001 Modulo II Unidad

7/25/2019 001 Modulo II Unidad

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I

LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I 1

-

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA

FÍSICA I:FÍSICA I:FÍSICA I:FÍSICA I:CUADERNO Nº 02CUADERNO Nº 02CUADERNO Nº 02CUADERNO Nº 02SEGUNDA UNIDADSEGUNDA UNIDADSEGUNDA UNIDADSEGUNDA UNIDAD

f v2

r

f v1

r

2vr

1vr

m2

m1

B

A

CICLO:

II CICLO

E.A.P.: INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL

DOCENTE:

LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY

NUEVO CHIMBOTE - PERU

DICIEMBRE - 2009





En este capítulo se desarrollan otros aspectos de la dinámica de una partícula. La

descripción matemática supone la presencia de una sola partícula reduciendo su

interacción con el resto del universo a una única fuerza. Bajo este criterio se definen los

conceptos de impulso, trabajo, energía y potencia.

2.1 IMPULSO

De la 2da ley de Newton sabemos que:

F dt

pd r

r

=

Si la fuerza varía con el tiempo, ejecutamos la siguiente integración

∫∫ =t p

pdt F pd

00

r

r

∫=−t

dt F p p0

0

r

r r (1)

La acción de una fuerza durante un intervalo de tiempo finito se conoce como

impulso ( I ) y matemáticamente queda definido por la siguiente integral:

I dt F p pt r r

r r

==− ∫00

(2)

Relacionando (2) y (1) podemos afirmar: que el impulso es causa de la variación de

la cantidad de movimiento lineal de la partícula. El impulso se mide en N.s

En muchos casos la fuerza es una función de la posición, como por ejemplo la

fuerza gravitacional o la fuerza elástica de un resorte en tales casos es mucho más

útil los conceptos de trabajo y energía

2.2 TRABAJO: W (Joules)Consideremos una partícula de masa m que se mueve por la acción de la fuerza F

r en la

trayectoria curvilínea C que en el tiempo dt efectúa el desplazamiento r d r .

TRABAJO Y ENERGÍA

T F r d r

r

F r

r r

2

1

Y

X

Decimos entonces que durante el desplazamiento la

fuerza ha producido trabajo infinitesimal dw definido

como el producto escalar de la fuerza por el

desplazamiento:

r d F dw

r

r

.= (3)

∫=t

dt F I 0

r r





Definimos el trabajo elemental, podemos expresar el trabajo realizado para llevar

la partícula desde el punto (1) al punto (2) como:

∫=2

1r d F w

r

r

(4)

en componentes rectangulares tenemos:k F j F i F F z y x

r r r r

++=

k d jd id r d z y x

r r r r

++=

que sustituidos en (4) y desarrollando el producto escalar nos da:

∫∫∫ ++=2

1

2

1

2

1dz F dy F dx F w z y x

(5)

Si utilizamos la definición de producto escalar y asumiendo que el módulo de r d r

es dS , tenemos de (4):

∫=2

1cosθ FdS w (6)

Según la figura anterior: F T = Fcos θ θθ θ , por tanto:

∫= dS F w T (7)

Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento (θ θθ θ =90º ) el trabajo efectuado por

la fuerza es cero.

2.3 POTENCIA (P): (Watts)

Es la rapidez con que se realiza trabajo

Un trabajo determinado que se efectúa en un tiempo muy largo está asociado a

una potencia muy baja en tanto que el mismo trabajo realizado en un tiempo muy

corto corresponde a una potencia grande. Si el trabajo se realiza a un ritmo

constante la potencia media p se define como:

t

W P = (8)

Si el trabajo se realiza a un ritmo variable, la potencia instantánea queda definida

por:

dt

dw P = (9)

dt

r d F P

r

r

.=

v F P r

r

.= (10)





2.4 TRABAJO EN UN RESORTE

a)

Aplicamos F r

sin aceleración ( 0=ar ) KX F = (Ley de Hooke)

K = constante elasticidad resorte

El resorte a su vez reacciona con una fuerza igual y opuesta:

KX F =´ (Ley de Hooke)

F = Fuerza deformadora

F´ = Fuerza restauradora

b)

Al aplicar F´ lentamente ( 0=ar ), efectuando trabajo al llevar el punto X1 a X2 .

∫∫∫ ====2

1

2

1

2

1

2

2

1 x

x

x

x

x

x Kx Kxdx Fdxr d F w

r

r

( )21

22

21 x x K W −=

LEY DE HOOKE

Fig. 1: Diagrama de la fuerza en función de la deformación elástica para un resorte

Cuando un cuerpo sufre una deformación, la fuerza deformadora es

proporcional a la deformación del cuerpo siempre y cuando el estiramiento no

supere el límite elástico.

En el caso particular de la deformación longitudinal de un resorte, la fuerza

deformadora es proporcional a la elongación, Al resorte; en tal caso se dice

que la deformación es elástica:F = KL (1)

X

´ F r

r

X0=0 X1 X2

F r

0A: zona ElásticaAB: zona plásticaB: punto de rupturaB

A

0

F(N)

L (m)





Donde K es la constante de proporcionalidad llamada constante de fuerza o

constante elástica que depende de la naturaleza del material y de la forma del

resorte, y L es el desplazamiento medido desde la posición de equilibrio,

llamado también elongación.

Fïg. 2. Comportamiento del Resorte

La ecuación (1) se conoce como Ley de Hooke. Como la ecuación (1)representa la relación lineal entre la fuente F y el desplazamiento. La constante

K resulta ser la pendiente de la recta representativa de F vs L∆ (Fig. 2).

2.5 TRABAJO DE LA FUERZA PESO O FUERZA DE GRAVEDAD

Debido a la acción de la fuerza de la gravedad los cuerpos tienden a ocupar los

niveles más bajos sobre la superficie terrestre, ubicándose en una determinada

posición de equilibrio.

Para sacar a un cuerpo de su posición de equilibrio y levantarlo a niveles más altosse necesita aplicar una fuerza exterior.

∫= r d F W r

r

. k d jd id r d z y x

r r r r

++=

∫= dy F W y .r

∫=2

1

. y

ydymg W

)( 12 y ymg W −=

r d r

´ F r

F r

Y1

Y2

0´=+ F F r r

Pero se mueve a velocidadconstante

jmg F r r

=

jmg F r r

−=´

∆L(m)

F(N)

K= pendiente





2.6 ENERGÍA CINÉTICA: Ek (Joules)

De acuerdo con la 2da ley de Newton tenemos:

dt

dvmma F

T == , multiplicando a ambos lados por: dS

mvdvdt

dS mvdS F T ==

Integrando entre S1 y S2 para hallar el trabajo total en ese tramo tenemos:

∫∫ −===2

1

2

1

2

1

2

22

1

2

1v

v

s

s T mvmvmvdvdS F W

2

1

2

22

1

2

1mvmvW −=

En general, la expresión 2

2

1mv se llama energía cinética de la partícula y se

define por Ek:

Multiplicando y dividiendo el segundo miembro de esta ecuación por m se tiene

una relación en función de la cantidad de movimiento:

m

p

m

mv

E k 22

22

== m

p

E k 2

2

=

12 k k E E W −= ⇒⇒⇒⇒

Consideremos una partícula de masa m que se

mueve por acción de la fuerza resultante ( F r )

según una trayectoria C cualquiera. En lasiguiente figura se muestra esta fuerza con sus

respectivos componentes.

