¶asico en esta teor¶³a es el lema de levantamiento:

Lema 1.2.5. Dado un diagrama conmutativo (de °echas no punteadas) de

¶algebras graduadas diferenciales conmutativas:


(B; d)®- (C; dC)

......

......

....

µ

>

(B ¤V; d)

i

?

\

Ã- (A; dA)

q '?

en el que i es la inclusi¶on en el ¶algebra de Sullivan relativa (B¤V; d) y q es

un quasi-isomor¯smo, existe entonces una ¶unica clase de homotop¶³a relativa

a B de mor¯smos µ : (B ¤V; d) ! (C; dC) que extienden ® y que levantan

Ã salvo una homotop¶³a relativa, es decir, Ã » qµ(relB) y µi = ®. Si q es

sobreyectivo, podemos elegir µ para que Ã = qµ.

Si tomamos (B; d) = (K; 0) se tiene el lema de levantamiento para ¶algebras

de Sullivan .

La estructura de un ¶algebra de Sullivan (¤V; d) viene determinada por el

espacio vectorial V y por la diferencial d. Por el contrario dada un ¶algebra

diferencial cualquiera tambi¶en se ha de tener en cuenta la estructura de pro-

ducto del ¶algebra. Sin embargo el siguiente resultado nos dice cual es la

relaci¶on que las liga.

Proposici¶on 1.2.6. Sea (A; dA) un ¶algebra graduada diferencial conmuta-

tiva c-conexa. Existe un ¶algebra de Sullivan minimal (¤V; d) y un quasi-

isomor¯smo

q : (¤V; d)'! (A; dA)

Adem¶as este ¶algebra es ¶unica salvo isomor¯smos.

Al par formado por el quasi-isomor¯smo q y por el ¶algebra de Sullivan


(¤V; d) es a lo que denominamos el modelo minimal del ¶algebra (A; dA). A

partir del lema del levantamiento es inmediato lo siguiente:

Proposici¶on 1.2.7. Dos ¶algebras graduadas conmutativas diferenciales c-

conexas, (A; dA) y (B; dB), son del mismo tipo de homotop¶³a si y solamente

si poseen el mismo modelo de Sullivan minimal.

Trabajando sobre el cuerpo de los n¶umeros racionales Sullivan de¯ni¶o un

funtor A que asocia a cada espacio X el ¶algebra graduada diferencial conmu-

tativa sobre Q de las formas diferenciales polinomiales sobre X, (A(X); d).

Se tiene entonces que la integraci¶on induce un isomor¯smo de ¶algebras gra-

duadas

H ¤(A(X); d) »= H¤(X;Q):

As¶³ cuando el espacio X es arcoconexo resulta que el ¶algebra (A(X ); d) es

c-conexa y posee un modelo de Sullivan minimal.

De¯nici¶on 1.2.8. El modelo minimal de Sullivan de un espacio arcoconexo

X es el modelo minimal del ¶algebra (A(X); d).

Consideremos Á : X ! Y una aplicaci¶on continua entre espacios arco-

conexos. Si ®: ¤V'! A(X) y ¯ : ¤W

'! A(Y ) son los modelos minimales

de X y de Y respectivamente, el lema de levantamiento determina una ¶unica

clase de homotop¶³a de mor¯smos Ã : ¤W ! ¤V de forma que el siguiente

diagrama conmuta salvo homotop¶³a:

A(Y )A(Á)- A(X )

¤V

¯6

Ã - ¤W:

®6


De¯nici¶on 1.2.9. A cualquier representante de esta ¶unica clase de homo-

top¶³a es a lo que denominamos representante de Sullivan de la aplicaci¶on

Á.

El siguiente resultado nos indica la relaci¶on que guardan aplicaciones

continuas y sus representantes de Sullivan.

Proposici¶on 1.2.10. Si Á0; Á1 : X ! Y son aplicaciones continuas (topol¶o-

gicamente) hom¶otopas entre espacios arcoconexos, y Ã0 y Ã1 son represen-

tantes de Sullivan de Á0 y Á1 respectivamente, se veri¯ca que Ã0 y Ã1 son

mor¯smos (algebraicamente) hom¶otopos.

Fij¶emonos en que esto mismo que hemos hecho para espacios lo podemos

hacer para ¶algebras diferenciales y as¶³ podemos de¯nir el concepto de re-

presentante de un mor¯smo entre ¶algebras. Esto nos permite, por ejemplo,

dar un concepto de homotop¶³a entre mor¯smos de ¶algebras trasladando el

concepto de homotop¶³a que tenemos en ¶algebras de Sullivan.

De¯nici¶on 1.2.11. Dos mor¯smos f; g : (A; d) ! (A0; d0) entre ¶algebras

graduadas diferenciales conmutativas c-conexas se dicen hom¶otopos si sus

representantes de Sullivan son hom¶otopos.

De igual forma que las ¶algebras de Sullivan modelan las ¶algebras gra-

duadas diferenciales conmutativas, las ¶algebras de Sullivan relativas modelan

los mor¯smos entre este tipo de ¶algebras.

Proposici¶on 1.2.12. Sea Á : (B; d) ! (C; dC) un mor¯smo entre ¶algebras

graduadas diferenciales conmutativas y tales que su cohomolog¶³a es 1-conexa.


Existe un ¶algebra de Sullivan relativa minimal (B ¤V; d) y un quasi-

isomor¯smo

q : (B ¤V; d)'! (C; dC)

que restringido a B coincide con Á. Adem¶as, si q 0 : (B¤V 0; d)'! (C; dC) es

un quasi-isomor¯smo que coincide con Á al restringir a B entre otra ¶algebra

de Sullivan relativa minimal (B ¤V 0; d) y (C; dC), entonces existe un iso-

mor¯smo

Ã : (B ¤V; d)»=! (B ¤V 0; d)

que se restringe a la identidad en B y tal que q0Ã » q(relB).

Al par formado por el ¶algebra relativa (B ¤V; d) y el quasi-isomor¯smo

q, es a lo que denominamos el modelo de Sullivan minimal del mor¯smo Á.

Un ¶algebra de Sullivan relativa constituye el an¶alogo a una ¯braci¶on en la

categor¶³a de ¶algebras graduadas diferenciales conmutativas. De hecho, dada

la inclusi¶on de un ¶algebra de Sullivan relativa

(B; d)i,! (B ¤V; d)

podemos considerar la proyecci¶on ½ sobre el ideal generado por B+

(B; d)i,! (B ¤V; d)

½! (¤V; d)

y en este diagrama se dice que B , B ¤V , y ¤V son respectivamente la

¿baseÀ , el ¿espacio totalÀ y la ¿¯braÀ del ¶algebra de Sullivan relativa. Esta

terminolog¶³a proviene de la siguiente construcci¶on.

Consideremos una ¯braci¶on de espacios simplemente conexos

F ! E ! B:


Si aplicamos el funtor de Sullivan de las formas polin¶omicas racionales obte-

nemos mor¯smos de ¶algebras graduadas

A(B) ! A(E)! A(F )

De¯nici¶on 1.2.13. El modelo de Sullivan minimal de la ¯braci¶on de espa-

cios 1-conexos F ! E ! B es el modelo de Sullivan minimal del mor¯smo

A(B)! A(E).

Podemos considerar el modelo minimal de A(B), ¤V'! A(B) y la si-

guiente composici¶on

¤V'! A(B)! A(E)

Estamos en condiciones de aplicar la proposici¶on anterior a este mor¯smo y

obtener as¶³ su modelo de Sullivan minimal

A(E)

½½

½½

½½>

¤V - ¤V ¤W

'6

De hecho este diagrama puede ser completado considerando la proyecci¶on

¤V ¤W ! ¤W al siguiente:

A(B) - A(E) - A(F )

¤V

'6

- ¤V ¤W

'6

- ¤W

6

Tambi¶en nos referiremos (cometiendo un peque~no abuso de notaci¶on) a

la sucesi¶on de mor¯smos

¤V ,! ¤V ¤W ! ¤W


como el modelo de Sullivan minimal de la ¯braci¶on

F ! E ! B:

El siguiente resultado justi¯ca esta terminolog¶³a.

Proposici¶on 1.2.14. Si en la ¯braci¶on anterior los espacios tienen coho-

molog¶³a de tipo ¯nito, entonces el mor¯smo inducido

¤W'! A(F )

es el modelo minimal de Sullivan de la ¯bra F .

La categor¶³a de espacios racionales y la de ¶algebras graduadas son ejem-

plos de lo que se denomina categor¶³a modelo cerrado. Otro ejemplo de cate-

gor¶³a modelo cerrado es la formada por ¶algebras de Lie, o m¶as concretamente

por ¶algebras de Lie diferenciales graduadas 1-reducidas y de tipo ¯nito. Estas

tres categor¶³as son equivalentes entre si en un sentido que precisaremos m¶as

adelante y esto permite modelizar espacios no s¶olo con ¶algebras sino tambi¶en

con ¶algebras de Lie. A cada espacio se le asocia una cierta ¶algebra de Lie, su

modelo de Quillen. Una diferencia importante en relaci¶on a la modelizaci¶on

de espacios es que mientras que los modelos de Sullivan invierten °echas (la

equivalencia es un funtor contravariante), en los modelos de Quillen se con-

serva la direcci¶on de ¶estas (la equivalencia es un funtor covariante). Otro

detalle importante es que si las extensiones de ¶algebras graduadas (¶algebras

de Sullivan relativas) representan ¯braciones en la categor¶³a homot¶opica, las

extensiones de ¶algebras de Lie representan co¯braciones.

En lo que sigue el cuerpo base ser¶a Q.


Sea L un espacio vectorial graduado inferiormente, L = ©p 0Lp, y supon-

gamos adem¶as que tenemos una aplicaci¶on bilineal de grado 0, [; ] : LL! L

a la que denominamos el corchete de Lie.

De¯nici¶on 1.2.15. L junto con el corchete de Lie [; ], se dice que es un

¶algebra de Lie graduada si se veri¯can las siguientes condiciones:

² Anticonmutatividad graduada

[x; y ] = (¡1)jxjjyj+1[y; x]:

² Identidad de Jacobi graduada

(¡1)jxjjzj[x; [y; z]] + (¡1)jyjjxj[y; [z; x]] + (¡1)jzjjyj[z; [x; y]]

para x; y y z elementos homog¶eneos de L.

Un mor¯smo f : L! L0 entre ¶algebras de Lie graduadas es un mor¯smo

de espacios vectoriales graduados que cumple:

f ([x; y]) = [f(x); f (y)]; x; y 2 L:

Si L1 = f0g decimos que L es 1-reducida.

Dado un cierto espacio vectorial graduadoW podemos asociarle un ¶algebra

de Lie graduada, L(W ), de la siguiente forma. Consideramos el ¶algebra ten-

sorial reducida asociada a W , T(W ). Este ¶algebra coincide con el ¶algebra

tensorial salvo que no posee elementos de grado 0

T (W ) =M

n¸1

T n(W )


siendo TnV = (

nz }| {V V ¢ ¢ ¢ V ). A T(W) se le dota de estructura de ¶algebra

de Lie mediante el producto

[a; b] = a b + (¡1)jajjbj+1b a

y L(W ) es la sub¶algebra de T (W ) generada por W , L(W ) =< W >. As¶³

L(W ) tiene como elementos a los de W y todos sus productos.

De¯nici¶on 1.2.16. L(W ) es el ¶algebra de Lie graduada libre sobre W .

L(W ) veri¯ca la siguiente propiedad universal que lo caracteriza:

Dado cualquier mor¯smo de espacios vectoriales graduados de W en una

cierta ¶algebra de Lie L, W ! L, existe un ¶unico mor¯smo de ¶algebras de Lie

graduadas L(W ) ........- L haciendo el siguiente diagrama conmutativo

W ½ - L(W )Z

ZZ

Z ZZ~L

?

............

Fij¶emonos que se tiene otra graduaci¶on en L(W) dada, no por el grado, sino

por la longitud del producto de elementos de W . Notamos por Lk(W) al

subespacio vectorial graduado de L(W ) formado por aquellos elementos que

se expresan como producto de k elementos de W .

Si L y L0 son ¶algebras de Lie graduadas, L ¤L0 denota el coproducto de

ambas. En el caso en que L = L(W ) y L0 = L(U ) se tiene que L ¤ L0 =

L(W © U ).

De¯nici¶on 1.2.17. Un ¶algebra de Lie diferencial graduada es un par (L; @),

donde L es un ¶algebra de Lie graduada y donde @ es una diferencial en L,


esto es, un mor¯smo de grado ¡1, @ : Lp+1 ! Lp, cumpliendo @2 = 0 y tal

que se veri¯ca:

@ [x; y] = [@x; y] + (¡1)jxj[x; @y]:

Las ¶algebras de Lie diferenciales graduadas forman una categor¶³a. Los

mor¯smos entre ¶algebras de Lie son las aplicaciones lineales de grado 0 que

respetan la diferencial y el corchete de Lie. Asociada a un ¶algebra de Lie dife-

rencial graduada (L; @), tenemos su ¶algebra de Lie graduada de homolog¶³a,

de¯nida de forma obvia, y a la que notamos por H¤(L; @). A los mor¯smos en-

tre ¶algebras de Lie que inducen isomor¯smos en homolog¶³a los denominamos

quasi-isomor¯smos.

Sea W un espacio vectorial graduado y consideremos L(W ), el ¶algebra de

Lie graduada libre sobre W . Decimos que un ¶algebra diferencial (L(W ); @)

es minimal si ocurre que @(W ) ½ [L(W);L(W )].

De¯nici¶on 1.2.18. Sea (L; @) es un ¶algebra de Lie graduada diferencial.

Un modelo de Quillen de (L; @) es un ¶algebra diferencial minimal (L(W ); @),

junto con un quasi-isomor¯smo ' : (L(W ); @)'! (L; @).

Proposici¶on 1.2.19. Si (L; @) es un ¶algebra de Lie graduada diferencial 1-

reducida y de tipo ¯nito, entonces (L; @) posee un modelo de Quillen minimal,

¶unico salvo isomor¯smo.

Se puede dar un concepto de homotop¶³a entre mor¯smos de ¶algebras de

Lie minimales de forma an¶aloga a como se hac¶³a entre ¶algebras de Sullivan.

Si (L(W ); @) es un modelo de Quillen minimal podemos considerar L(W ) ¤(t; dt) al que se dota de estructura de ¶algebra de Lie diferencial con el


producto

[l a; l0 b] = (¡1)jajjl0 j[l; l0] ab:

Se de¯nen proyecciones p0; p1 : ¤(t; dt)L(W )! L(W ) que vienen dadas

enviando t en 0 y 1 respectivamente.

De¯nici¶on 1.2.20. Sea L un ¶algebra de Lie graduada diferencial. Dos

mor¯smos, f; g : L(W ) ! L, se dicen hom¶otopos si existe un mor¯smo

H : L(W ) ! ¤(t; dt) L(W ) de forma que p0H = f y p1H = g. En este

caso escribimos f » g.

La relaci¶on de homotop¶³a es una relaci¶on de equivalencia. Se veri¯ca

que mor¯smos hom¶otopos inducen la misma aplicaci¶on en homolog¶³a. Entre

¶algebras de Quillen minimales se tiene un lema de levantamiento.

Lema 1.2.21. Sea f : (L(W ); @) ! (L; @) un mor¯smo de ¶algebras de Lie

graduadas diferenciales y q : (L0; @0) ! (L; @) un quasi-isomor¯smo. Existe

entonces un mor¯smo, ¶unico salvo homotop¶³a, f 0 : (L(W ); @) ! (L0; @0) ha-

ciendo el siguiente diagrama conmutativo en homotop¶³a:

(L0; @0)

......

......

....

f 0>

(L(W ); @)f

- (L; @)

q '?

Adem¶as si q es sobreyectivo se puede conseguir f 0 de forma que el diagrama

anterior sea estrictamente conmutativo.

El concepto an¶alogo al de ¶algebra de Sullivan relativa es el de KQ-

extensi¶on.


De¯nici¶on 1.2.22. Una extensi¶on de Koszul-Quillen, o KQ-extensi¶on, es

una sucesi¶on de mor¯smos de ¶algebras de Lie diferenciales graduadas de la

forma:

(L; @)i,! (L ¤L(U); @)

½! (L(U); @):

donde i es la inclusi¶on obvia, y ½ es la proyecci¶on sobre el ideal generado por

L+. La extensi¶on se dice que es minimal si se veri¯ca:

Im@ ½ L+ ¤ L(U ) + L ¤ L¸2(U ):

Por L+ denotamos a los elementos de grado positivo de L.

