7/26/2019 00401

1/11

DECISIONES FINANCIERAS CON PROGRAMACIN LINEAL:

DIFERENTES ESTADOS DE LA NATURALEZA

Paulino E. MALLO, Mara A. ARTOLA, Mariano MORETTINI

Grupo de Investigacin Matemtica Borrosa

Facultad de Ciencias Econmicas y Sociales

Universidad Nacional de Mar del Plata

mariano.morettini@gmail.com

RESUMEN

Desde los inicios de la investigacin operativa la programacin lineal ha sido una de susherramientas ms eficientes y difundidas. En el campo financiero tambin se ha dado lugar a laaplicacin de la programacin lineal, aunque con menos frecuencia que en la faz productiva.Sin embargo, los supuestos de la programacin lineal no siempre se satisfacen acabadamenteen la realidad. Algunas de las situaciones enfrentadas son de certeza, satisfaciendo lossupuestos que requiere la tcnica, pero tambin hay situaciones de riesgo o de incertidumbre.Estos ltimos dos estados de la naturaleza requieren adaptaciones a los conceptos originalesde la programacin lineal para su aplicacin concreta, mediante la teora de las probabilidadesen el caso del riesgo, y mediante la matemtica difusa, en el caso de la incertidumbre.

En el presente trabajo se plantea resumidamente el modelo clsico de programacin lineal,para luego incorporar la teora de las probabilidades en su anlisis y abordar situaciones dealeatoriedad, y por ltimo hacer uso de las tcnicas difusas para el tratamiento de laincertidumbre.

PALABRAS CLAVE: programacin lineal, decisiones financieras, matemtica difusa

mailto:morettini@gmail.commailto:morettini@gmail.com

7/26/2019 00401

2/11

SUMARIO

1. INTRODUCCIN

2. LA PROGRAMACIN LINEAL EN SITUACIONES DE CERTEZA

3. LA PROGRAMACIN LINEAL EN SITUACIONES DE RIESGO

4. LA PROGRAMACIN LINEAL EN SITUACIONES DE INCERTIDUMBRE

5. CONCLUSIONES

BIBLIOGRAFA CONSULTADA

7/26/2019 00401

3/11

1. INTRODUCCIN

La programacin lineal es una de las principales herramientas de la investigacin operativa,pero de utilizacin tambin en diferentes tpicos de decisiones financieras.

Toda decisin financiera se realiza para maximizar una funcin objetivo, generalmenterelacionada con la rentabilidad o utilidades, debiendo respetar determinados requerimientos deespacio fsico, o inversin, o tiempos, entre otros recursos, con lo que a partir de estascondiciones es viable la aplicacin de la programacin lineal.

Es generalizada la atribucin del desarrollo inicial de la programacin lineal a George Stigler y aGeorge Dantzig, en la segunda mitad de la dcada del 40 del siglo pasado. Sin embargo, talcomo lo indica Fernandez Lpez (2003), el profesor Jos Barral Souto, espaol de nacimientopero con desarrollo intelectual en Argentina, anticip desde la UBA los cimientos de laprogramacin lineal casi diez aos antes. De hecho, el propio Wassily Leontief le escribi unacarta en 1961 al entonces decano de la Facultad de Ciencias Econmicas de la UBA, WilliamLeslie Chapman, solicitando autorizacin para reproducir un artculo de Barral Souto de 1941 en

el que ...en esencia anticip la aplicacin de la programacin lineal a la teora econmica.

Entre los supuestos de la programacin lineal, como veremos, se encuentra la certeza respectode la funcin objetivo y los requerimientos a satisfacer. Sin embargo, sabido es que existen tresestados de la naturaleza, a saber, certeza, riesgo e incertidumbre.

En un ambiente de certeza, no hay duda respecto de los parmetros que definen las funcionesexplicativas del objetivo a alcanzar o de las restricciones impuestas. En estos casos se aplicasin adaptaciones la programacin lineal clsica.