“El trabajo efectuado por una fuerza resultante sobre una partícula, es igual al

cambio producido en la energía cinética de la partícula”

k W ∆=

2

2

1mv E k =

m F

FT

FN

S2

S1





2.7 ENERGÍA POTENCIAL (Ep: Joules)

∫= r d F W

r

r

. k d jd id r d z y x

r r r

r

++=

∫= dy F W y.

r

∫=2

1

. y

y p dymg E

( ) )( 12 y ymg y E p −=

Así la energía potencial gravitacional puede medirse a partir del nivel del mar o a

partir del 5to piso de un determinado edificio. Los cálculos del trabajo nos

muestran que dicho trabajo no es sino la diferencia de los valores de la función

potencial entre las posiciones inicial y final de la partícula dentro de un campo de

fuerzas:

( ) 12 mgymgy y E p −=

Si h = y 2 – y 1

( ) ( )12 y E y E E p p p −=∆

W E p =∆

W E p =∆− ⇒

Tanto la energía cinética como la potencial se han definido como efectos de larealización del trabajo de una fuerza. Sin embargo sus características son

La energía potencial de un cuerpo o de un

sistema es el resultado del trabajo de unafuerza deformadora en equilibrio con las

fuerzas internas del sistema y la designamos

como Ep y constituye la energía transferida al

sistema por acción de una fuerza exterior. La

energía potencial de un cuerpo con relación a la

fuerza de gravedad es:

( ) mgh y E =

Donde W es el trabajo realizado por la fuerza exterior pero si el trabajo a sido

realizado por las fuerzas internas o de recuperación tenemos:

12 p p E E W −−=

r d

r

´ F r

F

r

Y1

Y2





diferentes, mientras la energía cinética está relacionada con el movimiento del

cuerpo y por lo mismo es una energía en el sentido dinámico. La energía

potencial está relacionada con la posición y se encuentra latente o

potencialmente almacenada en un estado de reposo, pero que puede hacerse

manifiesta o activa, cuando el trabajo es realizado por la fuerza interior.

2.8 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS

Son las fuerzas que se encuentran en la naturaleza pueden dividirse en dos

categorías: conservativas y no conservativas

2.8.1. Fuerzas Conservativas

Una fuerza es conservativa si el trabajo que hace sobre una partícula que se

mueve entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayectoriaseguida por la partícula. Además, el trabajo hecho por una fuerza conservativa

ejercida sobre una partícula que se mueve por una trayectoria cerrada es cero.

Entonces, si la fuerza es conservativa. La fuerza de la gravedad es

conservativa. El trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre un objeto

que se mueve entre dos puntos cualesquiera cerca de la superficie de la tierra

es:

( )12

. p p

E E r d F −−=∫ r

r

p E r d F ∆−=∫ r

r

.

Y recíprocamente, si el trabajo, realizado por una fuerza es igual a la diferencia

de los valores de una función potencial en las posiciones inicial y final, la

fuerza es conservativa.

F(conservativa) ⇔ p E W ∆−=

( ) 12 mgymgy y E p −=

A partir de esto vemos que Ep sólo depende de las coordenadas inicial y final

del objeto y, en consecuencia es independiente de la trayectoria. Además, E p

es cero cuando el objeto se mueve por cualquier trayectoria cerrada (donde y 1

= y 2 ).

Es evidente que el concepto de energía potencial puede emplearse solo

cuando se trata de las fuerzas conservativas, tales como la fuerza elástica del

resorte, la fuerza gravitatoria o fuerza electrostática.





2.8.2. Fuerzas No Conservativas

Una fuerza es no conservativa si produce un cambio en la energía mecánica.

Por ejemplo, si alguien mueve un objeto sobre una superficie horizontal y lo

regresa a la misma posición y al mismo estado de movimiento, pero encuentra

que fue necesario realizar una cantidad de trabajo neta sobre el objeto,

entonces algo debe haber disipado esa energía transferida al objeto. Esa

fuerza disipativa se conoce como fricción entre la superficie y el objeto . La

fricción es una fuerza disipativa o “no conservativa” . Por contraste, si el

objeto se levanta, se requiere trabajo, pero la energía se recupera cuando el

objeto desciende.

2.8.3. Conservación de la Masa y Energía

Otro principio importante la conservación de la masa, nos dice que en

cualquier tipo de proceso, físico o químico, la masa no pude crearse ni

destruirse. Es decir la masa antes del proceso es igual a la masa después del

proceso.

En 1905 Einstein hizo el increíble descubrimiento de que la masa, o inercia, de

cualquier sistema es una medida de la energía total de este. Por consiguiente,

la energía y la masa son conceptos relacionados. La relación entre los dos

está dada por la más famosa formula de Einstein

E = mC 2

donde: C es la velocidad de la luz y E es la energía equivalente de una masa

m , la masa aumenta con la velocidad; sin embargo, esta dependencia es

insignificante para v<< c. En consecuencia, las masas que utilizamos para

describir situaciones en nuestras experiencias cotidianas siempre se

consideran como masa en reposo.

La energía asociada con incluso una pequeña cantidad de materia es enorme.

Por ejemplo, la energía de 1kg de cualquier sustancia es:

E = mc =(1kg) (3x1011 m/s )2 = 9x1022 J.

! Esto es equivalente al contenido de energía de aproximadamente 15 millones

de barriles de petróleo crudo (aprox. el consumo de un día en Estados

Unidos)!.

En realidad, solo una pequeña fracción de la energía contenida en una

muestra de material puede liberarse a través de procesos químicos o

nucleares. Los efectos son más grandes en las reacciones nucleares donde se

observan de manera cotidiana cambios fraccionarios en la energía. La

imponente naturaleza de la energía que se libera en dichas reacciones se

demuestra claramente en la explosión de una arma nuclear.





2.9 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA: FUERZAS CONSERVATIVAS

Uno de los principios más generales de la física es el principio de la conservación

de la energía, el cual define que la energía total (energía cinética + energía

potencial gravitacional) de un sistema es constante.Cuando una fuerza conservativa actúa sobre una partícula, el trabajo que realiza

esta fuerza reduce la energía potencial: p E W ∆−=

12 p p E E W −−=

Por otra parte, si esta fuerza conservativa es la fuerza resultante el teorema del

trabajo y energía establece que el trabajo respectivo representa un incremento de

la energía cinética:

12 k k E E W −=

Igualando las dos expresiones del trabajo y transponiendo términos tenemos:

1122 pk pk E E E E +=+

o bien

12 pk pk E E E E +=+

Como los estados (1) y (2) son arbitrarios, para cualquier posición de la partícula se

tiene:

Donde E es la energía mecánica de la partícula en un campo de fuerzas

conservativas.

Este resultado es el principio de la conservación de la energía para un sistema

sobre el que actúa únicamente fuerzas conservativas y su enunciado es el

siguiente:

Es decir la energía mecánica no varía con el tiempo.

“Cuando una partícula se mueve por la acción de fuerzas conservativas, la

suma de sus energía cinéticas y potencial permanecen constante ”

0=∆ E

pk E E E += constante





2.10 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA: FUERZAS NO CONSERVATIVAS

Esto todo proceso en el cual intervienen las fuerzas no conservativas o disipativas,

toda la energía mecánica o parte de ella se disipa en el medio ambiente en forma

de calor, este es un proceso en el cual las fuerzas de fricción realizan trabajo detransformación o conversión de energía mecánica en calor. El calor producido es

exactamente igual al trabajo de las fuerzas de fricción.

Por tanto la energía se conserva dentro de un contexto más amplio en la que

resultan incluidas la energía mecánica y energía térmica o calorífica.