Sin explicitar exactamente la forma, s¶³ queremos indicar que al igual que

hac¶³amos con los modelos de Sullivan es posible asociar funtorialmente a cada

espacio 1-conexo X un ¶algebra de Lie diferencial graduada 1-reducida LX .

Un modelo de Quillen minimal de X es por de¯nici¶on un modelo minimal

L(W ) de LX . Se tiene el siguiente resultado que relaciona el modelo de

Quillen minimal de un espacio con su homolog¶³a y homotop¶³a racional.

Proposici¶on 1.2.23. Sea L(W ) el modelo de Quillen minimal de un cierto

espacio 1-conexo X. Se veri¯ca que:

(a) Wi = Hi+1(X;Q).

(b) Hi(L(W )) = ¼i+1(X)Q ; i ¸ 0.

Observaci¶on 1.2.24. Queremos por ¶ultimo indicar que es posible extender

en el contexto de ¶algebras de Lie diferenciales graduadas 1-reducidas todos los

resultados que se tienen entre ¶algebras de Sullivan, tambi¶en al caso relativo.

La forma de proceder consiste en cambiar el papel de las ¶algebras de Sullivan


relativas por las KQ-extensiones. As¶³ se pueden introducir los conceptos de

homotop¶³a relativa y de modelo de un mor¯smo, as¶³ como obtener resultados

an¶alogos al lema de levantamiento. Se tiene en particular que si

A ,! X ! X=A

es una co¯braci¶on de espacios racionales, 1-conexos y de tipo ¯nito, L(W )

es el modelo minimal de A, y L(W ) ,! L(W ) ¤ L(U) es la KQ-extensi¶on

minimal que representa la inclusi¶on A ,! X, entonces L(U) es el modelo

minimal de la co¯bra. En este sentido decimos que

L(W ) ,! L(W ) ¤L(U) ! L(U)

es el modelo de Quillen de la co¯braci¶on anterior.

Recordemos que la categor¶³a homot¶opica de espacios topol¶ogicos tiene

como objetos los espacios topol¶ogicos y como mor¯smos las clases de ho-

motop¶³a de aplicaciones continuas. Asimismo en la categor¶³a de ¶algebras

graduadas diferenciales conmutativas 1-conexas hemos visto que podemos

de¯nir un concepto de homotop¶³a gracias a la existencia de representantes de

Sullivan. As¶³ entendemos por categor¶³a homot¶opica de ¶algebras graduadas

diferenciales conmutativas 1-conexas a la categor¶³a que tiene por objetos este

tipo de ¶algebras y cuyos mor¯smos son las clases de homotop¶³a de mor¯smos

de estas ¶algebras. Igualmente podemos considerar la categor¶³a homot¶opica

de ¶algebras de Lie graduadas diferenciales.

Recordemos la de¯nici¶on de espacio local sobre un conjunto de primos

P , o espacio P -local. Dado P un conjunto de primos podemos considerar el

conjunto P 0 formado por todos los enteros n primos relativos con los elemen-


tos de P . Un grupo G se dice que es P -local si el endomor¯smo dado por

g7! gn con g 2 G es biyectivo para todo n 2 P 0.

De¯nici¶on 1.2.25. Un espacio simplemente conexo X se dice que es P -local

si sus grupos de homotop¶³a son P -locales.

Dado un grupo G decimos que el par (G(P ); l) es una P -localizaci¶on de G

si ocurre que G(P ) es un grupo P -local y l : G! G(P ) es un homor¯smo de

grupos que veri¯ca la siguiente propiedad universal:

Cualquier homomor¯smo k : G! H donde H es un grupo local, factoriza

de forma ¶unica a traves de l haciendo conmutativo el siguiente diagrama:

Gl - G(P )

ZZ

ZZ

ZZ

k~H:

j6............

De esta forma se puede tambi¶en de¯nir el concepto de localizaci¶on de

un espacio. Dado un espacio X una localizaci¶on de X consiste en un par

(X(P); f ), donde X(P) es un espacio P -local y donde f es tal que para cada

i, el par (¼i(X(P)); ¼i(f)) es una P localizaci¶on de ¼i(X ). Cuando P es vac¶³o

se tienen en particular las siguientes de¯niciones:

De¯nici¶on 1.2.26.

1. Un espacio simplemente conexo X se dice que es racional si sus grupos

de homotop¶³a son Q-espacios vectoriales.

2. Una racionalizaci¶on de un espacio simplemente conexo X es un par

(XQ; f ) donde XQ es un espacio racional y f : X ! XQ es una equiva-


lencia de homotop¶³a racional. Recordemos que esto ¶ultimo quiere decir

que ¼¤(f) Q es un isomor¯smo.

Esta racionalizaci¶on suprime la componente de torsi¶on de los grupos de

homotop¶³a y es una primera aproximaci¶on al espacio. Todo CW-complejo

simplemente conexo admite una racionalizaci¶on . La homotop¶³a racional de

X puede ser vista de esta manera como la homotop¶³a cl¶asica de su raciona-

lizado.

Un espacio topol¶ogico X, simplemente conexo, se dice de Q-tipo ¯nito si

y s¶olo si satisface alguna de las dos condiciones equivalentes siguientes:

1. Hn(X;Q) es de dimensi¶on ¯nita para n ¸ 2.

2. ¼n(X) Q es de dimensi¶on ¯nita para n ¸ 2.

Sullivan demostr¶o que el tipo de homotop¶³a racional de un espacio simple-

mente conexo de Q-tipo ¯nito se representa ¯elmente mediante ¶algebras gra-

duadas diferenciales conmutativas. En particular, Sullivan de¯ni¶o, como

ya hemos dicho anteriormente, el funtor A que asocia a cada espacio X el

¶algebra graduada diferencial conmutativa sobre Q de las formas diferenciales

polin¶omicas sobre X , (A(X); d). Sullivan demostr¶o adem¶as que este ¶algebra

posee toda la informaci¶on sobre el tipo de homotop¶³a racional de X.

La asignaci¶on X ! A(X) se restringe a las respectivas categor¶³as ho-

mot¶opicas y proporciona un funtor entre ellas.

De¯nici¶on 1.2.27. Un funtor F : A ! B entre dos categor¶³as, se dice que es

una equivalencia de categor¶³as si existe otro funtor G : B ! A y equivalencias

naturales

GF ; 1A FG ; 1B :


As¶³, si A y B son objetos de A y B respectivamente, se tienen isomor¯smos

GF(A)»=! A FG(B)

»=! B:

En este caso las categor¶³as A y B se dicen equivalentes.

Utilizando el funtor de realizaci¶on topol¶ogica que permite asociar a cada

¶algebra un espacio topol¶ogico Sullivan prob¶o la equivalencia de las anteriores

categor¶³as homot¶opicas en los siguientes t¶erminos

Teorema 1.2.28. Existe una equivalencia de categor¶³as entre la categor¶³a

homot¶opica de espacios racionales 1-conexos de tipo ¯nito y la categor¶³a

homot¶opica de Q-¶algebras graduadas diferenciales conmutativas 1-conexas

de tipo ¯nito. En esta equivalencia los espacios se corresponden con las

¶algebras de Sullivan y las ¯braciones con las ¶algebras de Sullivan relativas.

Quillen tambi¶en prob¶o la equivalencia entre la categor¶³a homot¶opica y la

de ¶algebras de Lie graduadas:

Teorema 1.2.29. Existe una equivalencia de categor¶³as entre la categor¶³a

homot¶opica de espacios racionales 1-conexos de tipo ¯nito y la de Q-¶algebras

de Lie graduadas diferenciales 1-reducidas de tipo ¯nito. A cada espacio

topol¶ogico X se le asocia su modelo de Quillen minimal LX y a cada clase

de homotop¶³a Xf - Y un mor¯smo de ¶algebras de Lie LX Lf- LY .

L es el funtor de Quillen que da la equivalencia entre las dos categor¶³as.

En esta equivalencia las co¯braciones se corresponden con las KQ-exten-

siones.

La categor¶³a de Lusternik-Schnirelmann de un espacio topol¶ogico X,

cat(X), es el menor entero m tal que X tiene un recubrimiento abierto


con m + 1 abiertos contr¶actiles en X. As¶³, los espacios contr¶actiles tienen

categor¶³a 0 y las esferas tienen categor¶³a 1. Y. F¶elix y S. Halperin encon-

traron un m¶etodo expl¶³cito para determinar la L-S categor¶³a de un espacio

racional. Para ello, usando la equivalencia de las categor¶³as homot¶opicas

de espacios racionales 1-conexos de tipo ¯nito y ¶algebras graduadas dife-

renciales conmutativas 1-conexas de tipo ¯nito, demuestran lo siguiente: Sea

un espacio racional X con modelo minimal (¤V; d), y consideremos el si-

guiente diagrama que representa el modelo de Sullivan minimal de la pro-

yecci¶on ¼ : ¤V ! ¤V=¤>mV

¤V¼- ¤V=¤>mV

ZZ

ZZ

ZZ

j~

¤V ¤W:

'?

La categor¶³a de X es el menor entero m, tal que la inclusi¶on j admite una

retracci¶on r : ¤V ¤W ! ¤V , es decir, un mor¯smo que satisface r ± j =

id¤V .

De forma dual al concepto de categor¶³a dado en t¶erminos de modelos de

Sullivan podemos de¯nir el concepto de cocategor¶³a utilizando en su lugar

modelos de Quillen. Esto fue hecho por SbaÄ³ [Sb], en los siguientes t¶erminos.

De¯nici¶on 1.2.30. La cocategor¶³a de un modelo de Quillen minimal L(W )

es el menor entero m tal que, en el siguiente diagrama,

L(W )¼- L(W )=L>m(W )

ZZ

ZZ

ZZ

j~L(W © U)

'6


(que representa el modelo de minimal de Quillen de la proyecci¶on ¼) la in-

clusi¶on j admite una retracci¶on r : L(W ©U)! L(W ), es decir, un mor¯smo

que satisface rj = 1L(W).

Inmediatamente trasladamos este concepto a espacios racionales,

De¯nici¶on 1.2.31. La cocategor¶³a de un espacio X es la cocategor¶³a de su

modelo de Quillen minimal L(W ).

1.3 Grupos, nilpotencia y resolubilidad

Dado un grupo G se considera la serie central descendente asociada a G

G = °0 ¾ °1 ¾ ¢ ¢ ¢ ¾ °i ¾ °i+1;

°i+1 = [G; °i] =< xyx¡1y¡1= x 2 G; y 2 °i > :

De¯nici¶on 1.3.1. Si en alg¶un paso la serie central descendente se estabiliza

en el elemento neutro, esto es °n = f1g para alg¶un n, se dice que G es

nilpotente y su nilpotencia, ¶³ndice de nilpotencia o clase de nilpotencia es el

primer entero en que se estabiliza. En este caso, si n es la nilpotencia de G,

escribimos nil G = n.

Existe otra de¯nici¶on equivalente de grupo nilpotente que puede ser dada

dualmente utilizando la serie central ascendente. La serie central ascendente

de G es de la forma

f1g = Z0 ½ Z1 ½ : : : Z i ½ Z i+1:

En esta cadena de subgrupos Z1 es el centro de G y cada Z i+1 se obtiene del

anterior exigiendo que Z i+1=Z i coincida con el centro de G=Z i.


Proposici¶on 1.3.2. Si la serie central ascendente se estabiliza en alg¶un paso

en el grupo G, esto es, Z i = G para alg¶un i, G es nilpotente. Adem¶as el

primer entero en que se estabiliza es su nilpotencia.

As¶³ el grupo trivial tiene nilpotencia 0 y un grupo conmutativo no trivial

tiene nilpotencia 1.

La de¯nici¶on de nilpotencia se relativiza en t¶erminos de la acci¶on de un

grupo sobre otro. Supongamos una acci¶on ! : G ! Aut(H) de un grupo G

sobre otro grupo H. Esto es, ! es un homomor¯smo de grupos. Podemos

de¯nir en este caso la serie central descendente de H asociada a la anterior

acci¶on !.

H = °0! ¾ °1

! ¾ ¢ ¢ ¢ ¾ °i! ¾ °i+1!

donde °i+1! es el subgrupo de¯nido como sigue:

°i+1! =< x!(g)(y)x¡1y¡1= x 2 H; y 2 °i!; g 2 G > :

De¯nici¶on 1.3.3. Diremos que la acci¶on ! es nilpotente si °i! es el neutro

para alg¶un i. El primer entero n en que °n! = f1g es su nilpotencia, ¶³ndice

de nilpotencia o clase de nilpotencia. Escribimos en este caso nil! = n.

Las siguientes propiedades que destacamos a continuaci¶on son bien cono-

cidas y de f¶acil comprobaci¶on.

Propiedades 1.3.4.

- Todo subgrupo H de un grupo nilpotente G es nilpotente y adem¶as

nil H · nil G.

- Si f : G ! G0 es un homomor¯smo de grupos sobreyectivo y G es

nilpotente, entonces G0 es nilpotente y nil G0 · nil G.


- En particular, si H es normal en G, H /G, y G es nilpotente, entonces

G=H es nilpotente y nil G=H · nil G.

- Si ! es una acci¶on nilpotente de G sobre H, entonces H es nilpotente.

Adem¶as nil H · nil !.

Un caso particularmente interesante de acci¶on es la que se da entre un

grupo y un subgrupo suyo. Si H es un subgrupo normal de G, la conjugaci¶on

por elementos de G induce de manera obvia una acci¶on de G sobre H. Aso-

ciada a la anterior acci¶on tenemos por tanto su serie central descendente. En

este caso usaremos la siguiente notaci¶on

°i+1G ½ °iG ½ : : : °1

G ½ °0G = H

para indicar que la acci¶on no es una cualquiera sino precisamente la dada

por conjugaci¶on de elementos de G, y en el caso en que la acci¶on sea de

nilpotencia n escribiremos nilGH = n. En este caso se puede probar el

siguiente resultado.

Proposici¶on 1.3.5. Consideremos la siguiente sucesi¶on exacta corta de gru-

pos 1 ! H ! G ! K ! 1 donde H es normal en G y G actua por

conjugaci¶on sobre H . Entonces se veri¯ca la siguiente desigualdad:

max(nilK; nilGH) · nilG · nilK + nilGH:

El resultado sigue siendo cierto si convenimos en poner nil = 1 si alg¶un

grupo o acci¶on no es nilpotente.

Demostraci¶on:

Vamos a considerar la serie asociada a G

°i+1 ½ °i ½ : : : °1 ½ °0 = G;


la asociada a K

°0i+1 ½ °0

i ½ : : : °01 ½ °00

= K;

y la asociada a la acci¶on por conjugaci¶on de G sobre H

°i+1G ½ °iG ½ : : : °1

G ½ °0G = H:

Observemos en primer lugar que por ser la acci¶on la conjugaci¶on se tiene

°i+1G =< xgyg¡1x¡1y¡1= x 2 H; y 2 °iG; g 2 G>=

=< xgy(xg)¡1y¡1= x 2 H; y 2 °iG; g 2 G >=

=< g0yg0¡1y¡1= g0 2 G; y 2 °iG >= [G; °iG]

As¶³ pues tenemos

² °0G = H ½ G = °0,

² °1G = [G;H ]½ [G;G] = °1, y por inducci¶on:

² °iG ½ °i.

Estas inclusiones prueban que nilGH · nilG. Por otro lado nilK · nilG por

ser G ! K un homomor¯smo sobreyectivo. Hemos establecido, por tanto,

la primera desigualdad:

max(nilK;nilGH) · nilG:

Para ver la segunda desigualdad supongamos c = nilK y d = nilGH. Se

tiene por tanto °0c = f1g, pero al ser K = G=H, lo anterior es equivalente a

°c ½ H = °0!. As¶³ se tiene


² °c+1 = [G; °c] ½ [G;H] = °1!, y por inducci¶on ¯nita se llega a:

² °c+d = °d! = f1g.

Por tanto nilG · c+ d, con lo cual queda probada la desigualdad.

Hemos de¯nido el concepto de nilpotencia utilizando la serie central

descendente asociada a un cierto grupo G. Un concepto algo m¶as d¶ebil que el

de nilpotencia se obtiene considerando en lugar de la serie central descendente

la de los subgrupos derivados. Tambi¶en en esta de¯nici¶on juegan un papel

principal los conmutadores.