En un ambiente de riesgo, no todos los parmetros o datos son conocidos, pero es factibletratarlos como una variable aleatoria, es decir, identificar los posibles valores que pueden tomar

las variables y asignarles una probabilidad a cada uno de ellos. El agregado que correspondehacerle al modelo clsico es la aplicacin de la teora de las probabilidades.

Si, en cambio, la situacin que afrontamos es de incertidumbre, esto es, no somos capaces dedefinir una variable aleatoria con probabilidades asignadas a cada valor de las variables,debemos incorporar la matemtica difusa.

Lo que presentamos en este trabajo es el modelo tradicional de programacin lineal con algnagregado por incorporacin de la teora de las probabilidades, para luego aplicar un modelo dedecisin difuso que reemplace a la programacin lineal clsica ante estados de la naturalezainciertos.

2. LA PROGRAMACIN LINEAL EN SITUACIONES DE CERTEZA

La programacin lineal se aplica para dar solucin a problemas en los que debe maximizarse ominimizarse una funcin lineal, que se denomina funcin objetivo, sujeta a restriccionesrepresentadas por inecuaciones tambin lineales.

En trminos formales:

7/26/2019 00401

4/11

Z = C1X1+ C2X2+ + CnXn (1)

Sujeto a:

a11X1+ a12X2+ + a1nXn b1

a21X1+ a22X2+ + a2nXn b2 (2)

am1X1+ am2X2+ + amnXn bm

y a las condiciones de no negatividad:

X2, X2, , Xn 0 (3)

El propsito es maximizar (o minimizar, segn el caso) la funcin objetivo Z representada por(1), siempre que se cumplan las condiciones o requerimientos que establece el bloque deinecuaciones representadas por (2), tomando las variables valores no negativos, como lorequiere la inecuacin (3).

Tomemos un ejemplo numrico referido a la administracin de la produccin a fin de aplicarestos conceptos.

Supongamos que una empresa fabrica dos productos distintos, para lo que utiliza un nicoproceso productivo y una nica materia prima. La capacidad de trabajo de la planta es de18.400 horas como mximo y se dispone de 16.000 kg. de materia prima, no pudiendoampliarse en una primera etapa por cuestiones financieras. El producto A requiere 4,4 horas deprocesamiento y 4 kg. de materia prima por unidad, mientras que el producto B utiliza un 20%menos de tiempo y un 15% ms de material por unidad. Adems, por cuestiones comerciales serequiere que A no tenga una participacin superior al 80% de la produccin total y que B nosupere el 40% de la produccin total. Se sabe tambin que las contribuciones marginales de losproductos son $16 para A y $9 para B.

A partir de esta informacin tenemos que la funcin objetivo a maximizar ser la referida a lasutilidades, y se representar por:

Z = 16 A + 9 B

Y los requerimientos sern

4,4 A + 3,52 B 18.400

4 A + 4,6 B 16.000

1,5 B A 4 B

A; B 0

Esta situacin puede representarse grficamente como se muestra a continuacin, en la Figura2.1.

7/26/2019 00401

5/11

Figura 2.1

Como puede observarse, en el eje de ordenadas se representan las cantidades producidas deB, en el eje de abscisas las cantidades producidas de A y las funciones lineales representan losrequerimientos del enunciado.

Las dos funciones lineales que parten del origen determinan los requerimientos mximos de A yB, segn lo indicado en la tercera restriccin. La inferior presenta una flecha hacia arribaindicando que se trata de una desigualdad que se cumple para todo punto por encima de ella,mientras que la superior presenta una flecha hacia abajo indicando que todo punto por debajode ella cumple con la inecuacin.

Las otras dos funciones presentan requerimientos mximos de capacidad de tiempo (la msalejada al origen) y de materias primas (la restante), con lo que para cumplir con ellas debe

fijarse una combinacin de productos que se encuentre debajo de las mismas.Para satisfacer todas las condiciones, entonces, las combinaciones posibles se encuentrandentro del tringulo abc.