Desde que la fuerza de fricción se opone al movimiento, el trabajo realizado por

esta fuerza es siempre negativo, esto es, el trabajo de la fuerza de fricción es

equivalente a la pérdida de energía mecánica que experimenta el sistema:

Si el sistema pasa de un estado inicial (1) en el cual su energía mecánica es

111 pk E E E += a otro estado final (2) con una energía mecánica 222 pk E E E += ,la pérdida de energía mecánica es:

12 E E E −=∆−

f W E =∆−

Donde Wf es el trabajo de las fuerzas de fricción; así tenemos

( ) f W E E =−− 12

O también

f pk pk W E E E E −=+−+ 12

Sistema -∆∆∆∆E=Wf

Ambiente





Ejemplos:

1. Una fuerza F r

actúa sobre una partícula P, que se mueve en el plano XY.

Determinar si F r

es una fuerza conservativa y calcular el trabajo de F r

cuando

la trayectoria de P es un cuadrado de la lado “a” y el movimiento es en un

sentido antihorario, cuando iky F r r

=

Solución:

Entre A y B es:

Y = Y1 = cte; X1 ≤ X ≤ X2

( ) 1121 kay x xkykydx B

A

=−=∫ ; ( ) a x x =− 12

Entre B y C, es “X” se mantiene cte ⇒ dx = 0

en cambio “Y” varía entre los límites Y1 ≤ Y ≤ Y2 . De modo:

0=∫C

B

kydx

Entre C y D, Y = Y2 = cte; X1 ≤ X ≤ X2

( ) 2212 kay x xkykydx

D

C

−=−=∫

Entre D y A, X = X1 = cte; ⇒ dx = 0

0=∫

A

Dkydx

Sumando:

( )1221 00 y ykakaykaykydxkydxW −−=+−+=== ∑ ∫∫

( )12 y ykaW −−=

2kaW −= : Fuerza no conservativa

( )( )∫∫ +== jdyidxikyr d F W r r r

r

r

.

kydxkydxW

A

D

D

C

C

B

B

A

+++== ∫∫∫∫∫

D C

B A

Y2

X

Y

Y1

X2X1





2. Un bloque se encuentra inicialmente en la posición mostrada, cuando el

resorte se encuentra comprimido ∆L2=0.2m. Se suelta el resorte y el bloque

va a chocar contra el resorte B y este se comprime y otra vez el bloque se

mueve pero en sentido contrario, se desea saber cuanto recorre el bloque

desde que empezó su movimiento hasta que se detiene. (KA = KB = 300N/m ,

µ = 0.2, m1 = 1kg, g = 10m/s2)

Solución:

Energía del bloque al abandonar el resorte A:

( ) ( )( ) J L K E A A A 62.03002

1

2

1 22==∆=

Energía disipada al pasar el bloque A sobre la superficie rugosa

mg N F d F W r f

µ µ === .

( )( )( )( ) J d mg W f

421012.0. === µ

Se observa que por cada pasada disipa 4J de energía; por tanto la energía

que se convierte en energía potencial del resorte B es:

( ) J J J L K B B 2462

1 2=−=∆

De donde

300

42==∆

B

p

B K

E L B m L B 115.0=∆

Con la energía de 2J, el bloque sólo puede recorrer la mitad de la distancia

con superficie rugosa. La distancia total recorrida es:

Ida : 2.2m + 2m + 1m + 0.115m = 5.315mVuelta : 0.115m + 1m + 1m = 2.115m

Total : 7.430m

1m2.0m2.2m

Zona ru osa





2.11. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

2.11.1. Cantidad de Momento Lineal y Segunda Ley de Newton

La cantidad de movimiento lineal ( pr ) conocido por Newton como

“movimiento ”, se define por el producto:vm p

r r

= (1)

Esta cantidad vectorial, relaciona dos conceptos muy importantes:

La masa concepto dinámico y la velocidad concepto cinemática y por tanto

el vector pr describe la propiedad inercial de un cuerpo en movimiento.

Si pr es la cantidad de movimiento de una partícula de masa m , la segunda ley

de Newton expresa que:

dt

pd F

r

r

= (2)

En la que F r

es la fuerza resultante o fuerza exterior a la partícula que

actuando sobre ella, modifica su velocidad.

La ecuación (2) constituye una definición general de fuerza, válida aún cuando

la masa de la partícula sea variable con el tiempo. Sí la masa es constante,

encontramos que:

( ) am

dt

vd mvm

dt

d F

r

r

r

r

===

am F r

r

= (3)

Si no existe fuerza resultante, la ecuación (2) indica que:

0=dt

pd r

(4)

Resultado que expresa que pr se mantiene constante en el transcurso del

tiempo o pr no depende del tiempo, y por tanto la cantidad de movimiento de la

partícula se conserva, esto es: pr

= constante

Si además la masa de la partícula es constante; la velocidad no cambia, como

lo afirma la ley de la inercia.





2.11.2. Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal

Todos los cuerpos del universo se encuentran en interacción mutua unos con

otros, ésta interacción puede ser de tipo gravitatorio, electromagnética o alguno

relacionado con las fuerzas del núcleo atómico.

En consecuencia no existe cuerpo alguno que esté libre de la interacción con

otros cuerpos es decir libre de fuerzas exteriores. Por tanto, consideremos una

situación ideal en la cual solo existen 2 cuerpos en el universo formando un

sistema aislado, sujetos únicamente a su interacción mutua. Como resultado de

ésta interacción sus velocidades individuales varían con el tiempo y sus

trayectorias serán curvilíneas.

En la figura se muestra una interacción por colisión; al lado izquierdo de AB los

cuerpos se mueven antes del choque y al lado derecho después del choque.De acuerdo con la figura si las masas son independientes de su estado de

movimiento, las cantidades de movimiento resultante en los instantes t0 y t,

antes y después del choque respectivamente son:

22110 vmvm p r r r

+= (1)

f f F vmvm p 2211

r r r

+= (2)

Donde21

v yv r r

son las velocidades antes del choque y f f

v yv21

r r

las

velocidades después del choque.

Desde que no existen fuerzas exteriores al sistema podemos escribir

00

0 =−

−=

∆

∆=

t t

p p

t

p F ext

r r r

r

O lo que es lo mismo:

00 =−=∆ p p p r r r

0=∆ pr

(3)

f f vmvmvmvm 22112211

r r r r

+=+ (4)

f v2

r

f v1

r

2vr

1vr

m2

m1

B

A





1vr

m1

2vr

m2

Antes del choque

f v1

r

m1

f v2

r

m2

Después del choque

Este resultado se generaliza afirmando que:

“La cantidad de movimiento lineal de un sistema aislado o libre de fuerzas

exteriores se mantiene constante”

Veamos ahora la relación entre las fuerzas internas. Consideremos la

variación temporal de:

22110 vmvm p r r r

+=

022

11

0 =+==dt

vd m

dt

vd m

dt

pd F

r r r

r

Si en esta relación reemplazamos 11 / adt vd r r

= y 22 / adt vd r r

= , tenemos:

2211 amam r r

−= (5)

Si definimos por 1112 am F r

r

= como la fuerza que obra sobre m1 debido a su

interacción con la masa m2 y por 2221 am F r

r

= la fuerza que actúa sobre m2

debido a su interacción con m1, encontramos que:

1221 F F r r

−= (6)

Es decir las fuerzas constituyen acción y reacción o fuerzas interiores de

interacción mutua.

Estos resultados muestran que los principios de la mecánica pueden

formularse también a partir de la ley de Conservación de la cantidad de

movimiento lineal.