Dado un grupo G consideramos la sucesi¶on de subgrupos derivados

G = ¡0 ¾ ¡1 ¾ ¢ ¢ ¢ ¾ ¡i ¾ ¡i+1 ¾ : : :

donde ¡i+1 = [¡i;¡i]; i¸ 0.

De¯nici¶on 1.3.6. Decimos que el grupo G es resoluble si ¡n = f1g para

alg¶un n. En este caso llamamos ¶³ndice de resolubilidad, y lo denotamos por

sol G, al primer entero para el que esto ocurre.

Si consideramos la serie central descendente

G = °0 ¾ °1 ¾ ¢ ¢ ¢ ¾ °i ¾ °i+1 ¾ ¢ ¢ ¢

se tiene por construcci¶on ¡i ½ °i. Es evidente, por tanto, a partir de la

de¯nici¶on y de la observaci¶on anterior que todo grupo nilpotente es resoluble,

y que el ¶³ndice de resolubilidad es siempre menor o igual que el ¶³ndice de

nilpotencia.


1.4 Autoequivalencias

Dada una categor¶³a C y un objeto de esta categor¶³a X podemos considerar

aquellos mor¯smos f : X ! X que son equivalencias. Este conjunto con la

operaci¶on de composici¶on de mor¯smos y con el mor¯smo identidad como

elemento neutro posee una estructura de grupo. A este grupo se le denomina

el grupo de autoequivalencias de X. En muchas categor¶³as este grupo es un

objeto de estudio habitual. Su conocimiento es una pieza clave para entender

la estructura interna particular de la categor¶³a de estudio. Pensemos, por

ejemplo, en los automor¯smos de un grupo en la categor¶³a de grupos, o en

los homeomor¯smos de un espacio en la categor¶³a de espacios topol¶ogicos.

Si nos centramos en la categor¶³a de homotop¶³a tenemos el grupo de au-

toequivalencias de homotop¶³a que notamos por E(X ). Este grupo es todav¶³a

un gran desconocido y a su estudio se han acercado muchos autores y desde

muy diversos enfoques [Ar],[Rut]. Se han estudiado subgrupos distinguidos

de ¶este, variantes de este grupo, por ejemplo, considerando clases libres en

lugar de clases basadas y generalizaciones utilizando clases ¯bradas asociadas

a una cierta ¯braci¶on. Vamos a recordar aqu¶³ aquellos resultados que ser¶an

m¶as relevantes para nuestros prop¶ositos.

De¯nici¶on 1.4.1. Consideremos la categor¶³a cuyos objetos son espacios to-

pol¶ogicos con punto base y cuyos mor¯smos son clases de homotop¶³a re-

lativas al punto base de aplicaciones continuas, y sea X un objeto de esta

categor¶³a. El grupo de autoequivalencias de homotop¶³a de X, E(X), est¶a

formado por aquellas clases de aplicaciones f : X ! X tales que poseen

inverso homot¶opico.


Una referencia b¶asica para conocer una recopilaci¶on de resultados sobre

equivalencias de homotop¶³a y temas relacionados es el art¶³culo de Arkowitz

[Ar]. Recientemente ha aparecido un curso monogr¶a¯co sobre este tema

debido a Rutter [Rut].

Otro enfoque del problema consiste en estudiar autoequivalencias de ho-

motop¶³a libre:

De¯nici¶on 1.4.2. E(X )f es el grupo de autoequivalencias de homotop¶³a

libre. Este grupo est¶a formado por aquellas clases de homotop¶³a libre de

aplicaciones f : X ! X tales que poseen inverso homot¶opico.

Nota 1.4.3. As¶³ tenemos las inclusiones E(X)f ½ [X;X] y E(X) ½ [X;X]¤.

Como ya vimos en la primera secci¶on siempre se tiene una sobreyecci¶on de

E(X) ! E(X)f supuesto X arcoconexo. Es m¶as si la acci¶on del grupo

fundamental sobre las clases basadas es trivial E(X)f = E(X), ya que como

vimos, en este caso clases libres y basadas coinciden. Teniendo en cuenta esto

podemos a¯rmar que si X es simplemente conexo o bien X es un H-espacio

(arcoconexo) E(X) = E(X)f .

El resultado en general no es cierto. Existen ejemplos en los que las au-

toequivalencias de homotop¶³a y las autoequivalencias de homotop¶³a libres son

grupos distintos. Becker y Gottlieb [B-G] mostraron que los espacios proyec-

tivos reales de dimensi¶on par tienen grupo de autoequivalencias de homotop¶³a

libre trivial, sin embargo en el caso basado (y en cualquier dimensi¶on) este

grupo es Z2.

A t¶³tulo ilustrativo veamos ahora que, en general, el grupo de autoequi-

valencias de homotop¶³a de un espacio puede ser arbitrariamente grande.


Sea G un grupo (no trivial). Denotamos por S(G) al grupo de las

biyecciones de G. Sea X un espacio topol¶ogico e Y =Y

g2GX. De¯nimos

' : S(G)! E(Y ) dada por '(®)(xg)g2G = (x®(g))g2G. Se tiene entonces

Lema 1.4.4. ' es un mor¯smo de grupos y es inyectivo si y s¶olo si X no es

contr¶actil.

Demostraci¶on:

Si ® y ¯ son biyecciones de G se tiene

'(®¯)(xg)g2G = (x®¯(g))g2G = '(®)(x¯(g))g2G = '(®)'(¯)(xg)g2G

y as¶³ ' es un homomor¯smo de grupos.

Evidentemente si X es contr¶actil ' no es inyectivo. Vamos a probar

entonces que si ' no es inyectivo se deduce que X es contr¶actil. Sean ® 2S(G), ®6= 1G y '(®) hom¶otopa al punto base de Y . Sea

Y

g2GX £ I H!

Y

g2GX

una tal homotop¶³a y sea g0 2 G con ®(g0) = g1, g0 6= g1. Consideremos las

aplicaciones

ig1 : X !Y

g2GX ; pg0 :

Y

g2GX ! X

de¯nidas respectivamente por

ig1 (x) = (xg)g2G donde (xg)g2G =

8<:

xg = x si g = g0

xg = ¤ si g6= g0

;

pg0((xg)g2G) = xg0.


Es un mero ejercicio el comprobar que la siguiente aplicaci¶on

X £ I ig1£1I¡!Y

g2GX £ I H!

Y

g2GX

pg0! X

de¯ne una homotop¶³a entre la identidad en X y la constante en el punto

base.

Como consecuencia y puesto que todo grupo G es subgrupo de S(G) se

tiene

Proposici¶on 1.4.5. Todo grupo G es subgrupo del grupo de autoequivalen-

cias de homotop¶³a de alg¶un espacio.

Es claro que el espacio del lema 1.4.4, Y =Y

g2GX, no ha de ser necesaria-

mente un CW -complejo aunque X lo sea. Ahora bien, si el grupo G es ¯nito

entonces s¶³ lo es. Por tanto, como consecuencia tenemos:

Corolario 1.4.6. Cualquier grupo ¯nito puede ser encajado como subgrupo

del grupo de autoequivalencias de un CW -complejo ¯nito.

Diversos autores, entre otros Kahn, Sunday, Arkowitz o Curjel ([Ka ],[Sun],

[Ar-Cur I], [Ar-Cur II]) han estudiado el grupo E(X) y han obtenido resulta-

dos relativos a la ¯nitud, imponiendo ciertas condiciones sobre el espacio X.

Tambi¶en se han estudiado condiciones que hacen que sea ¯nitamente gene-

rado o que sea ¯nitamente presentado. Quiz¶as uno de los resultados m¶as

destacables es el debido a Sullivan y Wilkerson:

Proposici¶on 1.4.7. [Sull], [Wilk] Si X es un espacio simplemente conexo

que es o bien un CW -complejo o bien posee una cantidad ¯nita de grupos de

homotop¶³a no triviales, entonces E(X) es un grupo ¯nitamente presentado.


Ejemplos 1.4.8.

1. X = Sn. Como E(Sn) son los elementos multiplicativamente inversibles

de [Sn; Sn] = ¼n(Sn) = Z, se tiene E(Sn) = f1;¡1g = Z2 (recordemos

que el grado de una aplicaci¶on de la esfera en s¶³ misma es un invariante

homot¶opico que da la biyecci¶on con los enteros y que la composici¶on

de aplicaciones se corresponde con el producto de los grados).

2. X = K(¼; n). Para ver quienes son las autoequivalencias de K(¼; n)

recordemos quienes son estos espacios y que propiedades importantes

poseen.

De¯nici¶on 1.4.9. Un espacio de Eilenberg-MacLane de tipo (¼; n),

es un espacio arcoconexo K(¼; n) tal que ¼i(K(¼; n)) = 0 si i6= n y

¼n(K(¼; n)) = ¼.

Estos espacios existen y son ¶unicos en la categor¶³a de homotop¶³a.

Si ' : ¼ ! ¼0 es un homomor¯smo de grupos, ' se realiza en una

aplicaci¶on K(¼; n)f! K(¼0; n), de forma ¶unica en la categor¶³a de ho-

motop¶³a. Es decir dada ' existe una ¶unica clase de homotop¶³a [f], tal

que ¼n(f) = '. De esta forma obtenemos que E(K(¼; n)) = Aut(¼).

Como ya hemos apuntado desde el primer momento y debido a la com-

plejidad que presenta el estudio de E(X ) se ha intentado reducir el problema

considerando subgrupos de ¶el. As¶³ entre otros tenemos los siguientes: El

grupo de autoequivalencias que inducen la identidad en los grupos de homo-

top¶³a.

E](X) = ff 2 E(X)= ¼¤f = 1¼¤(X)g


El formado por aquellas que inducen la identidad s¶olo hasta el orden m, para

un cierto entero ¯jo m.

Em] (X ) = ff 2 E(X )=¼if = 1¼i(X) i· mg

Si consideramos el funtor de lazos, , podemos de¯nir el subgrupo formado

por aquellas que inducen la identidad en los lazos de X.

E(X ) = ff 2 E(X )=f = 1Xg

Dualmente podemos de¯nir los siguientes subgrupos de E(X): El grupo

de autoequivalencias que inducen la identidad en los grupos de homolog¶³a.

E¤(X) = ff 2 E(X)=H¤(f ) = 1H¤(X)g

El formado por aquellas que inducen la identidad en los grupos de homolog¶³a

s¶olo hasta un cierto orden ¯jo m.

Em¤ (X) = ff 2 E(X)= Hi(f ) = 1Hi(X) i · mg

Mediante el funtor suspensi¶on, §, consideramos el formado por aquellas au-

toequivalencias que inducen la identidad en la suspensi¶on de X.

E§(X ) = ff 2 E(X )=§f = 1§Xg

Entre los que hemos destacado se da la siguiente cadena de inclusiones.

E(X) ½ E](X) ½ Em] (X )

E§(X) ½ E¤(X) ½ Em¤ (X)

En el siguiente resultado que utilizaremos a menudo, Dror y Zabrosky

establecen condiciones para asegurar la nilpotencia de algunos subgrupos de

E(X):


Teorema 1.4.10. [D-Z] Sea G un subgrupo de E(X ) donde X es un CW -

complejo ¯nito, o bien posee una cantidad ¯nita de grupos de homotop¶³a no

triviales. Si G act¶ua nilpotentemente en ¼i(X) para 0 · i· dimX , entonces

G es un grupo nilpotente. Por, dimX , ¿la dimensi¶on de XÀ, entendemos

la noci¶on usual si X es un CW -complejo o el orden del ¶ultimo grupo de

homotop¶³a no trivial si estamos en el segundo caso.

Como consecuencia se tiene el siguiente corolario:

Corolario 1.4.11. Si X es un CW -complejo que es, o bien ¯nito, o bien

posee una cantidad ¯nita de grupos de homotop¶³a no triviales y si m ¸ dimX,

entonces Em] (X) es nilpotente. En particular E](X ) es un grupo nilpotente.

Demostraci¶on: La acci¶on de Em] (X) sobre ¼i(X ) con i · dimX es trivial,

y se aplica el teorema 1.4.10.

El resultado de Dror y Zabrosky abre la puerta a la aplicaci¶on de la

teor¶³a de localizaci¶on de grupos nilpotentes. De esta forma Maruyama [Ma],

prueba que bajo las condiciones dadas por Dror y Zabrodsky coinciden las

autoequivalencias del espacio localizado con la localizaci¶on del grupo de au-

toequivalencias.

Teorema 1.4.12. Sea X un espacio simple en las condiciones del resultado

de Dror y Zabrosky. Sea X(P) la localizaci¶on del espacio X y Em] (X)(P)

la localizaci¶on del grupo Em] (X ), en el conjunto de primos P . Entonces si

m ¸ dimX

Em] (X(P )) »= Em] (X)(P)


En particular si localizamos sobre Q se puede aplicar la teor¶³a de Sullivan

de modelos minimales. Esto ha sido hecho entre otros por Arkowittz, Lupton,

F¶elix y Murillo. Citamos aqu¶³ dos resultados de F¶elix y Murillo relativos a

Em] (X) y E(X) respectivamente que relacionan la nilpotencia de estos grupos

con la categor¶³a del espacio.

Teorema 1.4.13. [F-M I] Sea X un espacio del tipo de homotop¶³a de un

CW-complejo ¯nito simplemente conexo y sea m cualquier entero mayor que

la dimensi¶on de X. Entonces la racionalizaci¶on de los grupos Em] (X) y E](X)

es menor o igual que cat(X) ¡ 1.

Teorema 1.4.14. [F-M II] Si X es un espacio del tipo de homotop¶³a de un

CW-complejo, se veri¯ca que

nilEm (X ) · cat(X)¡ 1:

El grupo de autoequivalencias no tiene un comportamiento sencillo

respecto al producto de espacios. A partir del conocimiento de E(X) y de

E(Y ), no se conoce en general qui¶en es el grupo E(X £ Y ). S¶olo respuestas

parciales se han dado en esta sentido y se han estudiado ciertos tipos muy

concretos de espacios [He], [P]. Esto nos puede indicar por tanto la di¯cultad

que plantea el considerar el grupo de autoequivalencias asociado al espacio

total de una cierta ¯braci¶on si ni tan siquiera podemos decir nada en el caso

de tener una ¯braci¶on trivial.

Considerando una ¯braci¶on de espacios racionales 1-conexos y del tipo de

homotop¶³a de CW-complejos ¯nitos

F ! E ! B

F¶elix y Murillo [F-M I], de¯nen el grupo Em] (E;F ):


De¯nici¶on 1.4.15. Em] (E;F ) es el grupo formado por clases de autoequi-

valencias de homotop¶³a (no ¯bradas) de aplicaciones ¯bradas Á de E que

adem¶as inducen la identidad en los grupos de homotop¶³a de la ¯bra F hasta

orden m.

F¶elix y Murillo establecen la nilpotencia de este grupo en t¶erminos de la

categor¶³a del espacio total E .

Teorema 1.4.16. [F-M I] Si dimX · m, entonces

nil Em] (E;F ) · 2cat(X) ¡ 1:

Una generalizaci¶on del grupo de autoequivalencias de un espacio se ob-

tiene considerando ¯braciones, F ! E ! B, y clases de equivalencias de

homotop¶³a ¯brada de E en s¶³ mismo. Si se consideran espacios sin punto

base y clases ¯bradas libres tenemos el grupo de autoequivalencias de homo-

top¶³a ¯brada libre asociada a una cierta ¯braci¶on.

De¯nici¶on 1.4.17.

1. E(E;F ) es el grupo formado por las clases de autoequivalencias de homo-

top¶³a ¯brada de E.

2. E(E;F )f es el grupo formado por las clases de autoequivalencias de ho-

motop¶³a ¯brada libre de E .

Si consideramos la ¯braci¶on X ! X ! ¤ vemos que E(X;X) = E(X)

lo cual nos muestra que efectivamente las autoequivalencias de homotop¶³a

¯brada generalizan a las no ¯bradas. Muchos resultados sobre E(X) se ex-

trapolan a las autoequivalencias de homotop¶³a ¯brada. Queremos destacar


como el resultado de Sullivan y Wilkerson fue extendido por Scheerer en este

contexto.

Teorema 1.4.18. [Schee] Si F ! E ! B es una ¯braci¶on de espacios

nilpotentes y del tipo de homotop¶³a de CW -complejos ¯nitos o bien con

una cantidad ¯nita de grupos de homotop¶³a no triviales entonces E(E;F ) y

E(E;F )f son grupos ¯nitamente presentados.