Puede demostrarse matemticamente, aunque no lo haremos aqu en honor a la brevedad, queel punto ptimo es uno de los vrtices del polgono que se forma al cumplir todas lasrestricciones.

En nuestro ejemplo, los vrtices son los puntos a, b y c. Obviamente, el punto a se descarta porno haber produccin alguna en el mismo. Veremos entonces las utilidades de los puntos b y c.

En el punto b se producen 2264,15 unidades de A y 1509,43 unidades de B, valores que seobtienen a partir de las desigualdades que se intersectan en ese punto. Como la cantidadproducida de ambos productos debe ser un nmero natural, la contribucin marginal totalobtenida ser:

Z = 16 * 2264 + 9 * 1509 = 49.805

En el punto c, por su parte, se producen 3106,80 unidades de A y 776,70 unidades de B, con loque la contribucin marginal total ser:

7/26/2019 00401

6/11

Z = 16 * 3106 + 9 * 776 = 56.680

Claramente, en el punto c se obtiene una mayor utilidad, por lo que esa ser la combinacinptima que maximiza la funcin objetivo cumpliendo con todas las restricciones impuestas.

Adems de la forma grfica de solucin de estos problemas de programacin lineal, puede

utilizarse el mtodo Simplex, que es un algoritmo til no slo para situaciones donde hay slo 2variables a definir, sino que puede extenderse esta cantidad sin inconvenientes, situacin noviable en el mtodo grfico.

Tambin pueden resolverse estos problemas mediante la utilizacin de la herramienta Solver deMicrosoft Excel, pero dejaremos estos puntos sin desarrollo por cuanto no resultan de mayorinters para nuestro trabajo actual.

Debemos llamar la atencin en este punto al hecho de que, si bien el caso planteado es untpico problema de programacin lineal aplicado a cuestiones de produccin, no slo puedeaplicarse tambin esta herramienta a problemas financieros, sino que, como en este caso,puede ser un insumo para posteriores decisiones financieras.

Por ejemplo, para la elaboracin del presupuesto financiero debe previamente generarse elpresupuesto de ventas, el de produccin y el de compras, entre otros. La elaboracin delpresupuesto de produccin se realiza sobre la base de la cantidad de productos a producir, aligual que el presupuesto de compras, con lo que la aplicacin de la programacin lineal resultatil para generar el dato insumo de un presupuesto base para el presupuesto financiero.

Por otra parte, y tal como se ver ms adelante, tambin es dable la aplicacin directa de laprogramacin lineal para la toma de decisiones financieras.

3. LA PROGRAMACIN LINEAL EN SITUACIONES DE RIESGO

Como habr advertido el lector, tal como se expuso el problema de la programacin lineal en elpunto anterior, todos los requerimientos y la funcin objetivo resultan de parmetrosperfectamente conocidos por quienes deben tomar las decisiones, situacin no siempreverificada en la normalidad de los negocios, por cuanto es deseable tratar de no forzar lassituaciones de riesgo o incertidumbre para modelizarlas como si hubiera certeza.

Tal como lo anticipramos en la introduccin, existen tres estados de la naturaleza,dependiendo del grado de conocimiento que se tenga sobre la situacin enfrentada. No siemprela certeza es la que reina, con lo que, cuando no es as, es necesario modificar lasherramientas de las que se dispone para su tratamiento adecuado.

Al respecto, James C. T. Mao1plantea un mtodo propuesto por Allen R. Ferguson y George B.Dantzig para resolver casos en los que la demanda de los productos se establece como unavariable aleatoria.

1Mao, James C. T. (1986).Anlisis financiero. 4 edicin. Buenos Aires. El Ateneo. Pgs. 81 a 84.

7/26/2019 00401

7/11

As, supongamos que los precios de venta de los productos A y B son $3 y $5 respectivamente,con costos variables de produccin de $1 y $2, respectivamente y siendo la cantidaddemandada de cada producto para los precios dados los descriptos en la Tabla 3.1.