2.11.3. Colisiones en una Dimensión

Cuando la energía cinética se conserva o permanece constante (antes y

después) se tiene un choque Elástico , en caso contrario inelástico

1) Choque Elástico: Un choque es elástico cuando la energía cinética se conserva

Por el principio de conservación de la energía:

f i k k E E =

0=∆ p

r





2

22

2

11

2

22

2

112

1

2

1

2

1

2

1 f f vmvmvmvm

r r r r

+=+ (1)

Por el principio de conservación de la cantidad de movimiento:

f i

p p r r

=

(2)

Donde ?1 = f v y ?2 = f v son incógnitas

Desarrollando (1) y (2)

( )

( ) ( ) ii f vmm

m

vmm

mm

v 221

2

121

21

1

2

+++

−

= (α)

( )

( )

( ) ii f vmm

mmv

mm

mv 2

21

121

21

12

2

+

−+

+= (β)

a) Si m1 = m2 → v1f = v2i ∧ v2f = v1i no existe intercambio de velocidad.

b) Si m2 >> m1 → v1f ≈ -v1i ∧ v2f ≈ v2i

c) Si m2 << m1 → v1f ≈ v1i ∧ v2f ≈ v2i

2) Choque Inelástico: Cuando Ek inicial es mayor que la Ek final la diferencia se

convierte en calor o en energía potencial de deformación (energía potencial

de choque). No se conserva el principio de la conservación de la E k.

Pero si se cumple el Principio de conservación de la cantidad de movimiento:

f v1

r

m1

f v2

r

m2

Después del choque

iv1

r

m1

iv2

r

m2

Antes del choque

f f vmvmvmvm 22112211

r r r r

+=+

f f ii vmvmvmvm 22112211

r r r r

+=+





3) Choque Completamente Inelástico: El choque de dos cuerpos se llama

absolutamente inelástico si después de él ambos cuerpos se mueven

como si fueran uno sólo

La energía Ek no se conserva y las partículas quedan unidas después del choque:

( ) f ii vmmvmvm r r r

212211 +=+

Coeficiente de Restitución (e )

Cuando el choque es inelástico, es necesario otra condición para hallar las

velocidades de las partículas después del choque, por ello se define el

coeficiente de restitución “e” que es un número adimensional

ii

f f

vv

vve

12

12

−

−−= e : es la elasticidad de las partículas

0 ≤ e ≤ 1

- Choque Elástico: e= 1ii

f f

vv

vv

12

12

−

−−

- Choque Inelástico: 0 < e < 1 ⇒ ii

f f

vv

vve

12

12

−

−−=

- Choque Completamente Inelástico e = 0, v2f = v1i = vf.

f vr

m2

m1

Después del choque

iv1

r

m1

iv2

r

m2

Antes del choque

21

2211

mm

vmvmv ii f

+

+=

r r

r

f v1

r

m1

f v2

r

m2

Después del choque

iv1

r

m1

iv2

r

m2

Antes del choque





Ejemplos:

1) Una pelota incide sobre un plano horizontal bajo un ángulo de 45º sobre el piso

con una velocidad V0 y rebota con un ángulo de 30º. Hallar el coeficiente de

restitución “e”.Solución:

c.c.m

m1v1i = m1 v1f

m1 v1i cos45 = m1 v1f cos30º

ii

f f

vv

vve

12

12

−

−−=

)º30(0

º450

1

1

senv

senv

i

f

−−

−−=

º30

º45

1

1

sen

sen

v

v

i

f

=

( ) ( )7.08.0=e 6.0=⇒ e

2) Un bloque de masa M recibe el impacto de 3 balas cuyas masas son m 1 = m2 = m y m3

= 12m que quedan incrustadas en el bloque. Las velocidades de las masas m1 y m2

son iguales a V e inciden sobre el bloque formando un ángulo θ entre ellas. Si al final

del impacto de las tres balas, el bloque no se mueve, calcular la velocidad de la tercera

bala.

Solución:

c.c.m. 0332211 =++ vmvmvm r r r

0 012)( 321 =++ vmmvv r r r

1vr

2vr

θ

P2 P1 θ /2

α β

θ /2

θ α

m

V0

30º 45º

m

V0

8.0º30cos

º45cos

1

1==

i

f

v

v





012)( 321 =++ vvv r r r

(1)

Pero: jvsenivv r r

r

α α −= cos1

jvsenivv r r

r

β β −−= cos2

jvivv y x

r r r

333 +−=

Reemplazando en (1)

0)12()12coscos( 33 =+−++− jvvsenvsenivvv y x

r r

β α β α

012coscos 3 =+− xvvv β α

012 3 =+−− yvvsenvsen β α

De la gráfica: α = β y cosα = sen(θ /2)

03 = xv α senvv y )6/(3 = ; )2/cos(θ α = sen

0122 3 =+− yv senα )2/()6/(3 θ senvv y =





2.12. ESTÁTICA DE FLUIDOS

La estática o mecánica de fluidos, estudia los fluidos en reposo en situaciones de

equilibrio, basados en las condiciones de equilibrio de Newton (1 ra y 3ra). Los fluidos

controlan el clima.Fluido: es cualquier sustancia que pueda fluir, pueden ser líquidos o gases.

La estática de fluidos consta de las siguientes partes:

Hidrostática: Estudia a los líquidos en reposo relativo.

Neumostática: Estudia a los gases en reposo relativo

Los fluidos son substancias, idealizadamente un continuo de masa, donde su

forma puede cambiar fácilmente por escurrimiento debido a la acción de fuerzas

pequeñas. Son fluidos tanto los líquidos como los gases. Si se analizan las

fuerzas que pueden actuar sobre una porción de fluido, ellas son de dos tipos:causada por agentes exteriores, típicamente el peso de él, y las causadas por el

fluido que está en su exterior mediante contacto. Es conveniente distinguir la

parte de esa última fuerza que actúa normal a la superficie, llamadas fuerzas

debidas a la presión, de las fuerzas tangenciales o de viscosidad. Estas fuerzas

tangenciales actuando sobre la superficie del elemento de fluido, no pueden ser

equilibradas por fuerzas interiores, de modo que ellas causan escurrimiento del

fluido. Si nos limitamos a fluidos en reposo, las fuerzas tangenciales no pueden

existir.2.12.1. Densidad (ρ : kg/m3)

Es la característica principal de cualquier material y está definido como: su masa por

unidad de volumen: V

m= ρ .

La densidad depende de los factores ambientales: la temperatura y la presión.

SUSTANCIASÓLIDA

DENSIDAD(kg/m3)

SUSTANCIALÍQUIDA

DENSIDAD

(kg/m3)

SUSTANCIAGASEOSA

DENSIDAD(kg/m3)

Aluminio

Latón

Cobre

Vidrio

Oro

Hielo

Hierro

Plomo

Acero

Madera roble

2.7 x 103

8.7 x 103

8.9 x 103

2.6 x 103

19.3 x 103

0.92 x 103

7.9 x 103

11.4 x 103

7.8 x 103

0.81 x 103

Alcohol etílico

Alcohol metílico

Sangre

Plasma sanguíneo

Gasolina

Mercurio

Agua de mar (4 ºC)

Agua dulce (4 ºC)

0.79 x 103

0.82 x 103

1.05 x 103

1.03 x 103

0.68 x 103

13.6 x 103

1.03 x 103

1.00 x 103

Aire

Helio

Oxígeno

Vapor de

agua (100 ºC)

1.29 x 103

0.18 x 103

1.43 x 103

0.63 x 103





2.12.2. Densidad relativa (ρρρρr): Es un número adimensional, y es igual a la densidad de

cualquier sustancia entre la densidad del agua a 4ºC.