En una l¶³nea algo diferente James consider¶o el subgrupo ©1(E) de E(E;F )f

formado por aquellas clases ¯bradas que son hom¶otopas a la identidad en ca-

da ¯bra. James consider¶o la acci¶on dada por la conjugaci¶on del grupo sobre

el subgrupo y estableci¶o la nilpotencia de la acci¶on. M¶as tarde Meiwes gene-

raliz¶o algo m¶as el resultado de James.

Teorema 1.4.19. [J],[Me] Si F ! E ! B es una ¯braci¶on deCW -complejos

y cat(B) es ¯nita, entonces la acci¶on dada por conjugaci¶on de E(E;F )f sobre

©1(E) es nilpotente. Adem¶as

nilE(E;F )f©1(E) · cat(B):

Cap¶³tulo 2

Autoequivalencias ¯bradas en

el contexto racional

A lo largo de ¶este y los siguientes cap¶³tulos, por comodidad y simplicidad

en la notaci¶on, a menudo no distinguiremos entre una clase de homotop¶³a y

la aplicaci¶on que la representa. As¶³ mismo a veces escribiremos la igualdad

de aplicaciones cuando queramos expresar que son hom¶otopas. En todo este

cap¶³tulo nuestros espacios ser¶an espacios racionales, 1-conexos, de tipo ¯nito

y del tipo de homotop¶³a de CW -complejos. En particular, como ya obser-

vamos en el cap¶³tulo anterior, clases libres y clases basadas de aplicaciones

coinciden y es aplicable la teor¶³a de modelos minimales de Sullivan. A la

vista de los resultados de F¶elix y Murillo enunciados en el cap¶³tulo ante-

rior (teoremas 1.4.13 y 1.4.16), vamos a centrar nuestro estudio en establecer

resultados an¶alogos en el contexto ¯brado.

54

2. Autoequivalencias ¯bradas en el contexto racional 55

2.1 Realizaci¶on de Homotop¶³a ¯brada

Recordemos que si ¤V es un modelo minimal podemos considerar Aut](¤V ),

los automor¯smos de ¤V que inducen la identidad en V . El grupo formado

por las clases de homotop¶³a de estos mor¯smos lo denotamos por E](¤V ) y

resulta ser antiisomorfo a E](X), siendo X la realizaci¶on geom¶etrica de ¤V .

En analog¶³a con esto de¯nimos lo siguiente en el caso ¯brado:

De¯nici¶on 2.1.1. Sea F ! E ! B una ¯braci¶on. De¯nimos Em(E;F )

como el subgrupo de E(E;F ) consistente en aquellas clases ¯bradas hfi tales

que al restringir a la ¯bra F , su clase [fjF ] 2 Em] (F ). De¯nimos E(E;F )

como la intersecci¶on de todos los Em(E;F ) al variar m.

Observemos que es necesario en esta de¯nici¶on considerar clases ¯bradas

para que la restricci¶on a la ¯bra, como clase, tenga sentido.

Consideremos un ¶algebra de Sullivan relativa

(¤VB; d) ! (¤VB ¤VF ; d);

vamos a de¯nir el concepto de homotop¶³a ¯brada algebraica entre mor¯smos

de (¤VB ¤VF ; d)! (¤VB ¤VF ; d).

De¯nici¶on 2.1.2. Sean ® y ¯ mor¯smos de (¤VB ¤VF ; d) ! (¤VB ¤VF ; d) tales que ®j¤VB = ¯j¤VB = 1¤VB . Denotemos por ® y ¯ a los mor-

¯smos inducidos por ® y ¯ respectivamente, ®; ¯ : (¤VF ; d) ! (¤VF ; d) .

Decimos que ® y ¯ son hom¶otopas ¯bradas algebraicas si existe un mor¯smo

Á : (¤VB ¤VF ;d)! (¤VB ¤VF ; d) ¤(t; dt)

tal que:


² (1 ²0)Á = ®.

² (1 ²1)Á = ¯.

² En el siguiente diagrama conmutativo

(¤VB; d) ,! (¤VB ¤VF ; d) ¤(t; dt) ! (¤VF ; d) ¤(t; dt)

k " Á " Á(¤VB; d) ,! (¤VB ¤VF ; d) ! (¤VF ; d)

Á es una homotop¶³a entre ® y ¯, esto es:

(1 ²0)Á = ® y (1 ²1)Á = ¯:

Fij¶emonos en que la existencia de Á con (1 ²0)Á = ®, (i ²1)Á = ¯

fuerza que (1 ²0)Á = ® ; (1 ²1)Á = ¯. Por tanto de hecho esta

de¯nici¶on coincide con las clases de homotop¶³a relativa a la identidad de

¤VB. As¶³ tenemos una relaci¶on de equivalencia de¯nida entre automor¯smos

de (¤VB ¤VF ; d) que restringidos a (¤VB; d) son la identidad. A la clase

de equivalencia de un cierto mor¯smo ' la denotamos por h'i.Teniendo como modelo E(E;F ) hacemos la siguiente de¯nici¶on

De¯nici¶on 2.1.3. Dada un ¶algebra de Sullivan relativa

(¤VB; d) ! (¤VB ¤VF ; d)

de¯nimos Em(¤VB¤VF ;¤VF ) como el grupo de clases de homotop¶³a ¯brada

algebraica de automor¯smos Á de (¤VB ¤VF ; d) que satisfacen

Á(v) = v; v 2 VB;

Á(w) ¡ w 2 (¤+VB ¤VF) © ¤¸2VF ; w 2 V ·mF :


A partir de la de¯nici¶on de homotop¶³a ¯brada algebraica obtenemos el si-

guiente resultado que generaliza, usando homotop¶³as ¯bradas, aquel que a¯r-

ma que aplicaciones hom¶otopas poseen representantes de Sullivan hom¶otopos.

Proposici¶on 2.1.4. Sea la ¯braci¶on F ! E ! B (de espacios 1-conexos y

con homolog¶³a de tipo ¯nito) y sean f; g : E ! E aplicaciones hom¶otopas

¯bradas topol¶ogicas. Entonces sus representantes de Sullivan son hom¶otopos

¯brados algebraicos.

Demostraci¶on:

Sea H una homotop¶³a ¯brada entre f y g. Se tiene el diagrama

F £ I ,! E £ I ! B

# HjF£I # H kF ,! E ! B:

Podemos aplicar el funtor A a este diagrama y a continuaci¶on los modelos

de Sullivan de cada una de estas ¶algebras y tenemos:

(¤VB; d) ,! (¤VB ¤VF ; d) ¤(t; dt) ! (¤VF ; d) ¤(t; dt)

k " 'H " 'H(¤VB; d) ,! (¤VB ¤VF ; d) ! (¤VF ; d)

donde (¤VB; d) es un modelo de la base B, (¤VF ; d) es un modelo de la ¯bra

F y 'H es un representante de Sullivan de H. As¶³ resulta que 'H, la inducida

por 'H , es un representante de Sullivan de HjF£I . Es inmediato comprobar

que 'H es una homotop¶³a ¯brada algebraica entre representantes de Sullivan

de f y g.

Rec¶³procamente se puede demostrar que aplicaciones ¯bradas algebraicas

se pueden realizar en aplicaciones ¯bradas topol¶ogicas, de tal forma que si son


entre ellas hom¶otopas ¯bradas algebraicas, sus realizaciones son hom¶otopas

¯bradas topol¶ogicas. Para ello consideremos el siguiente diagrama:

(¤X; d) ,! (¤X ¤Y; d)

1 k ' #(¤X; d) ,! (¤X ¤Y; d) ¤(t; dt)

que, mediante la equivalencia entre categor¶³as homot¶opicas apuntada en

1.2.28, se realiza en el siguiente diagrama conmutativo:

B Ã S

1 k ' "B Ã S £ I :

Hemos demostrado de esta forma el siguiente resultado:

Proposici¶on 2.1.5. Sea el ¶algebra de Sullivan relativa

(¤VB; d) ! (¤VB ¤VF ; d)

y sean ® y ¯ mor¯smos de (¤VB ¤VF ; d) ! (¤VB ¤VF ; d) hom¶otopos

¯brados algebraicos. Entonces, sus respectivos mor¯smos de realizaci¶on son

hom¶otopos ¯brados topol¶ogicos.

A la vista de las proposiciones anteriores podemos enunciar el siguiente

Teorema 2.1.6. Consideremos la ¯braci¶on F ! E ! B (de espacios 1-

conexos y con homolog¶³a de tipo ¯nito) y su ¶algebra de Sullivan relativa

asociada (¤VB; d) ! (¤VB ¤VF ; d) ! (¤VF ; d). Existe una corresponden-

cia biyectiva entre el monoide de clases de homotop¶³as ¯bradas topol¶ogicas

de aplicaciones ¯bradas y el monoide de clases de homotop¶³as ¯bradas alge-

braicas de mor¯smos de su ¶algebra de Sullivan relativa asociada.


En particular las clases de autoequivalencias ¯bradas (topol¶ogicas) de una

cierta ¯braci¶on se corresponden exactamente con las clases de autoequiva-

lencias ¯bradas (algebraicas) del modelo de Sullivan relativo asociado a la

¯braci¶on.

Corolario 2.1.7. El grupo de autoequivalencias ¯bradas, Em(E;F ), es anti-

isomorfo al grupo de clases de automor¯smos ¯brados algebraicos

Em(¤VB ¤VF ;¤VF ).

2.2 Variante del resultado de F¶elix y Murillo

F¶elix y Murillo consideran Em] (E;F ), ver de¯nici¶on 1.4.15. Son clases (ordi-

narias) de homotop¶³a de ¿ciertasÀ aplicaciones. Este detalle es importante:

las aplicaciones que consideran no s¶olo son ¯bradas y autoequivalencias (or-

dinarias), sino que adem¶as les ocurre que al restringir inducen la identi-

dad en los grupos de homotop¶³a de la ¯bra t¶³pica hasta el lugar m. Esto

es, denotemos por A al conjunto formado por las aplicaciones f : E ! E

que son ¯bradas y poseen inversa homot¶opica, y llamemos B al subconjun-

to de A de aquellas que adem¶as les ocurre que ¼¤(fjF) = 1¼¤ hasta orden

m. Consideramos en A y en B la relaci¶on de homotop¶³a usual. Entonces,

Em] (E;F ) = B=». De hecho este grupo es un subgrupo de E(E). Recordemos

por otra parte el conocido y cl¶asico resultado de A. Dold.

Teorema 2.2.1. [Dold] Sea F ! E ! B una ¯braci¶on de CW -complejos

y sea f : E ! E una aplicaci¶on ¯brada. Entonces, f es una equivalencia de

homotop¶³a si y s¶olo si es una equivalencia de homotop¶³a ¯brada.

Como corolario obtenemos:


Corolario 2.2.2. La aplicaci¶on E(E;F )'! A=» de¯nida por 'hf i = [f] es

un mor¯smo sobreyectivo de grupos.

Demostraci¶on:

Sea [f] 2 A=». Entonces f es, por de¯nici¶on, una aplicaci¶on ¯brada y

adem¶as una autoequivalencia de homotop¶³a; podemos por tanto aplicar el

resultado de Dold y deducimos que es una autoequivalencia de homotop¶³a

¯brada. As¶³ resulta que su clase ¯brada hf i es un elemento de E(E;F ) y

claramente 'hfi = [f].

No obstante' no es en general biyectiva. Existen ejemplos de aplicaciones

¯bradas de forma que sus clases de homotop¶³a son iguales y sin embargo

sus clases ¯bradas son distintas. M¶as adelante, en 2.3.2, damos ejemplos

concretos de esta situaci¶on para los que ker' no es el subgrupo trivial.

Obs¶ervese adem¶as que el mor¯smo ' del corolario anterior se restringe a

sobreyecciones ' : Em(E;F )! Em] (E;F ) = B=», y ' : E(E;F ) ! E](E;F ).

Tiene por tanto inter¶es preguntarse si la cota encontrada en [F-M I] para

el orden de nilpotencia de Em] (E;F ) sigue siendo v¶alida para Em(E;F ).

Damos, parcialmente, una respuesta a¯rmativa a esta pregunta:

Teorema 2.2.3. Sea F ! E ! B una ¯braci¶on de espacios racionales,

1-conexos de tipo ¯nito. Entonces, E(E;F ) es nilpotente y

nil E(E;F ) · 2catf(E) ¡ 1:

M¶as a¶un supongamos que se satisface alguna de las siguientes condiciones:

(a) dim¼¤(F ) < 1.

(b) dimH¤(E) < 1.


Sea m tal que, o bien ¼>m(F ) = 0, o bien H>m(E) = 0. Entonces, Em(E;F )

es nilpotente y

nil Em(E;F ) · 2catf(E)¡ 1:

En el enunciado anterior, catf(E) denota la ¿categor¶³a ¯brada de EÀ que

a continuaci¶on de¯nimos:

Consideremos una ¯braci¶on F ! Ep! B de espacios racionales, 1-

conexos y de tipo ¯nito. Consideremos ¤VB el modelo minimal de B y

el ¶algebra de Sullivan relativa asociada a la ¯braci¶on anterior

(¤VB; d)! (¤VB ¤VF ; d) ! (¤VF ; d)

Consideremos as¶³ mismo ¤Z ¤T el modelo minimal de la proyecci¶on

¤VB ¤VF = ¤(VB © VF)¼! ¤(VB ©VF)=¤>s(VB © VF)

Esto es, si llamamos Z = VB©VF , se tiene el siguiente diagrama conmutativo:

¤Z¼- ¤Z=¤>sZ

ZZ

ZZ

ZZ

ms ~¤Z ¤T:

'6

De¯nici¶on 2.2.4. La categor¶³a ¯brada de E, catf(E), es el menor entero s

tal que existe una retracci¶on homot¶opica ¯brada de ms, esto es, que existe

un mor¯smo hs : ¤Z ¤T ! ¤Z que es la identidad en ¤VB y tal que la

composici¶on hsms es hom¶otopa ¯brada a la identidad de ¤VB ¤VF .

Nota 2.2.5. Sobre esta de¯nici¶on podemos hacer las siguientes observa-

ciones


(1) Si existe hs retracci¶on homot¶opica ¯brada de ms, hs es en particular una

retracci¶on homot¶opica ya que toda homotop¶³a ¯brada es en particular

una homotop¶³a. Por tanto catE · s. As¶³ para cualquier ¯braci¶on

F ! E ! B se tiene

catE · catf (E)

(2) Si (¤VB ¤VF ; d) resulta ser un modelo minimal, entonces catE =

catf(E). En efecto, en este caso, si catE = s existe hs retracto (no s¶olo

homot¶opico) de ms, esto es, hsms = 1. En particular hs es trivialmente

hom¶otopa ¯brada a la identidad. As¶³ catf(E) · s = catE , que junto

con (1) prueba la igualdad. Es conocido cual es el signi¯cado topol¶ogico

de ser (¤VB ¤VF ; d) minimal como modelo:

Sea d1 la parte lineal de la diferencial d en ¤VB ¤VF . Tenemos

asociada la sucesi¶on exacta corta de los indescomponibles

0! (VB; 0)! (VB © VF ; d1) ! (VF ; 0) ! 0

y a su vez asociada a ¶esta se tiene la sucesi¶on exacta larga de coho-

molog¶³a

¢ ¢ ¢V nB ! Hn(VB © VF ; d1)! V nF ! V n+1B ¢ ¢ ¢

Esta sucesi¶on es dual a la sucesi¶on exacta larga de homotop¶³a de la

¯braci¶on inicial. El mor¯smo de conexi¶on viene dado por la diferencial

d1, de esta forma si d1 = 0 resulta que el mor¯smo

Hom(¼n(E);Q) ! Hom(¼n(F );Q)

es sobreyectivo. De esto se deduce la inyectividad del mor¯smo

¼n(F ) ! ¼n(E)


y de esto la sobreyectividad de ¼¤(p). Fij¶emonos adem¶as que cada uno

de los pasos que hemos dado pueden ser invertidos. As¶³ pues d1 = 0 es

equivalente a que el mor¯smo ¼¤(p) sea sobreyectivo. Pero la condici¶on

d1 = 0 es a su vez equivalente a que el modelo (¤VB ¤VF ; d) sea

minimal.

De esta forma por el teorema anterior se tiene:

Corolario 2.2.6. Si en la ¯braci¶on F ! Ep! B, en las condiciones del

teorema anterior, el mor¯smo ¼¤(p) es sobreyectivo, se veri¯ca que

nilEm(E;F ) · 2cat(E)¡ 1:

Para probar el teorema 2.2.3 seguimos el proceso an¶alogo al empleado en

[F-M I].