Producto A Producto BUnidades Probabilidad Unidades Probabilidad

0-2 0,3 0-1 0

3-6 0,4 2-4 0,3

7-8 0,3 5-7 0,6

8 0,1Tabla 3.1

Suponiendo que dentro de cada bloque la probabilidad se distribuye uniformemente, habr un10% de probabilidad de que no se venda ninguna unidad de A para el precio actual, y estaprobabilidad permanecer constante para A=1 y A=2.

As, si hay un 10% de probabilidades de que no se venda ninguna unidad de A, habr un 90%de probabilidades de que se venda al menos 1 unidad. Si se produce slo una unidad y no sevende, se tendr una prdida de $1 (que es el costo variable que le corresponde), siendo laprobabilidad de que esto suceda del 10%. Si se produce slo una unidad y sta se vende,generar una contribucin marginal de $2, con una probabilidad de 90%. La esperanzamatemtica de vender una unidad ser, entonces, E(x) = 0,1 * (-1) + 0,9 * 2 = 1,70. Siguiendoidntico razonamiento podemos generar la Tabla 3.2 para las unidades 1 a 8.

Unidad Clculo E(x)

1 0,1 * (-1) + 0,9 * 2 1,70

2 0,2 * (-1) + 0,8 * 2 1,40

3 0,3 * (-1) + 0,7 * 2 1,10

4 0,4 * (-1) + 0,6 * 2 0,80

5 0,5 * (-1) + 0,5 * 2 0,506 0,6 * (-1) + 0,4 * 2 0,20

7 0,7 * (-1) + 0,3 * 2 -0,10

8 0,85 * (-1) + 0,15 * 2 -0,55Tabla 3.2

7/26/2019 00401

8/11

El primer intervalo incluye a las unidades 1 y 2, por lo que en promedio la esperanzamatemtica del intervalo ser 1,55 [(1,70 + 1,40) / 2], el segundo intervalo tendr una esperanzamedia de 0,65 y en el tercero de -0,33.

Para el producto B la esperanza del primer intervalo ser 3, la del segundo intervalo 2,50, la deltercer intervalo 0,50 y la del cuarto intervalo -1,50.

De esta manera, la funcin objetivo ser:

Z = 1,55 A1+ 0,65 A2 0,33 A3+ 3 B1+ 2,50 B2+ 0,50 B3 1,50 B4

El problema ser maximizar esta funcin, sujeta a las restricciones financieras, de capacidad,legales, etc. que se establezcan, para lo cual se aplican los procedimientos antes mencionados,sean grficos o algortmicos.

4. LA PROGRAMACIN LINEAL EN SITUACIONES DE INCERTIDUMBRE

An cuando en el apartado anterior se flexibilizaron las condiciones de certeza inherentes almodelo clsico de programacin lineal, no siempre presentes en cuestiones financieras, y sibien es cierto que hemos desarrollado apenas alguna de las introducciones de la teora de lasprobabilidades al tema que nos convoca, tambin es cierto que en muchas oportunidades estasampliaciones o adaptaciones del modelo no resultan suficientes.

Basados en la lgica difusa y la matemtica consecuente, Bellman y Zadeh han preparado unmodelo en 1970 donde la funcin objetivo y las restricciones son difusas. En ese modelo, los

objetivos se representan por iG~

y las restricciones por jC~

, con funciones de pertenencia

)(~ xiG

y )(~ xjC

respectivamente. La decisin D~

ser el conjunto borroso interseccin de los

objetivos iG~ sujeto a las restricciones jC~ , con funcin de pertenencia:

nm CCCGGGD x ~~~~~~~ ,...,,,,...,,min)(

2121 (4)

La solucin del problema ser maximizar la funcin objetivo, es decir:

nm CCCGGGD x ~~~~~~~ ,...,,,,...,,minmax)(max

2121 (5)

Veamos un caso de aplicacin para clarificar conceptos. Supongamos que un inversor estanalizando la posibilidad de invertir en alguno de entre 4 proyectos distintos identificados en (6),buscando tener una buena rentabilidad:

X = {p1, p2, p3, p4} (6)

A su vez, se pretende que cada proyecto cumpla con las siguientes restricciones: 1~C es escasa

inversin inicial; 2~C es recupero de la inversin cercano en el tiempo; 3

~C es conexidad con

otros negocios de la empresa y 4~C es innovacin en el proyecto.