02 H

sr

ρ

ρ ρ =

2.12.3. Peso específico

El peso específico denotado por γ se define como el peso por unidad de

volumen del fluido, es decir:

g ρ = ; donde la unidad S.I. será Nm−3

2.12.4. Presión (N/m2 = Pascal = Pa)

Si una superficie se coloca en contacto con un fluido en equilibrio (en reposo)

el fluido, gas o líquido, ejerce fuerzas normales sobre la superficie.Las fuerzas tangenciales que un fluido puede ejercer sobre una superficie se

originan cuando hay movimiento del fluido respecto a la superficie. Si sobre

una superficie actúan fuerzas normales distribuidas en forma continua, como

se indica en la figura, se define la presión actuando sobre algún punto de ella

como la fuerza por unidad de área que actúa sobre la superficie. Esta puede

ser variable o constante de punto en punto de la superficie. Por esa razón su

definición involucra un elemento infinitésimo de área dA.

Fuerza de Presión

O sea la presión en el punto donde se ubica el elemento de área (infinitésimo) dA se define por

dA

dF P =

Como se verá más adelante, la presión en un fluido en equilibrio aumenta

con la profundidad, de modo que las presiones serán uniformes sólo en

superficies planas horizontales en el fluido. Si la fuerza total F está distribuida

en forma uniforme sobre el total de un área horizontal A como se indica en lafigura, la presión en cualquier punto de esa área será:





A

F P =

Fuerza distribuida uniformemente

Unidades: P0 = presión atmosférica = 1 atm. = 1.013 x 105 Pa

Bar = 1,0 × 105 Pa

1 mmHg = 133. 322Pa

Propiedades de la presión

La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas direcciones,

esto es que la fuerza que experimenta un elemento de área dentro de un

fluido, no depende de la orientación de ese elemento de área. Además la

presión en un mismo plano horizontal en el interior de un fluido en reposo, es

la misma. Estas propiedades fueron enunciadas como “principios” por Pascal,

pero ahora pueden ser demostradas de modo muy simple usando las leyes

de la estática

2.12.5. Presión atmosférica

La atmósfera está constituida por aire, una mezcla en ciertas proporciones de

Nitrógeno y Oxígeno principalmente, que como toda substancia es atraída

por el campo gravitacional terrestre, es decir la atmósfera tiene peso. La

atmósfera es un fluido de varios kilómetros de altura, que producto de su

peso, ejerce presión sobre todos los objetos sumergidos en ella. Esta presión

se denomina presión atmosférica y como veremos, ella disminuye con la

altura.

El famoso experimento de Torricelli, determinó por primera vez su valor.

Considere un tubo de vidrio de alrededor de 1m de longitud, cerrado en un

F

F

FF

F

F

F

A





extremo, lleno de mercurio, un fluido el cual tiene una densidad de alrededor

13,6 g/cm−3. Tapando el extremo abierto del tubo se invierte el tubo y se

sumerge el extremo abierto en un recipiente que también contiene mercurio.

Si este experimento es realizado al nivel del mar, se logra una situación de

equilibrio como se indica en la figura, donde una altura de h = 76 cm de

mercurio (760mm) permanece equilibrada con vacío en su parte superior.

Barómetro de cubeta

Un pequeño análisis de las fuerzas involucradas en el equilibrio de la

columna suspendida de mercurio, nos da el valor de la presión atmosférica

Pa. Si A denota el área basal de esa columna, la fuerza que actúa por abajo

es PaA la cual equilibra el peso de la columna de mercurio el cual es ρHg ghA

de modo que Pa = ρHg gh = 760mmHg, puesto que la altura suspendida es

precisamente 760mmHg. Este experimento da origen al aparato llamado

barómetro de mercurio y también a la unidad de presión llamada mmHg. Si la

presión atmosférica varía por cualquier razón, también lo hará la altura de la

columna de mercurio, constituyendo entonces este dispositivo, un aparato

para medir la presión atmosférica, directamente en mmHg.

2.12.6. Presión de un Fluido

A

F P =

0=∑ y F

( ) 0=−+− mg Adp P PA ; AhV m ρ ρ ==

( ) 0=−+− ghA Adp P PA ρ ; dyh =

0=−−− gAdy Adp PA PA ρ

0=−− gdydp ρ

g dy

dp ρ = o gdydp ρ −=

dy

wPA

(P + dp)A





Vemos que la presión aumenta con la profundidad y disminuye con la altura.

P0 = 1 atm. = 1.013 x 105 Pa

Los aparatos para medir la presión atmosférica se llaman barómetros , y

los que miden presión en general, se llaman manómetros .

2.12.7. Manómetros

Son aparatos que sirven para medir la presión de los gases y de los líquidos. El tipo

más sencillo es el manómetro de tubo abierto, que es un tubo en forma de U.

Manómetro de mercurio

2.12.8. Barómetros

Son aparatos destinados a medir la presión atmosférica. El tipo más usual es el

de mercurio. Consiste esencialmente de un tubo cerrado en uno de sus

extremos que después de llenarse de Hg por el otro se invierte en una cubetaque contiene Hg.

Barómetro en U

P

h

Y1

Y2

P2 = P0

12 y yh −= ; P P =1 ; 02 P P =

De: gdydp ρ −=

∫∫ −=2

1

2

1

y

y

p

p

gdydp ρ

( )120 y y g P P −−=− ρ

( )120 y y g P P −+= ρ

gh P P ρ += 0





2.12.9. Principio de Pascal

Cuando se aplica una presión en un punto de un líquido, ésta se transmite a

todo el líquido con rapidez y prácticamente sin disminuir su intensidad en

todas las direcciones.

La prensa hidráulica se fundamenta en este principio: Tenemos dos

recipientes comunicados llenos de líquido, y tapados por sendos émbolos. Enequilibrio, la presión en el fondo de ambos recipientes debe ser la misma. Al

ejercer una fuerza sobre el primer émbolo, la presión añadida1

1

1 A

F P = , se

transmite, según el principio de Pascal, al resto del líquido, incluida la

superficie del émbolo 2:

21 P P = →

2

2

1

1

A

F

A

F = →

1

1

2

2 F A

A F =

Como lo superficie del émbolo 2 es mayor que la del 1, conseguimos ejerceruna fuerza sobre 2 mayor que la que hemos hecho sobre 1. Así, ejerciendo

poca fuerza, podemos multiplicarla con este dispositivo.

Prensa Hidráulica





2.12.10. Vasos Comunicantes

Se denomina así, a los conocidos tubos en “U”, cuando dos recipientes que

contienen líquido, se comunican por su parte inferior.

Cuando los dos recipientes comunicados, tienen una sola clase de líquido, en

ambas ramas se alcanza la misma altura, independientemente de la forma de

cada recipiente, dado que la presión hidrostática en cualquier punto del fondo

debe dar el mismo resultado, cualquiera sea la rama por la que se calcule.

La paradoja hidrostática de la figura ilustra ésta situación:

De acuerdo al Principio de vasos comunicantes se tiene que: todos los

puntos de color rojo tienen la misma presión porque se encuentran a la

misma altura H1. Los puntos de color azul tienen la misma presión porque se

encuentran a la misma altura H2. La figura siguiente muestra un tubo con forma de “U”, conteniendo dos

líquidos de distinta densidad.

La diferente altura que los mismos alcanzan en cada rama del tubo por

encima del nivel de la interfase, está en relación inversamente proporcional a

sus pesos específicos.