Consideremos un modelo minimal (¤V; d), un ¶algebra de Sullivan relativa

(¤V ¤W;d) y sea un m natural ¯jo o 1 . Para cada r ¸ 1 sea Gr el

subgrupo generado por aquellos automor¯smos ' : (¤V ¤W;d) ! (¤V ¤W;d) que cumplen

'(v) = v; 8 v 2 V

y adem¶as

'(w) ¡ w 2M

2p+q¸r+1

¤pV ¤qW

para cada w 2W k, siendo k · m.

En estas condiciones si [G1; Gr] denota el subgrupo generado por los con-

mutadores de G1 y Gr, se tiene el siguiente resultado:


Lema 2.2.7. [G1; Gr] ½Gr+1.

Demostraci¶on:

En primer lugar observemos que si ' es un generador de Gr, su inverso

'¡1 tambi¶en lo es. Para ello basta aplicar sucesivamente ' y '¡1 sobre los

elementos de V y W .

Por otro lado tambi¶en es inmediato que si ai;j es un elemento de ¤iV ¤jW·m con 2i + j ¸ 2 y ' es un generador de Gr

'(ai;j)¡ ai;j 2M

2p+q¸2i+j+1

¤pV ¤qW:

Sean '1 y '2 generadores de G1 y Gr respectivamente, y sea w un elemento

de W k con k · m. Vamos a aplicar '1'2'¡11 '¡1

2 sobre w. Por ser '¡12

generador de Gr se tiene

'¡12 (w) = w +

X

2i+j¸r+1

ai;j:

An¶alogamente

'¡11 (w) = w +

X

2i+j¸r+1

bi;j

donde ai;j y bi;j son elementos de ¤iV ¤jW .

'¡11 '¡1

2 (w) = '¡11 (w +

X

2i+j¸r+1

ai;j) = '¡11 (w) + '¡1

1 (X

2i+j r+1

ai;j):

De acuerdo con la observaci¶on que hac¶³amos al principio el ¶ultimo sumando

es de la formaX

2i+j¸r+1

ai;j +X

2i+j¸r+2

ci;j:

Por tanto obtenemos

'¡11 '¡1

2 (w) = w +X

2i+j¸r+1

bi;j +X

2i+j¸r+1

ai;j +X

2i+j r+2

ci;j:


Si aplicamos '2 se tiene

'2(w +X

2i+j¸r+1

bi;j +X

2i+j¸r+1

ai;j +X

2i+j¸r+2

ci;j) =

= '2(w +X

2i+j¸r+1

ai;j) + '2(X

2i+j¸r+1

bi;j) + '2(X

2i+j¸r+2

ci;j) =

= w +'2(X

2i+j r+1

bi;j) + '2(X

2i+j r+2

ci;j)

que es igual por la observaci¶on anterior a

w +X

2i+j¸r+1

bi;j +X

2i+j¸r+2

di;j:

Por ¶ultimo aplicamos '1

'1(w +X

2i+j r+1

bi;j +X

2i+j¸r+2

di;j) =

= '1(w +X

2i+j r+1

bi;j) + '1(X

2i+j r+2

di;j) =

= w +X

2i+j¸r+2

ei;j:

Esta ¶ultima igualdad prueba que el conmutador es un elemento de Gr+1.

Demostraci¶on del teorema 2.2.3:

Seg¶un el corolario 2.1.7 que ya probamos, resulta que Em(E;F ) (respec-

tivamente E(E;F )) es antiisomorfo a Em(¤VB¤VF ;¤VF ) (respectivamente

E(¤VB ¤VF ;¤VF)), por tanto basta probar el resultado para este grupo.


Sea Gr el subgrupo generado por aquellos automor¯smos ' : (¤VB ¤VF ; d)! (¤VB ¤VF ; d) que cumplen

'(v) = v; 8 v 2 VB

'(w) ¡ w 2M

2p+q¸r+1

¤pVB ¤qVF w 2 V kF ; k ·m:

Es evidente que Em(¤VB¤VF ;¤VF) coincide con las clases de homotop¶³a

¯brada algebraica de elementos de G1. De acuerdo con el lema 2.2.7 anterior

se tiene [G1; Gr] ½ Gr+1. Por tanto si tomamos r ¸ 2s donde s = catf (E)

tenemosM

2p+q¸r+1

¤pVB ¤qVF ½ ¤>s(VB © VF ):

As¶³ pues, si Á es un r-conmutador de elementos de Em(¤VB ¤VF ;¤VF ), se

veri¯ca que

(a) Á(w) ¡ w 2 ¤>sZ; w 2 V kF ; k · m; donde Z = VB © VF ;

y claramente

(b) Á(v) = v; v 2 VB:

Probaremos ahora que Á es hom¶otopo ¯brado a la identidad. Consideremos

para ello el diagrama

¤Z ¤Z=¤>sZ

§ ¤Z ¤T = ¤VB ¤VF ¤T

@@

@@R

-ps

6hs js ' Ãs

6


donde hs es una retracci¶on homot¶opica ¯brada de js. Supongamos en primer

lugar que la homotop¶³a de la ¯bra es de dimensi¶on ¯nita y ¼>m(F ) = 0.

Entonces VF = V ·mF y en virtud de (a) y (b) se tiene que psÁ = ps. Se tiene

por tanto el siguiente diagrama conmutativo

¤VB ¤Z ¤T

¤VB ¤VF ¤Z=¤>sZ .

-

-psÁ = ps

© © © © ©*jsÁ

© © © © ©*

js

' Ãs??

Aplicamos entonces el lema 1.2.5 para concluir que jsÁ es hom¶otopa ¯-

brada a js. Por ¶ultimo, puesto que hs es una retracci¶on homot¶opica ¯brada,

se tiene que hsjsÁ » Á es hom¶otopa ¯brada a hsjs » 1¤Z. N¶otese que este

argumento prueba tambi¶en el primer apartado del teorema.

Supongamos ahora que H>m(E) = 0 y consideremos la inclusi¶on

¾ : ¤VB ¤V ·mF ,! ¤VB ¤VF :

De nuevo por (a) y (b) se tiene que psÁ¾ = ps¾, y por el mismo razonamiento

que en el caso anterior, deducimos que jsÁ¾ es hom¶otopa ¯brada a js¾ y por

tanto, aplicando hs, Á¾ es hom¶otopa ¯brada a ¾. Sea

H : (¤VB ¤V ·mF ; d)! (¤VB ¤VF ; d) ¤(t;dt)

una tal homotop¶³a y consideremos el siguiente diagrama conmutativo (no


punteado)

¤VB ¤V ·mF

H- ¤VB ¤VF ¤(t; dt)

......

......

....

~H

>

¤VB ¤VF?

\

Á- ¤VB ¤VF

1 ²0 '?

De nuevo, en virtud del lema 1.2.5, extendemos H a una homotop¶³a ¯bra-

da ~H entre Á y un mor¯smo ~¾ : ¤VB¤VF ! ¤VB¤VF que es la identidad

en ¤VB¤V ·mF . Veamos por ¶ultimo que ~¾ es hom¶otopa ¯brada a 1¤VB¤VF .

Para ello consideremos el ideal diferencial I = (¤VB ¤VF )>m©S donde S

es un suplementario de los cociclos de grado m. Puesto que H>m(E) = 0, I

es claramente ac¶³clico y por tanto la proyecci¶on

q : ¤VB ¤VF'! ¤VB ¤VF =I

es un quasi-isomor¯smo. Adem¶as q~¾ = q por lo que el siguiente diagrama

conmuta

¤VB ¤Z

¤Z ¤Z=I .

-

-q = q~¾

© © © © ©*~¾

© © © © ©*

1

' q

??

De nuevo por el lema 1.2.5 deducimos que ~¾ es hom¶otopa ¯brada a 1¤Z,

de donde se sigue el teorema.


2.3 Algunos ejemplos

Los siguientes ejemplos tratan de poner de mani¯esto algunas de las dife-

rencias que existen entre las homotop¶³as ¯bradas y las no ¯bradas. As¶³ como

detalles que se han de tener en cuenta al considerar aplicaciones ¯bradas y

aplicaciones hom¶otopas a ellas.

Ejemplo 2.3.1. Sea el ¶algebra de Sullivan relativa siguiente:

(¤x2; 0) ! (¤x2 ¤y1; d)! (¤y1; 0)

donde el ¶algebra central es ac¶³clica, esto es, d(y1) = x2 y donde los sub¶³ndices

indican el grado de los elementos. Sea

Á : (¤x2 ¤y1;d)! (¤x2 ¤y1; d) ¤(t; dt)

que viene dada por

Á(x2) = x2t¡ y1dt y Á(y1) = y1t:

N¶otese que Á se extiende de forma ¶unica a un mor¯smo de ¶algebras que resulta

ser de ¶algebras diferenciales. Se tienen as¶³ dos aplicaciones hom¶otopas Á0 =

(1 ²0)Á y Á1 = (1 ²1)Á. Si restringimos Á0 a ¤x2 obtenemos la identidad,

esto es, Á0 es una aplicaci¶on ¯brada. Por el contrario si restringimos Á1

obtenemos la aplicaci¶on nula, en particular Á1 no es ¯brada. Esto es, hemos

encontrado dos aplicaciones hom¶otopas de forma que una es ¯brada y la otra

no lo es. Por tanto no tiene sentido considerar clases de aplicaciones ¯bradas,

salvo que las clases sean de homotop¶³a ¯brada.

Ejemplo 2.3.2. El siguiente ejemplo algebraico muestra la necesidad de in-

troducir el grupo de autoequivalencias de homotop¶³a ¯brada si queremos


restringir clases de aplicaciones a la ¯bra. La restricci¶on tiene perfecto senti-

do como aplicaciones pero no lo tiene como clases ordinarias si las clases de

partida no son ¯bradas. Consideremos la ¯braci¶on

K(Q; 2) £K(Q; 2) ! P (K(Q; 3)) £K(Q; 2)! K(Q; 3)

que se obtiene como el producto de la ¯braci¶on universal sobre K(Q; 3)

K(Q; 2) ! P (K(Q; 3)) ! K(Q; 3)

y de la ¯braci¶on constante

K(Q; 2) ! K(Q; 2)! ¤:

El modelo de Sullivan de la ¯braci¶on es el siguiente:

(¤x3; 0) ! (¤x3y2z2; D) ! (¤y2z2; 0)

donde los sub¶³ndices indican el grado de cada elemento y donde la diferencial

D viene dada sobre los generadores de la siguiente forma:

Dx3 = 0; Dy2 = x3; Dz2 = 0

Consideramos el mor¯smo diferencial ° : (¤x3y2z2; D)! (¤x3y2z2; D) de¯nido

sobre los generadores como

°(y2) = y2 + z2; °(z2) = z2 y °(x3) = x3:

Claramente ° es una aplicaci¶on ¯brada ya que se restringe a la identidad en

¤x3. Por otro lado observemos que el modelo minimal de (¤x3y2z2; D) es

precisamente (¤z2; 0) y al ser la identidad de ¤z2 un representante de Sullivan


de ° concluimos que ° es hom¶otopa a la identidad. De hecho podemos dar

expl¶³citamente una homotop¶³a entre la identidad y °: Sea Á el siguiente

mor¯smo diferencial

Á : (¤x3y2z2; D)! (¤x3y2z2; D) ¤(t; dt)

dado sobre los generadores por

Á(x3) = x3 + z2dt; Á(y2) = y2 + z2t y Á(z2) = z2:

Es inmediato comprobar que (1 ²0)Á = 1¤x3y2z2 y que (1 ²1)Á = °. Por

tanto Á es una homotop¶³a entre la identidad y °. Fij¶emonos sin embargo que

Á no es una homotop¶³a ¯brada. De hecho no puede existir ninguna homotop¶³a

¯brada entre la identidad y °. Si existiera una tal homotop¶³a ¯brada Á, la

aplicaci¶on inducida en (¤y2z2; 0) ¤(t; dt), Á, ser¶³a una homotop¶³a entre °,

la inducida por ° en ¤y2z2, y la identidad en ¤y2z2. Sin embargo °,

°(y2) = y2 + z2; °(z2) = z2;

no es hom¶otopa a la identidad ya que si lo fuera deber¶³a inducir la identidad

en cohomolog¶³a. En este caso, al ser la diferencial nula esto querr¶³a decir que

° deber¶³a ser la identidad, lo cual es claramente falso. As¶³ pues, este ejemplo

nos muestra que no tiene sentido la restricci¶on a la ¯bra de clases de homo-

top¶³a de automor¯smos del espacio total, ya que aplicaciones hom¶otopas en

el espacio total no son necesariamente hom¶otopas al restringir a la ¯bra. Este

ejemplo tambi¶en pone de mani¯esto como ' : E(E;F ) ! A=», el mor¯smo

del corolario 2.2.2, no es siempre inyectivo. En efecto, en este ejemplo hemos

probado que 'h°i = [°] = [1E ] y sin embargo h°i 6= h1Ei.

Cap¶³tulo 3

Autoequivalencias ¯bradas

En el cap¶³tulo anterior hemos obtenido una cota para la nilpotencia del grupo

E(E;F ) asociado a una cierta ¯braci¶on F ! E ! B de espacios racionales,

1-conexos y de tipo ¯nito. El enfoque que all¶³ hac¶³amos es eminentemente al-

gebraico ya que descansa sobre los modelos de los espacios. En este cap¶³tulo

por el contrario vamos a dar un tratamiento distinto. Por un lado los espacios

que consideramos aqu¶³ son CW -complejos cualesquiera no necesariamente 1-

conexos, y por otro el enfoque va a ser menos algebr¶aico y m¶as topol¶ogico. En

la primera secci¶on introducimos el grupo EG(E;F ) que generaliza a E(E;F ),

demostramos que bajo ciertas condiciones es un grupo nilpotente, y damos

una cota para su ¶³ndice de nilpotencia. En la segunda secci¶on presentamos

consecuencias de este resultado y damos ejemplos que muestran que la co-

ta antes mencionada es la mejor posible. Al particularizar sobre espacios

racionales obtenemos una nueva cota para la nilpotencia de E(E;F ).

72

3. Autoequivalencias ¯bradas 73

3.1 El grupo EG(E;F)

Para clases de homotop¶³a de aplicaciones basadas de un espacio X, [X;X]¤,

se considera el subgrupo de clases de equivalencia de homotop¶³a E(X), y un

subgrupo suyo E](X) de aquellas que inducen la identidad sobre los grupos

de homotop¶³a de X. En el caso no basado vamos a considerar en [X;X] las

clases de equivalencia libres, E(X)f , y un subgrupo suyo E(X).

De¯nici¶on 3.1.1. De¯nimos para cada entero ¯jo m, Em(X), como el sub-

grupo de E(X )f consistente en aquellas clases de equivalencia que inducen la

identidad en [Sn; X] para cada n· m. De¯nimos E(X) como la intersecci¶on,

al variar m, de todos los Em(X ).

M¶as generalmente, dada una ¯braci¶on de CW -complejos F ,! Ep! B,

consideramos el grupo de clases de equivalencia de homotop¶³a ¯brada libre

E(E;F )f , es decir, el grupo cuyos elementos son clases de equivalencia de

homotop¶³a ¯brada de aplicaciones g : E ! E libres y ¯bradas (gp = p) tales

que poseen inverso homot¶opico ¯brado.

De¯nici¶on 3.1.2. Em(E;F ) consiste en el subgrupo de E(E;F )f formado

por clases de equivalencia de homotop¶³a ¯brada libre, hgi, tales que al res-

tringir a cada ¯bra Fb, [gjFb], es un elemento de E(Fb). As¶³ mismo de¯nimos

E(E;F ) como la intersecci¶on de todos los Em(E;F ).

Lema 3.1.3. Si X es arcoconexo y la acci¶on del grupo fundamental sobre

[X;X]¤ es trivial , los grupos Em(X) y Em] (X) son isomorfos.

Demostraci¶on:


Al ser X arcoconexo y trivial la acci¶on del grupo fundamental sobre

[X;X]¤, los conjuntos [X;X]¤ y [X;X] de clases de homotop¶³a basada, y

clases de homotop¶³a libres son biyectivos, en virtud del corolario 1.1.5. La

correspondencia que consiste en asociar a cada clase de aplicaci¶on basada su

clase de homotop¶³a libre induce un isomor¯smo entre los grupos de clases de

equivalencia de homotop¶³a basada E(X) y libre E(X)f .

Corolario 3.1.4. En las condiciones anteriores si X es o bien un CW -

complejo ¯nito dimensional, o bien posee una cantidad ¯nita de grupos

de homotop¶³a no triviales, entonces Em(X) es un grupo nilpotente, para

dimX · m.