7/26/2019 00401

9/11

Es decir, entonces, que lo que se busca maximizar es la rentabilidad del proyecto, denotada

porG~

. Pero se prefieren los proyectos que menor inversin inicial requieran, que generenfondos que permitan recuperar dicha inversin lo antes posible, que se trate de un proyectoconexo a las actuales actividades de la empresa y que sea innovador.

El grado en que cada uno de los proyectos cumple con el objetivo buscado y con los requisitosimpuestos, segn estudios encarados por el evaluador, se representan a continuacin:

G~

= {(p1;0,7) , (p2;0,4) , (p3;0,6) , (p4;0,8)}

1

~C = {(p1;0,8) , (p2;0,5) , (p3;0,8) , (p4;0,8)}

2

~C = {(p1;0,5) , (p2;0,7) , (p3;0,4) , (p4;0,7)}

3

~C = {(p1;0,7) , (p2;0,6) , (p3;0,3) , (p4;0,7)}

4

~

C = {(p1;0,6) , (p2;0,5) , (p3;0,9) , (p4;0,6)}

Podramos interpretar algunos valores para clarificar conceptos. El primer proyecto, porejemplo, posee una rentabilidad media-alta (=0,7), cumple en gran medida el requisito deescasa inversin inicial (=0,8), el recupero de la inversin en el tiempo es relativamente lento(=0,5), el proyecto tiene conexidad con los actuales negocios de la empresa (=0,7), y si bienes innovador, no lo es en gran medida (=0,6).

Para escoger el proyecto aplicamos, entonces, (4) y escogeremos el menor valor depertenencia de cada proyecto en cada restriccin y en el objetivo:

D~

= {(p1;0,5) , (p2;0,4) , (p3;0,3) , (p4;0,6)}

As, el cuarto proyecto sera el que correspondera elegir, por cuanto posee el mayor valor de

pertenencia en el conjunto D~

, es decir, cumple con todos los requisitos en por lo menos grado0,6, mientras que los otros proyectos cumplen en menor grado en por lo menos un requisito oen el objetivo.

Cabe aclarar que este es un ejemplo sencillo que no distingue preferencias entre losrequerimientos (se consider que todos son igualmente importantes para el inversor) y sepresentan los valores como dados, siendo que en la realidad su obtencin no resulta tansencilla. Es que no deberan surgir de la simple apreciacin del inversor, sino de la conjuncinde opiniones de expertos en el tema, como gerentes o consultores, que apliquen a su veztcnicas diversas de gestin, tanto difusas como tradicionales, entre las que el V.A.N. o la T.I.R.

podran destacarse.

En trabajos anteriores nos ocupamos sobremanera de estos temas, por eso es que en estaoportunidad nos remitimos a ellos con el objeto de no cansar la lectura y extender en demasael trabajo.

7/26/2019 00401

10/11

5. CONCLUSIONES

Como venimos exponiendo en diferentes trabajos desde hace ms de diez aos en estasJornadas, la Matemtica Difusa o Borrosa resulta una herramienta innovadora en la resolucinde problemas empresariales ligados con la matemtica o administracin financiera, que noexige forzar las situaciones de la realidad para su adaptacin a los supuestos que los modelos

matemticos clsicos llevan implcitos.