Estas alturas, las podemos relacionar entre sí, igualando la presión

hidrostática en la interfase:

aar r hh ρ ρ =

O bien como relación de alturas:

P0P0P0P0P0P0

H1

H2





a

r

r

a

h

h

ρ

ρ =

2.12.11. Principio de Arquímedes

Cuando un cuerpo sólido está en equilibrio en el interior de un fluido, él estará

sometido a fuerzas exteriores de dos tipos: su peso u otras fuerzas aplicadas, y

además las fuerzas distribuidas sobre su superficie causada por la presión dentro del

fluido. Esas últimas actúan normalmente a la superficie del cuerpo y su resultante

vertical puede ser fácilmente calculada. En efecto, si se considera la segunda de las

figuras donde el cuerpo no está presente, pero se ha marcado la región donde el

cuerpo estaba, las fuerzas sobre esa superficie imaginaria son naturalmente las

mismas que actuaban sobre el cuerpo. Pero ahora, ellas equilibran verticalmente al

fluido encerrado por esa superficie, de modo que la resultante vertical hacia arriba,

debe igualar al peso del fluido encerrado por dicha superficie. Se tiene entonces el

llamado principio de Arquímedes.

Cuando un cuerpo se sumerge en un fluido, él experimenta una fuerza

ascendente, llamada fuerza de empuje, que es igual al peso del fluido

desplazado por el cuerpo.

En términos matemáticos, si V denota el volumen sumergido, ρL la densidad del

líquido y E la magnitud del empuje, entonces:

g V E L ρ =

CALCULO DEL EMPUJE:

Hay dos maneras de expresar el empuje (E), según los datos que se suministren:

a) En función del peso del cuerpo en el aire (WC) y de lo que aparenta pesar al

sumergirlo (WA); y b) En función del peso específico del líquido L ρ y del volumen del

cuerpo (VC).

a) Ac W W E −=

b) C LV E ρ =

Se presentan tres situaciones, según los valores relativos de peso y empuje referidas

a un cuerpo que se sumerge en un líquido:

1) E < WC El cuerpo se hunde.





2) E = WC El cuerpo permanece en equilibrio en el seno del líquido.

3) E > WC El cuerpo emerge parcialmente hasta que se equilibra: E = WC

En el caso en que el cuerpo sea macizo, podemos establecer para cada una de las

situaciones antes enunciadas, las siguientes relaciones:

1) L ρ < c ρ (Peso específico del líquido menor que el del cuerpo).

2) L ρ = c ρ (Peso específico del líquido igual que el del cuerpo).

3) L ρ > c ρ (Peso específico del líquido mayor que el del cuerpo).

2.12.12. Tensión Superficial (N/m)

Las moléculas de un líquido ejercen pequeñas fuerzas de atracción, unas sobre

las otras. Aún cuando las moléculas son eléctricamente neutras. Dentro de un

líquido, en el que cada molécula está complemente rodeada de otras

moléculas, la fuerza neta es cero.

A pesar de ello, para las moléculas de las superficies del líquido, no existen

fuerzas de atracción que actúen de arriba de la superficie hacia el interior del

líquido (el efecto de las moléculas de aire es pequeño y se considera

despreciable). Como consecuencia las moléculas de la capa superficial

experimentan fuerzas netas debidas a las moléculas vecinas, que están justo

debajo de la superficie. Este impulso hacia abajo sobre las moléculas de la

superficie causa que el líquido se contraiga y resista ser estirado o roto,

propiedad que se llama tensión superficial.

(a) La fuerza neta sobre una molécula en el interior de un líquido es cero, debido a que está rodeada por otrasmoléculas. No obstante, una molécula en la superficie experimenta una fuerza neta que no vale cero, y quese debe a las fuerzas de atracción de las moléculas vecinas que están justo debajo de la superficie.

(b) Para formar una depresión superficial, se debe realizar un trabajo, ya que las moléculas que están máshacia el interior deben traerse a la superficie para incrementar el área. Como resultado, el área superficialactúa como una membrana elástica estirada, y la fuerza del peso de un objeto, como una aguja, essoportada por los componentes de la tensión superficial hacia arriba.

(c) Las patas del insecto hacen una depresión similar, y los componentes de la fuerza resultante hacia arriba

permiten que el insecto camine sobre el agua.(d) Debido a la tensión superficial, las gotitas de agua tienden a asumir la forma que haga mínima su áreasuperficial; es decir, una esfera.

(a)

Gota deagua

(b)

F

mg

(c)

(d)





Si una aguja para coser se coloca cuidadosamente sobre la superficie de un

cuenco de agua, la superficie actúa como una membrana elástica bajo

tensión. Hay una ligera depresión en la superficie, y las fuerzas moleculares

a lo largo de la depresión forman un ángulo con la superficie (figura b). Los

componentes verticales de estas fuerzas equilibran el peso (mg) de la aguja y

ésta "flota" sobre la superficie. Similarmente la tensión superficial soporta el

peso de un andador en agua (figura c).

El efecto neto de la tensión superficial es hacer que el área de la superficie

de un líquido sea tan pequeña como sea posible. Esto es, un volumen dado

de líquido tiende a adoptar la forma que tiene el área superficial menor.

Como resultado, las gotas de agua y las burbujas de jabón tienen formas

esféricas, porque la esfera es la forma con el área superficial menor para un

volumen dado (figura d). Al formarse una gota o una burbuja, la tensión

superficial tira de las moléculas a reunirías para minimizar el área superficial.

Cuantitativamente, la tensión superficial (γ ) en una película líquida se define

como la fuerza por unidad de longitud que actúa a lo largo de una línea (por

ejemplo, a lo largo de un alambre) cuando se estira la superficie:

L

F =γ (Tensión superficial)

En el cuadro se dan las tensiones superficiales de algunos líquidos. Como se

puede esperar, la tensión superficial es dependiente en grado elevado de la

temperatura.

En la figura se muestra un aparato que se utiliza para medir la tensión

superficial. Básicamente, el dispositivo mide la fuerza que se requiere para superar la

tensión superficial. Para un aro circular de alambre, L es la longitud de la

circunferencia y γ γγ γ = F/2L, debido a que hay dos superficies de película (una de cada

lado del alambre).





Otra forma de estudiar la tensión superficial es en términos del trabajo o la

energía necesarios para estirar el área superficial. Si se utiliza un pedazo

recto de alambre de longitud L para estirar una superficie una distancia

paralela Ax, el trabajo hecho contra la tensión superficial es:

A X L X F W ∆=∆=∆=∆ γ

Dado que

L F = y X L A ∆=∆ ( el cambio en el área superficial). Así tenemos que:

A

W

∆

∆=γ

La tensión superficial, o fuerza por unidad de longitud, es equivalente al

trabajo por unidad de cambio en el área de la superficie, con unidades de

J/m2.

Cuadro. Tensiones superficiales de algunos líquidos (N /m)

Líquido TemperaturaTensión

superficial (γ γγ γ )Alcoho l e t í l i coSangre enteraPlasmasanguíneoMercur ioAgua jabonosaAguaAguaAgua

(20 ºC)(37 ºC)(37 ºC)(20 ºC)(20 ºC)(0 ºC)

(20 ºC)(100 ºC)

0 .0220.0580.0720.45

0.0250.0760.0730.059

Ejemplos

1) Las densidades del aire, helio o hidrógeno (en condiciones normales) son

respectivamente 0.00129 gr/ cm3, 0.000178 gr/cm3 y 0.0000899 gr/cm3.

a) ¿Cuál es el volumen en metros cúbicos desplazado por un dirigible lleno de

hidrógeno que tiene una fuerza ascensional total de 10 toneladas?

b) ¿Cuál sería la fuerza ascensional si se utilizara el helio en vez de

hidrógeno?