Demostraci¶on:

Por [D-Z], Em] (X) es nilpotente, pero por el lema 3.1.3 anterior Em(X) »=Em] (X), por tanto, Em(X) es nilpotente.

Nota 3.1.5. En 2.1.1 de¯n¶³amos ya Em(E;F ). Fij¶emonos en que esta nueva

de¯nici¶on es coherente con la anterior ya que para espacios 1-conexos ambas

coinciden.

Siguiendo las ideas de James [J] y Meiwes [Me], y el enfoque m¶as general

de F¶elix y Thomas [F-T], introducimos el grupo EG(E;F ) que generaliza en

cierto sentido a E(E;F ). Sea F ! E ! B una ¯braci¶on. Sea G = fGb=b 2Bg una familia de subgrupos tal que para cada b, Gb es un subgrupo de

E(Fb)f .

De¯nici¶on 3.1.6. EG(E;F ) es el subgrupo de las autoequivalencias de ho-

motop¶³a ¯brada libre hfi 2 E(E;F )f tales que [fjFb] 2 Gb para cada b 2 B,

EG(E;F ) = fhfi 2 E(E;F )f = [fjFb ] 2 Gb 8 b 2 Bg:


Nota 3.1.7. Si Gb = E(Fb) se tiene EG(E;F ) = E(E;F ) y as¶³ efectivamente

este grupo es una generalizaci¶on de E(E;F ).

A continuaci¶on enunciamos el resultado principal de este cap¶³tulo.

Teorema 3.1.8. Si en la familia G todos los grupos son nilpotentes y sus

clases de nilpotencia est¶an acotadas por un cierto entero k, y si la categor¶³a de

B es ¯nita, entonces el grupo EG(E;F ) es nilpotente y su clase de nilpotencia

es menor o igual que k + catB.

Lema 3.1.9. Sea fGi= i 2 Ig una familia de subgrupos nilpotentes, con

¶³ndice de nilpotencia acotado. Sea m el m¶aximo de los ¶³ndices de nilpo-

tencia de la familia. Entonces, el grupoQi2I Gi es un grupo nilpotente y

nilQi2I Gi = m.

Demostraci¶on:

Por ser m el m¶aximo de los ¶³ndices de nilpotencia de la familia se veri¯ca

que los conmutadores de m + 1 elementos cualesquiera b1; :::; bm+1 de un

cierto Gi arbitrario se anulan, (b1; :::; bm+1) = 1. Por tanto si tomamos el

conmutador de m+ 1 elementos deQi2I Gi y lo aplicamos a cualquier i 2 I,

se tiene

(F1; :::; Fm+1)(i) = (F1(i); :::; Fm+1(i)) = 1:

Esto prueba que nilQ

i2I Gi · m.

Por otro lado existe un cierto Gi0 y elementos a1; :::; am 2 Gi0 tales que su

m-conmutador no se anula, (a1; :::; am)6= 1. Si consideramos a1; :::; am como


elementos deQi2I Gi mediante la inclusi¶on

Gi0 ,!Y

i2IGi

en el factor i0, tenemos elementos A1; :::; Am 2Qi2I Gi que cumplen

(A1; :::; Am)(i0) = (A1(i0); :::; Am(i0))6= 1;

lo cual prueba que nilQi2I Gi ¸ m, de donde se deduce el enunciado del

lema.

Lema 3.1.10. Consideremos el siguiente diagrama de mor¯smos inyectivos

de grupos.

H ½ - G

H 0?

\

½ - G0?

\

Supongamos que G0 actua nilpotentemente en H 0 por conjugaci¶on y que H

es normal en G. Entonces G actua nilpotentemente en H y nilGH ·nilG0H 0.

Demostraci¶on:

Sea ! : G0 ! Aut(H 0) la acci¶on de G0 sobre H 0. Por ser H normal en G,

su restricci¶on a G proporciona una acci¶on de G sobre H.

Si notamos por °iG a la serie central descendente correspondiente a la

acci¶on de G sobre H, y por °iG0 a la de G0 sobre H 0 se tiene:

² °0G = H y °0

G0 = H 0 por lo que °0G ½ °0

G0.

² °1G = [G;H ] y °1

G0 = [G0; H 0] por lo que °1G ½ °1

G0.


En general por inducci¶on se prueba que °iG0 ½ °iG0. Estas inclusiones

demuestran que nilGH ·nilG0H 0.


Dada G = fGb=b 2 Bg la familia de subgrupos del teorema, consideremos

G =Y

b2BGb y la aplicaci¶on

' : EG(E;F )! G

dada por '(hfi) =Y

b2B[fjFb ]. La aplicaci¶on ' est¶a bien de¯nida ya que las

clases son ¯bradas y es claramente un homomor¯smo de grupos. Su n¶ucleo,

ker' = fhf i 2 EG(E;F )= 8 b [fjFb ] = 1g, coincide con el grupo Á1(E) in-

troducido por James [J], y Meiwes[Me]. De acuerdo con estos autores, se

tiene que Á1(E) es E(E;F )f-nilpotente de ¶³ndice menor o igual que cat(B).

Tenemos entonces las inclusiones indicadas en el siguiente diagrama:

Ker' ½ - EG(E;F )

k

Ker' ½ - E(E;F )f?

\

La acci¶on de E(E;F )f sobre Ker', al ser Ker' normal en EG(E;F ),

proporciona una de EG(E;F ) en Ker'. De acuerdo con el lema 3.1.10, esta

acci¶on es nilpotente, siendo

nilEG(E;F )Á1(E) = nilEG(E;F )Ker' · nilE(E;F )Ker' · cat(B): (¤)

Consideremos la sucesi¶on exacta corta,

1 ! Á1(E) ! EG(E;F ) ! Im'! 1:


Sea k = supfnilGb=b 2 Bg <1. De acuerdo con el lema 3.1.9, G =Y

b2BGb

es nilpotente y nilG = k. Por tanto Im' ½ G es tambi¶en nilpotente y

nilIm' · k. Por ¶ultimo en virtud de la proposici¶on 1.3.5, y a la vista de

(¤), EG(E;F ) es nilpotente y

nilEG(E;F ) · nilEG(E;F )Á1(E) + nil Im' · catB + k:

3.2 Consecuencias y ejemplos

Consideremos ¯braciones F ! E ! B en las que la ¯bra es, o bien un

CW-complejo ¯nito, o bien una pieza de Postnikov ¯nita. En ambos casos

denotamos m = dim F . Supongamos adem¶as que la acci¶on de ¼1(F ) sobre

[F; F ]¤ es trivial.

Para cada b 2 B tomamos Gb = Em(Fb) que coincide, en virtud del lema

3.1.3, con Em] (F ), grupo que es nilpotente a la vista de 1.4.11. As¶³ pues

en el teorema anterior nil Im' · nil Em] (F ). N¶otese adem¶as que en estas

condiciones EG(E;F ) = Em(E;F ). Aplicando entonces el teorema anterior

obtenemos:

Corolario 3.2.1. Em(E;F ) es nilpotente y adem¶as

nilEm(E;F ) · catB + nilEm] (F ):

An¶alogo resultado se obtiene considerando Gb = E(Fb) = E](Fb).


Corolario 3.2.2. E(E;F ) es nilpotente y adem¶as

nilE(E;F ) · catB + nilE](F ):

Particularizando al caso de espacios racionales 1-conexos de tipo ¯nito,

obtenemos lo siguiente:

Corolario 3.2.3. Sea FQ ! EQ ! BQ una ¯braci¶on de espacios racionales

1-conexos de tipo ¯nito. Entonces E(EQ; FQ) es nilpotente y adem¶as

nilE(EQ; FQ) · cat(FQ) + cat(BQ) ¡ 1:

M¶as a¶un, si H>m(FQ) = 0 o ¼>m(FQ) = 0, entonces Em(EQ; FQ) es nilpotente

y

nilEm(EQ; FQ) · cat(FQ) + cat(BQ)¡ 1:

Demostraci¶on:

Por el corolario 3.2.2 sabemos que E(EQ; FQ) es nilpotente y nilE(EQ; FQ) ·cat(BQ)+nilE](FQ). Pero de acuerdo con el teorema 1.4.13 de F¶elix y Murillo,

nil E](FQ) · cat(FQ)¡1 de donde obtenemos el primer resultado enunciado.

Para el segundo, utilizamos el corolario 3.2.1 y el mismo resultado de F¶elix

y Murillo.

Corolario 3.2.4. Sea

Sn ! E ! B

una ¯braci¶on donde n ¸ 1 y B es un co-H espacio. Entonces E(E; Sn) es

siempre un grupo abeliano.

Demostraci¶on:

Obvio, puesto que cat B = 1 y E](Sn) = f1g.


Ejemplos 3.2.5. Mostraremos con dos ejemplos, como la acotaci¶on dada en

el corolario 3.2.2, esto es,

nilE(E;F ) · cat(B) + nilE](F );

es la mejor posible.

1. Consideremos la ¯braci¶on

S3 ! S3 £ S3 p! S3

donde p es la proyecci¶on sobre la segunda componente. Veamos que

nilE(S3 £ S3; S3) = cat(S3) + nilE(S3) = 1:

Para ello s¶olo hemos de ver que E(S3 £ S3; S3) no es trivial:

Sea f : S3£S3 ! S3£S3, f (a; b) = (ab; b) donde ab denota el producto

inducido en S3 por H. Veamos que f representa un elemento no trivial

de E(S3£ S3; S3):

² Obviamente f es ¯brada.

² f es una equivalencia ya que de hecho es un homeomor¯smo de

inverso f¡1(x; y) = (xy¡1; y).

² La restricci¶on de f a cada ¯bra S3, induce la identidad en [Sn; S3]:

En efecto sea ' : S3 ! S3 la restricci¶on de f a la ¯bra de b y sea

® 2 [Sn; S3]. N¶otese que '(a) = ab y '¤(®)(x) = ®(x)b. Sea

! : I ! S3 un camino tal que !(0) = 1, !(1) = b. Entonces la

aplicaci¶on H : Sn£ I ! S3, H(x; t) = ®(x)!(t) es una homotop¶³a

entre ' ± ® y ®


² f no es hom¶otopa a la identidad; En otro caso las aplicaciones

S3 i2! S3 £ S3 f! S3 £ S3 p1! S3

x7! (1; x)7! (x; 1)7! x

ser¶³an hom¶otopas, esto es, 1S3 ser¶³a hom¶otopa a la constante.

2. Por otra parte si consideramos la ¯braci¶on

¤ ! S2 1S2! S2

se tiene que E(S2; ¤) y E(¤) son grupos triviales y la desigualdad

0 = nilE(S2; ¤) < cat(S2) + nilE(¤) = 1

es estricta.

Cap¶³tulo 4

Una aproximaci¶on dual

En este cap¶³tulo tratamos de dualizar, en el sentido de Eckman-Hilton, al-

gunos de los resultados obtenidos en cap¶³tulos precedentes. En primer lugar,

para un espacio racional X, estudiamos los ¶³ndices de nilpotencia y resolu-

bilidad de E¤(X), grupo de las autoequivalencias de homotop¶³a que inducen

la identidad en los grupos de homolog¶³a. Posteriormente centramos nuestro

estudio en los grupos duales de E(E;F ) y Á1(E). As¶³ dada una co¯braci¶on

A ,! X ! X=A;

consideramos aplicaciones (X;A) ! (X;A) que inducen la identidad en A,

y clases de equivalencia de homotop¶³a relativa a A de tales aplicaciones.

Entonces E(X;A) es el grupo de autoequivalencias seg¶un esta relaci¶on, y

ª1(X), el dual de Á1(E) de James [J], es el subgrupo de E(X;A) formado por

aquellas equivalencias que inducen la identidad en la co¯bra. Demostramos

entonces que si la co¯braci¶on est¶a formada por espacios racionales, ª1(X ) es

nilpotente y nil ª1(X ) · cocatA. Por ¶ultimo hacemos notar como el mismo

82

4. Una aproximaci¶on dual 83

proceso empleado en el cap¶³tulo 2 sirve para obtener que E¤(X;A) (subgrupo

de E(X;A) formado por las autoequivalencias cuyo mor¯smo inducido en la

co¯bra es la identidad en homolog¶³a) es nilpotente.

4.1 Nilpotencia y resolubilidad de E¤(X)

En esta secci¶on consideramos espacios racionales 1-conexos de tipo ¯nito.

Recordemos que Em¤ (X ) es el subgrupo de E(X) formado por aquellas au-

toequivalencias de homotop¶³a que inducen la identidad en los grupos de ho-

molog¶³a de X hasta el ordenm. Teniendo en cuenta por un lado la equivalen-

cia de categor¶³as entre espacios y ¶algebras de Lie y por otro que si (L(W ); @)

es un modelo minimal de Quillen de X, se tiene la identi¯caci¶on

Wi = Hi+1(X;Q) i ¸ 0

podemos enunciar el siguiente resultado

Proposici¶on 4.1.1. Em¤ (X ) es isomorfo al grupo de clases de homotop¶³a

de automor¯smos (L(W ); @) - (L(W); @) tales que inducen la identidad

en Wi, i · m ¡ 1, siendo (L(W ); @) el modelo minimal de Quillen de X.

Notamos a este grupo por Em¤ (L(W )).

Nota 4.1.2. Si notamos por E¤(L(W )) a la intersecci¶on de todos los Em¤ (L(W))

al variar m, es evidente, vista la proposici¶on anterior, que E¤(L(W )) es iso-

morfo al grupo E¤(X).

A partir de ahora podemos emplear el mismo proceso que el empleado en

2.2.3 para probar el siguiente resultado:


Teorema 4.1.3. Sea X un espacio racional 1-conexo cuya homotop¶³a o co-

homolog¶³a racional es de dimensi¶on ¯nita. Denotemos por m el orden del

mayor grupo de homotop¶³a o cohomolog¶³a no trivial. Entonces Em¤ (X) es

nilpotente y

nil Em¤ (X ) · cocat X ¡ 1:

Demostraci¶on:

Como hemos dicho se sigue el mismo m¶etodo que en 2.2.3. Por ello solo

hacemos aqu¶³ un breve resumen del mismo: A la vista de la proposici¶on ante-

rior el teorema es equivalente a a¯rmar que nil Em¤ (L(W )) · cocat L(W )¡1,

siendo (L(W ); @) el modelo minimal de Quillen de X. Dado pues un au-

tomor¯smo f : (L(W ); @) ! (L(W ); @) representante de un elemento de

Em¤ (L(W)), de¯nimos la longitud de f , l(f), como el menor entero n para

el que f(w) ¡ w 2 L¸n(W ); w 2 W·m¡1. Entonces, tal y como pro-

baron Arkowitz y Lupton el resultado dual [Ar-Lu], se tiene que si h es

un r-conmutador de tales automor¯smos l(h) ¸ r + 1. Este resultado y la

de¯nici¶on de longitud se traslada a Em¤ (L(W )): la longitud de una clase es el

m¶aximo de las longitudes de sus representantes.

Sea r = cocatL(W ) y sea h un r-conmutador de elementos de Em¤ (L(W )).

Consideremos el diagrama siguiente

L(W ) L(W )=L>r(W )

§ L(W ) ¤L(U)

@@

@@R

-pr

6sr jr ' Ãr

6


que representa el KQ-modelo de la proyecci¶on pr y donde sr es una retracci¶on

de jr.

(a) Supongamos en primer lugar que m es el mayor entero para el que

Hm(X;Q)6= 0. Entonces W = W·m¡1 y Em¤ (L(W )) = E¤(L(W )). En

este caso prh = pr y puesto que Ãr es un quasi-isomor¯smo jrh » jr.

Por tanto, srjrh » h es hom¶otopa a srjr » 1L(W).

(b) Supongamos ahora que m es el mayor entero para el que ¼m(X) 6=0. Entonces la dimensi¶on homol¶ogica de L(W ) es m ¡ 1, esto es,

H¸m(L(W ); @) = 0. En este caso consideremos la inclusi¶on

¾ : (L(W·m¡1); @) ,! (L(W ); @):

De nuevo prh¾ = pr¾ y por tanto, jrh¾ » jr¾. Aplicando sr obtenemos

que h¾ » ¾. V¶³a teor¶³a general de obstrucci¶on (en el contexto racional)

y toda vez que H¸m(L(W ); @) = 0, podemos extender una homotop¶³a

entre h¾ y ¾ a otra entre h y 1L(W) y de aqu¶³ se sigue el teorema.