Tampoco es el objetivo desechar dichos modelos, por cuanto han sido y continan siendo degran utilidad terica y prctica, sino por el contrario rescatar de ellos la mayor cantidad posiblede conceptos y adaptarlos a situaciones que no cumplen acabadamente con las premisas queles dieron origen, con el fin ampliar su potencia y de obtener resultados ms acordes en cadacaso.

En cuanto al tema que nos ocupa en el presente trabajo, la programacin lineal generalmentese vincula con el rea productiva de una empresa, siendo que en el rea financiera tambinpuede ser utilizada con buenos resultados. Se ha tratado en estas pginas de recuperar esosconceptos y aplicarles tcnicas probabilsticas y difusas para su adaptacin a diferentes

escenarios.

La utilidad de esta herramienta desarrollada por Bellman y Zadeh con los principios de laprogramacin lineal, es doble: por un lado, permite la aplicacin de tcnicas de gestin aambientes inciertos, y por otro, se constituye en una alternativa a las tcnicas tradicionales deevaluacin de proyectos de inversin. No es que el valor tiempo del dinero no est presente enla metodologa presentada, sino que la misma est implcita en los valores de pertenencia delos distintos proyectos al objetivo buscado.

Cuando se asigna un grado de pertenencia de cada proyecto al objetivo rentabilidad, dichogrado se asigna previa aplicacin de modelos que utilizan la matemtica financiera, como elV.A.N. y la T.I.R., ya que son las herramientas aptas para definir la rentabilidad de los

proyectos. Estas mismas tcnicas pueden aplicarse con tcnicas borrosas, como lo hemospresentado en trabajos anteriores. La novedad de las tcnicas que presentamos ahora consisteen dar solucin a planteos en los que no es slo la rentabilidad lo que el empresario busca, sinotambin el cumplimiento de otros requisitos tcnicos, legales, financieros, o de otra ndole.

No pretende este trabajo arrojar luz sobre temas an no tratados en la comunidad cientficainternacional, sino simplemente hacer un breve raconto de las posibilidades que estas tcnicasofrecen, y que por supuesto pueden ser ampliadas en lo sucesivo.

Esta modesta introduccin al estado del arte en el tema en cuestin pretende ser ampliada porlos autores en posteriores trabajos, a la vez que investigar sobre nuevas formas de tratamientode situaciones con tcnicas difusas, y su complementariedad con tcnicas tradicionales.

BIBLIOGRAFA CONSULTADA

Association Franaise des Conseils en Organisation Scientifique (1964). Investigacin Operativay Organizacin. Madrid. Aguilar.

7/26/2019 00401

11/11

Fernandez Lpez, Manuel (2004). Centenario de Jos Barral Souto, el genio gallego queanticip la programacin lineal. Revista Galega de Economa. Vol. 13, N 1-2, pp. 1-11.Universidade de Santiago de Compostela.

Fernandez Lpez, Manuel (2003). Barral Souto at his centennial: his scientific contribution. TheJournal of Management and Economics. Vol. 7, N 7. Buenos Aires. Facultad de Ciencias

Econmicas, Universidad de Buenos Aires.Lazzari, Luisa L. (2005). Instrumentos econmicos y de gestin aplicados a ambientes con altaincertidumbre. Buenos Aires. s/e.

Lazzari, Luisa L.; Machado, Emilio A. M.; Prez, Rodolfo H. (1998). Teora de la decisin fuzzy.Buenos Aires. Macchi.

Mallo, Paulino E.; Artola, Mara A.; Pascual, Mariano E.; Garca, Mnica V.; Martnez, Diego.(2004). Gestin de la incertidumbre en los negocios. Santiago de Chile. RIL-Melusina.

Mao, James C. T. (1986).Anlisis financiero.4 edicin. Buenos Aires. El Ateneo.

Munier, Nolberto J. (1979). Programacin lineal.3 edicin. Buenos Aires. Astrea.

Suarez Suarez, Andrs S. (1998). Decisiones ptimas de inversin y financiacin en laempresa. 18 edicin. Madrid. Pirmide.