Solución:

F = Fuerza ascensional resultante = Empuje hidrostático – Peso dirigible

a. Fh = E – W

= ρ a gV - ρH g V = 107 gr f

(10 toneladas: 104 kg : 107 gr)

W

E





Además V = 107 x 980 dinas(0.00129 – 0.0000899) gr/cm3 980 cm/s2

= 107 cm3 = 8.33 x 109 cm3 1.2x10-3

= 8330 m3

b. FHe = ρa g V - ρHe g V

= (0.00129 – 0.000178) gr/cm3 x 980 cm/sg2 x 109 cm3

= 9.0776 x 109 dinas = 9.26 x 106 gr-f

= 9.26 tonelada

2) En un tubo hay capa de aceite de oliva de 2m de espesor, que flota sobre una

capa de agua de 1.5 m de espesor. La cual a su vez esta sobre una capa de

mercurio de 0.5 m. La superficie libre del aceite esta sujeto a la presiónatmosférica. ¿Cuál será el valor de la presión absoluta en la superficie interior

del mercurio?. La densidad relativa del aceite de oliva es 0.92 y la del mercurio

13.6

Solución:

P3 = P0 + ρac g hac + ρH2o g hH2o + ρHg g hHg

P3 = Po + g( ρac hac + ρH20 h H20 + ρHg hHg)

= 1.01 x 105 N/m2 + 9.8 m/sg2 (0.92 x 2 x 1 x 1,5 + 13.6 x 0.5) x 103 Kg/m3

P3 = 2 x 105 N/m2

0.5m ρHg

P3 = P2 + ρg g hHg

2m ρac

1.5 m ρH20

P0

P1 = P0 + ρac g hac

P2 = P1 + ρH2o g hH2o P2 = P0 + ρac g hac + ρH2o hH2o





3) A un estudiante se le asigna la tarea de diseñar un globo esférico cuya

capacidad bruta de carga sea de 4 900 N, lo que corresponde a una masa de

500 kg que incluye la masa del propio aeróstato. El globo se llenará con

hidrógeno. Hallar el radio mínimo que deberá tener el globo para levantar esa

carga total. (ρaire = 1.293 kg/m3

), (ρH = 0.090 kg/m3

)Solución:

F = 4 900 N

Eaire – mHg = 4 900 N

Ρaire g A V - ρH g V = 4 900 N

Vg (ρaire - ρH) = 4 900 N ; V = 4 πr3

3

m g

xr

Hg aire

63.4)(4

490033 =

−=

ρ ρ π

m Hg

4 900 N

E aire

r





2.13. DINÁMICA DE FLUÍDOS

2.13.1. Fluidos: es cualquier sustancia que pueda fluir, puede ser líquido o gases.

El flujo de los fluidos puede ser de régimen estacionario o de régimen variado

1.1. Flujo estacionario: Cuando la velocidad del fluido vr en cualquier punto

dado se conserva constante en el transcurso del tiempo.

Cuando el movimiento es de tipo estacionario, cada partícula que pasa por

un punto tal como P; sigue exactamente la misma trayectoria que las

partículas precedentes que pasaron por dicho punto.

Para hacer una descripción de la dinámica de fluido se trabaja con flujos

ideales, los cuales se toman cuatro características:

a) Flujo Uniforme: Todas las partículas del fluido tienen la misma velocidad alpasar por un punto.

b) Flujo Irrotacional: Significa que un elemento de fluido (un volumen

pequeño del fluido) no tiene velocidad angular neta ( ω = 0) eliminando

corrientes remolinos (el flujo no es turbulento).

c) Flujo No viscoso: La viscosidad se desprecia. La viscosidad se refiere a

una fracción interna del fluido donde no existe fricción entre el fluido y

paredes internas del recipiente, donde la velocidad del centro del recipiente

es mayor y menor en las paredes del recipiente por fricción. (no se pierde

energía)

d) Flujo Incomprensible: La densidad del flujo es constante (líquidos). Los

gases son incomprensibles, se basa en el principio de conservación de la

masa y conservación de la energía.

Líneas de flujo

Tubo de Flujo

b

a

A





2.13.2. Ecuación de Continuidad

Si no perdidas de fluido dentro de un tubo uniforme, entonces la masa del fluido

que fluye dentro del tubo en un momento dado debe ser igual a la masa que

fluye fuera del tubo en el mismo tiempo. (Conservación de la masa)

Como V m ∆=∆ ρ ; pero L AV ∆=∆ . y t v L .=∆ , entonces ( )t v Am ∆=∆ ,, ρ

Entra : ( )t v Am ∆=∆ ,, 1111 ρ

Sale : ( )t v Am ∆=∆ ,, 2222 ρ

Por el Principio de conservación de la masa:

21 mm ∆=∆

t v At v A ∆=∆ 222111 ρ ρ

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

.const Av= ρ

Como el fluido es incomprensible, es decir: .const = ρ

ECUACIÓN DE GASTO: (m3 /s) o (vol/seg)

La razón de flujo de volumen dV/dt. Es la rapidez con que el volumen cruza una

sección del tubo.

222111 v Av A ρ ρ =

2211 v Av A =

h2

h1 ∆L1

V1

V2

F1 = P1A1

F2 = P2A2

∆L2





2.13.3. Ecuación de Bernoulli

Por el Principio de conservación de energía y del trabajo, tenemos:

Tenemos: dt vdS 11 = dt vdS 22 =

El fluido es incomprensible

2211 v Av A =

2211 dS AdS AdV ==

Entonces: el trabajo P1 y P2

111 A P F = y 222 A P F =

FdS dw=

222111 dS A P dS A P W −=∆ ( )dV P P W 21 −=∆ (1)

Por Conservación de la Energía Cinética.

a y b c y d

111 dS AdV = 222 dS AdV =

11 ds Adm ρ = 22 ds Adm ρ =

2

111 )(2

11

vds A E k ρ = 2

222 )(2

12

vds A E k ρ =

)(2

1 2

1

2

2 vvdV E k −=∆ ρ (2)

Por Conservación de la Energía Potencial

a y b c y d

11 y g dV y g dm ρ = 22 y g dV y g dm ρ =

)( 12 y y g dV E p −=∆ ρ (3)

Por el Principio de Conservación de la Energía,

De las ecuaciones (1), (2) y (3), tenemos: pk dE dE dW +=

( )dV P P 21 − )(2

1 2

1

2

2 vvdV −= ρ )( 12 y y g dV −+ ρ

21 P P − 2

1

2

22

1

2

1vv ρ ρ −= 12 gy y g ρ ρ −+

ECUACIÓN DE BERNOULLI2

2

221

2

112

1

2

1h g v P h g v P ρ ρ ρ ρ ++=++

h2

h1 dS1

V1

V2

F1 A1

A2 F2

dS2

a b

c d





2.13.4. Viscosidad

Todos los fluidos reales tienen resistencia interna al flujo, que se describen

como viscosidad, se puede considerar que la viscosidad es una fricción

entre las moléculas de un fluido.

• En los líquidos es ocasionada por las fuerzas cohesivas de corto

alcance.

• En los gases, por las colisiones entre las moléculas. Por lo tanto el

arrastre viscoso o de líquidos y gases depende de la velocidad y

puede ser directamente proporcional a ella en algunos casos. La fricción

interna causa que las capas de fluido se muevan unas con respecto a

otras en respuesta a una tensión corte.

Fig. Flujo laminar (a)Una tensión al corte causa que las capas de fluido se muevan una sobre otraen flujo laminar. La fuerza de cizalla y la velocidad de flujo dependen de la viscosidad del fluido.(b)Para el flujo laminar a través de un tubo, la velocidad del flujo es menor cerca de las paredesdebido al arrastre friccionar entre las paredes y el fluido.

• Este movimiento en capas, llamado fluido laminar es característico del

flujo uniforme a velocidades bajas de los líquidos viscosos. A

velocidades mayores el flujo se convierte en rotacional, o turbulento.