Tambi¶en podemos a¯nar m¶as y dar una cota m¶as ajustada del ¶³ndice de

resolubilidad de Em¤ (X) siguiendo una idea de Arkowitz, Lupton y Murillo.

Teorema 4.1.4. Sea X un espacio racional 1-conexo de tipo ¯nito cuya

homotop¶³a o cohomolog¶³a racional es de dimensi¶on ¯nita. Denotemos por m

el orden del mayor grupo de homotop¶³a o cohomolog¶³a no trivial y sea r el

n¶umero de grupos de homotop¶³a no triviales hasta el grado m. Entonces:

sol Em¤ (X) · r ¡ 1:


Antes de su demostraci¶on recopilemos algunos resultados b¶asicos:

Dada una ¯braci¶on Fi! E

p! B y un espacio X consideremos la sucesi¶on

de Barrat-Puppe:

¢ ¢ ¢ ! [X;n+1B]! [X;nF ]! [X;nE]! [X;nB]! ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢ ! [X;B]! [X;F ]i¤! [X;E ]

p¤! [X;B]:

Existe una acci¶on del grupo [X;B] sobre el conjunto [X;F ] inducida por

la acci¶on homot¶opica del espacio de lazos de la base B sobre la ¯bra F .

Expl¶³citamente, si B £ F ¹! F denota la acci¶on homot¶opica y si X®! B

y Xf! F representan elementos de [X;B] y [X;F ] respectivamente, la

acci¶on de ® sobre f, que denotamos por ® ² f, viene dada por la siguiente

composici¶on

X(®;f)! B £ F ¹! F

cuya clase representa un elemento de [X;F ]. Adem¶as si f y g son elementos

de [X;F ] se veri¯ca que i¤(f ) = i¤(g) si y s¶olo si existe un elemento ® 2[X;B] tal que g = ® ² f. Recordemos tambi¶en que la acci¶on homot¶opica ¹

queda caracterizada por las igualdades (homot¶opicas):

² ¹i2 = 1F ;

² ¹i1 = j ,

² i¹= ip2.

Donde i1 : B ,! B £ F e i2 : F ,! B £ F son, respectivamente, las in-

clusiones en el primer y segundo factor. La aplicaci¶on p2 : B£F ! F es la

proyecci¶on sobre la segunda componente, y q : B ! F es la aplicaci¶on na-


tural que se obtiene al considerar B como la ¯bra homot¶opica de la apli-

caci¶on i : F ! E.

En particular si X(n) designa el n-¶esimo estadio de la torre de Postnikov

de un espacio X , 1-conexo, se tiene la siguiente ¯braci¶on

X (n+1) q! X(n) kn! K(¼n+1; n + 2)

con kn el n-invariante de Postnikov de X , y donde por comodidad en la

escritura ¼n+1 = ¼n+1(X).

As¶³, los primeros t¶erminos de la sucesi¶on de Barrat-Puppe asociada a la

¯braci¶on anterior y al espacio X(n+1) son precisamente

[X(n+1) ;K(¼n+1; n+1)]! [X(n+1) ; X(n+1)]q¤! [X(n+1); X(n)]

kn ¤! [X (n+1);K(¼n+1; n+2)]

La acci¶on homot¶opica

K(¼n+1; n + 1) £X(n+1) ¹! X(n+1)

induce la acci¶on del grupo [X(n+1);K(¼n+1; n + 1)] en [X(n+1) ; X(n+1)]: Si

f 2 [X(n+1); X(n+1)] y ® 2 [X (n+1);K(¼n+1; n + 1)], y si notamos por ² a la

acci¶on, ® ² f viene dada por la clase de la siguiente composici¶on:

X(n+1) (®;f )! K(¼n+1; n + 1) £X(n+1) ¹! X(n+1)

Adem¶as, como acabamos de se~nalar,

Proposici¶on 4.1.5. Sean f y g elementos de [X (n+1); X (n+1)]. Entonces,

q¤(f) = q¤(g) si y s¶olo si existe un elemento ® en [X(n+1);K(¼n+1; n+ 1)] tal

que ® ² f = g.

En este caso particular, las igualdades (homot¶opicas) que caracterizan a

la acci¶on homot¶opica ¹ son:


² ¹i2 = 1X(n+1);

² ¹i1 = i,

² q¹ = qp2.

Donde

K(¼n+1; n + 1)i1,! K(¼n+1; n + 1)£X (n+1);

X(n+1) i2,! K(¼n+1; n+ 1)£X (n+1);

y

K(¼n+1; n + 1) £X(n+1) p2! X(n+1) ;

son las correspondientes inclusiones y proyecciones. Y donde

K(¼n+1; n + 1)i! X(n+1)

es la aplicaci¶on natural que se obtiene al considerar K(¼n+1; n + 1) como la

¯bra homot¶opica de la aplicaci¶on

X(n+1) q! X(n):

Supongamos que (¤V; d) es el modelo minimal del espacio X. Entonces el

modelo minimal de X(n) es (¤V ·n; d) y el de K(¼n; n) es (¤V n; 0). As¶³, la

¯braci¶on

K(¼n+1; n + 1)i! X(n+1) q! X(n)

viene representada por el ¶algebra de Sullivan relativa

(¤V ·n; d)¹q,! (¤V ·n+1; d)

¹i! (¤V n+1; 0)

donde ¹i y ¹q son representantes de Sullivan de i y q respectivamente. Igual-

mente el modelo de K(¼n+1; n + 1) £ X(n+1) es (¤V n+1; 0) (¤V ·n+1; d).


Consideremos as¶³ mismo las inclusiones en el primer y segundo factor respec-

tivamente

K(¼n+1; n + 1)i1,! K(¼n+1; n+ 1) £X (n+1)

X(n+1) i2,! K(¼n+1; n+ 1)£X (n+1):

¶Estas vienen representadas por las proyecciones que se obtienen al iden-

ti¯car ¤V n+1 con ¤V n+1Q y ¤V ·n+1 con Q ¤V ·n+1 respectivamente:

(¤V n+1; 0) (¤V ·n+1; d)¹i1! (¤V n+1; 0);

(¤V n+1; 0) (¤V ·n+1; d)¹i2! (¤V ·n+1; d):

La proyecci¶on sobre el segundo factor

K(¼n+1; n + 1) £X(n+1) p2! X(n+1)

viene representada por la inclusi¶on obvia

(¤V ·n+1; d)¹p2,! (¤V n+1; 0) (¤V ·n+1; d):

De¯nimos (¤V ·n+1; d)¹¹! (¤V n+1; 0) (¤V ·n+1; d) como ¹¹(v) = 1 v

si v 2 V ·n y como ¹¹(v) = v 1 + 1 v si v 2 V n+1. Entonces ¹¹ conmuta

con la diferencial y se extiende de forma ¶unica a un mor¯smo de ¶algebras

diferenciales. Adem¶as es inmediato comprobar que se tienen las igualdades

² ¹i2¹¹ = 1¤V·n+1,

² ¹i1¹¹ = ¹i,

² ¹¹¹q = ¹p2¹q.


Por tanto ¹¹ es un representante de Sullivan de ¹. En analog¶³a con la ac-

ci¶on topol¶ogica podemos de¯nir una acci¶on de [(¤V n+1; 0); (¤V ·n+1; d)] en

[(¤V ·n+1; d); (¤V ·n+1; d)] como sigue. Sean

(¤V n+1; 0)®! (¤V ·n+1; d) y (¤V ·n+1; d)

f! (¤V ·n+1; d):

De¯nimos f ² ®, como la composici¶on

(¤V ·n+1; d)¹¹! (¤V n+1; 0) (¤V ·n+1; d)

f¢®! (¤V ·n+1; d)

siendo (f ¢ ®)(v) = f (v) ¢ ®(v). De nuevo por comodidad en la notaci¶on no

distinguiremos entre clases de homotop¶³a y las aplicaciones que las repre-

sentan. Como consecuencia tenemos el siguiente resultado que no es sino la

transcripci¶on algebraica, en t¶erminos de modelos, de la proposici¶on anterior

Proposici¶on 4.1.6. Sean f y g automor¯smos de (¤V ·n+1; d). Se veri¯ca

que fj¤V·n = gj¤V·n si y s¶olo si existe un mor¯smo (¤V n+1; 0)®! (¤V ·n+1; d)

tal que f ² ® = g.


Veamos en primer lugar que en las condiciones del teorema Em¤ (X) =

Em¤ (X(m)) siendo X(m) el m-estadio de Postnikov de X. Es obviamente cier-

to si ¼>m(X) = 0 puesto que entonces X = X(m). Supongamos H>m(X) = 0.

Entonces aplicando teor¶³a cl¶asica de obstrucci¶on, obtenemos que las aplica-

ciones naturales

[X;X]®! [X;X(m)]

[X (m); X(m)]¯! [X;X (m)]

son biyecciones y por tanto existe una biyecci¶on

° : [X;X ]! [X(m); X(m)]:


N¶otese por ¶ultimo que ° se restringe a un isomor¯smo

°jEm¤ (X) : Em¤ (X) = E¤(X)»=! Em¤ (X(m)):

As¶³ pues podemos suponer que X = X(m) y por tanto, si (¤V; d) es el mo-

delo minimal de X se tiene que V = V ·m. Demostraremos entonces, por

inducci¶on sobre r, que sol Em¤ (X) · r ¡ 1. Supongamos r = 1, esto es,

V = V n0 para un cierto 1 · n0 · m. Entonces (¤V; d) = (¤V n0; 0) y

obviamente Em¤ (¤V ) = f1g.Supongamos ahora que en (¤V ·m¡1; d) existen r¡ 1 grados n1; ¢ ¢ ¢ ; nr¡1

para los que V ni 6= 0 i = 1; ¢ ¢ ¢ ; r ¡ 1. Por hip¶otesis de inducci¶on se tiene

que

sol Em¡1¤ (¤V ·m¡1) · r ¡ 1:

Consideremos el mor¯smo de grupos

Em¤ (¤V )! Em¤ (¤V ·m¡1)

inducido por la aplicaci¶on natural

[X;X]! [X(m¡1); X(m¡1)]:

Este mor¯smo seguido de la inclusi¶on Em¤ (¤V ·m¡1) ½ Em¡1¤ (¤V ·m¡1) pro-

porciona un mor¯smo

½ : Em¤ (¤V ) ! Em¡1¤ (¤V ·m¡1)

que a cada clase [f] asocia la clase [fj¤V·m¡1 ]. Sea ¡r¡1 el (r¡1)-¶esimo grupo

derivado de Em¤ (¤V ) y sean f; g 2 ¡r¡1 (una vez m¶as, por simplicidad en la


notaci¶on, no distinguimos entre una aplicaci¶on y su clase). Por hip¶otesis de

inducci¶on ½(f) = ½(g) = 1, esto es,

f j¤V·m¡1 = gj¤V·m¡1 = 1¤V·m¡1:

Por tanto, en virtud de la proposici¶on 4.1.6 aplicada a la ¯braci¶on

K(¼m;m) ! X ! X (m¡1);

existen mor¯smos ®; ¯ : (¤Vm; 0)! (¤V ·m¡1; d) para los que

f = 1 ² ® ; g = 1 ² ¯

Si aplicamos f y g a elementos v 2 V ·m¡1 claramente

f (g(v)) = g(f (v)) = v

Consideremos v 2 Vm y apliquemos f y g a este tipo de elementos.

(1) g(v) = 1 ² ¯(v) = (1 ¢ ¯)¹¹(v) =

= (1 ¢ ¯)(v 1 + 1 v) = v + ¯(v)

Analogamente obtenemos

(2) f(v) = v + ®(v):

Observemos tambi¶en que por la naturalidad de la identi¯caci¶on entre

Hm(X;Q) y [X(m);K(Q;m)], las autoequivalencias Xh! X que inducen la

identidad en cohomolog¶³a en el orden m son exactamente aquellas autoequi-

valencias, h, que cumplen que para toda clase X±! K(Q;m) se tiene ±h = ±.

En particular, para f; g; ® y ¯ se tiene:

(3) f¯ = ¯ y g® = ®


Utilizando (1); (2) y (3) y siendo v 2 Vm se tiene

fg(v) = f(v + ¯(v)) = f (v) + f¯(v) = v+ ®(v) + ¯(v):

De forma totalmente an¶aloga se obtiene

gf (v) = v + ¯(v) + ®(v):

As¶³ pues hemos obtenido f g = gf con lo cual ¡r = f1g y por tanto

sol Em¤ (X) · r ¡ 1:

4.2 Los grupos E(X;A);ª1(X) y E¤(X;A)

Sea A ,! X ! X=A una co¯braci¶on y consideremos aplicaciones de X en X

que restringidas a A son la identidad, esto es, aquellas f : X ! X que hacen

el siguiente diagrama conmutativo.

A ½ - X

k

A ½ - X

f

?

Nos referiremos a este tipo de aplicaciones como aplicaciones co¯bradas aso-

ciadas a la co¯braci¶on A ,! X ! X=A.

Sobre el conjunto de aplicaciones co¯bradas establecemos la relaci¶on de

homotop¶³a relativa a A. As¶³ dos aplicaciones co¯bradas f y g se dicen

hom¶otopas relativas si existe una homotop¶³a H : X £ I ! X entre f y g


tal que H (a; t) = a, 8a 2 A. A la clase de homotop¶³a de una aplicaci¶on co¯-

brada f la notamos por hf i. Nos referiremos tambi¶en a esta relaci¶on como

de homotop¶³a co¯brada y a estas clases como clases co¯bradas.

Cada aplicaci¶on co¯brada f : X ! X induce una f : X=A ! X=A en la

co¯bra. Adem¶as si f es hom¶otopa co¯brada a g, esto es si hfi = hgi, entonces

las inducidas f y g son hom¶otopas (en el sentido usual), [f ] = [g]. Esto es

inmediato ya que la homotop¶³a co¯brada entre f y g induce una homotop¶³a

entre f y g. Esto permite hablar de la clase inducida en la co¯bra por una

clase co¯brada.

El conjunto de clases co¯bradas tiene una estructura obvia de monoide

con la composici¶on de clases. Notamos por E(X;A) al grupo de elementos

inversibles del monoide de clases co¯bradas, esto es, a las autoequivalencias

de homotop¶³a co¯brada. Asociado a una cierta ¯braci¶on F ! E ! B, James

[J] de¯n¶³a el grupo ©1(E) consistente en aquellas autoequivalencias ¯bradas

que inducen la identidad en la ¯bra F . Vamos a dar una de¯nici¶on dual de

este objeto y de E(E;F ).

De¯nici¶on 4.2.1.

1. Notamos por ª1(X) al subgrupo de E(X;A) formado por aquellas clases

co¯bradas que inducen la identidad en la co¯bra.

2. Notamos por Em¤ (X;A) al subgrupo de E(X;A) consistente en aque-

llas clases hfi tales que [f] 2 Em¤ (X=A). De¯nimos E¤(X;A) como la

intersecci¶on de todos los grupos Em¤ (X;A).

Observaci¶on 4.2.2. Observese que ª1(X) es de hecho subgrupo de E¤(X;A)

ya que cada aplicaci¶on que en la co¯bra es la identidad induce trivialmente


la identidad en los grupos de homolog¶³a de la co¯bra. Esto es, se tiene la

siguiente cadena de inclusiones:

ª1(X) ½ E¤(X;A) ½ Em¤ (X;A) ½ E(X;A):

Si nos situamos en el contexto racional podemos traducir al lenguaje de

los modelos de Quillen la construcci¶on anterior. Sabemos que las co¯bra-

ciones en la categor¶³a homot¶opica racional se corresponden (ver 1.2.24) a

KQ-extensiones. Consideremos por tanto una KQ-extensi¶on, donde por co-

modidad en la notaci¶on no siempre indicaremos las diferenciales,

(L(W ); @) ! (L(W ) ¤L(V ); @)! (L(V ); ¹@)

y de¯namos; como hicimos en el cap¶³tulo 2, el concepto de homotop¶³a co¯-

brada algebraica entre endomor¯smos del ¶algebra de Quillen L(W ) ¤ L(V ).

De¯nici¶on 4.2.3. Sean ® y ¯ mor¯smos de (L(W ) ¤ L(W 0); @) ! (L(W ) ¤L(W 0); @) tales que ®jL(W) = ¯jL(W) = 1L(W) . Denotemos por ® y ¯ los mor-

¯smos inducidos por ® y ¯ respectivamente, ®; ¯ : (L(V ); @) ! (L(V ); @).