La magnitud de la tensión cortante por un coeficiente de viscosidad, η.

Se define como relación entre el esfuerzo cortante, F/A, y la razón de

deformación:

1/

/tan

v

A F

ndeformacióde Razón

tecor Esfuerzo==η

FLUJO DE LOS FLUIDOS VISCOSOS

La viscosidad en los fluidos se debe a atracciones entre las moléculas del

líquido y la de los sólidos que están en contacto con el.

El efecto de la viscosidad es hacer más lento el flujo y producir resistencias al

movimiento de objetos a través del f luido.

La fricción de un fluido aumenta conforme la velocidad aumenta y depende de

las formas de los objetos en contacto con el fluido y del fluido mismo (su





densidad). El coeficiente de viscosidad (η) aumenta con el aumento de

temperatura para gases y en líquidos la relación es inversa con la temperatura.

La ley fundamental de la viscosidad es que el valor de la fuerza de viscosidad

es proporcional al área y al gradiente de velocidad (

V/

y), que existe enlugar donde esta situada el área de contacto (A) según la figura

∂

∂−=

y

v A F η

[ ] Poise seg cm

g ==

.η

l

v A F η =

OBSERVACIONES

1. Los fluidos fluyen con facilidad, como el agua y la gasolina, tienen menor

viscosidad que los líquidos “espesos” como la miel o el aceite de motor.

2. Las viscosidades de todos los fluidos dependen mucho de la

temperatura, aumentando para los gases y disminuyendo para los

líquidos a medida que aumenta la temperatura.

3. Un objetivo importante del diseño de aceites para lubricar motores es

reducir la variación de la viscosidad con la temperatura lo mas posible.

4. Unidades:

• La unidad de viscosidad es la fuerza por distancia, dividida entre la

rapidez.

• La unidad en el S.I. es: 1 N.m / [ m/s] = 1N.s/m2 = 1 Pa.s

• La unidad en cgs, es: 1 din.s/cm2, es la unidad de viscosidad. Llamado

Poise

1 Poise = 1 din . s/ cm

2

= 10

-1

N. s/m

2

• También se usan el centipoises y el micropoise. La viscosidad del agua

es de 1.79 centipoise a 0º C y de 0.28 centipoise a 100 ºC

• Los aceites lubricantes suelen tener viscosidades de 1 a 10 Poise, y la

del aire a 20 ºC es de 181 micropoise.





ECUACIÓN DE POISEUILLE Y LEY DE STOKES

Fig. Perfil de velocidad para un fluido viscoso en un tubo de cilindro.

La figura muestra el perfil de rapidez de flujo para el flujo laminar de un fluido

viscoso en un tubo cilíndrico largo. La rapidez es máxima a lo largo del eje ycero en las paredes.

El movimiento es como muchos tubos concéntricos deslizándose entre si,

donde el tubo central se mueve más rápidamente y el más exterior esta en

reposo.

• Si aplicamos la ecuación:

===

v

l

A

F

Av

l F

l v

A F H

/

/

( ) ( )2221

4v R

l

P P

A

l F v −

−==

η η

Donde P1 y P2, son las presiones en los dos extremos de un tubo de longitud

L. La rapidez en cualquier punto es proporcional al cambio de presión por

unidad de longitud, (P2 – P1)/L o dP/dX , llamado gradiente de presión.

Para calcular la razón de flujo total de volumen a través de un tubo,

consideramos un anillo con radio interior r, radio exterior r + dr y área

transversal dA = 2π r.

• La razón de flujo de volumen a través de este elemento es v dA; la razón

de flujo total de volumen se obtiene integrando desde γ = 0 a r =R.

−

=

l

P P R

dt

dv 21

4

8 η

π que es la llamada ecuación de Poiseuille .

• Una esfera de radio r que se mueve con una rapidez v a través de un

fluido con viscosidad η experimenta una fuerza de resistencia viscosa F

dada por la ley de STOKES:

F = 6 π η v

R

L





2.13.5. Numero de Reynolds

Cuando la velocidad de flujo de un fluido excede cierto valor, el flujo deja de ser

laminar y se convierte en turbulento. En ese momento ya no tiene aplicación la

Ley de Poiseuille. El análisis del flujo turbulento es una tarea difícil, pero existe

un valor determinado experimentalmente que nos indica el umbral de la

turbulencia. Este valor se expresa en términos de una cifra adicional que se

denomina Número de Reynolds (R):

η

ρ d v R =

Donde ρρρρ es la densidad del fluido, v la rapidez promedio de flujo, d el

diámetro de un tubo o conducto cilíndrico y ηηηη la viscosidad.

En un tubo con paredes lisas, el flujo laminar si Rn es inferior a 2000. Laturbulencia se establece cuando Rn es de alrededor de 2000 o más (Rn ≥

2000). Es posible que haya un flujo laminar si Rn es superior a 2000, pero será

un flujo inestable. Cualquier trastorno ligero ocasionará que se convierta en

turbulento. Es interesante que con frecuencia la velocidad de flujo es mayor

que se aplicara la ley de Poiseuille.

Matemáticamente, el Re es un parámetro adimensional que expresa la

relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad o de fricción

en el interior de una corriente.

Las fuerzas de inercia que actúan sobre un volumen L3 de corriente vienen

dadas por la ecuación de Newton: ma F = 3. Lm ρ =

T

va=

Por lo tanto, T

v L F .. 3 ρ = y como: ⇒=

T

Lv 22 .. v L F ρ =

La fuerza de viscosidad tiene por ecuación: S y

v F v .. µ =

Por lo tanto, Lv L Lv F v .... 2 µ µ ==

El cociente entre las dos fuerzas es el Re:

µ

ρ

µ

ρ v L

v L

v L ..

..

..Re

22

==

La importancia del número de Reynolds no sólo radica en el hecho de poder

determinar la velocidad crítica que caracteriza el régimen de una corriente de

líquido. También se utiliza, para el cálculo de pérdidas de carga en

conducciones.





Ejemplos:

1) El cilindro y el tubo mostrado en la figura, contienen aceite de densidad

relativa 0.902. Para una lectura manométrica de 2.2 Kg-f/cm2, ¿Cuál es el

peso total del pistón y el peso de la placa?

Presión en B = Presión en C

h P W

m

T γ +=

pistónmT W W W +=

Despejando WT y reemplazando los datos tenemos.

WT = 61 000kg-f.

2) Determinar la presión en el punto A para el manómetro inclinado mostrado en

la figura.

Presión en B = Presión en C

0 P h P A =+

h P P A γ −= 0

85010033.14 −= x P A

2/948.0 cm f kg P A −=

El nivel en el tubo está mas bajo que el recipiente porque en éste está hacia el vacío.

12.5cm

30º

Recipientede Hg

B

Abierto a laatmósfera

C

A

A la cámarade vacío

B

1.8m

Pistón

W

1.8m

C

D




BIBLIOGRAFÍA

ALONSO - FINN FISICA Vol I. Fondo Educativo Interamericano

S.A. 1986.

GOLDEMBERG FISICA GENERAL Y EXPERIMENTAL Vol I.

2da Edic. Nueva Edt. Interamericana.

TIPLER P.A. FISICA VOL. I Reverté S.A. Barcelona 1985.

Mc. KELVEY y GROTCH FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERIA Vol I.

Edt. Harla 2000.

RESNICK - HALLIDAY: FISICA PARTE I. Continental S.A. México

1981.

SERWAY-JEWET: FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA

VOL. 1. 7ma Edic. Cengage Learning S.A.

México 2008

Apuntes del Docente.

001 Modulo II Unidad

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