Decimos que ® y ¯ son hom¶otopas co¯bradas algebraicas si existe un mor-

¯smo Á : (L(W ) ¤L(V ); @)! (L(W ) ¤L(V ) ¤(t; dt); @0) de forma que:

² (1 p0)Á = ®

² (1 p1)Á = ¯

² En el siguiente diagrama conmutativo

L(W ) ,! L(W ) ¤ L(V ) ¤(t; dt) ! L(V ) ¤(t; dt)

k " Á " ÁL(W ) ,! L(W ) ¤L(V ) ! L(V )


Á es una homotop¶³a entre ® y ¯, esto es:

(1 p0)Á = ® y (1 p1)Á = ¯:

Observemos que de hecho mor¯smos hom¶otopos co¯brados no son sino

clases de homotop¶³a relativa a la identidad de L(W ) y de¯nen por tanto una

relaci¶on de equivalencia entre endomor¯smos de L(W ) ¤ L(V ). Utilizamos

la misma notaci¶on que en el caso topol¶ogico y notamos por h®i a la clase de

homotop¶³a co¯brada de un cierto mor¯smo ®.

Fij¶emonos tambi¶en que, con la de¯nici¶on anterior, representantes de Quillen

de aplicaciones hom¶otopas co¯bradas (topol¶ogicas) resultan ser hom¶otopas

co¯bradas algebraicas. Rec¶³procamente cada homotop¶³a co¯brada algebraica

puede ser realizada en una homotop¶³a co¯brada (topol¶ogica) y esto permite

a¯rmar que la realizaci¶on de mor¯smos hom¶otopos co¯brados algebraicos

proporciona aplicaciones hom¶otopas co¯bradas. Tenemos as¶³ los ingredientes

necesarios para traducir al lenguaje algebraico los grupos E(X;A);ª1(X) y

Em¤ (X;A).

De¯nici¶on 4.2.4. Sea (L(W ); @) ! (L(W ) ¤ L(V ); @) ! (L(V ); ¹@) una

KQ-extensi¶on minimal.

1. Notamos por E(L(W © V );L(W )) al grupo de clases de homotop¶³a

co¯brada algebraica de automor¯smos co¯brados Á de L(W ) ¤L(V ) =

L(W © V ), esto es, automor¯smos Á que cumplen:

Á(w) = w; w 2W:

2. Por Em¤ (L(W©V );L(W )) entendemos el subgrupo de E(L(W©V );L(W))


formado por aquellos automor¯smos Á tales que veri¯can:

Á(w)¡ w 2 [L+(W ) ¤ L(V )]© L¸2(V ); w 2 V ·m:

De¯nimos E¤(L(W©V );L(W )) como la intersecci¶on de todos los grupos

Em¤ (L(W © V );L(W )).

3. Notamos por ª1(L(W © V )) al subgrupo de E(L(W © V );L(W )) for-

mado por aquellas clases de automor¯smos co¯brados Á de L(W ©V ),

tales que el homomor¯smo inducido Á en L(V ) es la identidad. Esta

¶ultima condici¶on puede ser expresada equivalentemente diciendo que

son aquellos automor¯smos co¯brados, Á, tales que cumplen:

Á(v) ¡ v 2 L+(W ) ¤L(V ); para todo v 2 V:

Nota 4.2.5. Por Lp(W) ¤Lq(V ) convenimos en denotar al subespacio

vectorial de L(W © V ) generado por aquellos elementos que tienen

longitud de corchete p en W y longitud de corchete q en V . No debe

por tanto confundirse con el coproducto de Lp(W ) y Lq(V ). An¶alogos

convenios utilizamos para expresiones de la forma L¸n(W ) ¤ Lq(V ),

L+(W ) ¤Lq(V ), L+(W) ¤ L(V ), etc.

Como evidentemente automor¯smos de los modelos se corresponden con

autoequivalencias de los espacios asociados; y de acuerdo con las observa-

ciones que hemos hecho anteriormente, obtenemos el siguiente resultado.

Proposici¶on 4.2.6. Si (L(W ); @) ! (L(W ) ¤ L(V ); @) ! (L(V ); ¹@) es una

KQ-extensi¶on minimal que representa a la co¯braci¶on A ,! X ! X=A,


entonces se tienen los siguientes isomor¯smos de grupos:

ª1(X ) »= ª1(L(W © V ));

Em¤ (X;A) »= Em¤ (L(W © V );L(W));

E¤(X;A) »= E¤(L(W © V );L(W ));

E(X;A) »= E(L(W © V );L(W )):

Nuestro primer resultado, dual del de James [J] en la categor¶³a racional,

es el siguiente:

Teorema 4.2.7. Sea A ,! X ! X=A una co¯braci¶on de espacios racionales

1-conexos de tipo ¯nito. Si A posee cocategor¶³a ¯nita, entonces ª1(X ) es

nilpotente y

nil ª1(X) · cocatA:

Para probar este resultado necesitaremos el siguiente lema.

Lema 4.2.8. Sea h 2 ª1(L(W©V )) cumpliendo h(v)¡v 2 L¸n(W )¤L(V ),

para todo v 2 V . Entonces, si f 2 ª1(L(W © V )) se veri¯ca que para todo

v 2 Vfhf¡1h¡1(v)¡ v 2 L¸n+1(W ) ¤L(V ):

Demostraci¶on:

Observemos en primer lugar que si h 2 ª1(L(W©V )) es tal que h(v)¡v 2L¸n(W ) ¤ L(V ) entonces tambi¶en ocurre que h¡1(v) ¡ v 2 L¸n(W ) ¤ L(V ).

De hecho, si h(v) = v+¯ con ¯ 2 L¸n(W ) ¤L(V ), aplicando h¡1 obtenemos

que h¡1(v) = v ¡ ¯ + siendo un cierto elemento de L¸n+1(W ) ¤ L(V ).

Tomemos ahora f 2 ª1(L(W ©V )). Dado un cierto v 2 V , y por de¯nici¶on


de ª1(L(W © V )) se tiene

f (v) = v +w1 + ®1 + 1

siendo w1 2 L1(W ) = W1, ®1 2 L1(W ) ¤ L+(V ) y 1 2 L 2(W ) ¤ L(V ).

Aplicando f¡1 a la igualdad anterior obtenemos que

f¡1(v) = v ¡ w1 ¡ ®1 + 2

siendo 2 un cierto elemento de L¸2(W ) ¤ L(V ). As¶³ tenemos las siguientes

igualdades, m¶odulo elementos de L n+1(W ) ¤L(V ):

fhf¡1h¡1(v) ´ fhf¡1(v ¡ ¯) ´ fh(v ¡ w1 ¡ ®1)¡ ¯ ´

´ f (v + ¯) ¡ w1 ¡®1 ¡ ¯ ´ v +w1 +®1 + ¯ ¡ w1 ¡ ®1 ¡¯ ´ v:

Lo cual prueba el enunciado.


Tomamos L(W ) un modelo de Quillen minimal de A, L(V ) un modelo

de Quillen minimal de X=A, y L(W ) ! L(W ) ¤ L(W 0) ! L(V ) una KQ-

extensi¶on que representa a la co¯braci¶on A ! X ! X=A. Sea m = cocatA

y consideremos el diagrama

L(W )pm- L(W )=L>m(W )

ZZ

Z ZZ

Zj

~L(W © U)

Ã '6

en el que por hip¶otesis sobre la cocategor¶³a existe una retracci¶on r de la

inclusi¶on j. Si en el diagrama anterior realizamos coproducto con L(V )


obtenemos

L(W ) ¤L(V )p0m- L(W )=L>m(W) ¤ L(V )

Z ZZ

ZZ

Zj 0

~L(W © U) ¤ L(V )

Ã0 '6

y es claro que la existencia de la retracci¶on r implica la de una retracci¶on r0

para j0.

Consideremos ahora h, un m-conmutador de ª1(L(W ©V )). Por el lema

4.2.8 anterior resulta que h(w) ¡ w 2 L>m(W ) ¤ L(V ) y por tanto p0mh =

p0m1L(W)¤L(V ). Al ser p0m = Ã0j0 se tiene la igualdad Ã0j0h = Ã0j01L(W)¤L(V ).

Como Ã es un quasi-isomor¯smo resulta que Ã0 tambi¶en lo es. Por tanto

deducimos que j 0h es hom¶otopa co¯brada a j0. Si ahora aplicamos la retrac-

ci¶on r0 obtenemos que h es hom¶otopa co¯brada a la identidad con lo cual

obtenemos el resultado que enunciamos.

Este resultado es el inicio del proceso dual al empleado en el cap¶³tulo 3

para concluir que nil E(E;F ) · catB + catF ¡ 1. El siguiente ingrediente

clave ser¶³a introducir la acci¶on de E¤(X;A) sobre ª1(X) y probar que esta

acci¶on es nilpotente con nilE¤(X;A) · cocatX=A¡1, esto es el dual del teorema

1.4.19. Sin embargo, por el momento, lo m¶as que podemos a¯rmar es que tal

acci¶on existe, esto es:

Proposici¶on 4.2.9. ª1(X ) es un subgrupo normal de E¤(X;A).

Demostraci¶on:

Basta probar el mismo resultado en sus t¶erminos algebraicos. Sea g 2E¤(L(W ©V );L(W )) y sea f 2 ª1(L(W ©V )) y comprobemos que gfg¡1 2ª1(W © V )).


Sea v 2 V . Por ser g¡1 2 E¤(L(W © V );L(W )) podemos escribir

g¡1(v) = v+ w + ®1 +rX

i=2

®i

siendo w 2 L(W ), ®1 2 L+(W ) ¤L(V ) y ®i 2 L(W ) ¤ Li(V ), i ¸ 2.

De esta forma

fg¡1(w) = f(v) + f(w) + f (®1) +rX

i=2

f(®i)(¤)

As¶³ mismo tenemos, al ser f 2 ª1(L(W ©V )), que

f(v) = v +sX

j=1

¯j j 2 Lj(W ) ¤L(W 0); f(w) = w w 2W:

Si escribimos

f (®1) = ®1 + 1 1 2 L¸2(W) ¤ L(V );

f(®i) = ®i + 0i 0i 2 L+(W ) ¤L+(V );

la ecuaci¶on (¤) queda como sigue:

fg¡1(w) = v + w +®1 +rX

i=2

®i +sX

j=1

¯j + 1 +rX

i=2

i:

Si ahora aplicamos g se obtiene

gfg¡1(v) = g(v + w + ®1 +rX

i=2

®i) + g(sX

j=1

¯j + 1 +rX

i=2

i) =

= g(g¡1(v))+® = v+® donde ® = g(sX

j=1

¯j+1+rX

i=2

i) 2 L+(W )¤L(W 0):

Por tanto gfg¡1 2 ª1(L(W © V )).

Trabajando ahora con el grupo Em¤ (X;A) y de forma totalmente an¶aloga

a lo que se hizo en el cap¶³tulo 2, se tiene el siguiente resultado.


Teorema 4.2.10. SeaA! X ! X=A una co¯braci¶on de espacios racionales,

1-conexos y de tipo ¯nito. Entonces E¤(X;A) es nilpotente y se veri¯ca:

nilE¤(X;A) · 2cocatc(X )¡ 1:

M¶as a¶un supongamos que se satisface alguna de las condiciones siguientes:

(a) dimH¤(A) < 1.

(b) dim ¼¤(X) <1.

Sea m tal que, o bien ¼>m(X ) = 0, o bien H>m(A) = 0. Entonces Em¤ (X;A)

es nilpotente y se veri¯ca:

nilEm¤ (X;A) · 2cocatc(X) ¡ 1:

En el enunciado anterior, cocatc, la cocategor¶³a co¯brada, queda de¯nida

como sigue:

Sea A! X ! X=A una co¯braci¶on de espacios racionales, 1-conexos y de

tipo ¯nito. Consideremos L(W ) el modelo minimal de A y la KQ-extensi¶on

minimal asociada a la co¯braci¶on anterior

(L(W ); @) ! (L(W ) ¤L(V ); @)! (L(V ); ¹@)

Consideremos asimismo L(U) ¤L(T) el modelo minimal de la proyecci¶on

L(W ) ¤L(V ) = L(W © V )¼! L(W © V )=L>s(W © V ):

Esto es, si llamamos U = W©V , se tiene el siguiente diagrama conmutativo:

L(W ) ¤L(V )¼- L(U)=L>s(U)

ZZ

ZZ

ZZ

ms ~L(U ) ¤ L(T )

'6


De¯nici¶on 4.2.11. La cocategor¶³a co¯brada de X, cocatc(X), es el menor

entero s tal que existe una retracci¶on homot¶opica co¯brada de ms, esto es,

tal que existe un mor¯smo hs : L(U) ¤ L(T) ! L(U ) que es la identidad en

L(W ) y tal que la composici¶on hsms es hom¶otopa co¯brada a la identidad

de L(W ) ¤ L(V ).

Nota 4.2.12.

(1) Toda retracci¶on homot¶opica co¯brada es en particular una retracci¶on

homot¶opica. Por tanto para cualquier co¯braci¶on Ai! X ! X=A se

tiene cocatX · cocatc(X).

(2) Si (L(W ) ¤ L(V ); @) resulta ser un modelo minimal, entonces cocatX =

cocatcX. En efecto si hs es un retracto homot¶opico de ms, ¶este se

puede modi¯car para que sea un retracto, esto es, hsms = 1. As¶³

cocatX = cocatc(X).

Recordemos cual es el signi¯cado topol¶ogico de ser (L(W©V ); @) minimal:

Si notamos por @1 a la parte lineal de la diferencial @, tenemos la sucesi¶on

exacta corta de los indescomponibles

0! (W; 0)! (W © V; @1) ! (V; 0) ! 0

de la cual se deduce la sucesi¶on exacta larga de homolog¶³a

¢ ¢ ¢ ! Wn ! Hn(W © V; @1) ! Vn@1!Wn¡1 ! ¢ ¢ ¢

Esta se corresponde con la sucesi¶on de homolog¶³a de la co¯braci¶on

¢ ¢ ¢ ! Hn+1(A;Q)Hn+1(i)¡! Hn+1(X;Q)! Hn+1(X=A;Q) ! Hn(A;Q)! ¢ ¢ ¢

As¶³ pues Hn+1(i) es inyectiva si y s¶olo si @1 = 0, lo que se traduce en:


Corolario 4.2.13. Si la co¯braci¶on Ai! X ! X=A es tal que H¤(i) es

inyectiva, entonces

nilEm¤ (X;A) · 2cocat(X )¡ 1:


El teorema va a seguir todos los pasos de su correspondiente del cap¶³tulo 2,

teorema 2.2.3 por lo que s¶olo exponemos aqu¶³ un esquema de la demostraci¶on.

Si (L(W ); @) ! (L(W) ¤ L(V ); @) ! (L(V ); ¹@) es un KQ-modelo de A ,!X ! X=A, por la proposici¶on 4.2.6

Em¤ (X;A) »= Em¤ (L(W © V );L(W)):

Para cada r ¸ 1 sea Gr el subgrupo de automor¯smos de (L(W © V ); @)

generado por aquellos ' : (L(W © V ); @) ! (L(W © V ); @) que cumplen

'(w) = w; 8 w 2W;

'(v) ¡ v 2M

2p+q¸r+1

Lp(W ) ¤Lq(V ); v 2 V k; k · m:

De la misma forma que en el lema 2.2.7 se prueba que [G1; Gr] ½ Gr+1.

As¶³ mismo obs¶ervese que Em¤ (L(W © V );L(W )) coincide con las clases de

homotop¶³a co¯brada de elementos de G1. Por tanto, si tomamos Á un r-

conmutador de elementos de Em¤ (L(W©V );L(W )), y como antes U = W©V ,

se tiene:

Á(w) = w; w 2W y Á(v)¡ v 2 L>s(U) si v 2 V ·m:


Sea s = cocatc(X) y consideremos el siguiente diagrama que representa el

KQ-modelo de Quillen de la proyecci¶on ps : L(U) ! L(U)=L>s(U ) y en el

que hs es una retracci¶on homot¶opica co¯brada de js:

L(U) L(U )=L>s(U)

§ L(U) ¤L(T)

@@

@@R

-ps

6hs js ' Ãs

6

Por ¶ultimo, al igual que en la demostraci¶on del teorema 2.2.3 si Á es un

r-conmutador de Em¤ (L(W © V );L(W )) con r ¸ 2s se prueba que Ájs es

hom¶otopa co¯brada a js y utilizando la retracci¶on hs obtenemos que Á es

hom¶otopa co¯brada a 1L(U), de donde se deduce el teorema.

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